Устойчивость управляемых систем с распределенными параметрами с приложением к ветроэнергоустановкам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Марданшин, Рифкат Галимович

• Марданшин, Рифкат Галимович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марданшин, Рифкат Галимович

Введение.

Глава I. Устойчивость в целом систем с распределенными параметрами.

1.1. Определения и теорема об устойчивости.

1.2. Условия устойчивости линейных систем.

1.3. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях.

1.4. Абсолютная устойчивость.

1.5. Абсолютная устойчивость процесса нагрева материала в проходной нагревательной печи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость управляемых систем с распределенными параметрами с приложением к ветроэнергоустановкам»

Актуальность темы. Возникновение понятия устойчивости в целом, как обобщения устойчивости по Ляпунову, связано техническими соображениями. Так как во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и эта устойчивость имела место при любых, даже сколь угодно больших начальных возмущениях. В ряде задач наряду с произвольными начальными требуется * также учитывать конечные постоянно действующие возмущения (ПДВ). Это привело к появлению понятия асимптотической устойчивости в целом при ПДВ. Подобная устойчивость в работе [54] называется сильной практической устойчивостью, а в работе [50] - асимптотически внешней устойчивостью. Следует заметить, что в этом случае возмущенные траектории будут асимптотически приближаться не к самой невозмущенной траектории, а только к некоторой ее окрестности.

Частным случаем проблемы устойчивости в целом является задача об абсолютной устойчивости [2], т.е. задача о сохранении устойчивости в целом при любых значениях нелинейности специального вида из заданной области. В технических задачах к этому понятию приводит то обстоятельство, что вид некоторой характеристики исследуемой системы не может быть точно определен и может меняться во время эксплуатации, а устойчивость должна сохраняться.

Одним из основных методов исследования задач устойчивости в целом и абсолютной устойчивости различных динамических систем является метод функций Ляпунова. Исследованиями этих задач на базе функций Ляпунова занимались М.А. Айзерман [2], Е.А. Барабашин [21,

22], Ю.М. Зайцев [44 - 46], Н.Ф. Кириченко [50], Н.Н. Красовский [22, 53], Ж. Ла-Салль, С. Лефшец [54], A.M. Летов [55], А.И. Лурье [57], И.Г. Малкин [61], В.М. Матросов [64], В.В. Румянцев [78], Т.К. Сиразетдинов [82] и многие другие исследователи. К настоящему времени задачи устойчивости в цело^м и абсолютной устойчивости наиболее полно исследованы для конечномерных систем. Однако, в современной технике часто встречаются системы с распределенными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. К ним относятся упругие и аэроупругие системы, процессы тепло- и массопереноса, процессы, протекающие в химических и ядерных реакторах, многие производственные процессы, такие как сушка, нагрев и охлаждение тел и многие другие. К системам с распределенными параметрами относятся также гибридные системы с конечномерными и распределенными звеньями, описываемые уравнениями в обыкновенных и частных производных. К ним относятся, например, объекты с упругими элементами, системы с пневматическими и гидравлическими приводами и т.д. Задачи устойчивости в целом и абсолютной устойчивости для систем с распределенными параметрами остаются недостаточно полно исследованными. В первую очередь здесь возникает проблема построения соответствующих функций (функционалов) Ляпунова. В отличие от конечномерных систем, отсутствуют конструктивные, доведенные до конкретных процедур, методы исследования устойчивости в целом и абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами. Насколько известно автору, для таких систем задача асимптотической устойчивости в целом при ПДВ вообще не рассматривалась. Все это затрудняет решение многих прикладных задач и определяет актуальность темы диссертации.

Одной из важных гибридных систем является ветроэнергоустановка (ВЭУ) с вертикальной осью вращения и системой передачи механической энергии. Такие ВЭУ по сравнению с пропеллерными с горизонтальной осью вращения имеют ряд существенных преимуществ и в последнее время привлекают все больше внимания специалистов по ветроэнергетике. Однако, задачи математического моделирования и исследования устойчивости ВЭУ с вертикальной осью вращения (под ВЭУ здесь понимается система, состоящая из самого ветродвигателя, привода и нагрузки) остаются почти нерешенными. Этим актуальным задачам посвящена прикладная часть диссертации.

Объектами исследования диссертации является класс объектов с распределенными параметрами, описываемых системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по времени и пространственным координатам, включающей эволюционные уравнения и уравнения связей, а также гибридные объекты, описываемые системой уравнений в частных и обыкновенных производных первого порядка.

Предметом исследования являются разработка методов исследования асимптотической устойчивости в целом и абсолютной устойчивости.

Отметим, что используемая в работе система уравнений в частных производных первого порядка является универсальной формой записи уравнений в частных производных или их систем любого порядка [4,7]. При этом уравнения связей, не содержащие производных по времени появляются при понижении порядка частных производных, а также за счет тех уравнений без производных по времени, которые могут входить в исходную систему, например, уравнение неразрывности несжимаемой жидкости.

Цель работы:

- разработка эффективных для приложений методов исследования асимптотической устойчивости в целом и абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами;

- математическое моделирование и исследование устойчивости ВЭУ с вертикальной осью вращения.

Исходя из цели исследования, определены основные задачи:

1. Разработка методов исследования асимптотической устойчивости в целом и асимптотической устойчивости в целом при ПДВ систем с распределенными параметрами.

2. Разработка методов исследования абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами.

3. Обобщение этих методов на гибридные системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.

4. Синтез управлений, в том числе оптимальных, по принципу обратной связи для распределенных и гибридных систем, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом или асимптотическую устойчивость в целом при ПДВ замкнутой системы.

5. Математическое моделирование ВЭУ с вертикальной осью вращения и системой передачи механической энергии к нагрузке.

6. Исследование асимптотической устойчивости в целом номинального режима работы ВЭУ при расчетной скорости ветра и при изменениях скорости ветра от расчетного значения в заданных пределах.

Методы исследований. Используются методы функций Ляпунова, теории дифференциальных уравнений в частных производных, функционального анализа, вариационного исчисления, динамического программирования, теорий матриц, управления, устойчивости и теоретической механики.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата, согласованностью новых результатов с известными теоретическими положениями и результатами экспериментальных исследований.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработаны методы исследования асимптотической устойчивости в целом, в том числе при ПДВ, и абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами и гибридных систем. В отличие от других работ по устойчивости в целом и абсолютной устойчивости распределенных систем исходные уравнения в частных производных высокого порядка представлены в виде универсальной системы уравнений в частных производных первого порядка по всем переменным, состоящей из эволюционных уравнений и уравнений связей, не содержащих производных по времени.

2. Разработаны методы синтеза управлений, в том числе оптимальных, по принципу обратной связи в линейных нестационарных одномерных распределенных и гибридных системах, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом и асимптотическую устойчивость в целом при ПДВ замкнутой системы. Оптимальные управления построены из условия минимума интегрального по времени критерия качества и нормы самого управления в каждый момент времени

3. Разработана математическая модель ВЭУ с вертикальной осью вращения и системой подачи механической энергии к нагрузке в виде системы уравнений в частных и обыкновенных производных.

4. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом номинального режима работы ВЭУ при расчетной скорости ветра и при отклонениях скорости ветра от расчетного значения в заданных пределах.

Практическая ценность работы. Разработанные методы исследования устойчивости позволяют конструктивно строить функции Ляпунова, проверять условия устойчивости и значительно расширяют возможности практического использования метода функций Ляпунова для исследования устойчивости в целом и абсолютной устойчивости инженерных объектов с распределенными параметрами.

Синтезированные управления достаточно просто реализуются в виде сосредоточенных управлений, приложенных к границам распределенных звеньев и (или) к конечномерным звеньям, требующих измерения состояния системы только в отдельных точках, - что имеет большое прикладное значение.

С использованием разработанных методов получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом ВЭУ с вертикальной осью вращения и абсолютной устойчивости процесса нагрева тонкого материала в проходной печи.

Так как методы исследования устойчивости разработаны для достаточно широкого класса распределенных и гибридных систем, то они могут быть использованы на различных предприятиях машиностроения, автомобилестроения, авиастроения и др., а результаты по математическому моделированию и исследования устойчивости ВЭУ с вертикальной осью вращения - при проектировании различных ВЭУ такого типа.

Реализация результатов. Результаты работы использованы в ОАО «КАМАЗ», в ОАО «ЗАИНСКНЕФТЬ», в Камском государственном политехническом институте (КамГПИ) при проектировании и изготовлении опытных образцов ВЭУ с вертикальной осью вращения нового типа — с сопловой системой воздухозаборника и эжекторами на концах ротора, один из которых экспонировался на III Международной специализированной выставке «Энергетика - ресурсосбережение» в г. Казани 4-7 декабря 2001 г. и был награжден дипломом выставки, а также в учебном процессе в КамГПИ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции «Автоматизация и информационные технологии» (Наб. Челны, 2002), на научно-технической конференции «Наука и практика. Диалоги нового века» (Наб. Челны, 2003), на Итоговой научно-практической конференции Института экономики, управления и права (Наб. Челны, 2002), на XXXII Уральском научном семинаре «Механика и процессы управления» (Уральское отд. РАН, Екатеринбург - Миасс, 2003), а также на научных семинарах кафедры теоретической механики и сопротивления материалов КамГПИ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе 12 статьи, 3 тезиса докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 100 наименований и 10 рисунков. Полный объем диссертации составляет 130 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Марданшин, Рифкат Галимович

Основные результаты работы

1. При исследовании асимптотической устойчивости в целом и абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами методом функций Ляпунова исходные уравнения в частных производных высокого порядка сначала преобразовываются в систему уравнений в частных производных первого порядка по всем переменным, состоящую из эволюционных уравнений и уравнений связей, не содержащих производных по времени. Переход к уравнениям первого порядка позволяют конструктивно (по конкретным уравнениям) строить функции Ляпунова в виде однократных интегральных квадратичных форм; проверять условия устойчивости в целом и абсолютной устойчивости; разработать универсальную (единую) методику исследования устойчивости для систем с распределенными параметрами, описываемых уравнениями в частных производных любого порядка.

2. Сформулированы и доказаны теоремы об асимптотической устойчивости в целом, асимптотической устойчивости в целом при ПДВ систем с распределенными параметрами. На их основе получены конкретные условия устойчивости линейных нестационарных распределенных систем, описываемых уравнениями в частных производных первого порядка, как при отсутствии ПДВ, так и при их наличии.

3. Разработана методика исследования абсолютной устойчивости нелинейных стационарных систем с распределенными параметрами, описываемых уравнениями в частных производных первого порядка, с использованием функционалов Ляпунова двух видов - обычной интегральной формы и интегральной формы с добавлением интеграла от нелинейности. В качестве примера решена задача об абсолютной устойчивости процесса нагрева тонкого материала в проходной печи.

4. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом, асимптотической устойчивости в целом при ПДВ, а также абсолютной устойчивости гибридных систем, описываемых уравнениями в обыкновенных и частных производных первого порядка.

5. Построены законы управлений, в том числе оптимальных, по принципу обратной связи для линейных нестационарных одномерных распределенных и гибридных систем, обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом замкнутой системы. Оптимальные управления строятся из условия минимума интегрального по времени критерия качества и наименьшего значения нормы самого управления в каждый момент времени. Указаны также условия, при выполнении которых эти управления обеспечивают асимптотическую устойчивость . в целом замкнутой системы при ПДВ. Синтезированные управления, приложенные к границам распределенных звеньев и (или) к конечномерным звеньям, требуют измерения состояния системы только в отдельных точках и достаточно просто и точно могут быть реализованы на практике.

6. Разработана математическая модель ВЭУ с вертикальной осью вращения и системой подачи механической энергии к нагрузке в виде системы уравнений в частных и обыкновенных производных первого порядка. В отличие от известных результатов, учитываются распределенный характер вала, передающего механическую энергию от ветродвигателя к нагрузке, а также конкретные зависимости моментных характеристик ветродвигателя и нагрузки от соответствующих угловых скоростей и скорости ветра.

7. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом номинального режима работы ВЭУ при расчетной скорости ветра и при отклонениях скорости ветра от расчетного значения в заданных пределах. Построены области устойчивости в пространстве некоторых параметров и сделан анализ их влияния на устойчивость установки.

Заключение

В работе [9] исследована устойчивость ВЭУ с вертикальной осью вращения как двухмассовой системы с упругой муфтой между двумя массами. Первая масса - это ветродвигатель, а вторая - нагрузка с редуктором. При этом конкретные зависимости моментных характеристик ветродвигателя и нагрузки не учитывались. В отличие от [9] здесь учитываются распределенный характер передаточного вала 3 (Рис. 4.5), а также зависимости моментных характеристик ветродвигателя и нагрузки от соответствующих угловых скоростей и скорости ветра. Учет распределенного характера вала 3 особенно необходим, когда обслуживаемое оборудование (генераторы, насосы и т.д.) расположено в основании ВЭУ и вал 3 имеет большую длину.

Используя обобщенный принцип Гамильтона - Остроградского, получены уравнения динамики системы, состоящей из ветродвигателя, упругого передаточного вала, редуктора и нагрузки в виде системы уравнений в обыкновенных и частных производных первого порядка. Все уравнения записаны в относительных отклонениях от номинального режима работы ВЭУ в безразмерной форме. С использованием результатов второй главы получены условия асимптотической устойчивости в целом номинального режима работы ВЭУ при расчетной скорости ветра и при отклонениях скорости ветра от расчетного значения в заданных пределах. При этом отклонения скорости ветра от расчетного значения рассматриваются как ПДВ. Построены области устойчивости в пространстве некоторых параметров и сделан анализ их влияния на устойчивость ВЭУ.

Следует отметить также, что в [9] устойчивость ВЭУ при ПДВ рассматривалась как устойчивость в большом, а здесь — как асимптотическая устойчивость в целом.

Результаты, полученные в диссертации, использовались и используются при проектировании и изготовлении опытных образцов ВЭУ с вертикальной осью вращения нового типа, разработанной в КамГПИ с участием автора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марданшин, Рифкат Галимович, 2005 год

1. Абдрахманов Р.С., Переведенцев Ю.П. Возобновляемые источники энергии. Казань.: КГУ. 1992. - С.5-101.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. Изд-во АН СССР, 1963. 138с.

3. Андрианов В.Н., Быстрицкий Д.Н. и др. Ветроэлектрические станции. -М-Л.: 1960.-320 с.

4. Байрамов Ф.Д. Устойчивость и оптимальная стабилизация систем с распределенными параметрами. М.: Машиностроение, 1995. — 156 с.

5. Байрамов Ф.Д., Галимов Н.С. Ветроэнергетическая установка роторного типа // Материалы 1 Международной научно-практической конференции "Эффективные энергетические системы и новые технологии". Казань.: 2001. - С.527-528.

6. Байрамов Ф.Д., Сиразетдинов Т.К. Условие знакоопределенности интегральных квадратичных форм и устойчивость систем с распределенными параметрами // Прикл.математика и механика. 1989. Т.53 №4, 2002. С.567-575.

7. Байрамов Ф.Д., Галимов Н.С., Марданшин Р.Г. Об устойчивости и оптимальном управлении в системах с распределеннымипараметрами. // Автоматизация и информационные технологии: Тезисы докладов. Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2002. — С.58-59.

8. Байрамов Ф.Д., Галимов Н.С., Марданшин Р.Г. Уравнения динамики и устойчивость номинального режима работы ветроэнергоустановки (ВЭУ) // Онлайновый журнал. Камский государственный политехнический институт. Набережные Челны.: 2002. №9.

9. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г. Асимптотическая устойчивость в целом систем с распределенными параметрами // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №1, 2002. С.25-29

10. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г. Об абсолютной устойчивости регулируемых систем с распределенными параметрами // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №1, 2002. -С.21-25

11. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г. Управление гибридными системами с обеспечением их асимптотической устойчивости в целом // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №5, 2004. -С.39-44

12. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г., Мардамшин И.Г., Хайруллин С.Р. Устойчивость гибридных систем в большом и в целом // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №4, 2004. -С.5-9

13. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г., Хайруллин С.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых гибридных систем // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №3, 2003. С.28-31

14. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г., Хайруллин С.Р. К задаче синтеза оптимальных управлений в распределенных системах // Проектирование и исследование технических систем. Межвузовский научный сборник. Набережные Челны: КамПИ, Выпуск №2, 2002. -С.67-71

15. Байрамов Ф.Д., Марданшин Р.Г., Хайруллин С.Р. Устойчивость в большом и в целом и стабилизация гибридных систем // XXXII

16. Уральский научный семинар по механике и процессам управления, статья в сборнике научных трудов «Механика и процессы управления», Екатеринбург, Уральское отделение РАН, 2003 г.

17. Баклушин П.Г., Вашкевич К.П., Самсонов В.В. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик ортогональных крыльчатых ветроколес // Сборник научных трудов Гидропроекта. Выпуск №129: Ветроэнергетические станции. — М.: 1988. С.98-105.

18. Барбашин Е.А. Функция Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240 с.

19. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом //Докл. АН СССР. 1952. - Т. 86, № 3. - С.453-456.

20. Башта Т.М., Руднев С.С. и др. Гидравлика, гидромашины и гидротурбины. М.: Машиностроение, 1982. - 424 с.

21. Безруких П.П. Ветроэнергетика Европы аргумент для России // Деловой мир. - М.: 1996. 21 мая. С.5.

22. Безруких П.П., Безруких П.П. Состояние и тенденции развития ветроэнергетики мира // Электрические станции. 1998. №10. С.58-61.

23. Брусин Р.А. Абсолютная устойчивость нелинейных динамических систем, описываемых уравнениями в частных производных // Изв. вузов. Радиофизика.- 1960. Т. 12, № 3. - С.321-333.

24. Брусин Р.А. Об абсолютной устойчивости одного класса систем, регулирования с распределенным звеном. // Изв. вузов. Радиофизика — 1966-Т. 9,№4.-С.810-816.

25. Бутковский А.Г., Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

26. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики, часть И, — М.: Наука, 1972

27. Васильевская А.Г. Запрягая ветер // Инженер. 2002. №1. С. 11.

28. Ветроэнергетика / Под ред. Де Рензо; перевод с английского В.В. Зубарева и М.О. Франкфурта. М.: Энергоатомиздат. 1982. - 271 с.

29. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001. 320 с.

30. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.

31. Гелиг А.Х. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1965. - Т. 26, № 3. - С.401-409.

32. Гелиг А.Х. О диссипативности нелинейных регулируемых систем с распределенными параметрами при постоянно действующих возмущениях//Автоматика и телемеханика. — 1967. -№ 3. — С. 16-22.

33. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных регулируемых систем с распределенными параметрами в критических случаях // Автоматика и телемеханика. 1966. -№ 4. - С.5-14.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. -416 с.

35. Данилевич Я.Б., Коваленко А.Н., Шилин ВЛ. Автономные системы электро- и теплоснабжения с буферным накопителем энергии // Известия Академии наук. №1. 2002. С.69-78.

36. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами: М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.

37. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967.-472 с.

38. Денисенко О.Г. и др. Преобразование и использование ветровой энергии. — Киев.: Техника, 1992. С.5-51.

39. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. - Т. 29, № 6. - С. 1205-1261.

40. Зайцев Ю.М. О достаточных условиях устойчивости стационарного состояния реагирующих систем //Волжский математический сборник 1973.-Вып. 16. — С. 120-126. — (Казань/Пед. ин-т).

41. Зайцев Ю.М. Применение прямого метода Ляпунова для исследования устойчивости стационарного режима работы химического реактора//Техническая кибернетика. 1970. - Вып. 3. — С.81-84.

42. Зайцев Ю.М. Распространение теорем об асимптотической устойчивости в большом и целом на системы с распределенными параметрами // Тр. Второго семинара-симпозиума по применениюметода функций Ляпунова в энергетике Новосибирск: Наука, 1970. — С.25-34.

43. Зубов В.И. Методы А. М. Ляпунова и их применение Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.-241 с.

44. Израэлит Г.Б. Энергетика и ее будущее. М.: Энергия, 1969. - С.58-61.

45. Карасев Б.В. Насосные и воздуходувные станции. Минск: Вышэйшая школа 1990. - 326 с.

46. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Киевский университет, 1972. - 206 с.

47. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. — 537 с.

48. Красовский А.А. Модульные ветроэнергетические установки с управляемым колебательным рабочим движением путь решения энергетических проблем // Теория и системы управления. №6. 2001. — С.145-151.

49. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

50. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследования устойчивости прямым методом Ляпунова М.: Мир, 1964. 168 с.

51. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. - 483 с.

52. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972. 412 с.

53. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат. 1951. - 216с.

54. Лурье А.И., Плотников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикл. математика и механика. 1944. - Т.8, вып.З.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1960.-471 с.

56. Лятхер В.М. Перспективы и направления работ по созданию мощных ветровых электростанций // Сборник научных трудов Гидропроекта: Вып. № 129: Ветроэнергетические станции. М.: 1988. - С.5-22.

57. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -530.С.

58. Марданшин Р.Г., Хайруллин С.Р. Устойчивость в большом и целом и синтез оптимальных управлений в гибридных системах // Наука и практика. Диалоги нового века: Материалы конференции. Часть 2 — Набережные Челны,: Изд-во КамПИ, 2003. С.68-69

59. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1973. № 1. — С.5-22.

60. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392 с.

61. Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // Прикл. математика и механика. — 1959. — Т.23, вып. 3. -С.483-493.

62. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикл. математика и механика. 1960. Т.24. № 6. С.988-1001.

63. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, - 440с.

64. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами // Науч. тр. ин-та механики МГУ. — 1973. № 22. — С. 109161.

65. Неймарк Ю.И., Городецкий Ю.И., Леонов Н.Н. Исследования устойчивости некоторых линейных распределенных систем // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. - Т. 2, № 6. - С.967-988.

66. Патент на изобретение № 2168060. Ветроустановка. Байрамов Ф.Д., Галимов Н.С., Ибрагимов Р.Ф. 2001.

67. Пневматические устройства и системы в машиностроении: Справочник / Под общ. ред. Герц Е.В. М.: Машиностроение, 1981. -408 с.

68. Попов В.М., Гиперустойчивость автоматических систем. «Наука», 1970.

69. Прохорова А. Ветер перемен: Ветроэнергетическое оборудование // Оборудование: рынок, предложение, цены (приложение к журналу Эксперт). 2001. №1. С.54-56.

70. Распространение второго метода Ляпунова на уравнения в частных производных: Библиографический указатель 1957-1967 гг. / Сиб. НИИ энергетики. Новосибирск, 1969. - 16 с.

71. Рахмилевич 3.3. Компрессорные установки. М.: Химия, 1989. — 272 с.

72. Ризаев И.С. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с распределенными параметрами // Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами: Тез. докл III Всесоюзн. симпозиума. Уфа, 1976. — 4.1. С.45

73. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253с .

74. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.480 с.

75. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость множества процессов // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука, 1979. — С.25-38.

76. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость процессов с распределенными параметрами при постоянно действующих возмущениях // Тр. Казанск. авиационного ин-та. 1970.- Вып. 125. — С.20-27.

77. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1987. 231 с.

78. Сиразетдинов Т.К. К теории устойчивости процессов с распределенными параметрами // Прикл. математика и механика. — 1967.-Т.31 вып.1 -С. 37-48.

79. Сиразетдинов Т.К., Аминов А.Б. К задаче построения функций Ляпунова при исследовании устойчивости в целом решения систем с полиномиальной правой частью // Метод функций Ляпунова и его приложения, Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1984. - С.72-87.

80. Сиразетдинов Т.К., Хузятов Ш.Ш. Необходимые и достаточные условия определенной положительности некоторых функционалов // Автоматика. 1993. № 4.-С.5-14.

81. Смирнова В.Б. Об асимптотическом поведении одного класса систем регулирования с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1973 - № 10. - С.5-12.

82. Смирнова В.Б. Устойчивость одной системы регулирования с распределенными параметрами и разрывными нелинейностями // Вестник ЛГУ 1972. № 13, вып. 3.-С.57-65.

83. Смульский И.И. Шнековые ветродвигатели и их особенности // Инженерно-физический журнал. Том 74. №5. — С. 187-195.

84. Твайдел Дж., Уэйр А. Возобновляемые источники энергии. — М.: Энергоатомиздат. 1990.

85. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 248 с.

86. Хайруллин Р.Г., Абдрахманов Р.С. Перспективы развития ветроэнергетики в климатических условиях Республики Татарстан. -Казань: 1997. С.3-32.

87. Чайка Л.В. Исследование малой гидро- и ветроэнергии в системе энергоснабжения Коми АССР. Сыктывкар: 1991. - С. 11-17.

88. Черкасский В.М. Насосы, вентиляторы, компрессоры. — М.: Энергоатомиздат, 1984. 415 с.

89. Шефтер Я.И. Ветроэнергетические агрегаты. М.: Машиностроение, 1972.-288 с.

90. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Часть 2. М.: Высшая школа, 1977.-392с.

91. Blodgett R.E., King R.E. Absolute stability of a class of nonlinear systems containing distributed elements // J. of Franklin institute. 1967. - V. 284. -P. 153-160.

92. Jagadevlah T.S., Smith R.T. Generation Schemes for Wind Power Plants, paper presented in the 10th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference (IECEC), Newark.: Delaware, August, 1975.

93. Wang P.K.C. Theory of stability and control for distributed parameter systems // Int. J. control. 1968. V. 7, N 2. P. 101-116. (Bibliography).

94. Wang P.K.C. On the stability of equilibrium of mixed distributed and lumped parameter control systems // Int. J. control. — 1966. V. 3, N 2. -p. 139-147.

95. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunovs second method -Tokyo, 1966. 223 p. — (Publications of the math. soc. of Japan., — N 9).