Задачи равновесия неоднородных деформируемых тел с тонкими включениями при наличии отслоений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Попова Татьяна Семеновна

• Попова Татьяна Семеновна
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Попова Татьяна Семеновна

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Предельный переход при 6 ^ <ж

1.5. Примеры численной реализации для задач о тонких

включениях в упругом теле

2. Задачи сопряжения тонких изотропных

включений в упругих телах

2.1. Задача о сопряжении двух упругих включений

2.1.1. Включения без отслоения

2.1.2. Отслоившееся упругое включение

2.1.3. Предельный переход по параметру жесткости включения Бернулли-Эйлера

2.2. Сопряжение упругого и жесткого включений

2.2.1. Постановка задачи об идеальном сцеплении между включениями при отсутствии отслоения

2.2.2. Предельный переход по параметру жесткости

2.2.3. Отслоившееся упругое включение

2.2.4. Предельный случай при 6 ^

2.2.5. Задача сопряжения с изломом для отслоившегося упругого включения и тонкого жесткого включения

2.3. Задача о сопряжении упругого и жесткого тонких включений с параметром повреждаемости

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Предельный переход по параметру повреждаемости

2.3.3. Предельный переход по параметру жесткости

2.4. Примеры численной реализации

2.4.1. Сопряжение включений Бернулли-Эйлера и Тимошенко112

2.4.2. Сопряжение включения Тимошенко и тонкого жесткого включения

2.5. Выводы по второй главе

з. Задачи сопряжения тонких анизотропных

включений в упругих телах

3.1. Задача о сопряжении включения Тимошенко с тонким полужестким включением

3.1.1. Первый случай анизотропии

3.1.2. Постановка задачи при наличии излома между и

3.1.3. Второй случай анизотропии

3.2. Задача сопряжения жесткого и полужесткого включений

3.2.1. Излом на стыке жесткой и полужесткой части

3.2.2. Идеальное сцепление между жестким и полужестким включениями

3.3. Задача сопряжения двух полужестких включений

3.3.1. Идеальное сцепление между включениями

3.3.2. Излом между включениями 71 и

3.4. Выводы по третьей главе

4. Численное решение задач равновесия двумерных упругих тел с тонкими анизотропными включениями при наличии отслое-

ния

4.1. Задача о тонком отслоившемся полужестком включении в двумерном упругом теле

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Декомпозиция области

4.1.3. Приближенная задача

4.1.4. Итерационный алгоритм

4.1.5. Линейная задача о тонком полужестком включении

на границе двумерного упругого тела

4.1.6. Уточненный алгоритм

4.1.7. Примеры численного решения

4.2. Задача о сопряжении включения Тимошенко и тонкого полужесткого включения в двумерном упругом теле

4.2.1. Постановка задачи о сопряжении с изломом и декомпозиция области

4.2.2. Приближенная задача

4.2.3. Линейная задача о тонких упругом и полужестком включениях на границе двумерного упругого тела

4.2.4. Уточненный алгоритм

4.2.5. Численная реализация

4.3. Численное решение задачи о сопряжении тонких жесткого и полужесткого включений в двумерном упругом теле

4.3.1. Постановка задачи

4.3.2. Численная реализация

4.4. Выводы по четвертой главе

5. Задачи о тонких отслоившихся включениях в двумерном вязкоупругом теле

5.1. Задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела с тонким жестким включением

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Обобщенное решение

5.1.3. Существование производной по времени

5.1.4. Эквивалентность постановок

5.1.5. Предельный переход от объемного включения к тонкому

5.2. Задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела с тонким упругим включением

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Эквивалентность постановок

5.2.3. Предельный переход по параметру жесткости включения

5.3. Выводы по пятой главе

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи равновесия неоднородных деформируемых тел с тонкими включениями при наличии отслоений»

Актуальность темы исследования

Актуальность темы исследования обусловлена расширением использования композитных материалов, в том числе волокнистых, и необходимостью уточнения математических моделей, использующихся при их изучении. Появление новых материалов, а также возможности производства материалов с заданными свойствами требует обоснования теоретических методов анализа их свойств. В то же время существенная разница физических и геометрических характеристик матрицы и включения приводит к необходимости разработки сложных моделей, корректно отражающих поведение функций перемещений точек тел, находящихся в контакте или в условиях сцепления. Моделирование тонких включений на основе теории упругих балок позволяет рассматривать как модели включений с упругими свойствами, так и предельные случаи при бесконечных значениях параметров жесткости. Отслоение включений от окружающей матрицы также представляет собой не только сложную задачу механики, но и математическую проблему постановки и изучения краевой задачи с нелинейными условиями на границе контакта включения и матрицы, при этом сама зона отрыва включения может быть неизвестной. Кроме того, тема исследования содержит задачи сопряжения тонких включений, с которыми связаны явления, наблюдаемые в результате нарушения технологии производства композитных материалов с короткими волокнами, а также дефекты и изломы в самих волокнах. Получаемые в данном случае неоднородности влияют на механические свойства материалов и конструкций в целом, поэтому изучение корректности постановок задач равновесия таких объектов также является актуальной темой исследования.

Обзор исследований по теме диссертации

В настоящем диссертационном исследовании для моделирования тонких упругих включений используются соотношения для упругих балок, например, модель балки Вернул ли - Эйлера, которая предполагает, что нормальные к оси балки сечения остаются нормальными к ней и после деформирования. В данном направлении опубликовано множество результатов [30,54,73,101,106,179,180,186,188,200] и др. В частности, для данной модели рассмотрены задачи оптимального управления параметрами включения и некоторые обратные задачи [102,179,181,185], в статьях [52,100,103,104,199] изучались модели слабо искривленных тонких включений и стержней. В работах [29,171,187,251,258] для описания тонкого включения используется модель балки Тимошенко, учитывающая сдвиговые деформации. Задачи о тонких включениях, описываемых в рамках теории упругих балок, также рассматриваются в работах [234, 256, 257]. Общий обзор математических моделей тонких отслоившихся включений, формулируемых в рамках теории упругих балок Берну ыи - Эйлера и Тимошенко, а также моделей, получаемых на их основе, можно найти в [104]. В частности, в этой работе обсуждается связь поставленных моделей с задачами о тонких жестких включениях, а также возможности получения анизотропных моделей включений в результате предельного перехода по параметру жесткости в одном из направлений. Отметим также, что особенность постановки задач о тонких включениях в двумерном теле заключается в рассмотрении контакта деформируемых тел разных размерностей, в этой области рассмотрены различные задачи и разработаны специальные методы [71,82]. Моделирование различных видов тонких включений в упругих и неупругих телах, в том числе с отслоением, является предметом широкого ряда исследований, некоторые подходы к их изучению можно также найти, например в [2,25,31,49,59,86,87,94,95,124,125,150,158,205,237,242,253,260,263,271]. Механика разрушения волокнистых композитов описана в большом числе работ, отметим некоторые из них, имеющие отношение к теме настоящего исследования - [7,25,59,74,96,107,114-116,134,162,164,228,230,248,253,255, 267,274].

Постановка задачи об отслоившемся от матрицы включении предполагает наличие трещины. Математически трещина моделируется как разрез в области, которую занимает тело, считается, что разрез при этом имеет два берега и на каждом из них функции перемещений и компоненты напряжений могут принимать различные значения. Таким образом, задача ставится в области с разрезом, и на берегах разреза, как на части границы, должны быть заданы граничные условия. Классическая постановка задач о трещине предусматривает линейные краевые условия на трещине, преимущественно имеющие вид

an = 0,

где а - тензор напряжений, п - вектор нормали к границе, т.е. к кривой, соответствующей одному из берегов трещины (см. напр. в [229,233,235]). Данные краевые условия типа равенств являются линейными и в ряде прикладных случаев, как показано, например в [47,221], могут приводить к противоречивым явлениям взаимного проникновения точек противоположных берегов трещины. Для предотвращения этого недостатка, в постановке задач могут быть заданы краевые условия, имеющие вид неравенств и заранее исключающие проникание. Данный вид условий относят к типу условий Синьорини [36,90], и на берегах трещины в двумерном теле имеют вид

[и]п > 0. (0.1)

Здесь квадратные скобки обозначают скачок функции, заключенной в них, на берегах разреза, т.е. и+ — и-, где и± - значения перемещений точек тела на положительном и отрицательном берегу трещины. Скачок нормальных перемещений [и]п характеризует раскрытие трещины в точке и условие (0.1) соответствует неотрицательному раскрытию трещины. Данное условие нелинейно, носит односторонний характер и связано с граничными соотношениями в контактной задаче Герца [128,203,204,269,270] ("nonpenetration condition", "Hertz-Signorini-Moreau conditions"). В контактных задачах величину [и]п также называют "нормальным расстоянием в точке", а условие, аналогичное (0.1), связывают с "функцией непрони-

кания" - функцией минимального расстояния между зонами возможного контакта. Односторонние условия типа (0.1) используются в различных контактных задачах [71, 82,111,118,126,146,167,174,175, 247, 262] и др. В контактных задачах используются различные подходы для изучения и решения, например, известен подход с использованием тонкого контактного слоя [147,148,206,272], в том числе с отслоением [164,165,225], в некоторых случаях могут рассматриваться предельные случаи при стремлении толщины контактного слоя к нулю ( [224,250]), другие подходы [139,270]. В контексте численного анализа задач с односторонними условиями для уточнения описания взаимодействия контактирующих тел используются также контактные конечные элементы [43-45]. Подход, изложенный в настоящей работе, использует условия вида (0.1) на берегах трещины, образующейся в результате отслоения тонкого включения. При этом включение расположено на нижнем берегу трещины, таким образом, перемещения точек включения и точек нижнего берега трещины должны совпадать.

Задачи с краевыми условиями (0.1) являются нелинейными и требуют специальных методов исследования. Общие подходы к изучению задач для упругих и неупругих тел с трещинами и условиями непроникания вида (0.1) можно найти в монографиях [98,183,213], в которых изложен метод вариационных неравенств. В нелинейных задачах теории упругости вариационное неравенство является эквивалентной постановкой задачи минимизации потенциальной энергии и позволяет, как следствие при достаточной гладкости решений, выписать полную систему уравнений и граничных условий. Так, полная система краевых условий на берегах трещины содержит условия на функции касательных и нормальных напряжений, имеющие ясную физическую интерпретацию. Отметим, что условия вида (0.1) приводят к системе, соответствующей отсутствию касательных напряжений, т.е. задаче без трения. Для учета фрикционного взаимодействия берегов трещины может быть рассмотрен более сложный вид условий непроникания [36,117,155,156,208]. Теоретические исследования задач с условиями непроникания для трещин интенсивно ведутся в течение последних десятилетий и имеется широкий спектр проблем, изученных в этой области. Так, например, получены вариационные и дифференциальные постановки для

задач о трещинах в упругих двумерных и трехмерных телах, обосновано существование и единственность решений, в том числе для задач о пластинах и оболочках [37,38,60,61,157,219,239], их качественные и асимптотические свойства [34,207]. Исследованы задачи оптимального управления [39,108], получены формулы для производной функционала энергии, позволяющие применить критерий Гриффитса распространения трещины [33,88]. Для задач о трещинах с возможным контактом берегов и для ряда задач об отслоившихся включениях с односторонними условиями построены алгоритмы численного решения [28,209], в основе некоторых из них лежит метод декомпозиции области [76,78,80,81,251]. Вариационный подход распространен также на некоторые неупругие случаи тел с трещинами и контактные задачи с односторонними ограничениями [62,63,168,240]. Для контактных задач с условиями типа Синьорини в случае сложной геометрии границы и пересечения ее с кривой трещины, при которых не выполняется неравенство Корна, применяется метод фиктивных областей [89]. Вариационная и дифференциальная постановки являются в определенном смысле эквивалентными, при этом формулировка задачи в виде вариационного неравенства требует более низкой гладкости решений по сравнению с дифференциальной, а также предполагает достаточно общий подход при доказательстве разрешимости [98]. Математические методы исследования различных задач с условиями типа Синьорини можно также найти, например, в [11,22,27,32,40,58,97,109], теоретические результаты, позволяющие получать численные решения вариационных неравенств, изложены в монографии [23].

Существенная часть диссертации отведена задачам сопряжения тонких отслоившихся включений в упругом двумерном теле. Это означает, что два тонких включения могут контактировать между собой в концевых точках, и для корректного решения задачи в этом случае необходимо задавать условия сопряжения в точке. Полный вид условий сопряжения заранее неизвестен и должен быть получен из вариационной постановки задачи (в виде вариационного неравенства в случае отслоившегося включения и в форме уравнения для задачи без отслоения). Рассмотрены задачи о сопряжении нескольких типов тонких включений и разные виды сопряжения: при на-

личии и отсутствии излома между включениями, а также с параметром повреждаемости.

Задачи сопряжения широко исследуются как математическая проблема, а также с точки зрения приложений в механике [40,49,50,53,73,84,169,210, 220]. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными в некоторых случаях им соответствуют постановки, содержащие операторы с разрывными коэффициентами, имеющими скачок на границе примыкающих областей. Нарушение непрерывности коэффициентов уравнений может приводить к отсутствию гладкости решений и их производных [1,83]. Задачи сопряжения в механике возникают при описании как взаимодействия слоистых систем, так и деформируемых тел с включениями, в постановке которых необходимо задание условий сопряжения на границе раздела слоев [3,13,14, 20,159] или границе включений. Условия сопряжения в случае идеального сцепления предполагают непрерывность перемещений и напряжений [114,265], а в случае отслоения необходимо задавать условия, аналогичные условиям на трещине. Например, к этому классу можно отнести задачи об объемных упругих и жестких включениях, для которых рассматривались случаи как с отслоением, так и без отслоения [10,42,55,56,64,65,75-77,79,99,160,189,212,214,216-218,254].

В то же время, результаты, изложенные в диссертации, можно сравнивать с другими известными результатами в теории стержневых систем и балок. Поскольку для описания включений используются модели упругих балок, то задачи сопряжения тонких включений, в определенном смысле примыкают к задачам о повреждении упругой балки. Так, например, в случае сопряжения включений с изломом можно провести сравнение получаемых условий сопряжения с известными ранее условиями в точке полного повреждения балки или контакта двух отдельных балок; случай отсутствия излома можно соотнести с задачей о балке без повреждений; задачи с параметром повреждаемости также можно сравнивать с различными моделями повреждения балок [8,18,19,135,138, 222, 236], а также с различными условиями, возникающими в моделях с сосредоточенными в точке неоднородностями [273]. Поскольку в диссертации рассмотрено сопряжение включений, описываемых разными моделями балок либо пред-

ставленных моделями жестких и полужестких включений, то с учетом этих моделей и наличия окружающей упругой среды условия сопряжения будут иметь специальный вид.

Несмотря на наличие большого количества работ, посвященных исследованию моделей тонких отслоившихся включений в упругих телах, основанных на теории балок, недостаточно исследованными остаются задачи о контакте и сопряжении нескольких тонких включений с условиями непроникания. Задачи об отслоившихся тонких упругих и жестких включениях в вязкоупругих телах с использованием нелинейных условий непроникания на сегодняшний день также недостаточно изучены.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является выполнение комплекса исследований для проблем равновесия неоднородных деформируемых тел с тонкими включениями при наличии отслоения. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1) исследовать задачи сопряжения для широкого класса тонких изотропных и анизотропных включений в двумерных упругих телах и получить соответствующие системы условий сопряжения;

2) для поставленных задач сопряжения проанализировать предельные переходы по параметру жесткости тонких включений;

3) для задач об анизотропных тонких включениях в двумерных упругих телах разработать алгоритмы численного решения с учетом наличия отслоения и сопряжения включений;

4) изучить задачи равновесия двумерных вязкоупругих тел, содержащих тонкие изотропные включения.

Методы исследования

В работе используются современные методы и подходы математической теории упругости, в том числе энергетические принципы, учитывающие геометрические и структурные особенности рассматриваемых задач, метод вариационных неравенств в теории нелинейных краевых задач, а также методы функционального анализа, дифференциальных уравнений с частными производными; в численном решении задач применен метод конечных элементов.

Научная новизна и основные результаты работы

В диссертации получены следующие результаты, обладающие научной новизной.

1) Разработаны математические модели деформирования двумерных упругих тел с трещинами, содержащих контактирующие в точке тонкие изотропные включения. Модели характеризуются соотношениями теории тонких балок, используемыми для описания деформирования упругих включений и заданной структурой функций перемещений для характеристики тонких жестких включений. Получены условия сопряжения в общей точке включений для различных значений параметра, описывающего характер соединения. Обоснован предельный переход при стремлении параметра жесткости упругого включения к бесконечности.

2) Исследованы математические модели сопряжения тонких отслоившихся анизотропных включений в двумерном упругом теле. Жесткость анизотропного тонкого включения предполагается бесконечной вдоль одного из направлений и фиксированной вдоль другого направления. Для задач о контакте анизотропных включений с упругими, жесткими и полужесткими тонкими включениями получены условия сопряжения в их общей точке с учетом типа соединения. Обоснован

предельный переход при стремлении параметра жесткости упругого или полужесткого включения к бесконечности.

3) Для задач о тонких анизотропных включениях в двумерном упругом теле на основе метода декомпозиции области разработаны алгоритмы их численного решения в случаях одного отслаивающегося включения, а также при сопряжении полужесткого включения с другими типами включений. Итерационные алгоритмы реализованы с учетом особенностей структуры функций перемещений полужесткого включения, условий на берегах трещины, образующейся при отслаивании, а также условий сопряжения. Для решения нелинейной задачи в области с разрезом применяется декомпозиция данной области, и в полученных подобластях решаются соответствующие линейные задачи. Методом множителей Лагранжа обеспечивается выполнение условий непроникания на контактирующих границах подобластей. Построены сходящиеся алгоритмы типа Удзавы для численного решения поставленных задач. Приближенное решение с заданной точностью удовлетворяет всем уравнениям и неравенствам краевых задач.

4) Проведен анализ математических моделей отслоившихся тонких упругих и жестких включений в двумерном вязкоупругом теле. Исследованы вопросы разрешимости соответствующих задач и получены эквивалентные вариационные и дифференциальные постановки. Изучена взаимосвязь задач о тонком жестком включении и об объемном жестком включении в вязкоупругом теле.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, согласованностью с ранее известными результатами в смежных направлениях исследований, результатами численной реализации.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Теоретическая значимость результатов, полученных в настоящей диссертации, заключается в расширении класса исследованных задач о тонких включениях в двумерном упругом теле в рамках моделей с неизвестной областью контакта.

Практическая значимость результатов определяется возможностью применения разработанных математических моделей при анализе деформирования широкого класса конструкций из композитных материалов.

Апробация результатов исследования

По теме диссертации опубликовано 38 научных статей, в том числе 33 в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертаций. Данный список публикаций включает 22 научные статьи в изданиях, индексируемых базами данных Scopus и Web of Science.

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях и научных семинарах:

IV, VII, IX международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2014, 2020); Межд.конф., поев. 80-летию со дня рожд.акад.М.М.Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики"(Новосибирск, 2012); XII, XVII Int. Seminar "Mathematical models and modeling in laserplasma processes and advanced science technologies" (Montenegro, 2014, 2017); V межд.конф. "Математика, ее приложения и математическое образование" (Улан-Удэ, 2014); Межд. науч.-пр. конф., поев. 20-летию Политехнического института (филиал) СВ-ФУ имени М.К. Аммосова в г. Мирном. (Мирный, 2014); Int. Conf.-Sem. "Recent trends of mathematical research" (UK, Keele, 2016); Всеросс. науч. конф. "Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных", поев. 100- летию акад. A.B. Бицадзе (Москва, 2016); XXIV Байкальская всеросс. конф. с межд. уч. "Информационные и математические технологии в науке и управлении" (Иркутск, 2019); Всеросс. конференция и школа

для молодых ученых, поев. 100-летию ак. Л. В. Овсянникова "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 2019); Межд. конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 2019); IX Евразийский симпозиум по проблемам прочности и ресурса в условиях низких климатических температур "Eurastrencold 2020"(Якутск, 2020); XIII Межд. конф. "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань 2020); Russia-Japan Workshop "Mathematical analysis of fracture phenomena for elastic structures and its applications (Новосибирск, 2019, 2020); 91s Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics -2020 (Kassel, Germany, 2021); IX Межд. конф., поев. 120-летию со дня рожд. ак. М. А. Лаврентьева "Лаврентьев-ские чтения по математике, механике и физике"(Новосибирск, 2020); научный семинар НИИ математики Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова под руководством д.ф.-м.н. Е.И. Егорова; научный семинар Института математики и информатики Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова под рук. д.ф.-м.н. Н.П. Лазарева; научный семинар "Краевые задачи механики сплошных сред" Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева под рук. д.ф.-м.н. А.М. Хлуднева; научный семинар School of Computing and mathematics, Keele University, под руководством prof. J. Kaplunov.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 301 страница, список литературы содержит 275 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, приведен обзор литературы по теме, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, приведены новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, обоснована достоверность и приведена апробация результатов.

Первая глава носит вводный характер и содержит сведения из функционального анализа, теории вариационного исчисления, базовые матема-

тические модели тонких включений, сформулированные в рамках теории упругих балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко, а также предельные случаи этих моделей для нулевых и бесконечных значений параметра жесткости включения.

Во второй главе рассмотрены задачи сопряжения тонких изотропных включений с различными физическими свойствами в упругом теле. Целью исследования является получение на основе вариационных постановок задач равновесия условий сопряжения, выполняющихся в точке контакта или соединения включений. Для поставленной цели необходимо получить полную систему уравнений и условий в области с разрезом, на линии отслоения включений, а также в точке сопряжения. Исследованы задачи о сопряжении двух упругих включений, моделируемых как балки Бернулли-Эйлера и Тимошенко, а также о сопряжении включения Тимошенко и тонкого жесткого включения. В последнем случае поставлены задачи для различных случаев сопряжения включений: излом между включениями, идеальное сцепление и соединение с параметром повреждаемости. Получены результаты о предельном переходе по параметру жесткости упругого включения. Приведены численные примеры отдельных задач данного типа, иллюстрирующие свойства получаемых решений.

Модели, рассмотренные в третьей главе, объединяют случаи сопряжения включений с анизотропными свойствами с другими видами включений. Под анизотропным в данном случае понимается так называемое полужесткое включение, перемещения для которого в одном из направлений описываются функциями заданной структуры. Изучаются следующие виды сопряжений: полужесткие включения, контактирующие с тонким упругим включением, сопряжение жесткого и полужесткого включения; сопряжение двух полужестких включений. Для различных случаев сопряжения также рассматриваются предельные переходы по параметру жесткости.

В четвертой главе рассмотрены вопросы численного решения задач о равновесии двумерных упругих тел с тонкими полужесткими включениями и их сопряжение с другими видами включений. Для рассматриваемых задач разработаны алгоритмы численного решения, учитывающие заданную структуру функций перемещения точек анизотропного включения, нели-

нейные условия на берегах трещины, а также вид условий сопряжения.

В пятой главе рассмотрены задачи равновесия тонких включений в двумерном вязкоупругом теле. Рассмотрены случаи тонкого жесткого и упругого включений при наличии отслоения от вязкоупругой матрицы. Исследуются вопросы разрешимости, существования производной по времени, а также предельные переходы.

По содержанию второй - пятой глав сформулированы выводы, заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

Личный вклад автора

При постановке задач исследования, обсуждении научной проблематики и получении результатов вклад соавторов совместных публикаций равнозначен.

Глава 1.

Математические модели двумерных упругих тел с тонкими отслоившимися включениями

В диссертации исследуются задачи о тонких включениях, математические модели для которых построены в рамках теории тонких упругих балок Бернулли-Эйлера и Тимошенко и их предельных случаев. В данной главе рассмотрены как основные модели одиночных изотропных тонких включений (Бернулли - Эйлера, Тимошенко, а также жестких) в упругих двумерных телах, так и случаи анизотропных включений, получаемые предельным переходом по параметрам жесткости в одном из направлений. Данная глава имеет вводный характер, в ней изложены ранее известные теоретические результаты, полученные в работах [29,42, 54,100,171,177,184,188], а также приведены примеры численных расчетов, изложенных в работах [30,80,251].

1.1. Метод вариационных неравенств в нелинейных задачах механики трещин

Основными методами, применяемыми в диссертационном исследовании, являются вариационные подходы, в частности, метод вариационных неравенств [11,110]. Вариационное неравенство является обобщением уравнения Эйлера, выражающего минимум функционала. Случай линейной задачи соответствует минимизации данного функционала на линейном пространстве, в более общем случае нелинейность краевых условий приводит к

постановке задачи минимизации на некотором выпуклом множестве. Применение данного метода обусловлено нелинейностью граничных условий, заданных на кривой отслаивания включения от окружающей матрицы. В основе вариационной постановки лежит задача минимизации функционала энергии, вид которого зависит от геометрии рассматриваемых тел, их физических свойств, а также типа нагружения. В свою очередь свойства функционала энергии влияют на разрешимость задачи, а вид производной функционала определяет вид вариационного неравенства, являющегося эквивалентной постановкой задачи. Более подробно о применении метода вариационных неравенств в задачах механики можно найти в [22,27,32,36,85,213].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Попова Татьяна Семеновна, 2021 год

Список литературы

[1] Агранович М.С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М.: МЦНМО, 2013. - 379 с.

[2] Александров В.М., Сметанпн Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. - 222 с.

[3] В. В. Алехин. Проектирование поперечно-слоистой консоли минимальной массы при ограничении на максимальный прогиб // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. N-4. С. 104-110.

[4] Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск: При-днепр. гос. ак. стр-ва и арх-ры, 2010. - 216 с.

[5] Аннин Б.Д., Волчков Ю.М. Компактный конечный элемент, построенный на основе модифицированных уравнений теории пластин // Мат. заметки СВФУ. 2020. Том 27. № 1. С. 6-20.

[6] Аннин Б.Д., Волчков Ю.М. Неклассические модели теории пластин и оболочек // Прикладная механика и техническая физика. 2016. Т. 57. N 5. С. 5-14.

[7] Аннин Б.Д., Садовский В.М. К теории определяющих уравнений волокнистых композитов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию //XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сб. тр. В 4-х томах. 2019. С. 1021-1023.

[8] Ахтямов A.M., Ильгамов М.А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. N 1. С. 152-162.

[9] Ахтямов A.M., Ильгамов М.А. Обзор исследований по идентификации локальных дефектов стержней // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2020. № 2. С. 3-15.

[10] Баев Л.В., Воротынцев A.A. Отслоение матрицы от сферического включения // Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т. 1. № 1. С. 35—40.

[11] Байокки А., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. - 488 с.

[12] Боган Ю.А. Осреднение неоднородной упругой балки при сопряжении элементов шарниром конечной жесткости // Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т. 1. N2. С. 67-72.

[13] Боган Ю.А. Стационарные краевые задачи теории упругости с малой вязкостью // Сиб. журн. вычисл. матем. 1999. Т. 2. № 1. С. 13—20.

[14] Боган Ю.А. Осреднение слоистой упругой среды с малой динамической диссипацией на межслойной границе // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. N 4. С. 140-146.

[15] Боган Ю.А. Об анизотропии многослойных нанотрубок и высокомодульных волокон // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14. № 1. С. 40- 45.

[16] Варданян Г.С., Андреев В.П., Атаров Н.М., Горшков A.A. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд-во АСВ. 1995. - 572 с.

[17] Ватульян А.О., Гущина К.В. О реконструкции характеристик включения на основе модели Тимошенко // Изв. выс. уч. зав. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2018. № 2. С. 16-22.

[18] Ватульян А.О., Осипов A.B. Об одном подходе при определении параметров дефекта в балке // Дефектоскопия. 2014. №11. С.37-47.

[19] Ватульян А.О., Осипов A.B.. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями // Advanced Engineering Research. 2012. №8 (69). P.34 40.

[20] Волчков Ю.М. Модифицированные уравнения слоистых пластин конечных размеров из ортотропного материала. Сравнение результатов численных расчетов с аналитическими решениями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58. N 5. С. 167-177.

[21] Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. - 439 с.

[22] Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 270 с.

[23] Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 574 с.

[24] Глэдвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. - 608 с.

[25] Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Моделирование трегциностой-кости композиционных материалов // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2. №2. С. 22-39.

[26] Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Том 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М., 1973. - 273 с.

[27] Дюво Ж., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

[28] Жильцов A.B., Намм Р.В. Метод множителей Лагранжа для решения модельной задачи с трещиной // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т.22. №1. С. 93-103.

[29] Итоу X., Лойгеринг Г., Хлуднев A.M. Тонкие включения Тимошенко в упругом теле с возможным отслоением // Докл. АН. 2014. Т. 458, № 1. С. 32-35.

[30] Казаринов H.A., Рудой Е.М., Слесаренко В.Ю., Щербаков В. В. Математическое и численное моделирование равновесия упругого тела, армированного тонким упругим включением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 5. С. 790-805.

[31] Каландия А.И. О напряженном состоянии в пластинах, усиленных ребрами жесткости // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 538-543.

[32] Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. - 256 с.

[33] Ковтуненко В.А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов// ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 109-123.

[34] Козлов В.А., Хлуднев A.M. Асимптотика решения уравнения Пуассона вблизи вершины трещины с нелинейными краевыми условиями на берегах // Доклады Академии наук. 2006. Т. 411, № 5. С. 583-586.

[35] Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // Усп. мат. наук. 1988. Т.43. Вып. 5(263). С. 55-98.

[36] Кравчук A.C. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во МГАПИ, 1997. - 340 с.

[37] Лазарев Н.П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину// Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58-69.

[38] Лазарев Н.П., Попова Т.С. Вариационная задача о равновесии пластины с геометрически нелинейным условием непроникания для вер-

тикальной трещины // Вестник Новосибирского государственного университета. 2011. Т.11. Вып.2. С.77 88.

[39] Лазарев Н.П., Рудой Е.М., Попова Т.С. Задача оптимального управления длиной поперечной трещины в модели о равновесии двумерного тела с двумя пересекающимися трещинами // Математические заметки СВФУ. 2018. Т. 25, №3. С. 43-53.

[40] Лионе Ж,-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

[41] Лебедев И.М., Шифрин Е.И. Идентификация поперечных трещин в стержне по собственным частотам поперечных колебаний // Изв. РАН. МТТ. 2020. №4. С. 50-70.

[42] Лойгеринг Г., Хлуднев A.M. О равновесии упругих тел, содержащих жесткие включения // Докл. АН. 2010. Т. 430, № 1. С. 47-50.

[43] Лукашевич A.A., Розин Л.А. О решении контактных задач строительной механики с односторонними связями и трением методом пошагового анализа // Magazine of Civil Engineering. 2013. N 1. С. 75-81.

[44] Лукашевич A.A. Использование пошагового моделирования при решении задач с односторонними связями и трением кулона // Вестник ТОГУ. 2008. №4(11). С. 127-138.

[45] Лукашевич A.A. Численное решение задач с односторонними связями при учете нелинейных свойств контактного слоя // Вестник гражданских инженеров. 2017. №5(64). С. 71-76.

[46] Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. -544 с.

[47] Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. - 256 с.

[48] Мосолов П.П., Мясников В.П. Доказательства неравенства Корна // ДАН СССР. 1971. Т.201. Вып.1. С. 36-40.

[49] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 708 с.

[50] Назаров С.А. Асимптотика прогиба крестообразного сочленения двух узких пластин Кирхгофа // Ж. выч. мат. и мат. физ. 2018. Т. 58. № 7. С. 1197—1218.

[51] Назаров С. А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней // Успехи мат. наук. 2008. Т. 64. Вып. 1 (379). С. 37—110.

[52] Назаров С.А., Слуцкий A.C. Одномерные уравнения деформации тонких слабоискривленных стержней. Асимптотический анализ и обоснование // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. № 64:3. С. 97 130.

[53] Назаров С.А. Моделирование клепания: асимптотический анализ пластин Кирхгофа с точечными условиями Соболева // Докл. ак. наук. 2019. Т. 489. № 1. С. 34 39.

[54] Негри М., Хлуднев А.М. О равновесии упругих тел с тонкими упругими включениями // Докл. АН. 2012. Т. 443, № 3. С. 313-316.

[55] Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

[56] Неустроева Н.В. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением// Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2009. Том 9. Вып. 4. С. 51-64.

[57] Неустроева Н.В., Лазарев, Н.П. Задача сопряжения для упругих балок Берну. 1.in Эйлера и Тимошенко // Сиб. электрон, матем. изв. 2016. Т. 13. С. 26- 37.

[58] Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. - 492 с.

[59] Парцевский В. В. Расслоение в полимерных композитах. Обзор // Механика твердого тела. 2003. № 5. С. 62—94.

[60] Попова Т.С. О регулярности решений задачи равновесия для пластины с трещиной // Мат. заметки ЯГУ.1996. Т.З. Вып.2. С.124-132.

[61] Попова Т.С. Краевая задача с односторонними ограничениями на границе для упругой пластины // Мат. ЯГУ. 2003. Т.10. Вып. 2. С. 83-89.

[62] Попова Т.С. Задача о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину // Мат. ЯГУ. 2005. Т.12. Вып.2. С.60-92.

[63] Попова Т.С. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини для вязкоупругих тел // Мат. ЯГУ. 2006. Т. 13. Вып. 1. С. 105-121.

[64] Попова Т.С. Задача о равновесии трехмерного вязкоупругого тела с жестким включением. Неклассические уравнения математической физики. Сб.науч. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2012. С.177-186.

[65] Попова Т.С. Жесткое включение в задаче о вязкоупругом теле с трещиной // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т.20. Вып. 1. С.73-92.

[66] Попова Т.С. Задача о тонком жестком включении в вязкоупругом теле. Математика, ее приложения и математическое образование: материалы V межд.конф. Улан-Удэ, 2014. С.273-277.

[67] Попова Т.С. О моделировании вязкоупругого тела с тонким жестким включением // Mathematica Montisnigri. 2014. Vol. XXX, № 5-114. С.25-36.

[68] Попова Т.С. Предельный переход в задаче о вязкоупругом теле с жестким включением и трещиной // Вестник СВФУ. 2014. Т.11, №1. С.19-24.

[69] Попова Т.С. Задача о равновесии вязкоупругого тела с тонким жестким включением // Мат. заметки СВФУ. 2014. Том 21, № 1. С. 47-55.

[70] Попова Т.С. Задача о равновесии вязкоупругого тела с трещиной и тонким жестким включением // Мат. заметки СВФУ. 2014. Том 21, № 2. С. 94-105.

[71] Попова Т.С. Задача о контакте вязкоупругой пластины с упругой балкой // Сиб. журн. индустр. математики. 2016. Т. 19, № 3. С.41-54.

[72] Попова Т.С. Задачи о тонких включениях в двумерном вязкоупругом теле // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, №2. С. 66-78.

[73] Пурис В.А. Задача о сопряжении тонких упругого и жесткого включений в упругом теле // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, №3. С. 70-79.

[74] Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 743 с.

[75] Ротанова Т.А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, N 2. С. 107-118.

[76] Рудой Е.М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. Вып. 2. С. 98-117.

[77] Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной //Прикл. мат. и техн. физ. 2011. Т. 52, № 2. С. 114-127.

[78] Рудой Е. М. Метод декомпозиции области для модельной задачи теории трещин с возможным контактом берегов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55, № 2. С. 310-321.

[79] Рудой Е. М. Численное решение задачи о равновесии мембраны с жесткими включениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56, № 3. С. 455 464.

[80] Рудой Е.М. Численное решение задачи о равновесии упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. журн. индустр. матем. 2016. Т. 19, № 2. С. 74^87.

[81] Рудой Е.М., Казаринов H.A., Слесаренко В.Ю. Численное моделирование равновесия двухслойной упругой конструкции со сквозной трещиной // Сиб. журн. вычисл. матем. 2017. Т. 20, № 1. С. 77—90.

[82] Рудой Е.М., Хлуднев A.M. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журн. индустр. матем. 2009. Т. 12, № 2. С. 120-130.

[83] Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

[84] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва. Мир. 1984 - 471 с.

[85] Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. - 244 с.

[86] Сильвестров В.В., Смирнов A.B. Упругие напряжения в плоскости с тонкостенным кусочно-однородным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. Вып. 2(23). С. 83-88.

[87] Сильвестров В.В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Изв. вузов. Матем. 2004. N 7. С. 78-91.

[88] Соколовский Я., Хлуднев A.M. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости.// Прикл. матем. и механика. 2000. Т.64. Вып.З. С. 464-475.

[89] Степанов В.Д., Хлуднев A.M. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини // Докл. АН. 2003. Т. 392, № 1. С. 17-20.

[90] Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.

[91] Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1972.

- 507 с.

[92] Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. М.: Наука, 1975. 704 с.

[93] Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. -560 с.

[94] Ткачева Л.А. Нестационарное развитие трещины в балочном приближении // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. МДТТ. 2011. № 4 (4). С. 1806—1807.

[95] Устинов К.В.. О сдвиговом отслоении тонкой полосы от полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 6. С.141-152.

[96] Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Мир, 1982. - 232 с.

[97] Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

- 159 с.

[98] Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010. - 252 с.

[99] Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. N 5. С. 98-110.

[100] Хлуднев A.M. Слабо искривленное включение в упругом теле при наличии отслоения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2015, № 5. С. 131-144.

[101] Хлуднев A.M. Оптимальное управление включениями в упругом теле, пересекающими внешнюю границу // Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18, № 4. С. 75-87.

[102] Хлуднев A.M. Оптимальное управление жестким тонким включением, пересекающим границу упругого тела // Прикл. матем. мех. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 699-709.

[103] Хлуднев A.M. Асимптотика анизотропных слабо искривленных включений в упругом теле // Сиб. журн. индустр. матем. 2017. Т. 20, № 1. С. 93-104.

[104] Хлуднев A.M., Попова Т.С. Об иерархии тонких включений в упругих телах // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 1. С. 87-105.

[105] Хлуднев A.M., Попова Т.С. О задаче сопряжения двух слабо искривленных включений в упругом теле // Сиб. Мат. Ж. 2020. Т. 61, № 4. С. 932-945.

[106] Хлуднев A.M., Щербаков В.В. Сингулярные инвариантные интегралы для упругих тел с тонкими упругими включениями и трещинами // Докл. АН. 2016. Т. 471, № 4. С. 425-429.

[107] Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. - 296 с.

[108] Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа-Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16. N 4. С. 142-151.

[109] Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Мир, 1979. - 400с.

[110] Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 с.

[111] Advances In Computational Coupling And Contact Mechanics. Ed.: L. Rodríguez-Tembleque, M. H. F. Aliabadi. 2018. 416 p. https://doi.org/10.1142/q0139.

[112] Allix O., Ladeveze P. Interlaminar interface modelling for the prediction of delamination // Composite Structures. 1992. V. 22, Issue 4. P. 235-242.

[113] Allix O., Ladeveze P., Corigliano A. Damage analysis of inter laminar fracture specimens // Composite Structures. 1995. V. 31, Issue 1. P. 6174.

[114] Andrianov I.V., Awrejcewicz J., Danishevskyy V.V. Asymptotical Mechanics of Composites Modelling Composites without FEM. Springer International Publishing, 2018. - 329 p.

[115] Andrianov I.V., Danishevskyy V.V., Topol H. Local stress distribution in composites for pulled-out fibers with axially varying bonding // Acta Mech. 2020. V. 231. P. 2065^2083.

[116] Annin B.D., Sadovskii V.M., Petrakov I.E., Vlasov A.Yu. Strong bending of a beam from a fibrous composite, differently resistant to tension and compression // J. of Siberian Federal University. Math. Phys. 2019. N 12(5). P. 533—542.

[117] Arghir M., Benchekroun O. A simplified structural model of bump-type foil bearings based on contact mechanics including gaps and friction // Tribology International. 2019. V. 134. P. 129-144.

[118] Badea L., Lebon F. Schwarz method for dual contact problems // Computational and Applied Mathematics. 2017. N 36 (1). P.719-731.

[119] Ballarini R. Elastic stress diffusion around a thin corrugated inclusion // IMA Journal of Applied Mathematics. 2011. N 76. 633-641.

[120] Bandeira A., Wriggers P., Pimenta P. Numerical derivation of contact mechanics interface laws using a finite approach for large 3D deformation // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. 2004. V. 59. P. 173 -195.

[121] Bare Z., Orlik J. Asymptotics for a thin elastic fiber in contact with a rigid foundation // PAMM. V. 11. Issue 1. Special Issue: 82nd Annual Meeting of the Int. Ass. of Appl. Math, and Mech. (GAMM), Graz 2011; P. 501-502.

[122] Barenblatt G.I. The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture // Advances in Applied Mechanics. 1962. V. 7. P. 55129.

[123] Becache E., Nedelec J.-C., Nishimura N. Regularization in 3D for anisotropic elastodynamic crack and obstacle problems // Journal of Elasticity. 1993. N 31. P. 25-46.

[124] Bessoud A.-L., Krasucki F.. Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity// Comptes Rendus Mathematiques. 2008. V. 346. P. 697-702.

[125] Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings// Asymptotic Analysis. 2009. V. 61. N 1. P. 1-19.

[126] Bog T., Zander N., Kollmannsberger S., Rank E. Normal contact with high order finite elements and a fictitious contact material // Computers and Mathematics with Applications. 2015. V. 70, Issue 7. P. 1370-1390.

[127] Bonetti E., Bonfanti G., Lebon F. Derivation of imperfect interface models coupling damage and temperature / / Computers and Mathematics with Applications. 2019. V. 77 (11). P. 2906-2916.

[128] Borodich, F.M. The Hertz frictional contact between non-linear elastic anisotropic bodies (the similarity approach) // Int. J. Solids Structures. 1993. V. 30. P. 1513-1526.

[129] Brito-Santana H., Christoff B.G., Ferreira A.H.M., Lebon F., Rodriguez-Ramos R., et al. Delamination influence on elastic properties of laminated composites // Acta Mechanica. 2019. V. 230 (3). P. 821-837.

[130] Caddemi S., Calio I. Exact solution of the multi-cracked Euler-Bernoulli column // Int. J. of Solids and Structures. 2008. V. 45, Issue 5. P. 13321351.

[131] Caddemi S., Calio I., Cannizzaro F. The influence of multiple cracks on tensile and compressive buckling of shear deformable beams // Int. J. of Solids and Structures. 2013. V. 50, Issues 20-21. P. 3166-3183.

[132] Caddemi S., Morassi A. Multi-cracked Euler-Bernoulli beams: Mathematical modeling and exact solutions // Int. J. of Solids and Structures. 2013. V. 50, Issue 6. P. 944-956.

[133] Caillerie D. The Effect of a Thin Inclusion of High Rigidity in an Elastic Body // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1980. N 2. P. 251 -270.

[134] Carey J., Fahim A., Munro M. Predicting Elastic Constants of 2D-Braided Fiber Rigid and Elastomeric-Polymeric Matrix Composites // J. of Reinforced plastics and composites. 2004. V. 23, No. 17. P. 18451857.

[135] Chondros T.G, Dimarogonas A.D., Yao J., A continuous cracked beam vibration theory // J. of Sound and Vibration. 1998. V. 215, Issue 1. P. 17-34.

[136] Christides S., Barr A.D.S. One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams // Int. J. of Mech. Sci. 1984. V. 26, Issues 11-12. P. 639-648.

[137] Ciarlet P. Mathematical elasticity. Vol.2. Theory of plates. Elsevier, 1997. -497 p.

[138] Cicirello A., Palmeri A. Static analysis of Euler-Bernoulli beams with multiple unilateral cracks under combined axial and transverse loads // Int. J. of Solids and Structures. 2014. V.51, Issue 5. P. 1020-1029.

[139] Cosco F., Blockmans B., Fiszer J., Tamarozzi T., Desmet W. Efficient and accurate formulation of FE-based contact mechanics problems // Int. Conf. on Noise and Virbation. Engineering. ISMA-2016. 2016. P. 1347-1356.

[140] Costabel M., Stephan E.P. An improved boundary element Galerkin

method for three-dimensional crack problems // Integr. equ. oper. theory. 1987. N 10. P. 467—504.

[141] Dal Corso F.. Bigoni D., Gei M. The stress concentration near a rigid line inclusion in a prestressed, elastic material. Part I. Full-field solution and asymptotics // J. of the Mech. and Phys. of Solids. 2008. N 56. P. 815-838.

[142] Delyavskyy M., Opanasovych V., Bilash O. Bending by Concentrated force of a cantilever strip having a through-thickness crack perpendicular to its axis // Appl. Sci. 2020. N 10. P. 2037.

[143] Dong C.Y., Lo S.H., Cheung Y.K. Interaction between cracks and rigid-line inclusions by an integral equation approach // Computational Mechanics. 2003. N 31. P. 238-252.

[144] Dong C.Y., Lee K.Y. Numerical analysis of doubly periodic array of cracks/rigid-line inclusions in an infinite isotropic medium using the boundary integral equation method // Int. J. of Fracture. 2005. N 133. P. 389-405.

[145] Duduchava R., Wendland W.L. The Wiener-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with an application to crack problems // Integr. equ. oper. theory. 1995. N 23. P. 294—335.

[146] Dumont S., Lebon F.. Rizzoni R. Imperfect interfaces with graded materials and unilateral conditions: theoretical and numerical study // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 23 (3). P. 445-460.

[147] Dumont S., Lebon F.. Rizzoni R. Modeling of stiff interfaces: from statics to dynamics // Machine Dynamics Research, Warsaw University of Technology edition. 2013. V. 37 (1). P. 37-50.

[148] Dumont S., Lebon F., Rizzoni R. An asymptotic approach to the adhesion of thin stiff films // Mechanics Research Communications. 2014. V. 58. P. 24-35.

[149] Dumont S., Lebon F.. Raffa M.L., Rizzoni R. Towards nonlinear imperfect interface models including micro-cracks and smooth roughness // Annals of Solid and Structural Mechanics. 2017. V. 9 (1-2). P. 13-27.

[150] Dyyak I. I., Rubino B., Savula Ya. H., Styahar A. O. Numerical analysis of heterogeneous mathematical model of elastic body with thin inclusion by combined BEM and FEM // Mathematical Modeling and Computing. 2019. V. 6. N. 2. P. 239-250.

[151] El Jarroudi M. Homogenization of an elastic material reinforced with thin rigid von Karman ribbons // Mathematics and Mechanics of Solids. 2018. V. 24. P. 1-27.

[152] Eroglu U., Tufekci E. Exact solution based finite element formulation of cracked beams for crack detection // Int. J. of Solids and Structures. 2016. V. 96. P. 240-253.

[153] Faella L., Khludnev A.M. Junction problem for elastic and rigid inclusions in elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39. P. 3381-3390.

[154] Fedelinski P. Effective elastic properties of composites with randomly distributed thin rigid fibres // Arch. Appl. Mech. 2021. V. 91. P. 135-149.

[155] Fisher K.A., Wriggers P. Mortar based frictional contact formulation for higher order interpolations using the moving friction cone // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 2006. V.195. P. 5020-5036.

[156] Furtsev A.I., Itou H., Kovtunenko V.A., Rudoy E.M., Tani A. On unilateral contact problems with friction for an elastic body with cracks, in: Analysis of Inverse Problems Through Partial Differential Equations, K. Tanuma (Ed.). RIMS Kokyuroku 2174, Kyoto University, 2021.

[157] Furtsev A., Rudoy E. Variational approach to modeling soft and stiff interfaces in the Kirchhoff-Love theory of plates // Int. J. of Solids and Structures. 2020. V. 202. P. 562-574.

[158] Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F.. Sili A. On the junction of elastic plates and beams // Comptes Rendus Mathematique. 2002. V. 335. P. 717-722.

[159] Gaudiello A., Zappale E. A model of joined beams as limit of a 2D plate // J. Elasticity. 2011. V. 103. P. 205-233.

[160] Giusti S., Novotny A., Padra C. Topological sensitivity analysis of inclusion in two-dimensional linear elasticity // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. V. 32. N 11. P. 926-935.

[161] Gonzalez F.. Suarez B., Paulin J., Fernandez I. Safety assessment of underground vehicles passing over highly resilient straight track in the presence of a broken rail // Proc. Inst. Mech. Eng. Part F-J. Rail R. 2008. V. 222. P. 69-84.

[162] Gorbatikh L., Lomov S.V., Verpoest I. Relation between elastic properties and stress intensity factors for composites with rigid-line reinforcements // Int. J. Fract. 2010. V. 161. P. 205-212.

[163] Goudarzi M., Dal Corso F.. Bigoni D., Simone A. Dispersion of rigid line inclusions as stiffeners and shear band instability triggers // Int. J. of Solids and Structures. 2021. V. 210-211. P. 255-272.

[164] Guinovart-Diaz R., Rodriguez-Ramos R., López-Realpozo J.-C., BravoCastillero J., Otero J.A., et al. Analysis of fibrous elastic composites with nonuniform imperfect adhesion // Acta Mechanica. 2016. V. 227 (1). P. 57-73.

[165] Guinovart-Sanjuán D., Rizzoni R., Rodriguez-Ramos R., Guinovart-Diaz R., Bravo-Castillero J., et al. Behavior of laminated shell composite with imperfect contact between the layers // Composite Structures. 2017. V. 176. P. 539-546.

[166] Grisvard P. Elliptic problems in non-smooth domains. Boston - London - Melbourne:Pitman, 1985.

[167] Gutiérrez S.V., Correa J.-C., Dominguez-Gonzalez A., Gômez-Loenzo R.-A. An Application of Isogeometric Analysis and Boundary Integral Element Method for Solving Nonlinear Contact Problems // Appl. Sci. 2020. V. 10. P. 2345.

[168] Han J., Migorski S. A quasistatic viscoelastic frictional contact problem with multivalued normal compliance, unilateral constraint and material damage // J. Math. Anal. Appl. 2016. http://dx.doi.Org/10.1016/j.jmaa.2016.05.012.

[169] Hashin Z. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. 1963. V. 11. P. 127-140.

[170] Hu K.X., Chandra A., Huang Y. On crack, rigid-line fiber, and interface interactions // Mechanics of Materials. 1994. V. 19 . P. 15-28.

[171] Itou H., Khludnev A.M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39. P. 4980— 4993.

[172] Itou H., Khludnev A.M., Rudoy E.M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. N 9. P. 716-730.

[173] Jasiuk I., Sheng P.Y., Tsuchida E. A Spherical Inclusion in an Elastic Half-Space Under Shear // Journal of Applied Mechanics-transactions of The Asme - J APPL MECH. 1997. V. 64. 10.1115/1.2788917.

[174] Jean M., Moreau J.J. Dynamics of elastic or rigid bodies with frictional contact : numerical methods. Mécanique, Modélisation Numérique et Dynamique des Matériaux, Cinquantenaire du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, Apr 1991, Marseille, France, ffhal-01864036

[175] Jean M. The non-smooth contact dynamics method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1999. V. 177 (3-4). P. 235-257.

[176] Khatir S., Dekemele K., Loccufier M., Khatir T., Wahab M.A. Crack identification method in beam-like structures using changes in experimentally measured frequencies and Particle Swarm Optimization // Comptes Rendus Mécanique. 2018. V. 346, Issue 2. P. 110-120.

[177] Khludnev A.M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A/Solids. 2012. V. 32. P. 69-75.

[178] Khludnev A. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2013. V. 83. P. 1493-1509.

[179] Khludnev A.M. Rigidity parameter identification for thin inclusions located inside elastic bodies //J. Opt. Theory Appl. 2017. V. 172. P. 281-297.

[180] Khludnev A.M. On thin inclusions in elastic bodies with defects // Z. Angew. Math. Phys. 2019. 70, 45. https://doi.org/10.1007/s00033-019-1091-5.

[181] Khludnev A.M. Thin inclusion in elastic body: identification of damage parameter // Control Cyber. 2019. V. 48. P. 13-30.

[182] Khludnev A.M., Faella L., Popova T.S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22. N 4. P. 737-750.

[183] Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of cracks in solids. Southampton, Boston: WIT Press, 2000.

[184] Khludnev A.M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci. 2010. V. 33. N 16. P. 1955-1967.

[185] Khludnev A.M., Leugering G., Specovius-Neugebauer M. Optimal control of inclusion and crack shapes in elastic bodies //J. Optim. Theory Appl. 2012. V. 155. P. 54-78.

[186] Khludnev A.M., Leugering G.R. Delaminated thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2. N 1. P. 1-21.

[187] Khludnev A.M., Leugering G.R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies// Mathematics and Mechanics of Solids. 2015. V. 20. N 5. P. 495-511.

[188] Khludnev A.M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. P. 341-354.

[189] Khludnev A.M., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2013. V. 64. P. 179-191.

[190] Khludnev A.M., Popova T.S. Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86. P. 15651577.

[191] Khludnev A.M., Popova T.S. Junction problem for Euler-Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74. P. 705-718.

[192] Khludnev A.M., Popova T.S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math Mech. 2017. V. 97. P. 1406-1417.

[193] Khludnev A.M., Popova T.S. Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary at zero angle // Acta Mechanica Solida Sinica. 2017. V. 30. P. 327-333.

[194] Khludnev A.M., Popova T.S. On crack propagations in elastic bodies with thin inclusions // Sib. Elect. Math. Reports. 2017. V. 14. P. 586-599.

[195] Khludnev A.M., Popova T.S. On Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary // AIP Conference Proceedings. 2017. V. 1907. N 020007. https://doi.org/10.1063/L5012618.

[196] Khludnev A.M., Popova T.S. Parameter identification problems for thin inclusions in elastic bodies. // Journal of Physics: Conference Series. 2017. V. 894(1), [012101]. https://doi.Org/10.1088/1742-6596/894/l/012101.

[197] Khludnev A.M., Popova T.S. Semirigid inclusions in elastic bodies: Mechanical interplay and optimal control // Computers and Mathematics with Applications. 2019. V. 77 (1). 253-262.

[198] Khludnev A.M., Popova T.S. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion //J. Comp. Appl. Math. 2020. V. 376. A. 112870. https://doi.Org/10.1016/j.cam.2020.112870.

[199] Khludnev A.M., Popova TS. On junction problem with damage parameter for Timoshenko and rigid inclusions inside elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2020. V. 100:e202000063. https://doi.org/10.1002/zamm.202000063.

[200] Khludnev A.M., Shcherbakov V.V. Singular path-independent energy integrals for elastic bodies with Euler-Bernoulli inclusions // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22. P. 2180-2195.

[201] Kim K., Han P., Jong K., Jang C., Kim R. Natural frequency calculation of elastically connected double-beam system with arbitrary boundary condition // AIP Advances 10, 055026 (2020); https://doi.Org/10.1063/5.0010984.

[202] Kim K., Kim S., Sok K., Pak C., Han K. A modeling method for vibration analysis of cracked beam with arbitrary boundary condition // J. of Ocean Engineering and Science. 2018. V. 3, Issue 4. P. 367-381.

[203] Knees D., Mielke A. Energy release rate for cracks in finite-strain elasticity// Math. Methods Appl. Sci. 2008. V. 31. N 5. P. 501-518.

[204] Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35. N 15. P. 1859-1884.

[205] Koiter W.T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1955. V. 8. Pt 2. P. 164-178.

[206] Konyukhov A., Schweizerhof K. Incorporation of contact for high order finite elements in covariant form // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 2009. V. 198, N 13-14. P. 1213-1223.

[207] Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA Journal of Applied Mathematics. 2006. V. 71. N 5. P. 635-657.

[208] Kovtunenko V.A. A variational and a boundary value problems with friction on the interior boundary // Siberian Math. J. 1998. V. 39. N 5. P. 1060-1073.

[209] V.A. Kovtunenko, Numerical simulation of the non-linear crack problem with non-penetration // Math. Meth. Appl. Sci. 2004. V. 27. N 2. P. 163-179.

[210] Kovtunenko V.A., Zubkova A.V. Homogenization of the generalized Poisson-Nernst-Planck problem in a two-phase medium: correctors and estimates // Appl. Anal. 2021. V.100. N 2. P. 253-274.

[211] Kozlov V.A., Maz'ya V.G. On stress singularities near the boundary of a polygonal crack // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1991. V. 117A. P. 31-37.

[212] Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Math. Monogr., Oxford University Press, 1999.

[213] Kravchuk A., Neittaanmáki P. Variational and Quasi-Variational Inequalities in Mechanics. Springer Netherlands, 2007. 337 p.

[214] Kuykendall W., Cash W., Barnett D., Cai W. On the Existence of Eshelby's Equivalent Ellipsoidal Inclusion Solution // Mathematics and Mechanics of Solids. 2012. 17. 10.1177/1081286511433082.

[215] Lamberti M.,Maurel-Pantel A., Ascione F., Lebon F. Influence of web/flange reinforcement on the GFRP bonded beams

mechanical response: A comparison with experimental results and a numerical prediction / / Composite Structures. 2016. ffl0.1016/j.compstruct.2016.03.043ff. fflial-01313883

[216] Lazarev N.P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion// Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66 N 4. P. 2025 - 2040.

[217] Lazarev N.P., Popova T.S., Rogerson G.A. Optimal control of the radius of a rigid circular inclusion in inhomogeneous two-dimensional bodies with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2018. V. 69 (53). https://doi.org/10.1007/s00033-018-0949-2.

[218] Lazarev N., Popova T., Semenova G. Existence of an optimal size of a rigid inclusion for an equilibrium problem of a Timoshenko plate with Signorini-type boundary condition // Journal of Inequalities and Applications. 2016:18. DOI: 10.1186/sl3660-015-0954-3.

[219] Lazarev N.P., Rudoy E.M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition// Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730-739.

[220] Le Dret H. Modeling of the junction between two rods //J. Math. Pures et Appl. 1989. V. 68. P. 365 - 397.

[221] Mueller-Hoeppe D.S., Wriggers P., Loehnert S. Crack face contact for a hexahedral-based XFEM formulation // Comput. Mech. 2012. V. 49. P. 725-734.

[222] Lebon F.. Rizzoni R. Asymptotic analysis of a thin interface: The case involving similar rigidity // Int. J. of Eng. Sci. 2010. V. 48, Issue 5. P. 473-486.

[223] Lebon F., Rizzoni R. Asymptotic behavior of a hard thin linear elastic interphase: An energy approach // Int. J. of Solids and Structures. 2011. V. 48, Issues 3-4. P. 441-449.

[224] Lebon F.. Rizzoni R. Asymptotic study of soft thin layer: the non convex case // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2008. V. 15 (1). P. 12-20.

[225] Lebon F.. Rizzoni R. Modeling a hard, thin curvilinear interface // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S. 2013. V. 6 (6). P. 1569-1586.

[226] Leugering G., Nazarov S.A., Slutskij A.S. The asymptotic analysis of a junction of two elastic beams // Z. Angew. Math. Mech. 2019; 99:e201700192. https://doi.org/10.1002/zamm.201700192.

[227] Leugering G., Nazarov S. A., Slutskij A. S. Taskinen J. Asymptotic analysis of a bit brace shaped junction of thin rods // Z. Angew. Math. Mech. 2020; 100:e201900227.

[228] Liu Y. J., Nishimura N., Otani Y., Takahashi T., Chen X. L., Munakata H. A Fast Boundary Element Method for the Analysis of Fiber-Reinforced Composites Based on a Rigid-Inclusion Model // ASME. J. Appl. Mech. 2005. V. 72(1). P. 115-128.

[229] Loehnert S., Mueller-Hoeppe D.S., Wriggers P. 3D corrected XFEM approach and extension to finite deformation theory // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2011. V. 86. P. 431-452.

[230] López-Realpozo J.-C., Rodriguez-Ramos R., Guinovart-Diaz R., Bravo-Castillero J., Otero J., et al. Effective elastic shear stiffness of a periodic fibrous composite with non-uniform imperfect contact between the matrix and the fibers // Int. J. of Solids and Structures. 2014. V. 51 (6). P. 12531262.

[231] Maurel-Pantel A., Lamberti M., Raffa M.L., Suarez C., Ascione F., et al. Modelling of a GFRP adhesive connection by an imperfect soft interface model with initial damage // Composite Structures. 2020, pp.112034. ffl0.1016/j.compstruct.2020.112034ff. ffhal-02478526.

[232] Maz'ya V. Elliptic equations in convex domains // Algebra i Analiz. 2017. V. 29, Issue 1. P. 209—221.

[233] Moes N., Dolbow J., Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1999. V. 46. P. 131-150.

[234] Nasser M., Hassen A. Embedded beam under equivalent load induced from a surface moving load // Acta Mech. 1987. V. 67. P. 237—247.

[235] Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1991.

[236] Palmeri A., Cicirello A. Physically-based Dirac's delta functions in the static analysis of multi-cracked Euler-Bernoulli and Timoshenko beams // Int. J. of Solids and Structures. 2011. V. 48, Issues 14-15. P. 2184-2195.

[237] Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions// J. Mathem. Sci. 2012. V. 186. N 1. P. 31-47.

[238] Pingle P., Sherwood J., Gorbatikh L. Properties of rigid-line inclusions as building blocks of naturally occurring composites // Composites Science and Technology. 2008. V. 68. P. 2267-2272.

[239] Popova T.S. The equilibrium problem for a linear elastic body with a crack // Мат. заметки ЯГУ. 1998. T.5. Вып. 1. С. 113-127.

[240] Popova T.S. The equilibrium problem for a linear viscoelastic body with a crack // Мат. заметки ЯГУ. 1998. T.5. Вып. 2. С. 118-134.

[241] Popova Т. On the problem of thin elastic inclusion in two-dimensional viscoelastic body // AIP Conference Proceedings. 2017. V. 1907, 030045. https://doi.Org/10.1063/l.5012667.

[242] Popova T.S. On equilibrium of a two-dimensional viscoelastic body with a thin Timoshenko inclusion // Sib. Electr. Math. Reports. 2020. Vol. 17. P. 1463-1477.

[243] Popova T.S. On numerical solving of junction problem for semirigid and Timoshenko inclusions in elastic body // Procedia Structural Integrity. 2020. V. 30. P. 113-119.

[244] Popova Т., Rogerson G.A. On the problem of a thin rigid inclusion embedded in a Maxwell material // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67(4): 105. doi: 10.1007/s00033-016-0700-9.

[245] Popova T.S. Numerical solution of the equilibrium problem for a two-dimensional elastic body with a thin semirigid inclusion // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28. т. С. 51-66.

[246] Popova Т. Mathematical and numerical modeling of junction problems for Timoshenko inclusions in elastic bodies // AIP Conference Proceedings 2328, 020004 (2021); https://doi.Org/10.1063/5.0042656

[247] Remmers J.J.C., de Borst R., Verhoosel C.V., Needleman A. The cohesive band model: a cohesive surface formulation with stress triaxiality // Int. J. Fract. 2013. V.181. P. 177-188.

[248] Rodriguez-Ramos R., Guinovart-Diaz R., Lopez-Realpozo J.-C., Bravo-Castillero J., Otero J., et al. Effective properties of periodic fibrous electro-elastic composites with mechanic imperfect contact condition. International Journal of Mechanical Sciences. 2013. V. 73. P. 1-13.

[249] Rudoy E. Asymptotic justification of models of plates containing inside hard thin inclusions // Technologies. 2020. V. 8(4) :59. https: //doi .org /10.3390/technologies8040059.

[250] Rudoy E. M. Asymptotic modelling of bonded plates by a soft thin adhesive layer // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2020. V. 17. P. 615^625.

[251] Rudoy E. M., Lazarev N. P. Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko's beam // J. of Сотр. and Appl. Math. 2018. V. 334. P. 18-26. https://doi.Org/10.1016/j.cam.2017.ll.019.

[252] Rudoy E., Shcherbakov V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optim. 2020. https://doi.org/10.1007/s00245-020-09729-5.

[253] Saccomandi G., Beatty M.F. Universal relations for fiber-reinforced elastic materials // Math. Mech. Solids. 2002. V. 7. P. 99-110.

[254] Santosa F.. Symes W. W. A model for a composite with anisotropic dissipation by homogenization // Intern. J. Solids Struct. 1989. V. 25. N 4. P. 381-392.

[255] Sevostianov I., Rodriguez-Ramos R., Guinovart-Diaz R., Bravo-Castillero J., Sabina F.J. Connections between different models describing imperfect interfaces in periodic fiber-reinforced composites // International Journal of Solids and Structures. 2012. V. 49, Issue 13. P. 1518-1525.

[256] Shavlakadze N., Odishelidze N., Criado-Aldeanueva F. The boundary value problem for piezo-electric half space with thin elastic inclusion // Mathematics and Mechanics of Solids. 2018. V. 23(6). P. 896-906.

[257] Shavlakadze N., Odishelidze N., Criado-Aldeanueva F. The boundary value contact problem of electroelasticity for piecewise-homogeneous piezo-electric plate with elastic inclusion and cut // Mathematics and Mechanics of Solids. 2019. V. 24(4). P.968-978.

[258] V.V. Shcherbakov. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96(11). P. 1306 - 1317.

[259] Shen M.-H.H., Chu Y.C. Vibrations of beams with a fatigue crack // Computers and Structures. 1992. V. 45, Issue 1. P. 79-93.

[260] Shield T.W., Kim T.S. Beam theory models for thin film segments cohesively bonded to an elastic half space // Int. J. of Solids and Structures. 1992. V. 29, Issue 9. P. 1085-1103.

[261] Sinha J.K., Friswell M.I., Edwards S. Simplified models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data // J. of Sound and Vibration. 2002. V. 251(1). P. 13-38.

[262] Di Stasio J., Dureisseix D., Gravouil A., Georges G., Homolle T. Benchmark cases for robust explicit time integrators in non-smooth transient dynamics // Adv. Model, and Simul. in Eng. Sci. 2019. V. 6:2. https://doi.org/10.1186/s40323-019-0126-y.

[263] Sukumar N., Chopp D.L., Moes N., Belytschko T. Modeling holes and inclusions by level sets in the extended finite-element method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. V. 190, Issues 46-47. P. 6183-6200.

[264] Sulym H., Piskozub Y., Polanski J. Antiplane deformation of a bimaterial with thin interfacial nonlinear elastic inclusion // Acta Mechanica et Automatica. 2018. V. 12(3). P. 190-195.

[265] Titeux I., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plates // Eur. J. Mech. A - Solid. 2000. V. 19. N 3. P. 377-400.

[266] Torabi K., Afshari H., Aboutalebi F.H. A DQEM for transverse vibration analysis of multiple cracked non-uniform Timoshenko beams with general boundary conditions // Computers and Mathematics with Applications. 2014. V. 67, Issue 3. P. 527-541.

[267] Vanegas-Jaramillo J.D., Turon A., Costa J., Cruz L.J., Mayugo J.A. Analytical model for predicting the tensile strength of unidirectional composites based on the density of fiber breaks // Composites Part B: Engineering. 2018. V. 141. P. 84-91.

[268] Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2012. V. 50. N 5. P. 533-542.

[269] Wriggers P., Zavarise G. Computational contact mechanics, encyclopedia of computational mechanics. Chapter 6. Ed. by E. Stein, R. de Borst,

Th. J.R. Hughes. Volume 2: Solids and Structures. John Wiley and Sons, Ltd., 2004.

[270] Wriggers P. Computational Contact Mechanics. John Wiley Sons Ltd, 2002. - 441 p.

[271] Xia L., Da D., Yvonnet J. Topology optimization for maximizing the fracture resistance of quasi-brittle composites // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2018. V. 332. P. 234-254.

[272] Yao J. Instability of a composite reinforced with coated inclusions due to interface debonding // Arch. Appl. Mech. 2015. V. 85. N 4. P. 415-432.

[273] Yavari A., Sarkani S., Moyer E.T. On applications of generalized functions to beam bending problems // Int. J. of Solids and Structures. 2000. V. 37, Issue 40. P. 5675-5705.

[274] Zhou M., Bezci S.E., O'Connell G.D. Multiscale composite model of fiber-reinforced tissues with direct representation of sub-tissue properties // Biomechanics and Modeling in Mechanobiology. 2020. V. 19. P. 745-759.

[275] Zirakashvili N. The numerical solution of boundary-value problems for an elastic body with an elliptic hole and linear cracks //J. Eng. Math. 2009. V. 65. P. 111-123.