Алгебры Ли дифференциальных операторов: Представления и когомологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шойхет, Борис Бамович

• Шойхет, Борис Бамович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шойхет, Борис Бамович

Введение

I Некоторые вопросы теории представлений алгебры Ли д1(А)

1 Представления алгебр Ли $\2п и индуцированные с наибольшей параболической подалгебры

2 Алгебра Ли неприводимые представления и локальное тождество

3 Алгебра Ли функций на гиперболоиде: глобальное тождество

II Когомологии алгебр Ли дифференциальных операторов: формулы Подъема

4 Конструкция формул Подъема

5 Конструкция высших формул Подъема. Доказательства

6 Интегрирование формул Подъема и циклические гомологии алгебр Ли дифференциальных операторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры Ли дифференциальных операторов: Представления и когомологии»

Диссертация состоит из двух Частей. Часть 1 посвящена теории представлений алгебры Ли 01(А), являющейся алгеброй Ли скрученных дифференциальных операторов на СР1 (А е С). Основными результатами здесь является вычисление детерминанта формы Шаповалова для квазиконечных представлений алгебры Ли £|1(А) и "глобальное тождество" — некоторое комбинаторное тождество геометрической природы, эквивалентное неприводимости некоторых представлений предельной алгебры Ли при А оо (это пуассонова алгебра Ли функций на симплектическом листе стандартного слоения на ^(С)*).

Часть 2 посвящена явному описанию алгебры когомологий #£¡<,(£(1^ (1)1^); С) алгебры Ли финитных матриц над алгеброй полиномиальных дифференциальных операторов на С1. В |ТТ1] было доказано, что эта алгебра есть внешняя алгебра с образующими в размерностях 2п + 1, 2п + 3, 2п + 5, . . Здесь построены явно коциклы Фгп+1, Ф2п+3, Ф2П+5, • • ■ № € С£1е(01^(Б1Гп); С)) такие что

НЬМюФХп); С) = Л'(Ф2п+1, Ф2п+3, Ф2п+5, • • ■ )■

Эти коциклы, называемые формулами подъема строятся в более общем алгебраическом контексте. При этом для доказательства того, что Фггс+ь ^'¿п+з, ■ ■ ■ являются образующими в когомологиях, используется интегрирование в когомоло-гиях алгебр Ли ([СР]), примененное к алгебре Ли скрученных дифференциальных операторов на СРп.

0.1

Алгебра Ли 01(А) — это бесконечномерная алгебра Ли, зависящая от параметра А € С, которая является непрерывной версией алгебры Ли. Она была введена Б.Л.Фейгиным в [Р1] для вычисления алгебры когомологий алгебры Ли полиномиальных дифференциальных на прямой С1 и имеет несколько эквивалентных определений. Мы опишем ниже три из них.

Во-первых, это алгебра Ли, построенная по ассоциативной алгебре скрученных дифференциальных операторов (см. [ВВ2]) на СР1. Дифференциальным оператором порядка < к в линейном расслоении С называется глобальный объект, который локально дейтвует на голоморфных сечениях этого расслоения, и при этом [[2?, /х], /2] ■ • • /л+1] = 0 для любых к + 1 голоморфных функций (эти функции рассматриваются как операторы ^ : Г(£) —> Г(£) нулевого порядка). Любое линейное расслоение на СР1 — это 0(п) для некоторого пбМ, и мы получаем зависящую от п 6 N ассоциативную алгебру скрученных дифференциальных операторов (при п = О — это обычные дифференциальные операторы). На самом деле такая алгебра скрученных дифференциальных операторов существует при любом п = А 6 С (несмотря на то, что соответствующего линейного расслоения не существует при нецелом А).

Напомним кратко конструкцию этой алгебры (см. [ВВ1], [ВВ2] для деталей). Обозначим пучок дифференциальных операторов (обычных) на тотальном пространстве расслоения (Э( 1) на СР1, и пусть Е — (послойное) эйлерово векторное поле в этом расслоении. Обозначим Де подпучок в состоящий из операторов, коммутирующих с Е, тогда {Т>Е — ХТ>\Т> е £>#} — двусторонний идеал в Бе, и обозначим -Ог/д — (ассоциативную) факторалгебру Де по этому идеалу. Тогда при А € N Dif\ совпадает с алгеброй дифференциальных операторов в расслоении 0(А). Можно дать следующее эвристическое объяснение этому факту. — это дифференциальные операторы, которые должны действовать на сечениях «степени однородности А» (А € С), по двум голоморфным сечениям 71 и 72 расслоения 0(1) можно построить две функции 7! и 72, линейные вдоль слоев, на них Е действует с собственным значением 1. Мы должны выделить из пучка 7^ • Оо{\) +72 " 1) все сечения степени однородности А, и £>г/л — это то, что действует на этих сечениях. Подалгебра И в состоит из дифференциальных операторов, сохраняющих собственное разложение оператора Е, а факторизация по идеалу {Т>Е — \Т>\Т> € Ие} — это выделение компоненты, соответствующей собственному значению А.

С этой точки зрения £)1(А) = 1ле (Dif\).

Имеется отображение р\ : ¿7(л12) Х>г/д(СР1) при всех А Е С (см. [ВВ1], [ВВ2]).

Чтобы его построить, представим 0( 1) как 5^2(С) х С, где С — соответствующее в

1-мерное представление борелевской подгруппы В С ЯЬ2(С). Тогда 5^2 (С) действует на тотальном пространстве расслоения 0{ 1), и алгебра Ли 5(2 (С) отображается в векторные поля на 0(1). Это гомоморфизм алгебр Ли, и поэтому определено отображение р\ : II(е12) Теорема Бейлинсона - Бернштейна [ВВ1] в этом простейшем случае утверждает, что р\ сюръективно, и что ядро р\ — это двусто тт/ , \ «л + 2) л » , И ■ Н . роннии идеал в и (з^), порожденный А----, где А — е-} + } -еЛ—— £ и (512)

1 ¿л элемент Казимира []. На з^-модуле Верма со старшим весом А А действует ска-лярно умножением на —Таким образом, д[(А) = 1ле /(—•

Само название алгебры Ли 01(А) подразумевает связь с алгеброй Ли д1п. Дадим теперь последнее ее определение, из которого ясно, в частности, в каком смысле д[(А) является алгеброй Ли матриц комплексного размера.

Рассмотрим п-мерный неприводимый 5(2-модуль V, тогда имеется сюръекция sfe) -» fll(V) и главная а^-подалгебра С U{s\i) ->■ flt(V) в gl(V). Как sl2n-1 модуль, gl(F) = gln = ф 7Tj, где 7Tj — неприводимый (2г + 1)-мерный sb-модуль. о

Как алгебра Ли, gln порождается 7Го,7Г1 и 7Г2, причем при достаточно большом п соотношения фиксированной степени зависят от п аналитично (эти соотношения были описаны в [F1]). Это позволяет считать п комплексным числом Л, подставив Л вместо п во все соотношения, и определить, таким образом, зависящую от А Е С оо структуру алгебры Ли на ф щ. Легко показать (см. [F1] и п. 1.1 Части II), что г=0 это определение эквивалентно предыдущим. 0.2

Алгебра Ли gl(A) N-градуирована: д1(А)г = {£ € 0l(A)|[/i,£] = 2г£}, где h € 5I2 С gl(A), и имеется картановское разложение (см. [Ка]) gl(A) = n © f) ф п+, где п = ф 0[(Л)г, 1) = gl(A)°, гц. = 001(^)г- Это картановское разложение согласоо г>0 вано с разложением gln (см. 0.4). Однако одно существенное отличие от классических алгебр Ли заключается в том, что п± не раскладывается в прямую сумму одномерных /г-инвариантных подпространств. Так, ri^ целиком ((-инвариантно (оно не раскладывается даже в прямую сумму двух собственных подпространств) и является пространством простых положительных корневых векторов. С этой точки зрения gi(A) является алгеброй Ли с континуальной системой корней (см. [SV1, SV2]).

Проиллюстрируем это обстоятельство простым примером. Параболической подалгеброй в gl(A), отвечающей корням ац,. , 6 С, называется подалгебра раь. ,Qfc, порожденная п+, Г), и nL-1) = {P(h)f\P(h) = (ft - сц) ■ ■ ■ (ft - ak)Pi{h),Px e C[A]}.

Здесь мы используем второе определение gl(A) как Lie {U(sl2)/(А--——-) см.

0.3.) При A G N>o имеется сюръекция gl(A) —> glA+1 (см. 0.4), и при этой сюръекции все эти параболические подалгебры переходят в одну (не зависящую от «i,. , параболическую подалгебру в gln+i- Вообще, в классическом случае параболические подалгебры соответствуют подмножествам простых положительных корней. По поводу общей теории алгебр Ли с континуальной системой корней см. [SV1, SV2].

Предметом нашего изучения являются представления со старшим весом (см. [Ка], [ККа], [BGG]) алгебры Ли gl(A), все уровни которых (относительно N-градуировки — см. 0.5) конечномерны. Таким образом, мы изучаем представления V алгебры Ли д[(А), удовлетворяющие следующим условиям:

1) существует такой вектор v € V, что п+и = 0, и hv = x(h)v для ft € f)

2)V = U(qI(X)) ■ v

3) Все уровни V конечномерны.

Ясно, что такое представление существует не при всех х 6 Ь*: ПРИ общем х соответствующий модуль Верма неприводим (и имеет бесконечномерные уровни). На самом деле, любое такое представление с /¡-мерным первым уровнем является фактором представления, индуцированного с некоторым характером с pai,.,afc (см. Часть II, п. 1.3). Пространство характеров /с-мерно, и мы получаем ^/^-параметрическое семейство представлений. При общих параметрах эти представления не-приводимы, и наша первая задача — найти те параметры, при которых представления приводимы.

В этом обзоре мы ограничиваемся изучением 2-х параметрического семейства представлений с 1-мерным первым уровнем.

Мы следуем методу В.Каца и А.Радула [KR1], где изучаются представления близкой к gí(A) алгебры Ли дифференциальных операторов на окружности.

Для любого s € С определено вложение ips : gí(A) м- gt^ s, где gl^ s — это алгебра Ли, аналитично зависящая от s € С и изоморфная при общем s алгебре Ли gíoQ обобщенно-якобиевых матриц (см. п. 2.1 Части II). Оказывается, что <ps продолжается до отображения : g Io (A) —>■ gl^,, которое сюръективно. Здесь алгебра Ли glc'(A) — это некоторое пополнение gí(A), и д[(А)-инвариантное подпространство любого gloo s-модуля будет и gIo(А)-инвариантным (а, значит, и gloojS-инвариантным).

Это сводит задачу о неприводимости д1(А)-модулей к соответствующей задаче о неприводимости g ^^-модулей. Последняя же задача легко сводится к задаче о gloo- (Мы свободно переходим к центральным расширениям, т.к. iï2(gl(A),C) = 0).

0.3

В главе I мы рассматриваем «модельную» ситуацию — представление IndM алгебры Ли g [до, индуцированное с наибольшей параболической подалгебры. Такое представление имеет нулевой старший вес и центральный заряд /л Е С. Для модулей Ind^ мы находим все сингулярные вектора и описываем фильтрацию Янцена (см. [J2]) в терминах неприводимых gl^ © gl®-модулей. (Здесь gl^ и gt^ — «верхняя» и 2 2 2 2 нижняя» подалгебры в gl^, см. рис. 1 Части I.) Мы находим также детерминант формы Шаповалова (см. [Sha]) на всех уровнях как функцию от ¡л. В качестве очевидного следствия мы получаем формулы для характера неприводимого первого присоединенного фактора фильтрации Янцена. Так, в случае ¡л = 1 мы получаем классическое тождество Эйлера (см. [An])

1 qk2 г>1 в случае ц € N>1 мы получаем «высшие» тождества Эйлера, а в случае /л € Н<1 — формулы для характеров соответствующих неприводимых представлений. Так, при ¡л = — 1 мы получаем, что характер неприводимого д^-модуля с нулевым старшим весом и центральным зарядом —1 равен

Мы доказываем, что присоединенные факторы фильтрации Янцена представления 1п<1м просты и-что членами фильтрации Янцена исчерпываются все подмодули в частности, мы получаем явные формулы для характеров высших неприводимых присоединенных факторов фильтрации Янцена.

Рассматривая алгебру Ли д12„ вместо д^, мы получаем «конечные формы» всех тождеств и формул.

Другая формула для детерминанта формы Шаповалова представления 1пйц получена Янценом (см. [ККа]).

Существуют дС^^-модули аналогичные д^-модулям /пс?^. Рассматривая обратные образы в*3{1пй^3) д^^-модулей при вложениях в8 : д[(А) > д^^,, мы получаем 2-х параметрическое семейство представлений алгебры Ли д[(Л) с 1-мерным первым уровнем. Как уже отмечалось в 0.7, для этих представлений мы можем решить задачу о приводимости. Оказывается, однако, что так получаются представления, индуцированные со всех параболических подалгебр соответствующего размера, кроме двух (при общем А). Детерминант формы Шаповалова представления в*8{1пб,^8) — это некоторое произведение, и когда параболическая подалгебра стремится к исключительной, некоторые сомножители имеют простой нуль или полюс. Из теоремы о неприводимости (при общем Л) представлений д1(А), индуцированных с двух исключительных параболических подалгебр следует, что порядок нуля равен порядку полюса. Приравнивая соответствующие числа на всех уровнях, мы получаем локальное тождество (см. 0.11).

Далее, для доказательства самой теоремы о неприводимости индуцированных с исключительных подалгебр представлений д((А) (при общем А) мы рассматриваем вложения в8 : д[(А) > д^ДС^/Р): старший вес индуцированного с исключительной параболической подалгебры представления равен старшему весу прообраза при 0,5 некоторого индуцированного представления I д^ДС^Д2), а так как пополнения в® : д[(А) ->■ д^оо.Д^МЛ2) сюръективны, то, аналогично п. 0.7, это сводит задачу к вычислению характера неприводимого фактора модуля I. Этому всему посвящена глава II.

0.4

В главе III мы рассматриваем алгебры Ли gl(A), А € С, как соответствующие конечным точкам римановой сферы S2. При этом в окрестности точки {оо} € S2 алгебра Ли д1(А) деформируется в алгебру Ли регулярных функций на невырожденном симплектическом листе стандартного слоения в с индуцированной скобкой Пуассона (алгебры Ли функций для всех невырожденных листов изоморфны). Таким образом, мы считаем, что точке {сю} 6 Б2 соответствует эта алгебра Ли, и все семейство алгебр Ли на 52 распадается в бесконечную прямую сумму линейных расслоений на 5'2.

При этом выбирая в каждой точке некоторое индуцированное представление соответствующей алгебры Ли, голоморфно зависящее от точки, мы можем добиться того, чтобы в точке {оо} было любое индуцированное представление алгебры Ли функций на гиперболоиде. Тогда детерминант формы Шаповалова некоторого уровня является голоморфным сечением некоторого линейного расслоения на его класс Чженя находится без труда. С другой стороны, этот класс Чженя равен сумме нулей с кратно стями по £ € 52 детерминанта формы Шаповалова по всем точкам сферы (на этом уровне). Мы доказываем теорему о неприводимости индуцированных представлений алгебры Ли функций на гиперболоиде при общих значениях параметров, и тогда сумма распространяется только на конечные точки сферы, в которых мы можем посчитать эти кратности методами глав I и II. Объединяя эти вычисления для всех уровней, мы получаем глобальное тождество (см. 0.11).

На самом деле мы доказываем неприводимость индуцированных представлений (при общих параметрах) алгебры Ли функций на конусе — вырожденном листе слоения в из чего уже следует утверждение для невырожденных листов (алгебры Ли функций на всех невырожденных листах изоморфны). Алгебра Ли функций на конусе, с точностью до подалгебры нильпотентна: функции, имеющие точку О € С3 нулем определенной степени, образуют в ней идеал, и мы применяем теорию Кириллова [Ю], согласно которой индуцированные с наибольших подалгебр представления нильпотентных алгебр Ли неприводимы.

Локальное тождество:

1а П

1 Р " « ' а=1 по всем диаграммам Юнга Т>1и,1к

Глобальное тождество: da

1 - q) ' (1 - aq2){ 1 - a2q2) ' (1 - a2q3){ 1 - a3g3)( 1 - A3) o=l da ттL 11 (1 - a • g*)'

0=1 2E fc+>l da k+

П/1 - r,i\i П l-qif .11 (1-д<)*Ч-(1-ад<)*-*+ i=1 г=/с+-}-1 a=l E по всем диаграммам длина «центральной» I ^k-i2 I л/(т> U диагонали Vh>,.,A ' ' J •

Здесь Х^,. ^ — диаграмма Юнга, состоящая из блоков 1 х ?1,2 х ¿2, • ■ ■ ,к х «центральная» диагональ — это диагональ, исходящая из ее левой верхней вершины (см. рис. 1), — число клеток в £>/ь.лк.

Figure 0.1:

Рис. 1: Диаграмма Юнга Vilt.„tik и ее «центральная» диагональ. xi^h,.,ik) —это соответствующий «полубесконечный» характер, определяемый следующим образом: рассмотрим алгебру Ли матриц (ац), i,j = 1,. ,оо; пусть — ее кокорни. Тогда x{T^h,.,h) — это характер неприводимого д[аэ-модуля со старшим весом х, таким что x(ai) — hi-- - ,х(а"к) = hiX(aX+i) =

2 ' ' 1 . = 0. Например, если V — это один блок 1 х к или к х 1, то х(£>) =

Вообще, x{T^h,.,ik) легко находится по формуле Вейля [Ка].

Левые части этих тождеств возникают в комбинаторных тождествах, связанных с плоскими разбиениями (см. [Ап]).

0.5

Формулы подъема — это формулы для коциклов алгебры Ли 21, построенной по ассоциативной алгебре 21 со скобкой [а, Ь] = а • Ь — Ь • а. Эти коциклы строятся по следующим данным:

1) след Тг: 21 —> С на ассоциативной алгебре 21 (т.е. Тг([а, Ь}) = 0 для любых а,ЬЕ 21);

2) набор В = £>21 • • ■ , Бк} (внешних) дифференцирований ассоциативной алгебры 21 удовлетворяющий следующим условиям:

I) Тг(АА) = 0 для любых Д £ £> и А е 21;

II) = асКЗг? является внутренним дифференцированием (С,€ 21) для любых А, -О? € I) {Я31 = ~Яг])\ ш) АЙ — 0 для всех г, ], А;.

В любом случае АЙ-О^ф^) является центральным элементом алгебры А), к

Основной пример такой ситуации — это ассоциативная алгебра 21 = ФВ1£га формальных дифференциальных операторов на (С*)" (см. [КК]). След Тг: ФБ1£П —>■ С — это "некоммутативный вычет", Тг(£>) — коэффициент при члене х^1 ■. • ■ р^1 •. • р^ оператора Б (в любой системе координат). Легко проверить (см.) что Тг^!, Дг]) = 0 для любых £>1,£>2 € ФБ1£„.

Далее, ас! \ах{ (г = 1,. , п) являются внешними дифференцированиями алгебры (относительно присоединенного действия; симметрия между символами х и р, вытекающая из определяющего соотношения [р, х\ = 1, позволяет определить внешние дифференцирования асПпрг (г = 1,. , п).

Мы доказываем, что некоммутативный вычет Тг на ассоциативной алгебре ФБИ^ и набор 2п внешних дифференцирований {гЛпж^,сйпр^, г = 1,. , п} удовлетворяет условиям (1)—(111) выше.

Та же конструкция применима и в случае 21 = д1^(ФБ1£„) алгебры финитных матриц над алгеброй ФБ1£П. Здесь Тг^ш^фц^ есть композиция о Тг0[;гт.

Строго говоря, [ас! 1прг, ас!= ас! <2, где <5 — бесконечная матрица, <3 ф 0[^(ФБ1£П); тем не менее, наша конструкция применима в этом случае.

В случае одного дифференцирования Б такая конструкция появилась впервые в [КК], где были построены два 2-коцикла на алгебре Ли ФБУ:].:

Оба коцикла когомологичны нулю после ограничения на подалгебру 1 с ФБ!^ полиномиальных дифференциальных операторов на

С1; с другой стороны, нашей целью является построение коциклов именно этой алгебры Ли. Этого удается достичь одновременным применением а(1(1пж) и аё(1пр).

Исходя из множества I? = {-О^. , Бк} внешних дифференцирований мы строим коциклы Фая-з> Ф&+5, ••• на алгебре Ли 21 (Ф 6 С^е(21;С)). Отметим, что в простейшем случае, когда С^ц = 0 при всех i, j,

Фк+хСАь . ,Ак+х) = АЙ АкТгр^! •. • БкАк • Ак+1)

А В

В общем случае стоит две задачи: найти формулы для Ф&+з, Ф&+5, . в случае С^ц = 0 (при всех г, у); проквантовать" эти формулы по СЦ^ при (¿ц ф 0. Обе эти задачи решены в Главе 2 Части II.

Отметим, что в |ТТ] было доказано, что Д.(01^(Б1£П); С) есть внешняя алгебра Л*(^2п+1,^2п+3) £2п+5> • • • )■ В нашей конструкции коциклы на Difn являются обратными образами коциклов на д[^(Б1£п) при вложении Б1£п <->■ д[^(Б1£п) {Б И ® Ец). Поэтому автоморфизмы алгебры Ли ФБ1£„ действуют тривиально на построенных коциклах, и другой выбор внешних дифференцирований не приводит к новым когомологическим классам.

0.6

Обозначим коциклы на алгебре Ли д[^(ФБ1£п), о которых шла речь в 0.5, через

Ф2п+ъ Фгп+з,. Ф-2п+5, • ■ ■ ■ Мы доказываем, что

0&п(Шга);С) - А-(Ф2га+ьФ2га+3,Ф2?г+5,. • •)•

Мы доказываем эту теорему с использованием понятия интеграла в когомологиях алгебр Ли, введенного И.М. Гельфандом и Д.Б. Фуксом [вЕ]. Сначала напомним классическую конструкцию 2-коцикла на алгебре Ли гладких векторных полей на окружности 51, соответствующего расширению Вирасоро.

Мы выбираем любую (формальную) систему координат в каждой точке х 6 гладко зависящую от точки х; таким образом, мы получаем отображение гх: УесЦ.?1) —> И7!, связанное с каждой точкой х 6 Б1 (здесь — алгебра Ли формальных векторных полей на прямой К1). Пусть Фз — 3-коцикл алгебры Ли (сИтН°(У/\; С) = с11тЯ3(Ж1;С) = 1, сИтЯ^^С) = 0 при г ф 0,3.

Мы получаем "в каждой точке х е 51" коцикл Ф3(ж) = г*Ф3 € С^е(Уес1(5'1); С). Когомологический класс всех коциклов Фз(ж) один и тот же, от не зависит от точки х € 51 и выбора системы координат в точке х.

Из этого утверждения следует, что существует 1-форма ©2 со значениями в С^е(Уес1(5");С) такая, что еЬяФз^) = ¿1ле@2-Тогда f ©2 является 2-коциклом в сие ОУес^б"); С). Действительно,

51

1ле 1&2 = I ¿1Ле©2 = / ^«зО*) = О 5' 5' 5' по формуле Стокса. 1-форма ©2 не определена однозначно, но существует канонический выбор. Тогда когомологический класс [/ ©2] не зависит от выбора систем

51 координат.

Пусть М — п-мерное комплексное многообразие, А — голоморфное линейное расслоение на М. Обозначим через Т)Ихгм пучок ассоциативных алгебр голоморфных дифференциальных операторов на А, и пусть В*м — комплекс Дольбо на М:

П* - -1+ П0'1 -1» а0'2 -1+ 1

Мы рассматриваем Гм(0^(Б1£ам ® ^м)) как дифференциальную градуиро

Ом ванную алгебру Ли (далее БС алгебру Ли). В случае М = О1 Бв Ли алгебра Го» (в^СГ^О1 &)оСп Щп)) квазиизоморфна Б1£п[0] как БО алгебра Ли.

Мы определяем когомологии пучка алгебр Ли (со скобкой [а, Ъ] = а ■

Ь — Ь ■ а) как когомологии БС алгебры Ли м 0 ^м) как дифференци

Ом альную и когомологии пучка алгебр Ли д1^(В1£л,м) как когомологии Бв алгебры Ли м Я'м)). Мотивировка такого определения состоит в том, что ом комплекс пучков Б0 ^м квазиизоморфен пучку [0] (как пучок ассоциом ативных алгебр,или алгебр Ли).

Для любого коцикла Ф € б^е^^ЧМ'п); С) и любого сингулярного цикла а е

М; С) определен интеграл /Ф, который является коциклом в а Ом

Основным здесь является факт, что если [/ Ф] ф 0 для некоторых М, А, сг, то

СГ ф] ф 0 (здесь [.] означает когомологический класс коцикла). Таким образом, понятие интеграла доставляет эффективный способ доказательства нетривиальности коциклов в С£1е(д^(Б1£п);С).

Пусть п = 1, М = СР1. В этом простейшем случае пучок голоморфных дифференциальных операторов (в любом голоморфном линейном расслоении Л) не имеет высших когомологий (как пучок), и БО алгебра Ли Г(рр1 ) (££) ). оср 1 квазиизоморфна алгебре Ли глобальных дифференциальных операторов Г(Б1£дср1). Обозначим последнюю алгебру Ли через . (Ситуация такая же для обобщенных многообразий флагов, в частности, для проективных пространств и многообразий флагов).

Используя метод [Н] нетрудно показать, что когомологии Я£;е(д1^(Б1£<ср1);С). есть внешняя алгебра с единственной образующей в размерности 1 и двумя образующими в каждой размерности 3,5,7,.

Мы вычисляем интеграл / $2/0+1 € 1 (д ^ (БИ^а); С). и доказываем, что

СР1 этот коцикл имеет ненулевое значение на некотором матричном (2к — 1)-цикле в #,(д1^(Б1£ср');С), т. е. цикле, являющимся образом г* с некоторого цикла с £ Я.(д^;С), при вложении г: д^ -4 )(Л. ^ А ® 1) к > 1) (). Тогда из

Теоремы следует, что коцикл Ф2&+1 не когомологичен нулю в С) для любого к < 1. Из этого результата, вычисления в и структуры алгебры Хопфа на когомологиях, Д^е^оо (01^); С) следует, что

Н^^ШгУ, С) = А'(Ф3, Ф5, Фт, ■ • •) коциклы к > 1, являются примитивными элементами в алгебре Хопфа Я^в&фЯх); С).

К сожалению, автор не нашел простого способа вычислить эти интегралы с использованием комплекса Дольбо. Наше вычисление основано на использовании резольвенты Чеха; мы определяем интеграл с точки зрения резольвенты Чеха. Мы верим, что когомологический класс интегралов, определенных обоими способами, совпадает.

Пусть %■. '—» — вложение, определенное выбором голоморфной системы координат в любой точке СР1. Мы доказываем, что

Н1[е(д^тСр1у,С)^А-(1 Фз;г*Фз,у Фб;»*Фб, / Ф*.)

СР' СР' СР'

Используя интегрирование по СРп, мы доказываем, что

Н1ь(а^(Ы£пУ,С) ~ Л'(Ф2п+1, Ф2п+3, Ф2п+5, • ■ •) для любого п > 1. Ситуация здесь более сложная, чем в случае п = 1, потому что вычисление интеграла не удается довести до конца. Пусть Л = С (Л), А £ 2, мы рассматриваем

I ъ2к+1еС11-2п+Нв^№\,ср«У,С), к>п.

Для матричного (2к—2п+1)-цикла 7 € Н2к-2п+1{д^; С) мы рассматриваем / Ф2&+1

СРп как полиномиальную функцию от А. Это полином п-ои степени. Непросто вычислить этот полином, или даже найти его значение при Л = 0. Мы вычисляем его старший коэффициент и доказываем, что он не равен 0 для некоторого 7. Тогда коцикл

I Ф2„+1 е С11:2п+1(&?£№Х1СРПУ,С)

СРп не когомологичен 0, и из Теоремы следует, что Ф2АЯ-1 € С^е+1(д[^(В1£п);С) не когомологичен 0 для любого к >п. Оставшаяся часть доказательства такая же как и в случае п — 1.

Отметим, что вопрос о когомологической нетривиальности коциклов 6

ВН-С) з : Б!^ И) решен только в простейшем случае к = п (). Мы не знаем как проверить нетривиальность этих коциклов, потому что не известно явных формул для циклов в С*ле(Б1£п; С). Таким образом, случай алгебры Ли д^(Б1£п) оказывается проще самой алгебры Б1£п, потому что в случае алгебры Ли (Е^и) имеются матричные циклы (а также вычисление когомологий (В1£„); С) методами аддитивной

-теории).

С другой стороны, значения формул подъема (а не их интегралов) на матричных циклах равно 0, также как значения обратных образов г*Я>2к+1 на матричных циклах.

0.7

Я больше всего благодарен своему научному руководителю Борису Львовичу Фей-гину. С ним я делил первую радость открытий, и он с необычайным педагогическим мастерством указывал на открывающиеся перспективы. Я посвящаю ему эти страницы — с любовью и благодарностью.

Многочисленные обсуждения с Максимом Концевичем существенным образом определили выбор тем моих дальнейших математических занятий.

В работах с Анатолием Моисеевичем Вершиком про континуальные системы корней вновь, с другой точки зрения, появилась алгкбра Ли д£(А); я также глубоко благодарен ему за помощь в подготовке диссертации к защите и ее организации.

ЧАСТЬ I

Некоторые вопросы теории представлений алгебры Ли д1(Х)