Алгебраический метод синтеза систем автоматического управления с регулятором пониженного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Чехонадских, Александр Васильевич

• Чехонадских, Александр Васильевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Чехонадских, Александр Васильевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Оптимизационный подход к модальному синтезу САУ

с регулятором пониженного порядка

1.1. Общая характеристика работы

1.2. Оптимизационные и теоретико-графовые методы ТАУ

1.3. Устойчивость и робастность в пространстве параметров

1.4. Постановка задачи: целевая оптимизация расположения полюсов системы АУ пониженного порядка

1.5. Выводы

2. Построение численных критериев на множестве

характеристических корней

2.1. Оп тимизационный подход к синтезу систем АУ пониженного порядка

2.2. Дифференциальные связи коэффициентов и корней многочлена

2.3. Невыпуклость полиномиальной оптимизации

и условия выпуклости

2.4. Метод скорейшего спуска для корневого множества

2.5. Метризация множества корней

2.6. Я-градуировки на комплексной плоскости

2.7. Дифференциальные свойства И-градуировок

2.8. Многоэкстремальность в задачах расположения корней

2.9. Стягивание корней к заданному центру

2.10. Приближение к заданному устойчивому многочлену

2.11. Выводы

3. Корневые симплексы и симплектические графы

действительных многочленов

3.1. Понятие координатизации множества корней

3.2. Предпорядок на комплексной плоскости

3.3. Несепарабельность и слабая несепарабельность

3.4. Строение корневого симплекса и индексация

вершин симплектического графа

3.5. Симплектические графы многочленов 4-й и 5-й степени

3.6. Многолистность сегментов с несколькими

комплексными парами

3.7. Действительные кортежи и степени вершин симплектических орграфов

3.8. Предграфы неорграфа Нп

3.9. Кодирование вершин симплектических графов

3.10. Кодовые множества и скорость роста орграфов

3.11. Выводы

4. Оптимизация расположения полюсов САУ методом конечного градиента

4.1. Двухмассовая САУ и её характеристический многочлен

4.2. Численное исследование в пространстве двух параметров

4.3. Сильная и слабая несепарабельность: характер изломов

линий уровня

4.4. Редукция корневых симплексов

и симплектических графов

4.5. Объединение зон и редукция орграфа

4.6. Оптимизация расположения полюсов САУ

с трёхпараметрическими регуляторами

4.7. Стабилизация синхронного генератора

4.8. Оптимизация «по дну ущелья» - на многообразии

кратных корней

4.9. Ступенчато-дифференциальное выделение

целевой области

4.10. Выводы

5. Критические многообразия в пространстве параметров регулятора: алгебраический поиск экстремальных расположений полюсов

5.1. Критические корневые диаграммы

5.2. Стабилизация трёхмассового объекта двухканальным

регулятором

5.3. Стабилизация трёхмассового объекта одноканальным

регулятором

5.4. Двойной перевёрнутый маятник на неподвижном

основании

5.5. Двойной перевёрнутый маятник на подвижном

основании

5.6. Различные Я-градуировки и соответствующие корневые

многочлены

5.7. Выводы

6. Общее решение задачи синтеза многоканальной системы

автоматического управления с условием грубости

6.1. Синтез многоканальной системы А У

без ограничения порядка

6.2. Обобщённое Диофантово уравнение

6.3. Инвариантные множители

6.4. Решение обобщённого Диофангова уравнения

6.5. Грубость решения

6.6. Грубость решения матричного Диофантова уравнения

6.7. Задание 'знаменателя' системы АУ

6.8. Необходимые условия грубости

6.9. Выводы

Заключение

Список использованных источников

ПРИЛОЖЕНИЯ

П1. Матрица Якоби отображения корни-коэффициенты

П2. Координатизация корней многочлена 3-й степени

ПЗ. Двухэкстремальная оптимизация САУ 4-го порядка

П4. Устойчивость производной устойчивого многочлена

П5. Стабилизация двойного перевёрнутого маятника на тележке

правильным регулятором при отсутствии потерь

Г16. Акты о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраический метод синтеза систем автоматического управления с регулятором пониженного порядка»

Введение

Диссертация посвящена алгебраическим аспектам синтеза линейных систем автоматического управления или, более точно, оптимизационному подходу к расположению полюсов систем с регуляторами пониженного порядка. Развитый в ней метод призван восполнить разрыв между хорошо изученными разделами: теорией систем с регуляторами малых порядков (ПИ и ПИД) и систем с регуляторами полного порядка.

В настоящее время теория автоматического управления (ТАУ) представляет собой обширную и постоянно развивающуюся отрасль знаний -от вполне математических исследований в области дифференциальных уравнений, описывающих системы с обратной связью, - до технически конкретных вопросов конструирования и программирования типов устройств, это управление осуществляющих. Одной из наиболее традиционных и разработанных областей здесь является теория линейных систем автоматического управления (САУ), в которой сочетаются множество отлаженных подходов и методов конструирования таких систем, с одной стороны, и высокая востребованность в технике и промышленном производстве - с другой. По этим причинам теория линейных систем далека от завершения: в ней сохраняется как значительный перечень нерешенных проблем и недостаточно изученных задач [69, 110], так и неуклонно расширяющееся поле приложений. Ситуация постоянно меняется благодаря большому потоку научных и технических исследований во всем мире, а в последние десятилетия - еще и в связи со стремительным прогрессом вычислительной техники и возможностей численного моделирования.

Можно отметить, что исследование нелинейных систем развивается в значительной мере как теория линеаризуемых систем и с опорой на линейную теорию. Так же и изучение систем с распределенными параметрами

существенно зависит от их аппроксимации линейными системами [42], а разработка гибридных и импульсных систем - от свойств и, в частности, от расположения полюсов и нулей их подсистем [71, 143].

Принципиальной особенностью теории автоматического управления представляется ее ориентация на инженерную практику, поскольку, в отличие от многих математических теорий, отрасль развивается в интересах реального синтеза систем автоматического контроля, т.е. ради создания средств построения эффективных регуляторов для объектов самых разных типов в технике и промышленности.

Одно из важнейших преимуществ, предоставляемых линейными системами АУ по сравнению с нелинейными - это возможность двух языков описания. Реальные процессы, происходящие в паре объект <-> регулятор, моделируются системой обыкновенных дифференциальных уравнений, и их рассмотрение в этой форме задает так называемое описание в пространстве состояний. А с помощью преобразования Лапласа их можно перевести в систему алгебраических уравнений над кольцом многочленов и

получить описание в операторной форме, или, как его часто называют, в частотной области'.

Последнее вносит ряд существенных отличий в изучение свойств и функционирования системы. При переходе к операторной форме из непосредственного рассмотрения исключаются прямые и инженерно значимые характеристики переходных процессов, будь то внутренние показатели системы х(0 или вектор выходного сигнала у^). Однако при этом уравнения системы принимают чисто алгебраическую форму:

у(*) = 1У(5)и(5),

1 Обобщенное понятие передаточной функции и алгебраический подход применяются ныне и при исследовании нелинейных систем [133]; алгебраические методы при этом сближаются с исчислением дифференциальных форм.

где y(s) - это векторное изображение выхода, u(s) - векторное изображение управляющего воздействия (обычно выражающегося через отклонение реального выхода от задания - стандартного значения), наконец, W(s) = N(s)/z(s)~ матричная передаточная функция САУ; здесь %(s) - ее характеристический многочлен, имеющий вещественные коэффициенты (в которые входят параметры конструируемого регулятора) и смешанные, действительные и комплексные, корни z¡,...,zn - так называемые полюса системы.

Теоремы разложения позволяют указать по полюсам САУ наиболее принципиальные характеристики выхода y{t). Так, каждая действительная

часть Re(z¿) определяет скорость затухания к-го слагаемого, а их максимум -устойчивость и запас устойчивости системы; в свою очередь, мнимые части Im(zk) задают колебательные частоты этих слагаемых и создаваемые ими фронты. Свойство робастной апериодичности САУ, практически означающее бесколебательное погашение возмущения [35, 64], требует так называемого доминирования устойчивого вещественного корня, и т.д.

Этим и обусловлен модальный подход к синтезу САУ: задав структуру регулятора, подобрать такие параметры, которые обеспечивали бы нужное расположение характеристических корней (полюсов) системы3.

Допуская управляющее устройство той же сложности - в частности, того же порядка - что и управляемый объект, можно при достаточно широких и естественных предположениях достигать любого наперед заданного расположения полюсов. В качестве примера достаточно назвать неоднократно переиздававшуюся монографию Чена (Chen, [125]), в которой детально изучены характерные ситуации модального синтеза многоканальных САУ с регуляторами полного порядка.

2 Теоремы операционного исчисления, позволяющие восстановить оригинал функции по ее изображению.

3 В этой связи нередко употребляется выражение «параметрический синтез».

Вместе с тем, технологическая и производственная целесообразность отдает устойчивое предпочтение регуляторам пониженного порядка, что объясняется их достаточной эффективностью4, конструктивной простотой, а также большей устойчивостью к шумам и помехам. В [107] приводятся данные аудита бумажных заводов Канады, где среди множества устройств автоматического управления 97% составляют пропорционально-интегральные регуляторы (ПИ-регуляторы). Это придает исследованиям САУ с регуляторами пониженного порядка высокую прикладную ценность, что и проявляется в большом количестве исследовательских работ и публикаций.

Множество подходов и приемов в этой области труднообозримо, некоторые из них упомянуты в 1-й главе. Большинство задач ставится в той или иной конкретной ситуации и решается с учетом этой конкретики. Обобщения удаются нечасто и все еще оставляют нерешенными многие принципиальные проблемы [69, 110].

Актуальность темы. В диссертации предложен новый подход и разработано математическое обеспечение алгебраического метода синтеза систем АУ с регуляторами пониженного порядка, привлекающего как арсенал классической алгебры и теории графов, так и ресурсы численной оптимизации.

При использовании регулятора пониженного порядка число его свободных параметров, а также характер их вхождения в коэффициенты многочлена не позволяют обеспечить произвольно заданное расположение корней. Приходится искать такие значения параметров, при которых корни попадают в область устойчивости, иногда с дополнительными требованиями запаса устойчивости, низкой колебательности и т.д. Обычно желаемая область расположения полюсов фиксирована, а задача синтеза решается как выделение

4 В монографии Д.В.Баландина и М.М.Когана [2] приводится такой впечатляющий результат: для погашения сейсмических колебаний 10-этажного здания, описывающегося моделью 20-го порядка, регуляторы полного порядка и 2-го порядка дают практически одинаковое время погашения возмущения.

в пространстве свободных параметров такой зоны, для которой полюса оказываются именно в указанных границах.

Главная идея диссертационной работы существенно иная: задается вид целевой области для полюсов на комплексной плоскости - например, левая полуплоскость {z|Rez<c}, или конус (сектор) {z | Rez + |lmz| < с], или

усеченный конус и т. д. - и семейство вложенных областей этого вида. Значение с наибольшей действительной части в каждой из таких областей задает параметризацию всего семейства и служит целевой функцией процесса оптимизации расположения полюсов. Минимизация значения с в пространстве параметров регулятора равносильна ответу на вопрос: насколько далеко в желаемом направлении (как правило, влево) можно сдвинуть область расположения полюсов за счет изменения параметров регулятора?

Если минимальное значение с* оказывается положительно, то систему нельзя стабилизировать регулятором взятой структуры, если оно отрицательно, то можно оценить запас устойчивости и т.д.

При этом сложная конфигурация расположения корней вещественных многочленов в пространстве С" приводит к ряду типичных проблем: многоэкстремальности, недифференцируемости, неограниченности

субдифференциала, овражному рельефу с «глубокими ущельями». Само то, что корневые наборы являются не векторами пространств R" или С", а просто /7-элементными множествами комплексных чисел, затрудняет применение классических методов математического анализа и оптимизации.

Прояснение и преодоление этих трудностей, опирающееся на специфику полиномиальной природы, составляет основное содержание диссертационной работы. Нелишне подчеркнуть, что развитые здесь идеи и методы не

ориентированы на создание именно ПИ- и ПИД-управления5, но могут применяться при конструировании любого регулятора пониженного порядка. Однако исключительная актуальность систем с ПИД-регуляторами побудила использовать их в числе прочих примеров, на которых демонстрируется конкретная реализация общих свойств и конструкций, полученных в диссертации.

Цель и задачи диссертации. Целью диссертации является разработка различных алгебраических аспектов синтеза систем АУ с регуляторами пониженного порядка. Главной особенностью подхода к синтезу является концепция оптимизации расположения полюсов в виде минимизации выбранной целевой функции. Важнейшей составляющей исследования оказывается нахождение в пространстве параметров критических многообразий, соответствующих субоптимальным и экстремальным расположениям полюсов системы. Осуществление этого поиска в конечном виде с помощью алгебраических средств позволяет не только обойти типичные трудности численной оптимизации, но и сократить до минимума привлечение пошаговых и итерационных процедур.

Достижение этой цели требует решения ряда задач.

Во-первых, это изучение различные способы построения числовых оценок расположения полюсов САУ, т.е. таких целевых функций, уменьшение которых означало бы оптимизацию расположения корневого набора и практически значимых параметров системы, и выбор в качестве основного инструмента функции типа Я-градуировки (глава 2).

Во-вторых, описание конфигураций корней действительных многочленов степени п со всевозможными действительными коэффициентами, точнее, представление расположений корней (как комплексных, так и

3 Стандартные сокращения для пропорционально-интегральных и пропорционально-интегрально-дифференциальныч устройств автоматического контроля, в англоязычной литературе фигурирующие как Р1- и РШ-соп1то11ег5.

действительных) действительными координатами с помощью корневого симплекса и симплектических графов (глава 3).

В-третьих, изучение минимизации Я-градуировки методом конечного градиента на примере двойного математического маятника с ПИД-регулятором, а также связей критических многообразий градуировки с симплектическими и графовыми конструкциями (глава 4).

В-четвертых, нахождение градиентным методом оптимальных параметров автоматического регулятора возбуждения синхронного генератора, представленного линеаризованной моделью в относительных единицах, с управлением по П, ПД и ПДД2-законам (глава 4).

В пятых, создание комплекса алгебраических приемов, позволяющих находить оптимальные расположения полюсов, а также продемонстрировать их на примере стабилизации тройного математического и двойного перевернутого маятников регуляторами пониженного порядка - задач, представляющих самостоятельный интерес в связи с приложениями подобных моделей в технике (глава 5).

Наконец, полное решение проблемы синтеза регулятора многоканальной системы, представленной Диофантовым уравнением, без явных ограничений на порядок и выделения в общем решении подмножества грубых решений в виде достаточных и необходимых и условий грубости (глава 6).

Объект и предмет исследования. Работа носит преимущественно теоретический характер. Объектом исследования является модальный синтез САУ, точнее, параметрический синтез регуляторов неполного порядка. Предмет исследования - ' всестороннее математическое обеспечение оптимизационного подхода к синтезу САУ пониженного порядка, в частности, с ПИД- и ПИ-регуляторами; в том числе геометрическое представление конфигураций корней многочленов с вещественными коэффициентами,

соответствующие теоретико-графовые конструкции и их применение в оптимизационном процессе.

Методы исследования. Использованы как традиционно математические средства классической алгебры и анализа, так и численное моделирование конкретной САУ. Важнейшие утверждения имеют форму теорем и доказываются дедуктивным методом. Для описания корневого симплекса применяются средства теории графов, которые, в свою очередь, вызывают необходимость в применении средств теории чисел и матричных кодов. Численное моделирование вызывает необходимость в индуктивном методе: многие свойства и особенности общих ситуаций основываются на изучении примеров с помощью Matlab и Maple. В качестве основного средства численной минимизации целевых функций использован метод конечного градиента, а затем - графовые и полиномиальные приемы.

Научная новизна. В диссертационной работе разработан алгебраический подход к синтезу систем АУ с регуляторами пониженного порядка без явного на него ограничения, в качестве частных случаев включающий синтез ПИД и ПДД2-управления.

Введена концепция R-градуировки, обобщающая ряд общепринятых способов целевого расположения полюсов САУ. Построена конструкция корневого симплекса, представляющая конфигурацию и координатизацию корней многочленов с переменными вещественными коэффициентами, что с точностью до многолистности позволяет преодолеть их неупорядоченность. Для описания отношения областей и границ в корневом симплексе определены два новых класса графов: неориентированные и ориентированные симплектические графы.

Изучены важнейшие свойства R-градуировок, корневых симплексов и симплектических графов, доказан ряд относящихся к ним теорем, в первую очередь, о рекуррентной связи между неорграфами и о скорости роста их

мощности. Для орграфов построена система матричных кодов и также установлена асимптотическая скорость роста.

На основе анализа численных экспериментов с конкретными моделями САУ установлен ряд характерных свойств и проблем процесса минимизации R-градуировок. Введено понятие корневых зон в пространстве параметров, обобщающее диаграмму Вышнеградского, и связанного с ним редуцированного симплектического графа. Предложен индуктивный принцип распознавания минимумов и ложных экстремумов при численной минимизации, основанный на графовой характеристике точки стабилизации.

Найдены оптимальные параметры П, ПД и ПДД2-регуляторов возбуждения синхронного генератора, представленного линеаризованной моделью в относительных единицах; теоретически установлена субоптимальность П-управления в классе ГЩ-регулируемых систем.

Указана рекурсивная процедура перечисления корневых портретов, характеризующих критические расположения полюсов САУ и их точное число в зависимости от числа свободных параметров регулятора.

На различных примерах продемонстрированы алгебраический способ нахождения многообразий в пространстве параметров, задаваемых критическими расположениями корней (или установления их нереализуемости) и использование корневых координат для выяснения экстремальности этих расположений. Эти примеры включали объекты 6-го порядка: упругое соединение трех масс, двойной перевернутый маятник на тележке, так что характеристический многочлен САУ с регулятором пониженного порядка доходил до 9-й и 11-й степеней соответственно.

Наконец, рассмотрено обобщенное Диофантово уравнение, указан алгоритм нахождения общего решения и изучена проблема выделения из последнего грубых решений.

Теоретические аспекты имеют форму новых теорем. Свойства, обнаруженные в численных экспериментах, обобщаются индуктивно.

Практическая значимость. Все исследования, проводившиеся в данной диссертации, ориентированы на использование в реальном синтезе САУ с регулятором пониженного порядка. Осуществление важнейших вычислений алгебраическими средствами позволяет рассчитывать на достижение оптимальных и субоптимальных результатов в конечном виде.

Апробация результатов. Диссертационные исследования представлялись и докладывались на следующих научных семинарах, сессиях и конференциях:

2-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭГ1-94 (Новосибирск, 1994);

XII International Conference on Systems Science (Wroclaw, Poland, 1995);

III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-98 (Новосибирск, 1998);

IV, V, VI, VII, VIII, IX Международных конференциях «Пограничные вопросы алгебры и теории моделей» (Эрлагол, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011 гг.);

научных сессиях ФПМИ НГТУ (Новосибирск, 2007, 2008, 2012);

семинаре лаборатории теории графов ИМ СО РАН (Новосибирск, 2008);

8-й Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва, 2009);

12-й и 13-й Международных научных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009, 2010);

семинаре «Избранные вопросы математического анализа» ИМ СО РАН (Новосибирск, 2010);

Third IASTED International Multi-Conference on Automation, Control, and Information Technology ACIT 2010 (Новосибирск, 2010);

Indo-Russian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics, 20-22 September 2010, Surat, India;

The Second Indo-Russian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics, September 10-13, 2010, Novosibirsk, Russia;

научно-исследовательском семинаре по алгебре МГУ (2010);

семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ (2010);

семинаре «Теория автоматического управления» им. ЯЗ. Цыпкина ИПУ РАН (Москва, 2011,2012);

семинаре Центра энергоэффективных технологий при НИЧ НГУ (2013);

семинаре «Информационные технологии и системы» Института автоматики и электрометрии СО РАН (Новосибирск, 2013);

семинарах кафедры автоматики НГТУ (Новосибирск, 2009, 2013).

Исследования поддерживались финансированием по АВЦП (темплану) "Развитие научного потенциала высшей школы" 2008-09 гг. и грантом по темплану, заявка № 7.559.2011. Участие в Международных летних школах "Пограничные вопросы алгебры и теории моделей" (Эрлагол, 2005-09 гг.) частично поддерживались РФФИ (гранты № 09-01-06069, № 07-01-06046, № 05-01-10028).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 43 научных работах, среди которых 17 вышли в изданиях, входящих в перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук; 3 работы вышли в рецензируемых журналах, не входивших на момент публикации в перечень изданий, рекомендованных ВАК, 5 - в изданиях, реферируемых в «Mathematical Reviews».

Личный вклад автора в совместных исследованиях и печатных работах. В работах, написанных соискателем в соавторстве, лично ему принадлежит создание заглавного метода. За исключением единичных

оговоренных случаев, им введены новые понятия, сформулированы и доказаны все включенные в диссертацию теоремы и предложения, а также поставлены задачи и интерпретированы результаты численных экспериментов с различными моделями.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) понятия Я-градуировки, координатизации и корневого симплекса; исследование свойств корневого симплекса: связь с сильной и слабой несепарабельностью, многолистность и др.;

2) строение симплектических неорграфов, их рекуррентная взаимосвязь и зависимость мощности от степени многочлена; матричная кодировка симплектических орграфов и зависимость их мощности от степени;

3) реализация симплектических конструкций в численном исследовании САУ с двухмассовым объектом (двойным математическим маятником) и ПИД-регулятором; исследование линеаризованной модели автоматического регулирования возбуждения синхронного генератора с П, ПД и ПДД2 законами управления;

4) рекуррентный способ нахождения критических расположений полюсов и указание их числа для САУ с регулятором пониженного порядка, имеющего т свободных параметров;

5) нахождение алгебраическими средствами критических расположений полюсов в системах АУ порядков до 9-11, включающих в качестве объектов тройной математический маятник и двойной перевернутый маятник на подвижной базе;

6) общее решение обобщенного Диофантова уравнения, достаточные, а также необходимые условия грубости его частных решений;

7) сопутствующие результаты (критерий выпуклости диффеоморфизма, теорема о дифференциальном ранге отображения корни<-^коэффициенты, дифференцируемость целевой функции на многообразиях кратных корней).

Структура работы. Диссертация состоит из шести глав, заключения и пяти приложений. Текст насчитывает 341 страницу, 46 рисунков и 4 таблицы (объем основной части 316 страниц, в том числе 42 рисунка). Библиографический список насчитывает 171 наименование.

Содержание работы.

1-я глава посвящена краткому обзору тех направлений ТАУ, в которых используются схожие с используемыми в диссертации принципы синтеза и выделению новых возможностей, которые в ней представлены.

Прежде всего, это касается подходов, где тем или иным способом используются методы оптимизации и такие конструкции, как функционалы качества, целевые области и целевые функции. То же относится и к теоретико-графовым методам, использующимся в синтезе некоторых типов систем, в том числе мульти-агентных и структурированных. Указываются возможности и ограничения, характерные для этих разделов.

Затем приводятся содержательно более близкие к настоящей работе направления параметрического синтеза, связанные с нахождением области устойчивости в пространстве тех или иных параметров: анализ робастной устойчивости и интервальных систем, а также метод D-разбиения. Последний представляет собой традиционный раздел ТАУ, более других схожий по постановке задачи к развиваемому в диссертации, а в последние годы благодаря ряду новых идей позволивший получить ряд важных результатов. D-разбиение оказывается весьма эффективным инструментом исследования систем с 1-2 свободными параметрами, однако с трудом допускает увеличение их числа.

Далее следует небольшой экскурс в теорию сверхустойчивости и сверхстабилизации, где в невыпуклой области устойчивости «выкраивается» выпуклая подобласть; что немаловажно, возникающие при этом условия обеспечивают монотонное гашение возмущений.

Обзорную часть завершает краткое перечисление исследований расположений полюсов систем АУ, обеспечивающих максимальную степень (запас) гурвицевой устойчивости систем специального вида.

В заключение главы 1 излагается основная концепция данной работы. Для регулятора неполного порядка, не позволяющего рассчитывать на достижение произвольно заданного расположения полюсов, строится числовая оценка области, в которую эти полюса попадают в зависимости от значений параметров регулятора. Такая функция корневого множества и называется Я-градуировкой.

В главе приводится один важнейший пример Я-градуировки, отрицательные значения которой гарантируют устойчивость системы с ограничением колебательности. Поэтому её минимизация, содержательно указывающая на то, насколько далеко влево можно сдвинуть полюса системы, либо приводит к наилучшим с точки зрения свойств системы значениям параметров регулятора, либо (если отрицательный минимум недостижим) демонстрирует невозможность стабилизации системы регулятором взятой структуры. Специфика зависимости градуировочной функции от корней, некоторые проявления которой геометрически наглядны, побуждает к изучению отображения параметры <-» корни и созданию конструкции корневого симплекса, что и делается в следующих главах.

Во 2-й главе рассматриваются различные аспекты оптимизационной постановки задачи модального синтеза САУ, предлагаются различные пути построения оптимизационных процедур и изучаются их свойства и возможности.

Поскольку пошаговые алгоритмы основываются на связи конечных приращений, изучаются дифференциальные свойства отображения коэффициенты^корни. Устанавливается, что кратность корней приводит к разрыву Н-го рода производного отображения. Дифференциальный ранг этого отображения оказывается равен числу различных корней.

Затем устанавливаются условия перехода выпуклых множеств в выпуклые под действием диффеоморфизма. Однако, требование сепарабельности многочлена (или, что то же самое, того, что отображение коэффициенты*-+корни оказывается локальным диффеоморфизмом) оказывается неестественным для организации целевых областей и функций.

Трудности, создаваемые невыпуклостью, иллюстрирует попытка применения метода скорейшего спуска. С некоторого момента процесс приводит к устойчивому росту расстояния между точками г и V в «-мерном пространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чехонадских, Александр Васильевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Армеев Д.В., Михеев A.B., Чехонадских A.B. Расчет параметров АРВ синхронного генератора методом модальной оптимизации // Сб. науч. тр. НГТУ2011,- № 2(64).- С. 105-116.

2. Баландин Д.В., Коган М.М.Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств // М.: ФИЗМАТЛИТ.- 2007.- 280 с.

3. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра // М.: Наука, 1975 - 648 с.

4. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах // М.: Высшая школа, 1985.- 536 с.

5. Воевода A.A., Корюкин А.Н., Чехонадских A.B. О понижении порядка стабилизирующего управления на примере двойного перевернутого маятника // Автометрия - 2012.- Т.48 - № 6 - С. 69-83.

6. Воевода A.A., Мелешкин А.И. Синтез регуляторов пониженного порядка// Науч. вест. НГТУ - 1997.-№ З.-С. 41-58.

7. Воевода A.A., Плохогников В.В., Чехонадских A.B. О совмещенных декартовых координатах в пространстве корней многочленов с действительными коэффициентами // Сб. науч. тр. НГТУ - 2001- № 1 (23).-С.153-156.

8. Воевода A.A., Пономарев К.Н., Чехонадских A.B. Об устойчивости производной устойчивого многочлена // Науч. вестник НГТУ,- 1998-№ 1(4).-С. 185-186.

9. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О матричных диофантовых уравнениях с полиномиальными элементами // Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-94 :Тр. второй междун. науч.-техн. конф./ Новосибирск, 1994 - Т.2.- С.40-45.

10. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Общее решение в полиномах матричного диофантова уравнения // Сб. науч. тр. НГТУ,- Вып.1С.59-63.

11. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О грубости решения диофантова уравнения с полиномиальными элементами// Сб. науч. тр. НГТУ.- 1996-№ 3(5).- С.9-16.

12. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О повышении степени устойчивого сепарабельного многочлена // Сб. науч. тр. НГТУ,- 1998 - №2(11).- С.74-78.

13. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Об оптимизации системы характеристическихкорней при бедном множестве параметров // Науч. вестник НГТУ,- 2001,- № 1 (10).- С.171-176.

14. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О корректности оптимизационных задач на множестве характеристических корней // Алгебра и теория моделей 4 / Новосибирск: изд-во НГТУ.-2003 г.-С.30-34.

15. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Координатизация системы корней вещественных многочленов малых степеней // Науч. вестн. НГТУ.- 2005 -№3(21).-С. 177-180.

16. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О дифференцируемости корневого расстояния//Сб. науч. тр. НГТУ - 2005.-Вып.4(42).-С. 174-176.

17. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Координатизация системы корней вещественных многочленов степени 5 // Науч. вестн. НГТУ,- 2006- №1(22).-С.176-179.

18. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О метрике и оптимизации на множестве характеристических корней системы автоматического регулирования // Доклады АН ВШ РФ.- 2006,- № 2 (7).- С.42-52.

19. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Орграфы граничных сегментов корневых симплексов вещественных многочленов // Науч. вестн. НГТУ,- 2007.-№1(26).-С. 191-196.

20. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Дифференцируемость целевой функции множества характеристических корней // Науч. вестн. НГТУ. - 2007. -№3(28).- С.203-205.

21. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Корневые симплексы многочленов с действительными коэффициентами// Доклады АН ВШ РФ - 2007 - № 1 (8).-С.69-81.

22. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Множественность экстремумов при оптимизации системы характеристических корней системы АУ// Научн. вестн. НГТУ. - 2008,- № 2(31).- С. 197-200.

23. Воевода A.A., Чехонадских A.B. О числе минимумов функции устойчивости однопараметрической системы АУ // Сб. науч. тр. НГТУ -2008.- Вып.4(54).- С. 25-28.

24. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Оптимизация расположения полюсов системы автоматического управления с регулятором пониженного порядка // Автометрия,-2009,-Т.45.-№ 5,-С. 113-123.

25. Воевода A.A., Чехонадских A.B. Преодоление недифференцируемости при оптимизационном синтезе систем автоматического управления // Автометрия.-2010,-Т.46.-№ 5.-С. 11-17.

26. Воевода A.A., Чехонадских А.В, Шоба Е.В. Модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения: разделение движений для стабилизации трехмассовой системы // Науч. вестник НГТУ,- 2011.-№ 2(43).-С. 39-46.

27. Воевода A.A., Шоба Е.В. О модели перевернутого маятника // Сб. науч. тр. НГТУ-2012,-Вып.1(67).-С. 3-14.

28. Волгин JI.H. Оптимальное дискретное управление динамическими системами // М.: Наука - 1986 - 210 с.

29. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи // М.: Наука - 1978г.- 144 с.

30. Востриков A.C., Воевода A.A. Принцип локализации: расчет линейных одноканальных систем управления // Науч. вестник НГТУ,- 1995. - №1 -С. 45-57.

31. Востриков A.C. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы // Автометрия - 2010. -№2 - С. 3-19.

32. Востриков A.C. Задача синтеза в теории регулирования// Новосибирск: Изд-во НГТУ,- 2011 г. - 104 с.

33. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия// Известия Петербургского практического технологического института.-СПб, 1877 г.

34. Вышнеградский И.А. О регуляторах непрямого действия // Известия Петербургского практического технологического института - СПб, 1878 г.

35. Гайворонский С.А. Параметрический синтез линейных регуляторов робастных систем с гарантированными корневыми показателями качества // Четвертая международная конференция по проблемам управления: Пленарные доклады и избранные тр./ М.: Институт проблем управления, 2009,- С.576-582.

36. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: учебное пособие// Новосибирск: Изд-во НГУ.- 1994.-264 с.

37. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью// М.: Сов. радио - 1970 г-600 с.

38. Грязина Е. Н. К теории D-разбиения // Автоматика и телемеханика.-2004 г.- № 12,-С. 15-28.

39. Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Синтез регулятора низкого порядка по критерию Нвд : параметрический подход // Автоматика и телемеханика,- 2007,- № 3.- С.94-105.

40. Долганова Н.С., Ижицкая Е.А., Чехонадских A.B. Стягивание корней характеристического многочлена системы АУ к заданному центру // Сб. науч. тр. НГТУ,- 2007. - № 3 (49). - С. 17-22.

41. Долганова Н.С., Ижицкая Е.А., Чехонадских A.B. О

многоэкстремальности оптимизации характеристических корней системы АУ с регулятором пониженного порядка // Сб. науч. трудов НГТУ.- 2008.-№ 1(51).-С. 151-158.

42. Дылевский A.B. Синтез конечномерных регуляторов для бесконечномерных объектов // Автореф... д-ра техн. наук.- Воронеж. 2009 г.- 32 с.

43. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем// М.: Энергия,- 1979.-456 с.

44. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем // М.: Наука,- 1970 г.- 704 с.

45. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология // Л.: ГОНТИ,- 1938,- 400 с.

46. Золотухин Ю. Н., Нестеров А. А. Управление перевернутым маятником с учетом диссипации энергии // Автометрия - 2010.- Т.46 - № 5 - С. 3-10.

47. КвакернаакХ., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления // М.: Мир.- 1977 г.-650 с.

48. Корюкин А.Н., Чехонадских A.B. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка, ч.1 // Сб. науч. тр. НТТУ.- 2011.— Вып. 4(66).-С.3-22.

49. Корюкин А.Н., Чехонадских A.B. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка, ч.2 // Сб. науч. тр. НТТУ.- 2012-Вып. 1(67).- С.37-56.

50. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем // М.: Радио и связь,- 1988 г.- 306 с.

51. Куликов Ю.А. Переходные процессы в электрических системах// Новосибирск: Изд-во НТТУ - 2002 г.- 283 с.

52. Курош А. Г. Курс высшей алгебры // М.,Л.: ГИТТЛ-1949 г.- 336 с.

53. Кэртис Ч.В., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр // М.: Наука, 1969.- 668 с.

54. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I-1У//Автоматика и телемеханика- I960 - №4 - С.436-441; №5 - С.561-568; № 6.- С.661-665; 1961,- № 4,- С.425-435.

55. Лозинский С.М. Оценка погрешностей приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР.- 1953 г-Т.92,-Вып.2,-С.225-228.

56. Мелешкин А.И. Модальный синтез линейных регуляторов пониженного порядка: автореф. дис. ... канд. техн. наук.- Новосибирск, НГТУ.- 2000 г.-24 с.

57. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов//Автоматика и телемеханика - 2007 г.- № 3.- С. 106-124.

58. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем // Л.: ЛКВВИА.-1949 г.- 141 с.

59. Первозванский A.A., Гайцгорн В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация // М.: Наука - 1979 г.- 344 с.

60. Позняк A.C. Основы робастного управления (Ню-теория)// М.: Изд-во МФТИ,- 1991 г.- 128 с.

61. Плохотников В.В. Модальный синтез систем управления с интервальными параметрами: автореф. дис. ... канд. техн. наук.-Новосибирск, НГТУ,- 2002 г.- 24 с.

62. Поляк Б.Т., Грязина E.H. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автоматика и телемеханика.-2007 г.- № 12 - С.38-51.

63. Поляк Б.Т., Грязина E.H. Новые аспекты D-разбиения// В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. IX Международная Четаевская конференция. Иркутск - оз. Байкал, 12-16 июня 2007 г./ Иркутск. - 2007 г.-Т. 1.-С. 142-158.

64. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем/ / Автоматика и телемеханика.- 1990-№9,-С. 45-54.

65. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастный критерий Найквиста // Автоматика и телемеханика. - 1992 г.- № 7- С.25-31.

66. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление// М.: Наука,- 2002 г.-ЗОЗ с.

67. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I: Анализ // Автоматика и телемеханика-2002 - № 8.- С. 37-53.

68. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I: Анализ. II: Синтез // Автоматика и телемеханика- 2002-№ 11,- С.56-75.

69. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к их решению // Автоматика и телемеханика - 2005,- № 5.- С. 7-46.

70. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Техника D-разбиения при решении линейных матричных неравенств // Автоматика и телемеханика - 2006 - № 11.- С. 159174.

71. Поляков К.Ю. Полиномиальные методы прямого синтеза оптимальных импульсных систем управления: автореф. дис. ... докт. техн. наук.- СПб, СПбГМТУ,- 2006 г.- 32 с.

72. Поляков К.Ю., Рыбинский В.О., Синтез оптимальных цифровых регуляторов при модальных ограничениях // Материалы VIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 1416 марта 2006 г./ ГНЦ «Электроприбор»,- 2007,- С. 329-335.

73. Понтрягип Л .С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов // М.: Наука,- 1961 г.- 393 с.

74. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. Изд.4 // М.: Наука.-2004,- 136 с.

75. Постников М.М. Устойчивые многочлены// М.: Наука.-1981 г.—176 с.

76. Постников М. М. Аналитическая геометрия // М.: Наука.- 1986.- 416 с.

77. Рубан А. И. Методы оптимизации // Красноярск, НИИ ИПУ- 2001 г.-528 с.

78. Стрекаловский A.C. Теории и методы решения невыпуклых задач оптимального управления // В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. IX Междунар. Четаевская конф. Иркутск - оз. Байкал, 12-16 июня 2007 г./ Иркутск. - 2007 г. - Т.З. - С. 206-220.

79. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственный значений // М.: Наука,- 1970 г.-564 с.

80. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения-1978 г.- Т. 1.- Вып. 11.- С. 2086-2088

81. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники.- Техническая кибернетика / Т.32.- М.: ВИНИТИ.-1991 г.-С. 3-31.

82. Чехонадских А.В Свойства корневых симплексов многочленов с действительными коэффициентами // Науч. вестн. НГТУ,- 2007 - №1(26).-С.101-108.

83. Чехонадских A.B. О ранге и аннуляторе дифференциала вектора коэффициентов многочлена // Науч. вестн. НГТУ. - 2007. - №3(28).- С.207-212.

84. Чехонадских A.B. О скорости роста орграфов корневого симплекса многочленов с действительными коэффициентами // Сб. науч. тр. НГТУ.— Новосибирск: Изд-во НГТУ,- 2007. -№ 4 (50).-С. 163-168.

85. Чехонадских A.B. О ступенчато-дифференциальной оптимизации корней характеристического многочлена САУ // Научный вестник НГТУ. - 2008-№ 4(33).- С.205-208.

86. Чехонадских A.B. Корневые симплексы и симплектические графы действительных многочленов// Науч. вестн. НГТУ - 2009- №1(34).- С.143-163.

87. Чехонадских A.B. Метрика, градуировка и оптимизация расположения характеристических корней системы автоматического управления // Науч. вестн. НГТУ,-2009,- №1(34).-С. 165-182.

88. Чехонадских A.B. Графы корневых симплексов вещественных многочленов // Материалы 8-й Междунар. конф. «Дискретные модели в теории управляющих систем», 6-9 апр.2009 г. / М., 2009 - С.227-231.

89. Чехонадских A.B. Общее решение задачи синтеза многоканальной системы автоматического управления с условием грубости // Науч. вестн. НГТУ.- 2009. - №2(35).- С.139-148.

90. Чехонадских A.B. О корректности постановки оптимизационных задач

на множестве характеристических корней // Науч. вестн. НГТУ. - 2009. -№2(35).-С.139-147.

91. Чехонадских A.B. Графы корневых симплексов вещественных многочленов // Мальцевские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. 24-28 авг. 2009.- Новосибирск,- 2009,- С.243.

92. Чехонадских A.B. Графы корневых градуировок вещественных многочленов// Мальцевские чтения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. 2-6 мая 2010.- Новосибирск,- 2010,- С. 117.

93. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ // М.: Наука,- 1969,- 576 с.

94. Шубладзе A.M. Синтез оптимальных линейных регуляторов // Автоматика и телемеханика,- 1984,-№ 12-С. 22-33.

95. Шубладзе A.M. Методика расчета оптимальных по степени устойчивости ПИД-законов управления. II // Автоматика и телемеханика- 1987 - № 6-С. 50-59.

96. Шубладзе A.M. Методика расчета оптимальных по степени устойчивости т-мерных законов управления. III // Автоматика и телемеханика,- 1990.— № 10,-С. 86-95.

97. Шубладзе A.M. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. I // Автоматика и телемеханика.- 1997-№ 3.- С. 93-105.

98. Шубладзе A.M. Достаточные условия экстремума в системах максимальной степени устойчивости. II // Автоматика и телемеханика - 1997 .-№ 8,-С. 67-79.

99. Шубладзе A.M., Попадько В.Е., Кузнецов С.И., Якушева A.A.

Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-

управлении. Часть 1 // Управление большими системами:сборник трудов/ М.: ИПУ РАН. - Выпуск 22,- 2008 г.- С. 86-100.

100. Шубладзе A.M., Попадько В.Е., Кузнецов С.И., Якушева А.А.

Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД-управлении. Часть 2 // Управление большими системами: сборник трудов/ М.: ИПУ РАН. - Выпуск 23.- 2009 г.- С. 39-55.

101. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР-1962.-Т.143.- Вып.6.- С.1304-1307.

102. Ackermann J., Kaesbauer D. Stable polyhedra in parameter space// Automática.- 2003,- V.39.- P.937-943.

103. Anderson B.D.O., Moore J.B. Optimal control: linear quadratic methods // Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.- 1989,- 494 P.

104. Apkarian, P., Tuan, H. D. Robust control via concave minimization: Local and global algorithms // IEEE Transactions on Automatic Control- 2000-V.45(2).- P. 299-305.

105. Apkarian P., Noll D. Nonsmooth Яод synthesis // IEEE Transactions on Automatic Control.- 2006,- V.51.- No. 1P.71 -86.

106. Apkarian P., Noll D. Nonsmooth optimization for multiband frequency domain control design // Automática - V. 43.- 2007 - P.724-731.

107. Âstrôm K.J., Hâgglund T. PID-controllers: Theory, design and tuning // Research Triangle Park - N.C: Instrument Society of America - 1995 - 343 P.

108.Bajcinca N. Design of robust PID controllers using decoupling at singular frequencies // Automatica.- 2006.- V. 42.- P. 1943-1949.

109. Ben M., Chen Robust and Hm -control // Springer: London.- 2000.-458 P.

110. Blondel V., Sontag E., Vidyasagar M., Willems J. Open problems in mathematical systems and control theory // L.: Springer Verlag - 1999 - 288 P.

111. Boukhobza T., Hamelin F., Sauter D. Observability of structured linear systems in descriptor form:A graph-theoretic approach // Automática- 2006-V. 42,-P. 629-635.

112. Boukhobza T., Hamelin F., Martinez-Martinez S. State and input observability for structured linear systems:A graph-theoretic approach// Automatica.- 2007.- V. 43.- P. 1204-1210.

113. Boukhobza T., Hamelin F. Observability analysis for structured bilinear systems: A graph-theoretic approach // Automatica - 2007,- V. 43 - P. 1968-1974.

114. Boyd S.L., El Ghaoui L., Feron E., BalaKrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory // Philadelphia: SIAM.- 1994,- 193 P.

115. Burke J. V., Henrion D., Lewis A. S., and Overton M. L.Stabilization via Nonsmooth, Nonconvex Optimization // IEEE Transactions on Automatic Control.-2006.-V. 51.-№ 11.-P. 1760-1769.

116. Calafiore G. C., Dabbene F., Tempo R. Randomized algorithms for probabilistic robustness with real and complex structured uncertainty// IEEE Transactions on Automatic Control.-2000.-V.45- No. 12,-P. 2218-2235.

117. Changbin Yu, Hendrickx J.M., Fidan B., Anderson B.D.O., Blondel V.D.

Three and higher dimensional autonomous formations: Rigidity, persistence and structural persistence // Automatica.- 2007.- V. 43- P. 387-402.

118. Chekhonadskih A.V., VoevodaA.A. General Solution in polynomial of matrix Diophantine equation // Proceedings of the 12th International Conference on Systems Sciences. (12-15 September 1995, Wroclaw, Poland)/ Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroclawskiej, Wroclaw - 1995- vol. II.-P.75-80.

119. Chekhonadskih A.V., VoevodaA.A. On Metrics And Optimisation In The Characteristic Roots Set Of An Automatic Control System // Algebra and Model Theory 5/ Novos. State Techn. Univ.- Novosibirsk - 2005 - P.265-274.

120. Chekhonadskih A.V., VoevodaA.A. On Jacoby Matrix Rang Of Polynomial Coefficients-Roots Correspondens // Algebra and Model Theory 5 / Novos. State Techn. Univ.- Novosibirsk.- 2005 r.- P.275-280.

121. Chekhonadskih A.V., VoevodaA.A. Codes and adjustment in digraphs of root simplexes of real polynomials // Algebra and Model Theory 6 / Novos. State Techn. Univ.- Novosibirsk.- 2007.- P. 7-15.

122. Chekhonadskih A.V. Critic root zones and simplex digraph reduction of real polynomials // Algebra and Model Theory 7 / Novos. State Techn. Univ-Novosibirsk.- 2009.- P.26-43.

123. Chekhonadskih A.V., Voevoda A.A. Characteristic root simplexes and optimization of pole location of low-order control system // Proceedings of DST-RFBR Sponsored Indo-Russian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics, 20-22 September 2010, Surat, India.-P. 173-176.

124. Chekhonadskikh A.V., Voevoda A.A. Control system stabilization via root simplex graph illustrated by example of double inverted pendulum // Proceedings RFBR and DST sponsored The 2nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics. 10-13 September, 2011 / Novosibirsk, NSTU.-2011 - P. 31-37.

125. Chen C.-T. Linear system theory and design // NY: Holt, Rinehart and Winstone.- 1984.-682 P.

126. Datta A., Ho M.-T., Bhattacharyya S.R. Structure and Synthesis of PID Controllers // N.Y.: Springer.- 2000,- 233 P.

127. Diona J.-M., Commault C., Van der Woude J. Generic properties and control of linear structured systems: a survey // Automatica,- 2003.- V.39-P. 1125-1144.

128. El Ghaoui L., Oustry F., Ait Rami M. A cone complementarity linearization algorithm for static output feedback and related problems // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1997.- V.42.- No.8 - P.l 171-1176. Iwasaki T. The dual iteration for fixed-order control/ IEEE Transactions on Automatic Control - 1999-V.44.- No.4,- P.783-788.

129. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficient! reali // Ann. Scuola Norm. Super., Piza- Ser. scien. fis. e math - 1953 -V.7.-No 1-2.-P. 53-63.

130. Gauss C. F. Opera Omnia//Gottingen, 1886.-V.3.-P.112.

131. Gryazina E.N., Polyak B.T. Stability regions in the parameter space: Ddecomposition revisited // Automatica - 2006 - V.42 - P. 13-26.

132. Haddad W.M., Corrado J.R. Robust non-fragile dynamic controllers for systems with parametric uncertainty and controller gain variations // Proc. Amer. Control Conf.- Philadelphia.- 1998,-P. 2837-2841.

133.Halas M. An algebraic framework generalizing the concept of transfer functions tononlinear systems // Automatica.- 2008 - V. 44 - P.l 181-1190.

134. Halpern M.E., Polyak B.T. Optimization-based Design of Fixed Order Controllers for Command Following // Automatica - 2002 - 38, No.9 - P. 16151619.

135. Hendrickx J. M., Anderson B.D.O., Delvenne J.-C., Blondel V.D. Directed graphs for the analysis of rigidity and persistence in autonomous agent systems// International Journal of Robust and Nonlinear Control - 2005.- V.17 - No. 10-11-P. 960-981.

136. Henrion D., Arzelier D., Peaucelle D. Positive polynomial matrices and improved LMI robustness conditions // Automatica - V.39 - 2003.- P. 1479-1485.

137. Hinrichsen D., Pritchard A.J. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation // Systems & Control Letters.- 1986 - V. 8-N0. 2,-P. 105-113.

138. Hinrichsen D., Pritchard A.J. Real and complex stability radii: a survey // in: Progress in Systems and Control Theory / Birkhauser, Boston, Mass., USA, 1990-P. 119-162.

139. Ho M., Datta A., Bhattacharya S. Design of P, PI and PID-controller for interval plants // Proceedings of the American control conference, Philadelphia-1998,-P. 2496-2501.

140. Horowitz I. Survey on qualitative feedback theory (QFT) // Intern. J. Control-1991.- No.53.- P.255-291.

141. Iwasaki T,, Hara S. Well-posedness of feedback systems: Insights into exact robustness analysis and approximate computations // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1998.- V.43.- No.5 - P. 619-630.

142. Iwasaki T. The dual iteration for fixed-order control // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1999.- V.44.- No.4.- P.783-788.

143. Iwatania Y., Harab S. Stability tests and stabilization for piecewise linear systems based on poles and zeros of subsystems // Automatica- 2006 - V.42-P.1685-1695.

144. Jantzen, J. Tutorial on the Digraph Approach to Multivariable Control // Automatic Control World Congress 1993 - Proceedings of the 12th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control: Sydney, Australia, 18-23 July 1993/Vol. 5,- 1994,-P.711-714.

145. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control// Bol. Soc. Mat. Mec.- 1960.-№ 5,- Pp.102-199.

146. Kim J. Y., Park I. W., Oh J.-H. Walking Control Algorithm of Biped Humanoid Robot on Uneven and Inclined Floor // Journal of Intelligent and Robotic Systems.- Vol. 48, No. 4,- 2007,- P. 457-484.

147. KoryukinA.N., Chekhonadskikh A.V. Extreme root location of real polynomials and stabilization of 3-mass control system // Algebra and Model Theory 8 / Novos. State Techn. Univ.- Novosibirsk - 2011.- P. 19-39.

148. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Robust, fragile, or optimal? // IEEE Trans. Automat, control.- 1997,-V.42.-No.8.-P.1098-1105.

149. Lavaei J., Aghdam A.G. A graph-theoretic method to find decentralized fixed modes of LTI systems // Automatica.- 2007,- V.43.- P.2129-2133.

150. Levine, J. A graph-theoretic approach to input output decoupling and linearization // In: A.J. Fossard, & D. Normand-Cyrot (Eds.), Nonlinear systems-Chapter 3 // London, Chapman & Hall.- 1997,- P.77-91.

151. Lin Z., Francis B. A., Maggiore M. Necessary and sufficient graphical conditions for formation control of unicycles // IEEE Transactions on Automatic Control.- 2005,- V.50 - No. 1.- P. 121-127.

152. Liu C., Atkeson C. G. Standing balance control using a trajectory library // Proceedings of IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, October 11-15, 2009, St. Louis, USA.-2009,-P. 3031-3036.

153. Munro N., Soylemez M.T. Fast calculation of stabilizing PID-controllers for uncertain parameter systems // Proceedings of 3 rd IF AC symposium on robust control design. Prague, Czech Republic, May 2000 / ROCOND.- 2000.- V.2.-P. 345-351.

154. Nemirovskii A.A. Several NP-hard problems arising in robust stability analysis//Math. Contr. Sig. Sys.- 1994,-No 6.-P.99-105.

155. Polyak B.T., Halpern M. Optimal design for dicrete-time linear systems via new performance index // Intern. J. Adaptive Control Sig. Proc-2001 - V. 15-No 2.- P.129-152.

156. Polyak B.T., Tempo R. Probabilistic robust design with linear quadratic regulators // Syst. Control Lett.- 2001.- V. 43.- P. 343-353.

157. Polak E., Wardi Y. A nondifferentiable optimization algorithm for the design of control systems subject to singular value inequalities over a frequency range // Automatica.-V. 18,- No.3.- 1982,-P.267-283.

158. Psarris P., Floudas C. A. Robust stability analysis of systems with real parametric uncertainty: A global optimization approach // International Journal of Robust and Nonlinear Control.- 1995,- No.5- P. 699-717.

159. Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., et al. A Formula for Computation of the Real Stability Radius // Automatica.-1995.- V.31.- P. 879-890.

160. Reinschke, K. J., Wiedemann, G. Digraph characterization of structural controllability for linear descriptor systems / Linear Algebra and its Applications, 1997,- V.266.- P.199-217.

161. Rosenbrock H.H. Computer-aided control system design/ L.: Academic Press.- 1974.-228 P.

162. Rubió-Massegú J., Díaz-Barrero J. L. Zero and coefficient unequalities for stable polynomials / Applicable Analysis and Discrete Mathematics.- 2009.-Vol.3, Nol - P.69-77.

163. Saeki M., Aimoto K. PID controller optimization for H^ -control by linear programming//International Journal of Robust and Nonlinear Control - 2000-No.10 - P.83-99.

164. Sename, O., Hovelaque, V., Commault, C., & Dion, J. M. Structured time delay systems: a graph approach // International Journal of Control, 2001.- V.74-P. 373-386.

165. Scherer C. W. LPV control and full-block multipliers / Automatica.- 2001.-V.37.- No.3.- P.361-375.

166. Soylemez M.T., Munro N., Baki H. Fast calculation of stabilizing PID controllers // Automatica.- 2003,- V.39.- P. 121 -126.

167. Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach // Cambridge, Massachusets, London: MIT Press - 1985 - 184 P.

168. Vinter R. V. Optimal control // NY, Dordrecht, Heidelberg, L.: Springer, 2000, 507 P.

169. Whitman E. C., Atkeson C. G. Control of a Walking Biped Using a Combination of Simple Policies // Proceedings of IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, October 11-15, 2009, St. Louis, USA.-2009,-P.520-527.

170. Yang K., Orsi R. Generalized pole placement via static output feedback: a methodology based on projections // Automatica - V.42 - 2006.- P.2143-2150.

171. Zhou K., Doyle J. C., Glover, K. Robust and optimal control // London: Prentice-Hall.- 1996,- 586 P.

Приложение 1. Матрица Якоби отображения корни — коэффициенты

Матрица Якоби отображения корни — коэффициенты

В этом приложении приводятся формулы, связанные с дифференциальными взаимосвязями коэффициентов многочлена и его корней. Они не являются общеизвестными и не позволяют ограничиться доступными ссылками, но при этом используются в главах 2-4 диссертации.

П1.1.Пусть /„(¿О = б" + + а0~ приведённый многочлен,

г,,...,г,,- его корни. Тогда коэффициенты (а0,...,ап_]) оказываются вектор-функцией а(гх,.,.,гп) его корней причем координата ак

с точностью до знака является элементарным симметрическим многочленом степени к от переменных г{,гп (см., например, [3]):

ап_к = {-\)как\гь...,гп], а„=сг0 = \.

Поскольку от порядка записи корней ничего не зависит, можно для краткости писать сгк[г\,..., гп] = <гк .

П1.2. Пропуск в многочленах стк одной из переменных г,, равносильный подстановке значения г/ = 0, можно обозначить так:

п\1 _ п | _ г -|

ак ~<7к 1.^=0-^/Н2!' ••■> гп\-

Непосредственно из определения многочлена ак ясно, что

д

дг

п п\ I ■°к =°к-1'

д

д.

стГ = 1.

Тогда матрица Якоби

д(ап_],...,а0)

{ \ да;

удг:и

-1

выглядит так:

су 1

и\1

о",

_п\к

< \\П п\\

.(-О

I л\П п\к

а

1

п\п

( 1\п п\п (-1) СТ„_и

П1.3. Как доказано в гл. 2 (предложение 2.2.5), якобиан, отличающийся от выписанного перестановками и строк, и столбцов (и, таким образом, совпадающий с ним) равен такому произведению:

Э(а0

= (-0

[(«+1)/2]

П (*/-*,-)•

I </</'<«

Как естественное следствие можно отметить, что квадрат якобиана равен дискриминанту самого многочлена:

2

д(а0,..., ап_\)

П1.4. Непосредственно проверяется, что матрица ./ ' обратной зависимости коэффшщенты —> корни оказывается матрицей Вандермонда с диагональным 'знаменателем', а именно .У-1 =

О (г2-г])..(г2-гп)

О

О

О

о

4-1

г

/И

1

7 V2«

^ Ь

Это свойство указано автору В. А. Чуркиным.

Приложение 2. Координатизация корней многочленов

малых степеней

Координатизация корней многочленов малых степеней

Здесь осуществляется координатизация корней многочленов малых степеней с действительными коэффициентами, т.е. строится непрерывное взаимно однозначное соответствие между корневыми тройками таких многочленов и точками пространства Г**, т.е. строится кусочно-линейный гомеоморфизм метрического пространства корней и пространства декартовых координат. Уже для многочленов 4-й степени такая координатизация корней становится невозможна (из-за двулистности, рассмотренной в разд. 3.6) и требует более сложной конструкции корневого симплекса, а не гомеоморфизма).

П2.1. Очевидно, для приведённого линейного двучлена (з) = 5 + а0 декартова координата корня совпадает с ним самим: 5 = -<я0. Для приведённого

■у

квадратного трёхчлена /7(5) = 5" + щя + а0 в примере 3.1.2 использованы декартовы координаты на плоскости, где по оси абсцисс огсчитывается корневое среднее -я, /2, а по оси ординат - корневое отклонение: величина ±л/рС>|,

причём знак «плюс» берётся, если О > О, «минус» - если О < 0 . Непрерывное изменение коэффициентов многочлена сопровождается непрерывным изменением координат: абсциссы х = (гх + г2)/2 и ординаты у = ±-г2\/2.

'у

Многочлен 3-й степени /3(5) = я"5 + <я25" + + ао требует рассмотрения двух типов корневых наборов:

(1) когда все три корня действительны х, < х2 < х3,

(2) когда один действительный корень сочетается с комплексно сопряжённой парой.

П2.2. Второй случай естественно располагается в правом полупространстве 0ХУ2 (при условии у > 0): г\7 = х ± />; = г. При у = 0 это переходит в кратную действительную пару 71.2 = * , которая вместе с третьим корнем г3 = г располагается в плоскости 0X2. Трёхкратным корням соответствует прямая, задаваемая уравнением х = г в этой плоскости.

Если перейти к координатам х* = '/2 (х + г), г* = У2 (х - г), у* = у, получим расположение трёхкратных корней на оси ОХ*, причём точка на оси «абсцисс со звёздочкой» задаёт трёхкратный корень х* = 2-1.2.3 •

Верхний квадрант ОХ*У*2* (у*, г* > 0) отвечает случаю Яе г^г > 23, нижний (у*> 0, г* < 0) - случаю 11е 2К2 < г3.

П2.3. Корни выражаются через новые координаты так: 2[ 2 = + 2* ± ¡у*; г3 = х* -2*.

В первом случае тройки действительных корней будут располагаться в левом полупространстве (при условии у < 0). Соответствия координат и их непрерывного перехода через разграничительную плоскость у = 0 можно добиться, например, следующим образом. Рассмотрим для тройки корней 2, < 22 < 23 тройку чисел х\ = 22; х2 = 22 -23; х3 = г, -2?. В координатах ОХ\Х2Х3 сектору г, <г2< 23 будет соответствовать квадрант х2.3 < 0; трёхкратным корням соответствует ось ОХ^\ полуплоскость х2 - 0 & х3 < 0 содержит пары кратных корней при меньшем третьем: г\ < г2 - 23; полуплоскость х? < 0 & х3 = 0 - соответственно, КОрНИ 2| = г2 < 23. Положим

х* = х,;

у* = тах{х2; х3}; 2* = х2-х3;

тогда координаты х* и г* принимают всевозможные значения; у* < 0; и, таким образом, в координатах ОХ* У*2* первому случаю соответствует левое полупространство. Трёхкратным корням соответствует ось ОХ*, причём здесь х* = 2)2.3;' полуплоскость у* = 0 & 2* < 0 отвечает неравенству г\ = г2 < 23, при этом х* = 2|.2, х* - г* = 23; полуплоскость ^* = 0&2*>0- соответственно, 2, < 22 = 23 ; при этом также координата х* задаёт значение кратной пары 22,3, а однократный корень г\ выражается как х* - 2*. Таким образом, плоскость ОХ*2* (у* = 0) задаёт одни и те же соотношения между корнями и координатами для правого и левого полупространств.

Точке (х*;у*; г*) в левом полупространстве будет соответствовать тройка корней:

П2.4. Следует отметить, что полученная координатизация сектора 2, < г2 < заведомо негладкая; это вполне преодолимо разворачиванием сектора, имеющего при оси 2\-г2 = гл угол 60°, до полупространства с помощью умножения угла в цилиндрических координатах; «платой» за гладкость будет появление тригонометрических функций вместо арифметических выражений, предложенных выше.

= х\ + = л-* + л"з; г2 = х* ;

= Х\ — х2 = х* — х2,

ч

1

Приложение 3. Двухэкстремальная оптимизация САУ 4-го порядка.

ч

Двухэкстремальная оптимизация САУ 4-го порядка.

П3.1. В [61] сформулирована гипотеза о единственности решения задачи оптимизации расположения полюсов САУ пониженного порядка, точнее, об одноэкстремальности целевой функции в естественно возникающих ситуациях объект-регулятор (и в этом смысле отличных от остроумной конструкции E.H. Грязииой [38], упоминавшейся в разд. 2.8).

Здесь указывается контрпример в виде САУ с объектом 3-го порядка -минимального, который позволяет рассматривать ПИД-регулятор как управление пониженного порядка. Тем самым, многоэкстремальность оказывается характерным свойством синтеза оптимальных систем, присущим даже самым простым и естественным примерам. Кроме того, здесь иллюстрируются те же принципиальные особенности рельефа целевой функции и процесса её минимизации, что и в примерах гл. 4.

П3.2. Пусть объекту соответствует передаточная функция

w = J-°-25

° 02-s + l)0 + l) ' которая имеет комплексную пару полюсов и ноль в правой полуплоскости; как известно, в этом случае не гарантирована стабилизация системы регулятором неполного порядка [66]. Передаточная функция ПИД-регулятора такая же, как в п. 4.1.2 :

w ^b2-s2 + brs + b0

с s

Характеристический многочлен САУ оказывается таким:

/40) = / +b2s3 +(b{ -0,25^2)s2 +(1 + 60 - 0,256, )s -0,25b0.

ПЗ.З. Старший коэффициент b2 - -(z, + z2 + z3 +z4) задаёт центр корневого множества, поэтому его значения фиксировались, и для каждого из них рассматривались свойства трёх стандартных градуировок F,G и Н (п. 2.6.6).

Хотя картина линий уровня трёх функций последовательно усложняется, самой сложной в этом отношении оказалась именно функция G(b): при любом фиксированном значении 2<Ь2<3 у неё наряду с глобальным миниму-

мом создаётся также локальный минимум. Например, при Ь2 = 2,7 эти минимумы таковы:

С(—0,1015; 2,2377; 2,7) = -0,2287 и С(-5,5616; 5,7898; 2,7) = 0,4195.

Существенно, что рельеф в окрестности обоих экстремумов У-образный, т.е. частные производные в точке минимума обращаются в оо. Следует подчеркнуть, что часть плоскости параметров ОЬф-у, пошаговая минимизация из которой приведёт именно в локальный минимум, довольно значительна.

П3.4. Возникающая при Ь2=2,1 карга корневых зон многочлена /4($) указана на рис. П.1; абсцисса соответствует значению интегрального параметра регулятора Ь0, а ордината - значению пропорционального параметра Ь{. Тёмно-серым выделена зона А2 тех значений параметров, для которых многочлен имеет две комплексно сопряжённые пары корней; светло-серым - зона А0 с четырьмя действительными корнями; незакрашенной оставлена зона А1 с одной действительной и одной комплексной парами (корневые зоны в пространстве параметров в общем случае рассматриваются в п. 4.2.2 и далее). Обращает на себя внимание несвязность зоны А0, которая включает в себя ещё и окрестность точки (0; 2.5) - что вполне естественно для сечения всего объёма значений коэффициентов многочлена /4(5) трёхмерной гиперплоскостью а(Ь) :

'V с - 0.2560 л

<я| + ¿0-0.256,

а2 б, - 0.25Ь2

у v ь2

и, тем более, двумерной плоскостью, возникающей при фиксированном значении Ь2 = 2.7.

П3.5. Линии уровня градуировки С(Ь) на рис. П1 проведены от значения 0,4 (на внутренней линии справа) до значения 0,6 (на самой внешней) с шагом 0,04. Ясно различаются две экстремальные зоны, каждая из которых содержит точку минимума: правая - глобального, левая - локального.

Рис. П1. Корневые зоны для характеристического многочлена при фиксированном дифференцирующем параметре Ь2 - 2.7 (по оси абсцисс откладывается интегральный параметр, по оси ординат - пропорциональный). Линии уровня градуировки G проведены от 0.4 до 0.6 с шагом 0.04.

Как показывает более подробная «карта» правой зоны, принципиальной разницы между ними нет: та её часть, где значения близки к минимальным, также оказывается длинным клином, вытянутым вдоль границы зон (рис. П2).

Глобальный минимум G(-0.102; 2.238; 2.7) = -0.229 находится в точке, накрытой слившейся в «штрих» парой горизонталей.

П3.6. То же самое относится и к трапециевидной градуировке Hi(b) = max(F(b),G(b)~ 1), которая в пределе при I —> 0, очевидно, переходит в G(b) и при малых / заведомо сохраняет возможность двухэкстремальности. В частности, при Ь-> = 2.3 и / = 0.1 получается карта корневых зон, представленная на рис. П.З. Тёмная сетка линий уровней проведена с шагом 0.05 от значения 0.65 на самой внешней до 0.05 на самой внутренней, охватывающей точку глобального минимума.

Рис. П2. Область глобального экстремума с линиями уровня от -0.2 до 0.3 с шагом 0.05. Линии уровней -0.15. -0.2 на рисунке сливаются в «штрих», включающий саму точку минимума С « -0.229 при Ь0 0.102; Ь\ «2.238.

На рис. П.З в зоне между тёмными линиями уровней 0.4 и 0.45 проведены четыре светлые линии уровней 0.41-0.44. Первая из них распадается на две замкнутые петли, левая из которых охватывает локальный минимум С % 0.405 в окрестности точки Ь0 ~ -4.62; « 4.89 (более точное указание координат не имеет смысла, т.к. здесь рельеф дна почти горизонтальный, и в рамках заданной точности минимальное значение достигается на целой области). Правая петля охватывает глобальный минимум С ~ -0.278 в окрестности точки

Ь0 «- 0.129; » 2.030.

П3.7. Как и в П.3.4, необходимо отметить схожую особенность оптимизационного процесса: если начальная точка будет выбрана в левом нижнем углу (точнее, соответствующей ему полуплоскости), пошаговое уменьшение градуировки приведёт именно в локальный экстремум.

Таким образом, градиентный спуск, в зависимости от выбора начальных

координат, происходит либо в глобальный минимум (Ьи ~ -0.806, Ь\ ~ 1.548),

либо в локальный (Ь0 ~ 18.486, Ь\ ~ -17.138). Однако существует точка

(Ь0 ~ -4, Ь\~ 5 на рис. ПЗ), в которой скат градиента останавливается-седловая, причем по координате Ь\ частная производная терпит разрыв и при отклонении в любом направлении функция С растет. Направление дна оврага близко к направлению оси абсцисс и в обе стороны дает скат к одному из минимумов.

Рис. ПЗ. Характеристические корневые зоны градуировки //0.1 при Ь2 = 2.3. Тёмные линии уровня, проведенные от 0.05 до 0.65 с шагом 0.05. сходятся к области глобального минимума. Светлые линии уровней 0.41-0.44 выделяют область локального минимума.

П3.8. Как отмечалось в гл. 4, особенностью градиентного спуска является беспрепятственное скатывание по траекториям излома линий уровня 1-го рода и стабилизация спуска при достижении точек излома 2-го рода либо при переходе точки 1-го рода в точку 2-го рода (когда угол между односторонними касательными к графику стремится к нулю).

При более детальном исследовании рельефа в точках минимума оказывается, что в глобальном минимуме, и в локальном минимуме производное отображение терпит разрыв разрыв 2-го рода.

1.6

1.45

1.3

1.2

1.5

1.8

Рис. П.4. Сечение рельефа конической функции в окрестности глобального минимума для системы с ПИД-регулятором при Ь2 = 1 и фиксированном Ь0 = -2.806 . Координаты точки минимума Ь\ ~ 1.548, (7 ~ 1.376.

Как показывает рассмотренный пример, задача оптимального размещения полюсов для такого объекта решается посредством минимизации Я-градуировок, проявляя при этом все характерные сложности задач более высокого порядка, отмеченные в гл. 4: многоэкстремальности овражного рельефа с «тесно сомкнутыми стенками», что обусловлено разрывами 2-го рода производного отображения.

Приложение 4. Устойчивость производной устойчивого многочлена

Устойчивость производной устойчивого многочлена

В приложении приводится элементарное доказательство свойства взаимного расположения корней многочленов и их производных. Ввиду того, что этот результат К.Ф. Гаусса, сравнительно мало известный и доказанный им с привлечением достаточно сложных геометрических и механических соображений, приобретает важную роль в главе 4 и позволяет решить проблему овражной оптимизации при неограниченном субдифференциале, здесь даётся его простое доказательство.

П4.1. Теорема К.Ф. Гаусса гласит, что выпуклая оболочка корней производной данного многочлена на комплексной плоскости содержится в выпуклой оболочке корней самого многочлена [130].

Это свойство было использовано в [6] при синтезе регуляторов пониженного порядка для линейных систем АУ, когда дифференцирование характеристического многочлена доводилось до первой устойчивой производной, а затем осуществлялось повышение его степени посредством интегрирования с таким выбором свободного члена, который сохранял бы устойчивость.

П4.2. Фактически в [6] использовалось только следствие теоремы Гаусса, утверждающее, что производная гурвицева полинома есть гурвицев полином. В [8] было дано короткое доказательство предложения, более слабого, чем теорема Гаусса, но достаточного для установления этого следствия и свободного от геометрических и механических рассуждений. Использованный там приём нетрудно использовать для доказательства теоремы Г1. 4.1 в полном объёме.

Лемма. Пусть fn(s) - комплексный многочлен, z],...,zn - его корни. Тогда любой корень z0 его производной удовлетворяет условиям:

min Re Z/< Re z0< max Re zt; min Im zt< Im z0< max Im Z/.

\<!<n l</</7 \<!<n \<!<n

Доказательство. Рассмотрим логарифмическую производную многочлена /О): ~:\n f(s) = +...+ .

<-'- - -I - -а

Поскольку действительные части комплексной величины и обратной к ней совпадают по знаку, при Re z > maxRe zt получается

/7

/7

Ле —> 0 .

Аналогично при Яе г<шш Яе 2/ получим < 0. Следовательно, все

нули и все полюсы ло! арифмической производной сосредоточены в полосе

г = производной /'(-О является либо корнем логарифмической производной, либо сс простым полюсом (если г0 = 2к - кратный корень многочлена

Повторяя это рассуждение для мнимых соствляющих (учитывая, что мнимые части комплексной величины и обратной к ней противоположны по знаку), получаем и вюрое неравенство леммы.

П4.3. Доказательство теоремы П4.1. Прежде всего, заметим, что любой выпуклый многоугольник на плоскости может бьнь получен как пересечение конечного числа полуплоскостей. Поэюму нужно ус1анови1ь, что если корни многочлена расположены на полуплоскости Р(а,а), задаваемой неравенством

для некоторых значений а, а, юна ней же находя 1ся и корни производной

Но если корни гк-хк+1ук удовлепюряют соошошению, задающему полуплоскость Р(а,а), то числа ^к=гке~'а находятся на полуплоскости Р(0,а), задаваемой неравенством х > а Поскольку - корни много-

члена /„(л), числа £А ока^ывакмся корнями многочлена gn(s) -/п(е'аб) .

Корни е1 о производной = е'а/'п(е'аб) по лемме П 4 2 находят-

ся на полуплоскости Р(0,а). А поскольку они получаются умножением

^к=г:ке~'а из корней производной многочлена //1(^), то числа

,...должны находиться на полуплоскости Р(а,а)

П4.4. Замечание. Утверждение предложения не удаётся усилить, воспроизводя в комплексной плоское ж известную в классическом анализе теорему Ролля. Например, многочлен

{г|шт Ле^/ <Яег<тах Яег/}. Но поскольку -^Лп /(б) =

/'(О

уг—-, то корень

хсо$а + ^эта > а

/5(.у) =(г - 0,4)(г2 + \){г2 + 2г + 2) = г5 + \,6г4 + 2,2г3 + 0,8г2 + 1,2г - 0,8

1 4 л ^

имеет производную /'(г) = 5г +6,4г'3 +6,6г~ + 1,6г + 1,2, корни которой г, 2 ~-0,6233±0,8132/ и 4 % -0,0167 ± 0,4778/ не попадают в полосу {г\0 < Яег < 0,4} задаваемую корнями г = ±/ и г - 0,4 самого многочлена

т.