Восстановление мезомасштабной изменчивости аномалий высоты поверхности океана по данным спутниковой альтиметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Романов, Александр Алексеевич

• Романов, Александр Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романов, Александр Алексеевич

Введение.

Глава 1 Постановка задачи.

§1.1 Проблемы восстановления мезомасштабной изменчивости аномалий высоты морской поверхности по данным спутниковой альтиметрии.

§1.2 Применение сплайнов в задачах восстановления произвольных поверхностей.'.:.

§1.3 Краткое содержание. Выводы.

Глава 2 Разработка методики реконструкции карт аномалий высоты морской поверхности методом «От-сплайнов».

§2.1 Метод интерполяции сплайнами типа «тонкой пластины».

§2.2 Методика реконструкции карт аномалий высоты морской поверхности

От-сплайнами» по данным спутниковой альтиметрии.

§2.3 Краткое содержание. Выводы.

Глава 3 Численное моделирование решения прямой и обратной задач реконструкции заданных поверхностей методом «От-сплайнов».

§3.1 Реконструкция поверхностей с использованием шаблона исходных данных спутника TOPEX/POSEIDON.

§3.2 Реконструкция поверхностей с использованием комплексированных шаблонов исходных данных спутников TOPEX/POSEIDON и ERS-2 или

TOPEX/POSEIDON, ERS-2 и Geosat-FO.

§3.3 Краткое содержание. Выводы.

Глава 4 Экспериментальная проверка достоверности разработанной методики и ее практическое использование.

§4.1 Разработка региональной модели приливов Охотского моря.

§4.2 Проверка достоверности карт аномалий высоты морской поверхности по картам аномалий, полученным методом «объективного анализа».

§4.3 Проверка достоверности альтиметрических карт аномалий высоты морской поверхности по другим данным дистанционного зондирования поверхности океана.

§4.4 Расчет карт геострофических течений по данным спутниковой альтиметрии.

§4.5 Комплексное использование данных дистанционного зондирования и статистической промысловой информации.

§4.6 Краткое содержание. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление мезомасштабной изменчивости аномалий высоты поверхности океана по данным спутниковой альтиметрии»

Актуальность

В последнее время все большую распространенность получают дистанционные средства исследования состояния поверхности Земли и в частности поверхности океана. Спектр задач по изучению океана чрезвычайно широк, от исследований мезомасштабных процессов, до изучения динамики его глобального уровня. До недавнего времени для решения подобных задач использовались контактные методы измерения различных океанологических характеристик с помощью научно -исследовательских судов, а также дрейфующих платформ.

Появление спутниковых систем изучения океана позволило существенно улучшить качество информационного обеспечения океанографического мониторинга, поскольку методы дистанционного зондирования имеют преимущество перед традиционными контактными методами. В первую очередь из-за оперативности получения данных, охватывающих весь регион исследований практически в режиме «реального времени».

На настоящий момент методы дистанционного зондирования поверхности океана, предназначенные для определения динамических характеристик морской поверхности, можно разделить на три группы: оптические, инфракрасные и микроволновые. Последние, к которым относится и спутниковая альтиметрия, имеют ряд серьезных преимуществ перед оптическими и инфракрасными методами исследований, главное из которых - всепогодность. Для микроволновых исследований облачность не представляет собой серьезной преграды, поэтому спутниковая альтиметрия может применяться в любых погодных условиях.

Главная характеристика динамики морской поверхности, измеряемая при помощи спутниковых альтиметров - аномалии высоты морской поверхности океана, на основе которых можно рассчитать скорость и направление течений водных масс в геострофическом приближении.

Данные спутниковых альтиметров представляют собой набор измерений вдоль трека спутника с дискретностью примерно 7 км. Расстояние между соседними по времени треками для наиболее точного альтиметрического спутника TOPEX/POSEIDON составляет порядка 28°, причем минимальное время покрытия исследуемого региона альтиметрическими данными составляет почти 10 суток. Таким образом, для того, чтобы построить карту аномалий высот морской поверхности требуется проводить процедуру пространственной и временной интерполяции альтиметрических данных.

Пространственные размеры и время жизни мезомасштабных структур на средних широтах в океане находятся в пределах 50-100 км и 10-100 дней. К сожалению, на данный момент невозможно восстанавливать мезомасштабные структуры с хорошей точностью, используя данные только одного спутникового альтиметра, независимо от используемого метода интерполяции альтиметрических данных. Подобная особенность обработки информации обусловлена тем, что при разработке альтиметрических миссий было необходимо достигнуть компромисса по расстоянию между подспутниковыми треками спутника на поверхности и длинной изомаршрутного цикла. Например, для того чтобы разрешить структуру на поверхности океана размером 50-км на средних широтах, нужно использовать изомаршрутный цикл альтиметрического спутника длительностью около 2-х месяцев, что, несомненно, сильно усложнит задачу реконструкции исследуемой океанографической структуры по времени.

Поскольку сигнал спутникового альтиметра проходит через атмосферу и отражается от мгновенного уровня морской поверхности, необходимо учитывать специализированные поправки к альтиметрическому сигналу: атмосферные и на состояние подстилающей поверхности. Самой большой по амплитуде значений для альтиметрических данных является поправка на приливы. Существует несколько стандартных моделей приливных поправок (CSR 3.0, FES 95.2, GOT 99), которые позволяют убирать приливную составляющую из альтиметрических данных. Однако глобальные поправки не всегда одинаково хорошо работают во всех районах мирового океана, особенно в прибрежной зоне и в динамически активных акваториях.

Следовательно, поиск метода, обеспечивающего наименьшие ошибки интерполяции альтиметрических данных при реконструкции карт аномалий высоты поверхности океана и потенциального расчета геострофических течений, а также разработка методики его использования весьма актуальны.

Для того, чтобы провести детальную настройку алгоритма интерполяции и всестороннего изучения вопроса о количестве альтиметрических спутников, необходимых для уверенного разрешения мезомасштабных структур в океане, требуется провести численное моделирование работы предлагаемой методики на «псевдо альтиметрических» шаблонах данных спутников, спроектированных при помощи орбитальных моделей. Поскольку приливные поправки существенно влияют на достоверность данных, получаемых спутниковыми альтиметрами, требуется также оценить качество работы стандартных приливных моделей в выбранном регионе исследований и, при необходимости, предложить более эффективный способ устранения приливной составляющей из альтиметрических измерений. Цель работы

Целью данного исследования является разработка и создание методики расчета карт аномалий высот морской поверхности методом интерполяции спутниковых альтиметрических данных сплайнами типа «тонкой пластины». Задачи исследования 1. Определение оптимальных параметров методики восстановления мезомасштабной изменчивости океана с минимально возможными ошибками;

2. Проведение численного моделирования по реконструкции различных заданных поверхностей методом интерполяции сплайнами типа «тонкой пластины»;

3. Определение разрешающей способности метода сплайн-интерполяции по восстановлению структур на поверхности океана;

4. Обоснование необходимого минимума альтиметрических спутников, данные которых необходимо использовать для уверенной реконструкции мезомасштабных структур на поверхности океана;

5. Разработка метода устранения приливной компоненты из альтиметрических данных;

6. Проведение проверки достоверности карт аномалий высот поверхности океана по картам аномалий, реконструированных методом «объективного анализа», а так же картам концентрации хлорофилла «а» и температуры поверхности океана.

7. Реконструкция карт геострофических течений по спутниковым альтиметрическим данным;

8. Оценка возможности комплексного использования данных дистанционного зондирования океана и данных промысловой статистики при практическом использовании результатов диссертационной работы.

Научная новизна

1. Впервые проанализирована возможность применения метода интерполяции альтиметрических данных сплайнами типа "тонкой пластины" для реконструкции карт аномалии морской поверхности;

2. Разработана методика восстановления карт аномалий морской поверхности методом интерполяции сплайнами «тонкой пластины» по данным спутниковой альтиметрии;

3. Впервые проведен численный эксперимент по восстановлению различных поверхностей методом интерполяции сплайнами «тонкой пластины» по данным «псевдо» альтиметрических шаблонов данных различных спутниковых систем;

4. Разработан метод прямого устранения приливной компоненты из спутниковых альтиметрических данных.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы состоит в создании предложенной методики восстановления карт аномалий высоты морской поверхности сплайнами типа «тонкой пластины». Данная методика позволяет реконструировать мезомасштабные структуры в океане с приемлемой точностью и небольшими ресурсными вычислительными затратами, а также получать карты геострофических течений. Подобные карты позволяют непосредственно решать различные океанографические, океанологические, климатологические и другие задачи. Разработанная методика внедрена в Атлантическом научно-исследовательском институте рыбного хозяйства и океанографии (АтлантНИРО) и Сахалинском научно-исследовательском институте рыбного хозяйства и океанографии (СахНИРО), что подтверждается актами о внедрении.

Положения, выносимые на защиту

1. Результаты анализа применения метода сплайнов «тонкой пластины» для восстановления карт аномалий морской поверхности по данным спутниковой альтиметрии;

2. Методика реконструкции карт аномалии высоты морской поверхности по данным спутниковой альтиметрии методом интерполяции сплайнами типа «тонкой пластины»;

3. Метод прямого устранения приливной составляющей из данных альтиметрического зондирования;

4. Результаты проверки достоверности карт аномалий высоты морской поверхности, реконструированных методом «От-сплайн» интерполяции по картам аномалий высоты морской поверхности, полученных методом объективного анализа», а так же по картам температуры поверхности океана и концентрации хлорофилла «а».

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на XLIV ежегодной научной конференции в Московском физико-техническом институте, на XI Всероссийской и XII международной конференциях по промысловой океанологии, на XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению радиоволн, Тихоокеанской конференции по дистанционному зондированию (Pacific Ocean Remote Sensing Conference) Гоа (Индия 2000), на четвёртом международном совещании по цвету океана (4 International Workshop on Ocean Color, Berlin, 2001), на XXVII Генеральной ассамблее Европейского геофизического сообщества Ницца (Франция 2002) и 19-ом международном симпозиуме по Охотскому морю и ледяному покрову (The 19th international symposium on Okhotsk sea & sea ice) (Япония 2004), а так же были представлены на международных симпозиумах по наукам о Земле и дистанционному зондированию (International Geoscience and Remote Sensing Symposium) в Сиднее (Австралия 2001) и Торонто (Канада 2002).

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

1. Романов А.А, Матвеев С. В., Романов Ал. А. Спутниковая альтиметрия: Исследование динамической топографии морской поверхности. // Тезисы докладов XI Всероссийской конференции по промысловой океанологии (Калининград, 14-18 сентября 1999 г.) / Москва: Издательство ВНИРО 1999, с. 152-179.

2. Ю.В. Фефилов, Алексей А. Романов, Александр А. Романов Возможность совместного использования данных различных спутниковых сенсоров для прогнозирования рыбопромысловой обстановки // Тезисы докладов XLIV Научной конференции

Московского физико-технического института (23-30 ноября 2001 г.) / Москва, 2001 г., ч.З, с.66.

3. A.Romanov, Y.Fefilov, A.Romanov Multi-satellite Oceanographic Monitoring in Far East Region as a Part of Monitoring, Control and Surveillance System for Russian Fisheries Fleet: Preliminary results //Proceedings of 4 International Workshop on Ocean Color, Berlin, 2001, P. 225-234.

4. А. А. Романов, Ю. В. Фефилов Совместное использование данных дистанционного зондирования и промысловой статистической информации. // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению радиоволн (Москва, 19-23 декабря 2001 г., Российский новый университет), М.: Московский физико-технический институт (государственный университет), т.2. с 421—422

5. Alexey A. Romanov, Vyacheslav Е. Kunitsyn, Alexander A. Romanov The approach of dynamic topography maps reconstruction by local spline-approximation. // European Geophysical Society XXVII General Assembly (Nice, France,21 - 26 April 2002) / EGS XXVII General Assembly Abstracts, V4,2002, p.l

6. Романов A.A., Романов Ал.А. Исследование возможности использования карт динамической топографии поверхности океана по данным спутниковой альтиметрии для решения промысловых задач в районах ЦВА и ЮВА. //Тезисы докладов XII международной конференции по промысловой океанологии (Светлогорск, 9-14 сентября 2002 г.) /Калининград: Издательство АтлантНИРО 2002, с.212-213.

7. Романов А.А., Романов Ал.А., Фефилов Ю.В. Исследование возможности совместного использования данных дистанционного зондирования и промысловой статистической информации на основе судовых суточных донесений //Тезисы докладов XII международной конференции по промысловой океанологии (Светлогорск, 9-14 сентября 2002 г.) /Калининград: Издательство АтлантНИРО 2002, с.209-210.

8. Куницын В. Е., Романов А. А. Восстановление карт поверхности океана методом локальной сплайн аппроксимации с хаотично расположенными узлами. // Радиотехника и электроника, 2004. Т. 49, №4. С. 466-480

9. Шевченко Г.В., Романов А.А. Определение характеристик прилива в Охотском море по данным спутниковой альтиметрии. // Исследование земли из космоса, 2004, №1, с. 49-62

Ю.Шевченко Г.В., Романов А.А. Пространственная структура прилива в Охотском море на основе данных спутниковой альтиметрии. "Колебания уровня в морях". Сборник научных статей. Российский гидрометеорологический университет. Санкт-Петербург,

Гидрометеоиздат, 2003, с. 92-110.

11 .Romanov А.А., Sedaeva O.S., Shevchenko G.V. Seasonal and tidal sea level oscillations comparison from altimetry data and coastal tide gauges between Hokkaido and Sakhalin islands // The 19th international symposium on Okhotsk Sea & Sea Ice, 2004, pp. 294-303

12.Romanov A.A., Mandych A.T., Novinenko E.G., Shevchenko G.V. Eddies determination in the Northern Kurils area from remote sensed data and direct CTD measurements // The 19th international symposium on Okhotsk Sea & Sea Ice, 2004, pp. 276-281

1 З.Романов A.A. Методика восстановления карт аномалий морской поверхности методом «От-сплайнов». Электронный журнал "Исследовано в России", 042. С. 454-463, 2004 г. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/042.pdf

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Романов, Александр Алексеевич

Заключение

Диссертационная работа посвящена созданию методики расчета карт аномалии высоты морской поверхности методом интерполяции сплайнами типа «тонкой пластины». В результате проведенного исследования были получены следующие основные результаты.

Предложена методика реконструкции карт аномалий высоты морской поверхности методом интерполяции альтиметрических данных сплайнами типа «тонкой пластины».

Найдены значения оптимальных параметров методики восстановления аномалий высоты морской поверхности для региона Дальнего Востока: RM = 1.4, Дб = 6иЛГ=150.

Проведено численное моделирование восстановления методом сплайн интерполяции различных стационарных и зависящих от времени функций. Метод интерполяции «От-сплайнами» показал очень хорошие результаты при реконструкции стационарных функций. Ошибки восстановления составили 8с = 0.37, a SL- 0.14.

При реконструкции поверхностей искусственно зашумленных 10% гауссовским шумом при помощи процедуры пространственно временной интерполяции ошибки составили 8С = 0.44, а <^=0.14.

Минимальные размеры восстанавливаемых неоднородностей не должны быть меньше 1° - 1.5°, этого вполне достаточно для восстановления мезо-масштабных явлений на поверхности океана;

Результаты моделирования подтверждают, что невозможно восстанавливать высокоэнергитичные мезомасштабные структуры с хорошей точностью, основываясь на данных только одной альтиметрической миссии. Ошибки восстановления при использовании шаблона данных одного спутника TOPEX/POSEIDON при восстановлении (3.2.1) составили: 8С =

6.52, SL =1.38 и невязка 7.21 см.

В случае использования данных двух спутников TOPEX/POSEIDON и ERS-2 продемонстрированы хорошие возможности по восстановлению модельных функций. Ошибки восстановления составили 8С = 1.41, 5L-0.46 и невязка 2.37 см. Для исходных данных трех спутников ошибки составили 8С = 1.12, SL =0.25 и невязка 1.23 см соответственно (при восстановлении функции (3.2.1)). При реконструкции функции (3.2.2) для случая одновременного использования данных двух альтиметрических спутников, ошибки составили 8С = 0.28, SL =0.18 и невязка 0.14 см, а для трех -8С= 0.22,

SL =0.16 и невязка 0.11 см, соответственно.

Представлен метод прямого устранения приливной составляющей из альтиметрических данных спутников TOPEX/POSEIDON и ERS-2. Проведено сравнение с полученными ранее моделями приливов для Охотского моря. Показано, что предложенный метод хорошо описывает приливную структуру Охотского моря. В качестве иллюстрации работы метода, рассчитаны карты аномалий для региона Северных Курил. Показано, что после устранения приливов разработанным методом, достигается хорошее соответствие между картами аномалий высоты морской поверхности и съемками температуры морской поверхности со спутника NOAA и картами концентрации хлорофилла «А» со спутника SeaWiFS, полученными в выбранном регионе.

Проведена оценка качества восстановления карт аномалии высоты морской поверхности методом «От-сплайнов». Приведены результаты проверки достоверности полученных результатов по карте аномалий высоты морской поверхности, полученной методом «объективного анализа». По результатам проведенного исследования можно утверждать, что качество восстановления данных сплайнами типа «тонкой пластины» выше, чем у метода «объективного анализа», что подтверждается проведенным сравнением вдольтрекового реального и восстановленного наборов данных.

Проведена проверка достоверности карт аномалии высоты морской поверхности, полученных методом сплайн-интерполяции по картам температуры поверхности океана и концентрации хлорофилла «А». Показано хорошее соответствие между местоположением и формой регистрируемых неоднородностей на поверхности океана.

Показана возможность реконструкции карт геострофических течений по данным спутниковых альтиметров.

В результате анализа совместного использования различных данных дистанционного зондирования (карт аномалий высоты морской поверхности и концентрации хлорофилла «а») и статистической промысловой информацией продемонстрировано:

• для решения задач океанологического мониторинга акваторий морей Тихого океана (Японского и Охотского морей), данные о первичной биопродуктивности, полученными со спутника SeaWiFS, необходимо дополнять данными об аномалиях высоты морской поверхности с альтиметрических спутников. В данном случае используется информация со спутника TOPEX/POSEIDON, для исследования поверхности океана на акваториях покрытых облаками в момент исследования, так как данные SeaWiFS для таких регионов недоступны, кроме того, использование нескольких источников океанологической информации повышает достоверность проведенного анализа;

• полученные карты концентрации хлорофилла «а» и аномалий высоты морской поверхности вполне можно использовать для информационной поддержки промыслового прогнозирования в Мировом океане.

Автор выражает искренние благодарности: научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору В.Е. Куницыну и доктору технических наук, профессору А.А. Романову за помощь в постановке задачи и в и всестороннюю поддержку во время работы над диссертацией; сотруднику СахНИРО, кандидату физико-математических наук Г.В. Шевченко за успешное и плодотворное сотрудничество, а так же полезные советы при работе над диссертацией; сотруднику СахНИРО Г. Новиненко за предоставленные карты температуры поверхности океана и концентрации хлорофилла «а»; Ю.В. Фефилову за предоставленные карты концентрации хлорофилла «а» и полезные замечания в процессе написания работы, а так же всем коллегам, принимавшим участие в обсуждении результатов исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романов, Александр Алексеевич, 2004 год

1. Bors, A.G. "Object classification in 3-D images using alpha-trimmed mean radial basis function network," IEEE Trans, on Image Processing, vol.8, 1999

2. Carr, J.C. "Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial Basis Functions", SIGGRAPH 2001,2001

3. DIGITAL ATMOSPHERE — ANALYSIS ALGORITHM DOCUMENTATION ©1996,2003 Weather Graphics Technologies DIGITAL

4. Peng Yu, Jorge Zavala-Hidalgo, Steven L. Morey, and James J. O'Brien, A new mapping method for propagating data. Oceans 2003 Extended Abstract, 2003

5. Gandin L. S. Objective analysis of meteorological fields, Israel Program for Scientific Translations, 1965

6. Bretherton, F.P., R.E.Davis, and C.B. Fandry, 1976; A Technique for Objective Analysis and Design of Oceanographic Experiments Applied to MODE-73,Deep Sea Res.,23, 559-582.

7. Carter, E.F. and A.R. Robinson, 1987; Analysis Methods for the Estimation of Oceanic Fields,J. Atmos. & Oceanic Technol.,4, 49-74.

8. Wunsch, C. Sampling characteristics of satellite orbits, J. Atmos. Oceanic Technol. 6, 891-907, 1989

9. Le Traon, P. Y. and Hernandez, F. Mapping the oceanic mesoscale circulation: Validation of satellite altimetry using surface drifters. J. Atmos. Oceanic Technol. 9, 687-698, 1992

10. LeTraon, P. Y., Nadal, F., Ducet, N. An impoved mapping method of multisatellite altimetry data. J. Atm. Ocean. Tech. 15, 522-533, 1998

11. Le Traon, P.Y. and G. Dibarboure, 1999: Mesoscale mapping capabilities from multiple altimeter missions. J. Atmos. Oceanic Tech., 16,1208-1223

12. Shen et al., The mesoscale spatial structure and evolution of dynamical and scalar properties observed in the northwestern Atlantic Ocean during the POLYMODE Local Dynamics Experiment. J. Phys. Oceangr. 16, 454-482, 1986

13. Stammer, D., Global characteristics of ocean variability estimated from regional Topex/Poseidon altimeter measurements. J. Phys. Oceanogr., 27, 1743-1769, 1997

14. Le Traon, P. Y., Rouquet, M. C., Boissier, C. Spatial scales of mesoscale variability in the North Atlantic as deduced from Geosat data. J. Geophys. Res., 95, 20267-20285, 1990

15. Greenslade et al., The midlatitude resolution capability of sea level fields constructed from single and multiple satellite altimeter datasets. J. Atmos. Oceanic. Technol. 14, 849-870, 1997

16. Derber, J., and A. Rosati, A global oceanic data assimilation system. J. Phys. Oceanogr., 19,1333-1347, 1989

17. Forbes, C., and O. Brown Assimilation of sea surface height data into an isypicnic ocean model. J. Phys. Oceanogr., 26, 1189-1213, 1996

18. Le Traon, P. Y. and Ogor, F. ERS-1/2 orbit improvement using Topex/Poseidon: the 2 cm challenge. J. Geophys. Res. 95, 8045-8057, 1998

19. Le Traon, P. Y., P. Gaspar, F. Bouyssel, and H. Makhmara, Using Topex/Poseidon data to enhance ERS-1 orbit, J. Atm. Ocean. Tech., 12,161170, 1995.

20. Le Traon, P. Y., J. Stum, J. Dorandeu, P. Gaspar and P. Vincent, 1994, Global statistical analysis of TOPEX and Poseidon data, J. Geophys. Res., 99,24619-24631.

21. Ducet, N., P.Y. Le Traon and G. Reverdin, 2000: Global high resolution mapping of ocean circulation from the combination of TOPEX/POSEIDON and ERS-1/2. Journal of Geophysical Research (Oceans), 105, C8, 19,47719,498.

22. Le Traon, P.-Y., G. Dibarboure, and N. Ducet, 2001: Use of a High-Resolution Model to Analyze the Mapping Capabilities of Multiple-Altimeter Missions. Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 18, 1277-1288.

23. J. Schoenberg Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Part A: On the problem of smoothing or graduation, a first class of analytic approximation formulas", Quart. Appl. Math. 4, 45-99, 1946

24. Завьялов Ю.С., Jleyc B.A., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. -М.: Машиностроение, 1985. 223с.

25. Снегирев В.Ф. Применение сплайнов для задания обводов летательных аппаратов //Учебное пособие. Казань: КАИ, 1986. - 74 с.

26. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248с.

27. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. 304с

28. Ya. Pavlinov, N. G. Mikeshina G.I. Sanchez-Ortiz, D. Rueckert and P. Burger Journal of General Biology Vol. 63, No. 6, 2002

29. Boztosun et al. Thin-plate spline radial basis function scheme for advection-diffusion problems / Electronic Journal of Boundary Elements, Vol. BETEQ 2001, No. 2, pp. 267-282 (2002)

30. Michael F. Hutchinson Interpolation of rainfall data with thin plate smoothing splines Part I: Two dimensional smoothing of data with short range correlation / Journal of Geographic Information and Decision Analysis, vol. 2, no. 2, pp. 139-151,1998

31. Billings, S. D., Beatson, R. К and Newsam, G. N., 2002, Interpolation of geophysical data by continuous global surfaces: Geophysics, 67,1810-1822.

32. Gianluca Donato and Serge Belongie Approximation Methods for Thin Plate Spline Mappings and Principal Warps 7th European Conference on Computer Vision, Copenhagen, Denmark, May 28-31, 2002. Proceedings, Part III

33. David R. Jenkins Thin plate spline interpolation on an annulus / Australian & New Zealand Industrial and Applied Mathematics Journal, vol 42, 2000

34. G. Bors, "Introduction of the Radial Basis Function (RBF) Networks," Online Symposium for Electronics Engineers, issue 1, vol. 1, DSP Algorithms: Multimedia, http://www.osee.net/, Feb. 13 2001, pp. 1-7.

35. Park, J. Universal approximation using radial basis function network, Neural, 1991

36. Poggio, T. "Networks for approximation and learning", Proc. IEEE, vol.78, no.9,1990

37. Broomhead, D.S. "Multivariable functional interpolation and adaptive networks," Complex Systems, vol.2,1988

38. Matej, S. "Practical considerations for 3-D image reconstruction using spherically symmetric volume elements," IEEE Trans. On Medical Imaging, vo.15, 1996

39. Casdagli, M. "Nonlinear prediction of chaotic time series," Physica D, vol.35, 198943