Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Ковалева, Лидия Александровна

• Ковалева, Лидия Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ковалева, Лидия Александровна

Оглавление

Введение

1 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в весовом классе Сд

1.1 Постановка задачи

1.2 Концевой символ задачи

1.3 Редукция задачи Дирихле к нелокальной краевой задаче Римана

1.4 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в классе

2 Теоремы об индексе задачи и асимптотике решений

2.1 Формула индекса для задачи Дирихле

2.2 Теорема об асимптотике

2.3 Разрешимость задачи Дирихле в пространстве С^

3 Решение задачи Дирихле на различных двумерных стратифицированных множествах

3.1 Локальные характеристики в вершинах комплекса

3.2 Задача Дирихле на тетраэдре и кубе

3.3 Задача Дирихле на «книжке» Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах»

Введение

Уравнения на стратифицированных множествах моделируют целый ряд физических процессов таких как, например, диффузия в сильно неоднородных средах или средах со сложным геометрическим устройством, малые перемещения точек механических систем, составленных из упругих континуумов (мембран, струи и т.п.) разных размерностей.

К настоящему времени достаточно развитая теория дифференциальных уравнений па стратифицированных множествах имеется только в одномерном случае, на так называемых графах. Прогресс в этом направлении обеспечен работами Ю.В. Покорного, С.Ьитег'а, 8.№са1бе, Л.уоп Ве1оу и др. [53] - [58]. Успехи теории уравнений на произвольных стратифицированных множествах значительно скромнее, хотя первая из известных работ, которую можно отнести к этой тематике, опубликована Р. Курантом еще в 1926г. В ней он изучает колебания мембраны, к которой прикреплена струна. В конце 60-х годов М. Шехтер рассматривает задачу о трансмиссии, которую также можно отнести к данной тематике. В 90-е годы появляются эпизодические работы С. Ьитег'а [55], а позднее работы Б.Мсазе [58], и Л.уоп Ве1оу [54]. Однако, состояние этой области к настоящему моменту далеко от того, чтобы говорить о сложившейся теории уравнений на стратифицированных множествах. Например, вопрос о классической раз-

решимости задачи Дирихле в общей постановке не решен. Имеется только достаточно общий результат, принадлежащий A.A. Гаврилову и О.М. Пен-кину [61], [62] о слабой разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. В связи с этим постановка краевых задач для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах размерности больше единицы и разработка техники доказательства их разрешимости представляется весьма актуальной.

В настоящей работе будем рассматривать двумерные стратифицированные множества, которые для простоты предполагаются двумерными комплексами. А именно, рассмотрим компакт М С R3, который будем называть многоугольником, если он лежит в некоторой плоскости и является в ней выпуклым многоугольником.

Двумерным комплексом К или стратифицированным множеством назовем объединение конечного числа многоугольников, которые попарно могут пересекаться лишь по своим вершинам либо сторонам. В этом объединении многоугольники A4 (двумерные страты) будем называть гранями комплекса, а отрезки L (одномерные страты), являющиеся стороной одной или нескольких граней - ребрами. Вершины т (нульмерные страты) этих многоугольников составляют вершины комплекса. Обозначим соответствующие множества граней, ребер и вершин как A4. С и F, а число их элементов -га, I и п. Таким образом,

К = u мемМ, К1 = U ьесЬ, (0.1)

где в правой части равенств М и L рассматриваются как подмножества R3. Заметим, что множество К1 здесь представляет собой ломаную в R3, звенья которой могут попарно пересекаться лишь по своим концам, это

множество можно назвать остовом комплекса К.

Совокупность всех граней (ребер), имеющих своей вершиной г обозначим Мт (Ст). Множество Л4ь - множество граней, имеющих своей стороной ребро Ь, а множество См, составлено из сторон грани М. Число элементов этих множеств обозначим, соответственно, тг, 1Т и чис-

ло т^, называем также кратностью ребра Ь. Ребра кратности 1 относим к сторонам комплекса К. Связь между введенными множествами выражается равенствами

Пересечение множества вершин Р с гранью М дает множество вершин -Рд/, число элементов этого множества совпадает с 1м- Пересечение множества вершин Р с отрезком Ь представляет собой множество оно состоит из двух точек - концов отрезка Ь.

Множество С разобьем на два непересекающихся подмножества сторон. Первое обозначим С(О), в дальнейшем стороны этого множества будут служить носителями данных задачи Дирихле. В противоположность этому, во внутренних точках ребер Ь Е С \ С{0) будет введено понятие гармоничности, поэтому множество С \ С(О) обозначаем С(Н). Пусть 1(0) и 1{Н) означают число элементов множеств, соответственно, С(О) и С(Н), аналогичный смысл имеют обозначения /г(1)) и 1Т(Н). Обозначим далее, Р(1)) множество всех вершин, которые являются концом по крайней мере одной стороны Ь £ £(£>), и положим Р(Я) = Р \ F{D), число элементов этих подмножеств естественно обозначить п(О) и п(Н). Наконец, введем множество А4(0) всех граней, по крайней мере одна сторона которых принадлежит С(О) и положим Л4(Н) = М. \ Л4(П). Число элементов этих

множеств обозначим, соответственно, т(О) и т(Н).

%

т, т*

л

£17

Т2 Тз

21

Тз

%омпле^с %,

"Комплексе

В качестве иллюстрации рассмотрим два комплекса К\ и К2, изображенные на рисунке. Первый комплекс получен из тетраэдра, выкидыванием грани Т1Т2Т3. Стороны Ь е £>{Б) выделены жирным шрифтом. Например, в вершине г = то комплекса числа 1Т = тт = 3, причем эта вершина принадлежит ^(Я). Остальные три вершины составляют Р{0). В этом комплексе 3 ребра с концом то принадлежат С(Н) и имеют кратность 2, остальные три ребра являются сторонами комплекса и принадлежат £(£)). Наконец, все три его грани составляют Л4(0). Второй комплекс получен из куба, выбрасыванием грани Т1Т2Т3Г4. Здесь стороны Ь е £(£>) также выделены жирным шрифтом. Вершины принадлежат множеству ^(Я). Для этих вершин 1Т — тт = 3, причем все ребра с концом в этих точках составляют множество £(Я) и имеют кратность 2, а для вершин 71,72,73,74 величины 1Т = 3, гпт = 2. Множество ЛЛ(Н) состоит из одной грани тхтгтът^ остальные грани принадлежат множеству Л4(0).

Аналогично (0.1) соответствующие объединения элементов множеств £(!)) как отрезков обозначим К1 (И) и К1(Н). Заметим, что ^'(Л) = F П К1 (О) и ^(Я) = {г е Ц£>) = 0}. Обозначим к{И) совокупность внутренностей граней М е М и ребер Ь е £(#), т.е К = К\(ГиК1(0)).

Непрерывную функцию и иа К{0) будем называть гармоничной, ес-

ли гармоничны все ее сужения на грани и для каждого ребра Ь £ С{Н) выполняется соотношение

где им означает внутреннюю единичную нормаль области М на Ь.

Задача Дирихле (задача И) заключается в отыскании гармонической на

Вообще говоря, эта задача не всегда разрешима в классе непрерывных функций. Например, пусть двумерный комплекс К составлен из двух треугольников М\ и Мг, которые пересекаются по вершине то. Пусть Ьк, к = 1,2 есть сторона Мк, не примыкающая к этой вершине, объединение этих двух сторон составляет множество С(И). Тогда задача Дирихле с данными (р = к на Ьк, к = 1,2, не имеет решения в классе непрерывных функций па всем комплексе. В самом деле, в силу (0.3) на сторонах, не входящих в множество £(£)), функция

удовлетворяет однородному краевому условию Неймана. Поэтому ик принимает на Мк постоянное значение к, что противоречит требованию ее непрерывности на всем К.

В связи с этим в работах О.М. Пенкина [31] - [34], [60] вводятся некоторые ограничения на геометрию рассматриваемого стратифицированного множества. В рамках приведенного выше определения, удается доказать

(0.3)

К (О) функции и Е С (К \ Р) по краевому условию

(0.4)

где функция / <= С[К\0) \ Р(£>)] задана.

^к = и\Мк

существование слабого решения задачи Дирихле. Классическая разрешимость задачи Дирихле установлена в работе [56] только при более жестких требованиях на геометрическую структуру стратифицированного множества. А именно, в дополнение к введенному определению стратифицированного множества, необходимо, чтобы множество К\Р вблизи вершин г было связным. Таким образом, исключаются множества, в которых многоугольники пересекаются только по своим вершинам.

В этом случае утверждается, что верхняя огибающая множества субгармонических функций, принимающих на границе значение не больше заданного является классическим решением задачи Дирихле.

Доказательство этого факта основывается на применении метода Пуанкаре - Перрона для стратифицированных множеств [1], [2], [51], [52]. В частности, с помощью этого метода в работах Ковалевой Л.А. [15] , [37] -[40] была доказана классическая разрешимость модифицированной задачи Бицадзе - Самарского, предварительно сведенной к задаче Дирихле для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве, описанном ниже.

Рассмотрим две параллельные плоскости Р\ и Р2. Пусть ломанные Гг С Рг и переходят друг в друга при параллельном переносе вдоль прямой I перпендикулярной этим плоскостям. Тогда стратифицированное множество К таково, что объединение нульмерных страт состоит из вершин этих ломанных, объединение одномерных страт состоит из звеньев этих ломанных и отрезков параллельных прямой /, соединяющих соответствующие вершины. Наконец, объединение двумерных страт представляет собой прямоугольники, заключенные между этими отрезками и звеньями ломан-

ных. В качестве границы, т.е. множества £(/}), выступает объединение всех звеньев ломанных Р^. На получившемся стратифицированном множестве рассматривается задача О, решением которой является верхняя огибающая всех субгармонических функций, принимающих на границе значение не больше заданного.

В настоящей работе будет рассмотрен альтернативный метод доказательства разрешимости задачи Дирихле в пространствах Гельдера с весом. Исходную задачу удается свести к нелокальной краевой задаче Римана и применить известные для нее результаты.

Целью данной работы является доказательство разрешимости задачи Дирихле на двумерных стратифицированных множествах в весовых классах. Выявление степенно-логарифмической асимптотики решения задачи вблизи вершин комплекса.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах под руководством А.П. Солдатова и А.М. Мейрманова при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный университет» (2008-2013гг.), на Воронежских зимних и весенних школах «Современные методы в теории краевых задач» и «Понтрягинские чтения» (Воронеж 2004, 2008), на международной конференции им. И.Г. Петровского (МГУ 2004), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"( Нальчик, 2010), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).

Публикации Основные результаты опубликованы в работах [15] - [22], [37] - [40]. Из них [15], [16], [18], [19], [22] опубликованы в рецензируемых

журналах.

Перейдем к изложению содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул. Они нумеруются двумя позициями: первая указывает на номер главы, а вторая на порядковый номер внутри главы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, представленных в диссертации, обозначена цель работы, описывается ее структура, формулируется постановка задачи, излагается краткое содержание основных результатов.

В первом параграфе первой главы отмечено, что в определение гармоничности (0.3) функции им предполагаются непрерывно дифференцируемы вплоть до внутренних точек граничного отрезка Ь.

Это условие можно ослабить, путем введения сопряженных к им гармонических функций им по отношению к некоторой декартовой системе координат на грани М. Тогда равенство (0.3) запишется в виде

где в плоскости М выбрана прямоугольная декартова система так, что в условии Коши - Римана реализуется положительный знак. Отмеченное ослабление заключается в замене (0.3) этим соотношением с единственным требованием, чтобы функция Ум была непрерывна вплоть до внутренних точек отрезка Ь.

Далее, рассматриваются весовые пространства Гельдера, в которых ищется решение задачи Б. Исходя из семейства вещественных чисел Л =

^м \ь — сопв^

(0.5)

мемь

(ЛТ,т е Р), вводится весовая функция

РХ{Х) = Л\Х-Т\\ Тогда пространство Сд = Р) состоит из всех функций </? вида

<р = рх-1,ф, Ф е С"(К),ф\Р = о,

где под весовым порядком А — /л понимается семейство Лг — /л, т е Р. Согласно [44], [46] с возрастанием Л семейство пространств Сд монотонно убывает в смысле вложений:

сгесс;, с%+£ с с;, £>о.

Тогда Сд+0 = и£>о сл-о = Пе>о ^л-е-

При Л = 0 пространство Сд+0 удобно записывать как и соответственно Сд_0 как

Таким образом, функции </? е удовлетворяют условию Гель-

дера на всем множестве К с некоторым показателем и обращаются в нуль в точках т е Р, а класс Р) состоит из всех функций, которые по-

сле умножения на весовую функцию р£ с любым г > 0 принадлежат в этом смысле данные функции в точках г е Р допускают особенности логарифмического характера.

Пространство кусочно непрерывных функций <р на К, для которых сужения срм = Им принадлежат Сд(М, Рм) для всех М е Л4, обозна-чепо символом С^(К.Р).

ч.

Лемма 0.1 . Пространства С(К \Р)Г\ Р) и С%(К, Р) совпадают,

причем соответствующие нормы эквивалентны.

Лемма 0.2 . Пусть гармоническая функция и на К(О) принадлежит классу С%(К,Р), ХТ ф 0 б фиксированной точке т £ Р и р > 0 выбрано столь малым, что остальные вершины из Р лежат вне шара ВТ = {\х — т\ < р}. Тогда для любой грани М £ Л4Т сопряженная к им гармоническая функция Ум с точностью до аддитивной постоянной такэ/се принадлежит (М п ВТ, т).

Во втором параграфе, исходя из величины тт - числа многоугольников Мт, вводится в рассмотрение семейство матриц \УТ(£) = (ит+Ут){С), С € С порядка 2пгт, где первая матрица постоянна, а вторая аналитична во всей плоскости. Семейство таких матриц представляет собой концевой символ задачи.

Чтобы выписать явный вид матриц Ыт и Ут множество {1,..., 2тт} разбивается на тт пар Рт,м, М £ Л4Т, и вводится отображение г —> Ьт^ данного множества на Ст, считая для РТ}м — ребра и явля-

ются сторонами грани М. В этих обозначениях матрица Ут определяется элементами

{¿»Л = Рт,М1

(0.6)

в противном случае, где дтм есть угол грани М при вершине т.

А матрица 1/т элементами

1-2/тпь, 1 = ьЬтА = ЬеЦН),

1 1 = 3, ьтЛеС(В).,

ит,и = <

(0.7)

-2/ть, г ф ЬТл = = Ь,

0 в противном случае. Очевидно, матрица Ут блочно - диагопальна относительно разбиения Рт множества номеров {1,..., 2тт} на пары Рт,м, а матрица 1/т обладает

аналогичным свойством по отношению к разбиению фг на подмножества = {г, — Ь}, Ь € Ст. Заметим, что число элементов последнего разбиения равно 1Т, что согласуется с равенством (0.2).

Далее, рассматривается структура матрицы \¥т и иллюстрируется ее построение на примере. Затем, доказывается следующая лемма.

Лемма 0.3 . При каждом т имеют место соотношения

и* = 1, ¿еЬит = {-1)1Лн\

Вводится в рассмотрение скалярная мероморфная функция

с\еЬ[Цт + Ут (С)] ¿еЬИ^ЛС) т[и ¿еЬ[1 + Ут(0) ае^(С)'

которая при фиксированном вещественном А и £ —> ±оо имеет ненулевые пределы.

В каждой полосе А' < ЯеС < А" аналитическая функция с^И^ДС) имеет конечное число нулей, так что проекция множества этих нулей на действительную ось представляет собой дискретное множество Дт. Поэтому вне этого множества можем ввести кусочно постоянную возрастающую функцию Хт по условиям

где е > 0 выбрано столь малым, что с^И^О 0 ПРИ —£ < 11еС < 0, и ^г(Со) ссть порядок нуля функции сМИ/г(С) в точке С = Со (при сМ Жт(Со) 0 полагается 5г(Со) = 0).

В следующей лемме функция Хг(—0) выражается явно через тпг и вт.

Лемма 0.4 . Имеет место равенство

Хт-(-О) = (шг - зТ)/2, 14

где

есть нулей функции с^И7^) на прямой 11е£ = 0, взятое с учетом их кратности. При этом разность тТ — 5Г имеет одну и ту же четность с 1Т(Н), так что сумма ]Г]Т \т является целочисленной функцией.

Полагая т^ = ^2Т(=ртт вводятся в рассмотрение такие блочно - диагональные 2тр х 2тр— матрицы II и V, что семейство их диагональных блоков совпадают с матрицами, соответственно, IIТ и Ут, т Е Р. С этой целью 2тр элементов (т,^), 1 < j < 2шт, т Е Р. нумеруются единым образом от 1 до 2тр с помощью биекции

Пусть ЕТ есть образ множества {(г,]), 1 < ] < 2тт} при этом отображении, так что семейство 1 < ] < 2гпт запишется в виде

Ьу., к Е Ет. Очевидно, для множества Ет имеем два разбиения на иод-множества а{РТлм), М Е Мт, и Ь Е Ст-

Рассматриваются матрицы и и V, которые блочно диагональны относительно разбиения Е = (Ет) и Ет— диагональный блок которых, совпадает с матрицами, соответственно, Цт и Ут, записанными в нумерации (0.8). В явном виде формулы (0.6) и (0.7) переходят для этих матриц в, соответственно,

а: {(г, Я, 1<з< 2тпТ: тЕ Р}{1,..., 2т^}. (0.8)

= 0 в остальных случаях,

и

ЫС) = < к,геа(Рт,м),

е Т'А1<>, к ф г,

Укг = 0 в остальных случаях.

Кроме того, матрицы V и V можно описать, не прибегая к разбиению а((5г)- С этой целью, рассматриваются разбиения множества {1,... .тр} на подмножества Рм, М Е Л4, таких, что число элементов Рм равно 1м-Тогда множество См сторон, составляющих границу дМ, нумеруется в виде Ь\ г е Рм- И разбиение ф множества {1,..., т^} на подмножества Яь = {г, V = Ь}, Ьв С.

В третьем параграфе первой главы исходная задача Б формулируется по отношению к семейству сужений им = и\м, гармонических внутри М е Л4. Пусть (и*,.... ) - вектор граничных значений, где компоненты и~У — имг е Рм и С}ь = {¿1, • • •, тогда условие непрерывности и на ребре записывается следующим образом:

< = <+1> ьеС(Н),

краевое условие (0.4) примет вид

Соотношение (0.5) на отрезках Ь е С(Н) рассматривается как краевое условие для семейства функций им-, М е Л4. На каждом многоугольнике вводится единым образом декартова система координат с помощью ориентации контуров дМ, М е Л4. Затем, каждый отрезок Ь е С ориентируется определенным образом. Связь между введенными ориентациями осуществляет вектор а = (ох,... ,сттг), о\ — ±1. Причем о\ = 1, если ориентации

совпадают, сг( = — 1, в противном случае. Тогда (0.5) переходит в

с некоторыми постоянными сь €Е Ж.

Полученные краевые условия задачи Б записываются единым образом для кусочно - аналитической функции ф = и + гг> с помощью параметризации 7г : [0; 1] —> Ь\ 1 < г < тр, согласованной с ориентацией отрезков Ьг. С помощью этих параметризаций граничные значения "сносятся" с Ьг на отрезок [0,1], т.е вводится тр—вектор ф+ с координатами

Затем, рассматривается матрица А с элементами 1, г = 2 = гк, к < ть,

-1, г = гк, к < ть,3 = гк+\, . _

1,3 £ Чь, ть > 1,

сЛ, г = гтъ,2 = V, 1 < г < ть, 0, в остальных случаях,

Ац=\ ЬеС^ {¿} = дь, [ аа, ь е цн),

Ац = 0 в остальных случаях, где 1 £ С означает мнимую единицу.

Все выше перечисленные краевые условия с помощью матрицы А переписываются в форме

Ац — <

'ьес(н)

где тр— векторы / и еь определяются по формулам , , 1ЬШ V € ЦО), \ 1, г = гть € С?/., > 1,

Ш) = < е^ = <

0, в остальных случаях, I 0, в остальных случаях.

Эта задача относится к типу так называемой общей задачи Римана, изученной в работах А.П. Солдатова [41] - [49] .

Завершает первую главу четвертый параграф посвященный вопросу о фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле в классе F).

Ядро ker D задачи D состоит из решений однородной задачи Du = О в этом классе, а ее коядро coker D представляет собой совокупность всех ограниченных линейных функционалов /* на C'^(K1(D), F(D)), обращающихся в нуль на образе оператора и —> / = u\Ki , т.е. /*(/) = 0 для всех и Е F). Как известно [10], [29] задача D фредгольмова в классе

F), если ее ядро и коядро конечномерны, причем условие /*(/) = 0, /* Е coker D не только необходимо, но и достаточно для разрешимости неоднородной задачи с правой частью /. Разность между размерностями ядра и коядра определяет индекс ж (D) = dim (ker D) — dim(coker D) задачи. Доказана следующая теорема о фредгольмовой разрешимости задачи D и гладкости решения.

Теорема 0.1 . Пусть А < 0 и

det WT(C) фО, Re С = Ат, т Е F. (0.9)

Тогда задача D фредгольмова в пространстве С£(К, F) и

kerD С Сд+0(А', F), coker DC C^_1+0[K\D), F(D)}.

При этом любое решение и Е F) задачи с правой частью / Е

C\'I'[K1(D), F(D)] принадлежит аналогичному классу C]^ll(K,F).

Доказательство теоремы основано на применении известных результатов для нелокальной задачи Римана к рассматриваемой задаче Дирихле.

В первом параграфе второй главы при определенных условиях на рассматриваемый комплекс К получена формула индекса. Согласно введенным выше обозначениям, множество Л4(И) состоит из граней, по крайней мере одна сторона которой принадлежит С{0). Далее, вводится более широкое множество М1 граней М, от которых можно перейти к некоторой грани Мо е Л4(0) по последовательности граней, которые попарно граничат по ребрам кратности 2. Таким образом, Л41 содержит А4(0) и некоторое подмножество Л4(Н). Совокупность отрезков, являющихся сторонами одной или несколько граней из Л41, обозначим Сх. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 0.2 . Пусть каждая грань М комплекса К принадлежит либо Л41, либо все ее стороны, являющиеся ребрами кратности больше 1, при-надлелсат С1 и образуют связное подмножество дМ. Тогда в условиях теоремы 0.1 индекс задачи Дирихле дается формулой

В основе доказательства этой теоремы лежит следующая лемма.

Лемма 0.5 . Пусть задан многоугольник М на комплексной плоскости с множествами Р и С, соответственно, вершин т и сторон Ь. Пусть функция ф £ С (И \ Р) аналитична в области О и в точках т £ И допускает оценку

ф{г) = 0(\г - т\Хт) при г т, Хт > -1/2. Тогда если на каждой из сторон Ь £ С выполнено одно из краевых условий

с некоторыми е М, причем объединение отрезков с краевыми условиями одного типа связно, то функция ф постоянна.

Во втором параграфе второй главы рассматривается вопрос об асимптотике решения вблизи вершин комплекса К.

Теорема 0.3 . Пусть функция / 6 С10[К1(В), Р(£>)] на каждом отрезке Ь П ВТ, Ь е СТГ\ С(Б), представима в виде

¡(у) = 11е \рь( 1п |у - т|)] + Ш, /о € П ВТ, т),

с некоторыми многочленами рТогда в предположении

<1е1;1Ут(0^0, Ие С = 0, С ф 0,

любое решение и 6 С^0(К, Р) с правой частью / в секторах МПВТ, М Е Л4Г представимо в виде

и{х) = Яе [рм{\п{х - г))] + щ(х), щ в С£0(М П ВТ, т),

с некоторыми многочленами рм, степени которых подчиняются оценке

degjDл/ < гТ + тах(0, я), 5 = тах (\egpL-

ье£гп£(Л)

Здесь 1п(а; — г) = 1п \х — т\ + га^(:г — г), где аргумент понимается по отношению к локальной декартовой системе координат сектора М П Вт. В случае т Е Р(О) оценки для степеней многочленов рм можно улучшить.

Теорема 0.4 . Пусть в условиях теоремы 0.3 каждая связная компонента (К П ВТ) \ т имеет непустое пересечение с К1(Р). Тогда оценку в предыдущей теореме моэ/сно заменить на

&ЩРм<гТ+ тах deg рь.

ь€стпс(ю)

В частности, если гТ < 1 и функция / € п Вт.т), то и е

С%(КпВТ,т).

В доказательстве этой теоремы используется следующая лемма.

Лемма 0.6 . Пусть заданы неприводимые разбиения Р = (Р,-, 1 < .7 < т), (5 = 1 < 5 < гг) множества {1,... ,2т}, т.е. никакое соб-

ственное подмножество С с {1,..., 2т} нельзя представить в виде объединения целых элементов как разбиения Р, так и разбиения <2- Пусть каждое Р) состоит из двух номеров к, к', которые принадлежат различным элементам разбиения С}, и задана последовательность а к — ±1, 1 < к < 2т, которая принимает на каждой паре Pj значения разных знаков. Тогда оператор А : К,п —>• Жп_1, действующий по формуле

(А«'=

где £ Е М2т" определяется по £ условием = ^ — для {к, к'} = Р^, переводит Мт на все Жп_1.

До сих пор весовой порядок А был отрицательным. В третьем параграфе, расширяется постановка задачи по отношению к классу Сщ(К, Р), О < А < 1, описанному ниже.

Предполагается, что для некоторого подмножества Ро С Р весовой порядок удовлетворяет условиям

о<Ат<1, теР0; Ат<о, (о.ю)

Вводится расширение класса Сд, а именно, класс Сщ(К,Р) всех непрерывных на К \ Р функций (р, которые принадлежат вне любой окрестности множества Р, а в пересечении К с шаром ВТ = {\х — т\ < р}

с центром т G F, где р > 0 достаточно мало, удовлетворяют условию и{х)-и{т) е С^т(КП Вт, т) при т 6 Fq и и{х) е С^(КПВт,т) при г g

Вводится обозначение F) класса всех гармонических на K(D)

функций ií 6 C'¿(K,F), которые допускают сопряженную функцию v G F). Этот класс является замкнутым подпространством Сд и возникает вопрос о его коразмерности, т.е. размерности фактор- пространства

СЦС1

Лемма 0.7 . В предположении (0.9) коразмерность т подпространства Сд равна

т - гпр0 — l°(H) — т°, тр0 = ^^ ^ тТ,

где 1°(Н) есть число ребер L е С{Н), оба концы которых принадлежат Fq и т° есть число граней М, множество Fm вершин которых имеет непустое пересечение с Fq.

Теорема 0.5 . В условиях (0.9), (0.10) для задачи D в пространстве C^(K,F) справедливы все утверждения теоремы 0.1. Если дополнительно весовой порядок А <1/2 и выполнены условия теоремы 0.2, то индекс задачи дается формулой

eb(D) = 1\Н) - г°(Я) + 53r6Fü тт - хЛКЪ

где Io(Н) (11{Н)) есть число ребер L € С{Н), оба концы которых принадлежат (не принадлежат) Fq.

Пусть множество вершин Fq = F, т.е. для всех г весовой порядок Аг положителен.

Теорема 0.6 . Пусть 0 < Л < 1 и выполнено условие (0.9). Тогда задача Дирихле фредгольмова в пространстве Г), причем любое ее ре-

шение с правой частью / € принадлежит С$(К,Р).

Пространство решений однородной задачи состоит из кусочно постоянных функций, обращающихся в нуль на гранях М Е Л4(0). Если дополнительно Л < 1/2 и выполнены условия теоремы 0.2, то индекс задачи дается формулой

32(л) = тР + п(Я) - 1(Н) - Хт(Лт), где п(Н) есть число элементов Р(Н).

Третья глава носит иллюстративный характер, она посвящена постановке и доказательству разрешимости задачи О на конкретных примерах.

В первом параграфе рассматриваются локальные характеристики в точке т, являющейся вершиной одного, двух и трех многоугольников. Выписывается матрица концевого символа, описывается дискретное множество Дт с К, целочисленные характеристики £Т(С) и гт(£), определяющие порядки нулей с^ И^Ю и полюсов (И^)-1^), а также предельное значение Хт(—0) и Хт(+0) в точке А = 0 кусочно постоянной функции Хт-

Во втором параграфе задача Б задается на двумерных комплексах, вершины которых, соответствуют рассмотренным ситуациям. Заметим, что все комплексы удовлетворяют условиям теорем 0.2, 0.5, следовательно можно выписать соответствующие формулы индекса задачи Дирихле. Для всех комплексов выберем 5 > 0 столь малым, что

сМ И^С) ф 0 при 0 < | Яе С| < 6, т € Р. (0.11)

Величины э5_о и эе(+о) означают индексы задачи в пространствах, соответ-

ственно, С^5(К,Р) и С^{К,Р)

Рассматриваемые двумерные комплексы К^ 1 < г < 9, изображены на рисунке ниже. Комплексы К\, К2, Кз, получены из тетраэдра выбрасыванием одной грани Г1Т2Т3, а остальные комплексы, выбрасыванием граней Т1Т2Г3 и Т0Т2Т3. Жирным шрифтом выделены стороны с данными Дирихле.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ковалева, Лидия Александровна, 2014 год

Литература

[1] Беседина, C.B. Метод Пуанкаре-Перрона на стратифицированном множестве / C.B. Беседина // Труды Математического факультета Воронежского гос. ун-та. - Воронеж. - 2006. - Вып. 10. - С. 18-30.

[2] Беседина, C.B. Метод субгармонических функций для задачи Дирихле па стратифицированном множестве / C.B. Беседина // Деп. в ВИНИТИ 20.03.06, №286-В2006. - 11с.

[3] Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл.АН СССР. - 1969. - Т185. - С.739-740.

[4] Бицадзе, A.B.: Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / A.B. Бицадзе. - М., Наука, 1966. - 448с.

[5] Бицадзе, A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / A.B. Бицадзе. - М., Наука, 1972. - 264с.

[6] Владимиров B.C.: Методы теории функций многих комплексных переменных / Владимиров B.C. - М.: Наука, 1964

[7] Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - М.: Физматгиз, 1959, 628с.

[8] Вольперт, А. П.: Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости / Вольперт А. И. // Труды Моск.матем. общ-ва 1961 Т.10 41-87

[9] Ганнинг, Р.: Аналитические функции многих комплексных переменных / Ганнинг Р., Росси X. - М.: Мир, 1969

[10] Гахов, Ф.Д.: Краевые задачи / Гахов Ф.Д. - М.: ГИФМЛ, 1958

[11] Гилбарг, Д.: Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М.Н. Трудингер -М.:Наука, 1989. - 464с.

[12] Гурвиц, А.: Теория функций / Гурвиц, А., Курант Р. - М.: Наука, 1968

[13] Евграфов, М. А.: Аналитические функции / Евграфов, М. А. - М.: Наука. 1991. 448 с

[14] Иосида, К.: Функциональный анализ / Иосида К. - Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.

[15] Ковалева, Л.А. О модифицированной задаче Вицадзе-Самарского / Л.А. Ковалева // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: "Физ.-мат. науки 2007. - Вып. 1(14). - С.10-15.

[16] Ковалева, Л.А. Об одной задаче теории функций / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов // Доклады АМАН. - 2007. - Т.9. - №2. - С.30-38.

[17] Ковалева, Л.А. Краевые задачи для гармонических функций с обобщенными контактными условиями / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов //

"Понтрягинские чтения - 10" , 12 Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы теории краевых задач Воронеж, тез. 2008 г.

[18] Ковалева, Л.А. Об одной нелокальной задаче теории функций / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т.46. -№3. - С.396-409.

[19] Ковалева Л.А.: Гармонические функции в двумерных стратифицированных областях с кусочно - гладкой границей / Ковалева Л.А., А.П.Солдатов // Научные ведомости БелГУ, 2010, 17(88), 73 - 78

[20] Ковалева Л.А.: Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах./ Ковалева Л.А., Солдатов А.П. // материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "г. Белгород, 26-31 мая 2013г.

[21] Ковалева Л.А.: Гармонические функции на двумерных стратифицированных множествах, // матер. Российско-Болгарского симпоз. "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики 25-30 июня 2010

[22] Ковалева Л.А., Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве. Научные ведомости БелГУ, 2013, с 22-35

[23] Колмогоров, А. Н.:Элементы теории функций и функционального анализа / Колмогоров, А. Н., Фомин С. В. - М.: Наука, 1976. — 544 с.

[24] Кострикин А.И.: Линейная алгебра и геометрия / Кострикин А.И., Манин Ю.И. - Просвещение, 1980. - 309 с.

[25] Курант, Р.: Уравнения с частными производными / Р. Курант -М.:Мир, 1964. - 830с.

[26] Лаврентьев, М.А.: Методы теории функций комплексного переменного / Лаврентьев, М.А., Шабат Б.В. - М.: Наука, 1965

[27] Ловитт У.В.: Линейные интегральные уравнения / Ловитт У.В. -Москва, 1957.-267

[28] Люстерник Л. А.: Элементы функционального анализа / Люстерник Л. А., В. И. Соболев - М.: Наука, 1965. 520 с.

[29] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике / Н.И. Мусхелишвили - М.: Физматгиз, 1962. - 599с.

[30] Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе.- М.: Мир, 1970.

[31] Пенкин, О.М.: О принципе максимума для эллиптического урав- нения на стратифицированном множестве / О.М. Пенкин // Дифференц. уравн. - 1998. - Т.34. - №10. - С. 1433-1434.

[32] Пенкин, О.М.: Качественные свойства решений эллиптических неравенств на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Дифференц. уравн. - 1999. - Т.35. - №11. - С.1573-1574.

[33] Пенкин, О.М.: Метод Перрона для задачи Дирихле на клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Дифференц. уравн. - 2001. - Т.37. - №11. -С.1580.

[34] Пенкин, О.M. Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук / О.М. Пенкин // Санкт-Петербург, 2003. - 191с.

[35] Петровский, И.Г.: Лекции по теории интегральных уравнений / Петровский И.Г. - М.: Наука, 1965

[36] Покорный, Ю.В.: Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Покорный Ю.В. [и др.] - М.: Физматлит, 2004. - 272с.

[37] Самойлова, Л.А.(Ковалева) Об одной краевой задаче типа Бицадзе-Самарского / Л.А. Самойлова // Деп. в ВИНИТИ 29.05.06, №712-В2006. - 2006. - 13с.

[38] Самойлова, Л.А.(Ковалева) О модифицированной задаче Бицадзе-Самарского / Л.А. Самойлова // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения-XV" :тез. докл. материалов ВВМШ. - Воронеж, 2004. - С.197-198.

[39] Самойлова, Л.А. (Ковалева)Об одной нелокальной краевой задаче / Л.А. Самойлова, C.B. Беседина, О.М. Пенкин // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" : тез.докл. - М., 2004. - С.27.

[40] Самойлова, Л.А.(Ковалева) Об одной нелокальной краевой задаче / Л.А. Самойлова // Науч. ведом. БелГУ. - Вып.12. - №6(26). - 2006. -С.37-44.

[41] Солдатов, А.П.: Нелокальная краевая задача Римана / Солдатов А.П. // Научные ведомости БелГУ, 2011, 5, вып. 22, С.122 - 132

[42] Солдатов, А.П.: Общая краевая задача теории функций / Солдатов А.П. // Докл.АН СССР 1988. Т.299, N0.4, С.825-828.

[43] Солдатов, А.П.: Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А.П. Солдатов // М., Высшая школа. 1991. 266с.

[44] Солдатов, А.П.: Краевые задачи теории функций в областях с кусочно-гладкой границей / Солдатов А.П. // Тбилиси, Изд-во ТГУ, Ин-т при-кл. матем. им. И.Н.Векуа, II, 1991.

[45] Солдатов, А.П.: Метод теории функций в эллипт. краевых задачах на плоскости. II. Кусочно- гладкий случай / А.П. Солдатов // Изв. АН СССР. - 1992. - Т.56. - №3. - С.566-604.

[46] Солдатов, А.П.: Элементы функционального анализа и теории функций / Солдатов А.П. - Изд-во БелГУ,2005. 140 с

[47] Солдатов, А.П.: Обобщенная задача Римана на римановой поверхности / А.П. Солдатов // Докл.РАН. - 1998. - Т.362. - №6. - С.735-738.

[48] Солдатов, А.П.: Об индексе задачи Дирихле для эллиптических систем на плоскости / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т.42.

- №8. - С. 1092-1105.

[49] Солдатов, А.П.: О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения.

- 2003. - Т.39. - №5. - С.674-686.

[50] Фам, Ф.: Введение в топологическое исследование особенностей Ландау / Ф. Фам - М.:Мир, 1970. - 184с.

[51] Хейман, У.: Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. -М.:Мир, 1980. - 304с.

[52] John, F. Partial Differential Equation / F. John. - Springer Verlag, 1986. - 250p.

[53] J.von Below: About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions / J.von Below, Penkin О. M., Mehmeti

F. A., , Nicaise S.// Lect. Notes Pure Appl. Math. - 2001. - V.219. - P.183-192.

[54] J.von Below: Classikal solvability of linear parabolic equations on networks / J. Von Bellov // J. Differential Equation. - 1998. - V.72. - P.316-337.

[55] Lumer, G. Espases ramifes et diffusion sur les reseaux topologiques /

G.Lumer // C.R. Acad. Sc. Paris. - 1980. - Serie A. - 291. - P.219-234.

[56] Nicaise, S. Poincare-Perron's method for the Dirichlet problem on stratified sets / S. Nicaise, O. Penkin // J. Math. Anal. Appl. - 296. - 2004. - №2. -P.504-520.

[57] Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beam / S. Nicaise, O. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. -2000. - V.23. - P. 1389-1399.

[58] Nicaise, S. Elliptic operators on elementary ramified spaces / S. Nicaise //Integral-Equations-Theory. - 1998. - V.ll. - №2. - P.230-257.

[59] Penkin, O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions / F. Ali Mehmeti, J.von Below, S.Nicaise // Lect. Notes Pure Appl. Math. - 2001. - V.219. - P.183-192.

[60] Penkin, O.M. Second-order elliptic equations on a stratified set. Differential equations on networks / O.M. Penkin // J. Math. Sci. (N. Y.). - 119. - 2004.

- №6. - P.836-867.

[61] Penkin, Oleg M. Poincare's inequality on stratified sets and applications/ Oleg M. Penkin, Alexey A. Gavrilov, Serge Nicaise // Prog.Nonlinear Differential Equations Appl. - 55. -2003. - P.195-213.

[62] Penkin, O. M.: Poincare's inequality on stratified sets and applications / Gavrilov A.A., Nicaise S.,// Prog. Nonlinear Differential Equations Appl.

- 55. -2003. - P.195-213.