Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Островская, Ирина Владимировна

• Островская, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Островская, Ирина Владимировна

Оглавление

Введение

I Общая характеристика работы

II История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников

III Методы исследования и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации

[у Краткое содержание работы

Глава 1. Постановка задачи и формулировка результатов

Глава 2. Линейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области

2.1 Метод линеаризации

2.2 Разложение относительного гамильтониана в ряд Тейлора

2.2.1 Члены первой степени

2.2.2 Члены второй степени

Глава 3. Критический случай двукратного нулевого корня (жор-

данова клетка) при q = для п = 2, 4, 6

Глава 4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника

4.1 Нормализация квадратичной части гамильтониана. Построение приведенной системы

4.2 Устойчивость в нерезонансных случаях при д £ (<?05,9*5)\{<3'*}

4.2.1 Нормализация приведенного гамильтониана

4.2.2 Применение теоремы Брюно в случае д £ (доб, д*5)\{д*}

4.2.3 Коэффициенты формы третьей степени приведенного гамильтониана

4.2.4 Коэффициенты формы четвертой степени приведенного гамильтониана

4.3 Резонансные случаи устойчивости вихревого пятиугольника

4.3.1 Критический случай двукратного нулевого собственного значения: д = доб

4.3.2 Критический случай двукратной пары чисто мнимых собственных значений: резонанс 1 : 1, д =

4.3.3 Критический случай резонанса 1:2

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области»

Введение

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Том-сон) [116] на её основе строил свою вихревую теорию атома. В последнее время эта математическая модель оказалась востребованной в физике плазмы [81,83] и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости [124,125].

Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Грёбли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения (см. обзоры [5,16,18,47,61,70]). Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем [65]. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др. В результате количество работ по теории точечных вихрей поистине необозримо и постоянно растёт.

Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными.

Задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсонов-ского вихревого п-угольника), поставил Кельвин (У. Томсон). Имеются ее обобщения на случаи вихрей внутри или вне круговой области. Все эти

проблемы решены Т. X. Хавелоком [85] в линейной постановке. Оказалось, что соответствующие линеаризованные системы имеют экспоненциально растущие решения при п > 8 в задаче Кельвина, а в её обобщениях, когда п > 7. Экспоненциальная неустойчивость имеет место и при 2 < п < 6 (вихри внутри или вне круга), но при определенных значениях параметра задачи. В остальных случаях все собственные значения матрицы линеаризации лежат на мнимой оси, так что для решения задачи устойчивости требуется нелинейный анализ.

Проблема Кельвина [116] в случае плоскости изучалась Дж. Дж. Том-соном [112,115] , Т. X. Хавелоком [85], У. Мортоном [102], Л. Г. Хазиным [66,67], Г. Т. Мерцем [101], X. Е. Кэбралом, Д. С. Шмидтом [77] и др. Ее решение при завершено в точной нелинейной постановке в работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [21,35,93]. Результаты нелинейного анализа в случае вихрей внутри круга были анонсированы в заметке [24], подробно изложены для четного числа вихрей п = 2,4, 6 в работе [89], и отдельно для треугольника [26,90] и пятиугольника [28].

Критерий устойчивости стационарного вращения трех равноудаленных вихрей вне круговой области получен Л. Г. Куракиным [27] применением теории Колмогорова-Арнольда-Мозера [2,17,107].

Цель работы. Получить математически строгие результаты об устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области в точной нелинейной постановке.

Методы исследования. Прямой метод Ляпунова, теория нормальных форм гамильтоновых систем, теория Рауса об устойчивости равновесий гамиль-тоновых систем с циклической переменной. Теоремы А. Д. Брюно о формальной устойчивости равновесий гамильтоновых систем, результаты А. Г. Сокольского и А. П. Маркеева об устойчивости равновесий в критических случаях.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные положения выносимые на защиту — анализ устойчивости том-соновского вихревого п-угольника вне круга:

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1^7.

2. Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.

3. Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.

4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.

5. Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.

Таким образом, вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока [85] и результатами Л. Г. Куракина [27] об устойчивости вихревого треугольника в данной диссертации проведен нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области для всех возможных значений параметров задачи.

Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость диссертационной работы следует из отмеченной выше актуальности темы исследования.

Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций, как для случая вихрей вне круга, так и для других моделей точечных вихрей: внутри кольцевой области [82], на сфере [88], в стратифицированной жидкости [56] и др. Результаты диссертации также могут быть востребованы в физике плазмы и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на научном семинаре «Математические вопросы гидродинамики» кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009), международных конференциях «Современные проблемы Механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2011); «Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам», (Севастополь 2009), International Workshop on Partial Differential Equations and Application (Morelia, Mich. Mexico, 2010), International Conference «Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres» (Владивосток, 2011).

На разных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№№ 07-01-92213-НЦНИЛ_а, 08-01-00895-а, 09-01-92504-ИК_а, 11-05-01138-а), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/554, федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашение № 14.А18.21.0873) и Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (CRDF), грант RUM1-2943-RO-09.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 статей [29-34,52,53,91,92]. Основные результаты отражены в 3 публикациях

в журналах списка ВАК [30,31,92]. В совместных статьях с Л. Г. Куракиным постановка задач и окончательная редактура текста принадлежат Л. Г. Куракину, а автору диссертации, Островской И. В. — основные результаты и их доказательства.

11 История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников

Исследования, представленные в диссертационной работе, являются естественным продолжением цикла работ по исследованию устойчивости томсоновских вихревых многоугольников на плоскости [21,22,35,36,85,93], а также внутри [24,26,28,85,89,90] и вне [27,85] круговой области.

Вихри на плоскости. Как уже отмечалось выше, задачу устойчивости перманентного вращения системы п точечных вихрей (см. рисунок 1), расположенных в вершинах правильного п-угольника на плоскости поставил У. Кельвин (1878г.). Он отметил связь этой проблемы с экспериментами А. М. Майера [97-100], изучавшим движение системы п плавающих намагниченных иголок под действием внешнего магнитного поля.

---

«ч

у» "Ч

У N

/ Ч

✓ N

*

/

/ ' \ / ' *

' я

і ^

\

\

3'

СО

\

I I

I

/

/

/

•

Рисунок 1. Стационарное вращение томсоновского вихревого п-угольника радиуса на плоскости с угловой скоростью ш — ^ д2 [п — 1), где ж — интенсивность вихря.

Известны различные модификации экспериментов А. М. Майера, поставленные Р. Вудом [123], Дж. Дж. Томсононом [115], Л. Дерром [80] в конце XIX начале XX века. Во второй половине XX века Е. Ярмчук и др. [124,125] исследовали экспериментально в свехтекучем гелии устойчивость п прямолинейных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника, а К. Файн, А. Касс [83] и Д. Даркин, Дж. Фейдженс [81] ставили эксперименты по устойчивости томсонских вихревых конфигураций, исследуя с электронные колонны в ловушке Малмберга-Пенинга.

Кельвин особо подчеркивал важность определения наибольшего значения п, для которого данный стационарный режим устойчив.

В дальнейшем задача была исследована многими авторами (см. введение работы [36] (и ее англоязычной версии [93]) и, особенно, приложение В этой же работы, в котором обсуждаются многочисленные недоразумения, сопровождавшие решение этой проблемы). После результатов Дж. Дж. Томсо-на и Т. X. Хавелока стало ясно, что при п > 8 режим экспоненциально неустойчив, а при п < 6 имеет место устойчивость по линейному приближению. При этом случай п = 7 оставался сомнительным, поскольку в линейной задаче нулевое собственное число имеет повышенную кратность, равную шести (нормой является кратность два).

В работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [35,93] устанавливается, что правильный вихревой семиугольник устойчив. Доказательство потребовало специального исследования роли нелинейности; при п < 6, как показано в работах Л. Г. Куракина [21,22], достаточно линейного приближения.

Вихри внутри круговой области. Рассмотрим задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей интенсивности х, расположенных равномерно на окружности Яо внутри круговой области радиуса Я (см. рисунок 2).

После работы Т. X. Хавелока [85], открытые вопросы в этой проблеме остались лишь в случаях п = 2,. .., б, когда собственные значения матри-

Рисунок 2. Стационарное вращение томсоновского вихревого и-угольника радиуса i?o внутри

- « г? * ( Ъг \ Rq

круговой области радиуса К с угловой скоростью ш =-^--п — 1 , р = —^.

47ГЛц у 1 — рп ) R1

цы линеаризации лежат на мнимой оси. Результаты нелинейного анализа в этих случаях были анонсированы в заметке [24] и подробно изложены в работах [26,28,89,90]. Четный случай п = 2, 4, 6 удалось исследовать в рамках единого подхода [89]. Каждый из случаев п = 3, 5 распался на серию задач, потребовавших индивидуального подхода, в частности, применения KAM теории и нелинейного анализа всех резонансов до четвертого порядка включительно, встречающихся в задаче. По поводу результатов общей теории устойчивости положений равновесий гамильтоновых систем, упоминаемых здесь и ниже, сошлемся на книгу [46] и обзор [19]. Обзор результатов, непосредственно используемых в работе, представлен далее во Введении. Устойчивость вихревого треугольника детально исследована в работе [26] и ее англоязычной версии [90], а пятиугольника — в работе [28]. Полученные в итоге критерии устойчивости стационарного вращения

томсоновских конфигураций п вихрей (п = 2,..., 6) внутри круга изоб-

R2

ражены схематично на рисунках 3-5. На них параметр Р = Величины Рот Р*п заданы в таблице 1, а критические значения р, отвечающие резонансам в таблице 2.

Дадим необходимые пояснения:

1. Устойчивость по Раусу, когда 0 < р < рту (п = 2,4, 6) и 0 < р < р0п, (п — 3, 5) следует из положительной определенности гамильтониана линеаризованной приведенной системы [89]. Численно это установил Кэмп-бел [78], который использовал метод энергия — момент. Неустойчивость, когда р*п<р<1,п = 2,...,6 доказана Т. X. Хавелоком [85].

2. При четном п = 2, 4, 6, когда р = рт (см. рисунок 3), в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (недиагонализируемый случай). Доказательство поло-

++++++++

п=2, 4, 6

О

*п

Рисунок 3. Критерий устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вихрей внутри круга [89]: р <Е — устойчивость по Раусу (++); р € 1)

— неустойчивость (--). Параметр р—КЦЙ2.

++++++ ++++++++++++++ II II

п = 3

О Д

03

Р* 3 1 Р

Рисунок 4. Критерий устойчивости томсоновского вихревого треугольника внутри круга [26,90]: р е (0,роз) и {р0з,Р*з} ~ устойчивость по Раусу; р = р03 и р е (р*3,1) — неустойчивость.

+ ^

II ||| У1 Л |'|

0 Р05 а Ь р* рт5 1 р

Рисунок 5. Критерий устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга [28]: р Є (0,роб] - устойчивость по Раусу; р є (р05,а) и (Ь,р*) и (р*,р*5) - формальная устойчивость по Раусу (сплошная дуга); р Є [а, 6] — устойчивость по Раусу для большинства начальных условий (пунктирная дуга); р = р* и р Є (р*5,1) — неустойчивость.

р2 = 7р3 - Зр2 + 5р - 1 р*2 ~ 0.213740

Т3 = 10/ + 3р5 + 6р4 + Юр3 + 6р2 + Зр - 2 Q3 = 5рб + 9р5 + 5рз + др2_1 р*з « 0.321281 Роз ~ 0.304064

Г4 = 7р6 +р4 + 9р2-1 р*4 ~ -329840

•р5 = 18р10 + Юр8 + 15р7 + 34р5 + 15р3 + Юр2 - 2 Qъ = 27р12+81рп + 132р10 + 135р9 + 90р8 + 96р7 + 153р6 + 196р5 + 165р4 + 60р3 + 2р2 - 9р - 3 р*5 и 0.346101 Роб ~ 0.341038

Р6 = 23р9 + 13р6 + 37р3 - 1 р*6 и 0.299121

Таблица 1. Критические значения р+п и роп — корни полиномов Тп и О,.

п=2 Р 00 = Р* 2

п=3 Роо = Роз,Р1э ~ 0.316897 Р12 ~ 0.319327, рх 1 = р*з

п=4 Роо = Р*4

п=5 Роо = Р05 Р1 з ~ 0.343499, Р1 3 0.344810 р12=р* ~ 0.344379, Р12 и 0 345525 Рг 1 2 ~ 0.346079, Р11 яз 0.345914, рг г = р*5

п=6 Роо = Р*6

Таблица 2. Критические значения параметра р, отвечающие резонансам: р00 - двукратный диагонализирумый ноль, ркт - резонанс к . т, символ шапочка р - недиагонали-зируемый случай.

жительной определенности приведенного гамильтониана потребовало привлечение слагаемых его ряда Тейлора до четвертого порядка включительно. Отметим, что процедура нормализации при этом не проводилась.

Замечание 0.1. Решение задачи устойчивости при граничных значениях параметра важен для того, чтобы выяснить, какой является эта граница: «опасной» или «безопасной» по терминологии Н. Н. Баутина /3'/? Другими словами, жестко или мягко происходит потеря устойчивости томсоновского многоугольника, когда параметр р возрастая, проходит через критическое значение р*п ?

3. В случае п = 3, изображенном на рисунке 4, доказательство устойчи-

вости по Ляпунову приведенной гамильтоновой системы двух степеней свободы на интервале (роз, Р*з) состояло в проверке условий теоремы Арнольда-Мозера (см., например, [46]). При р = роз5 в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализируемый случай). Неустойчивость следует из результатов Сокольского. При р = р*з имеет место критический случай двукратной пары чисто мнимых собственный значений (жорданова клетка). Для доказательства устойчивости по Ляпунову равновесия приведенной системы использовались результаты общей теории [19,46,96]

4. В случае п = 5 использовано определение формальной устойчивости по Раусу, которое определяется как формальная устойчивость по Ляпунову приведенной системы (см., например, [46]). В случае формальной устойчивости по Раусу неустойчивость по Ляпунову решения (если она существует) не обнаруживается в приведенной системе при учете в ее разложении слагаемых до сколь угодно большого, но конечного порядка.

Формальная устойчивость по Раусу при р € (роь,а) U (b,p*) U (р*,р*5) следует из теоремы Брюно [46].

Примененние результатов В. И. Арнольда (ссылки см. в книге [46]) на отрезке р Е [а, Ь], изображенном схематично на рисунке 5, позволило доказать устойчивость равновесия приведенной системы для большинства в смысле меры Лебега начальных данных. Как известно, это не исключает неустойчивость по Ляпунову.

При р = pos в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализируемый случай). Из положительной определенности приведенного гамильтониана вытекает устойчивость по Ляпунову приведенной системы. Это доказательство потребовало привлечение слагаемых до четвертого порядка включительно ряда Тейлора приведенного гамильтониана.

При р = р*5 в критическом случае двукратной пары чисто мнимых собственный значений (жорданова клетка) имеет место формальная устойчи-

вость по Раусу. При р = р* (см. таблицу 4) имеет место критический случай резонанса 1:2. Неустойчивость доказывается применением результатов А. П. Маркеева [46].

Замечание 0.2. Ряд резонансных значений ри-.т, указанных в таблице 2 и опущенных на рисунках 4, 5, оказались несущественными. Это означает, что отвечающие им в общей теории специфические резонансные слагаемые отсутствуют среди слагаемых разложения приведенного гамильтониана в ряд Тейлора до четвертого включительно. Поэтому при п = 3; когда р — р1:3 и р = р\-,2 применима теорема Арнольда-Мозера, а при п = 5 резонансные точки р\-2 ф р*, Ргл лежат в интервале (6, р*5) и формальная устойчивости в них следует из результатов теоремы Брюно.

Вихри вне круговой области. Рассмотрим теперь проблему Кельвина в случае, когда вихревой п-угольник радиуса До расположен вне круговой

области радиуса Я с общим центром симметрии (см. рисунок 6).

-----

*» <ч

X *ч

X \

У N

Рисунок 6. Стационарное вращение правильного вихревого п-угольника вне круговой области. Угловая скорость вращения со — и устойчивость зависят от параметра

Ч = Я2/Я1

Математическими методами эта задача впервые была исследована Т. X.

Хавелоком (1931) [85], рассмотревшем её в линейной постановке и показавшем, что соответствующая линеаризованная система имеет экспоненциально растущие решения при четном числе вихрей п = 2т > 8. Утверждение об экспоненциальной неустойчивости при нечетном числе п = 2т + 1 > 7 вихрей сформулировано в работе [85] без доказательства. Т. X. Хавелок также установил наличие экспоненциально растущих решений в случае 2 < п < 6, когда параметр q = Я2/Щ больше некоторой критической величины: < д < 1 (см. таблицу 3).

Р2 = -9q3 + 13q2 + 5g - 1 g*2 « 0.148536

P3 = -Uq6 + 3g5 + 6g4 + 34g3 + 6g2 + 3q - 2 g*з и 0.273695

P4 = _9g6 + 17g4 + 9q2_i g*4 ~ 0.308125

P5 = -22g10 + 10q8 - 15q7 + 74g5 + 15g3 + 10g2 - 2 g*5 ~ 0.334596

P6 = -25g9 + 61 g6 + 37q3 - 1 g,6 « 0.295985

Таблица 3. Критические значения g*n — корни полиномов Рг

Во всех остальных случаях в линейной системе имеется лишь степенная неустойчивость. Хорошо известно (A.M. Ляпунов [37,38]), что из экспоненциальной неустойчивости линеаризованной системы следует неустойчивость равновесия полной системы. Степенной неустойчивости линеаризованной системы для такого заключения недостаточно — нужно привлекать нелинейные слагаемые.

Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого треугольника вне круговой области был проведен в работе [27]. При этом использовались те же методы и подходы, что и в случае внутри круга. Полученный критерий устойчивости схематично приведен на рисунке 7. Отметим, что при критических значении параметра q = q*3 имеет место неустойчивость положения равновесия приведенной системы, в то время как в аналогичной ситуации внутри круга при р = р*3 оно устойчиво по Ляпунову.

Критическим значениям параметра q

доз ~ 0.262542, qh3 « 0.270858, qh2 « 0.272430, ~ 0.273695(0.1)

++++++ '+ + + + + + + + + + + + + +

О %Ъ 9,3 1 1

Рисунок 7. Критерий устойчивости томсоновского вихревого треугольника вне круга [27]: q е (0, д0з) и (<?0з, <?*з) — устойчивость по Раусу; q = qQ?l ж q е 1) — неустойчивость, q =

соответствуют резонансы (см. [46] и обзор [19]): доз — двукратный нуль (диагоналнзнруемый случай), д%:гп — резонанс /с : т, д*з — резонанс 1:1 (недиагонализнруемый случай). Величина доз является корнем полинома

д3 = 7д6 + дд5 _ 18д4 - 17д3 - 9д2 + 1 (0.2)

Таким образом, после работ Т. X. Хавелока [85] и Л. Г. Куракина [27] в задаче устойчивости стационарного вращения томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области остались открытыми следующие вопросы:

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока о неустойчивости томсоновского многоугольника в случае нечетных п = 2т +1^7;

2. Нелинейный анализ устойчивости при q ^ д*п в случае четных п = 2,4,6 и в случае п — 5.

Их решению и посвящена эта диссертация.

111 Методы исследования и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации

В этом разделе приведен обзор результатов общей теории устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, использованной в диссертации. При его написании использовались обзоры [6,19,46,68].

Свойства гамильтоновых систем

Гамильтоновой системой в пространстве М2п называется система дифференциальных уравнений вида ( <кк = ОН

к = 1,...,п. (0.3)

с1'рк _ дН (Н ддк

Функция Н = Н(д,р) называется функцией Гамильтона, а п — числом степеней свободы, 9 = (дь • • •, Р = (Рь • • • ,Рп)-

Пусть д = р = 0 — положение равновесия. Разложение функции Гамильтона в его окрестности имеет вид

Н(д,р) = Н2(я,р) + Я3+ ..., (0.4)

где Нт(д,р) — однородные полиномы степени т переменных (д,р).

Линеаризованная на нулевом равновесии гамильтонова система (0.3) задается квадратичными членами Н2 разложения функции Гамильтона Н в ряд Тейлора: <5л1

— = Ьи, Ь = /5, и = (дь ... ... (0.5)

где

О -Еп Г \дикдщ)кЛ=1'

а Еп — единичная матрица размерности п.

Характеристический многочлен Р2П = с[еЬ(аЕ2П — Ь) матрицы линеаризации Ь есть функция от <72. Значит, собственные значения а матрицы линеаризации Ь гамильтоновой системы расположены симметрично относительно начала координат. Таким образом, устойчивость возможна лишь в том случае, когда все собственные значения лежат на мнимой оси.

Далее рассматривается именно такой случай

сг^ = ^ € 1, ] — 1,. .. , п. (0.6)

Каждое собственное значение считается столько раз, какова его кратность.

Начиная еще с работ A.M. Ляпунова [39], стало ясно, что решение задачи устойчивости положения равновесия автономной системы зависит свойств величин ujj, а именно от того, удовлетворяют ли они резонансным соотношениям.

Будем говорить, что собственные значения автономной гамилътоно-вой системы (0.3) находятся в резонансном соотношении порядка к [19], если существует ненулевой вектор т = (mi,... ,тп) ^ 0 с целочисленными компонентами rrij, такими что

rriiUJi + ... + тпип = 0, (0.7)

Порядок резонанса к определяется по формуле

|mi| + ... \тп\ = к. (0.8)

Гамильтонова система имеет первый интеграл Н{и): для любого решения системы (0.3) H(u(t)) = Н{и{0)). Для произвольной функции F{u) ее производная в силу системы дается формулой:

{.F, Н} называется скобкой Пуассона функций F и Н.

Движение в силу гамильтоновой системы сохраняет объем любой области G С К2п и вследствие этого положение равновесия гамильтоновой системы не может быть асимптотически устойчивым.

Первые результаты об устойчивости положений равновесия гамильтоно-вых систем были получены для системы четвертого порядка (п = 2) при отсутствии резонанса Г.В. Каменковым и И.Г. Малкиным [14,41]. В работах A.M. Молчанова [50], В.Г. Веретенникова [11], L. Salvadori [55] нерезонансный случай был изучен практически до конца, при этом оказалось, что ни один из методов, развитых для систем общего вида, не пригоден для

гамильтоновых систем. В связи с этим сравнительно недавно были созданы специальные методы, получившие название КАМ-теории (по именам ее создателей А.Н. Колмогорова [17], В.И. Арнольда [2], J. Moser [107])

Вопрос об устойчивости по Ляпунову многомерной (п > 2) системы полностью решить не удается. Можно только применив выводы J. Moser'a [103-106], J. Glimm'a [84], А.Д. Брюно [8], H.H. Нехорошева [51], получить выводы о формальной устойчивости, гарантирующей ограниченность qk(t), Pk{t) на очень больших, но конечных интервалах времени.

Определение ( [19]). Положение равновесия qu = Рк = 0 (к = 1,..., п) системы (0.3) называется формально устойчивым, если существует ряд (возможно, расходящийся), который будет формальным знакоопределен-ным интегралом системы (0.3).

Все результаты по формальной устойчивости получены, как правило для случаев, когда в системе отсутствуют резонансы (до четвертого порядка включительно), т.е. частоты j = 1,..., п линеаризованной системы (0.3) не связаны резонансными соотношениями.

Наличие резонансов (0.7) может сделать устойчивую в линейном приближении систему (0.3) неустойчивой, если в ее правых частях учитывать нелинейные слагаемые. Этот факт отмечался еще в опубликованной в конце XIX века работе Д. Дж. Кортевега [87], посвященной приближенному анализу колебаний гамильтоновой системы вблизи положения равновесия В этой работе и в исследованиях Н. I. Е. Beth'a [71-73] было замечено, что в задаче об устойчивости наиболее важны резонансы до четвертого порядка включительно.

Перечень нормальных форм

Для гамильтоновых систем порядка 2п есть семь резонансов до четвертого порядка включительно:

1. üji = 0 при п ^ 1;

2. (¿2 = при п ^ 2;

3. Ш2 = 2бо>1 при п ^ 2;

4. = Зсо>1 при п ^ 2;

5. ¿ь>з = 6^1 + <х>2 при п ^ 3;

6. <¿>3 = 2а;! + о;2 при п ^ 3;

7. <¿>4 = + ¡^2 + <¿>3 при п ^ 4;

Каждому резонансу соответствует своя модельная система и своя нормальная форма гамильтониана.

В этой работе встречаются практически все эти резонансы. Для случая вихревого пятиугольника они выписаны в таблице 5 в разделе 4-1-

Критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализирумая матрица линеаризации)

Пусть матрица линеаризации диагонализируема и имеет одну нулевую частоту. Такой случай встречается в пункте 4.3.1, когда приведенный гамильтониан имеет четыре степени свободы И выполнено условие 6с>з = 0. В этом случае гамильтониан Н канонической заменой переменных можно привести к нормальной форме до четвертого порядка

Я =^|г1|2 + ^2|г2|2 + с^Ы2 + + #зо+ (°-10)

+ М^з, Рз) + #40 + • • • , где гк = ^ + грк, гк = ^ - грк)

Ырз, Я.Ъ) = азо^з + а2\ч1р2, + а^зРз + «озр|,

Мрз, Яз) = &40<7з + &з1<?|рз + Ъ22ч1Р:\ + Ьг:тр1 + 604Рз,

#зо = «ю т\гг\2 + ашЯ зЫ2 + ашд3\г4\2 + а201.РзЫ2 + а202:РзЫ2+

+«204^3 Ы2,

Я40 = /г2(93,Рз)к1|'2 + ^(ЛЗ,Рз)Ы2 + ^(93,Рз)к4|2 + <?юЫ4 +

Н-^12[212 + ^14121 12 + ^241 121 12 + ^20! ^214 + Я^Ы*,

а д3) ~~ однородные полиномы переменных дз, рз степени 5.

Теорема 1 (А. Г. Сокольский [19]). Если /ц = /14(^3?Рз) ~~ знакоопределен-ная функция, то положение равновесия системы (0.3) формально устойчиво. Если же функция /¿4(^3? 9з) ~~ знакопеременна, то неустойчиво по Ляпунову. В случае, когда /^(рз^з) = 0, устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны в разложении (0.10).

Критический случай двукратного нулевого собственного значения (жорданова клетка)

Пусть матрица линеаризации Ь недиагонализируема и имеет одну нулевую частоту.

В диссертации этот резонанс встречается в случае четного числа вихрей при критическом значении параметра q = дт (см. главу 3).

Для определенности рассмотрим гамильтонову систему (0.3) с тремя степенями свободы. В этом случае гамильтониан, нормализованный до четвертого порядка включительно, имеет вид

Я + ифх!2 + и;3Ы2 + ¿з Р\ + РМ°Ы2 + «?1кз|2)+ (0.11)

+ рМЫ2 + а^3|2) + а20Ы4 + а^Ы2!*!2 + ^Ы4 + ...

Точками обозначены слагаемые пятой степени и выше.

На устойчивость равновесия оказывают влияние только часть слагаемых

Я =^2 + аф!|2 + и;зЫ2 + аф\ + ... (0.12)

Здесь многоточием обозначены, как слагаемые третьей степени и выше из (0.11), кроме выписанного слагаемого четвертой степени.

Теорема 2 (А. Г. Сокольский [19]). Для системы с гамильтонианом (0.12) справедливы утверждения:

1. Если а4 < 0; то положение равновесия неустойчиво;

2. Если а4 > 0; то положение равновесия формально устойчиво; если кроме того sgn(5l = sgnu;2 = ... = sgna;n; то имеет место устойчивость по Ляпунову.

3. Если а4 = 0, то устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны явно в разложении (0.11).

Резонанс 1 : 1 (жорданова клетка)

Рассмотрим критический случай двукратной пары чисто мнимых собственных значений (ненулевых), которым отвечает клетка в жордановой форме матрицы линеаризации.

В рассматриваемой задаче устойчивости вихревого Пентагона такой случай имеет место в пункте 4.3.2 в случае п = 5 при критическом значении параметра (/ = <7*5.

В этом случае приведенный гамильтониан имеет четыре степени свободы и, нормализованный до слагаемых четвертого порядка, может быть представлен в виде

Н =иг (412 + Р12) + ^ (д22 + дз2) + и* (д3Р2 - 92Рз)+ (0.13)

+ (д42 + р42) + А*(р22 + р\)2 + ...

Многоточием обозначены слагаемые четвертой степени, кроме выписанных, и выше. Слагаемые четвертой степени представляют собой комбинации множителей: р\ + рЬ ч1 + чЬ ЯзР2 ~ 42 Рз, + V)•

Теорема 3 (А. Г. Сокольский [19]). Для системы с гамильтонианом (0.13) справедливы утверждения:

1. Если А* > 0; то положение равновесия формально устойчиво;

2. Если А* < 0, то положение равновесия неустойчиво;

3. Если А* = 0, то устойчивость зависит от слагаемых более высокой степени, чем выписаны явно в разложении (0.13).

Алгоритмы нормализации

Определение. ( [68, с. 166]) Гладкая замена переменных и = K(w), обратимая в окрестности нулевого равновесия и = 0 гамильтоновой системы (0.3), называется канонической, если:

1. При замене и —у w гамильтонова система переходит в гамильтоно-ву систему.

2. Функции Гамильтона связаны этой же подстановкой

Н(и) = H{K{w)).

При исследовании устойчивости важно найти такие канонически сопряженные переменные, чтобы функция Гамильтона (0.3), будучи записанной в этих переменных, имела по возможности более простую (нормальную) форму. К настоящему времени разработаны весьма эффективные методы нормализации.

Сначала рассмотрим задачу нормализации линейных систем (0.5), или, другими словами, — нормализации квадратичной части гамильтониана. Эта задача известна очень давно. Она встречается еще у A.M. Ляпунова [39]. В двадцатых и тридцатых годах ее рассматривали Т. М. Cherry [79], G.D. Birkhoff [74], Е.Т. Whittaker [117], A. Wintner [122], Е. R, Kampen и A. Wintner [86], Cf. С. bancos [94], J. Williamson [118-121]. В их работах подробно исследованы алгебраические свойства линейных гамильтоновых

систем и в некоторых случаях предложены способы получения нормализующего преобразования. В цикле работ J. Williamson'a [118-121] задача о нормализации произвольной квадратичной части Н2 гамильтониана (0.3) разрешена полностью. Однако, как оказалось позже, возможны более совершенные методы и алгоритмы нормализации. Эти вопросы рассмотрены в работах Б. В. Булгакова [10], J. Moser'a [104], С. L. Sigel'a [113], G. Louferman'a и J. Roels'a [110], J. Laub'a и К. Meyer'a [95], N. Burgoyne'a и R. Chushman'a [76], J. L. Synge'a [114], L.A. Pars'a [108], Л.М. Штерен-лихта [69], Т.Н. Титовой [62-64], А. П. Маркеева [43,45]. Основываясь на работах J. Williamson'a [118-121], Д. М. Галин классифицировал все нормальные формы квадратичных гамильтонианов. Полученная им таблица нормальных форм приведена в книге В. И. Арнольда [1]. Для квадратичных гамильтонианов, не зависящих от времени, в работах Б. В. Булгакова [10]. С. L. Sigel'a [ИЗ], J.L. Syng'a [114], L.A. Pars'a [108], J. Laub'a и К. Meyer'a [95], Т. H. Титовой [62-64], А. П. Маркеева [45] получены конструктивные алгоритмы нахождения нормальной формы и соответствующего нормализующего преобразования.

Преобразование Биркгофа

В этом разделе излагается способ построения канонической замены переменных для нормализации слагаемых третьей степени — преобразование Биркгофа [46,74], которое неоднократно используется в настоящей диссертации. Будем считать, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы.

Рассматривается автономная гамильтонова система (0.3) такая, что разложение (0.4) в ряд функции гамильтона Н в окрестности нулевого равновесия = & = начинается с квадратичных членов.

Пусть собственные значения матрицы линеаризации ±<7^ лежат на мнимой оси и не связаны резонансными соотношениями до второго порядка

включительно, т.е.

п

^тк(тк^0 (0.14)

к=1

п

И для любых целых ГПк имеет место неравенство \тпк\ ^ 2.

к=1

Не нарушая общности будем считать, что квадратичная часть гамильтониана Н2 уже имеет нормальную форму

1 п

Я2 = (0.15)

к=1

В системе (0.3) при помощи формул

, ^ьй) + * = !,...,„.(0.16)

др'к dqk

проводится каноническая замена переменных qk, Рк q'k, р'к-

Функция 5з подбирается так, чтобы она была вещественной однородной функцией третьей степени ПО qk, рк, и чтобы в новых переменных функция Гамильтона (0.4) не содержала бы членов третьего порядка в новых переменных q'k, р'к.

Пусть функция Hz(q,p) в разложении (0.4) имеет вид

#3= £ (0.17)

vi+...+/in=3

где /it,b...iMTJ € M, a Vi,..., цп — целые неотрицательные числа. Функцию S3 ищем в виде, аналогичном (0.17):

й = £ (0.18) i/i+...+/tin=3

Разрешая уравнения (0.16) относительно переменных qk, рк (к = 1,..., п) получаем

qk~Qk--dp'— Vk-Pk + —-щ— + •••> (°-19)

многоточием здесь обозначены слагаемые имеющие порядок выше второго относительно р'к. Учитывая равенства (0.4), (0.15) и (0.19) получим разложение нового гамильтониана Н

Н' = \Т,<^(<4+г>'Ь+Х> (рф ~ дф)+н3(д^3)+.. .(0.20)

к=1 к=1 \ Чк г к /

Невыписанные в (0.20) слагаемые имеют порядок не ниже четвертого относительно р'к.

Чтобы в функции Гамильтона Н' не содержалось членов третьего порядка б^, р'к нужно потребовать выполнения тождества:

Щ = Х> (Р'кщ ~ <ф\ + = 0. (0.21)

/с—1

Известно, что в рассматриваемых условиях уравнение (0.21) разрешимо, причем форма Зз определяется из него однозначно. В диссертации рассматриваемая замена, нормализующая кубические слагаемые, выписана явно в ряде частных случаев (см. (3.15)—(3.17), (4.15)).

Замечание 1. В этом пункте рассмотрен наиболее часто встречающийся случай, когда приходится нормализовать слагаемые третьей степени в предположении отсутствия резонансов до второго порядка включительно. В данной работе также встречается случай двукратной пары собственных значений (жорданова клетка) (см. пункт 4-3.2). Алгоритмы нормализации квадратичных и кубических слагаемых, применявшиеся в этом случае, разработаны в работах [57, 60]. Алгоритмы нормализации слагаемых четвертой степени можем найти в книгах ]19, 46]. Отметим, что в работе не возникла необходимость нормализации слагаемых пятой степени и выше.

IV Краткое содержание работы

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 109

страниц. Список литературы содержит 125 наименования.

В главе 1 выписаны уравнения движения п точечных вихрей вне круговой области, указаны их интегралы и группы симметрии. Затем напоминается определение стационарного движения. Группе вращений уравнений движения отвечает стационарное вращение правильного вихревого многоугольника вне круговой области в случае вихрей одинаковой интенсивности. Отмечается, что в данной задаче имеет место неустойчивость по Ляпунову при любом Разъясняется, что устойчивость перманентного вращения правильного вихревого многоугольника нужно трактовать как устойчивость по Раусу. Формулируются полученные в диссертации условия устойчивости и неустойчивости вращения томсоновского вихревого п-угольника.

В главе 2 проведен линейный анализ устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника вне круговой области.

В разделе 2.1 в теореме 2.1 приведено обоснование метода линеаризации при любых п > 2. С помощью исследования квадратичной части гамильтониана получены условия устойчивости по Раусу при п = 2,4, 5, 6. Также доказана экспоненциальная неустойчивость вихревого п-угольника в случае нечетных п > 7.

В разделе 2.2 проведено разложение относительного гамильтониана в окрестности стационарного режима до второго порядка включительно.

В главе 3 проведен нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вершин. В точной нелинейной постановке рассмотрен критический случай устойчивости д = д^, п = 2, 4, 6. Так как в случае четного числа вихрей в этой задаче возникает лишь этот критический случай — двукратного нулевого корня (жорданова клетка), то его анализ удалось провести в рамках единого подхода. Для решения вопроса об устойчивости пришлось привлечь слагаемые разложения ряда Тейлора приведенного (редуцированного) гамильтониана до четвертого порядка включительно. При этом были применены результа-

ты работ А. Г. Сокольского [59,60], касающиеся устойчивости равновесия гамильтоновой системы в критическом случае двукратного нулевого корня (случай непростых делителей). Доказана неустойчивость вихревого п-угольника при д = д*™, п — 2, 4, 6. Следует отметить, что в аналогичной задаче, когда вихри расположены внутри круговой области, имеет место устойчивость по Раусу.

В главе 4 проведен нелинейный анализ устойчивости стационарного вращения системы пяти одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности радиуса До вне круговой области радиуса II. Задача сведена к проблеме устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы с циклической переменной. Устойчивость трактуется как устойчивость по Раусу. Получены условия устойчивости, формальной устойчивости или неустойчивости в зависимости от значений параметра д = Я2/Щ.

В разделе 4-1 симплектической заменой переменных задача сведена к гамильтоновой системе с циклической переменной и построена приведенная гамильтонова система. Перечислены все резонансы приведенного гамильтониана до четвертого порядка включительно, встречающиеся в этой задаче.

В разделе 4-2 проведено доказательство формальной устойчивости по Ляпунову приведенной гамильтоновой системы четырех степеней свободы в нерезонансном случае при д € (до5> Я*б)\{я*}- Для этого в пункте 4.2.1 с помощью алгоритма Биркгофа была проведена нормализация приведенного гамильтониана до четвертого порядка включительно, а затем в пункте 4.2.2 было показано, что выполнены условия теоремы Брюно [8]. В пунктах 4.2.3 и 4.2.4 выписаны формулы коэффициентов для форм третьей и четвертой степени приведенного гамильтониана.

В разделе 4-3 были исследованы резонансные случаи устойчивости вихревого пятиугольника.

В пункте 4.3.1 доказана формальная устойчивость по Раусу в критическом случае двукратного нулевого собственного значения при д = до5-

В пункте 4.3.2 исследован критический случай двукратной пары чи-

сто мнимых собственных значений: резонанс 1 : 1 при д = для чего с помощью алгоритма Биркгофа была проведена нормализация приведенного гамильтониана до четвертого порядка включительно и на основании результатов Сокольского [58] сделан вывод о формальной устойчивости по Ляпунову нулевого равновесия приведенной гамильтоновой системы и формальной устойчивости по Раусу стационарного вращения вихревого пятиугольника.

В пункте 4.3.3 рассмотрен критический случай резонанса 1:2 и доказана неустойчивость нулевого равновесия приведенной гамильтоновой системы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Островская, Ирина Владимировна

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1 ^ 7.

2. Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.

3. Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.

4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.

5. Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.

Таким образом, вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока [85] и результатами Л. Г. Куракина [27] об устойчивости вихревого треугольника в диссертации проведен полный нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Островская, Ирина Владимировна, 2013 год

Список литературы

[1] Арнольд, В. И. Математические методы классической механики: Учебное пособие для университетов / В. И. Арнольд. — М.: Наука, 1974. — 432 с.

[2] Арнольд, В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В. И. Арнольд. // Успехи математических наук. — 1963. — Т. 18, № 6. — С. 91-192.

[3] Баутин, Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости / Н. Н. Баутин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.-Л.: Гостехиздат, 1984. — 164 с.

[4] Богомолов, В. А. Модель колебаний центров действия атмосферы / В. А. Богомолов // Известия академии наук СССР. Физика атмосферы и океана. - 1979. - Т. 15, № 3. - С. 243-249.

[5] Борисов, А. В. Математические методы динамики вихревых структур / А. В. Борисов, И. С. Мамаев — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 368 с.

[6] Брюно, А. Д. Ограниченная задача трёх тел / А. Д. Брюно. — М.: Наука, 1990. - 296 с.

[7] Брюно, А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях / А. Д. Брюно. — М.: Физматлит, 1998. — 288 с.

[8] Брюно, А. Д. О формальной устойчивости системы Гамильтона / А. Д. Брюно // Математические заметки. — 1967. — Т. 1, № 3. — С. 325-330.

[9] Брюно, А. Д. О вычислении гамильтоновой нормальной формы / А. Д. Брюно, А. Г. Петров // Доклады Академии наук. — 2006. — Т. 410, № 4. - С. 474-478.

[10] Булгаков, Б. В. О нормальных координатах / Б. В. Булгаков // Прикладная математика и механика. — 1946. — Т. 10, вып. 2. — С. 273-294.

[11] Веретенников, В. Г. Об устойчивости движения в случае трех пар чисто мнимых корней / В. Г. Веретенников // Тр. Ун-та Дружбы народов им. П. Лумумбы. Сер. «Теор. механика». — 1966. — Т. 15, вып. 3. — С. 166-179.

[12] Галин, Д. М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем / Д. М. Галин // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — М.: Издательство МГУ, 1975. - Вып. 1. — С. 63-74.

[13] Гантмахер, Ф. Р. Лекции по аналитической механике / Гантмахер, Ф. Р. — М.: Физматлит, 2001. — 264 с.

[14] Каменков, Г. В. Избранные труды. В 2-х т. Т. I. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика / Каменков Г. В. — М.: Наука, 1971. — 259 с.

[15] Килин, А. А. Динамика точечных вихрей внутри и вне круговой области / А. А. Килин, А. В. Борисов, И. С. Мамаев // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / ред. А. В. Борисов, И,С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 414-440.

[16] Козлов, В. В. Общая теория вихрей / В. В. Козлов — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1998. - 238 с.

[17] Колмогоров, А. Н. О сохранении условино-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / Колмогоров, А. Н. // Доклады Академии наук СССР. - 1954. - Т. 98, № 4. - С. 527-530.

[18] Кошель, К. В. Хаотическая адвекция в океане / К. В. Кошель, С. В. Пранц. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008. - 350 с.

[19] Куницын, А. Н. Устойчивость в резонансных случаях / Куницын А. Н., А. П. Маркеев // Итоги науки и техники. Серия «Общая механика». Том 4. - М.: ВИНИТИ, 1979. - С. 58-139.

[20] Куракин, Л. Г. О ляиуновской цепочке критериев устойчивости в критическом случае жордановой 2-клетки / Л. Г. Куракин // Доклады Академии наук. - 1994. - Т. 337, № 1. - С. 14-16.

[21] Куракин, Л. Г. Об устойчивости правильного вихревого п-угольника / Л. Г. Куракин // Доклады Академии наук. — 1994. — Т. 335, № 6. -С. 729-731.

[22] Куракин, Л. Г. Критические случаи устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и отображений: дис....канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Куракин Леонид Геннадиевич. — Ростов-на-Дону, 1991.

[23] Куракин, Л. Г. О нелинейной устойчивости правильных вихревых многоугольников и многогранников на сфере / Л. Г. Куракин // Доклады Академии наук. - 2003. - Т. 388, № 4. - С. 482-487.

[24] Куракин, Л. Г. Устойчивость, резонансы и неустойчивость правильных вихревых многоугольников внутри круговой области / Л. Г. Куракин // Доклады Академии наук. — 2004. — Т. 399, № 1. — С. 52-55.

[25] Куракин, Л. Г. О критериях устойчивости работы А. М. Ляпунова «Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения» / Л. Г. Куракин // Владикавказский математический журнал. - 2009. - Т. 11, № 3. - С. 23-32.

[26] Куракин, Л. Г. Об устойчивости томсоновских вихревых конфигураций внутри круговой области / Л. Г. Куракин // Нелинейная динамика. — 2009. - Т. 5, № 3. - С. 295-317.

[27] Куракин, Л. Г. Об устойчивости стационарного вращения системы трех равноудаленных вихрей вне круга / Л. Г. Куракин // Прикладная математика и механика. — 2011. — Т. 75, № 2. - С. 327-337.

[28] Куракин, Л. Г. Об устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга / Л. Г. Куракин // Нелинейная динамика. 2011. — Т. 7, № 3. - С. 465-488.

[29] Куракин, Л. Г. Об устойчивости правильного вихревого многоугольника с четным числом вихрей вне круговой области / Л. Г. Куракин,

И. В. Островская - М., 2009. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.2009, № 477-В09.

[30] Куракин, Л. Г. Об устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вихрей вне круговой области / Л. Г. Куракин, И. В. Островская // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 3. - С. 584-598.

[31] Куракин, Л. Г. Критерий устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга / Л. Г. Куракин, И. В. Островская // Нелинейная динамика. - 2012. - Т. 8, № 2. - С. 355-368.

[32] Куракин, Л. Г. Устойчивость томсоновских многоугольников вне круговой области / Л. Г. Куракин, И. В. Островская // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов V Всероссийской школы-меминара. — Ростов-на-Дону: издательство «Терра Принт», 2009. — С. 59.

[33] Куракин, Л. Г. Об устойчивости системы п точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника вне круговой области / Л. Г. Куракин, И. В. Островская // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIII международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г. Т. 1. — Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009. - С. 121-125.

[34] Куракин, Л. Г. Об устойчивости системы п точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника, вне круговой области / Л. Г. Куракин, И. В. Островская // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIII международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г. — Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009 - С. 49.

[35] Куракин, Л. Г. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника / Л. Г. Куракин, В. И. Юдо-вич // Доклады Академии наук. - 2002. Т. 384, № 4. - С. 476-482.

[36] Куракин, Jl. Г. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника / JI. Г. Куракин, В. И. Юдович // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / ред. A.B. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 238-303.

[37] Ляпунов, А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения / A.M. Ляпунов // Математический сборник. - 1893. - Т. XVII, вып. 2. - С. 253-333.

[38] Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Госте-хиздат, 1950. - С. 369-450.

[39] Ляпунов, А. М. Собрание сочинений. Т. II / А. М. Ляпунов. — М.: Изд-во АН СССР, 1956.

[40] Малкин, И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. — М.: Гостехиздат, 1956.

[41] Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. / И. Г. Малкин . — М.: Наука, 1966.

[42] Маркеев, А. П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса / А. П. Маркеев // Прикладная математика и механика. — 1968. — Т. 32, вып. 4. — С. 738-744.

[43] Маркеев, А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия га-мильтоновых систем/ А. П. Маркеев // Прикладная математика и механика. - 1970. - Т. 34, вып. 6. - С. 997-1004.

[44] Маркеев, А. П. О методе точечных отображений и некоторых его приложениях в задаче трех тел / А. П. Маркеев // Институт прикладной математики АН СССР. Препринт № 49. — М., 1973.

[45] Маркеев, А. П. Решение одной матричной системы в задаче нормализации дифференциальных уравнений Гамильтона / А. П. Маркеев // Темат. сб. науч. тр. Моск. авиац. ин-т, 1977, № 424. С. 15-18.

[46] Маркеев, А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинами-ке / А.П. Маркеев. — М.: Наука, 1978.

[47] Мелешко, В. В. Динамика вихревых структур / В. В. Мелешко, М. Ю. Константинов. — Киев: Наукова думка, 1993.

[48] Милн-Томсон, JI. М. Теоретическая гидродинамика / JI. М. Милн-Томсон. — М.: Мир, 1964. (Пер. с англ.: Milne-Thomson L. М. Theoretical hydrodynamics, 1968.)

[49] Мишина, А. П. Высшая Алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра) / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков. — М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.

[50] Молчанов, А. М. Устойчивость в случае нейтрального линейного приближения / А. М. Молчанов // Доклады Академии наук СССР. — 1951. - Т. 141, № 1. - С. 24-27.

[51] Нехорошев, Н. И. Экспоненциальная оценка времени устойчивости га-мильтоновых систем, близких к интегрируемым / Н. И. Нехорошев // Успехи математических наук. — 1977. —Т. 32, № 5. — С. 5-65.

[52] Островская, И. В. Резонанс 1:1 в задаче устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга / И. В. Островская // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV международной конференции. Т. 2. — Ростов-на-Дону: издательство ЮФУ, 2011. — С. 194— 198.

[53] Островская, И. В. Резонанс 1:1 в задаче устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга / И. В. Островская // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XV международной конференции. — Ростов-на-Дону: издательство ЮФУ, 2011. — С. 39.

[54] Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. — М: Наука, 1984.

[55] Сальвадоре, J1. Об устойчивости равновесия в критических случаях / Сальвадоре, JI. // Механика. - 1969. - №5. - С. С. 3-28.

[56] Соколовский, М. А., Веррон Ж. Динамика вихревых структур в стратифицированной вращающейся жидкости / М. А. Соколовский, Ж.

Веррон. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. - 372 с.

[57] Сокольский, А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот / А. Г. Сокольский // Прикладная математика и механика. — 1974. Т. 38, вып. 5. — С. 791-799.

[58] Сокольский, А. Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом отношении масс / А. Г. Сокольский // Прикладная математика и механика. — 1975. Т. 39, вып. 2. — С. 366-369.

[59] Сокольский А. Г. Исследование устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Сокольский А. Г. - М., 1976.

[60] Сокольский, А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонане первого порядка / Сокольский, А. Г. // Прикладная математика и механика. — 1977. Т. 41, вып. 1. - С. 24-33.

[61] Сэффмэн, Ф.Дж. Динамика вихрей / Ф. Дж. Сэффмэн. — М.: Научный мир, 2000. — 376 с.

[62] Титова, Т. И. О нормализации линейной гамильтоновой системы с помощью канонических преобразований / Титова, Т. И. — М., 1976. — Деп. в ВИНИТИ 5.04.76, № 1049-76.

[63] Титова, Т. И. О каноническом преобразовании, нормализующем вырожденную линейную гамнльтонову систему / Титова, Т. И. — М., 1976. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.76, № 1804-76.

[64] Титова Т. Н. О нормализации вырожденной гамильтоновой матрицы / Титова, Т. И. - М., 1978. - Деп. в ВИНИТИ 7.02.78, № 434-78.

[65] Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, М. А. Соколовский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 703 с.

[66] Хазин, Л. Г. Правильные многоугольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний / Л. Г. Хазин // Доклады Академии наук СССР. - 1976. - Т. 230, № 4. - С. 799-802.

[67] Хазин, Л. Г. Устойчивость положения равновесия гамильтоновых систем при кратных частотах / Л. Г. Хазин // H. Е. Кочин и развитие механики. — М.: Наука, 1984. — С. 174-185.

[68] Хазин, Л. Г. Устойчивость критических положений равновесия / Л. Г. Хазин, Э. Э. Шноль. - Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985. - 216 с.

[69] Штеренлихт, Л.М. Канонические преобразования Ляпунова и нормальные формы гамильтонианов / Л.М. Штеренлихт // Прикладная математика и механика. — 1975. — Т. 39, вып. 4. — С. 604-613.

[70] Vortex crystals / H. Aref, P. К. Newton, M. A. Stremler et al. // Advances in Applied Mechanics. - 2003. - Vol. 39, iss. С - P. 1-79.

[71] Beth, H. I. E. Les oscillations autaur d'une position d'équilibre dans le cas d'existence d'une relation linéaire simple entre les nombres vibrators / H. I. E. Beth // Arch. Néerl. sci. exactes et natur. — 1910. — sér. 2, 15. — P. 246-283.

[72] Beth, H. I. E. Les oscillations autour d'une position d'équilibre dans le cas d'existence d'une relation linâaire simple entre les nombres vibratoires (suite) / H. I. E. Beth // Arch. Neer. sci. exactes et natur. — 1912. — sér. ЗА, 1. - P. 185-213.

[73] Beth, H. I. E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations / H.I.E. Beth // Phil. Mag. - 1913. - ser. 6, 26. - 268-324.

[74] Birkhoff, G. D. Dynamical systems. — New York: Amer. Math. Soc, 1927. — Перевод: Биркгоф, Дж.Д. Динамические системы. — M.-Л.: Госте-хиздат, 1941.

[75] Borisov, А. V. Stability of Thomson's configurations of vortices on a sphere / A. V. Borisov, A. V. Kilin // Regular and Chaotic Dynamics. — 2000. — Vol. 5. - P. 189-200.

[76] Burgoyne, N. Normal forms for real linear Hamiltonian systems with purely imaginary eigenvalues / N. Burgoyne, R. Chushman // Celestial Mechanics. - 1974. - Vol. 8, N 4. P. 435-443.

[77] Cabral, H. E. Spectral stability of relative equilibria in the problem of N+l vortices / H. E. Cabral, D. S. Schmidt // SIAM Journal on Mathematical Analysis - 1999. - Vol. 31, N 2. - P. 231-250.

[78] Campbell L. J. Transverse normal modes of finite vortex arrays / L. J. Campbell // Physical Review A. - 1981. - Vol. 24. - P. 514-534.

[79] Cherry, T. M. On the transformation of Hamiltonian systems of linear differential equations with constant or periodic coefficients / T. M. Cherry // Proceedings of the London Mathematical Society. Ser. 2. — 1927. Vol. 26, N 3. P. 211-230.

[80] Derr, L. A fotographic study of Mayer's floating / L. Derr // Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. — 1909. — Vol. 44. — P. 525-528.

[81] Durkin, D. Experiments on two-dimentional vortex partens / D. Durkin, J. Fajans // Physics of Fluids. - 2000. - Vol. 12. - P. 289-293.

[82] Fetter, A. L. Low-Lying Super States in a Rotating Annulus / A. L. Fetter // Physical review. - 1967. - Vol. 153, N. 1. - P. 285-296.

[83] Fine, K. Relaxation of 2D Turbulence to Vortex Crystal / K. Fine, A. Cass, W. Flynn, C. Dryscoll // Physical Review Letters. — 1995. — Vol. 75. — P. 3277-3280.

[84] Glimm J. Formal stability of Hamiltonian systems / J. Glimm // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1964. — Vol. 17, N 4. P. 509-526.

[85] Havelock T. H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation / T. H. Havelock // Philosophical Magazine. — 1931. — Vol. 11, N 70. - P. 617-633.

[86] Kampen, E. R. On canonical transformations of Hamiltonian systems / E. R. Kampen, A. Wintner // American Journal of Mathematics. — 1936. - Vol. 58, N 4. - P. 851-863.

[87] Korteweg, D. J. Sur certaines vibrations d'ordre supérieur e: d'iniensité anomale / D. J. Korteweg // Archives Néerlandaises des Sei. Exactes et de Nature. - 1897. - Ser. 2, N 1. - P. 229-260.

[88] Kurakin, L. G. On nonlinear stability of the regular vortex systems on a sphere / L. G. Kurakin // Chaos. - 2004. - Vol. 14. - P. 592-602.

[89] Kurakin L. G., On stability of a regular vortex polygon in the circular domain // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. — 2005. — Vol. 7, Supplem. 3. - P. S376-S386.

[90] Kurakin, L. G. On the stability of Thomson's vortex configurations inside a circular domain / L. G. Kurakin // Regular and Chaotic Dynamics. — 2010. - Vol. 15, N 1. - P. 40-58.

[91] Kurakin, L. G. Stability of the regular vortex polygon with evenly many vortices outside a circular domain / L. G. Kurakin, I.V. Ostrovskaya // International Conference "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres". Vladivostok, September 27-30, 2011 r.

[92] Kurakin, L. G. Nonlinear Stability Analysis of a Regular Vortex Pentagon Outside a Circle / L. G. Kurakin, I.V. Ostrovskaya / / Regular and Chaotic Dynamics. - 2012. - Vol. 17, N 5. - P. 385-396.

[93] Kurakin, L. G. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon / L.G. Kurakin, V.l. Yudovich // Chaos. - 2002. - Vol. 12. P. 574-595.

[94] Lancos, Cf. C. Eine neue Transformation-theorie linearer canonischer Gleichungen / Cf. C. Lancos // Annalen der Physik. — 1934. — 5 Folge, N 20. - P. 653-683.

[95] Laub, J. Canonical forms for sympleetic and Hamiltonian matrices / J. Laub, K. Meyer // Celestial Mechanics. - 1974. - Vol. 9, N. 2. -P. 213-238.

[96] Lerman, L. M. On Stability at the Hamiltonian Hopf Bifurcation / L. M. Lerman, A. P. Markova // Regular and Chaotic Dynamics. — 2009. — Vol. 14, N 1. - P. 148-162.

[97] Mayer, A.M. Experiments with floating magnets / A.M. Mayer // The American journal of science and arts, Third series. — 1878. — Vol. XV. — P. 276-277; Nature. - 1878. - Vol. 17. - P. 487-488.

[98] Mayer, A.M. Floating magnets / A.M. Mayer // Nature. - 1878. -Vol. 18. - P. 258-260.

[99] Mayer, A.M. Note on floating magnets / A.M. Mayer // The American journal of science and arts, Third series. — 1878. — Vol. XV. — P. 477-478.

[100] Mayer A.M., Floating magnets / A.M. Mayer // The American journal of science and arts, Third series. - 1878. - Vol. XVI. - P. 247-256.

[101] Mertz, G.T. Stability of body-centered polygonal configurations of ideal vortices / G.T. Mertz // Physics of Fluids. - 1978. - Vol.21, N7. -P. 1092-1095.

[102] Morton, W.V. Vortex polygon / W.V. Morton // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1935. - Vol. 42. - P. 21-29.

[103] Moser, J. Stabilitälsverhalten canonischer Differential — gleichungssysteme / J. Moser // Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. IIa. Mathematisch-Physikalische Klasse. — 1955. — N 6. — P. 87-120.

[104] Moser, J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems / J. Moser // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1958. — Vol. 11, N 1. - pp. 81-114.

[105] Moser, J. Stability of the asteroids / Moser J. // Astronomical Journal. — 1958. - Vol. 63, N 10. - P. 439-443.

[106] Moser J. On the elimination of the irrationality condition and Birkhoff's concept of complete stability // Bol. Soc. mat. mexicana. — I960. — P. 167175.

[107] Moser, J. Lectures on Hamiltonian Systems / J. Moser. // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1968. — № 81. = Мозер, Ю. Лекции о гамильтоиовых системах/ Ю. Мозер. — М.: Мир, 1973. — 167 с.

[108] Pars, L. A. A treatise on analytical dynamics / L. A. Pars. — London: Heinemann, 1965. = Перевод: Парс, Л. А. Аналитическая динамика / Л. А. Парс. — М.: Наука, 1971.

[109] Pekarsky, S. Point vortices on a sphere: stability of relative equilibria / S. Pekarsky, J. Marsden // Journal of Mathematical Physics. — 1998. — Vol. 39. - P. 5894-5907.

[110] Roels, J. Normalisation des systemes lineaires canoniques et application au probleme restreini des trois corps / J. Roels, G. Louterman // Celestial Mechanics. - 1970. - Vol. 3, N 1. - P. 129-140.

[111] Routh, E.J. A Treatise on the stability of a given state motion / E.J. Routh. — London: Macmillan, 1877. 108 p.

[112] Thomson, J.J. On the Motion of Vortex Rings /J.J. Thomson. — London: Macmillan,1883. P. 94-108.

[113] Sigel, C.L. Vorlesungen über Himmelsmechanik / С. L. Sigel. — BerlinGottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1956. = Перевод: Зигель, К. Л. Лекции по небесной механике / К. Л. Зигель. — М.: Изд-во ин. лит. 1959.

[114] Synge, J.L. Classical dynamics. / J.L. Synge // Handbuch der Physik. Vol. 3. Prinzipien der klassischen Dynamik und Feldtheorie. — BerlinGottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1960. = Перевод: Синг, Д. Л. Классическая динамика / Д. Л. Синг. — М.: Физматгиз, 1963. 448 с.

[115] Thomson, J.J. The Corpuscular Theory of Matter / J.J. Thomson. — London-Tonbridge, 1907.

[116] Thomson, W. Floating magnets (illustrating vortex systems) / W. Thomson // Nature. -1978. - Vol. 18. - P. 13-14; Kelvin, W. T. Mathematical and Physical Papers / W. T. Kelvin — Cambridge University press, 1910. - Vol. 4. P. 162-164.

[117] Whittaker, E. Т. A treatise on the analytical dynamics ol particles and rigid bodies / Whittaker E. T. — Cambridge, 1937. = Перевод: Уиттекер, E. Т. Аналитическая Динамика / Е. Т. Уиттекер — M.-JL: ОНТИ, 1937.

[118] Williamson, J. On algebraic problem concerning the normal form of linear dynamical systems / J. Williamson / / American Journal of Mathematics. — 1936. - Vol. 58, N 1. P. 141-163.

[119] Williamson, J. On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics / J. Williamson // American Journal of Mathematics. - 1937. Vol. 59, N 3. - P. 599-617.

[120] Williamson, J. The exponential representaition of canonical matrices / J. Williamson // American Journal of Mathematics. — 1939. — Vol.61, N 4. P. 897-911.

[121] Williamson, J. An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems / J. Williamson // American Journal of Mathematics. - 1940. - Vol. 62, N 4. - P. 881-911.

[122] Wintner, A. On the linear conservative dvnamical svstems / A. Wintner // Annali di Matematica Рига ed Applicata. Ser. 4. — 1935. Vol. 13. — P. 105-112.

[123] Wood, R. W. Equilibrium-figures formed by floating magnets / R. W. Wood // Philosophical Magazine. Series 5. - 1898. - Vol. 46, N. 278. -P. 162-164.

[124] Yarmchuk, E. Observation of stationary vortex array in rotating superfluid helium / E. Yarmchuk, M. Gordon, R. Packard // Physical Review Letters - 1979. - Vol. 43. - P. 214-217.

[125] Yarmchuk, E. Photographic studies of quantized vortex lines / E. Yarmchuk, R. Packard // Journal of Low Temperature Physics. — 1982. - Vol. 46. - P. 479-515.