Геометрия многообразия направлений физического пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Владимирович

• Иванов, Денис Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Владимирович

введение.

глава 1. модель многообразия направлений физического пространства во внешней алгебре.

1.1. Топологическая структура.

1.1.1. Многообразие направлений физического пространства.

1.1.2. Модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского (в шаре).

-1.1.3. Функции пространственной и временной ориентации тетрад Минковского.

1.1.4. Преобразования Лоренца. Тетрады Минковского. 22 1.1.5.Топологическая структура многообразия направлений физического пространства.

1.2. Некоторые сведения из внешней алгебры.

1.2.1. Евклидова структура на внешней алгебре над четырехмерным пространством Минковского.

1.2.2. Псевдоевклидово скалярное произведение на внешней алгебре.•.

1.2.3. Оператор Ходжа в пространстве бивекторов

1.2.4. Специальное представление бивектора.

1.2.5. Комплексная структура в пространстве бивекторов.

1.3. Геометрия вложения многообразия G1 в пространство бивекторов.

1.3.1. Модель многообразия G1 в пространстве бивекторов.

1.3.2. Специальное представление пары (W,X)е TG}

1.3.3. Геодезические кривые в &.

1.3.4. Комплексная структура на G1.

глава 2. внутреняя и внешняя геометрия многообразия G1.

2.1. Преобразование кривизны и вторая основная форма.

2.1.1. Вторая основная форма вложения многообразия

G'CA2.

2.1.2. Секционная кривизна многообразия G

2.1.3. Преобразование кривизны.

2-1.4. Кривизна Риччи многообразия

2.2. Симметрическая структура.

2.2.1. G как симметрическое пространство.

2.2.2. Примеры трансвекций и их связь с преобразованием Лоренца.,.

2.3. Поля Якоби в &

2.3.1. Явное представление полей Якоби.

2.3.2. Сопряженные и фокальные точки многообразия . .;.

глава 3. вполне геодезические подмногообразия многообразия g

3.1. Двумерные вполне геодезические подмногообразия.

3.1.1. Необходимое условие вполне геодезично.сти.

3.1.2. Сечение многообразия G1 линейными подпространствами.

3.1.3. Классификация простых площадок.

3.1.4. Вполне геодезические сфера, плоскость, однополостный и двуполостный гиперболоиды. 65;

3.1.5. Плоский вполне геодезический цилиндр.

3.1.6. Кривизна вполне геодезических подмногообразий.

3.1.7. Классификационная теорема.,.

3.1.8. Вполне геодезические подмногообразия в модели Кэли. . . .-.

3.2. Трехмерные вполне геодезические подмногообразия.

3-2.1. Ортогональное дополнение гиперплоскости.

3.2.2. Теорема об отсутствии трехмерных вполне геодезических подмногообразий.

3.3. О полноте многообразия &

3.3.1. Факт из геометрии Лобачевского.

3-3.2-. О полноте многообразия предметный указатель . . . . . литератора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия многообразия направлений физического пространства»

Математической моделью пространства-времени в специальной теории относительности служит . четырехмерное псевдоевклидово пространство Минковского М с сигнатурой (+»-,-,-)• Каждая точка х&М физически интерпретируется как событие - нечто произошедшее "здесь и сейчас". Времениподобная кривая х : x(tj , (х'(0)2 = const > 0 моделирует движение частицы в трехмерном "физическом пространстве"(см.например, [11])• Если изучать релятивистскую кинематику на фиксированной прямой этого пространства, то множество соответствующих событий в пространстве Минковского помещается в двумерной плоскости, содержащей некоторое времениподобное направление е, е2>0. Ясно, что параллельным прямым'физического пространства соответствуют параллельные плоскости пространства М . Поэтому система одинаково направленных прямых физического пространства (направлений) может быть задана двумерной ориентированной времени-подобной плоскостью, проходящей через начало четырехмерного пространства Минковского (см. [13] ) .

В фундаментальной работе Р.И. Пименова [19], 1968 г., посвященной аксиоматике наиболее общих пространственно-временных структур, приведен словарь, дающий различным понятиям релятивистской кинематики их математическую модель в рамках пространства М . Следуя Г. Минковскому [16], направление физического пространства моделируется как двумерная ориентированная времениподобная плоскость пространства М, в [19] рассмотрен ряд вопросов, связанных с этим объектом.

Таким образом, совокупность G1 направлений физического пространства можно рассматривать как подмножество грассманиана G^ 4, состоящее из плоскостей, задевающих временной конус Кт ={хеМ|х2 >0} . Каждому единичному вре-мениподобному вектору f0, /02=1 сопоставляется геодезическая модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре

D^{xgKt\<x,/0>=1} см. [11]). Каждой плоскости TgGx взаимно однозначно соответствует хорда £^=ИглТ, направленная в соответствии с ориентацией Т (см. [13]) .

Тем самым множество G1 приобретает структуру гладкого многообразия, диффеоморфного многообразию

S2 xSz\diag(S2xS2) .

Скалярное произведение - в псевдоевклидовом пространстве М стандартным образом распространяется на всю внешнюю алгебру А(М) . При этом подпространство бивекторов А2(М)аА(М) приобретает структуру шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (+,+,+,-,-,—) • В каждой плоскости TgG1 выберем положительно ориентированный ор-тонормированный базис е^ = = 1 , <е0,е1>=0 м сопоставим ему простой бивектор е0 г\ех - e0l = we Аг(М0) который не зависит от способа выбора базиса {е0,е,}. Этим описано каноническое плюккерово вложение P:Gl->Az(M). Отождествим многообразие G1 с P(GA) с AZ(M) - Это подмногообразие является однородным пространством группы Лоренца L(M) , естественно действующей изометриями на всей внешней алгебре А(М). Псевдориманова метрика на G1 , индуцированная плюк-керовым вложением, имеет сигнатуру (+,+,-,-) (подробнее см. [13]). В этой работе, в частности, полностью описаны геодезические многообразия G1 . В [36] построено "гауссово" отображение произвольной времениподобной кривой пространства Минковского в б многообразие G1 . Для мировых линий, описывающих периодическое движение частицы по замкнутому контуру, сформулировано и доказано неравенство, которое можно рассматривать в качестве аналога неравенства Фенхеля для поворота по замкнутой кривой в Л3.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изучению геометрии многообразия G1 . Основным результатом работы автор считает предложенную классификацию двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразий G1

Кроме того, в работе доказано отсутствие в G1 трехмерных вполне геодезических подмногообразий, что вместе с работой [13] завершает классификацию всех вполне . геодезических подмногообразий многообразия направлений физического пространства G1 . .

Элементы пространства бивекторов А2(М) могут быть интерпретированы как постоянные электромагнитные поля (см. [7], [29-32] , [39]) . Это пространство наделено естественной структурой трехмерного комплексного пространства, в котором задано некоторое комплексно значимое "скалярное произведение". В этих терминах подмногообразие G1 <z AZ(M) можно рассматривать как единичную сферу в пространстве бивекторов. В силу сказанного автор полагает, что изучение . геометрии многообразия G1 представляет определенный интерес для релятивистской физики.

Далее опишем вкратце содержание трех глав диссертации. В первой главе приведен ряд основных определений и фактов из теории псевдоевклидова пространства Л2(М) . Описаны комплексные структуры в пространстве бивекторов Л2(М) и на многообразии G'c:A2(M).

Определение: Базис {е0,е^,е2,е3} пространства Минков-ского М = R*з, для которого е\ = —е\ = —е\ = -е* = 1 > < >= О для у, называется тетрадой Минковского.

Тетрада Минковского называется допустимой, если она имеет положительную пространственную и временную ориентации. л *

Каждой тетраде Минковского е0,е^,е2,е3 соответствует ортонормированный базис ie0\ » е02 » ®03 » е\2 » » ®23 } пространства бивекторов Л2(М0) . Из утверждения 1.2.1 следует, что вектора епопарно ортогональны и

-2 2 2 2 2 2

Определение: Билинейное отображение

L : Ар(М0)х Ag(M0) —> Apq(M0) , р> q >0 называется операцией внутреннего умножения, если для любых we Ар(М0), r6A?(¥0),?>eAM(M0) справедливо w Lr f ТЛ(р>.

Зафиксируем временную ориентацию четырехмерного пространства Минковского. В одномерном пространстве

Л4(Л/"0) выберем один из двух возможных единичных 4-векторов Е, Е2 = — 1. При фиксированной временной ориентации ^ этот выбор эквивалентен выбору пространственной ориентации. Рассмотрим какую-нибудь тетраду Минковского е = {е0,ех,ег,е3), для которой х^г(ео) = ^(е) = 1. Тогда

Е — е0 а ех ле2ле3,

Определение: Линейный оператор *:Л2(Л/0)->Лг(Л/0), называется оператором Ходжа. .

Определение: Конусом простых бивекторов назовем множество Kz ;= {we Л2(Л/0): w = ел/} .

Для любых w>w€A2(M0) выполняются равенства:

• (*w,*w) = -(w, w) f (*w,w)= (w,*w) f

• **w = -wr

• we K2 <=> (*w,w) = (w,*w) = 0

Теорема 1.3.1: Подмногообразие Gl пространства Л-2(№оУ можно задать системой из двух уравнений w,w>=-l, <w,*w>=0.

Изучение геометрии многообразия G1 во многом опирается на специальное представление элемента .касательного расслоения TGl : ч

Теорема 1.3.2:

1. Если для пары (yv,X)e TG\ выполнено условие^ & KQ r\K2 ( К0 := {X е Л2 :< Х,Х >- 0} - конус световых бивекторов), то найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и числа что w=e01f X = a0e02 + a,e3l;

2. Если для пары (w,X)e TGU. выполнено услото найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и число А. е R, A*0f что yv = eoi, X = Л(е0±е,)/\е3 .

Теорема 1.3.3: Пусть w = e0l , Х = а0- е02 + ах - e3l е T^G1 , тогда справедлива формула где (ео(0>е1(0>е2(0>ез(0) является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: eQ(t) = e0ch{a^t)+e3sh(a,t) , е,(/) = е, cos(o:00 + е2 sin(ar0r) , ег(?) = -ех sin(a0/) + ег cos(a0t) f е3(t) = e0sh(a{t) + e3ch{axt) .

Теорема. 1.3.4: Пусть w = eo\, X = Л(е0±ех)ле3, X^R t Л*0, тогда w(t) = exp„(tX)=w+tX = e0(t)/\ex(t) , является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: ео (О = (1+ ± Ц-+ , е, (t)=+~-e0 + (1 - Ц-)ех + ,

2(0= «а, в3(0 = ТЛ/е0-Ле,+е3. ■

В пространстве бивекторов А.2(М0) рассмотрим операцию умножения на комплексное число zX=Rqz-X + lmz(*X).

Пространство Л2(М0) с операцией комплексного умножения является трехмерным комплексным векторным пространством. Обозначим его С3(М0). Всякое преобразование Лоренца пространства Минковского индуцирует изоморфизм комплексного векторного пространства С3(М0) .

Утверждение 1.2.6: Для билинейной квадратичной формы A(X,Y)=<X,Y >+/<X,*Y > справедливо:

1. A(X,Y) = A(Y,X)

2. A(X,Y + Z) = A(X,Y) + A(X,Z)

3. A(X,zY)=zA(X,Y)

4. A(X,Y) - Лоренц-Инвариантна.

Комплексно линейные преобразования пространства С3(М0), сохраняющие форму A(X,F), называют, по аналогии с вещественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С) (ее не следует смешивать с U{3) ) . Итак, введение комплексной структуры в пространстве Аг(М0) определяет гомоморфизм группы Лоренца А в 0(3,С).

Определение; комплексным скалярным квадратом бивектора назовем комплексное число

Утверждение 1.2.7: Справедливы эквивалентности:

1. Х^Кг (простой) <=> Im//(X) = 0 ;

2. ХеК0 (изотропный) <=> Re//(w) = 0 ;

3. X&К0Г\Кг<=> //(-$') = 0 .

Пусть {е0,ех,е2,е3} - допустимая " тетрада Минковского, тогда бивекторы em,e0Z,e01 образуют базис комплексного пространства С3(А/0) . Из- свойств квадратичной формы A(X,Y) следует

Утверждение 1.2.8: Комплексный квадрат бивектора X - zxeol+zzeoz + z3e03 равен

Аналогично тому, как скалярный квадрат вектора определяет класс векторов, которые можно перевести друг в друга при помощи пространственного движения (изометрии), комплексный скалярный квадрат бивектора определяет класс бивекторов, совместимых друг с другом при помощи преобразования Лоренца. Более точно этот факт сформулирован в теореме 1.2.9.

Теорема 1.2.9: Пусть для бивекторов J,7eA2(M0) fi{X) = fi(Y) * О, тогда найдется такое изохронное преобразование Лоренца L, что L(X) = Y .

Благодоря свойству Лоренц-инвариантности, в релятивистской физике Re/j(X) и Iт/ДХ) получили название "инварианты электромагнитных полей"(см. [7,31]) .

Согласно теореме 1.3.1, многообразие G1 может быть задано системой уравнений w,w>--\l < w, *w >= 0 , или, что тоже самое, в комплексной форме fl{w) = -1.

В комплексном базисе {еорео2>еоз} уравнение примет вид z\ + Zj + z\ = 1 f где 2\ - координата при „бивекторе eoi . А в силу аналитичности и невырожденности этого уравнения, множество

G1 = {w = + z2e02 + z2em€ С3 (М0 ) : z\ + z\ + z] = 1} является комплексно аналитическим многообразием. Касательное к G1 пространство можно канонически отождествить с двумерным векторным комплексным подпространством пространства .

Используя комплексную структуру & , можно переформулировать теоремы 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4.' Также в параграфе

1.3, выведена формула для разложения геодезической ехР<01 ^ в ряд Тейлора, независимо от типа вектора X .

Вторая глава посвящена вопросам внешней и внутренней геометрии вложения G1 сЛ2. в ней найдены: явная формула для второй основной формы вложения, преобразование и тензор кривизны, секционная кривизна и кривизна Риччи.

Доказана симметрическая структура многообразия Gx , приведены примеры трансвекций и их связь с преобразованием Лоренца исходного пространства Минковского. Найдены явные представления для полей Якоби вдоль произвольной геодезической. А также, классифицированы фокальные и сопряженные точки вдоль любой геодезической.

Основным результатом работы по мнению автора является классификация двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразия & . Это и является содержанием последней третьей главы. Найдено пять типов вполне геодезических подмногообразий, причем многообразия разных типов неизометричны, а одного типа - Лоренц-совместимы. Доказано, что любое двумерное геодезически полное связное вполне геодезическое подмногообразие многообразия G1 Лоренц-совместимо с многообразием одного из пяти типов. Для всех пяти типов подмногообразий найдено их наглядное представление в модели Кэли-Клейна. Напомним, что каждая точка многообразия & в шаре% D1 моделируется направленной хордой. В теореме 3.1.14 перечислены все пять типов вполне геодезических поверхностей в G1 : .

1. Множество направленных хорд шара D3 , проходящих через его центр;

2. Множество направленных хорд шара D2 t параллельных фиксированной прямой;

3. ' Множество направленных хорд шара, один из концов которых совпадает с фиксированной точкой на границе шара D* .

4. Множество направленных хорд шара, лежащих в некоторой фиксированной плоскости;

5. Множество направленных хорд шара ортогонально пересекающих некоторый фиксированный диаметр.

Все пять типов поверхностей являются сечениями многообразия G1 линейными подпространствами из Л2(М0). В 3 и

4 случае с трехмерным линейным пространством Л2

13 в 1, 2 и 3 случае с *Л2(е'1) . А в пятом случае с четырехмерным пространством Lin(w,*w)L, где weG1 .

Таким образом, многообразия 1-4 типа однозначно оп^ ределяются выбором прямой пространства Минковского, содержащей вектор sgM0f а многообразие пятого типа - выбором времениподобной плоскости.

В параграфе 3.2 доказывается отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий многообразия G1 .

Многообразие G1 является псевдоримановым многообразием, поэтому (в отличие от риманова случая) приходится различать различные виды полноты многообразия. Так, в геодезически полном многообразии G1 есть точки, которые нельзя соединить геодезической. Подробнее этот факт описывает утверждение 3.3^3, последнего параграфа данной работы.

Для облегчения работы с материалом автором использована тройная нумерация разделов. При этом первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -номер подраздела. Ссылки на литературу даны в квадратных скобках. Библиографический список литературы, а также предметный указатель приведены в конце работы. Логическое окончание каждого фрагмента (доказательства, примера и т.д.) обозначается знаком «И». В круглых скобках даны номера формул. Названия подразделов, утверждения, леммы, теоремы и т.д. выделяются жирным курсивом. В названиях глав и параграфов используются прописные и малые ' прописные буквы. Нумерация формул также тройная, где первые две цифры означают номер параграфа, а последняя - порядковый номер формулы в этом параграфе.

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю, Козлову Сергею

Емельяновичу, замечания и пожелания которого, несомненно, способствовали улучшению рукописи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Владимирович, 2001 год

1. Бишоп Р., Криттвндвр Р., Геометрия многообразий. М. : Мир, 1961.

2. Борисенко А. А, Николаевский Ю.Н., Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий. Успехи мат. Наук 46, No. 2 (1991) .

3. Бураго Ю.Д. , Залгаллер В. A. , Введение в римано — ву геометрию Наука, СПб. (1994).

4. Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны. М. : Наука, 1982.

5. Глушаков А.Н., Два вопроса внешней алгебры плюккеровых вложений многообразия Грассмана. Зап. научи. семин. ПОМИ №246 (1997), с 5-12.

6. Делоне Б.Н.'*, Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского. М. :. ИАН СССР, 1953 г. 126с.

7. Дубровин Б.А. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. : Наука, 1979 г. 760 с.

8. Иванов Д. В., Вполне геодезические подмножества многообразия направлений физического пространства. -Зап. научн. семин. ПОМИ 279 (2001),141-153.

9. Козлов С.Е., Геометрия вещественных грассмано-вых многообразий, части I, II• Зап. научн. сегиин. ПОМИ №246 (1997).

10. Козлов С.Е., Геометрия вещественных грассмано-вых многообразий, часть III. -Зап. научн. семин. ПОМИ №246 (1997), с 84-107.

11. Козлов С.Е., Математические основы специальной теории относительности и пространство Лобачевского. СпбГУ. 1995.

12. Козлов С.Е., Ортогонально совместимые бивекторы. -Укр. Геометр. Сб. Вып. 27. 68-75 с.

13. Козлов С.Е. , Топология и лоренц-инвариантная псевдоевклидова метрика многообразия направлений в физическом пространстве. -Зап. Научн. Семин. ПОМИ 246 (1997) , с 141-151.

14. Коксер Г.С.М. , Введение в геометрию. М. : Наука, 1966 г. 642с.

15. Кострихин А.Н., Манин Ю.А. , Линейная алгебра и геометрия. Изд. МГУ, 1980г.

16. Минковсхии Г., Пространство-время. Физика, СПб (1991) .

17. Осипов В.Ф., Структура пространства-времени: векторная алгебра и анализ, части I и II. Изд. СПбГУ, 1995.

18. Пенроуз Р, Риндлэр В., Спиноры и пространство-время. Часть I. М. : Мир, 1987 г. 528 с.

19. Пименов Р.И., Пространства кинематического типа (математическая теория пространства времени). Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 6 (1968), 496 с.

20. Постников М.М. , Риманова гео'мерия. М. : Факториал, 1998.

21. Стренберг С., Лекции по дифференциальной геометрии. М. : Мир, 1970.

22. Федэрегр Г., Геометрическая теория меры. М. : Наука, 1987.

23. Хелгассон С. , Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.

24. Cazrtan Е. , Oeuvres completes. 1. Paris, 1952.

25. Filliman P., Exterior algebra and projections of polytopes. Discrete Comput Geom. 5 (1990), 305-322 с.

26. Letcbxxwaias К. , Zur Riemannschen Geometric in Grassmanschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 76, No. 4 (1961) , 334-366 c.

27. Wong Y. —C. , Differential geometry of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA 57, No. 3 (1967).

28. Wong Y.-C., Sectional curvatures of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA 60, No. 1 (1968).

29. Атъя М.Ф. , Хитчен H. , Геометрия и динамика магнитных монополей. М. : Мир, (1991), 146 с.

30. Атья И. И др., Международный конгресс математиков, (Беркли 1986 г). М. : Мир, (1991), 454 с.

31. Лгшдау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, Т.2. Теория поля, изд. 4-е испр. И доп. М. : Наука (1973).

32. Тоянела М.А. , Основы электромагнетизма и теории относительности. М. : Изд. иностр. лит. (1962).

33. Mamm Ю.И. , Калибровочные поля и комплексная геометрия. М. : Наука (1984), 336 с.

34. Пеяроуз Р., Структура пространств а-времени, под ред. Акад. Я.Б. Зельдовича и И. Д. Новикова. М. : Мир,1972).

35. Синх» Дх.Л., Общая теория относительности. М. : Иностр. лит. (1963).

36. Козлов С.Е. , Поворот одномерного направления в физическом пространстве для периодической частицы. -Зап. научн. семин. П0Ш1 №252 (1998).

37. Иваяов Д. В., Козлов С.Е. , Классификация вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. -Зап. научн. семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

38. Иваяов Д.В. , Отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. Зап. научи, семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

39. Борисова. Я.В. , Рабунекий Д.Д. , Теория негеодезического движения частиц. М. : Мастерская им. М. В. Ломоносова (1999), 416 с.