Проблема разрешимости для (p,q)-нелинейных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нежинская, Ирина Владимировна

• Нежинская, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нежинская, Ирина Владимировна

Введение.

1 Задача Дирихле.

1. Постановка задачи. Формулировка основного результата.

2. Регуляризация задачи. Априорные оценки.

3. Оценка модуля градиента в строго внутренних подобластях.

4. Оценка модуля градиента на границе.

5. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях.

6. Доказательство основного результата. Единственность решения.

7. Некоторые обобщения.

8. Параболическая задача.

2 Задача Неймана.

Л. Постановка задачи. Формулировка основного результата.

2. Регуляризация. Априорные оценки.

3. Оценка максимума модуля градиента решения на границе области.

4. Оценка модуля градиента в приграничных подобластях.

5. Доказательство основного результата. Теорема единственности.

6. Некоторые обобщения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема разрешимости для (p,q)-нелинейных уравнений»

В диссертации изучается проблема разрешимости краевых задач для класса неравномерно эллиптических уравнений с дивергентной главной частью. Точнее, рассматриваются уравнения вида п d di(x,u,ux) = b(x,u,ux), х GCl, (0.1) aXi i=i 1 где x G О, С Mn, n > 2, и — скалярная функция, ux = (uXlJ., uXn), a функции а,{(х,и,£) и b(x,u,£) — достаточно гладкие функции своих аргументов.

Основным предположением является условие эллиптичности в форме п Щ (*, Щ О А, А, >и( 1 + W~21 А|2, А е 1Г, (0.2) ij=l

I^^^oi^^a + Kir2, (0.3) i i,j = 1 ; ,

1< p<q, (0.4) где u,fj, — положительные постоянные, х G Г2, и £ М, £ G К". Разность д-р будем называть порядком неравномерности уравнения (0.1).

Кроме того, считаем выполненными некоторые ограничения на поведение функций aix., aiu и Ъ по аргументу

При условии р = q,p> 1, уравнение (0.1) является равномерно эллиптическим. Теория обобщенной и классической разрешимости краевых задач для таких уравнений сформировалась к концу 60-х годов XX века. Основные результаты этой теории достаточно полно изложены в монографиях С.В.Моггеу [33], G.Gilbarg'a, N.Trudinger'a [10] и О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [20].

Формирование теории разрешимости для квазилинейных уравнений началось с развития теории разрешимости линейных уравнений и исследования регулярности их решений. Так в 30-е годы J.Schauder'oM была доказана теорема о существовании решений в пространстве Cl+a, I > 2, первой краевой задачи для линейного уравнения с гладкими коэффициентами. Аналогичный результат для других краевых задач был получен к 1957 году C.Miranda и R.Fiorenza.

Понятие обобщенного решения для различных типов уравнений начало формироваться еще в 20-30-е годы XX века в работах G.C.Evans'a, N.Wiener'a, С.В.Моггеу, А.А.Фридмана, K.O.Friedrichs'a, С.Л.Соболева, J.Leray, Н.М.Гюнтера и других математиков. Этими авторами был предложен ряд способов.определения обобщенных решений и доказаны первые результаты об их существовании. Анализируя все эти подходы, в конце 40-х годов О.А.Ладыженской было сформулировано ставшее впоследствии классическим определение обобщенного решения краевых и начально-краевых задач для* различных типов уравнений с помощью интегральных тождеств.

В начале 50-х годов K.O.Friedrichs'oM, F.E.Browder'oM, L.Nirenberg'oM и другими математиками были установлены теоремы о существовании у обобщенных решений соболевских производных высоких порядков. В конце 50-х годов E.De Giorgi и J.Nash независимо друг от друга доказали теорему о (^"-регулярности обобщенных решений линейных дивергентных уравнений простейшего вида (без предположения о гладкости матрицы старших коэффициентов). Спустя несколько лет в работах С.В.Моггеу, G.Stampacchia,

О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой этот результат был распространен на случай общего вида линейных уравнений дивергентной структуры. Дифференциальные свойства обобщенных решений краевых задач для линейных уравнений были позднее подробно исследованы в работах О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, О.А.Олейник, G.Stampacchia, J.Serrin'a, N.Trudinger'a и других математиков.

Для равномерно эллиптических квазилинейных уравнений дивергентного вида теория классической и обобщенной разрешимости краевых задач была разработана к началу 70-х годов. Результаты этой теории, а также основные теоремы о регулярности решений достаточно полно изложены в монографиях [10] и [20]. В случае двух независимых переменных (п = 2) исследование разрешимости и регулярности решений продвигалось значительно быстрее, чем в случае п > 2. Наиболее значимые результаты при п = 2 были получены уже к концу 30-х годов С.Н.Бернштейном, Е.НорГом, J.Schauder'oM, R.Cacciopolli и J.Leray. Начало 60-х годов отмечено большим количеством новых работ о классической и обобщенной разрешимости, а также регулярности решений многомерных краевых задач для квазилинейных уравнений дивергентного вида. Среди этих работ наибольшую известность приобрели публикации C.B.Morrey, G.Stampacchia, О.А.Олейник, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, E.De Giorgi, M.Miranda и N.Trudinger'a. Доказательство установленных теорем о существовании гладких решений краевых задач для эллиптических уравнений дивергентной структуры базируется на теоремах J.Leray и J.Schauder'a о неподвижных точках вполне непрерывных операторов. Основным условием в этих теоремах является наличие глобальной априорной оценки норм решений в пространстве C1+a(fi). Для широкого класса уравнений эта оценка была выведена О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [20]. Существование обобщенных решений краевых задач равномерно эллиптических дивергентных уравнений было доказано применением теории монотонных операторов и метода Галеркина ( [27], [20]).

Другой метод доказательства обобщенной разрешимости краевых задач основан на построении гладких аппроксимаций, применении для приближенных задач результатов теории классической разрешимости и получении равномерных по параметру аппроксимации оценок норм решений приближенных задач.Таким образом, выяснилась важная роль получения априорных оценок различных норм решений при исследовании вопросов разрешимости и регулярности.

С начала 60-х годов XX века большое внимание было уделено изучению различных классов неравномерно эллиптических уравнений. Как правило, характер неравномерности описывался условиями на поведение формы ai^(x,u,^)Xi\j в зависимости от угла между векторами £ и А £ Rn. К таким уравнениям относятся, например, уравнения поверхностей с заданной средней кривизной. Исследование вопросов разрешимости задач Дирихле для различных классов неравномерно эллиптических уравнений проведено в обширной работе J.Serrin'a [34]. Точнее, в ней рассматриваются уравнения недивергентного вида. ij=1 в ограниченной области Q 6 R" , dQ G С2, где Аф,и,£), В(х,и,£) € Cl{Rn х R х Rn).

Коэффициенты матрицы А удовлетворяют условию эллиптичности: п

0.5)

AijXiXj >0, А 6 Е", А ф 0.

0.6)

Предполагается выполненным граничное условие

0.7) на an, где / Е С2(О,).

J.Serrin сформулировал достаточные условия, обеспечивающие для решений задач вида (0.5) - (0.7) наличие следующих априорных оценок :

1) оценка maxlul; п

2) оценка maxluJ дП через тахМ; п

3) оценка maxluJ п через maxIwJ и maxlw дп 1 1 п

При этом наиболее сильные ограничения на функции, образующие задачу, возникают при выводе оценок 2) и 3). Для получения оценки 2) J.Serrin вводит понятие регулярно эллиптических уравнений. Это уравнения вида (0.5), для которых существует такое число тп > 0, что

Зр{Аф,щО}+ l^'fll < <fr(|ei)g0r,4,fl, ^ 0, И < го, (0.8) х,и,£) = Ау(х,и, где Ф(р) , р Е (0,+оо), — непрерывная монотонно убывающая функ

00 dp ция, обладающая свойством: Г 0 = оо. рЩр)

Как нетрудно видеть, класс регулярно эллиптических уравнений включает в себя класс равномерно эллиптических уравнений с "естественным" уело-i ■ 1 вием на порядок роста по градиенту функции правой части: \В(х,и,£)\ < с( 1 + |£|2). Кроме того, в класс регулярно эллиптических уравнений входят (р, q)- нелинейные эллиптические уравнения, имеющие порядок неравномерности q-p< 1. (0.9)

Внимание к регулярно эллиптическим уравнениям обусловлено схожестью свойств их решений с решениями равномерно эллиптических уравнений.

Для гладких решений регулярно эллиптических уравнений в работе [34] выведена априорная оценка 2). Использованный для этого метод основан на построении барьерной функции и применении принципа максимума. Таким же методом О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева [20], а также А.В.Иванов [18] установили оценку 2) для решений несколько более общих классов уравнений. Условие (0.8) авторами было заменено менее ограничительными условиями, которые, однако, не позволяют снять ограничение (0.9) на разброс q — р для (р, д)-нелинейных уравнений вида (0.1) даже в простейшем случае щ = щ(их), Ь = Ь{х).

Для решений регулярных по Серрину и близких к регулярным уравнений вида (0.5) при ограничениях специального вида на согласование порядков роста по градиенту функций Ац, В и их частных производных по своим аргументам в работах [34], [20], [17], [18], [10] установлены априорные оценки вида 3). Эти результаты позволили доказать существование классических решений краевых задач. Если уравнение (0.1) записать в недивергентной форме, то к нему можно применить упомянутые результаты лишь при выполнении дополнительных предположений на рост по аргументу £ первых и вторых частных производных функций Ь(х, и, £) и щ(х, и, £) соответственно. Однако, в настоящей работе уравнение (0.1) рассматривается в предположении меньшей гладкости образующих его функций. i i

В работах С.Н.Бернштейна, J.Leray, J.Serrin'a, И.Я.Бакельмана и I

А.В.Иванова для некоторых классов неравномерно эллиптических уравне ) ний, не являющихся регулярными, установлены априорные оценки решений вида 1), 2), 3) и доказаны теоремы о классической разрешимости. Это классы уравнений, главная матрица Ац и функция правой части В которых имеют специальную структуру, а кривизна границы области Q связана с функцией В условиями специального вида ( уравнения типа уравнений минимальной поверхности). Для изучаемого уравнения (0.1) в настоящей работе не предполагаются выполненными такие ограничения. Примерами уравнений из описанного класса являются:

1) уравнение поверхности и = и(х) в пространстве R", имеющей заданную среднюю кривизну К ф 0:

1 + \ux\2)5ij - их.их.)их.х. = пК{ 1 + \их\2)%; (0.10)

2) уравнение свободной поверхности и = и(х) покоящейся жидкости под действием сил гравитации и сил поверхностного натяжения:

1 + \ux\2)6ij - ux.ux.)uxix. = си( 1 + Ы2)§; (0.11)

Еще один класс неравномерно эллиптических уравнений, изучению которого посвящено множество работ последних двадцати лет, — это класс так называемых анизотропных уравнений дивергентной структуры: п d ч{х,их) + а0(х,и,их) = 0, ж 6 fi С Е", (0.12) г=\ характеризующихся следующими условиями на функции i =

1, .п:

71 7Х ТЬ г=1 i=l г=1 ;

Pi > 1, г = 1, .п. (0.14)

Специфика структуры уравнений анизотропного вида позволила доказать существование обобщенного решения в классе И^(О), 1^ = (ръ—Рп), краевой задачи Дирихле. [19] (Здесь = {v £ W^(n)\vx. 6 = 1, .n}, po = min pi.) Кроме того, для уравнений этого класса установлеi=l,.n ны некоторые результаты о регулярности этих решений. Точнее, в [6], [35] доказана глобальная ограниченность обобщенных решений, а в [36], [29] — локальная ограниченность их градиентов в строго внутренних подобластях.

Попытка получения аналогичных локальных оценок в приграничных подобластях приводит к необходимости распрямления границы. Однако, как легко видеть, при переходе к новым переменным у = у(х) в уравнении (0.12) условия (0.13)-(0.14) перестают выполняться. Этим объясняется невозможность применения вблизи границы тех методов, которыми были получены локальные внутренние оценки £°°-норм градиентов обобщенных решений уравнений вида (0.12) при условиях (0.13)-(0.14).

Представляет интерес работа G.M.Lieberman'a [25], в которой рассмотрен достаточно общий класс неравномерно эллиптических и параболических уравнений дивергентной структуры. Для максимумов модулей градиентов решений этих уравнений в ней получена локальная внутренняя оценка. Как отмечает G.M.Lieberman, этот результат, в частности, применим к уравнениям анизотропной структуры, а также — к (р, </)-нелинейным уравнениям в случае q — р < 2. Кроме того, в работе [25] отмечено, что изложенный там метод может быть использован и для получения оценки максимума модуля градиента решения на границе области Q, но лишь в случае нулевого граничного условия Неймана.

Отметим, что класс уравнений рассматриваемой : нами структуры i I

0.1),(0.3)-(0.5), включают в себя уравнения Эйлера для различных классов функционалов. Например, с начала 70-х годов XX века и по настоящее время интенсивно изучались вариационные задачи для функционалов с неравномерным ростом интегранта. В частности, был рассмотрен интегральный функционал вида где Q — ограниченная область в 1", тг > 2, и : Q RN — вектор-нозначная функция, N > 1, / : RnN -> Ш. Основным предположением

0.15) являлось условие (р, q) - роста интегранта /:

К\р-сг<т<с2(1 + т, 1 <P<Q- (0.16)

В скалярном случае (N = 1) P.Marcellini в [29] и [30] доказал локальную Нерегулярность экстремалей функционала F при условии / G С2 и т( 1 + |?Г2)|Л|2 < jr fMim\i < М( 1 + |СГ2)|А|2, А,« 6 Г, (0.17) i,j=1

Этот результат был установлен при следующих условиях на показатели р и

2 <p<q< р. (0.18) п

Позднее, в статье L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione [И], были ослаблены требования на интегрант /: условие

С2 -гладкости было заменено требованием / 6 С1, а вместо условия (0.17) для / предполагалось выполненным следующее требование выпуклости: а/Й) + (1 - <*)/(&) - /К 1 + (1" <*)&) > m(l-a)(l + |a|2 + |6|2)¥lei-6|2, где £2 £ a G (0,1]. В этих предположениях в [И] установлена локальная непрерывность по Липшицу локального минимайзера функционала F при ограничении п + 1

1 <p<q<-р. (0.19) п

Случай N > 1 изучен в предположении, что интегрант функционала F зависит только от модуля градиента функции и. Для таких функционалов в работах итальянских математиков L.Esposito, F.Leonetti, G.Mingione, P.Marcellini, E.Mascolo, G.Cuipini, M.Guidorzi, F.Siepe, A.P.Migliorini ( [28], [11], [31], [23], [24], [9]) исследовалась регулярность локальных минимайзе-ров функционалов вида (0.15). В частности, было показано, что локальный минимайзер локально непрерывен по Липшицу, а его градиент принадлежит пространству WljoJfi)- Для функционалов с интегрантом f(ux) = д{\их\) в статье H.J.Choe [7] доказана С1+а- гладкость локально ограниченных ми-нимайзеров при условии д G С3 и ограничении l<p<q<p+l. Отметим также, что в работе P.Marcellini [28], а также в работе G.Cuipini, M.Guidorzi, E.Mascolo [9] установлена локальная ограниченность градиента локального минимайзера для интегрального функционала более общего вида, чем (0.15). Точнее, там изучены функционалы, интегранты которых имеют вид / = f(x, |мя.|).

Развернутый анализ известных к настоящему времени результатов о существовании и регулярности локальных минимайзеров интегральных функционалов, в том числе и функционалов с неравномерным ростом интегранта, приведен в обзорной работе G.Mingione [32].

В работе M.Bildhauer'a [5] сформулированы достаточно общие условия на поведение интегранта функционала, позволяющие доказать существова-.ние, единственность и регулярность (локальную, внутри области рассмотрения) решения соответствующей вариационной задачи. В частности, там изу-, чены функционалы, уравнения Эйлера для которых удовлетворяют услови

I ( ям (0.3)-(0.5) данной работы. Точнее, рассматривается задача минимизации функционала

J f{ux)dx (0.20) п со следующими условиями на / : Cliff -С2, (0.21)

1 + < 02/Ш(Л, А) < Ml + (0.22) где ci, С2, и, \i — некоторые положительные постоянные. В работе [5] доказано, что если q<p + s-, 1 <s<q, 1 <q, р> О, (0.23) п то существует единственное решение задачи (1.94)—(1.96) в некотором энергетическом классе, определяемом функцией /, при этом и G для любого параметра а G (0,1).

Другой класс задач, который интенсивно исследовался в последние два десятилетия, - это задачи минимизации функционалов с р(ж)-ростом инте-грантов. Точнее, рассматриваются функционалы вида

F[u,Q] = J f(x,ux)dx, (0.24) n где Q - область в Rn, п > 2, и : Q RN, N > 1,

С! + < f(Xt£) < ^(i + flito), (0.25) ci > 0, u,fi > 0, p : Q —> (1,+co) — непрерывная функция, 1 < p < p(x)<q<+oo.

Вариационные задачи для функционала F вида (0.24) при N = 1 с ин-тегрантом /(#,£), выпуклым по £ € И", измеримым по х 6 Rn и удовлетворяющим условию (0.25), изучались В.В.Жиковым в работах [12], [13] и

14]. У такого функционала, очевидно, существует минимайзер в простран-о стве V = {и G Wp(ti) : f f{x,vx)dx < +оо}. В работах [14], [15] найдены п условия на интегрант /, гарантирующие для рассмотренного функционала F следующее равенство: min Mu,fi] = inf F[u,Q}- (0-26) о, uec0°°(fi)

Случай, когда это равенство нарушается, называют эффектом (явлением) Лаврентьева. В [14] замечено, что явление Лаврентьева отсутствует тогда и только тогда, когда интегрант / регулярен, то есть когда для всякой функции и G V существует такая последовательность функций и£ G Co°(fi), что и£ -> и в Wi(Q), lim J f(x,uex)dx = J f(x,ux)da n n

Для модельного функционала

G[u,Q] = J \ux\pWdx, (0.27) n

1 < p < p{x) <q< +oo. в [15], [16] сформулировано условие на показатель р(х), обеспечивающие регулярность интегранта. Точнее, доказано, что интегрант функционала (0.27) регулярен, если показатель р(х) — непрерывная функция, имеющая логарифмический модуль непрерывности, то есть L

In \х — у\ для любых х,у G Q, \х —; у\ < Кроме того, в работе [15] показано, р(х) -р(у)I < L < +00, (0.28) что условие (0.28) является точным и не может быть ослаблено. i Ограничение (0.28) гарантирует выполнение следующего свойства для минимайзера и класса V функционала (0.27): \их\р№ £ Ь1+5(П) с некоторым S > 0, причем норма || Iwsl^H^+^fi) оценивается через данные задачи ( [16]). В работе [3] при условии (0.28) на показатель р{х) получена локальная априорная оценка нормы Гельдера решений уравнения Эйлера для функционала (0.27). При том же ограничении на показатель р(х) для локальных минимайзеров функционалов вида (0.24) при условии (0.25) в [1], [37] установлена локальная непрерывность по Гельдеру в случае N > 1. Более того, если дополнительно предполагать функцию р(х) непрерывной по Гёль-деру, а интегрант f(x, и, £) - С2-гладким по переменной то при некоторых условиях на порядки роста по £ вторых производных функции / в работах [1], [8] установлена локальная непрерывность по Гёльдеру градиента локального минимайзера функционала (0.24) при условии (0.25), N > 1.

Анализируя приведенные факты, заключаем, что большинство результатов о регулярности для решений неравномерно эллиптических уравнений, а также для минимайзеров интегральных функционалов с неравномерным ростом интегранта, получены для строго внутренних подобластей области рассмотрения. Установленные же к настоящему времени граничные оценки для градиентов решений неравномерно эллиптических уравнений требуют существенных структурных ограничений на функции, составляющие уравнение. Как было отмечено выше, в данной работе мы не предполагаем выполненными такого рода структурные ограничения.

Большое количество работ разных авторов посвящено исследованию начально-краевых задач для параболических уравнений. Основные результаты о разрешимости и регулярности решений для линейных, а также квазилинейных равномерно параболических уравнений были установлены к 70-м годам XX века. Наиболее подробное изложение этих результатов приведено, например, в монографиях [21], [26]. Там же, а также в [25], [18] изучены и некоторые классы неравномерно параболических уравнений. В сущности это классы параболических аналогов неравномерно эллиптических уравнений, исследованных в [20], [10] и [18]. В работах [18], [21], [25], [26] установлены как строго внутренние, так и граничные априорные оценки норм решений рассматриваемых там классов неравномерно параболических уравнений, причем достаточными условиями для получения граничных оценок являются ограничения специального вида на порядки роста по градиенту для функций, образующих уравнение. Основные работы для неравномерно параболических уравнений последних пяти лет посвящены исследованию вопросов регулярности решений параболических уравнений и систем, характеризующихся p(x,t) - ростом по градиенту собственных чисел главной матрицы (см., например, [2], [4]). Однако, полученные для таких уравнений результаты носят строго локальный характер, до настоящего времени остается нерешенным вопрос о регулярности их решений вблизи боковой поверхности цилиндра.

Мы не будем проводить здесь подробный анализ имеющихся результатов для неравномерно параболических уравнений, поскольку не ставим своей целью исследование (р, ^-нелинейных параболических уравнений. Мы лишь покажем, что установленные в настоящей работе результаты разрешимости краевых задач для эллиптических (р, ^-нелинейных уравнений позволяют доказать существование решений начально-краевых задач для некоторого класса простейших (р, д)-нелинейных параболических уравнений (см. §8 первой главы).

Цель и основные результаты работы.

Настоящая работа автора инициирована результатом П.Марчеллини, полученным в статье [30] для решения и .уравнения (0.1) в случае, когда ai = ai(x,ux) и Ь = Ь(х) — ограниченная функция. При условиях вида (0.2)-(0.4) там была установлена следующая локальная априорная оценка:

1М|и^(п;) + 1М1и?(П') ^ с ' (°-29) для любой строго внутренней подобласти Q' области О, при ограничениях

2 <p<q, (0.30)

2-n + Vn2 + 4 q-p<-—-p. (0.31)

Целью настоящей работы является получение априорных оценок вида (0.29) вплоть до границы. На базе этих оценок будет доказана разрешимость краевых задач Дирихле и Неймана для (р, ^-нелинейных эллиптических уравнений вида (0.1).

Для каждой из краевых задач мы укажем такой допустимый интервал между показателями неравномерности р и q, при котором будет доказано существование классического, а также сильного обобщенного решения. Данные результаты являются новыми.

Идея применяемого метода состоит в построении регуляризаций для каждой из исследуемых краевых задач. Для норм решений регуляризованных задач в пространстве V = П будут получены равномерные по параметру глобальные оценки, что позволит использовать общую теорию разрешимости равномерно эллиптических квазилинейных уравнений ( [10], [20]).

Наиболее трудоемким этапом является оценка максимума модуля градиента на границе рассматриваемой области. Техника получения этой оценки существенно зависит от краевого условия. Метод, использованный в случае краевого условия Дирихле, основан на построении специальной барьерной функции и применении принципа максимума Александрова. Этот метод позволил выделить следующий диапазон q—p, при котором имеет место указанная оценка: q-P<^r~P- (0.32)

7Г + 71 В случае краевого условия Неймана граничная оценка градиента решения получена при менее жестком ограничении на q — p: I 1

Р, 2 <р< |п, q-p<<

3 п

-р- 1, \п<р< 2п, (0.33) п z р, р > 2п. \2п

Примененная для этого техника интегральных оценок в приграничных подобластях позволила оценить максимум модуля касательной составляющей градиента решения через промежуточную норму полного градиента, оценка которой априори не известна. Для получения оценки этой нормы использованы мультипликативные интегральные неравенства и итерационный процесс.

Нетрудно видеть, что диапазоны q—p, при которых в диссертации установлены граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана, являются более узкими, чем тот диапазон, при котором установлена локальная внутренняя оценка максимума модуля градиента решения в строго внутренних подобластях.

Полученные граничные оценки градиента решения при краевых условиях Дирихле и Неймана сформулированы в работе в виде самостоятельных утверждений. Эти утверждения являются принципиально новыми результатами. На их основе в работе впервые установлены априорные оценки максимума модуля градиента решения (р, д)-нелинейных уравнений в приграничных подобластях.

Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию краевой задачи Дирихле. В параграфе 1 описана постановка задачи и сформулирована основная теорема о ее.разрешимости. Построению регуляризаций и получению равномерных по параметру приближения глобальных априорных оценок для норм решений приближенных задач в пространствах и Wp{0) посвящен1 второй параграф. В §3 для решений регуляризованных уравнений установлена равномерная по параметру локальная внутренняя оценка в пространстве V = W^f^flWf Для этого проведена модификация метода П.Марчеллини [30] получения оценки (0.29). В результате для решений регуляризованных задач оценка (0.29) установлена при менее жестких условиях на младшие члены уравнения, что существенно используется при рассмотрении параболических уравнений ( см. §8 главы 1). В четвертом параграфе получена равномерная по параметру оценка максимума модуля градиента решения регуляризованных задач на границе области

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нежинская, Ирина Владимировна, 2006 год

1. Е. Acerbi, G. Mingione, Regularity Results for a Class of Functionals with Non-Standard Growth, Arch. Rational Mech. Anal. 156 (2001), 121 - 140.

2. E. Acerbi, G. Mingione, G.A. Seregin, Regularity results for parabolic systems related to a class of non-Newtonian fluids, An. I. H. Poincare- AN21 (2004), 25 60.

3. Ю.А. Алхутов, Неравенство Харнака и гелъдеровостъ решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста, Дифференциальные уравнения, т. 33, N12 (1997), 1651 1660.

4. S.N. Antontsev, V.V. Zhikov, Higher integrability for parabolic equations of p(x, t)-Laplacian type, Pre-publicagao, no.5, (2004), 1 30, DMUBI.

5. M. Bildhauer, Convex Variational Problems with Linear, Nearly Linear and/or Anisotropic Growth Conditions, Preprint, Saarland University, No.D66041, November 16, Germany (2001).

6. L. Boccardo, P. Marcellini, C. Bordone, L°°-regularity for variational problems with sharp поп standard growth conditions, Boll. Un. Mat. Ital., Bologna, (7)4-A (1990), 219 225.

7. H.J. Choe, Interior behaviour of minimizers for certain functionals with nonstandard growth, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, vol. 19, no. 10, (1992), 933-945.

8. A. Coscia, G. Mingione, Holder continuity of the gradient of p(x)-harmonic mappings, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie I, Calcul des variations (1999), p. 363 368,.

9. G. Cuipini, M. Guidorzi, E. Mascolo, Regularity of minimizers of vectoral integrals with p — q growth, Nonlinear Analysis, 54 (2003), 591 616.

10. B.B. Жиков, Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления, Известия АНСССР, сер. мат., т.47, N 5, (1983), с. 961 998.

11. В.В. Жиков, Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости, Известия АНСССР, сер. мат., т.50, N 4, (1986), с. 675 711.i i

12. B.B. Жиков, On Lavrentiev's phenomenon, Russian Journal of Mathematical1.!Phisics, vol.3, no. 2, (1995), 249 271.

13. B.B. Жиков, Об эффекте Лаврентьева, Доклады РАН, т. 345, N 1, (1995), 10 14.

14. V.V. Zhikov, On Some Variational Problems, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.5, no.l, (1997), 105 116.

15. А.В. Иванов, 0 задаче Дирихле для квазилинейных неравномерно эллиптических уравнений второго порядка, Труды МИАН им.Стеклова (1971).

16. А.В. Иванов, Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения, Труды МИАН им. Стеклова, том 160 (1982).

17. А.В. Иванов, П.З. Мкртычян, О разрешимости первой краевой задачи для некоторых классов вырождающихся квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, Труды МИАН им. Стеклова, том 147, (1980), 14 34.

18. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, издание второе, Москва, Наука (1973).

19. О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Москва, Наука (1967).

20. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Оценки на границе области норм Гёлъдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида, Препринты ЛОМИ P-I-85, Ленинград (1985).

21. F. Leonetti, Е. Mascolo, F. Siepe, Gradient regularity for minimizers of functionals underp—q subquadratic growth, Bollettino U.M.I. (8) 4-B (2001), 571 586.

22. F. Leonetti, E. Mascolo, F. Siepe, Everywhere regularity for a class of vectoral functionals under subquadratic general growth conditions, J. Math. Anal. Appl., 287 (2) (2003), 593 608.

23. G.M. Lieberman, Gradient Estimates for a New Class of Degenerate Elliptic and Parabolic Equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 21, (1994), 497 522.

24. G.M. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific, Singapore (1996).

25. Ж.-Л. Лионе, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Москва, "Мир", (1972).

26. Е. Mascolo, А.Р. Migliorini, Everywhere regularity for vectoral functionals with general growth, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 9 (2003), 399 418.

27. P. Marcellini, Regularity of minimizers of integrals of the calculus of variations with nonstandard growth conditions, Arch. Rat. Mech. and Analysis 105 (1989), 267 284.

28. P. Marcellini, Regularity and existence of solutions of elliptic equations with p — q growth conditions, Journal of Differential Equations 90 (1991), No. 1, 1-30.

29. P. Marcellini, Everywhere regularity for a class of elliptic systems without growth conditions, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 23 (1996), 1 -25.

30. G. Mingione, Regularity of minima: an invitation to the dark side of the calculus of variations, Applications of Mathematics (2006), to appear.

31. C.B. Morrey, Multiple integrals in the calculus of variations, Springer-Verlag, New York, (1966).

32. J. Serrin, The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic diferential equations with many independent variables, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, 264, (1969), 413 496.

33. B. Stroffolini, Global boundedness of solutions of anisotropic variational problems, Boll. Un. Mat. Ital., Bologna, (7) 5-A (1991), 345 352.

34. H.H. Уральцева, А.Б. Урдалетова, Ограниченность градиентов обобщенных решений вырождающихся неравномерно эллиптических квазилинейных уравнений, Вестник ЛГУ, N 19 (1983), 50 56.

35. Xianling Fan, Dun Zhao, The quasi-minimizer of integral functionals with m(x)-growth conditions, Nonlinear Analysis, 39 (2000), 807 816.

36. И.В. Нежинская, Оценка на границе области градиента решения задачи Дирихле для (p,q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 27, (2004), 137 150.

37. И.В. Нежинская, О разрешимости краевой задачи для (p,q)-нелинейных эллиптических ии параболических уравнений, Проблемы математического анализа, вып. 29, (2004), 55 69.)

38. И.В. Нежинская, Оценка градиента решения задачи Неймана для (р, q)-нелинейного уравнения, Проблемы математического анализа, вып. 31, (2005), 47 57.