Уточненное математическое моделирование составных стержневых конструкций, находящихся в условиях статического термосилового нагружения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сунгатуллин, Марат Равилевич

• Сунгатуллин, Марат Равилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сунгатуллин, Марат Равилевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Общие положения.

1.2. Геометрия стержневого тела.

1.3. Уточненные уравнения упругого деформирования стержневого тела, базирующиеся на кинематической модели С.П.Тимошенко.

1.4. Полная система уравнений линейной теории составных стержневых систем.

1.5. Метод конечных сумм приближенной дискретизации одномерных краевых задач.

1.6. Приближенная система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных параметров дискретизации.

1.7. Трехуровневая схема организации вычислений.

1.8. Расчеты составной стержневой конструкции пролетного строения моста с подструктурами, описываемыми по модели С.П.Тимошенко.

2. СОСТАВНАЯ СТЕРЖНЕВАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ ПОДСТРУКТУРЫ.

2.1. Общие положения.

2.2. Математическая модель линейной механики упругого деформирования тонкостенного стержневого тела в рамках кинематической модели С.П.Тимошенко.

2.3. Основные соотношения уточненной теории упругого деформирования стержневого тела для произвольно заданной кинематической модели.

2.4. Уравнения теории упругого деформирования тонкостенного стержневого тела для кинематической модели, в которой вектор перемещений представлен разложением в полный двумерный полином заданного порядка.

2.5. Панели составной стержневой конструкции. Геометрия и кинематика

2.6. Уравнения связи компонент перемещений составного стержневого тела!

2.7. Приведение уравнений связи перемещений к форме связи зависимых и независимых компонент перемещений. Вариация полной потенциальной энергии составного стержневого тела.

2.8. Тестовые расчеты стержневых подструктур по составной стержневой модели.

3. УРАВНЕНИЯ СОПРЯЖЕНИЯ И ЗАКРЕПЛЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ ПОДСТРУКТУР В РАМКАХ СОСТАВНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ.

3.1. Общие положения.

3.2. Торцевые перемещения панелей в узловой системе координат.

3.3. Уравнения связи компонент перемещений в узлах составного стержневого тела.

3.4. Приведение уравнений связи узловых перемещений к форме связи зависимых и независимых компонент перемещений.

3.5. Расчеты стержневых конструкций по составной стержневой модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уточненное математическое моделирование составных стержневых конструкций, находящихся в условиях статического термосилового нагружения»

Практически во всех отраслях современной техники: в строительстве, в судостроении, в авиации находят широкое применение составные стержневые конструкции в виде рам, ферм, балок, стоек, тяг, валов и т.п. В поперечном сечении стержни могут быть как монолитными, так и тонкостенными (открытого и замкнутого профиля). Использование сложных составных стержневых конструкций порождает пристальное внимание к изучению их напряженно-деформированного состояния, анализ которого, в свою очередь, требует применения широкого спектра математических моделей, построенных как в рамках допущений о сравнительной малости характерных линейных размеров элементов конструкций в одном или двух измерениях, так и непосредственно на основе трехмерных уравнений теории упругости. Однако, распространению последних в практических расчетах препятствует предельно высокий уровень затрат вычислительных ресурсов ЭВМ и низкая производительность труда исследователя при аналитической проработке и сопровождении полного цикла решения задачи. Существующее небольшое число аналитически замкнутых решений трехмерных задач позволяет оперировать лишь с узким набором конструктивных схем, видов закреплений и нагружений.

К настоящему времени создано множество упрощенных по сравнению с трехмерной теорией прикладных моделей для описания процессов деформирования тонкостенных конструкций рассматриваемого типа, имеющих различную степень обоснованности, сложности и применимости. Исторически, первые исследования такого плана выполнялись без применения (либо при ограниченных возможностях) вычислительных средств. Этот период исследования характеризуется большим количеством инженерных методик и прикладных теорий, ориентированных на ручной счет. К ним можно отнести работы Кирхгофа [40], В.П.Бидермана [10], В.З.Власова [17, 18],

И.Ф.Образцова [45], Ю.Г.Одинокова [46], С.П.Тимошенко [90], А.И.Лурье [40], А.Ляв [41], А.А.Уманского [91] и других.

Среди разнообразных методов расчета тонкостенных конструкций наиболее точными являются методы, основанные на соотношениях теории упругости и теории оболочек. Тонкостенные конструкции, очерченные гладкими поверхностями, являются традиционным объектом исследования теории оболочек. Развитие этой теории, имеющей давнюю историю, происходит по двум направлениям. Первое из них представлено опирающейся на минимальное число гипотез так называемой математической теорией оболочек, посвященной обоснованию исходных уравнений, анализу их точности и применимости, а также качественному исследованию сравнительно простых задач. Второе направление - прикладная теория оболочек - ставит целью разработку приближенных методов расчета, необходимых при создании новой техники. В развитии как математической, так и прикладной теории оболочек большой вклад внесли советские ученые В. 3. Власов, А. И. Лурье, А. Л. Гольденвейзер, В. В. Новожилов, Х.М.Муштари, К.З.Галимов, Ю. Н. Работнов и др. [45].

Иначе обстоит дело с оболочками, очерченными более сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Общая проблема расчета таких оболочек не нашла пока должного отражения в литературе, несмотря на то, что такие оболочки, подкрепленные продольными и поперечными элементами, широко применяются в конструкции различного типа крыльев, фюзеляжей самолетов, корпусов ракет и судов. При переходе к подобным "неклассическим" объектам непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих работу оболочек, наталкивается на практически непреодолимые трудности. В связи с этим чрезвычайно важную роль играют, так называемые, технические теории, базирующиеся на некоторых дополнительных гипотезах о сравнительной малости отдельных компонентов напряженного и деформированного состояния оболочки.

Подобные предположения, опирающиеся на данные экспериментов, позволяют упростить уравнения общей теории оболочек и в конечном итоге приводят к приемлемым для практических приложений результатам.

Основные результаты исследований, посвященных оболочкам, очерченных сложными, в общем случае негладкими поверхностями, относятся к расчету пространственных систем типа тонкостенных стержней. Для таких оболочек, которые могут иметь как постоянное, так и переменное сечение, обычно сохраняется понятие о главных осях инерции и оси жесткости, характерные для балок, но в отличии от балок поперечные сечения тонкостенных стержней после деформации не остаются плоскими и могут также изменять свои очертания. Наибольший вклад в теорию расчета тонкостенных стержней, бесспорно, внесли советские ученные и, в первую очередь, В. Н. Беляев, В. 3. Власов, А. А. Уманский.

Тонкостенный стержень оказался плодотворной расчетной схемой пространственных систем различного назначения. В авиастроении на основе этой модели разработаны эффективные прикладные методы расчета конструкций фюзеляжа и прямых крыльев как постоянного, так и переменного сечения Большие заслуги в разработке этих методов принадлежат А. И. Макаревскому, Г. Г. Ростовцеву, А. М. Черемухину,

А. Ю. Ромашевскому, JI. И. Балабуху, В.Ф.Киселеву, С.Н.Кану,

Ю. Г. Одинокову, Г. С. Еленевскому, А. Ф. Феофанову, В. В. Новицкому, М.Б.Вахитову и др. [45].

Как известно, общую задачу трехмерной теории упругости для стержней можно разделить на две задачи: одномерную задачу по продольной координате (теорию стержней) и двумерную задачу в плоскости поперечного сечения. В уравнения одномерной теории входит ряд интегральных упругих характеристик стержня, для определения которых необходимо предварительно решить двумерную задачу на сечении. В то же время, для определения полей перемещений и напряжений стержня требуется решение одномерной задачи.

В расчетной практике, как правило, используются уравнения двух простейших вариантов одномерной теории стержней, основанные на использовании двух известных моделей: модели Киргофа-Клебша и модели Тимошенко. Построению и анализу этих вариантов уравнений теории как в линейной, так и в нелинейной постановках, посвящена достаточно обширная литература. Отметим здесь лишь некоторые из работ, наиболее полно отражающих современное состояние этой теории. В работах А.П.Филина [92], А.А.Илюхина [34], В.А.Светлицкого [84, 85, 86], В.А.Бердичевского [7, 8] рассмотрены вопросы построения линейных и нелинейных уравнений теории стержней и методы их решения. Аналогичные вопросы применительно к тонкостенным стержням открытого и замкнутого профиля рассматриваются в работах В.З.Власова [19], В.А.Бидермана [10], А.В.Александрова, Б.Я.Лащеникова, Н.Н.Шапошникова [1].

Вторая из упомянутых задач связана в основном с определением поля касательных напряжений в плоскости поперечного сечения и ее решение является не менее сложной проблемой, чем первая. Основное направление исследований в этой области первоначально было связано с решением задачи кручения. Это обусловлено тем, что при поперечном изгибе стержней уровень касательных напряжений существенно ниже уровня нормальных напряжений и мало сказывается на прочности конструкций, изготовленных из традиционных изотропных материалов. Задачи кручения стержней различного поперечного сечения рассмотрены в работах Н.Х.Арутюняна, Б.Л.Абрамяна [4], С.Г.Лехницкого [38], В.Д.Харлаба [93] и др.

Тонкостенным стержням и конструкциям, составленным из них посвящены различные научные работы. В работах М.А.Мельникова, А.И.Ушакова, В.А.Фатеева [42], Ф.Г.Вербера [15], В.В.Холопцева [94], приведены результаты расчетов тонкостенных стержней различного поперечного сечения на изгиб. И.В.Кругленко [37] предложил единую теорию изгиба и кручения тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения (открытого, замкнутого и комбинированного), учитывающую эффекты, связанные с деформацией сдвига. В работе Е.А.Бейлина, Г.Р.Джонсона [6] исследуются тонкостенные стержни, у которых вдоль образующих имеются участки с повышенной на сдвиг податливостью. Примерами могут быть стержни открытого профиля с частично замкнутым сечением за счет установки поперечных планок или раскосов, а также стержни замкнутого профиля с рядом отверстий, расположенных вдоль образующих. В качестве иллюстрации рассмотрен стержень, состоящий из трех замкнутых контуров. В работе А.В.Васильевой [12] рассматриваются композитные стержни кругового сечения, использующиеся в качестве элементов, работающих на кручение. В работе Е.А.Бейлина [5] предлагается вариант теории стесненного кручения тонкостенных стержней, который в зависимости от жесткости депланационных связей монотонно переходит либо в теорию В.З.Власова, либо в теорию стержней замкнутого профиля А.А.Уманского.

Большинство исследований статического деформирования составных стержневых систем проводится в дифференциальной или вариационной постановках, когда задача сводится либо к решению одномерных краевых задач, либо к решению эквивалентной вариационной задачи. Отметим наиболее интересные исследования в этой области, связанные с обоснованием и формулированием различных вариантов уравнений сопряжения стержневых и оболочечных элементов составных систем. К данному направлению относятся работы В.Н.Паймушина [52, 54, 57, 60], А.И.Голованова [25, 26], И.Х.Саитова [60,70].

Очевидная ограниченность аналитических подходов к решению сложных практических задач такого типа стимулирует широкое применение приближенных методов и, в частности, метода расчленения (метод асимптотического интегрирования), основанного на выделении малоизменяющегося основного напряженного состояния и его быстроизменяющейся составляющей в районах линий искажения НДС. Основы метода были заложены С.П.Тимошенко [90]. В работе В.Ф.Оробея, Д.Д.Работягова [49] рассмотрен расчет тонкостенных стержневых систем вышеуказанным методом. При этом определение основного напряженного состояния составных систем, в основном, возлагается на методы разложения в тригонометрические ряды и МКЭ [9, 11, 16, 48, 63, 35]. Расчет тонкостенных стержней методом МКЭ показан в работе Д.И.Школьника [96]. Из сеточных -это метод конечных разностей и его модификация для вариационной постановки - вариационно-разностный метод.

Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) составных тонкостенных конструкций со сложными формами поперечных сечений, широко применяемых в авиации, судостроении и строительстве, на основе методов, использующих трехмерные соотношения теории упругости или двумерные уравнения для составных пластинчато-оболочечных систем, представляет весьма сложную проблему, т.к. приводит к необходимости решения алгебраических задач чрезвычайно большой размерности. К примеру, такие методы абсолютно нецелесообразно использовать для моделирования процессов деформирования пролетных строений внеклассных мостов, пешеходных мостовых переходов на оживленных перекрестках улиц, представляющих собой протяженные в одном направлении тонкостенные металлические конструкции. К числу таких уникальных конструкций, в частности, относится опирающееся на ряд опор полутора километровое металлическое пролетное строение моста через р. Каму в Республике Татарстан. Монтаж пролетного строения этого моста осуществляется методом его надвижки с берега на опоры, что вызывает необходимость многократного просчета конструкции при большом числе различающихся положений пролетного строения относительно опор. Поэтому в практике проектирования и поверочных расчетов подобных сооружений до сих пор находят применение только такие методы, которые базируются на простейших вариантах стержневых моделей деформирования, основанных на гипотезах Кирхгофа

Клебша и Тимошенко. Как следствие, при этом неадекватным образом моделируются поля напряжений и деформаций в локальных зонах вблизи мест опирания конструкции.

Следовательно, на современном этапе развития техники актуальными являются вопросы, связанные с разработкой таких математических моделей механики деформирования конструкций, протяженных в одном направлении, которые по точности и сложности постановки и решения задач являются промежуточными между наиболее точными решениями трехмерных задач и решениями на основе простейших балочных схем. Наиболее приемлемым для этого можно считать модели, с одной стороны, сводящие задачу к одномерным уравнениям (стержневой расчетной схеме), а с другой, позволяющие сколь угодно точно моделировать элементы конструкции, как путем разбиения на подэлементы, так и выбором степени аппроксимации параметров НДС подэлементов. Такого рода уточненные соотношения деформирования стержневых конструкций позволили бы в широких пределах варьировать параметрами аппроксимации искомых полей НДС, применяя многоразмерные соотношения только в зонах сложного поведения искомых функций, не описываемых техническими балочными теориями.

Во-вторых, применение уточненных соотношений стержневой теории деформирования для задач большой размерности следует дополнить разработкой многоуровневой схемы организации вычислений для этой модели, необходимой при выполнении различного рода мало отличающихся друг от друга расчетов (при проектировании конструкции, достижения сходимости решения при уточнении отдельных зон и т.п.)

При реализации данного подхода необходимо дополнительно решить неизбежно возникающую задачу сопряжения между собой элементов конструкции с несогласованными параметрами аппроксимации.

Тонкостенные стержневые составные объекты сложной геометрии, образованные из элементов с явным преобладанием одного из измерений над остальными, характеризуются наличием локальных зон с быстроизменяющимися значениями искомых функций (например, в заделке), конструктивной и физической анизотропией, существенным различием значений и свойств геометрических параметров по выделенным направлениям. В совокупности указанные явления вынуждают производить значительное сгущение сеток, направленное на сохранение приемлемой точности используемых приближенных методов, и, особенно, тех из них, которые предназначены для трехмерного напряженного состояния, причем в отношении последних следует заметить, что при достаточно больших градиентах и слабой согласованности параметров задачи имеется реальная вероятность оказаться вне границ применимости самих методов приближенного решения уравнений упругости. Все это накладывает определенные требования на метод дискретизации краевых задач механики деформирования составных стержневых систем.

В связи с этим в работе используется высокоэффективный численный -метод конечных сумм (МКС) М.Б.Вахитова [13], заключающийся в последовательном интегрировании дифференциальных уравнений одномерной краевой задачи до их преобразования в интегральные уравнения Вольтера 2-го рода относительно старших производных от кинематических функций в усилиях-моментах. Каркас приближенного решения последних отыскивается приведенным к матричной форме методом механических квадратур.

Выделим основные свойства и особенности МКС. Лежащий в основе метода принцип выбора искомыми неизвестными старших производных кинематических функций в усилиях-моментах вместо непосредственно самих функций перемещений позволяет отказаться от операций приближенного дифференцирования полученного результата. В свою очередь, приближенное решение интегральных уравнений имеет, несомненно, более устойчивый характер и увеличенную скорость сходимости (пропорциональную точности квадратурных формул) по сравнению с приближенными решениями эквивалентных дифференциальных уравнений.

Целью настоящей работы является создание эффективного метода исследования тонкостенных конструкций со стержневой расчетной схемой, допускающего широкий выбор способов представления конструкций и параметров математических моделей, используемых для описания механики их деформирования при произвольном характере закрепления и сопряжения подконструкций.

В соответствии с этим формулируются следующие основные задачи данной работы:

- построение основных одномерных уравнений для описания процесса статического линейно упругого деформирования стержневых элементов, основанных на модели С.П. Тимошенко при ослабленных ограничениях на геометрию стержневого тела, а также разработка математической модели составной сложной стержневой конструкции для трехуровневой схемы организации вычислений;

- создание уточненного варианта теории статического дефо'рмирования стержневого элемента, математическая модель которой основана на разложении вектора перемещения в полный двумерный полином произвольной степени относительно координат поперечного сечения стержневого тела при ослабленных ограничениях на его геометрию;

- построение вариантов теории тонкостенных стержневых элементов, построенных на базе разработанной модели деформирования стержней типа С.П.Тимошенко и модели деформирования с разложением вектора перемещения в полный двумерный полином. Классификация компонент перемещений по критерию образования главных членов в выражении для энергии деформации;

- разработка составной одномерной математической модели для описания процесса статического деформирования тонкостенных стержневых тел произвольного поперечного сечения, составленных из панелей с различающимися моделями деформирования, а также разработка метода получения канонической формы связи компонент перемещений;

- построение основных соотношений и разработка алгоритма определения коэффициентов уравнений сопряжения подконструкций, деформируемых по составной стержневой модели, не накладывающих дополнительных условий согласования на параметры аппроксимации перемещений сопрягаемых тел;

- получение результатов исследования НДС конструкций с учетом и без учета тонкостенности, с различающимися параметрами аппроксимации применяемых для подконструкций моделей деформирования, с различающимися способами расчленения подконструкций на панели.

Диссертация является обобщением работ автора [31, 50, 67, 69, 82, 83,88] и состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сунгатуллин, Марат Равилевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены соотношения уточненной теории статического деформирования стержневых элементов, основанных на кинематической модели типа С.П. Тимошенко. При этом, в отличие от обычно применяемого варианта теории, использованы ослабленные ограничения на геометрию стержневого тела. Разработана математическая модель сложной стержневой конструкции, составленной из таких элементов, в рамках трехуровневой схемы организации вычислений: стержневая подструктура- фрагмент конструкции - конструкция.

2. Результаты расчетов по определению НДС стального пролетного строения мостового перехода через реку Кама у села Сорочьи Горы при его надвижке с берега на опоры, проведенных с учетом односторонности связей на опорах, с применением для описания подструктур модели деформирования С.П.Тимошенко.

3. В рамках ослабленных ограничений на геометрию стержневого тела построены соотношения уточненной теории статического деформирования стержневого элемента, кинематическая модель которого построена разложением вектора перемещения в полный двумерный полином произвольной степени относительно координат поперечного сечения стержневого тела.

4. Для каждой из построенных соотношений статического деформирования стержневого элемента разработан упрощенный вариант теории с явным учетом тонкостенности сечений в одном из поперечных направлений и установлена возможность классификации компонент перемещений по трем группам: одна из них исключается из рассмотрения, а последняя должна наряду с внешней нагрузкой считаться заданной.

5. Построена новая, названная составной, модель линейной механики статического деформирования стержневых тел, согласно которой тело расчленяется на стержневые панели, сопрягаемые по боковым поверхностям, а для каждой панели, исходя из предполагаемого характера ее деформирования, выбирается одна из четырех разработанных моделей деформирования. Воздействием

200 сопряженного оператора соотношения связи компонент перемещений панелей сводятся к канонической форме связи зависимых и независимых неизвестных, что приводит к соотношениям, содержащим одни только независимые функции. Способ построения основных соотношений допускает наложение дополнительных ограничений на характер деформирования всего стержневого тела, как то: зануление выбранных компонент поперечных деформаций, сохранение углов взаимного расположения панелей и т.п.

6. Для конструкций, составленных из элементов, деформируемых по составной стержневой модели, разработаны соотношения и алгоритм определения коэффициентов уравнений сопряжения подконструкций между собой. Построенные соотношения не накладывают никаких условий согласования на параметры аппроксимации перемещений сопрягаемых подконструкций.

7. Разработанные методы вычислений и алгоритмы реализованы в программном комплексе для персональных компьютеров. С его помощью проведены исследования НДС тонкостенных и составных конструкций. Изучена сходимость предлагаемого метода исследования тонкостенных конструкций. Достоверность решения обоснована его хорошим согласованием с априорными физическими соображениями в отношении картины деформирования. Выработаны рекомендации по выбору параметров аппроксимации и моделей деформирования при проведении расчетов машиностроительных конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сунгатуллин, Марат Равилевич, 2002 год

1. Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. /Под ред. А.Ф.Смирнова. - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

2. АльтенбахИ., Матцдорф Ф. Расчет анизотропных тонкостенных стержней, состоящих из плоских полос симметричного сечения. //Мех. композ. матер. Рига. -1989. -№4. -С. 641-649.

3. Андреева Л.Е., Даньшева Л.И. Расчет стержня в больших перемещениях с учетом сдвиги. //Изв. Вузов. Машиностр. 1989. -№10. -С. 3-6.

4. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.-688 с.

5. Бейлин Е.А., Джонсон Г.Р. Стесненное кручение тонкостенных стержней многозамкнутого сечения при наличии податливых на сдвиг продольных швов. II Исслед. по мех. строит, конструкций и систем. -Л., 1988. -С. 1017.

6. Бердичевский В.Л. Об энергии упругого стержня. //Прикл. математика и механика. 1981. Т. 45, вып. 4. - С. 704-718.

7. Бердичевский В. Л., Старосельский Л. А. К теории естественно закрученных криволинейных стержней. Изв. АН СССР. МТТ, 1979, №6. -С. 103-113.

8. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. - 488с.

9. БулыгинА.В., Носков А.Н. Асимптотический анализ деформаций составных трубчатых колен. //Прикладные проблемы механики оболочек. Методы решения задач теории упругости и пластичности. -Межвуз. сб., Казань, Каз.авиац.ин-т, 1989. -С. 24-29.

10. Васильева А.В. Свободное кручение тонкостенных композитных стержней с круговым контуром сечения. // Мех. композ. матер. Рига, -1988. -С. 59-67.

11. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. вузов. Авиационная техника, 1966, № 3. - С.50-61.14