Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Щербаков, Виктор Викторович

• Щербаков, Виктор Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Щербаков, Виктор Викторович

Содержание

Введение

Глава 1. Задача управления параметром жесткости тонкого включения в упругом теле с трещиной

1.1. Задачи равновесия

1.2. Производные функционалов энергии по длине трещины

1.3. Оптимальный параметр жесткости включения

Глава 2. О выборе оптимального положения точки излома

2.1. Краевая задача

2.2. Формула для производной функционала энергии

2.3. Задача оптимального управления

Глава 3. Об экстремальной форме тонкого жесткого включения в упругом теле

3.1. Постановка задачи

3.2. Экстремальная форма включения

Глава 4. Существование оптимальной формы тонкого жесткого включения в пластине Кирхгофа — Лява

4.1. Формулировка задачи равновесия

4.2. Управление формой включения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости»

Введение

Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описывающих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоением. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Си-ньорини), заданные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.

В диссертации изучаются проблемы оптимального управления для задач равновесия упругих тел, содержащих тонкие включения. Различаются три основных вида включений: упругие, жесткие и обладающие нулевой жесткостью (трещины или разрезы). Поверхности и кривые, на которых расположены тонкие включения, обычно называют внутренними концентраторами или дефектами. Их присутствие оказывает существенное влияние на прочность тел, поскольку они вызывают значительную концентрацию напряжений вблизи своих негладких участков границы. Таким образом, проблема отыскания напряжений в окрестности включения представляет собой важную задачу.

Упругое тело с тонкими жесткими или упругими включениями является одной из простых моделей композиционного материала. Изучению подобного рода моделей посвящено большое число работ. Впервые задача теории упругости о растяжении бесконечной пластинки с абсолютно жестким ядром эллиптической формы была рассмотрена Н. И. Мусхелишвили в [28]. Используя предельный переход в найденном им решении, можно получить результат и в случае тонкого жесткого включения. Задачи о прямолинейных тонких жестких включений, расположенных на линии раздела двух изотропных упругих сред и полностью сцепленных с ними, исследовались в работах [34, 66, 67, 73, 106].

В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещи-

ны. Случай полного отслоения жесткого включения от упругой матрицы при отсутствии контакта рассматривался в [34, 68, 100]. Цикл работ [9, 27, 43] посвящен применению аппарата теории краевых задач на римановых поверхностях для определения напряженно-деформированного состояния кусочно-однородной упругой плоскости с одним или несколькими тонкими жесткими прямолинейными включениями на границе раздела. При этом предполагается, что одно из включений отслаивается и контактирует со средой подобно гладкому жесткому штампу. Отметим также монографию [3], в которой изучалось взаимовлияние жестких линейных включений и трещин. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, содержащей криволинейный тонкие жесткие включения и трещины проведен в [25].

Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противоположных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Именно, пусть 7 — гладкая поверхность (или кривая), соответствующая трещине. Обозначим через V вектор единичной нормали к 7, определяющий положительный 7+ и отрицательный 7" берега трещины. Тогда

и7 = д* или очу, = /г^ на 7±,

где иг суть компоненты вектора перемещений, сгу — компоненты тензора напряжений, а д*, Ь^ — некоторые заданные функции. Основы классической теории изложены в работах [6, 7, 26, 31, 42, 53, 54, 103]. В математическом плане центральной особенностью краевых задач для тел с трещинами является постановка в негладкой области, содержащей разрез. Теория краевых задач для эллиптических операторов в областях с особенностями, в частности, с коническими точками, углами, ребрами и пиками развита в [14, 24, 29, 77, 78].

Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуаций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов

трещины друг в друга. Один из возможных способов устранения этого недостатка заключается в задании условия одностороннего ограничения (условия непроникания):

[щ]щ ^ 0 на 7. (1)

Здесь скобки [г;] = г>+ — у~ обозначают скачок функции V на 7. Впервые задача о равновесии трехмерного упругого (и вязкоупругого) тела с системой малых периодически расположенных трещин при краевых условиях вида (1) была рассмотрена Э. Санчес-Паленсией в связи с изучением вопросов усреднения [101]. Условие непроникания (1) на берегах трещины дополнялось следующими требованиями: равенство нулю касательных напряжений, равенство противоположных нормальных напряжений, которые будут нулевыми в случае раскрытия трещины и неположительными в точках смыкания трещины. Таким образом, полный набор краевых условий представляет собой модель трещины с возможным контактом берегов при нулевом трении. В целом такая задача равновесия является нелинейной, принадлежит к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов заранее неизвестны и находятся в процессе решения задачи, а ее слабая формулировка может быть дана в виде вариационного неравенства на выпуклом множестве всех кинематически допустимых перемещений.

Интересно, что толчком к созданию теории вариационных неравенств послужила другая задача теории упругости с условием одностороннего ограничения на границе — задача А. Синьорини о контакте упругого тела с недеформиру-емой жесткой поверхностью, поставленная в 1933 году и изученная достаточно полно Г. Фикерой (см. [47, 74]). Сведения о современном состоянии различных обобщений задачи Синьорини, численных методах их решения, а также некоторые открытые вопросы доступны в обзоре [15].

Обращение к постановке в виде вариационного неравенства зачастую обусловлено нелинейностью рассматриваемой задачи. Теория абстрактных вари-

ационных неравенств развивалась в работах Г. Стампаккьи и Ж.-Л. Лионса [10, 20, 21, 99]. Приложения к конкретным квазистационарным и эволюционным задачам механики сплошных сред и физики можно найти в [4, 8, 48]. Важной особенностью вариационных неравенств является тот факт, что гладкость их решения существенно зависит не только от гладкости данных, определяющих абстрактный оператор, но и от характера выпуклых ограничений, которые могут быть заданы как при помощи тонкого препятствия (в случае задачи Си-ньорини и задач теории трещин), так и поточечно. Это, в свою очередь, приводит исследователей к необходимости использования своего собственного подхода для каждого конкретного вида ограничений. Результаты о регулярности решений вариационных неравенств отражены в [46, 48, 69, 75, 98].

Применение вариационного подхода позволяет единообразно изучать задачи о трещинах как в линейной, так и нелинейной постановках. Значительный вклад в развитие теории трещин с возможным контактом берегов внес А. М. Хлуднев с соавторами и учениками. Наряду с моделями линейно-упругого тела в их работах рассматриваются модели теории упругости высокого порядка: пластины и оболочки Кирхгофа — Лява и Тимошенко. В случае пластины Кирхгофа — Лява, содержащей сквозную вертикальную трещину, условие непроникания имеет вид [86]:

на 7. (2)

Здесь к ги — горизонтальные и вертикальные смещения точек срединной поверхности пластины соответственно, I — полутолщина пластины, а кривая 7 определяется пересечением поверхности трещины со срединной поверхностью. К настоящему моменту в рамках моделей, описывающих возможный контакт берегов трещины, получен целый ряд основополагающих теоретических результатов. Были исследованы вопросы существования, единственности и регулярности решений в пространствах Соболева задач равновесия с различными уравнениями состояния [86, 92], доказана разрешимость проблем оптимального управ-

Щи ^ I

дги ~дй

ления [5, 12, 17, 38, 87], разработаны методы фиктивных областей [18, 44, 81] и гладких областей [16, 50, 94]. С использованием вариационных свойств решений задач равновесия была доказана дифференцируемость функционалов потенциальной энергии по параметру возмущения формы области [19, 37, 39]. Более того, было показано, что найденные производные можно представить в виде инвариантных интегралов типа Черепанова — Райса по произвольному замкнутому контуру [13, 91, 93]. Разработке и анализу численных алгоритмов решения указанного класса задач посвящены работы [11, 79, 80, 96]. Среди работ других авторов отметим [95], где был получен ответ на вопрос о гладкости решения вблизи вершины трещины в терминах пространств Бесова для двумерной и трехмерной постановок задачи, а также [32], где была обоснована Ь2—сходимость решений задач равновесия с периодически расположенной системой трещин к решению усредненной задачи при условии, что размер периода стремится к нулю.

В недавних работах [51, 97] были предложены модели пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко, содержащих объемные жесткие включения с возможным отслоением. При этом для описания отслоения включения от матрицы использовались нелинейные краевые условия вида системы неравенств и равенств, исключающие взаимное проникание точек тела и включения. В частности, указанные модели описывают и более простые ситуации, например, равновесие двумерного упругого тела трещиной на границе жесткого включения. В случае тонкого жесткого включения можно обратиться к работам [85, 88]. Если проводить аналогию с задачами теории трещин, то последний класс задач содержит новое интегральное условие, которое дает равенство главного вектора сил и главного момента сил на противоположных берегах включения. В ходе анализа задач равновесия упругих тел с жесткими включениями и трещинами был изучен широкий круг вопросов: доказана дифференцируемость функционалов энергии по форме области [33, 40], найдены 3— и М—инвариантные интегралы [41, 82], исследована разрешимость контактных задач для упругих

пластин, расположенных под углом друг к другу и содержащих жесткие включения [30, 35, 36].

Сложным и интересным является вопрос влияния формы и структуры включений на возможное развитие трещин. Многие из таких содержательных проблем допускают формулировку в виде задач оптимального управления с функционалами качества, связанными с одним из критериев разрушения. Наиболее удобным в применении к задачам равновесия с нелинейными краевыми условиями является энергетический критерий Гриффитса [53, 76]. В соответствии с ним трещина начинает развиваться, если производная функционала

/

энергии по параметру возмущения трещины достигает некоторого критического значения (заданного материального параметра). В работах [83, 90] доказана разрешимость задач оптимального управления, где в качестве функции управления выбирается форма объемного жесткого включения. При этом разобраны ситуации как с отслоением включения, так и без отслоения. Целевой функционал совпадает с производной функционала энергии по длине трещины. Таким образом, показано существование наиболее безопасной формы включения с точки зрения критерия Гриффитса. В случае, когда функцией управления является параметр жесткости объемного включения, результат получен в [84].

Интерес к проблемам оптимизации формы конструкций вызван наличием актуальных приложений в автомобильной промышленности, авиа- и судостроении и других областях. Такие проблемы важны не только в прикладном, но и теоретическом плане. Попытки их решения порой наталкиваются на серьезные математические трудности, вызванные тем, что соответствующие задачи формулируются в виде проблем оптимального управления для краевых задач с неизвестными границами. Классические вопросы управления формой области обсуждаются в монографиях [2, 22, 45]. Применению теории оптимального управления системами, поведение которых описывается уравнениями в частных производных, к проблемам механики сплошных сред посвящены работы [1, 23]. Доказательства теорем существования оптимальных форм, представленные в

диссертации, опираются на общие идеи анализа чувствительности форм. Теоретические и вычислительные аспекты анализа чувствительности форм, в том числе для вариационных неравенств и задач с односторонними ограничениями, можно найти в [49, 71, 72, 102, 104, 105].

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы заключается в исследовании проблем оптимального управления формой и структурой отслоившихся тонких включений в краевых задачах теории упругости с условиями непроникания и, в частности, в получении результатов об их разрешимости.

Основные результаты диссертации:

1. Доказано существование оптимального параметра жесткости для тонкого включения, расположенного в двумерном упругом теле с трещиной, при котором реализуется наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения дальнейшего развития трещины.

2. Изучена задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. Роль функции управления играет положение точки излома, разбивающей включение на два взаимодействующих тонких жестких включения. Функционал качества совпадает с производной функционала энергии по длине трещины. Установлено существование точки излома, обеспечивающей наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса.

3. Исследована задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхностью. Показана непрерывная зависимость решения от формы жесткого включения. В частности, доказано существование экстремальной формы тонкого жесткого включения, минимизирующей среднеквадратичное интегральное отклонение вектора поверхностных сил от заданной на внешней границе вектор-функции.

4. Установлена разрешимость задачи оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением. В качестве управления выбирается форма включения, а целевой функционал характеризует среднеквадратичное интегральное отклонение изгибающего момента от заданной на внешней границе функции.

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно, их достоверность подкреплена строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут служить основой для дальнейшего теоретического и численного анализа задач оптимального управления формой и структурой тонких включений, а также быть использованы при исследовании обратных задач идентификации формы жестких включений в деформируемых телах.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [55-64], три из которых — статьи в рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК РФ.

Представленная диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, и библиографии. Общий объем диссертации 84 страницы, включая 2 рисунка. Библиография включает 106 наименований на 13 страницах. В работе принята нумерация формул двумя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, а второе — на номер формулы в главе.

В первой главе рассматривается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с тонким включением и трещиной, часть которой расположена на границе между телом и включением. На берегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид системы равенств и неравенств и описывающие взаимное непроникание берегов трещины. В роли целевого функционала выступает производная функционала энергии по длине трещины, а в качестве параметра управления — параметр жесткости тонкого включения. При этом допус-

каются значения параметра равные нулю и бесконечности. Первый из случаев соответствует трещине, а второй — тонкому полужесткому включению. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Это решение реализует наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения дальнейшего развития трещины. Изложение всех разделов первой главы основано на материале статьи [63].

Во второй главе изучается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. Предполагается, что тонкое включение разбивается точкой излома на два взаимодействующих тонких жестких включения. На берегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид равенств и неравенств и описывающие взаимное непроникание берегов трещины. Целевой функционал характеризует производную функционала энергии по длине трещины. Роль функции управления играет положение точки излома. Доказано существование точки излома, обеспечивающей наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения критерия разрушения Гриффитса. Результаты, вошедшие в главу, опубликованы в [60].

Третья глава посвящена исследованию задачи о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхностью. Для решения вариационной задачи найдена точная интерпретация всех краевых условий на берегах трещины отслоения в подходящих функциональных пространствах. Доказана непрерывная зависимость решения задачи равновесия от формы тонкого жесткого включения. В частности, установлено существование экстремальной формы тонкого жесткого включения, минимизирующей среднеквадратичное интегральное отклонение вектора поверхностных сил от заданной на внешней границе вектор-функции.

В последней, четвертой главе, изучается задача оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие упругой пластины с отслоившимся тонким жестким включением. Рассматривается полная модель пластины Кирх-

гофа — Лява, неизвестными функциями в которой наряду с вертикальными перемещениями (прогибами) точек срединной поверхности являются также ее горизонтальные перемещения. В этом случае условие непроникания точек пластины и включения имеет более сложную структуру по сравнению с ситуациями, описанными в предыдущих главах: правая часть условия непроникания содержит первые производные от прогибов срединной поверхности (см. (2)). В качестве управления выбирается форма включения. Целевой функционал характеризует среднеквадратичное интегральное отклонение изгибающего момента от заданной на внешней границе функции. Установлена разрешимость сформулированной задачи. Материалом для написания главы послужила работа [62].

Глава 1

Задача управления параметром жесткости тонкого включения в упругом теле с трещиной

В данной главе рассматривается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с тонким включением и трещиной, часть которой расположена на границе между телом и включением. На берегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид системы равенств и неравенств и описывающие взаимное непроникание берегов трещины. В роли целевого функционала выступает производная функционала энергии по длине трещины, а в качестве параметра управления — параметр жесткости тонкого включения. При этом допускаются значения параметра равные нулю и бесконечности. Первый из случаев соответствует трещине, а второй — тонкому полужесткому включению. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Это решение реализует наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения дальнейшего развития трещины. Изложение всех разделов главы основано на материале статьи [63].

1.1. Задачи равновесия

Пусть ПсМ2- ограниченная область с липшицевой границей Г. Предположим, что кривая Е делит область на две подобласти и с липшицевыми границами и дО.2, причем теаз(Г П дП^) > 0, г = 1, 2; а части 7, Г5 кривой Е на плоскости х = (жх, жг) таковы, что

7 = (-1,0) х {0}, 7 П Г3 = {(0, 0)}, 7 П Г = 0, Г5 П Г = 0,

(см. рисунок 1.1). Обозначим через и = (^1,^2) вектор единичной нормали к Е, пусть также = \ (Г5 и 7). В наших рассуждениях 7 будет соответство-

вать тонкому включению с параметром жесткости А Е [0, оо], а Г5 — трещине в упругом теле Щ. В зависимости от значения параметра Л возможны три принципиально различных вида включений: упругое включение, полужесткое включение и трещина. Предельные случаи Л = 0 и Л = оо отвечают трещине и тонкому полужесткому включению, а случай Л Е (0, оо) описывает тонкое упругое включение. Упругие свойства тела характеризуются симметричным, положительно определенным тензором модулей упругости А = {аг^}, г, j, к, I — 1,2, аг]ы = const.

В этом разделе будут приведены формулировки задач равновесия для упругих тел с тремя видами включений.

1.1.1 Трещина. Рассмотрим случай, когда 7 определяет трещину в упругом теле. Краевая задача о равновесии двумерного упругого тела с трещиной Г.; и 7 состоит в следующем. В области Щ найти вектор перемещений и0 = (и^ии тензор напряжений сг° = {<т® }, г,у = 1,2, такие, что

-div<7° = / в Щ, (1.1)

а0 - Ae{u0) = 0 в Щ, (1.2)

и0 — 0 на Г, (1.3)

[иЦ^ 0, <7^0, [^]=0, а°т = 0, (тЧ-К]= 0 на Г5и7- (1-4)

Здесь / = (/1, /2) £ С1(^)2 — заданные внешние силы, е(и°) = {^(-и0)} — тензор малых деформаций, бг](и°) = \{и®3 + и®г), г, у = 1,2. Кроме того, а® — сгг°\ujVi, сг® — а0и — сг° • и, сг° = (сг^, и^ = и0и. Здесь и ниже [г>] = у+ — у~

отрицательном берегах кривой £ по отношению к выбранной нормали и. Все двухиндексные величины предполагаются симметричными, по повторяющимся индексам производится суммирование.

Уравнения (1.1) представляют собой уравнения равновесия, соотношения (1.2) — линейный закон Гука. Условия (1.3) описывают закрепление тела на внешней границе Г. Краевые условия (1.4) обеспечивают взаимное непроникание берегов трещины с нулевым трением. Задача (1.1)—(1.4) примыкает к классу задач со свободной границей: точки контакта берегов заранее неизвестны, они определяются лишь после нахождения решения задачи.

Задача (1.1)—(1.4) разрешима и допускает вариационную формулировку. Именно, пусть

сте с первыми производными в Щ. Определим выпуклое замкнутое в множество допустимых перемещений

которая имеет единственное решение, удовлетворяющее вариационному неравенству

скачок вектора у на где у± соответствует значениям на положительном и

и0 £ К3

(1.5)

агз(и°)ег](и - и°) -

/г(йг - и°г) ^ 0 для всех и G К8. (1.6)

о* щ

Формулировки (1.1)—(1.4) и (1.5)—(1.6) эквивалентны: любое гладкое решение краевой задачи (1.1)—(1.4) удовлетворяет (1.5)—(1.6), и обратно, все соотношения (1.1)—(1.4) можно получить из (1.5)—(1.6), предполагая дополнительную гладкость решения и выбирая подходящие пробные функции (см. [86]).

1.1.2 Полужесткое включение. В этом пункте рассмотрим случай, при котором 7 соответствует полужесткому включению. Определим пространство инфинитезимальных жестких перемещений

Rs(7) = { Кхi) I Кхi) = со + cixi, xi € 7; с0, ci е Ш }.

Дифференциальная постановка задачи о равновесии двумерного упругого тела с трещиной Г3 и полужестким включением 7, которое отслаивается на 7+, состоит в следующем. В области Щ требуется найти функции и = (щ,и2), и~ = 10 на 7, lQ £ Rb(7), и а = {сгу}, г, j = 1, 2, такие, что

-diver = / в fi*, (1.7)

а - Ае(и) = О в Ц, (1.8)

w = 0 на Г, (1.9)

а+^0, = 0, ст+-Н=0 на 7, (1.10)

Ы^О, [а„] = 0, сгт = 0, • [гх„] = 0 на Г5, (1.11)

[<т„]1 = 0 для всех I е Rs{7)- (1.12)

Здесь, как и прежде, (1.7) представляют собой уравнения равновесия, соотношения (1.8) — линейный закон Гука. Формула (1.12) выражает равенство нулю главного вектора сил и главного момента на 7. Условия (1.10) соответствуют отслоению тонкого полужесткого включения. В этом случае в упругом теле образуется трещина. Использование неравенств для описания отслоения исключает взаимное проникание берегов. Задача (1.7)—(1.12) допускает вариационную

постановку. Введем для этого множество допустимых перемещений

= { К 0 е х Ля(7) I г = ^"на 7; [у„] ^ 0 на Г5 и 7 }.

Существует единственное решение задачи минимизации

1 ^

т£ <- аг1(у)£г1(у) — ^Уг?-(у,1)&к.у12 , л ' %зК ' к -1 )

Это решение удовлетворяет вариационному неравенству

(и, 10) е К1}

агз{и)£г](и — и) —

/г(иг — иг) ^ 0 для всех (и, I) 6 К0

(1.13)

(1.14)

щ

Приведенные формулировки (1.7)—(1.12) и (1.13)—(1.14) эквивалентны (см. [88]).

1.1.3. Упругое включение. Наконец, рассматриваемый в этом пункте случай соответствует тонкому упругому включению 7 с параметром жесткости Л € (0,оо). Будем считать, что включение отслаивается на 7+, образуя тем самым трещину. На этой трещине, как и на Г6, задаются краевые условия вида системы неравенств и равенств, исключающие взаимное проникание упругого тела и тонкого включения. Формулировка задачи равновесия в этом случае будет такой. Найти поле перемещений и = (^1,^2), тензор напряжений а = {агз}, = 1,2, и перемещения т тонкого включения, определенные в Щ, 7 соответственно, такие, что

-с!1ус7Л = / в Щ, (1.15)

сгЛ - Ае{их) = 0 в Щ, (1.16)

Цш-Й=0 на 7, (1.17)

ил = 0 на Г, (1.18)

= = 0 при хх = -1,0, (1.19) 0, гих = и1~, ах± = 0, ах+-[их]= 0 на 7, (1.20)

[о}]=0, ах = 0, о* • = 0 на Гв. (1.21)

Уравнение (1.17) представляет собой дифференциальное уравнение четвертого порядка для прогиба тонкого упругого включения, которое изгибается в направлении оси Ох2 в рамках приближенной гипотезы балок Бернулли — Эйлера. В соответствии с третьим условием в (1.20) вертикальные перемещения упругого тела на совпадают с перемещениями тонкого включения. Приведем вариационную формулировку задачи (1.15)-(1.21). Введем множество допустимых перемещений

К* = { (V, т) е (ОД2 х Я2(7) | ю = г>~на 7; [г;„] ^ 0 на Г5 и 7 }.

Тогда задача минимизации

1 4

, {о ^ЫегзЫ

1гУг +

А

т'

11

}

гц а« 7

имеет единственное решение, удовлетворяющее вариационному неравенству

(1.22)

ац(их)его(и - их)

¡г{щ - их)+

щ

щ

+ А

^11(^,11 - ™Д1) ^ 0 Для всех (й,ю) е К*. (1.23)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Щербаков, Виктор Викторович, 2014 год

Литература

1. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в задачах гидродинамики вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008.

2. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

3. Бережницкий Л. Т., Панасюк В. В., Стащук Н. Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова Думка, 1983.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

5. В тору шин Е. В. Управление формой трещины в упругом теле при условии возможного контакта берегов // Сиб. журнал индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 20-30.

6. Голъдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.

7. Голъдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами. В кн. Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975.

8. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

9. Ильина И. И., Сильвестров В. В. Задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 153-166.

10. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариацинные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

11. Ковтуненко В. А. Итерационный метод штрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37, № 3. С. 587-591.

12. Ковтуненко В. А. Решение задачи об оптимальном разрезе в упругой балке // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, Я2 5. С. 149-157.

13. Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещин с возможным контактом берегов // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, № 1. С. 109-123.

14. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Труды Московского математического общества. М.: Издательство Московского университета, 1967. С. 209-292.

15. Кравчук А. С. Вариационный метод в контактных задачах. Состояние проблемы, направления развития // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 3. С. 492-502.

16. Лазарев Н. П. Метод гладких областей в задачах двумерной теории упругости для области с негладким разрезом // Сиб. журнал индустр. математики. 2003. Т. 6, № 3. С. 103-113.

17. Лазарев П. П. Существование экстремальной формы трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, № 4. С. 49-62.

18. Лазарев Н. П. Метод фиктивных областей в задаче о равновесии пластины Тимошенко, контактирующей с жестким препятствием // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 91-104.

19. Лазарев Н. П. Формула Гриффитса для пластины Тимошенко с криволинейной трещиной // Сиб. журнал индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 98-108.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

22. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.

23. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

24. Мазъя В. Г., Поборчий В. С. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшицевых областях. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2006.

25. Максименко В. Н.; Недогибченко Г. В. Напряженно-деформированное состояние составной анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42, № 5. С. 209-216.

26. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

27. Мочалов Е. В., Сильвестров В. В. Задача взаимодействия тонких жестких остроконечных включений, расположенных между разными упругими материалами // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 5. С. 99-117.

28. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

29. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

30. Неустроева Н. В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журнал индустр. математики. 2009. Т. 12, № 4. С. 92-105.

31. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1974.

32. Пастухова С. Е. Об усреднении одного вариационного неравенства для упругого тела с периодически расположенными трещинами // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 2. С. 149-164.

33. Плотников П. И., Рудой Е. М. Анализ интегралов энергии к изменению формы области для тел с жесткими включениями и трещинами // Доклады Академии наук. 2011. Т. 440, № 5. С. 589-592.

34. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982.

35. Ротанова Т. А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, № 1. С. 87-98.

36. Ротанова Т. А. О постановках и разрешимости задач о контакте двух пластин, содержащих жесткие включения // Сиб. журнал индустр. математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 107-118.

37. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел, содержащих криволинейные трещины // Прикл. механика и техн. физика. 2004. Т. 45, № 6. С. 83-94.

38. Рудой Е. М. Выбор оптимальной формы поверхностных трещин в трехмерных телах // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, № 2. С. 76-87.

39. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 2. С. 430-445.

40. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114-127.

41. Рудой Е. М. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журнал индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 99-109.

42. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова Думка, 1981.

43. Сильвестров В. В., Мочалов Е. В. Напряженное состояние кусочно-однородной упругой плоскости с тонкими жесткими прямолинейными включениями, расположенными на линии раздела сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16, № 2. С. 197-213.

44. Степанов В. Д., Хлуднев А. М. Метод фиктивных областей в задаче Синьорини // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 6. С. 1350-1364.

45. Троицкий В. А., Петухов Л. В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.

46. Уральцева Н. Н. О регулярности решений вариационных неравенств // Успехи математических наук. 1987. Т. 42, № 6. С. 151-174.

47. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

48. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990.

49. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир, 1992.

50. Хлуднев А. М. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43, № 6. С. 1388-1400.

51. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98-110.

52. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физ-матлит, 2010.

53. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

54. Шифрин Е. И. Пространственные задачи линейной механики разрушения. М.: Физматлит, 2002.

55. Щербаков В. В. Задача оптимального управления для упругого тела, содержащего прямолинейное тонкое жесткое включение и трещину // Тезисы докладов IV Международной молодежной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012. С. 124.

56. Щербаков В. В. Управление параметром жесткости тонких включений в упругих телах с трещинами // Тезисы докладов XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2012. С. 58.

57. Щербаков В. В. Задача идентификации формы тонкого жесткого включения в деформируемом теле // Тезисы докладов V Международной молодежной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2013. С. 106.

58. Щербаков В. В. К вопросу о существовании оптимальной формы тонких жестких включений в упругой пластине // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета. Томск: Издательство "Иван Федоров" , 2013. С. 180.

59. Щербаков В. В. О разрешимости задачи идентификации формы тонкого жесткого включения в пластине Кирхгофа — Лява // Тезисы докладов Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей" , посвященной 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2013. С. 101.

60. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журнал индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138-147.

61. Щербаков В. В. Оптимальное управление в задачах теории упругости с тонкими включениями // Тезисы докладов Международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль. М: МИАН, 2013. С. 244.

62. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журнал индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142-151.

63. Щербаков В. В. Управление жесткостью тонких включений в упругих телах с криволинейными трещинами // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2013. Т. 13, № 1. С. 135-149.

64. Щербаков В. В. Управление формой и структурой тонких включений в упругих телах при наличии трещин // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" , посвященной 105-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. Новосибирск: Издательство Института математики, 2013. С. 304.

65. Agmon S., Doughs A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1964. Vol. 17, no. 1. P. 35-92.

66. Asundi A., Deng W. Rigid inclusions on the interface between dissimilar anisotropic media // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1995. Vol. 43, no. 7. P. 1045-1058.

67. Ballarini R. A rigid line inclusion at a bimaterial interface // Engineering Fracture Mechanics. 1990. Vol. 37, no. 1. P. 1-5.

68. Ballarini R. A certain mixed boundary value problem for a bimaterial interface // International Journal of Solids and Structures. 1995. Vol. 32, no. 3-4. P. 279 -289.

69. Brézis H., Stampacchia G. Sur la régularité de la solution d'inéquations elliptiques // Bulletin de la Société Mathématique de France. 1968. Vol. 96. P. 153-180.

70. Browder F. E. On the regularity properties of solutions of elliptic differential

equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1956. Vol. 9, no. 3. P. 351-361.

71. Bucur D., Buttazzo G. Variational Methods in Shape Optimization Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Boston — Basel — Berlin: Birkhauser Boston, 2005.

72. Delfour C., Zolesio J. P. Shapes and Geometries: Metrics, Analysis, Differential Calculus, and Optimization, Second Edition. Advances in Design and Control. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2011.

73. Erdogan F., Gupta G. D. Stress near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // International Journal of Solids and Structures. 1972. Vol. 8, no. 4. P. 533-547.

74. Fichera G. Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno. // Atti Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat. 1963. Vol. 34. P. 138-142.

75. Frehse J. Two dimensional variational problems with thin obstacles // Mathematische Zeitschrift. 1975. Vol. 143, no 3. P. 279-288.

76. Griffith A. A. The phenomena of rupture and flow in solids // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 1921. Vol. 221, no. 582-593. P. 163-198.

77. Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Boston — London — Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program, 1985.

78. Grisvard P. Singularities in Boundary Value Problems. Paris: Masson, 1992.

79. Hintermuller M., Kovtunenko V. A., Kunisch K. Generalized Newton methods

for crack problems with nonpenetration condition // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2005. Vol. 21, no 3. P. 586-610.

80. Hmtermiiller M., Kovtunenko V. A., Kunisch K. A Papkovich — Neuber-based numerical approach to cracks with contact in 3D // IMA Journal of Applied Mathematics. 2009. Vol. 74, no. 3. P. 325-343.

81. Hoffmann K.-H., Khludnev A. M. Fictitious domain method for the Signori-ni problem in a linear elasticity // Advances m Mathematical Sciences and Applications. 2004. Vol. 14, no 2. P. 465-481.

82. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2012. Vol. 92, no 9. P. 716-730.

83. Khludnev A. M., Leugering G., Specovius-Neugebauer M. Optimal control of inclusion and crack shapes in elastic bodies // Journal of Optimization Theory and Applications. 2012. Vol. 155, no 1. P. 54-78.

84. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // European Journal of Mechanics - A/Sohds. 2010. Vol. 29, no. 3. P. 392-399.

85. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // European Journal of Mechanics - A/Solids 2012 Vol. 32. P 69-75.

86. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. Southampton - Boston: WIT Press, 2000.

87. Khludnev A. M., Leontiev A., Herskovits J. Nonsmooth domain optimization for elliptic equations with unilateral conditions // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2003. Vol. 82, no 2 P 197-212

88. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. Vol. 33, no. 16. P. 1955-1967.

89. Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2012. Vol. 92, no. 5. P. 341-354.

90. Khludnev A. M., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // ZAMP - Journal of Applied Mathematics and Physics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2013. Vol. 64, no 1. P. 179-191.

91. Khludnev A. M., Ohtsuka K., Sokolowski J. On derivative of energy functional for elastic bodies with cracks and unilateral conditions // Quarterly of Applied Mathematics. 2002. Vol. 60, no. 1. P. 99-109.

92. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Basel: Birkhauser, 1997.

93. Khludnev A. M., Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice — Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nons-mooth domains // European Journal of Applied Mathematics. 1999. Vol. 10, no. 4. P. 379-394.

94. Khludnev A. M., Sokolowski J. Smooth domain method for crack problems // Quarterly of Applied Mathematics. 2004. Vol. 62, no. 3. P. 401-422.

95. Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2012. Vol. 35, no. 15. P. 1859-1884.

96. Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA Journal of Applied Mathematics. 2006. Vol. 71, no. 5. P. 635-657.

97. Lazarev N. P. An equilibrium problem for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. 2013. Vol. 6, no. 1. P. 53-62.

98. Lewy H., Stampacchia G. On the regularity of the solution of a variational inequality // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1969. Vol. 22, no. 2. P. 153-188.

99. Lions J. L., Stampacchia G. Variational inequalities // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1967. Vol. 20, no. 3. P. 493-519.

100. Markenscoff X., Ni L. The debonded interface anticrack // Journal of Applied Mechanics. 1996. Vol. 63, no. 3. P. 621-627.

101. Sánchez-Falencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory. New York: Springer-Verlag, 1980.

102. Simon J. Differentiation with respect to the domain in boundary value problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1980. Vol. 2, no. 7-8. P. 649-687.

103. Sneddon I. NLowengrub M. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity. New York — London: Wiley, 1969.

104. Sokolowski J., Zolésio J. Introduction to Shape Optimization: Shape Sensitivity Analysis. Springer series in computational mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

105. Taroco E. Shape sensitivity analysis in linear elastic fracture mechanics //

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. Vol. 188, no. 4. P. 697-712.

106. Wu K.-C. Line inclusions at anisotropic bimaterial interface // Mechanics of Materials. 1990. Vol. 10, no. 3. P. 173-182.