Зарядовые состояния в андреевской квантовой точке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Садовский, Иван Александрович

• Садовский, Иван Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Садовский, Иван Александрович

Введение

Глава 1. Дробный заряд в андреевской квантовой точке

1.1. Происхождение дробного заряда

1.2. Андреевский уровень

1.2.1. Нормальные резонансы

1.2.2. Собственное состояние в SINIS контакте

1.2.3. Классификация энергетических уровней

1.3. Ток через андреевскую квантовую точку

1.4. Заряд андреевской квантовой точки

1.5. Флуктуации заряда

1.5.1. Квантовые флуктуации заряда

1.5.2. Флуктуации заряда за счет электрон-фононного взаимодействия

1.5.3. Флуктуации потенциала затвора

1.6. Измерение заряда

1.6.1. Проблемы, возникающие при измерении заряда.

1.6.2. Чувствительность заряда к фазе

1.6.3. Использование телеграфного сигнала для измерения заряда

Глава 2. Кулоновское взаимодействие

2.1. Диагонализация гамильтониана с учетом кулоновского взаимодействия

2.2. Дублетная область

2.3. Заряд и ток при наличии дублетной области

Глава 3. Измерение магнитного потока с помощью андреевской квантовой точки

3.1. Введение

3.2. Чувствительность

Глава 4. Масштабирование

4.1. Андреевская квантовая точка с несколькими каналами

4.2. Джозефсоновский контакт с большим количеством каналов

4.2.1. Контакт сверхпроводник-металл-сверхпроводник.

4.2.2. Контакт сверхпроводник-графен-сверхпроводник

4.2.3. Кулоновские эффекты в среднем поле

Глава 5. Наномеханические эффекты

5.1. Модель

5.2. Синглетная и дублетная области в присутствии колебательной моды

5.2.1. Электронные состояния без механических мод.

5.2.2. Влияние механической моды на дублетную область.

5.3. Заряд андреевской квантовой точки.

5.4. Чувствительность заряда к фазе в присутствии колебательной моды

5.5. Механические свойства.

5.5.1. Среднее отклонение осциллятора

5.5.2. Амплитуда вибраций осциллятора

5.5.3. Энергия, запасенная в колебательной моде

5.6. Энтропия как мера запутанности между электронной и механической степенями свободы.

5.7. Ток через андреевскую квантовую точку в присутствии колебательной моды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Зарядовые состояния в андреевской квантовой точке»

Около пятидесяти лет назад было установлено, что сверхпроводящая фаза ip связана с бездиссипативным током, а разность фаз (р на контакте приводит к возникновению джозефсоновского тока [1, 2]. За пять лет до этого было обнаружено, что в массивном сверхпроводнике изменение фазы на 2тг порождает магнитный вихрь [3]. Намного позже было показано, что в сверхпроводящих вихрях содержится заряд, много меньший заряда электрона [4, 5], что является следствием нарушения электронно-дырочной симметрии. Андреевские состояния позволяют создавать новые электронные устройства такие как джозефсоновские транзисторы [6-8]. В этой работе мы в основном интересуемся их зарядовыми свойствами. В Главе 1 показано, что нарушение электронно-дырочной симметрии порождает заряд, локализованный в металлической квантовой точке, присоединенной к сверхпроводящему кольцу [9, 10] (так называемая андреевская квантовая точка [11], 'см. Рис. 1). Этот заряд изменяется непрерывным образом при изменении потенциала затвора Vg и разницы фаз между сверхпроводящими берегами <р, поэтому в общем случае он оказывается нецелым. Это проявляется для основного и дважды возбужденного состояний (с четным количеством боголюбовских квазичастиц), в то время как единожды возбужденное состояние (с нечетным количеством квазичастиц) несет целый заряд. Отсюда, в частности, следует, что заряд возбуждения является нецелым.

Как известно, физика конденсированного состояния преимущественно имеет дело с целыми зарядами, даваемыми зарядом электрона е, однако в многочастичных задачах могут возникать дробные заряды, например, в дробном квантовом эффекте Холла [12-14] или в Латтинжеровской жидкости [15-17], где они возникают из-за усреднения по времени. Заряд, описываемый в данной работе, также возникает из-за усреднения по времени, однако не имеет фиксированного дробного значения и изменяется непрерывным образом под воздействием внешнего параметра — разницы сверхпроводящих фаз (р.

Изменяющийся непрерывным образом заряд в мезоскопических системах обсуждается, например, в работах [18, 19]. В них появление дробного заряда обеспечивается тем, что только часть волновой функции локализована в квантовой точке. В данной работе дробный заряд полностью локализован в области квантовой точки, а оставшаяся часть волновой функции делокализована в сверхпроводящем конденсате. Обсуждаемый дробный заряд напоминает дробный заряд, связанный с возбуждениями в сверхпроводнике и обсуждаемый в контексте вопроса о релаксации заряда в неравновесной сверхпроводимости [20, 21].

Возникновение дробного заряда легче всего понять в рамках подхода самосогласованного поля и уравнений Боголюбова-де Женна. В Разделе 1.1 это объясняется качественно, а в Разделе 1.4 вычисляется количественно. Основные вычисления производятся в пределе бесконечной сверхпроводящей щели, в котором заряд андреевской квантовой точки сильно зависит от разности сверхпроводящих фаз.

Дробный заряд можно наблюдать, следя за соответствующим телеграфным сигналом, который возникает вследствие стохастического заселения андреевских уровней [9] (см. Раздел 1.5), или наблюдая зависимость заряда от магнитного потока, проникающего в сверхпроводящее кольцо. Этот факт позволяет думать о возможности создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки. Описание магнитометра и оценка его чувствительности представлены в Главе 3 этой работы.

Глава 2 посвящена малому кулоновскому взаимодействию, Ес <С А. Тут энергия Ес имеет порядок е2/2С, где С — емкость квантовой точки. В этом пределе можно снова ограничиться четырьмя упомянутыми выше состояниями и точно диагонализовать получившийся гамильтониан. Кулоновское взаимодействие приводит к двум эффектам. Во-первых, синглетные состояния смешиваются. Во-вторых, кулоновская энергия сдвигает энергетические уровни четных и нечетных состояний по-разному, вследствие чего при одних значениях параметров <р и eD

Рис. 1. (а) Схематическое устройство андреевской квантовой точки (SINIS контакта): квантовая точка, присоединенная к сверхпроводящим берегам. (Ь) Андреевская квантовая точка управляется магнитным потоком, пропущенным через сверхпроводящее кольцо. основное состояние будет являться синглетным состоянием, а при других — дублетным состоянием [22, 23].

В Главе 4 изучается масштабируемость эффекта в зависимости от числа андреевских уровней и геометрических характеристик контакта. Раздел 4.1 посвящен случаю нескольких каналов. При этом используется эквивалентный, но более оправданный технически, подход туннельного гамильтониана. В случае отсутствия кулоновского взаимодействия вклады от каждого канала в ток и заряд аддитивны. При наличии кулоновского взаимодействия состояния с одинаковой четностью могут быть смешаны, и основное состояние может даваться не только синглетным или дублетным состояниями, как в случае одного канала, но и иметь тройное, четверное и т.д. вырождение по спину и формировать триплетные, квад-руплетные и т.д. состояния. Кулоновское взаимодействие в одном канале может отличаться от взаимодействия между ними (например, в случае нескольких контактов, соединенных параллельно). В случае одинакового кулоновского взаимодействия дублетные области, формируемые каждым из каналов, не перекрываются, а в случае слабого взаимодействия между каналами, могут перекрываться, создавая триплетные, квадруплетные и т.д. состояния.

В Разделе 4.2 изучается случай многих каналов для коротких контактов сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник с квадратичной дисперсией и сверхпроводник-графен-сверхпроводник с линейной дисперсией. Эффекты кулоновско-го взаимодействия можно оценить здесь в приближении среднего поля. В случае квадратичной дисперсии плотность состояний постоянна, и кулоновское взаимодействие сильно подавляет заряд, а в случае линейной дисперсии плотность состояний пропорциональна уровню допирования графена, и кулоновское взаимодействие не слишком сильно влияет на заряд.

Первые джозефсоновские контакты изготавливались с использованием окиси или нормального металла, помещенного между двумя сверхпроводниками [24]. Прогресс в области нанотехнологий позволил изготавливать джозефсоновские контакты на основе мезо- и наноструктур [25-29]. Среди них одной из самых популярных структур является квантовая точка. В то же время, в современных экспериментальных работах появилась возможность включать наномеханические элементы в электрические цепи. В частности, такими элементами могут служить углеродные нанотрубки [25, 26], а также единичные [27, 28] или двойные [30, 31] молекулы. Также популярны неравновесные эффекты в нормальных системах на основе наномехапических элементов [32-38]. В данной работе изучается влияние наномеханических эффектов на заряд квантовой точки, присоединенной к сверхпроводящим берегам через туннельные барьеры.

Глава 5 описывает наномеханические эффекты в андреевской квантовой точке (см. точку на основе нанотрубки на Рис. 2(a) и модельную установку на Рис. 2(b)). Механические степени свободы описываются квантовыми гармоническими осцилляторами, а их взаимодействие — гамильтонианом, аналогичным гамильтониану электрон-фононного взаимодействия, но с фиксированными фононными модами. Исследовано влияние механической степени свободы на заряд андреевской квантовой точки и его чувствительность к сверхпроводящей фазе: при ее наличии чувствительность в типичном случае подавляется, однако в определенных ситуациях может и возрастать.

Было изучено влияние силы взаимодействия электронной и механической пода)

Additional gates

Ь)

SWNT

Де-^/2 Ж Ж | | А А Де^/2

V Е

Superconductors ч У

Рис. 2. (а) Одностенная углеродная нанотрубка подвешена между сверхпроводящими берегами с разностью сверхпроводящих фаз <р. Заряд нанотрубки притягивается внешним электрическим полем Е. Два дополнительных затвора формируют электронные резонансы вдоль нанотрубки, создавая квантовую точку. (Ь) Модельная установка представляет собой квантовую точку с механической степенью свободы присоединенную к сверхпроводящим берегам через туннельные переходы. систем на размер дублетной области в переменных ((p,eD): ее размер уменьшается по мере увеличения константы электрон-фоионного взаимодействия. Ввиду этого, эффекты, которые подавляются в дублетной области, частично «восстанавливаются» при добавлении механических степеней свободы. Рассматривается энтропия фон Неймана, как характеристика запутанности между электронной и механическими степенями свободы. В отсутствии кулоновского взаимодействия максимальное значение энтропии Smax = In 2 достигается при <р — -к и eD = 0, а при ненулевом кулоновском взаимодействии — Smax < In 2 на границе дублетной области. Также даны описания механических характеристик, например, вычислены энергии, запасенные в колебательных модах.

В Заключении делается краткий обзор главных результатов диссертации.

В Приложении А описываются уравнения Боголюбова-де Женна, в Приложении Б эти уравнения решаются для NS-границы, SNS и SINIS контактов. Громоздкие вычисления частот перезаселения уровней за счет электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциалов затвора вынесены в Приложение В.

Приложение Г посвящено подходу туннельного гамильтониана в пределе бесконечной сверхпроводящей щели.

В конце приведен Список иллюстраций и используемая Литература.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Показано, что квантовая точка, присоединенная через туннельные барьеры к сверхпроводникам, несет в себе непрерывно настраиваемый, а поэтому нецелый, заряд. Этот заряд возникает из-за электронно-дырочной асимметрии и зависит от разницы сверхпроводящих фаз между сверхпроводниками и потенциала затвора. Вычислен заряд основного состояния и заряд возбуждения. Обсуждаются квантовые флуктуации зарядов, а также флуктуации, возникающие из-за электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциала затвора. Кулоновское взаимодействие учтено в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. При некоторых значениях фазы и напряжения затвора оно приводит к качественному изменению основного состояния с обычного синглетного на дублетное. Исследовано масштабирование эффекта для нескольких каналов (точно) и большого числа каналов (в приближении среднего поля).

2. Обсуждается новый тип приборов для измерения слабых магнитных полей, основанных на зависимости заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз, а значит, и от магнитного потока, пропущенного сквозь сверхпроводящее кольцо. Изучена дифференциальная чувствительность заряда к потоку в зависимости от сверхпроводящей фазы, положения и ширины нормального уровня в точке, кулоновской энергии, температуры и других параметров.

3. Исследовано влияние механических степеней свободы на электронные свойства андреевской квантовой точки в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. Рассчитан заряд и ток при наличии кулоновского взаимодействия и взаимодействия с механическими модами. Обсуждается энтропия фон Неймана в контексте запутанности электронной и механической подсистем. Рассчитана деформация дублетной области, а также характеристики механических степеней свободы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Садовский, Иван Александрович

Заключение

1. В работе был детально изучен заряд андреевской квантовой точки. Было показано, что он локализован в области квантовой точки и непрерывным образом зависит от разницы фаз между сверхпроводниками. Были изучены флуктуации заряда за счет электрон-фононного взаимодействия и за счет флуктуаций потенциала затвора.

2. В данной задаче кулоновское взаимодействие может приводить к перестройке синглетного основного состояния в дублетное. В то время как в сингл етном состоянии течет джозефсоновский ток и заряд зависит от фазы, в дублетном состоянии бездиссипативный ток отсутствует, а заряд является целым. При увеличении зарядовой энергии «размер» дублетной области в координатах (</?,£D) увеличивается.

3. Предложена концепция нового прибора для измерения магнитного потока, где андреевская квантовая точка выступает в качестве рабочего элемента. Изучена его дифференциальная чувствительность. Оценки показывают, что теоретическая чувствительность прототипа не уступает чувствительности существующих СКВИДов. Было исследовано масштабирование эффекта в случае нескольких и в случае большого количества каналов. Показано, что влияние кулоновского взаимодействия в случае линейного спектра (в гра-фене) существенно слабее, чем в случае квадратичного спектра (в металле).

4. Изучена андреевская квантовая точка с наномеханическим элементом. Показано, что взаимодействие с механической степенью свободы уменьшает размер дублетной области, выступая, таким образом, как отрицательное кулоновское взаимодействие. В типичном случае при увеличении силы взаимодействия с механическим элементом, критический ток и максимальная чувствительность заряда к фазе падают, однако при некоторых параметрах могут и возрастать. Запутанность между электронной и механической степенями свободы была охарактеризована с помощью энтропии фон Неймана.

Публикации по теме диссертации

1. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. B. — 2007. — May. — Vol. 75, no. 19. - P. 195334.

2. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. — 2007. - Т. 86. — С. 239.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Садовский, Иван Александрович, 2010 год

1. Josephson В. Possible new effects in superconductive tunnelling // Phys. Lett. — 1962. - Vol. 1. - Pp. 251-253.

2. De Gennes P. G. Boundary effects in superconductors // Rev. Mod. Phys. — 1964. Jan. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 225-237.

3. Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. 1957. - Jun. - Т. 32, № 6. - С. 1442-1452.

4. Khomskii D. I., Freimuth A. Charged vortices in high temperature superconductors // Phys. Rev. Lett.— 1995. Aug. - Vol. 75, no. 7.- Pp. 1384-1386.

5. Wendin G., Shumeiko V. Josephson transport in complex mesoscopic structures // Superlatt. and Microstruct. — 1996. — Dec. — Vol. 20, no. 4. — Pp. 569-573.

6. Supercurrents through gated superconductor-normal-metal-superconductor contacts: the Josephson transistor / D. D. Kuhn, N. M. Chtchelkatchev, G. B. Lesovik, G. Blatter // Phys. Rev. B. 2001. - Jan. - Vol. 63, no. 5. - P. 054520.

7. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. В.— 2007. —May. — Vol. 75, no. 19.— P. 195334.

8. Engstrom К., Kinaret J. Phase-dependent charges in SNS systems // Phys. Scr. — 2004. Vol. 70, no. 5. - Pp. 326-329.

9. Chtchelkatchev N. M., Nazarov Y. V. Andreev quantum dots for spin manipulation // Phys. Rev. Lett. 2003. — Jun. - Vol. 90, no. 22. - P. 226806.

10. Laughlin R. B. Anomalous quantum Hall effect: an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett. — 1983. — May. — Vol. 50, no. 18. Pp. 1395-1398.

11. Observation of the e/3 fractionally charged Laughlin quasiparticle / L. Saminada-yar, D. C. Glattli, Y. Jin, B. Etienne // Phys. Rev. Lett. 1997. - Sep. - Vol. 79, no. 13. - Pp. 2526-2529.

12. Observation of quasiparticles with one-fifth of an electron's charge / M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griffiths et al. // Nature. 1999.—May. - Vol. 399, no. 6733.- Pp. 238-241.

13. Wen X. G. Gapless boundary excitations in the quantum Hall states and in the chiral spin states // Phys. Rev. В.— 1991. —May.— Vol. 43, no. 13.— Pp. 11025-11036.

14. Lebedev A. V., Crepieux A., Martin T. Electron injection in a nanotube with leads: finite-frequency noise correlations and anomalous charges // Phys. Rev. B. 2005. - Feb. - Vol. 71, no. 7. - P. 075416.

15. Fractional charge in the noise of Luttinger liquid systems / B. Trauzettel, I. Safi, F. Dolcini, H. Grabert // Fluctuations and noise in materials II / Ed. by P. Svedlindh, D. Popovic, M. B. Weissman. Vol. 5843. - SPIE, 2005. -Pp. 115-123.

16. Biittiker M., Stafford С. A. Charge transfer induced persistent current and capacitance oscillations // Phys. Rev. Lett.— 1996. —Jan. — Vol. 76, no. 3. — Pp. 495-498.

17. Deo P. S., Koskinen P., Manninen M. Charge fluctuations in coupled systems: ring coupled to a wire or ring // Phys. Rev. B. — 2005. — Oct. — Vol. 72, no. 15. — P. 155332.

18. Pethick C. J., Smith H. Relaxation and collective motion in superconductors: a two-fluid description // Annals of Physics.— 1979.— Vol. 119, no. 1.— Pp. 133-169.

19. Шмидт В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МЦНМО, 2000.

20. Rozhkov А. V., Arovas D. P. Interacting-impurity Josephson junction: variational wave functions and slave-boson mean-field theory // Phys. Rev. В.— 2000.— Sep. Vol. 62, no. 10. - Pp. 6687-6691.

21. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. — 2007. Т. 86. — С. 239.

22. Anderson P. W., Rowell J. M. Probable observation of the Josephson superconducting tunneling effect // Phys. Rev. Lett. — 1963. — Mar. — Vol. 10, no. 6. — Pp. 230-232.

23. Jarillo-Herrero P., van Dam J. A., Kouwenhoven L. P. Quantum supercur-rent transistors in carbon nanotubes // Nature.— 2006.— Feb. — Vol. 439.— Pp. 953-956.

24. Carbon nanotube superconducting quantum interference device / J.-P. Cleuziou, W. Wernsdorfer, V. Bouchiat et al. // Nature Nanotech.— 2006.— Oct.— Vol. l.-Pp. 53-59.

25. Nanomechanical oscillations in a single-Сбо transistor / H. Park, J. Park, A. K. L. Lim et al. // Nature. 2000. - Sep. - Vol. 407. - Pp. 57-60.

26. Vibration-assisted electron tunneling in Сно transistors / A. Pasupathy, J. Park, C. Chang et al. // Nano Lett. 2005. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 203-207.

27. Supercurrents through single-walled carbon nanotubes / A. Kasumov, R. Deblock, M. Kodak et al. // Science. — 1999. Vol. 284, no. 5419. - Pp. 1508-1511.

28. Atomic dimer shuttling and two-level conductance fluctuations in Nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007.— Jan.— Vol. 98,- P. 046802.

29. Alternating current Josephson effect and resonant superconducting transport through vibrating Nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Nature Nanotech. 2007. - Jul. - Vol. 2. - Pp. 481-485.

30. Electromechanical instability in suspended carbon nanotubes / L. Jonsson, L. Gorelik, R. Shekhter, M. Jonson // Nano Lett.— 2005.— Vol. 5, no. 6.— Pp. 1165-1169.

31. Tunneling in suspended carbon nanotubes assisted by longitudinal phonons / S. Sapmaz, P. Jarillo-Herrero, Y. M. Blanter et al. // Phys. Rev. Lett. — 2006.— Jan. Vol. 96, no. 2. - P. 026801.

32. Ultrahigh frequency nanotube resonators / H. B. Peng, C. W. Chang, S. Aloni et al. // Phys. Rev. Lett. 2006. - Aug. - Vol. 97, no. 8. - P. 087203.

33. Witkamp В., Poot M., van der Zant H. Bending-mode vibration of a suspended nanotube resonator // Nano Lett. 2006. - Vol. 6, no. 12. - Pp. 2904-2908.

34. Ryndyk D. A., Cuniberti G. Nonequilibrium resonant spectroscopy of molecular vibrons I/ Phys. Rev. B. 2007. - Oct. - Vol. 76, no. 15. - P. 155430.

35. Tahir M., MacKinnon A. Quantum transport in a resonant tunnel junction coupled to a nanomechanical oscillator // Phys. Rev. B. — 2008. — Jun. — Vol. 77, no. 22. P. 224305.

36. Carbon nanotubes as ultrahigh quality factor mechanical resonators / A. Htiettel, G. Steele, B. Witkamp et al. // Nano Lett.— 2009.— Vol. 9, no. 7.— Pp. 2547-2552.

37. Андреев А. Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников // ЖЭТФ.- 1964.- Т. 46.- С. 1823-1828.

38. Андреев А. Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников II // ЖЭТФ. - 1964. - Т. 47. - С. 2222-2228.

39. Андреев А. Электронный спектр промежуточного состояния сверхпроводников // ЖЭТФ.- 1965.- Т. 49,- С. 655-660.

40. Buitelaar М. R., Nussbaumer Т., Schonenberger С. Quantum dot in the Kondo regime coupled to superconductors // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Dec. — Vol. 89, no. 25. P. 256801.

41. Supercurrent reversal in quantum dots / J. A. van Dam, Y. V. Nazarov, E. P. Bakkers et al. // Nature. 2006.-Aug. - Vol. 442. - Pp. 667-670.

42. Chtchelkatchev N. M., Lesovik G. В., Blatter G. Supercurrent quantization in narrow-channel superconductor-normal-metal-superconductor junctions // Phys. Rev. B. 2000. - Aug. - Vol. 62, no. 5. - Pp. 3559-3564.

43. Ivanov D., FeigeVman M. Phonon relaxation of subgap levels in superconducting quantum point contacts // Pis'ma v ZhETF. — 1998. — Dec. — Vol. 68, no. 11. — Pp. 847-851.

44. Radio-frequency single-electron transistor as readout device for qubits: charge sensitivity and backaction / A. Aassime, G. Johansson, G. Wendin et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001. Apr. - Vol. 86, no. 15. - Pp. 3376-3379.

45. Clarke J. SQUIDs for low frequency measurements // Superconductor applications: SQUIDs and machines / Ed. by В. B. Schwartz, S. Foner. — New York: Plenum Press, 1977. Pp. 67-124.

46. Fundamentals and technology of SQUIDs and SQUID systems / Ed. by J. Clarke,

47. A. I. Braginski.- Berlin, Germany: Wiley-VCH, 2004,- Vol. 1 of The SQUID Handbook.

48. Applications of SQUIDs and SQUID systems / Ed. by J. Clarke, A. I. Braginski. — Berlin, Germany: Wiley-VCH, 2004,- Vol. 2 of The SQUID Handbook.

49. Electrostatics of vortices in type-II superconductors / R. Kleiner, D. Koelle, F. Ludwig, J. Clarke // Proc. of the IEEE.- 2004.-Oct. Vol. 92, no. 10.— Pp. 1534-1548.

50. Applications of Superconductivity / Ed. by H. Weinstock. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer, 2000. — Vol. 365 of Series E: Applied Sciences.

51. Bipolar supercurrent in graphene / H. B. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J. B. Oost-inga et al. // Nature. 2007. - Mar. - Vol. 446. - Pp. 56-59.

52. Fal'ko V. I., Lesovik G. B. Quantum conductance fluctuations in 3D ballistic adiabatic wires // Solid State Comm. — 1992. Vol. 84, no. 8. — Pp. 835-837.

53. Titov M., Beenakker C. W. J. Josephson effect in ballistic graphene // Phys. Rev.

54. B. 2006. - Jul. - Vol. 74, no. 4. - P. 041401.

55. Cuevas J. C., Yeyati A. L. Subharmonic gap structure in short ballistic graphene junctions // Phys. Rev. В.— 2006. Nov. - Vol. 74, no. 18.- P. 180501.

56. Electric field effect in atomically thin carbon films / K. Novoselov, A. Geim, S. Morozov et al. // Science. 2004. - Oct. - Vol. 306, no. 5696. - Pp. 666-669.

57. Two-dimensional atomic crystals / K. S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin et al. // Proc. Natl Acad. Sci. USA. 2005. - Vol. 102, no. 30. - Pp. 10451-10453.

58. Beenakker C. W. J. Specular Andreev reflection in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2006. Aug. - Vol. 97, no. 6. - P. 067007.

59. Zazunov A., Feinberg D., Martin T. Phonon squeezing in a superconducting molecular transistor // Phys. Rev. Lett. — 2006.—Nov. — Vol. 97, no. 19.— P. 196801.

60. Ландау JI., Лифшиц E. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.— Т. V. Статистическая физика, часть 1. — 584 с.

61. Huang К., Rhys A. Theory of light absorption and non-radiative transitions in F-centres // Proc. R. Soc. London, Ser. A. — 1950. — Vol. 204.- Pp. 406-423.

62. Свидзинский А. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости,— М.: Наука, 1982, — 312 с.63. де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов / Под ред. JT. Горькова. — М.: Мир, 1968.- 279 с.

63. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. — 4-е, испр. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 768 с.

64. Абрикосов А., Горькое Л., Дзялошинский И. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Физматгиз, 1962. — 446 с.

65. Больцман Л. Избранные труды. — М.: Наука, 1984. — 590 с.

66. Левитов Л., Шитов А. Функции Грина. Задачи и решения. — М.: Физматлит, 2003. 392 с.