Вычислительная технология метода конечных объемов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Гурьева, Яна Леонидовна

• Гурьева, Яна Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гурьева, Яна Леонидовна

Введение. Понятие вычислительной технологии

Глава 1. Конечно-объемные аппроксимации краевых задач

1.1. .Метод конечных объемов

1.2. Аппроксимации двумерной краевой задачи.

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Построение аппроксимаций

1.2.3. Поячеечный подход. Матрицы баланса.

1.3. Аппроксимации трехмерной краевой задачи.

1.3.1. Постановка задачи и подход к аппрокисмашш.

1.3.2. Аппроксимация балансных соотношений.

1.3.3. Поячеечный подход. Матрицы баланса.

1.4. Некоторые свойства матрицы системы и оценки ошибок

Глава 2. Структуры данных и алгоритмы метода конечных объемов

2.1. Геометрическое моделирование.

2.1.1. Описание трехмерной области.

2.1.1. Описание двумерной области

2.2. Сеточные и матричная структуры данных.

2.3.1. Трехмерная сеточная структура данных.

2.3.2. Двумерная сеточная структура данных.

2.3.3. Матричная структура данных.

2.3. Поячеечный алгоритм.

2.4. Учет граничных условий

2.5. Объектно-ориентированный подход

Глава 3. Программная реализация и численные эксперименты

3.1. Модульный анализ.

3.1.1. Задание исходной информации.

3.1.2. Дискретизация области и построение сеточной структуры данных.

3.1.3. Формирование и решение алгебраической системы уравнений .'.8;>

3.1.4. Числовые характеристики программ.

3.2. Примеры решения модельных задач.

3.2.1. Примеры двумерных задач.

3.2.2. Примеры трехмерных задач.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительная технология метода конечных объемов»

Численное решение задач математической физики играет важную роль в изучении многих природных явлений н моделировании различных технических устройств. Повсеместное применение персональных и более мощных современных ЭВМ для проведения численных экспериментов, сложность исследуемых процессов, разнообразие используемых алгоритмов и математических подходов побуждают ввести понятие вычислительной технологии решения таких задач, которое отражает все этапы процесса получения решения поставленной задачи.

В становлении понятия "вычислительная технология" можно выделить несколько направлений, которые привели к современному его пониманию.

В начале 70-х годов технологические вопросы в прикладной математике обсуждались советскими учеными в связи с бурным развитием пакетов прикладных программ для решения различных задач моделирования реальных физических явлений. Технологические основы принципов модульного конструирования при решении задач матема тической физики изложены в работах Н.Н.Яненко и А.Н.Коновалова [22], [47 - 48]. Эти принципы заключаются в следующем:

- каждый алгоритм может быть разбит на совокупность более мелких частей - алгоритмических модулей:

-- для любого наперед заданного множества алгоритмов можно определить множество универсальных модулей, таких, что каждый модуль может быть сформулирован независимо от того конкретного алгоритма, из которого он был получен;

- модульным базисом конкретного множества алгоритмов является минимальное множество универсальных алгоритмических модулей;

- каждый алгоритмический модуль может быть записан на языке высокого уровня и скомпилирован отдельно, независимо от других модулей;

- в процессе конструирования программы могут изменяться только некоторые внешние связи модулей, но не их внутренние (функциональные) свойства.

Практическое использование указанных принципов способствовало развитию основных понятий и методов модульного программирования и его при менео нпю ,/L.ï>i решения многих задач. В качество примера можно назвать третий семинар по комплексам программ математической физики, который был полностью посвящен модульной тематике, и его труды [4Сj. Развитие модульных принципов нашло отражение в более поздних работах А.П.Ершова и В.Г1.И льика fil ~ 12]. В.И.Карначука и А.H.Коновалова [20].

Модульное программирование является одной из четырех технологий программирования. сформировавшихся в конце 60-х - начале 70-х гг. И если в становлении модульного программирования огромная роль принадлежит советским ученым, то за рубежом появились такие технологии, как структурное программирование [10], в котором работа программиста есть суперпозиция фиксированных допустимых структур, программирование сверху-вниз ¡79] - многоуровневая дисциплина написания программ, когда описание системы на верхнем уровне не зависит от описания блоков более низких уровней, и HГРО-технология [89]. являющаяся многоуровневой дисциплиной проектирования и документирования программ с использованием типовых диаграмм.

К середине 70-х гг. группой киевских ученых была, разработана и начала широко применяться технология программирования, известная как R-тохнология N1. Основой R-техиолопш является новый взгляд на семантику обработки данных, когда структура данных рассматривается не только как информационная структура, но и как логическая схема соответствующего алгоритма ее обработки и как некоторая схема работы коллектива программистов по доопределению исходной структуры. Результатом доопределения является R-программа, которая с оомошыо автоматической генерации на технологическом комплексе H ! h преврашаеiся в готовый программный' продукт. Автооы указанной книги называют следующие отличительные особенности R-технологии: организация коллективного труда программистов и возможность создания эффективных проблемно-ориентированных комплексов производства программных систем.

В конце 60-х гг. развивалось также тех ко лог и чес кое направление, связанное с автоматическим построением вычислительных алгоритмов и автоматизацией всего процесса программирования. Основные положения новой технологии моделирования представлены в работах Р.И.Марчука и А.П.Ершова [26]. [28], [77]. В традиционной схеме математического моделирования с помощью ЭВМ автоматизация затрагивала в основном лишь программирование алгоритмов (см. например. (I3j). оставляя в стороне остальные его папы: выбор подходящей математической модели, выбор методов и алгоритмов решення задачи, интерпретацию результатов. Новая технология моделирования. направленная на радикальное повышение эффективности применения ЭВМ. включает

- автоматизацию построения алгоритмов по заданной постановке исходной задачи:

- активный диалог исследователя с ЭВМ;

- накопление активных зияний о предметной области:

- способность ЭВМ достигать "пиковой" производительности при решении определенного класса задач.

На основе этой технологии можно повысить общую эффективность моделирования. которая, согласно В.Е.Котову [23]. '".определяется степенью автоматизации всех его этапов, переходов от одного этапа к другому, а также возможностью ах интерактивного совмещения''. В этой статье указываются такие средства ее достижения, как создание сверхпронзводнтельных процессоров для решения отдельных классов задач (специализация вычислительных средств), открытость архитектуры вычислительного комплекса (модульность компонентов, стандартные внутренние и внешние интерфейсы, переносимость) н разработка механизмов конструирования развитых вычислительных н программных комплексов из специализированных и универсальных модулей, включающая средства развитого человеко-машинного ин герфейса. накопления и обработки знаний, синтез алгоритмов и программ.

Неотъемлемой чертой вычислительной технологии является ее связь с программированием и пакетами прикладных программ, а ее применение должно было привести к ".переходу прикладного программирования от кустарного производства к индустриальному'' [12]. Понятие технологии программирования охватывает весь процесс реализации программного продукта ".от появления в нем потребности и определения его основных функций до прекращения его эксплуатации" /[31] , с.95/, т.е. весь жизненный цикл программы.

Одной из компонент современной технологии программирования является объектно-ориентированное программирование (ООП), которое, как и объектно-ориентированная методология в целом, имеет следующие характерные особенности (см. например. [1)0]. стр.411). Для построения модели некоторой задачи необходимо определить объекты и классы объектов, которые различаются данными и функциями (методами); еслп классы имеют общие свойства, то для них определяется баювый класс, из которого они производятся. Средством переиспользования в ООП является наследование классов. Механизм виртуальных функций позволяет учитывать специфику поведения объектов класса, т.е. производные классы представляют одну и ту же операцию по-разному. Языком программирования, воплотившем все эти черты, является С.'Н—Ь

Таким образом, развитие технологии вычислений с применением ЭВМ выразилось в том.-что в единой технологической цепочке были выделены следующие этапы: определение "физической"' модели, формулировка математической модели, разработка численных алгоритмов, их программирование 11 отладка, тестирование полученной программы, проведение методических численных экспериментов п. наконец, решение практических задач.

Кроме аспекта, связанного с программированием, в определении понятия "вычислительная технология' можно выделить также и математическое направление, которое внесло свой вклад в современное содержание этого понятия. Сюда относятся применение в расчетах априорных и апостериорных оценок решения и расчеты на последовательности сеток для уточнения получаемого решения, расчеты на неструктурных сетках в областях сложной конфигурации. С технологи ческой точки зрения все эти подходы нашли свое воплощение в методе конечных элементов (МКЭ). Теоретические основы метода были разработаны в конце 60-х - начале 70-х годов и отражены во многих фундаментальных работах того времени (см. например, |38;). За несколько последних десятилетий метод конечных элементов претерпел значительное развитие. Это выразилось, во-первых, в создании общей теории методов решения различных порядков точности для широкого класса задач с помощью адаптивных сеток [81], принципов декомпозиции и многосеточных алгоритмов [74|, что, в свою очередь, позволило создать робастные адаптивные численные алгоритмы и программы. Во-вторых, широкое и эффективное применение МЬ.Э обусловлено созданием унифицированного вычислительного подхода, базирующегося на автоматическом построении сеток [69]. определении локальных матриц жесткости и масс, сборки глобальной матрицы, формирования специальных структур данных и т.д. (см., например. [90] п цитируемую там литературу). В рамках подобной технологии такие вариации метода, как Ь-, р- или Ь-р-верскн [49], поузловая или поэлементная сборка матрицы системы находят свое отражение в соответствующих структурах данных п алгоритмах расчета матрицы.

Таким образом, современное понятие вычислительной технологии решени я задач математической физики, складывавшееся в течение нескольких десятилетий. является очень емким, отражает программистскую и математическую стороны своего развития и обозначает совокупность математ ического подхода, адекватных ему структур данных и алгоритмов, которая позволяет создавать эффективные программы. Подобное понимание технологии можно найти, например, в работе [15], где через понятия "технология вычислительного эксперимента" и "технология программирования" вводится понятие "технология математического моделирования .

Кроме понятия вычислительной технологии, в последнее время можно встретить употребление термина "информационно-вычислительная технология'". Например, в работе [17] дается следующее его определение: "Под 11нформацнонно-вычнелительными технологиями будем понимать совокупное гь соглашений, правил, организационных мероприятий, технических и программных средств для решения определенного класса задач определенным кругом пользователей". Примечательно то. что рассмотрение ". требований и некоторых спецификаций к составу и характеристикам базовых вычислительных модулей, а также используемым ими структур данных" в указанной работе называется "ядром1" технологии.

В данной работе рассматриваются различные стороны вычислительной технологии метода конечных объемов: во-первых, математический подход, который основан на введении и построении локальных матриц баланса, а во-вторых. структуры данных и алгоритмы их заполнения и расчета матриц, соответствующие поячеечному подход)' к получению итоговой матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Проводя аналогию с последней цитируемой работой, можно сказать, что излагается ядро вычислительной технологии метода конечных объемов.

Актуальность темы. Численное решение задач математической физики на ЭВМ играет важную роль в моделировании технических устройств и физических явлений. Широкий класс задач описывается эллиптическими уравнениями в двумерных и трехмерных областях со сложной конфигурацией границы, с различными типами краевых условий, материальными характеристиками и коэффициентами уравнений в подобластях.

Процесс получения численного решения является сложным технологическим процессом, состоящим из нескольких этапов. Среди них - построение математической модели рассматриваемой задачи, ее дискретизация, аппроксимация исходных уравнений, получение результирующей системы уравнений и ее решение на ЭВМ. При этом возникают нетривиальные вопросы выбора структур данных для представления численной информации и алгоритмов ее обработки.

Одним 1п способов аппроксимации дифференциальных уравнений, которыми описывается математическая постановка задачи, является, наряду с методом конечных разностей и методом конечных элементов, метод конечных объемов (МКО), который широко применяется для многих задач математической физики, и. в частности, для аппроксимации уравнения Гельмгольца. Необходимо отметить, что большинство научных публикаций по МКО содержат или только исследование математических свойств метода, или описание его практического применения, а в лучшем случае - сравнение с другими методам и а 11 проксимацн!I.

Повсеместное применение персональных ЭВМ п более мощных машин с различным программных! обеспечением и окружением привело к тому, что математическая постановка некоторого класса задач и программное обеспечение для его решения стали очень взаимосвязаны. Это выражается в том. что для создания эффек тивного специализированного программного обеспечения его разработчик должен быть не только квалифицированным программистом, но и досконально знать особенности математического подхода.

В связи с этим рассмотрение всей технологической цепочки решения задачи с аппроксимацией по методу конечных объемов - от создания математического аппарата до написания и тестирования программы и проведения численных экспериментов - и выявление ее особеннос тей представляется важной темой научных исследований.

Цель данной работы •- разработка технологических принципов метода конечных объемов на примере его использования для решения уравнения Гельмгольца и создание на этой основе программ для численного решения краевых задач для уравнения в двумерном и трехмерном случаях.

Научная новизна. Построено семейство конечно-объемных аппроксимаций повышенной точности на прямоугольных неравномерных сетках в двумерном и трехмерном случаях для эллиптических краевых задач со смешанными краевыми условиями. Предложен поячеечный подход к построению результирующей системы линейных алгебраических уравнений на основе введенных понятий локальной и глобальной матриц баланса. Для численной реализации поячеечного подхода предложены соответствующие структуры данных, алгоритмы их построения и обработки для смешанных краевых задач в двумерных и трехмерных областях, составленных из произвольного количества прямоугольных и параллелей и иедоидальных подобластей, и созданы программы численного расчета уравнения Гельмгольца в двумерных и трехмерных областях. С помощью созданных программ проведены модельные численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых подходов, структур данных и алгоритмов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и содержит 115 страниц, включая "19 таблиц и 5 рисунков. Список литературы включает 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Гурьева, Яна Леонидовна

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

- построено семейство конечно-объемных аппроксимаций повышенной точности на прямоугольных неравномерных сетках в двумерном и трехмерном случаях для эллиптических краевых задач со смешанными граничными условиями и с кусочно-гладкими коэффициентами; получены условия монотонности матрицы коэффициентов результирующей системы алгебраических уравнений, обеспечивающие сходимость разностного решения в равномерной норме и применимость быстрых итерационных методов неполной факторизации;

- для указанного класса задач и аппроксимаций разработана технология построения результирующей системы линейных алгебраических уравнений: предложены соответствующие структуры данных, алгоритмы их построения и обработки для смешанных краевых задач в двумерных п трехмерных областях, составленных из произвольного количества прямоугольных и параллелепипедоидальных подобластей;

- в рамках объектно-ориентированного подхода для программных модулей этапа аппроксимации задачи предложены и реализованы на языке С+-г классы объектов, которые применимы в различных аппроксима-ционных приложениях;

- на основе предложенных алгоритмических подходов и структур данных созданы программы для численного расчета широкого класса смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца в двумерных и трехмерных областях, с помощью которых экспериментально исследована эффективность алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гурьева, Яна Леонидовна, 1999 год

1. Вабишевич П.Н., Матус П.П. Самарский A.A. Разностные схемы второго порядка точности на неравномерных сетках. ЖВММФ, 1998, т.38. Л'-З. с. 413-424.

2. Валиуллин А.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск: НГУ. 1973.

3. Вельбпикпй И.В., Ходаковский В.Н. Шолмов Л.И. Технологический комплекс производства программ на. машинах ЕС' ЭВМ и БЭСМ-6. М.:Статистика. 1980. - 263 стр.

4. Голубева Л.А., Новиков В.П. Входной язык АИДА для описания трехмерных краевых задач. Технология моделирования задач математической физики. Новосибирск, ВЦ СОАН СССР, 1989, с. 40-51.

5. Гурьева Я.Л. Вопросы технологии численного решения смешанных краевых задач методом конечных объемов. Труды конф. молодых ученых Вычислительного центра СО РАН. 1997. Новосибирск. 1997. с. 51-64.

6. Гурьева Я.Л. Об одном свойстве матриц, полученных балансной аппроксима.-цпей уравнения Гельмгольца. Труды конф. молодых ученых. Новосибирск, ИВМпМГ. 1998, с. 52-66.

7. Гурьева Я.Л. Технологические аспекты численного решения смешанных краевых задач методом конечных объемов. Автометрия, 1997. №5, с. 100-109.

8. Дал У. Деикстра Э. Хоор К. Структурное программирование. М: Мир, 1975. - 2-17 с.

9. Ершов А.П. Ильин В.П. Пакет программ технология решения прикладных задач. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1978. - Препр. №121.

10. Ершов А.П., Ильин В.П. Пакеты программ как методология решения прикладных задач. В кн.: Пакеты прикладных программ. Проблемы и перспективы. М: Наука, 1982, с. 4-18.

11. Ильин В.П. Голубцов Б.И. Автоматизация решения краевых задач для уравнения Пуассона. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1969. - 51 с.

12. Ильин В,П. Балансные аппроксимации повышенной точности для уравнения Пуассона. С'иб. Мат. Ж. 1996, т. 37, АН. с. 151-169.

13. Ильин В.П. Вычислительная информатика: открытие науки. Новосибирск: Наука, 1991. - 198 с.

14. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. МлФизматлит, 1995, 288 с.

15. Ильин В.П. О структурах данных и алгоритмов в задачах математической физики. Препринт ,М938. Новосибирск. ВЦ СО РАН. 1991.1Я. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. 1970. - '254 с.

16. Ильин В.П. Сравнительный модульный анализ алгоритмов решения краевых задач. В кн.: Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. М.: Наука. 1983. с. 102-117.

17. Карначук В.И., Коновалов А.Н. Применение модульного подхода к разработке программ в пакете математической физики. В кн.: Пакеты прикладных программ. Проблемы и перспективы. М: Наука, 1982, с. 35-46.

18. Коган Б.И. Экспериментальные исследования программ. МлНаука, 1988. -184 с.

19. Коновалов А.Н., Яненко H.H. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, 1972, с. 48-54.

20. Котов В.Е. Новая технология математического моделирования п средства ее реализации. В кн.: Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. - Новосибирск: Наука, 1985, с. 201-207.

21. Кузнецов А.Ю., Никулина И.К. Методы тестирования трехмерных сеток. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, Препринт N 869, 1989.

22. Липаев B.B. Качество программного обеспечения. М.: Финансы и статистика, 19^3. - 263 с.

23. Марчук Г.И. Автоматическое построение вычислительных алгоритмов. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973, - 13 е., - Препр.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 536 с.

25. Марчук Г.И. Об автоматическом построении вычислительных алгоритмов. -Appiik. mat., 1965, sv. 10, №3. s. 225-267.

26. Оришич H.A., Руссков A.B. Интерактивный интерфейс для двумерных краевых задач. Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, ВЦ СО РАН. 1997.с. 147-155.

27. Паасонен В.И. Компактные схемы для систем уравнений второго порядка с конвективными членами. Вычислительные технологии, 1998. т. 3. ЛН. с. 55-66.

28. Перевозчикова О.Л., Ющенко Е.Л. Системы диалогового решения задач на ЭВМ. Киев: Наукова Думка, 1986. - 264 с.

29. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989. 478 с.

30. Раднонов С.С. О некоторых реализациях SSORG. В кн.: Вычислительные методы и технология решения задач математической физики. Сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. - Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1993, с. 54-62.

31. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. - . 552с.

32. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. ЖВММФ, 1971, т.11, №2, с. 385-410.

33. С'аульев В.К. Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быстродействующих вычислительных машинах. Докл. АН СССР. 1962. т. 44. .V, 3. с. 497-500.

34. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. 2-е изд. - М.: Атомиздат, 1978. - 216 с.

35. Стренг Дж., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир. 1977. - 349 с.

36. Тихонов H.A., Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. ЖВММФ, 1962, т. 2, №5, с. 812-832.

37. Труды ill семинара по комплексам программ математической физики. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР, 1973. 96 с.

38. Фрязннов И.В. Метод баланса и вариационно-разностные схемы. Дифф. ур-ния. 1980, т. 16, №7, с. 1332-1343.

39. Шурина Э.П., Войтович Т.В. Анализ алгоритмов методов конечных элементов и конечного объема на неортогональных сетках при решении уравнений Навье-С'токса. Вычислительные технологии. 1.997. т. 2, Л'.!. с. 84-104.

40. Юдин А.Н. Теоретико-множественное описание геометрии трехмерной области с неоднородными средами. Труды ВЦ СО РАН. Сер. Вычпсл. математика. Новосибирск, 1996, вып. 5, с. 128-139.

41. Юдин А.Н. Построение прямоугольных областей с внутренней структурой.- Труды ИВМнМГ С'О РАН. Сер. Вычпсл. математика, Новосибирск. 1988. Вып. 6. с. 107-115.

42. Babuska I. The р and h-p versions of the finite element methods. The state of art.- Technical Note BN-1156, University of Maryland, College Park. MD, 1986.

43. BaliaiicI P. and Suli E. Analysis of the cell-vertex finite volume methods for hyperbolic problems with variable coefficients, S1AM J. Numer. Anal.1997, v. 34, No. 3. p.1127-1151.

44. Bank R.E. C'oughran W.M. Fichter W. Rose D.J., Smith R.K. Computational aspects of semiconductor device simulation. Process and Device Modeling. W.L.Engl (Editor). North-Holland: Elsevier Science Publishers B.Y. 1986. chapter 7, p. 229-264.

45. Bank R.E. and Rose D.J. Some error estimates for the box method. SIAM J.Numer.Anal., 1987. v.24, No. 4. p. 777-787.

46. Baranger J. Maitre J.-F. and Oudin F. Connection between finite volume and mixed finite element methods. Mathemetical Modelling and Numerical Analysis. 1996. v. 30, No. 4. p.445-465.

47. C'ai Z. On the finite volume element method. Numer. Math. 1991, v. 58, p. 713-735.

48. Cai Z. Manclel .]. McC'ormick S. The finite volume method for diffusion equation on general triangulations. SIAM J. Numer. Anal. 1991. v. 28. No. 2. p. 392-402.

49. Cai Z. and S.McCormick. On the accuracy of the Finite Volume Element Method for Diffusion Equations on Composite Grids. SIAM J.Numer.Anal., 1990, v. 27, No. 3. p. 636-655.

50. C'ioni .J.-P. Fezoui L. Issautier D. High order upwind schemes for solving timedomain Maxwell equations. La Recherche Aerospatiale. 1994. Ai 5. p. 319-328.

51. Cockburn B. C'oquel F. and Lefloch P.G. Convergence of the finite volume method for multidimensional consrevation laws. SIAM J. Numer. Anal. 1995, v. 32, No. 3, p. 687-705.

52. Crutchfield W.Y. and M.L.Welcome. Object-oriented implementation of adaptive mesh refinement algorithms. Scientific programming, V. 2, pp. 145-156 (1993).

53. P. DiLascia. Windows++: writing reusable Windows code in C++. ISBN 0-201-60891-X. Second printing, 1993.

54. C.C. Douglas, D.A. George, and M.E. Henderson. Object classes for numerical analysis. // http://ftp.cs.yale.edu./WWW/HTML/YALE/CS/HyPlans/douglas-craig/Preprints/pub39.ps.gz.

55. Gurieva Y. Object-oriented approach in approximation of the boundary-value problems. Bull, of the Novosibirsk Computing Center. Series: Computer science, 1998. Issue 9, p. 23-30.

56. Gurieva 5'., II"in V. Finite volume approached for '2-D BVPs: algorithms, data structures, software and experiments. Univ. of Nijmegen. 1997. - '24 p. - ( Univ. of Nijmegen. Dep. of Math. Rep. No. 9715).

57. Gurieva Y.L. Il'in V.P. On second order finite-volume approximations for 3D mixed boundary value problems. Bull, of the Novosibirsk Computing Center. Series: Numerical Analysis, 1996, Issue 7, p. 51-70.

58. Gurieva Y.L, Il'in V.P. 3D mixed boundary value problems: numerical algorithms, data structures and technologies of implementation. Bull, of the Novosibirsk Computing Center. Series: Computer science. 1998, Issue 9. p. 31-44.

59. Hackbush W. On first and second order box schemes. Computing. 1989. v. 41. p. 277-286.

60. IPin V.P. Iterative Incomplete Factorization Methods. Singapore, World Scientific Publishing Co., 1992.

61. K Ho-Le. Finite element mesh generation methods: a review and classification. -Computer Aided Design, 1988, v. 20, No. 1. p.27-38.

62. Gallouet T. and Vila J.P. Finite volume schemes for consrevation laws of mixed type. SI AM .1. Numer. Anal., 1991, v. 28, No. 6, p. 1548-1573.

63. Kroner D. and Rokuta M. Convergence of upwind finite volume schemes for scalar consrevation laws in two dimensions. S1AM J.Numer.Anal. 1994, v. 31. No. 2, p. 324-343.

64. Lazarov R.D., Mishev I.D., Vassilevski P.S. Finite volume methods for convection-diffision problems. SIAM J.Numer.Anal., 1996, v. 33, No. 1, p. 31-55.

65. Liang M.C. and Lan C'.W. A finite-volume/Newton method for a. two- phase heat flow problem using primitive variables and collocated grids. J. C'omput. Phys. 1996. v. 127, p.330-345.

66. Mandel J. Two-level domain decomposition preconditioning for the p-version finite element method in three dimensions. Int. J. Num. Meth. Eng., 1990, v. 29, p.1095-1108.

67. Mantyla M. A note on the modeling space of Euler Operators. Computer Vision. Graphics and Image Processing. 1984. v. 26. N 1, p.45 -60.

68. Mattiussi C. An analysis of finite volume, finite element and finite difference methods using some concepts from algebraic topology. J. Comp. Phys. 1997, V. 133. p.289-309.

69. Mills H. Top-down programming in large systems. C'ourant Comp. Sei. Syinp. 1970.

70. Pahnerio B. A two-dimensional FEM adaptive moving-node method for steady Euler flow simulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. v. 71, p.315-340.

71. Requicha A. Representation for rigid solids theory, methods and systems. - ACM Computing Surveys. 1980. v. 12. N 4. p.437-466.

72. Requicha A. Yoelcker H. Solid modeling: current status and research directions.- IEEE CG LA, 1983, v. 3, N 7, p.25-37.

73. Rossignac. J., Requicha A. Constructive non-regularized geometry. Computer-Aided Design, 1991, v. 23, N 1, p.21-32.

74. Russe! T.F. and Wheeler M.F. Finite element and finite- difference methods for continuous flows in porous media. The Mathematics of Reservoir Simulation, R.E.Ewing, ed., Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA. 1983.

75. Shang J.S. and Fithen R. A comparative study of characteristic- based algorithms for the Maxwell equations. J. Comput. Phys., 1996, v. 125, p. 378-394.

76. SuIi F. Convergence of finite volume schemes for Poisson equation on nonuniform meshes. SIAM J.Numer.Anal. 1991, v. 28. No. 5, p.1419-1430.

77. Suli E. The accuracy of cell vertex finite volume methods on quadrilateral meshes.- Math. Comp., 1992, v. 59, No. 200. p.359-332.

78. Stay J.E. HIPO and integrated program design. IBM System J., 1976. .M2. p. 143-154.

79. Szabo B. Babuska I. Finite element analysis. New York: John Wiley fc Sons. Inc. 1991.

80. Tanizume Y., Yamashita H. Nakamae E. Tetrahedral elements generation using topological mapping and space dividing for 3-D magnetic field FE.M. IEEE Trans. Magn. 1990. 26, N 2, p.775-778.

81. Yinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws. J. Comput. Phys., 1989. v. 81, p. 1-52.

82. Weiser A. and Wheeler M.F. On convergence of block-centered finite differences for elliptic problems. SIAM J.Numer.Anal. 1988, v. 25, No. 2. p. 351-375.

83. Wesseiing P., Segal A., Van Kan J.J.I.M., Oosterlee C'.W., Kassels C.G.M. Finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equation in general coordinates on staggered grids. Comput. Fluid Dyn.J., 1992. No. 1, p.27-33.

84. Weiler K. Edge-based data structures for solid modeling in curved-surface Environments. IEEE CGfcA. 1985. v. 5. N 1. p.21-40.

85. Weiler K. Boundary graph operators for non-manifold geometric modeling topology representation. Geometric Modeling for CAD Applications. North-Holland, 1988. p.37-66.