Адаптивные эволюционные алгоритмы решения сложных задач оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Ворожейкин, Антон Юрьевич

• Ворожейкин, Антон Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ворожейкин, Антон Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Разработка и исследование вероятностного генетического 9 алгоритма для решения задач однокритериальной оптимизации

1.1 Стандартный генетический алгоритм

1.2 Вероятностный генетический алгоритм

1.3 Условная оптимизация эволюционными алгоритмами

1.4 Экспериментальное исследование эффективности алгоритмов

1.5 Выводы

ГЛАВА 2. Разработка и исследование вероятностного генетического 27 алгоритма для решения задач многокритериальной оптимизации

2.1 Многокритериальная оптимизация генетическими алгоритмами

2.2 Экспериментальное исследование

2.3 Результаты исследований эффективности алгоритмов

2.4 Выводы

ГЛАВА 3. Практическая реализация разработанных алгоритмов

3.1 Программная система для решения однокритериальных задач

3.2 Программная система для решения многокритериальных задач

3.3 Реальные практические задачи

3.4 Система поддержки принятия решения для инвестиционного 94 аналитика

3.5 Результаты решения практических задач 103 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 124 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 126 ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные эволюционные алгоритмы решения сложных задач оптимизации»

Необходимость в разработке моделей сложных систем возникает в различных областях науки и техники: математика, экономика, медицина, управление космическими аппаратами и т.д. [1,2]. При разработке моделей часто возникают задачи оптимизации, которые обладают такими свойствами, как многоэкстре-мальность, многокритериальность, алгоритмическое задание функций, сложная конфигурация допустимой области, наличие нескольких типов переменных и др. [3,4,5]. Такие задачи не решаются с помощью классических процедур оптимизации, что приводит к необходимости разрабатывать и применять более мощные и универсальные методы [6,7]. К таким методам относятся, в частности, эволюционные алгоритмы (ЭА), доказавшие свою эффективность при решении многих сложных задач [8,9,10].

Современное состояние исследований в области разработки и применения ЭА заключается в экстенсивном развитии направления — специалисты в области ЭА разрабатывают новые схемы, исследуют их на тестовых задачах и предлагают для решения прикладных задач [11,12,13]. Специалисты предметных областей берут готовые разработки, адаптируют их или пытаются реализовать алгоритмы по-своему [14,15]. В этом случае можно услышать, что ЭА обладают низкой эффективностью и требуют значительных вычислительных затрат.

Проблема возникает потому, что эффективность ЭА определяется тщательной настройкой их параметров [16,17]. Это с трудом удается ученым, разрабатывающим ЭА, и практически не удается специалистам других областей. При произвольном выборе параметров неподготовленным пользователем эффективность алгоритма может быть как очень низкой, так и очень высокой, а его надежность может изменяться от нуля до ста процентов .для одной и той же задачи [18,19]. Такая ситуация препятствует более широкому распространению эволюционных алгоритмов, так как требует от конечных пользователей высокой квалификации и большого опыта в применении ЭА, что редко наблюдается на практике [20,21].

Одним из подходов, позволяющих уменьшить число настраиваемых параметров эволюционных алгоритмов, являются так называемые вероятностные генетические алгоритмы [22,23]. Их отличие от стандартного генетического алгоритма (ГА) состоит в том, что в них отсутствует оператор скрещивания. Новые же решения получаются на основе статистической информации о поисковом пространстве. Таким образом, накапливая и обрабатывая эту информацию, данные алгоритмы самостоятельно могут адаптироваться к решаемой задаче. •

Вероятностные ГА ранее также показали свою эффективность и применимость к некоторым сложным задачам оптимизации [24,25]. Это дало основания полагать, что совершенствуя данный подход к самоадаптации, удастся уменьшить количество настраиваемых параметров, сохранив при этом эффективность алгоритмов.

Таким образом, вероятностные генетические алгоритмы являются перспективными для дальнейшего изучения и совершенствования, а исследование их специфических свойств на широком классе задач оптимизации, выработка рекомендаций по-правильной настройке на решаемую задачу и разработка подходов, позволяющих автоматизировать выбор эффективного алгоритма в ходе решения практических задач, являются актуальной научно-технической проблемой.

Целью диссертационной работы является повышение эффективности решения сложных задач оптимизации эволюционными алгоритмами.

• Сформулированная цель предопределила следующую совокупность решаемых задач:

1. Сравнить эффективность стандартного и вероятностного генетических алгоритмов на представительном множестве тестовых задач безусловной однокритериальной оптимизации.

2. Разработать вероятностный ГА для решения задач условной и безусловной многокритериальной оптимизации.

3. Провести сравнительный анализ эффективности стандартного и вероятностного ГА на тестовых задачах условной и безусловной многокритериальной оптимизации.

4. Определить параметры эволюционных алгоритмов, которые наиболее эффективно обеспечивают решение задач многокритериальной оптимизации.

5. Выполнить апробацию разработанных алгоритмов при решении реальных практических задач.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы системного анализа, исследования операций, теории оптимизации, теории вероятностей и математической статистики, теории эволюционных алгоритмов, методика создания прикладных интеллектуальных систем.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработан модифицированный вероятностный генетический алгоритм для решения задач условной однокритериальной оптимизации, отличающийся от известных наличием нового способа формирования вектора вероятностей, при помощи которого осуществляется прогноз оптимального решения.

2. Разработан новый вероятностный генетический алгоритм для решения задач условной многокритериальной оптимизации, отличающийся от известных наличием процедуры прогнозирования эффективных решений.

3. Впервые разработан вероятностный генетический алгоритм для решения задач условной многокритериальной оптимизации, отличающийся от известных наличием нового способа автоматической настройки вероятности мутации.

Практическая ценность. На основе предложенного алгоритмического обеспечения разработаны две современные программные системы, которые позволяют широкому кругу пользователей в рамках единого подхода решать однокритериальные и многокритериальные задачи условной и безусловной оптимизации алгоритмически заданных многоэкстремальных функций разнотипных переменных. Полученные в диссертационной работе рекомендации по настройке параметров вероятностного генетического алгоритма позволяют конечным пользователям, не владеющим аппаратом эволюционной оптимизации, решать сложные задачи многокритериальной оптимизации, возникающие в реальной практике. На основе известных математических моделей и алгоритмов, предложенных в диссертации, была разработана новая программная система «Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика». При помощи данной системы были успешно решены практические задачи реального и портфельного инвестирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере в рамках НИОКР «Разработка математического и алгоритмического обеспечения системы поддержки принятия решений для задач инвестиционного анализа», в соответствии с тематическим планом E3H СибГАУ «Бионические методы идентификации и оптимизации сложных систем» (№ Б 1.1.05), а также поддерживалась грантами на выполнение молодежных проектов, проводимых в рамках программы развития СФУ (2007, 2008 гг.) и грантами для молодых ученых Красноярского краевого фонда науки (17G045, 18G022).

Реализация результатов работы. Созданные в ходе работы над диссертацией программные системы прошли государственную экспертизу и зарегистрированы в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Государственного координационного центра информационных технологий Федерального агентства образования.

Разработанные учебные программные системы используются студентами института математики Сибирского федерального университета (СФУ) и факультета информатики и систем управления Сибирского государственного аэрокосмического университета как лабораторные установки. Данные программные системы включены в качестве инструмента для выполнения лабораторных работ в УМКД по эволюционным алгоритмам моделирования и оптимизации, разработанного для студентов магистратуры в рамках реализации инновационной образовательной программы института математики СФУ.

Программные системы и разработанные алгоритмы прошли апробацию при решении реальных задач управления инвестициями и переданы для использования на производственных предприятиях: Химзавод-филиал ФГУП «Красмаш» (п. Подгорный Красноярского края) и ЗАО «ОКБ APT» (г. Красноярск).

Работа дважды признана лучшей на конкурсе международного научного фонда экономических исследований им. Н.П. Федоренко (2006, 2007 гг.). В июле 2008 г. по результатам данной работы диссертанту присуждена Государственная премия Красноярского края за значительные успехи в области разработки математического и алгоритмического обеспечения поддержки принятия решений при управлении реальными инвестициями (распоряжение губернатора Красноярского края от 16.07.2008 № 210-рг).

Основные защищаемые положения:

1. Модифицированный вероятностный генетический алгоритм с прогнозом для задач условной однокритериальной оптимизации позволяет находить оптимальное решение на более ранней стадии работы алгоритма.

2. Новый вероятностный генетический алгоритм с прогнозом эффективных решений для задач многокритериальной оптимизации позволяет находить аппроксимацию" множества Парето на более ранней стадии работы алгоритма.

3. Новый вероятностный генетический алгоритм для задач многокритериальной оптимизации с автоматической настройкой вероятности мутации позволяет получать более представительное множество эффективных решений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано двадцать семь работ, в том числе четыре в изданиях из перечня ВАК.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены на XII Международной научно-технической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении», Санкт-Петербург, 2008; Конференции лауреатов и стипендиатов конкурсов международного научного фонда экономических исследований академика Н.П. Федоренко, Москва, 2007; Всероссийской научно-практической конференции «Евразийское пространство - Сибирь: перспективы развития, проблемы, решения», Барнаул, 2007; Международных научно-технических конференциях «Интеллектуальные системы» AIS'07 и AIS'08, Дивноморское, 2007, 2008; Конференции-конкурсе «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», г. Новосибирск, 2007; XIII Международном симпозиуме «Сложные системы в экстремальных условиях», г. Красноярск, 2006, и на восьми молодежных научных конференциях.

Структура работы. Диссертация содержит 141 страницу основного текста и состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы на 108 источников и 5 приложений, содержащих 36 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ворожейкин, Антон Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработан вероятностный ГА с прогнозом оптимального решения для задач условной однокритериальной оптимизации, позволяющий получать оптимальное решение на более ранней стадии работы алгоритма. Предложенный автором алгоритм прогноза отличается от известных ранее тем, что учитывает номер поколения и его вес.

2. Разработан вероятностный ГА с прогнозом эффективных решений для задач условной и безусловной многокритериальной оптимизации, позволяющий получать аппроксимацию множества недоминируемых решений на более ранней стадии работы алгоритма.

3. Разработан вероятностный ГА с адаптивной мутацией для решения задач условной и безусловной многокритериальной оптимизации, позволяющий получать более представительное множество недоминируемых решений.

4. Проведен сравнительный анализ стандартного и вероятностного ГА на тестовых задачах условной и безусловной однокритериальной и многокритериальной оптимизации. В результате проведенных исследований было установлено, что для однокритериальных задач ВГА эффективнее, чем ГА. Для многокритериальных задач ВГА и ГА одинаковы по эффективности. Кроме того, ВГА имеет меньше настраиваемых параметров, что делает его более предпочтительным для конечных пользователей.

5. Определены параметры эволюционных алгоритмов, обеспечивающие наиболее эффективное решение задач. Для задач условной оптимизации рекомендуется использовать метод динамического штрафа, для задач многокритериальной оптимизации рекомендуется использовать схему SPEA для учета нескольких целевых функций.

6. Разработаны, апробированы и внедрены программные системы, реализующие указанные алгоритмы. Программы зарегистрированы в Государственном отраслевом фонде алгоритмов и программ.

7. С помощью разработанных программных систем решены реальные практические задачи. Для задачи оценки проекта реальных инвестиций было получено оптимальное решение. Для задачи формирования портфеля реальных инвестиций было получено оптимальное решение в однокритериальной постановке и аппроксимация множества Парето в многокритериальной постановке. Для задачи формирования кредитного портфеля банка в однокритериальной постановке было получено субоптимальное решение, в многокритериальной постановке - множество недоминируемых решений. Для задачи формирования кредитного портфеля банка со смешанными переменными было получено субоптимальное решение, которое лучше ранее известных решений на 32%. Для задачи оптимального раскроя кабелей получено субоптимальное решение. Все результаты переданы специалистам для изучения.

Таким образом, в диссертации разработаны, исследованы и апробированы новые адаптивные эволюционные алгоритмы решения сложных задач оптимизации, обладающие более высокой скоростью сходимости и позволяющие снизить затраты на выбор эффективных настроек, что имеет существенное значение для теории и практики поддержки принятия решений при управлении сложными системами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ворожейкин, Антон Юрьевич, 2008 год

1. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Перев. с англ., — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. 344 с.

2. Абдеев Р.Ф. Философия информационной цивилизации. — М.: ВЛАДОС, 1994.

3. Семенкин Е.С., Лебедев В.А. Метод обобщенного адаптивного поиска для синтеза систем управления сложными объектами. М.: МАКС Пресс, 2002. - 320 с.

4. Семенкин Е.С. Модели и алгоритмы поддержки принятия решений инвестиционного аналитика / Е.С. Семенкин, А.В. Медведев, А.Ю. Ворожейкин // Вестник Томского государственного университета. Вып. 293.-2006.-С. 63-70.

5. Медведев А.В. Поддержка принятия решений при управлении региональным экономическим развитием на основе оптимизационных моделей и алгоритмов / А.В. Медведев, Е.С. Семенкин, А.Ю. Ворожейкин // Экономика и управление. 2007. - №4. - С. 63-64.

6. Ворожейкин А.Ю. Анализ и планирование инвестиций эволюционными алгоритмами // Молодежь и наука: начало XXI века, материалы всероссийской научно-технической конференции: в 3 ч. Ч. 2. -Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. С.8-10.

7. Branke J. Evolutionary Approaches to Dynamic Optimization Problems. Updated Survey. Institute AIFB, University of Karlsruhe, 1999.

8. Baluja S. The Equilibrium Genetic Algorithm and the Role of Crossover. 1993.

9. Baluja S., Caruana R. Removing the Genetic from the Standard Genetic Algorithm. In Proc. Of the Twelfth International Conference on Machine Learning, 1995.

10. Spears W.M. Adapting Crossover in Evolutionary Algorithms.

11. Andersson J., Multiobjective Optimization in Engineering Design -Application to Fluid Power Systems, Dissertation, Thesis No. 675, Linkoping University, Sweden, 2001.

12. Andersson J., Krus P. and Wallace D., «Multi-objective optimization of hydraulic actuation systems», ASME Design Automation Conference, Baltimore, September 11-13,2000.

13. Редько В. Прикладное эволюционное моделирование. Генетический алгоритм. Оценка эффективности генетического алгоритма. URL:http://www.keldysh.ru/BioCvber/LecturelQ.html

14. Adewuya, A. A. New methods in genetic search with real-valued chromosomes. Master's thesis. Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, 1996.

15. Booker, L. Improving search in genetic algorithms. In L. Genetic algorithms and Simulated Annealing. London: Pitman, 1987. p. 61-73.

16. Haupt R.L., Haupt S.E. Practical Genetic Algorithms / R.L. Haupt, S.E Haupt // led., Wiley, 2004.

17. Janikow, С. Z. Genetic algorithms simulating nature's methods of evolving the best design solution. / C. Z. Janikow, D. St. Ciair // IEEE Potentials 14, 1995. pp. 31-35.

18. Wright, A. Genetic algorithms for real parameter optimization. Foundations of Genetic Algorithms. San Mateo, CA: Morgan Kaufmann, 1991. pp. 205-218.

19. Сопов E.A. Вероятностный генетический алгоритм и его исследование // VII Королевские чтения. Том 5. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2003. - С. 38-39.

20. Сопов Е.А. Вероятностный генетический алгоритм с прогнозированием сходимости // Вестник университетского комплекса. -Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2004. Вып 1 (15). - С. 219-227.

21. Сопов Е.А. Вероятностный генетический алгоритм решения сложных задач оптимизации и его исследование // Молодежь Сибири — науке России. Красноярск: СИБУП, 2004. - С. 26-29.

22. Holland J. Н. Adaptation in natural and artificial systems / J. H. Holland. Ann Arbor. MI: University of Michigan Press, 1975.

23. Goldberg D. E. Genetic algorithms in search,.optimization, and machine learning / D. E. Goldberg. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.

24. Семенкин E.C., Семенкина О.Э., Коробейников С.П. Оптимизация технических систем: Учебное пособие. Красноярск: СИБУП, 1996.

25. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм с прогнозом в задачах оценки и планирования реальных инвестиций / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин // Вестник Красноярского государственного университета. Вып. 9. - 2006. - С. 174-178.

26. Хайниш С.В., Клешков В.М., Бородин А.Н. Российское предприятие ВПК: выжить и развиваться. (На примере реформирования и развития Химзавода филиала ФГУП «КРАСМАШ»). - М.: Рохос, 2003. - 240 с.

27. Фогель JI., Оунэнс А., Уолш М. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование. Пер с англ. Зайченко Ю. П. Под ред. Ивахненко А. Г. М.:Мир, 1969.

28. Parmee I. (Ed.) Adaptive computing in engineering design and control. Proceedings of the International Conference / I. Parmee. Plymouth, 1996. - 325 pp.

29. Вороновский Г.К., и др. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. X.: ОСНОВА, 1997.

30. Стариков A. BaseGroup Labs. Генетические алгоритмы -математический аппарат. URL: http://www.basegroup.ru/genetic/math.htm

31. Растригин Л.А., Фрейманис Э.Э. Решение задач разношкальной оптимизации методом бинаризации. Вопросы разработки ТАСУ. Кемерово, 1984, вып. 3.

32. Растригин JI.A. Бинаризация задач оптимизации решений в САПР. -В кн.: Моделирование и оптимизация решений в САПР. Таллин, 1983, ч.2.

33. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003.

34. Handbook of Genetic Algorithms, Edited by Lowrence Davis, Van Nostrand Reinhold, New York, 1991, 385 p.

35. Muhlenbein H., Voigt H.-M. Gene Pool Recombination in Genetic Algorithms. In Proc. Of the Metaheuristics Inter. Conf., 1995.

36. Гладков JI.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Ростов-на-Дону: Росиздат, 2004. - 400 с.

37. Spears W.M. The Role of Mutation and Recombination in Evolutionary Algorithms. PhD dissertation, George Mason University, Virginia, USA, 1998. -240 p.

38. Сопов Е.А. О вероятностном генетическом алгоритме // Современные техника и технологии. В 2-х т. Томск: Изд-во Томского политехи, ун-та, 2004. - Т.2. - С. 197-199.

39. Michalewicz Z. Genetic algorithms, numerical optimization and constraints // Proc. of the Sixth Int. Conf. on Genetic Algorithms and their Applications, Pittsburgh, PA, 1995.

40. Deb K. Optimization for engineering design: Algorithms and examples. Prentice-Hall, New Delhi, India, 1995.

41. Deb K. An efficient constraint handling method for genetic algorithms. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, North-Holland, Amsterdam, Netherlands, 1999.

42. Michalewicz Z. and Schoenauer M. Evolutionary Algorithms for Constrained Parameter Optimization Problems. Evolutionary Computation, 4(1):1—32, 1996.

43. Jimenez F. and Verdegay J. Evolutionary techniques for constrained optimization problems. In 7th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT'99), Aachen, Germany. Springer-Verlag, 1999.

44. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. 376 с.

45. Рубан А.И. Методы оптимизации: Учебное пособие. Изд. 2-ое. Красноярск НИИ ИЛУ, 2001. 528 с.

46. Deb К., Horn J., Goldberg D. E. Multi-Modal deceptive functions. Complex Systems, 7:131-153, 1993.

47. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. М.: МИР, 1977.

48. Whitley D. Building Better Test Functions. Proceedings of the Sixth International Conference on Genetic Algorithms, 1995.

49. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Компьютерные учебные программы и инновации. №3. - 2007. - С. 28.

50. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 256 с.

51. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Сов. радио», 1975, 192 с.

52. Семенкин Е.С., Терсков В.А. Модели и методы оптимизации сложных систем. Красноярск: СибЮИ MB РФ, 2000. - 211 с.

53. Coello Coello С.А. A comprehensive survey of evolutionary-based multiobjective optimization techniques.

54. Horn J. Multicriterion decision making. In Baeck, Т., Fogel, D. B. and Michalewicz, Z., editors, Handbook of Evolutionary Computation, pages F 1.9:115, Oxford University Press, New York, New York. Evolutionary Computation Volume 7, Number 3 229, 1997.

55. Schaffer J.D. Multiple objective optimization with vector evaluated genetic algorithms. In J. J. Grefenstette (Ed.), Proceedings of an International Conference on Genetic Algorithms and Their Applications, Pittsburgh, PA, 1985. -P. 93-100.

56. Fonseca C.M., Fleming P.J. Multiobjective optimization and multiple constraint handling with evolutionary algorithms Part I: A unified formulation. Technical report 564, University of Sheffield, Sheffield, UK, January 1995.

57. Fonseca C.M., Fleming PJ. Multiobjective optimization and multiple constraint handling with evolutionary algorithms Part II: Application example. Technical report 565, University of Sheffield, Sheffield, UK, January 1995.

58. Horn J., Nafpliotis N., Goldberg D. E. A niched Pareto genetic algorithm for multiobjective optimization. In Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, Vol. 1, Piscataway, 1994. P. 82-87.

59. Гарипов В.P. Многокритериальная оптимизация систем управления сложными объектами методами эволюционного поиска. — Дисс. канд. техн. наук. Красноярск: САА, 1999.

60. Zitzler Е., Thiele L. Multiobjective evolutionary algorithms: A comparative case study and the strength Pareto approach // IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 3, No. 4, pp. 257-271, 1999.

61. Schaffer J. D. Some experiments in machine learning using vector evaluated genetic algorithms. Doctoral Dissertation, Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, 1984.

62. Fonseca С. M., Fleming P. J. An overview of evolutionary algorithms in multiobjective optimization. Evolutionary Computation, 3:1-16, 1995.

63. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа: Учеб. 2-е изд., доп. Томск: Изд-во НТЛ, 1997. - 369 с.

64. Coello Coello С.A. An empirical study of evolutionary techniques for multiobjective optimization in engineering design. PhD thesis. Department of computer science, Tulane university. New Orleans, LA, 1996.

65. Курейчик B.M. и др. Методы генетического поиска / Под редакцией Курейчика В.М. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.

66. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

67. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -Учебное пособие. М.: Высш. шк., 2000, 479 с.

68. Моденов П.С. Аналитическая геометрия / П.С. Моденов. М.: Изд-во Московского университета, 1967. — 699 с.

69. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм для задач многокритериальной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета. -Вып. 3(16). 2007. - С. 41-45.

70. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2006. - 8с. - № гос. per. 50200600371.

71. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Инновации в науке и образовании. №3(14). - 2006. - С.16-17.

72. Ворожейкин А.Ю. Программная система решения задач математического программирования вероятностным генетическим алгоритмом / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник университетского комплекса. Вып. 6(20). - 2005. - С.253-261.

73. Ворожейкин А.Ю. Программа для решения многокритериальных задач оптимизации генетическими алгоритмами / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2008. - 5с. - № гос. per. 50200800641.

74. Ворожейкин А.Ю. Программа для решения многокритериальных задач оптимизации генетическими алгоритмами / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Компьютерные учебные программы и инновации. №9. - 2008. -С. 42.

75. Медведев А.В. Численное исследование одной модели реальных инвестиций / А.В. Медведев, П.Н. Победаш // Вестник КемГУ, серия «Математика».-2003.-Вып.4 (16). С. 21-24.

76. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев М.: Наука, 1988. - 552 с.

77. Крылов И.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления / И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько // ЖВМ и МФ. 1962. - Т.2, №6.-С. 1132-1139.

78. Крылов И.А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления / И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько // ЖВМ и МФ.- 1972.- Т. 12, №1.-С. 14-34.

79. Любушин А.А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А.А. Любушин, Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Сер.Техническая кибернетика. 1983, №2.-С. 147-159.

80. Грачев Н.И. Библиотека программ для решения задач оптимального управления / Н.И. Грачев, Ю.Г. Евтушенко // ЖВМ и МФ. 1979. - Т. 19, №2. -С. 367-387.

81. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления / А.А. Любушин // ЖВМ и МФ. 1979. - Т. 19, №6.-С. 1414-1421.

82. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для задач оптимального управления / А.А. Любушин // ЖВМ и МФ. 1982. - Т.22, №1.-С. 30-35.

83. Клешков В.М. Модели и алгоритмы распределения общих ресурсов при управлении инновациями реструктурированного предприятия ВПК. — Дисс. канд. техн. наук. Красноярск: НИИ СУВПТ, 2003, 165 с.

84. Пуртиков В. А. Оптимизация управления формированием кредитного портфеля банка. Дисс. канд. техн. наук. Красноярск: САА, 2001. - 148 с.

85. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2006. - 7с. - № гос. per. 50200600629.

86. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин // Инновации в науке и образовании. №5(16). - 2006. - С. 3-4.

87. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин, А.В. Медведев // Компьютерные учебные программы и инновации. №3. - 2007. -С.38.

88. Ворожейкин А.Ю. Система поддержки принятия решений инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник университетского комплекса. Вып. 7 (21). - 2006. - С. 190-205.

89. Ворожейкин А.Ю. Программная система для решения многокритериальных задач оптимизации эволюционными алгоритмами // Системный анализ в проектировании и управлении: Труды XII Междунар.научн.-практ. Конф. 4.2. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. С. 107-109.

90. Ворожейкин А.Ю. Программа для решения многокритериальных задач оптимизации генетическими алгоритмами / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2008. - 5с. - № гос. per. 50200800641.

91. Ворожейкин А.Ю. Программа для решения многокритериальных задач оптимизации генетическими алгоритмами / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Компьютерные учебные программы и инновации. №9. - 2008. - С. 42.

92. Медведев А.В. Поддержка принятия решений при управлении региональным экономическим развитием на основе оптимизационных моделей и алгоритмов / А.В. Медведев, Е.С. Семенкин, А.Ю. Ворожейкин // Экономика и управление. 2007. - №4. - С. 63-64.

93. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Компьютерные учебные программы и инновации. №3. - 2007. — С. 28.

94. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин, А.В. Медведев // Компьютерные учебные программы и инновации. №3. - 2007. -С.38.

95. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм для задач многокритериальной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета. Вып. 3(16). - 2007. - С. 41-45.

96. Семенкин Е.С. Модели и алгоритмы поддержки принятия решений инвестиционного аналитика / Е.С. Семенкин, А.В. Медведев, А.Ю. Ворожейкин // Вестник Томского государственного университета. -Вып. 293. 2006. - С. 63-70.

97. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм с прогнозом в задачах оценки и планирования реальных инвестиций / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин // Вестник Красноярского государственного университета. Вып. 9. - 2006. - С. 174178.

98. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2006. - 8с. - № гос. per. 50200600371.

99. Ворожейкин А.Ю. Вероятностный генетический алгоритм решения задач условной оптимизации / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Инновации в науке и образовании. №3(14). - 2006. - С. 16-17.

100. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин. М.: ВНТИЦ, 2006. - 7с. - № гос. per. 50200600629.

101. Ворожейкин А.Ю. Автоматизированное рабочее место инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, А.В. Медведев, Е.С. Семенкин // Инновации в науке и образовании. №5(16). - 2006. - С. 3-4.

102. Ворожейкин А.Ю. Анализ и планирование инвестиций эволюционными алгоритмами // Молодежь и наука: начало XXI века, материалы всероссийской научно-технической конференции: в 3 ч. Ч. 2. — Красноярск: ИПЦКГТУ, 2006. С.8-10.

103. Ворожейкин А.Ю. Система поддержки принятия решений инвестиционного аналитика / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник университетского комплекса. -Вып. 7 (21). 2006. - С. 190-205.

104. Ворожейкин А.Ю. Программная система решения задач математического программирования вероятностным генетическим алгоритмом / А.Ю. Ворожейкин, Е.С. Семенкин // Вестник университетского комплекса. Вып. 6(20). - 2005. - С.253-261.