Задачи дискретной геометрии шарнирных конструкций и схем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Ковалёв, Михаил Дмитриевич

• Ковалёв, Михаил Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ковалёв, Михаил Дмитриевич

Введение 1

I Шарнирные схемы, механизмы и фермы. Рычажное отображение. 22

§1 Критический анализ понятия шарнирного механизма

§2 Геометрическое определение шарнирных схем и устройств в двумерном случае.24

§3 Геометрические шарнирные устройства в Н,а. Сведение рычажных механизмов к шарнирным.28

§4 Основы классификации рычажных отображений, шарнирников и шарнирных схем.31

§5 Немедленные результаты предпринятого подхода.33

§5.1 Свойства совокупности шарнирных устройств с заданной схемой.33

§5.2 Неединственность статически определимых шарнирных ферм .35

§5.3 Число степеней свободы шарнирного механизма . 36

II Рычажные и квадратичные отображения. Общие свойства, примеры. 39

§1 Классификация шарнирных схем и устройств .39

§1.1 Классификация ШСС и ЗШС .39

§1.2 Классификация КШС .45

§1.3 Классификация шарнирных устройств .49

§2 Квадратичные отображения .54

§3 Простейшие примеры рычажных отображений .60

§3.1 Примеры изостатических отображений.60

§3.2 Шарнирный четырёхзвенник. Области типов КШС.

§4 Свойства рычажного отображения "в целом". Распрямлённые шарнирники и схемы.72

§4.1 Некоторые свойства множества С.72

§4.2 Распрямлённые шарнирники и схемы.76

§5 Конфигурационные пространства шарнирных механизмов.

Механизмы с одной степенью свободы.79

§5.1 Общие сведения о конфигурационных пространствах. 79

§5.2 Механизмы с одной степенью свободы.80

III Локальные свойства рычажных и квадратичных отображений. 86

§1 Некоторые понятия, связанные с отображениями. Условия устойчивости шарнирника и КШС.86

§1.1 Конус отображения и конус множества. Необходимые условия устойчивости шарнирника и КШС.

§1.2 Понятие порядка жёсткости шарнирника и точки при отображении.90

§2 Устойчивость и устойчивая собираемость.98

§2.1 Анализ понятия устойчивости шарнирников и КШС.

Примеры и вопросы. . . . •.98

§2.2 Устойчивая собираемость. .105

§2.3 Связь устойчивой собираемости с устойчивостью.

§2.4 Устойчивость шарнирных механизмов.116

IV Два неожиданных примера. 119

§1 Распрямлённые ЗШС и шарнирники.119

§2 Достаточное условие устойчивости распрямлённого шарнирника.120

§3 Пример устойчивой распрямлённой фермы.126

§4 Неустойчивый но устойчивый по шевелению длины каждого рычага шарнирник.133

V Восстановимость шарнирников по внутренним напряжениям и свойства рычажных отображений. 140

§1 Постановка задачи.140

§2 Шарнирники на прямой .145

§3 Шарнирники в Rd при <i > 1.153

§4 Множество существенных КШС и шарнирники, допускающие внутренние напряжения.160

§5 Существование несократимых паутинных шарнирников

§6 Существование восстанавливающего напряжения и свойства рычажного отображения .175

§6.1 Существование восстанавливающего напряжения для шарнирника на прямой.175

§6.2 Некоторые свойства множества восстановимых шарнирников и рычажного отображения.179

§7 Ещё о существования восстанавливающего напряжения

§8 Минимальный ранг рычажного отображения. Свойства множеств неполного ранга.194

§8.1 Вводные замечания.194

§8.2 Оценки числа k(Z).195

§8.3 Свойство множеств минимального ранга.199

§8.4 Неограниченность множеств постоянного ранга. . . 202

VI Структурные группы Ассура 208

§1 История вопроса.208

§2 Критерий группы Ассура в плоском случае.210

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи дискретной геометрии шарнирных конструкций и схем»

Конструкции из стержней, соединённых шарнирами изучаются двумя инженерными дисциплинами: теорией механизмов, когда такие конструкции допускают непрерывное взаимное движение стержней (изгибаемы), иительной механикой — в противном случае (неизгибаемости). Всплеск математических исследований, связанных с шарнирными конструкциями, приходится на девятнадцатый век, век паровых двигателей и ферм железнодорожных мостов. Тогда исследованиями напряжений в шарнир- . ных фермах занимались такие учёные как Л.Кремона и Д.К.Максвелл. Луиджи Кремона ввёл понятие верёвочного многокгольника и написал курс графической статики[1]. Джеймс Клерк Максвелл доказал теорему об условиях существования положительных внутренних напряжений в плоской шарнирной конструкции (1864)[2, 3]. Шатунные кривые исследовал известный геометр и алгебраист А.Кэли (1875) [4]. Исходя из практической потребности получения наиболее точного прямолинейного движения с помощью простейших механизмов, знаменитым русским аналитиком П.Л. Чебышёвым была создана теория многочленов наименее уклоняющихся от нуля на заданном промежутке. П.Л.Чебышев также придумал множество различных механизмов, в том числе и механизм с парадоксальными свойствами [5]. Из результатов общего характера следует назвать теорему А.Б.Кемпе (1876)[50] о возможности вычерчивания по частям любой плоской алгебраической кривой с помощью плоского шарнирного механизма. Подобную же теорему относительно вычерчивания алгебраических поверхностей в трёхмерном пространстве несколько позднее установил Г.Кёнигс (1897) [6].

В двадцатом веке тема математического исследования шарнирных механизмов стала казаться чем-то устаревшим и перестала привлекать внимание математиков. Автор монографии "Кинематическая геометрия 1 механизмов" (1978г.) К.Х. Хант в предисловии к этой книге даже сетует по этому поводу. Авторы книги [9] в связи с проблемой "различных сборок" шарнирных механизмов также отмечают недостаток разработок общетеоретического характера. Во второй половине двадцатого века интерес к вопросам кинематической геометрии в известной степени возродился в связи с развитием робототехники. При исследовании пространственных кинематических цепей были применены дуальные числа и так называемое винтовое исчисление, возникшее в 19 веке и развивавшееся в работах А.П.Котельникова [7] и Э.Штуди [8]. Касаясь математических оснований науки о механизмах, К.Х. Хант [51] писал: "Сами по себе эти понятия и законы не обязательно дают непосредственные практические результаты, хотя подчас и дают; более важное их значение — в указании плодотворных путей для дальнейших исследований, и, с другой стороны, — в отсечении заведомо бесплодных направлений." Общие теоретические сведения по кинематике механизмов приведены в фундаментальной монографии О. Боттемы и Б.Рота (1979)[10].

Начало математическому изучению явления неизгибаемости положила знаменитая теорема О.Коши (1813)[13] об определённости с точностью до изометрий выпуклого многогранника, мыслимого составленным из неизгибаемых граней, соединённых между собой рояльными петлями. Вехами в этом направлении являются открытие Р.Брикаром (1897) [14] изгибаемых самопересекающихся октаэдров. Доказательство А.В. Пого-реловым (1949)[15] определённости с точностью до изометрий, а следовательно, неизгибаемости выпуклых замкнутых поверхностей с сохранением выпуклости. Построение Р.Коннелли (1978) [16] примера изгибаемого многогранника, гомеоморфного сфере. Доказательство И.Х.Сабитовым (1996) [17] неизменности объёма, ограниченного изгибаемым многогранником. Другим важнейшим понятием строительной механики является (статическая) жёсткость конструкции, то есть, возможность уравновешивания внутренними напряжениями в ней любых внешних нагрузок. Неизгибаемая конструкция не обязательно жестка. Доказательство жёсткости строго выпуклых многогранников связано с именами Г.Вейля, М.Дена, А.Д.Александрова. Исследование жёсткости многогранников и поверхностей естественным образом распостранилось и на шарнирные фермы, а также на вантовые конструкции ("tensegrity frameworks" по Р.Коннелли). В этом направлении начиная с работы Поллячек - Гейрин-гер (1927) [39], впервые установившей необходимые и достаточные усло2 вия жёсткости плоских реализаций общего положения графов, шарнирная конструкция рассматривается как точка многомерного пространства параметров, координатами в котором являются координаты всех свободных шарниров. Начиная с семидесятых годов предыдущего века этот подход был развит рядом канадских, американских и японских исследователей. В частности, результат Поллячек-Гейрингер был переоткрыт Ламаном (1970) [40], однако, найти подобный критерий для графа шар-нирника в трёхмерном пространстве до сих пор не удалось. Введение многомерных пространств параметров имеет мало смысла без рассмотрения их отображения, сопоставляющего положениям свободных шарниров квадраты длин рычагов шарнирника. Этому отображению, названому Б.Ротом и В. Уайтли (1981)[18] "edge function", а, впоследствии, Р.Коннелли — "rigidity mapping", автор присваивает термин "рычажное отображение", по его мнению более отвечающий природе объекта. Несмотря на то, что рычажное отображение на каждом шагу возникает в работах по жёсткости и неизгибаемости, работ посвященных систематическому его изучению в литературе автору не встречалось. На взгляд автора это объясняется малоизученностыо квадратичных отображений в многомерном случае, а также сложностью получения достаточно содержательных общих результатов. Примеры таких, пока ещё не доказанных утверждений, касающиеся устойчивости и связи устойчивости с однозначной собираемостью шарнирных ферм, приведены в данной диссертации. Стоит отметить, что некоторые общие результаты, касающиеся рычажных отображений были получены в рамках так называемой геометрии расстояний ("distance geometry"). В качестве примера приведём результат А.Барвинка [45] о том, что если незакреплённую шарнирную конструкцию с к рычагами можно собрать в каком либо ¿-мерном евклидовом пространстве, то её можно собрать и в евклидовом пространстве числа измерений равного v^H-i-i

В последнее время появился ряд работ: Б.Ягги (1993)[19], Д.Звонкин (1995)[20], Г.Кинг (1998), М.Капович и Д.Миллсон (1998), И.В.Изместьев (2000) [46], М.Фарбер [21] в которых с точки зрения топологии и алгебраической геометрии изучаются конфигурационные пространства шарнирных механизмов. В частности, в работах Кинга [47, 48], а также М.Каповича и Д.Миллсона [49] уточняется на языке алгебраической геометрии и усиливается старый результат Кемле. Эти работы также связаны с анализом рычажного отображения, хотя какого либо особого на3 звания авторы ему не присваивают. На самом деле, основным объектом изучения в этих работах является "конфигурационное пространство реализаций" ("moduli space"), в нашей терминологии — конфигурационное пространство кинематической шарнирной схемы.

Отметим, наконец, недавнее решение задачи "о линейке плотника", полученное Г.Ротом, Р.Коннелли и Э.Демайном [22], а потом более простым способом И.Стрейню [23]. В этой, оказавшейся весьма интересной, задаче о рапрямлении плоской шарнирной ломаной существенно отсутствие самопересечений, от чего мы отвлекаемся в наших рассмотрениях.

В данной диссертации автор, отталкиваясь от понятия рычажного отображения, предлагает единый подход к изучению геометрии как шарнирных механизмов, так и ферм. Этот подход придаёт точный математический смысл понятиям структурной и кинематической схем шарнирного механизма из теории механизмов и позволяет использовать эти понятия и для шарнирных ферм. Из него вытекает общая классификация шарнирных устройств и их схем по геометрическим свойствам. В работах автора положено начало систематическому изучению рычажных отображений, им поставлен ряд вопросов относительно свойств этих отображений, некоторые из них решены. Предложенный подход в перспективе позволит полностью изучить явление устойчивости шарнирных конструкций и кинематических схем.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава начинается с анализа понятий шарнирного механизма и его кинематической схемы. Отправной точкой является нечёткость понятия различных сборок шарнирного механизма. Чтобы получить чёткую картину, в §2 формализуются понятия структурной и кинематической схем шарнирного механизма в простейшем случае плоских механизмов. Впрочем, их обобщение по размерности не вызывает затруднений. Структурная схема (шарнирная стуктурная схема — ШСС) определяется как связный граф без петель и кратных рёбер с вершинами двух сортов. Вершины одного сорта отвечают закреплённым в плоскости шарнирам (крестики), другого — свободным (незакреплённым) шарнирам (кружочки). Рёбра ШСС отвечают рычагам механизма. Закреп4

Р1

Рис. 1: ленная шарнирная схема (ЗШС) получается приписыванием закреплённым шарнирам ШСС определённых положений в плоскости. Кинематическая шарнирная схема (КШС) есть ЗШС с приписанным каждому её рычагу вещественным числом. Хотя это число имеет смысл квадрата длины рычага, мы не требуем его неотрицательности. КШС для которой хотя бы одно из этих чисел отрицательно называется несущественной, в противном случае — существенной. Задание ЗШС конструкции с т незакреплёнными шарнирами и т рычагами в плоскости порождает два евклидовых пространства параметров: 2т-мерное пространство Д2т положений т свободных шарниров и пространство 7?.г, где координатами являются квадраты длин г рычагов. Естественным образом возникает отображение ^ первого из этих пространств во второе, сопоставляющее каждой паре шарниров, соединённых рычагом, квадрат длины этого рычага. Это отображение, называемое нами рычажным, имеет ключевое значение для геометрии шарнирных устройств. На рисунке 1 изображена простейшая ЗШС с двумя закреплёнными в точках Р2 = (0, 0) и р3 — (1, 0) и одним свободным шарниром, имеющим координаты рг = (х,у). Отвечающее ей рычажное отображение ^ задаётся формулами: (¿12 = х2 + у2, ¿13 = (ж - I)2 + у2.

Точку р из пространства Я2гп мы называем (плоским) шарнирником. Шарнирник — это либо шарнирная ферма, либо положение шарнирного механизма. Кинематической шарнирной схеме, представляющей собой 5 точку d € 7£г, отвечает полный прообраз F-1(d) С R2m, называемый конфигурационным пространством КШС. Шарнирным механизмом мы называем неодноточечную компоненту К связности конфигурационного пространства КШС. Одноточечную же компоненту связности называем фермой. Таким образом, при условии задания КШС шарнирный механизм отождествляется с множеством всех его положений, то есть, с его конфигурационным пространством. Полученные модели естественно называть геометрическими механизмами и фермами. Они, естественно, не учитывают никаких "люфтов" и деформаций и допускают какие угодно пересечения рычагов и шарниров между собой. Геометрические шарнирные механизмы и фермы мы называем шарнирными устройствами.

В §3 рассматривается расширение этой плоской конструкции. Во-первых, она обобщается на евклидово пространство произвольного числа d > 0 измерений. Во-вторых, к этой конструкции можно в определённом смысле свести и идеальные шарнирные механизмы не только с вращательными, но и с другими низшими кинематическими парами, например, с поступательными парами.

В §4 даются начала классификации шарнирных схем и шарнирни-ков, построенные на основе классификации точек при рычажном отображении. В частности, правильной (или изостатической) называется шарнирная ферма р G Rdm для которой RankeiF(p) = dm = г. Шарнирный механизм называется правильным, если RankeLF(p) = г < dm, для всех точек р £ К. Устойчивой называется КШС, являющаяся внутренней точкой образа С = F(Rdm) рычажного отображения. Множество С мы называем множеством существенных КШС, оно лежит в неотрицательном ортанте Q стандартной декартовой системы координат в 7Zr (в этой системе координаты — квадраты длин рычагов). Устойчивость КШС означает возможность собрать шарнирные устройства, отвечающие любой КШС, полученной достаточно малым возмущением исходной. Устойчивые КШС отвечают лишь правильным ЗШС, то есть таким, для которых dim С = max Rank dF = г. Классификация проводится в мере необходимой для изложения в следующем параграфе нескольких ближайших выводов из предпринятых построений. Подробная классификация отложена до §1 главы II.

В §5 приводятся три простейших следствия предпринятой формализации. Первые два из них касаются всей совокупности шарнирников с заданной ЗШС и не встречались автору в литературе. Это факт отсутствия 6 для правильной ЗШС таких неустойчивых КШС, чтобы и все близкие КШС были неустойчивы. Он вытекает из размерностной однородности множества С.

Второе следствие — теорема следующего содержания

Теорема 2. Пусть КШС ¿о £ 7£г отвечает правильная шарнирная ферма ро € В?т, тогда с!о отвечает, кроме этой фермы, по крайней мере еще одно шарнирное устройство. Если же КШС с!о отвечают лишь правильные фермы, то их число четно.

Доказательство её основано на существовании и равенстве нулю степени рычажного отображения. Собственность рычажного отображения достаточная для корректности определения степени устанавливается здесь же в лемме 1.

Третье следствие — пример шарнирного механизма с переменным числом степеней свободы, не являющийся чем-либо неожиданным с точки зрения геометрии конфигурационного пространства. Автор пришёл к нему самостоятельно, и только позднее узнал о том, что механизмы с таким свойством (кинематропии) уже были рассмотрены в работе Вун-дерлиха [34]. Однако, построенный пример оказался новым. Недавно К. Вольхарт (К. \УоЫ11аг1;) построил на основе этого примера кинемато-тропные механизмы с числом степеней свободы, изменяющимся от 1 до произвольного натурального к.

Во второй главе в §1 подробно проводится общая классификация шарнирных схем и устройств. Закреплённая шарнирная схема (ЗШС) в К3, называтся правильной, изостатической, если ей отвечает хотя бы один правильный (т. е. с Иапк ^(р) = г), изостатический шарнирник р. Отметим, что в случае правильной (изостатической) ЗШС множество особых (неправильных или неизостатических) шарнирников является алгебраическим подмножеством пространства параметров КЛт. Шарнирную структурную схему (ШСС) в мы будем будем называть правильной, изостатической, если ей отвечает хотя бы одна правильная, соответственно, изостатическая ЗШС в №. Для строительной механики и теории механизмов представляет известный интерес возможность определения правильности (изостатичности) ШСС в Д2 и в Д3 по её строению. Подобный вопрос для незакрепленных погружений связного графа в плоскость был решён в работах многих авторов, первыми из которых были Поллячек-Гейрингер [39] и Ламан [40] Для незакреплённых шарнирных схем в трёхмерном пространстве аналогичный вопрос 7

ДО СИХ uüjj не рсШсп. Tj дмССёрхсщят длл Слу чЪм. илОСКОИ 3IHC уСгапОвлво. критерий правильности родственный известным.

Теорема 3 Шарнирная структурная схема правильна в R2 тогда и только тогда, когда соответствуюгций ей граф G' обладает следующим свойством:

С) для произвольной совокупности (пусть q > 0 штук) его ребер число Ь инцидентных им вершин удовлетворяет неравенству q < 26—3.

Кинематическая шарнирная схема d называется правильной, если каждый шарнирник р из её конфигурационного пространства F-1(d) правилен. КШС называется вырожденной, если среди шарнирников р € F1(d) есть вырожденные, то есть такие на которых ранг рычажного отображения падает (Rank ^(р) < тахреллп Rank dF(p) = ту). КШС d называется исключительной если все шарнирники из F1(d) вырож-денны. Если КШС неисключительна, а её ЗШС правильна, то эта КШС устойчива. Естественно также, учитывая "шевеления" закрепленных шарниров, рассмотреть семейство всех существенных КШС (у, d) с различными ЗШС у £ Rdn, отвечающими одной ШСС в Rd. Существенная КШС (УО) do) называется вполне устойчивой, если все КШС (у, d), достаточно близкие к ней, как точки пространства Rdn+r = Rdn ф TV, существенны.

Утверждение 4. Если КШС (уо, do) устойчива и неисключительна, то она вполне устойчива.

Однако, не ясно — существуют ли устойчивые но не вполне устойчивые КШС?

Кроме устойчивости КШС интересными её свойствами являются непрерывность и вполне непрерывность. Непрерывной называется существенная КШС d, конфигурационное пространство которой непрерывно, то есть lim /)(F-1(do), F-1(d)) = 0, d £ С, где р(А, В)— хаусдорфово расd->do стояние между множествами А и В.

Пусть -Р-1(у, d) — конфигурационное пространство КШС (y,d). Существенная КШС (yo,do) называется вполне непрерывной, если t lim /(i,-1(y,d)!Jp-1(yo,do)) = 0 при условии, что (у, d) — существенные КШС. Справедлива

Теорема 4. Всякая невырожденная КШС непрерывна, всякая же правильная КШС (уо, do) вполне непрерывна.

Устойчивость КШС подробнее исследуется в главе III. 8

Шарнирный механизм называется невырожденным, если на его конфигурационном пространстве ранг рычажного отображения максимален для данного отображения. Конфигурационное пространство К невырожденного шарнирного механизма является замкнутым ((1т — г/)-мерным гладким подмногообразием пространства параметров Если же шарнирный механизм правилен (77 = т), то К еще и ориентируемо. Вопрос существования шарнирных механизмов с неориентируемым конфигурационным пространством недавно решён в положительном смысле. Ответ вытекает из теоремы, которая в нашей терминологии имеет следующую формулировку: Пусть М — произвольное компактное вещественно алгебраическое подмногообразие Дт. Тогда найдется такая кинематическая шарнирная схема с!; что ее конфигурационное пространство аналитически изоморфно объединению конечного числа непересекающихся копий многообразия М.

Эта теорема была практически одновременно установлена в работах Кинга [48] и Каповича и Милсона [49]. Отметим, однако, что примера механизма с неориентирремым конфигурационным пространством до сих пор не указано. Если следовать методу работы Кинга, то по его оценкам пример плоского механизма с конфигурационным пространством гомео-морфным проективной плоскости должен содержать около 1300 шарниров.

Однородным называется шарнирный механизм, на конфигурационном пространстве которого ранг дифференциала рычажного отображения постоянен. Пока неизвестны примеры однородных механизмов с конфигурационным пространством, не являющимся топологическим многообразием. Хотя, для произвольных полиномиальных отображений подобное явление возможно. Шарнирное устройство Ко С с КШС с! называется устойчивым, если для любого числа е > 0 найдется такое 8 > 0, что для всех <1, удовлетворяющих условию |с! — с10| < 8, имеется шарнирное устройство для которого хаусдорфово расстояние р(К(д), /Т(с1и)) < е. В противном случае шарнирное устройство К0 будем называть неустойчивым. Принимая во внимание возможность "шевеления" точек закрепления ЗШС введём следующее понятие. Шарнирное устройство К0 С Яат с КШС (уо, ¿о) назовем вполне устойчивым, если для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что как только |у — у0| < 8 и | с1 — (¿о | < 8, то КШС (у, с!) отвечает шарнирное устройство К (у, с1), для которого р(К(у, (1), К0) < е. При любых достаточно малых ошибках в 9 размерах, допущенных при изготовлении вполне устойчивого шарнирного механизма с одной степенью свободы, траектории всех его шарниров изменяются мало. Справедливо

Утверждение 8. Каждое правильное шарнирное устройство вполне устойчиво.

С другой стороны, шарнирный механизм, имеющий конфигурационным пространством кривую с точкой возврата, построенный Коннелли и Серватиусом[53], вполне устойчив, хотя и не является правильным. Вопрос о возможности существования устойчивого но не вполне устойчивого шарнирного устройства остаётся открытым.

В §2 второй главы приведены некоторые необходимые сведения об общих квадратичных отображениях, то есть отображениях Р : В} —> 7£г евклидовых пространств, задающихся многочленами второй степени от декартовых координат точки. Ядерным многообразием с центром р0 мы называем линейное многообразие Ь (ра) С Я1, состоящее из точек р, для которых векторы р — р0 принадлежат ядру дифференциала отображения Р в точке то есть (1Р(р0){р — р0) — 0 € 7?/\ Поверхностью вырождения В отображения Р называем множество точек из В1 в которых Панк с1Р < г/. Здесь установлено условие того, что точка является особой точкой поверхности вырождения -В, и условие касания образа ядерного многообразия с образом поверхности вырождения. Получено также необходимое и достаточное условие собственности квадратичного отображения. Отметим важное для теории шарнирных конструкций следствие, вытекающее из одного простого свойства общих квадратичных отображений:

Следствие Пусть рх и рг изометричные изо статические (а значит жесткие) шарнирные фермы, тогда шарнирник р, каждый шарнир которого лежит посередине между соответствующими шарнирами этих ферм не является жестким.

В §3 подробно рассмотрены примеры рычажных отображений для простейших изостатических ЗШС с двумя и тремя свободными шарнирами в плоскости, а также пример отображения, отвечающего плоскому шарнирному четырёхзвеннику. Отталкиваясь от этого примера, вводится понятие областей типа КШС как компонент связности множества С\Р(В). Различным КШС из одной области типа отвечают одинаковые наборы шарнирных устройств.

§4 посвящён свойствам рычажного отображения и его образа С в це

10 лом. Об общих свойствах образа С — F(Rdm) пространства всех шар-нирников при рычажном отображении известно немного. Множество С является полуалгебраическим, связным, замкнутым, неограниченным и имеет в каждой своей точке одинаковую местную размерность равную max Rank dF. Кроме того здесь установлено необходимое и достаточное условие принадлежности образа рычажного отображения некоторой плоскости пространства 7V, а также следующее свойство

Теорема 8. Если ЗШС в Rd, (d > 1) имеет более одного рычага, то множество С не содержит разделяющих точек.

Установлена также близость в определённом смысле множества С, отвечающего ЗШС у, и множества С", отвечающего приведённой ЗШС уж = О, полученной сведением всех закреплённых шарниров в начало координат. Отсюда выводится возможность наличия в изостатическом случае бесконечной полости в множестве С, и, как следствие, отсутствие в общем случае такого направления в TV, вдоль которого граница множества С проектировалась бы взаимно-однозначно на какое-либо г—1-мерное подпространство.

В этом параграфе также вводятся в рассмотрение распрямлённые шарнирные схемы и шарнирники. Распрямленной называется ЗШС в Rd, линейная оболочка закрепленных шарниров которой представляет собой плоскость Р размерности 1 < k < d. Если и все свободные шарниры шарнирника с такой ЗШС лежат в плоскости Р, то этот шарнирник также называется распрямлённым. Распрямленные шарнирники в плоскости обладают следующим замечательным свойством.

Теорема 10. Два различных изометричных (то есть обладающих одной и той же КШС) шарнирника р и р', все шарниры которых лежат на одной прямой, являются различными положениями одного шарнирного механизма.

Будем считать, что в Rd выбрана декартова система координат {а^-} с первыми к осями, лежащими в плоскости Р. Тогда множество Н распрямлённых шарнирников представляет собой fcm-мерное координатное подпространство х%- = 0, 1 < j < к, 1 < ъ < т пространства параметров Rdm. Пусть L подпространство пространства

Rdm ортогональнодополнительное к Н. Множество М = Fh{H) — F(H) называется направляющим множеством, а конус 1С = 3~{L), где Т — квадратичная часть отображения F, — образующим конусом отображения F. В случае распрямлённой ЗШС множество С можно представить как объединение

11 конусов, полученных параллельным перенесением конуса К. вершиной в точки множества М.

В §5 обсуждаются общие свойства конфигурационных пространств шарнирных механизмов. Особое внимание обращено на то какими могут быть малые движения шарнирного механизма с одной степенью свободы. В частности, например, для неправильного механизма возможен излом траектории, отвечающий переходу точки р с одной ветви аналитической кривой, являющейся конфигурационным пространством механизма, на другую её ветвь.

Третья глава посвящена исследованию локальных свойств рычажных и квадратичных отображений. В §1 рассматриваются понятия конуса отображения, контингенции а также порядка жёсткости отображения в точке. Понятие конуса отображения можно ввести для произвольного непрерывного отображения / : Rl —> W. Пусть при таком отображении d = f(p). Рассмотрим всевозможные последовательности точек р% £ R1, г — 1,2,., сходящиеся к точке р. для которых di = f(pz) Ф d. Таким последовательностям отвечают последовательности лучей dd± £ 7Zr. Множество Кр С 7ZT всех предельных для последовательностей {dd{} лучей называется (касательным) конусом отображения / в точке р £ R1. В случае полиномиального отображения / конус Кр можно построить, рассмотрев всевозможные аналитические кривые в R1, проходящие через точку р. Множество лучей, касательных к образам этих кривых в точке d = f(p) совпадает с конусом Кр. Более того, достаточно рассмотреть лишь кривые, имеющие полиномиальные параметризации, степени которых ограничены некоторой постоянной, зависящей лишь от отображения /•

Пусть F = f(p) + df(p) + 1 /2d?f(p) суть (неоднородная) квадратичная часть аналитического в точке р отображение /. Допустим, для квадратичного отображения F в точке р ядерное многообразие L(p) не пусто, а Т(р) есть образ линейного отображения df(p). Конус К.р = T{L(p) — р), {¿F = 1/2cPf) назовем составляющим конусом, а конус Qp = /Ср + Т(р) — составным конусом отображения / в точке р.

Теорема 11. Если F квадратична на любом линейном подпространстве и fCp П Im dF(p) = 0, то конус Кр аналитического отображения f совпадает с Qp.

Шарнирник р в Rd называется жестким, если Rank d.F(p) = dm. Закрепленный шарнирник р называется неизгибаемым (в инженерной

12 терминологии фермой) если он представляет собой одноточечную компоненту связности полного прообраза своей КШС. Неизгибае-мый шарнирник нельзя непрерывно двигать, не меняя длин его рычагов и положений закрепленных шарниров. Жесткий шарнирник неизгибаем, однако, неизгибаемый шарнирник может быть не жестким. Таковым, например, является шарнирник рисунка 2, если все три его шарнира лежат на одной прямой. Понятие порядка жесткости возникло как показатель отклонения от жесткости шарнирников, многогранников и поверхностей. В случае шарнирников оно обсуждалось в работе Коннелли и Серватиуса [53], удовлетворительное его определение в случае поверхностей, включающее в себя и случай шарнирников, дано в работе Сабитова [74]. В ди-сертации дано иное по форме определение, приспособленное к изучению шарнирников и применимое к любому аналитическому отображению.

Пусть ¿(¿) = (1-\- д^Р + . — образ аналитически параметризованной кривой г(£) = р + га1а + ., при аналитическом отображении / с естественно возникшей при этом отображении параметризацией. Мы считаем, что д — /(р), а,/3 — натуральные числа (начальные степени параметризаций), а та1<1р — ненулевые векторы. Величину к{т) = £ называем степенью замедления кривой г(1) в точке р при отображении /.

Определение 3. Величину >с — вир к(г) , где точная верхняя грань взята по всем аналитически параметризованным кривым г = т(£), начинающимся в точке р, назовем порядком жесткости точки р при отображении /.

Для произвольного полиномиального отображения / порядок жесткости точки, если он конечен, является не меньшим единицы рациональным числом, которое можно считать несократимой дробью. Если же он бесконечен для точки р. то как следует из одной теоремы Артина, точка р лежит на некоторой кривой, принадлежащей /1 (/(/'))• Если в качестве отображения / взять рычажное отображение Р, то роль точки играет шарнирник р, и мы говорим о порядке жесткости шарнирника р. В этом случае при х = оо шарнирник р является положением шарнирного механизма, то есть принадлежит неодноточечной компоненте связности множества -Р1(-Р(р)). Такой шарнирник р называют изгибаемым (иногда его называют механизмом, но точнее говорить о нём как о положении шарнирного механизма).

Справедлива следующая

Теорема 12. Пусть .Р : IV —> IV правильное квадратичное ото

13 бражение, и пусть dim Кег dF(p) = 1, тогда конус Кр отображения F в точке р представляет собой либо все пространство 7ZT, либо его полупространство, либо г — 1-мерную плоскость. Причем первые два случая возможны лишь когда р суть изолированная точка множества F~1F(p), а последний имеет место в противном случае. Более того, для построения конуса Кр достаточно рассмотреть кривые с младшей степенью параметра параметризации равной 1. И эти же кривые достаточно рассмотреть для установления порядка жесткости точки р при отображении F , который в случае своей конечности натурален.

Необходимым условием устойчивости шарнирника р £ Rdm является равенство Кр = Rdm. Для анализа устойчивости КШС вместо касательного конуса отображения F необходимо рассмотреть касательный конус или контингенцию K<j множества С = F(Rdm). Конус Kd множества С в его предельной точке d представляет собой множество предельных лучей последовательностей лучей ddi5 где {d,-} —всевозможные последовательности точек d; € С, d; ф d, сходящиеся к точке d. Необходимым условием устойчивости КШС d является совпадение конуса Kj с пространством W. До сих пор не известно примеров неустойчивых шарнирника или КШС, для которых бы выполнялись эти необходимые условия устойчивости. В случае рычажного отображения имеет место следующая связь контингенции с конусом отображения.

Лемма 11. Справедливо равенство Kj = UKP, где объединение берется по всем прообразам точки d при рычажном отображении.

В §2 изучается устойчивость шарнирников и КШС. Строится ряд примеров с необычными свойствами. Среди них пример неустойчивой но устойчивой по любому достаточно малому изменению длины каждого из рычагов в отдельности КШС. Пример исключительной и устойчивой КШС. А также пример механизма с переменным числом степеней свободы и правильной ЗШС, имеющего неустойчивые положения. Ставятся вопросы о связи устойчивости с другими свойствами.

ВОПРОС 1. Возможна ли устойчивая КШС d , для которой каждый шарнирник р G F-1 (d) неустойчив ?

Кратностью КШС d называется количество точек в прообразе .F-1(d); КШС однократна, если ей отвечает всего лишь один шарнирник — с необходимостью ферма.

ВОПРОС 2. Возможна ли однократная и устойчивая КШС?

Здесь же вводится определение устойчивой собираемости шарнир

14

Рис. 2: ников и КШС. Шарнирник р называется неустойчиво-собираемым, если имеется такая его е-окрестность ¿/(р,е) С что для V5 > 0 в ¿-окрестности точки с! = -Р(р) найдется КШС с1' £ (¡), <1' Р(и(р. е)). На обыденном языке это означает, что если мы хотим собрать шарнирник р , то немного ошибившись в размерах при изготовлении его рычагов мы, возможно, не сумеем собрать шарнирника близкого к р. Для устойчиво же собираемого шарнирника любая достаточно малая ошибка в размерах его рычагов не помешает собрать шарнирник близкий к нему. Существенная КШС с! называется неустойчив о-собираемой, если для Уе > 0 в £-окрестности точки (1 найдется точка с!' £ но <!' С. Для неустойчиво-собираемой КШС возможно сколь угодно малое изменение квадратов длин рычагов, оставляющее их неотрицательными и приводящее к несущественной КШС. Понятие устойчивой собираемости шире понятия устойчивости, рассмотренного выше. Например, КШС шарнирного четырехзвенника (рисунок 2), у которого два свободных шарнира совпадают между собой и не лежат на прямой, соединяющей закрепленные шарниры, неустойчива но устойчиво-собираема как и сам этот шарнирник. Неустойчивыми но устойчиво-собираемыми могут быть лишь КШС, лежащие на границе ортанта (¡}. Устойчивая собираемость в случае изостатической ЗШС в В/* при И > 1 оказывается равносильной устойчивости.

Из вопросов 1 и 2, заменив устойчивость на устойчивую собираемость, можно получить вопросы 1' и 2'. Пусть Т> множество ЗШС в в, > 1, граф С? которых представляет собой дерево с всего лишь одной вершиной, отвечающей закреплённому шарниру. Для ЗШС из множества Т> ответ на вопрос 2' утвердителен.

Теорема 13. Вопрос 2' для множества ЗШС 3Т> в Rd при произвольном d > 1 равносилен вопросу 2 для множества всех ЗШС в Rd.

В четвёртой главе строятся два примера, расширяющих наши представления о свойствах шарнирных конструкций. Оба эти примера (§3 и §4)представляют собой распрямлённые фермы в плоскости с одной и той же изостатической ЗШС. Первый из них — пример устойчивой шарнирной фермы, все шарниры которой лежат на одной прямой. Второй — пример неустойчивой фермы, устойчивой, однако, относительно произвольного достаточно малого изменения длины каждого рычага в отдельности. Примеры содержат по четыре свободных и четыре закреплённых шарнира (см. рисунок 2 а), в)). Эти шарнирники сильно вырождены, ранг рычажного отображения в них снижается на 4 единицы. Для изучения рычажного отображения в подобных точках сильного вырождения в §1, 2 этой главы развит метод изучения устойчивости, основанный на анализе степени отображения <р. Отображение определяется следующим образом. Пусть подпространство W С TZr дополнительно к касательному многообразию Т(р). И пусть ttw — отображение проектирования на подпространство W вдоль многообразия Т(р), а отображение <р : L —> W суть наложение Жу°/Ть (¿Fl — ограничение второго дифференциала рычажного отображения на ядерное многообразие в точке р). Установлено следующее достаточное условие устойчивости распрямлённых шарнир-ников

Теорема 16. Если отображение ц> собственное и его степень ненулевая, то шарнирник р устойчив.

Определение степени отображения <р в наших примерах было проделано путём решения систем четырёх квадратных уравнений с четырьмя неизвестными. Для этого был применён пакет Maple V. версии IV. Находились в точном виде все 16 решений этой системы. После чего эти решения высчитывались приближённо с достаточной степенью точности, проверялось неравенство нулю якобианов в точках, отвечающих им, и искалась сумма знаков якобианов.

Обоснование устойчивости шарнирной фермы при изменении длины отдельного её рычага во втором примере зиждется на теореме 17 относительно решений системы квадратичных уравнений, имеющей довольно длинное доказательство, использующее метод сжимающих отображений.

В пятой главе исследуется задача восстановления шарнирника по его внутренним напряжениям и её связь со свойствами образа рычажного

16 отображения. Условие равновесия сил, приложенных к г-ому свободному шарниру шарнирника со стороны остальных его шарниров, имеет вид

- Р') = з где суммирование проводится по всем шарнирам, смежным с р{. т.е. соединенным с ним рычагом, а = — внутреннее напряжение рычага Р±Ру Если в В^ задан шарнирник р — (рх,. ,рТп+п), то его внутренние напряжения определяются как нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений

X) - Рг) = 1 < « < ГП.

Таким образом, множество внутренних напряжений заданного шарнирника вместе с нулевым напряжением представляет собой линейное подпространство И^(р) евклидова пространства \¥г, т = |£?|, всех мыслимых для данной ШСС напряжений. Когда это подпространство нульмерно, множество внутренних напряжений пусто и мы говорим, что данный шарнирник не допускает напряжений. Шарнирники, не допускающие внутренних напряжений, возможны лишь для правильных ЗШС.

Если задана ЗШС в В!1, а также набор внутренних напряжений, то предыдущую систему уравнений можно переписать так: \ £ 1

VI

Ц шчРз = X) ШИР31 1 < »' < ш- (1) "."¡еЕ з 1

Здесь неизвестные — радиус-векторы свободных шарниров — содержатся в левой части уравнений. Матрица 12 этой системы является симметрической. Основной вопрос: в каких случаях исходный шарнирник р° восстанавливается однозначно по подпространству И^(р0) £ \УГ при заданной ЗШС? (Здесь важно расположение подпространства относительно стандартной системы координат (шц) в У/г.) Иными словами, если р(ш) = (р!(а;),. ,рп1(ш)) есть множество всех решений системы линейных уравнений 1 при некотором {<«;#} = ш € И^(р°), то когда

П РИ = Р°?

17

Очевидное условие detíí(w) ф 0, где и — какой-либо ненулевой вектор из W(p°), является достаточным для восстановимости шарнирника р° по пространству его напряжений. В случае одномерного пространства это условие является и необходимым. В главе 5 исследуется вопрос его необходимости в общем случае. Кроме того, исследуются условия геометрического характера на шарнирник р° и его ЗШС, а также на подпространство W(р°) С WT. позволяющие ответить на вопрос о восстановимости этого шарнирника без вычисления detí2(u>). Примером такого условия является положительность напряжений всех рычагов шарнирника. Она влечёт восстановимость шарнирника по такому напряжению. Шарнирники, допускающие набор положительных напряжений, исследовались в работе Коннелли [85], где они были названы spider webs. Мы их называем паутинными.

В §2 этой главы доказывается необходимое и достаточное условие восстановимости несократимого (то есть со всеми рычагами ненулевой длины) шарнирника на прямой. Допустим, что у его ЗШС есть совпадающие между собой закрепленные шарниры. Отождествляя друг с другом эти совпавшие шарниры, мы получим новую ЗШС 35 называемую сокращенной. Если сокращенная ЗШС имеет более одного закрепленного шарнира: vm+i,. .,vm+n, то, добавив к ее графу ребра vm+iVm+2,. ,vm+1vm+n, соединяющие первый из закрепленных шарниров с остальными, мы получим граф G'(V., Е'), называемый дополненным графом исходной ЗШС. Вершину V Е G' назовем разделяющей, если при удалении ее вместе с инцидентными ей ребрами из графа G' получается несвязный граф.

Теорема 18. Для восстановимости несократимого шарнирника р° на прямой по его подпространству И^(р°) £ Wr внутренних напряжений необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1) граф G приведенной ЗШС шарнирника имеет более одного закрепленного шарнира;

2) дополненный граф G' ЗШС не содержит разделяющих вершин.

В §3 устанавливается теорема, влекущая следующее достаточное условие невосстановимости шарнирника по своему пространству внутренних напряжений:

Пусть множество V шарниров шарнирника р так распадается на три непересекающиеся части Vi, V.2, V¡, где Vi - непустое множество, состоящее лишь из свободных шарниров, Vz - непустое множество, содержащее k < d шарниров, среди которых могут быть как свобод

18 ные так и закрепленные, V3 - возможно, пустое множество, могущее содержать свободные и закрепленные шарниры; что не существует рычагов, соединяющих шарниры из множества Vi с шарнирами, множества V3. И пусть все к шарниров множества V2 находятся в общем положении, а их аффинная оболочка не содержит всех шарниров множества Vl. Тогда шарнирник р невосстановим по своему пространству напряжений.

Пусть со = — допустимое для выбранной ЗШС напряжение.

Множество шарнирников, допускающих это напряжение, определяется как решение соответствующей системы (??) и представляет собой либо точку, либо линейное многообразие Lw С Rdm положительной размерности. В §4 исследуются геометрические свойства образа этого множества, а также образа С рычажного отображения. В частности, установлены следующие факты.

Лемма 26. Если образ F(p) шарнирника р лежит на границе дС множества С, то шарнирник р допускает внутреннее напряжение. Более того, если плоскость Лш: YLviv^e wijd%i — с, где с — const, локально опорна либо касается С в точке d° £ дС, то множество F1(d°) непусто и каждый шарнирник из этого множества допускает напряжение Ш =

Утверждение 20. Множество С имеет не более одной локально опорной либо касательной плоскости Пш произвольно заданного направления и.

Лемма 27. Пусть в точке d £ дС имеется касательная либо опорная к С плоскость Пш и пересечение П^ П С ограничено. Тогда d -однократная точка отображения F и имеется лишь один шарнирник, допускающий напряжение и>.

§5 посвящён доказательству необходимого и достаточного условия на ЗШС, обеспечивающего существование несократимых паутинных шарнирников.

Теорема 23. Приведенной ЗШС в Rd, d> 1, тогда и только тогда отвечает хотя бы один несократимый паутинный шарнирник, когда выполнены два условия теоремы 18.

В §6 положительно решается вопрос существования восстанавливающего напряжения для произвольного шарнирника на прямой, восстановимого по своему пространству внутренних напряжений. В §6 также изучаются свойства рычажного отображения, связанные с множеством

19 шарнирников, восстановимых по единственному внутреннему напряжению. Во-первых, получено необходимое и достаточное условие неограниченности этого множества. Оно состоит в наличии у ЗШС по крайней мере двух закреплённых в различных точках шарниров. Отдельно рассматривается множество Л паутинных шарнирников. Это множество представляет собой так называемый минимум Парето отображения. Для рычажного отображения оно всегда ограничено. Сужение рычажного отображения на множество П оказывается гомеоморфизмом. Более того, справедлива

Теорема 29. Если Иапкс?^(р) = г — 1 на множестве. П, то множество представляет собой гладкую строго выпуклую шапочку, гомеоморфную открытому (г — 1)-мерному шару. Эта шапочка обращена выпуклостью к началу стандартной системы координат в IV и взаимно-однозначно проектируется вдоль координатных осей на координатные плоскости.

В случае падения ранга дифференциала на множестве П оно может оказаться негомеоморфным шару. Точкам р падения ранга отвечают угловые точки множества С, и для этих точек справедливы выводы §7, в котором приведены геометрические достаточные условия существования и несуществования восстанавливающего напряжения.

В §8 получены оценки минимального ранга дифференциала рычажного отображения, зависящие от ЗШС. Выдвинуты две гипотезы. Одна о наличии в множестве минимального ранга рычажного отображения шарнирника с рычагом нулевой длины. Другая — о неограниченности множеств постоянного ранга рычажного отображения в случае их положительной размерности. В некоторых случаях эти гипотезы доказаны.

Шестая глава посвящена формулировке и доказательству критерия структурной группы Ассура в случае плоского шарнирно-рычажного устройства. Критерий имеет прикладное значение для структурного анализа механизмов.

В §1 обсуждается история вопроса, а также даётся определение структурной группы Ассура с точки зрения развиваемой автором математической модели. Группой Ассура в теории механизмов принято называть кинематическую цепь, степень подвижности которой относительно "внешних" кинематических пар (связанных со стойкой или ведущими звеньями) равна нулю, и не содержащую меньших цепей с теми же свойствами. И.И.Артоболевским была развита классификация структурных

20 схем плоских механизмов на основе классификации групп Ассура [76]. Однако, методы построения структурных групп, идущие от Ассура [25], не исчерпывают всего их многообразия. Задача построения и перечисления всех групп Ассура даже с небольшим числом звеньев весьма трудоёмка и остаётся актуальной [96].

Группой Ассура автор называет изостатическую ШСС, не обладающую меньшими изостатическими подсхемами, содержащими закреплённые шарниры (возможно, не все её закреплённые шарниры).

В §2 приводится вывод критерия группы Ассура для плоских шарнирно-рычажных механизмов. Этот вывод опирается на теорему 3 главы 2. Формулировка критерия следующая.

Теорема 43. Шарнирная структурная схема с графом С? является группой Ассура на плоскости тогда и только тогда, когда для нее выполнено равенство г = 2т, отвечающий ей граф & удовлетворяет условию теоремы 8, и для произвольного собственного подграфа (?* графа О, содержащего т* свободных шарниров и г* > 1 ребер, выполнено неравенство г* < 2т*.

Здесь же приводятся примеры применения этого критерия. При его применении наиболее трудоёмкой оказывается проверка условий теоремы 3.

21

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ковалёв, Михаил Дмитриевич, 2010 год

1. Cremona L. Graphical Statics (18T2) English Translation // Oxford University Press. 1890.

2. Maxwell J. C. On Reciprocal Diagrams and Diagrams of Forces // Phil. Mag. Series 4, 27, 1864 P. 250 261

3. Maxwell J.C. On Reciprocal Diagrams, Frames and Diagrams of Forces // Trans. Royal Soc. Edinburgh, 26, 1869-72 P. 1 40.

4. Cayley A. On three-bar motion // Proceedings of the London Mathematical Society, VII, 1875-6 P. 136 166.

5. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. T. IV // M.- JI.: ГИТТЛ, 1948.

6. Koenigs G. Leçons de Cinématique // Paris. Hermann. 1897.

7. Котельников A.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике // Казань. 1895.

8. Study Е. Geometrie der Dynamen // Leipzig. Teubner. 1903.

9. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Системы проектирования плоских рычажных механизмов // М.: Машиностроение. 1988.

10. Bottema О., Roth В. Theoretical Kinematics // Amsterdam: Nort-Holland Publ. Co. 1979.

11. Левигпский H.И. Теория механизмов и машин. Терминология. Под редакцией Н.И. Левитского // М., Наука. 1984.226

12. Рабинович И.M. Строительная механика. Терминология. Под редакцией И.М. Рабиновича // М., Наука. 1970.

13. Cauchy A.L. Sur les polygones et les polyedres // J. Ecole Polytechnique. XVIe. Cahier. Tome IX. 1813 P. 87-98.

14. Bricard R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé // J. Math. Pures Appl. (5). 3. 1897. P. 113-148.

15. Погорелое A. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей //M. Физматгиз. 1969.

16. Connelly R. A counter example to the rigidity conjecture for polyhedra // Publ. Math. I. H. E. S. 47. 1978. P. 333-338.

17. Сабитов И.Х. Объём многогранника как функция его метрики // Фундаментальная и прикладная математика. 2. №4. 1996. С. 12351246.

18. Roth В., Whiteley W. Tensegrity Frameworks // Trans. Amer. Math. Soc. 265 №2. 1981. P. 419-446.

19. Jaggi В. Configuration spaces of point sets with distance constraints // Preprint. 1993.

20. Zvonkine D. Configuration Spaces of Hinge Constructions // Russian journal of Math. Phys. v. 5. №2. 1996. P. 1 27.

21. Farber M. Invitation to topological robotics // Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society, Zurich, 2008.

22. Connelly R., Demaine E., Rote G. Straightening Polygonal Arcs and Convexifying Polygonal Cycles // Discrete and Computational Geometry, Vol. 30, №2, 2003, P. 205-239.

23. Streinu I. Pseudo-Triangulations, Rigidity and Motion Planning // Discrete and Computational Geometry, V. 34, №4, P. 587-635, 2005.

24. Артоболевский И.И. Структура кинематика и кинетостатика многозвенных плоских механизмов // M.- JI., ОНТЙ, 1939 г.227

25. Accyp JI.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с точки зрения их структуры и классификации // М. Издательство АН СССР, 1952, 529 С.

26. Пейсах Э.Е. Атлас структурных схем восьмизвенных плоских структурных механизмов // Теория механизмов и машин, №1 (7), 2006, Том 4, С.3-17.

27. Connelly R., Demaine E.D., Rote G. Straightening Polygonal Arcs and Convexifying Polygonal Cycles. // Preprint.

28. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия // М.: Наука, 1981.

29. Ковалев М.Д. О распрямлённых шарнирных конструкциях // Математический сборник, т.195, №6, 2004, С. 71 98.

30. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978.

31. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 91-118.

32. Постников М.М. Гладкие многообразия // М.: Наука, 1987.

33. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия // М.: Наука, 1979.

34. Wunderlich W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe // Österreichisches Ingenieurarchiv. Band 8. Heft 2/3. 1954. S. 224-228.

35. Husty M.L., Zsombor-Murray P.A. Special Type of Singular Stewart-Gough Platform // Advances in Robot Kinematics and Computational Geometry. P.449-548, Kluwer Académie Publishers, 1994.

36. Wohlhart K. Das dreifach plansymmetrische Oktoid und seine Punktbahnen // Mathematica Pannonica. Band 6. Heft 2. 1995. S. 243265.228

37. Wohlhart К. Kinematotropic Linkages // Recent Advances in Robot Kinematics. P.359-368, Kluwer Academic Publishers, 1996.

38. Ковалев М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Известия РАН Серия математическая. 1994. т.58. №1. С.45-70.

39. Pollaczek-Geiringer Н. Uber die Gliederung ebener Fuchwerke // Zeitschrift fur ang Math, und Mech, 1927, V.7, No 1. P. 58-72.

40. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures //J. Eng. Math. 1970. V. 4. P. 331- 340.

41. Asimov L., Roth B. The rigidity of Graphs II // Journal of Math, analysis and appl, 1979, V.68, No 1, P. 171-190.

42. Старо H. Structural Rigidity // Structural Topology. 1979. №1. P. 26 -45.

43. Graver J., Servatius В., Servatius H. Combinatorial Rigidity // American Mathematical Society, Providence, 1993.

44. Старо H., Whiteley W. Statics of Frameworks and Motions of Panel Structures, a Projective Geometric Introduction // Structural Topology. 1982. №6. P. 43 82.

45. Barvinok A.I. Problems of Distance Geometry and Convex Properties of Quadratic Maps // Discrete & Computational Geometry. 13. 1995. P. 189-202.

46. Изместъев И. В. Многообразия, определяемые простыми многогранниками, как конфигурационные пространства шарнирных механизмов // УМН. 55. 2000. вып. 1 (331). 185-186.

47. King Henry С. Planar linkages and algebraic sets // Preprint. arXiv:math.AG/9807023 July 4, 1998, 22 P.

48. King Henry C. Configuration Spaces of Linkages in Rn // Preprint. arXiv:math.GT/9811138 November 23, 1998, 34 P.

49. Kapovich M., Millson J.J. Universality theorems for configuration spaces of planar linkages // Preprint March 23, 1998, 45 P.229

50. Кетре А.В. On a general method of describing plane curves of the nth degree by Linkwork // Proc. of the London Math. Soc. 1876. V. 7, No 102. P. 213-216.

51. Hunt K.H. Kinematic geometry of mechanisms // N.Y.: Clarendon Press, 1978.

52. Dijksman E.A. Motion Geometry of Mechanisms // Cambridge, 1976.

53. Connely R.,Servatius H. Higher order rigidity — what is proper definition? // Discrete Comput. Geom. 1994. v.ll №2. P.193-200.

54. Олейник О.А. К шестнадцатой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

55. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Том 1 // М.: Наука, 1988.

56. Ciprian S. Вогсеа, Псапа Streinu The number of embeddings of minimally rigid graphs // Discrete and Computational Geometry, 2004, V. 31, P. 287-303.

57. Dines L.L. On the mapping of n quadratic forms // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. V.48. №6. P.467-471.

58. Аграчев А.А. Топология квадратичных отображений гессианы гладких отображений / / Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т.26. С.85-124. М.: ВИНИТИ, 1988.

59. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Квадратичные отображения' и гладкие функции: эйлеровы характеристики множеств уровня // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т.35. С.179-239. М.: ВИНИТИ, 1989.

60. Измайлов А.Ф., Третьяков А.А. К проблеме обратимости квадратичных отображений // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. 1997-98. №4,5(1). С.84-89.

61. Арутюнов А.В. Некоторые свойства квадратичных отображений // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычис. Матем. и Киберн. 1999. №2. С.30-32.230

62. Гурса Э. Курс математического анализа // Т. 1. М-Л.: ОНТИ, 1936.

63. Милнор Д. Особые точки комплексных гиперповерхностей // М.: Мир, 1971.

64. Blaschke W., Mailer Н. Ebene Kinematik // München: Oldenb, 1956.

65. Hoperoß J., Joseph D., Whitesides S. Movement problem for 2-dimensional linkages // SIAM. J. Comp. 1984. V. 13. №3. P. 610-629.

66. Ковалев М.Д. О восстановимости шарнирников по внутренним напряжениям // Известия РАН Серия математическая. 1997. т.61. №4. С.37-66.

67. White N., Whiteley W. The algebraic geometry of stresses in frameworks // SIAM J. Algebraic Discrete Methods. 1983. v.4. №4. P. 481-511.

68. White N., Whiteley W. The algebraic geometry of motions of bar-and-body frameworks // SIAM J. Algebraic Discrete Methods. 1987. v. 8. №1. P. 1-32.

69. Penne R. Isostatic bar and joint frameworks in the plane with irreducible pure conditions // Discrete applied Mathematics. 1994. v.55. P.37-57.

70. Верже M. Геометрия. Том первый // M.: Мир, 1984.

71. Bezdek К., Connelly R. Pushing disks apart the Kneser-Poulsen conjecture in the plane // J. Reine Angew. Math. v. 553, 2002, P. 221-336.

72. Alexandrov V. Sufficient Conditions for the Extendibility of an rath Order Flex of Polyhedra // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry. 1998. Vol. 39, No. 2, P. 367 -378.231

73. Alexandrov V. Implicit Function Theorem for Systems of Polynomial Equations with Vanishing Jacobian and Its Application to Flexible Polyhedra and Frameworks // Monatshefte fur Mathematik 2001. No. 132, P. 269-288.

74. Сабитов И.Х. О связях между бесконечно малыми изгибаниями различных порядков // Украинский геометрический сборник. 1992. Вып. 35 С. 118-124.

75. Ковалев М.Д. Квадратичные и рычажные отображения // Труды МИАН им. В.А.Стеклова, т.239, 2002, С. 195- 214.

76. Artin М. Algebraic approximations of structures over complete local rings //IHES Publ. Math. 1969. №.36. P.23-58.

77. Artin M. On the solutions of analytic equations //Inventiones. Math. 1968. V.5. №.4. P.277-291.

78. Сабитов И.Х. Локальная теория изгибания поверхностей. //Современные проблемы математики. Геометрия 3. т.48. С.196-270. М.: ВИНИТИ . 1989.

79. Spallek К. Differenzierbare Kurven auf analytischen mengen //Math. Annalen 1968. №.177. P.54-66.

80. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2 // М.:Наука, 1970.

81. Ковалев М.Д. Уплощенные шарнирники // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов XII Международной конференции. Часть 1. 1999. С.97.

82. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений // М.: Наука, 1982.

83. Kovalev М. Local properties of the rigidity mapping // Convex and Discrete Geometry. Abstracts. Institut Matematyki i Fizyki ATR. Bydgoszcz. Poland. 1998.

84. Фултпон У. Теория пересечений // М.: Мир, 1989.232

85. Connelly R. Rigidity and Energy // Invent. Math. 1982. v.66. N 1. R11-33.

86. Уилсон P. Введение в теорию графов // М. Мир. 1977.

87. Connelly R. The Rigidity of Certain Cabled Frameworks and the Second-Order Rigidity of Arbitrarily Triangulated Convex Surfaces // Advances in Math. 1980. v.37. №3. P.272-299.

88. Болтянский В. Г., Солтан П. С. Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств // Кишинев. Штиинца. 1978г.

89. Смейл С. Глобальный анализ и экономика 1, оптимум Парето и обобщение теоремы Морса // УМН. 1972 т.27. вып.З. С.177-187.

90. Кострикин А.И. Введение в алгебру // М. Наука. 1977.

91. Ковалев М.Д. Задача о минимальном ранге рычажного отображения // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы Сборник трудов научно-методической конференции посвящённой 40-летию НУК ФН МГТУ им.Н.Э.Баумана "Логос" 2005 С. 317-323.

92. Veblen О., Young J.W. Projective geometry, v 1-2 // Boston N.Y. 1910 - 1918

93. Артоболевский И.И. Теория механизмов // М. Наука 1965 г. 776 С.

94. Добровольский В.В., Артоболевский И.И. Структура и классификация механизмов // М. Л. Издательство АН СССР, 1939.

95. Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов // Киев, Наукова думка, 1979. 232 С.

96. Пейсах Э.Е. Структура и кинематика пространственных рычажных механизмов // Изд-во СПГТУТД, 2004, 215 С.

97. Hartenberg R.S., Denavit J. Kinematic synthesis of linkages // 1964.

98. Angeles ,J. Rational Kinematics // Springer Tracts in Natural Philosophy, V.34, 1988.233

99. Peisach E., Dresig H., Schonherr J. Typ und Massynthese von ebenen Koppelgetrieben mit hoeheren Gliedgruppen (Zwischenbericht zum Fortsetzungsantrag). DFG- Themennummer: Dr 234/7-1, TU Chemnitz, Professur Maschincndynamik // Chemnitz, 1998.

100. Карловский Д.А., Вишневский С.В., Семенова Н.С. Программа структурного анализа механизмов // Теория механизмов и машин. 2005. том 3. №1. С. 67-69.234