Устойчивость радиально-вращательного растекания-стока цилиндрического слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Тлюстангелов Галим Султанович

• Тлюстангелов Галим Султанович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Тлюстангелов Галим Султанович

Ах(£) и А2Й

1.1.6 Невязкий предел

1.2 Трёхмерные возмущения радиально-вращательно-осевого

растекания-стока вязкого цилиндрического слоя

1.2.1 Невозмущенное течение и его параметры

1.2.2 Трёхмерная картина возмущений

1.2.3 Применение метода интегральных соотношений

1.2.4 Оценки затухания возмущений

1.2.5 Оценки возмущений радиального растекания-стока с учё-

том осевого движения

1.2.6 Оценки возмущений радиально-вращательного растекания-

стока в отсутствии осевого движения

Глава 2 Оценки возмущений жесткопластического растекания-

стока кольца

2.1 Напряженно-деформированное состояние в основном дви-

жении

2.2 Линеаризованная задача в терминах плоских возмущений

2.3 Анализ квадратичных функционалов

2.4 Интегральные неравенства в И2[а; Ь] и экспоненциальные

оценки развития возмущений

2.5 Растекание-сток с постоянным расходом

2.6 Линеаризованные граничные условия на свободной поверх-

ности в случае невязкой среды

Глава 3 Гравитационная устойчивость вертикально перемещаемых двухслойных систем

3.1 Устойчивость двухслойной системы тяжелых невязких сред при

переносном вертикальном движении

3.1.1 Поступательное невозмущенное движение

3.1.2 Линеаризация относительно малых возмущений

3.1.3 Характеристические уравнения

3.2 Вязкий слой-полупространство невязкой среды

3.2.1 Поступательное невозмущенное движение

3.2.2 Линеаризация относительно малых возмущений

3.2.3 Характеристическое уравнение

3.2.4 Предел большой вязкости

Основные результаты диссертации

Литература

Введение

Диссертация посвящена исследованию эволюции во времени картины малых возмущений кинематических и силовых величин, налагаемых на радиальное растекание либо сток цилиндрических слоёв под действием внешней нагрузки. Эти слои могут состоять из материала, определяющие соотношения которого соответствуют либо ньютоновской вязкой среде, либо идеально жесткопластическому телу, подчиняющемуся критерию пластичности Мизеса-Генки. На основе метода интегральных соотношений, примененного к линеаризованной задаче в возмущениях, выводятся достаточные оценки экспоненциальной устойчивости основного движения. Задача исследуется как в случае плоской, так и трёхмерной картин возмущений, налагаемых на радиально-вращательное растекание либо сток цилиндрического слоя. Также в работе рассматривается задача развития малых возмущений в системе, состоящей в первом случае из двух тяжелых несжимаемых невязких сред с различными плотностями, а во втором из слоя вязкой несжимаемой среды, покрывающего полупространство идеальной несжимаемой жидкости. Показано, что гравитационная устойчивость зависит от условий на границах слоёв - наличия свободной поверхности либо непротекания сквозь прямолинейную границу.

Актуальность темы.

Вопросы устойчивости растекания-стока вязких и пластических цилиндрических слоёв имеют приложения в задачах, связанных с обработкой материалов давлением, вытяжкой, ковкой и другими технологическими процессами. Актуально получение режимов растекания-стока, при которых основное одномерное по радиусу течение не претерпевает существенных изменений при введении в систему возмущений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость радиально-вращательного растекания-стока цилиндрического слоя»

Цель работы.

Целью настоящей диссертационной работы является получение достаточных интегральных оценок устойчивости, наиболее часто встречающихся в приложениях радиально-вращательных режимов движения цилиндрического слоя.

Научная новизна.

1. Для идеально жесткопластических сред развит и апробирован метод интегральных соотношений, применявшийся ранее в исследованиях устойчивости в основном для ньютоновских вязких жидкостей.

2. Впервые аналитически получены интегральные оценки устойчивости, включающие параметры основного растекания-стока, которые допустимо определить экспериментально.

3. Явно показана зависимость оценок гравитационной устойчивости в двухслойных тяжелых системах от граничных условий на внешних границах.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение.

1. Полученные в работе достаточные экспоненциальные оценки устойчивости имеют практическую значимость при выборе оптимальных режимов обработки давлением цилиндрических слоёв в процессе их комбинированного растекания-стока - осесимметричного вращения - осевого сдвига. Важное теоретическое значение имеет предпринятый в работе анализ взаимного влияния на устойчивость вязких и пластических свойств материала.

2. Результаты в задаче гравитационной устойчивости двухслойных систем могут иметь практическое применение при масштабном и натурном моделировании процессов, протекающих в системе литосфера-астеносфера.

Обоснованность и достоверность.

Обоснованность и достоверность результатов вытекает из классического аппарата механики сплошной среды, аналитической динамики, математического и функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Положения и качественные выводы работы выдерживают тесты на сравнение с признанными результатами других авторов.

Положения, выносимые на защиту:

1. В линеаризованной теории устойчивости развит метод интегральных соотношений для трёхмерных нестационарных течений в областях со сложной геометрией.

2. С помощью этого метода получены достаточные интегральные оценки устойчивости движения вязких либо идеально жесткопластических цилиндрических слоев.

Апробация работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри (2015, 2016 г.г.), д.ф.-м.н., проф. В.И. Горбачева (2017 г.)

• научно-исследовательский семинар имени А.А. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского (2017 г.)

• научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Р.И. Нигматулина (2017 г.)

• научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством члена-корр. РАН Е.В. Ломакина (2017 г.)

• научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., проф. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова (2017 г.)

• научно-исследовательский семинар «Современные проблемы механики сплошной среды» Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. С.В. Нестерова и д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского (2016 г.)

• XXIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2017»

• Международная научная конференция «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики», посвященная 110-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова (2016 г.)

• Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ (2016 г.)

• Первая международная научная конференция «Осенние математические чтения в Адыгее» (2016 г.)

• Научная конференция «Ломоносовские чтения» (2013 г.)

Публикации по теме диссертации.

Основные результаты диссертационного исследования представлены в пяти научных публикациях [68,75,76,77,79], в том числе в четырех статьях рецензируемых научных изданий, индексируемых в базах данных Web of Science, Scopus и RSCI.

Обзор литературы. Степень разработанности задачи.

Исследование динамики возмущений и влияния свойств среды на характеристики устойчивости является актуальной задачей, имеющей не только прикладное, но и фундаментальное значение. Изучение параметров неустойчивости необходимо для более глубокого понимания фундаментальных аспектов физических явлений и механизмов тепломассопереноса в кольцевых течениях различной природы.

Одной из первых фундаментальных работ, в которой ставилась и анализировалась задача устойчивости относительно малых возмущений растекания кольца из материала, обладающего пластическими свойствами, является статья А.А. Ильюшина [1]. В ней дается постановка краевой задачи устойчивости вязкопластического течения относительно малых возмущений. Линеаризация уравнений движения проводится вблизи основного состояния, причем это состояние считается известным из тех или иных геометрических или физических соображений. Возмущения накладываются как на уравнения границы тела, так и на известные кинематические и динамические поля внутри области течения. Внешние данные (поверхностные нагрузки и скорости границ) не варьируются. Таким образом, система уравнений, получающаяся после подстановки фундаментальных решений линеаризованных уравнений движения в линеаризованные граничные условия, однородна. Характеристическое уравнение связывает параметр частоты возмущения по времени и волновое число. Далее в [1] предложен способ нахождения закона движения. В качестве основных течений вязкопластической среды выбраны растяжение-сжатие бесконечной полосы и растекание толстостенного полого цилиндра под действием внутреннего давления. В случае цилиндра одним из типов возмущений, наложенных на одномерное растекание, принимается эксцентриситет внутреннего отверстия трубы. Таким образом, устойчивость основного движения исследуется относительно малых вариаций начальных данных и геометрии области. С точки зрения эйлерова подхода устойчивость вязкопластического течения полосы, круглого прута и круглой пластины изучены в работах [2,

3].

В дальнейшем различные аспекты задачи [1] освещались во многих монографиях [4-6], посвященных теории идеально жесткопластического течения. Отметим актуальные и по сей день технологические приложения [7-9], свя-

занные с оптимизацией режимов растекания кольца и цилиндрического слоя и подавлением нежелательной неустойчивости течения.

В работе [10] Дж. Тейлором впервые был исследован переход от ламинарного к турбулентному режиму при вращении жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. В статье Дж. Сайнджа [11], монографиях Линь Цзя-цзяо [12], Н.А. Слёзкина [13], С. Чандрасекара [14] представлены исследования осесимметричных возмущений для случая узкого зазора между цилиндрами. Дж. Сайндж установил, что если цилиндры вращаются в одну сторону с угловыми скоростями ша и шь (а и Ь - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров), то круговое движение будет всегда устойчивым при выполнении неравенства а2ша < Ь2шь. Если же цилиндры вращаются в разные стороны , или последнее неравенство не выполняется, то существует критическое число Рейнольдса, при превышении которого наступает потеря устойчивости ламинарного стационарного вращения. В работе [15] изучалась устойчивость вращения вязкопластической среды между двумя коаксиальными цилиндрами. В результате был сделан вывод о том, что если внутренний цилиндр неподвижен, то при переходе от ламинарного к турбулентному режиму движение всегда устойчиво, а если неподвижен внешний цилиндр, то всегда неустойчиво. В [16] экспериментально обнаружен переход к турбулентности в таком течении. В работе [17] отмечена необходимость выбора вязкопластической модели во многих технологических задачах. В ней исследовано движение в трубах вязких жидкостей степенного типа. Переход к турбулентности в пу-азейлевом течении в круглой трубе с учетом предела текучести материала наступает, когда некоторый безразмерный параметр достигает своего критического значения. В работах [18, 19] на этом основании выведена зависимость критических чисел Рейнольдса и Хёдстрема. Потерей устойчивости в работе [20] под действием крутящего момента, осевой силы и внутреннего давления понимается ситуация, когда из-за уменьшения толщины трубы скорость упрочнения недостаточна для компенсации увеличения напряжений. В работах [21, 22] изучена устойчивость относительно малых и конечных возмущений пуазейлева течения вязкопластичного тела. Показано, что течение устойчиво по отношению к возмущениям бесконечно малой амплитуды в области сдвига вблизи границы ядра потока. Конечные возмущения представлены в виде суммы стационарного искажения профиля основного течения и нестационарной части. Получены зависимости числа Рейнольдса от волнового числа, соответствующего кривой нейтральной устойчивости. В работе [23] изучена потеря устойчивости развитого течения вязкопластической среды в трубе. На основе анализа малых возмущений найдено численно критическое число Рейнольдса, которое хорошо согласуется с экспериментальным значением,

в случае когда когда радиус жесткой зоны превосходит 0,6 радиуса трубы. В работах [24, 25, 26] исследовано осесимметричное прощелкивание цилиндрической оболочки из материала с линейным скалярным соотношением под действием радиальной импульсной нагрузки. Аналогичная задача с учетом неосесимметричных возмущений решена для сферической оболочки в работе [27]. Ряд работ [28-38] посвящен математическим аспектам устойчивости, единственности, существования, а также нахождению точных решений нестационарных краевых задач вязкопластичности. В диссертации [39] определены параметры вращения и радиального растекания осесимметричной системы, состоящей из двух тяжелых вязкопластических слоев, а также сами условия осуществимости течения. Даны постановки краевых задач устойчивости этих основных движений.

В работе [40] Л.В. Овсянниковым была поставлена общая задача об устойчивости нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Задачей о движении кольца жидкости, вращающегося по инерции занимались В.В. Пухначев, В.О. Бытев, О.М. Лаврентьева [41-45]. В модели, рассматриваемой В.О. Бытевым, не учитываются силы поверхностного натяжения и давление внутри и вне полости кольца считается всегда одинаковым. Изучены случаи сходимости и расходимости кольца до критических радиусов. В задаче об инерционном движении кольца вязкой капиллярной жидкости в постановке В.В. Пухначева [45] учитывается наличие инерционных сил, сил поверхностного натяжения, и предположение, что давление газа на внешней границе кольца и давление внутри полости считается одинаковым. В работах О.М. Лаврентьевой [42-44] учтены как силы поверхностного натяжения, так и различное давление вне полости кольца и внутри полости кольца, проведен качественный анализ решения. Анализируется влияние вязкости на устойчивость нестационарного движения жидкого кольца. Получены оценки, на основе которых можно заключить, в каком именно режиме будет двигаться жидкое кольцо. Было показано, что неограниченное расширение возможно, в частности, при отсутствии сил поверхностного натяжения, и поддержания постоянного давления во внутренней полости кольца. Схлопывание кольца возможно при наличии сил поверхностного натяжения или при поддержании постоянного преобладающего, сжимающего давления вне кольца жидкости. Детально описано превращение кольца в круг и движение круга. В отсутствие сил поверхностного натяжения установлены два различных режима расхождения.

В работе [46] В.Р. Душин исследовал растекание кольца нелинейно-вязкой жидкости. Здесь же даны также численные результаты. В работах [47,48] проанализирована устойчивость кругового течения Куэтта относительно осе-

симметричных и неосесимметричных возмущений. Описан метод решения задачи на собственные значения и алгоритм численной реализации метода. В работах [49, 50] Д.С. Торосен получил, что свободная поверхность однородной жидкости внутри быстро вращающегося сосуда покрыта центробежными поверхностными волнами, которые могут приводить к неустойчивости. В статье Н.В. Паршиковой [51] имеются численные результаты по течению вязкой жидкости между дисками, вращающимися с одинаковой угловой скоростью в цилиндрическом кожухе, который движется поступательно. В монографии Д. Джозефа [52] изучается устойчивость равновесия вязких жидкостей в капиллярных сосудах, где существенное влияние оказывают силы поверхностного натяжения.

В работе В.М. Кузнецова и Е.Н. Шера [53] представлено доказательство устойчивости инерционного расширения жидкого кольца относительно симметричных возмущений. В работе В.К. Андреева [54] исследуется устойчивость неустановившегося течения в цилиндре идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Показано, что круглая струя без учета поверхностного натяжения устойчива по отношению к осесимметричным возмущениям. Введение же капиллярных сил приводит к сильной неустойчивости. В работе В.К. Андреева и А.А. Родионова [55] получено точное решение нестационарных уравнений вращательно-симметричного движения идеальной жидкости. Это движение интерпретируется как движение цилиндрического слоя со свободными границами, при этом учитывается влияние сил поверхностного натяжения. Также в этой работе представлен анализ устойчивости по линейному приближению, и найдены асимптотики роста малых возмущений.

В работах А.Б. Киселева [56, 57] получены аналитические решения задач расширения (сжатия) цилиндрических труб из несжимаемых вязкопла-стических материалов. Работы С.В. Серикова [58-60] посвящены вопросам устойчивости движения пластических колец. Так, в работе [58] строится основное течение на основании эксперимента о течении металлического кольца под действием взрыва, описанного В.М. Кузнецовым в работе [59]. Затем это решение исследуется на устойчивость по отношению к малым возмущениям свободных границ кольца, вектора скорости и давления. В работе [59] сформулирована постановка плоской задачи неустановившегося течения идеально пластического кольца под действием внутреннего давления. Определение закона движения границ и изменения давления со временем сводится к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого уравнения определяется частное решение задачи Коши, соответствующее расширению границ кольца с отрицательным ускорением. Полученное

частное неустановившееся течение идеально пластического кольца исследуется на устойчивость по отношению к малым гармоническим возмущениям вектора скорости, давления и границ кольца. В предположении малости инерционных сил в возмущенном течении по сравнению с прочностными показано , что основное течение устойчиво при любом волновом числе. В работе [60] рассматривается неустановившаяся деформация металлических цилиндрических оболочек при импульсном нагружении. Движение границ кольца по инерции к центру или от него исследуется на устойчивость по отношению к малым гармоническим возмущениям границ, вектора скорости и тензора напряжений. Далее в работе [60] получено соотношение на волновое число, при котором отмечается неустойчивость движения.

Обзор диссертационной работы по главам.

Настоящая работа посвящена получению достаточных интегральных оценок устойчивости наиболее часто встречающихся в приложениях радиально-вращательных режимов движения цилиндрического слоя. Применяемая в данной диссертации концепция устойчивости основного движения тела по отношению к начальным возмущениям, описанная в книге [62], состоит в следующем. Предполагается, что известно решение некоторой краевой задачи, описывающее процесс деформирования твердого тела со временем. Тем самым, известны векторные поля скорости и перемещений, тензорные поля напряжений, деформаций, скоростей деформаций, давления, плотности как функции эйлеровых координат х и времени £. Также известен закон изменения границ области, в которой происходит движение. В систему границ включены поверхности, на которых заданы кинематические и динамические условия. Если все перечисленные поля зависят явно от времени, то процесс деформирования является нестационарным. Одновременно с описанным выше процессом (процесс Л), который является основным или невозмущенным и помечается индексом "о", протекает еще один процесс В. Причина, по которой эти процессы рассматриваются вместе, является их близость в некоторый момент времени £ = £0. Это означает, что параметры второго процесса относительно первого представляются в следующем виде: у(х, £0) = (V0 + 5у)(х,£0),а(х, £0) = + да)(х,£0) и т.д., где 5у - возмущения векторного поля скоростей, 6и - возмущения векторного поля перемещений и т.д. Эти возмущения представляют собой начальные отклонения параметров невозмущенного процесса. И такой процесс движения называется возмущенным. Задача устойчивости как раз и заключается в исследовании невозмущенного процесса относительно такого рода начальных возмущений. Достаточным условием устойчивости процесса Л по отношению к начальным возмущениям является его асимптотическая устойчивость по набору

мер. Кроме того полагаем, что возмущения малые. Тем самым, начально-краевая задача, описывающая возмущенный процесс движения, может быть линеаризована вблизи основного состояния - невозмущенного процесса. Параметры невозмущенного процесса будут входить только в качестве известных коэффициентов, зависящих от х и I, в линеаризованные уравнения в возмущениях. Методы решения полученной линеаризованной задачи могут быть различными. Фундаментальные решения можно выписать явно только в самых простых случаях основного движения (например покой или равномерное прямолинейное движение среды). Возможны случаи, когда основное движение (невозмущенный процесс) точно найти нельзя, а можно определить численно с некоторой степенью точности. Тогда можно использовать интегральные методы анализа устойчивости, такие как метод сравнения [63], метод интегральных соотношений [64], прямой анализ уравнений равновесия [65-67] и другие. В данной работе применен метод интегральных соотношений для получения достаточных оценок устойчивости различных режимов течений цилиндрических слоев.

Основной целью при исследовании на устойчивость различных режимов течений в настоящей работе является получение достаточных экспоненциальных оценок либо затухания возмущений, либо оценок не превышения их роста.

В первой главе диссертации исследована эволюция во времени малых возмущений кинематических и силовых величин, налагаемых на радиальное растекание либо сток плоского кольца, занятого однородной ньютоновской средой либо невязкой несжимаемой средой [68]. При задании расхода как функции времени основное движение полностью определяется условием несжимаемости вне зависимости от свойств среды. Для возмущения функции тока выписывается бипараболическое уравнение с четырьмя однородными граничными условиями, моделирующими прилипание к расширяющимся (сужающимся) стенкам кольца. Кинематика радиального растекания либо стока на плоскости кольца, границы которого остаются концентрическими окружностями, при условии несжимаемости довольно проста, не зависит от свойств заполняющей кольцо среды и полностью определяется заданием либо радиуса одной из границ, либо расхода как функций времени. При этом границы могут быть как свободны от напряжений [41,69], так и связаны условиями прилипания к жёстким расширяющимся стенкам. Наложение плоских неосесимметричных возмущений на кинематические и силовые характеристики движения позволяет ставить и исследовать задачи устойчивости растекания кольца [52,70]. Рассмотрение малых возмущений приводит к линеаризованной задаче относительно функции тока. Одним из зарекомендовавших

себя методов её анализа является метод интегральных соотношений [64,7173], развиваемый в данной работе на класс ньютоновских течений в плоских областях с подвижными границами. С помощью этого метода для квадратичных функционалов находятся верхние оценки развития возмущений. Выделяется случай экспоненциального затухания начальных возмущений на конечном либо бесконечном интервалах времени. Обосновывается допустимость в данной задаче невязкого предела, в котором выводятся как верхние, так и нижние оценки.

Отметим, что комбинированные радиально-вращательные течения сплошной среды в цилиндрическом слое находят прменение во многих технологических приложениях, связанных с массопереносом и перемешиванием. Поиск параметров таких течений давно является предметом фундаментальных исследований [41,69,74]. Так, далее в настоящей работе исследовано развитие во времени трёхмерной картины возмущений, наложенных на радиально-вращательное растекание либо сток, подверженного осевому течению вязкого цилиндрического слоя, параметры которого зависят от времени и радиальной координаты [75,76]. Движение границ цилиндрического слоя задано как в основном движении, так и в возмущённом. На основе метода интегральных соотношений [64,71], применённого к линеаризованной задаче в возмущениях, выводятся достаточные оценки экспоненциальной устойчивости основного движения.

Во второй главе изучена эволюция во времени плоской картины малых возмущений, налагаемых на радиальное растекание либо сток кольца из несжимаемого идеально жесткопластического материала, подчиняющегося критерию пластичности Мизеса-Генки [77]. На расширяющихся (сужающихся) границах кольца и в основном процессе, и в возмущенном приняты условия прилипания. С помощью метода интегральных соотношений, базирующегося на вариационных неравенствах в соответствующем комплексно-значном гильбертовом пространстве, линеаризованная задача в возмущениях сведена к одному соотношению для квадратичных функционалов, из которого выведены новые верхние экспоненциальные оценки роста либо затухания кинематических возмущений. Показано, что угловые гармоники с разными номерами эволюционируют качественно неодинаково.

В третьей главе диссертации исследовано развитие малых колебаний в системе, состоящей из тяжелого слоя идеальной несжимаемой жидкости, покрывающего слой идеальной жидкости с другой плотностью . Вся система как жесткое целое движется в вертикальном направлении по некоторому заданному закону. Осуществляется техника линеаризации уравнений и граничных условий. Анализ характеристических уравнений показывает, что гра-

витационная устойчивость зависит от условий на верхней границе верхнего слоя и нижней границе нижнего слоя - наличия свободной поверхности либо непротекания сквозь прямолинейную границу. Аналитически представлены количественные оценки роста или затухания начальных возмущений. Также исследована система [78], в которой в отличие от [79] полупространство идеальной жидкости покрывает тяжелый вязкий слой. Вся система как жесткое целое движется в вертикальном направлении по некоторому заданному закону. На основе техники линеаризации уравнений и граничных условий выведено характеристическое уравнение и аналитически рассмотрен предел большой вязкости, в котором двумя определяющими устойчивость параметрами являются разуплотнение и перегрузка.

Благодарность. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Георгиевскому Дмитрию Владимировичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1 Задачи устойчивости растекания-стока вязких сред

1.1 Оценки развития малых возмущений при радиальном растекании-стоке вязкого кольца

1.1.1 Невозмущённое течение и его параметры

Пусть плоское течение ньютоновской вязкой среды с плотностью р и динамической вязкостью д осуществляется при t > 0 в кольце = {a(t) < r < b(t), 0 < 9 < 2п}, где (r, 9) - полярная система координат с началом, совпадающим с центром кольца. Функции времени a(t) и b(t) известны, в силу несжимаемости среды они связаны условием

b2 - a2 = b0 - a0 = S/п, a0 = a(0), b0 = b(0), (1.1.1)

включающим постоянную площадь кольца S.

Радиальное растекание-сток (Рис.1) характеризуется следующими компонентами вектора скорости v° и тензора скоростей деформаций v°:

v°° = ^, v° = 0; v°°r = -v°°e = -^, v°°e = 0, (1.1.2) r r2

где 2nC(t) - заданный расход через окружность любого радиуса от a(t) до b(t). Функции a(t) и b(t), очевидно, выражаются через C(t):

t t

aa = bb = C ; a2 = a0 + 2 J C (r ) dr, b2 = b2 + 2 J C (r ) dr. (1.1.3)

00

Определяющие соотношения s° = 2^V° ньютоновской среды дают выражения для компонент девиатора s° тензора напряжений â ° = s° — p°I:

s°° = Sqq = 2 , s°0 = 0. (1.1.4)

В результате интегрирования уравнения движения в проекции на радиус р( v° t + v° ° v° ) — p ° + s°° ° + (s°° ) (1.1.5)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тлюстангелов Галим Султанович, 2018 год

Литература

[1] Ильюшин А.А. Деформация вязкопластичного тела // Учен. зап. MT^ 1940. Т. 39. С. 3-81.

[2] Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины // nMM. 1943. Т. 7. Вып. б. С. 405-412.

[3] Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // nMM. 1943. Т. 7. Вып. 2. С. 109-130.

[4] Соколовский В.В. Теория пластичности. M.: Высш. шк., 19б9. 608с.

[5] Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. M.: Наука, 1992. 384 с.

[6] Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Mатематическая теория пластичности. M.: Физматлит, 2001. 704 с.

[7] Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. M.: Mашиностроение, 1990. 272 с.

[8] Вязкопластическое течение материалов. Физико-математические основы технологии обработки давлением. M.: Изд-во ЦПИ при механ.-математ. ф-те MT^ 2001. 132 с.

[9] Колмогоров В.Л. Mеханика обработки металлов давлением. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2001. 836 с.

[10] Taylor G. The instability of liquid between rotating coaxial cylindres // Froc. Roy. Soc., London, ser. A. 1924. V. 137. №763. F. 208-217.

[11] Synge J. On the stability of a viscous liquid between two rotating coaxial cylindres // Proc. Roy. Soc., London, ser. A. 1938. V. 167. №931. P. 250-256.

[12] Линь Цзя цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М., Иностр. лит., 1958. 196 с.

[13] Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостех-издат, 1955. 520 с.

[14] Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Claredon Press, Oxford, 1961. 477 p.

[15] Астрахан И.М. Устойчивость вращательного движения вязкопла-стичной жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами // Журн. приклад. мех. и техн. физ. 1961. №2. С. 47-53.

[16] Михайлов Н.В., Ребиндер П.А. О структурно-механических свойствах дисперсных и высокомолекулярных систем // Коллоид. журн. 1955. Т. 17. №2. С. 107-109.

[17] Hanks R.W., Christiansen E.B. The laminar-turbulent transition in nonisothermal flow of pseudoplastic fluids in tubes // AICE J. 1962. V. 8. №4. P. 467-471.

[18] Лещий Н.П. Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения для нелинейных вязкопластичных жидкостей // Гидравлика и гидротехника. Киев, 1981. Вып. 33. С. 81-86.

[19] Hanks R.W. The laminar-turbulent transition for fluids with a yield stress // AICE J. 1963. V. 9. №3. P. 306-309.

[20] Storakes B. Plastic and visco-plastic instability of a thin tube under internal pressure, torsion and axial tension // Intern. J. Mech. Sci. 1968. V. 10. №6. P. 519-529.

[21] Павлов К.Б., Романов А.С., Симхович С.Л. Гидродинамическая неустойчивость пуазейлева течения неньютоновской вязкопластической жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №6. С. 152-154.

[22] Павлов К.Б., Романов А.С., Симхович С.Л. Устойчивость пуазей-лева течения вязкопластической жидкости по отношению к возмущениям конечной амплитуды // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №5. С. 166-169.

[23] Nakamura M., Sawada T. Theoretical study on turbulence transition of Bingham plastic fluid in a pipe // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. (Nihon kikay gakkay rombunsue). 1985. B51. №465. P. 1642-1647.

[24] Florence A.F. Buckling of viscoplastic cylindrical shells due to impulsive loading // AIAA J. 1968. V. 6. №3. P. 532-537.

[25] Florence A.F., Abrahamson G.R. Critical velocity for collapse of viscoplastic cylindrical shells without buckling //J. Appl. Mech. 1977. V. 44. №1. P. 89-94.

[26] Wojewodzki W. Buckling of short viscoplastic cylindrical shells subjected to radial impulse // Intern. J. Non-Linear Mech. 1973. V. 8. P. 325-343.

[27] Wojewodzki W., Lewinski P. Viscoplastic axisymmetrical buckling of spherical shell subjected to radial pressure impulse // Eng. Struct. 1981. V. 3. P. 168-174.

[28] Бучацкий Л.М. Особенности уплотнения вязкопластической среды с переменным пределом текучести // Инж.-физич. журн. 1992. Т. 63. №5. С.605-611.

[29] Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.Н. Об одном методе исследования пространственных течении вязкопластичных сред // Изв. РАН. МТТ. 1993. №4. С. 150-158.

[30] Петров А.Г. Об оптимизации процессов управления вязкопластическим течением в тонком слое с изменяемыми формами границ // Изв. РАН. МТТ. 1997. №2. С. 127-132.

[31] Расулов Т.М. Решение смешанной задачи для линеаризованной системы уравнений движения вязкопластических сред // Дифференц.

уравнения. 1991. Т. 27. №9. С. 1610-1617.

[32] Atkinson C., El-Ali K. Some boundary value problem for the Bingham model //J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 41. №3. P. 339-363.

[33] Beverly C.R., Tanner R.I. Numerical analysis of three-dimensional Bingham plastic flow //J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 42. №1-2. P. 85-115.

[34] Comparini E. A one-dimensional Bingham flow //J. Math. Anal. Appl. 1992. V. 169. №1. P. 127-139.

[35] Fan Chun. Flow of viscoplastic fluid on a rotating disk // Appl. Math. and Mech. (Yingyong shuxue he lixue). 1984. V. 15. №5. P. 421-427.

[36] Frigaard I.A., Howison S.D., Sobey I.J. On the stability of Poiseuille flow of a Bingham fluids //J. Fluid Mech. 1994. V. 263. P. 133-150.

[37] Oroveanu T., Abbulescu M. Unsteady flow of a Bingham plastic through a tube of a circular cross-section, with time-dependent pressure gradient // Rev. roum. sci. techn. Ser. Mec. appl. 1992. V. 37. №2. P. 165-175.

[38] Sekimoto K. An exact non-stationarity solution of a simple shear flow in a Bingham fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1991. V. 39. №1. P. 107-113.

[39] Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформации тяжелых слоистых неупругих тел. Диссертация ... канд. физ.-мат. наук.: 01.02.04 М., 1989. 127 с.

[40] Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры. В сб. "Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей". Новоси-бирск.:Наука. 1967. C. 5-75.

[41] Бытев В.О. Неустановившееся движение кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами // Прикладная механика и техническая физика. 1970. №3. С. 88-98.

[42] Лаврентьева О.М. Движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости. М., 1984, 51 с. - Деп в ИГ СО АН СССР 19.11.84., №7562

[43] Лаврентьева О.М. Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. Вып. 31. С. 52-60.

[44] Лаврентьева О.М. Предельные режимы движения вращающегося вязкого кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980. Вып. 4. С.15-34.

[45] Пухначев В.В. Квазистационарное приближение в задаче о вращающемся кольце // Сибирский математический журнал, Май-июнь, 2002, том 43. №3. С. 652-677.

[46] Душин В.Р. Неустановившееся радиальное движение кольца неньютоновской жидкости со свободными границами // Вестник МГУ. Сер. математика и механика. 1988. №5. С. 68-71.

[47] Ромашко Е.А. О частичной проблеме собственных значений в задачах гидродинамической устойчивости // ИФЖ. 1972. Т. 22. №4. С. 675-682.

[48] Ромашко Е.А. Роль неосесимметричных возмущений в развитии неустойчивости движения вязкой жидкости в зазоре между вращающимися соосными цилиндрами //В кн. "Процессы переноса в аппаратах с дисперсными системами"Минск. 1986. С. 139-151.

[49] Торосян Д.С. Волны на свободной поверхности жидкости в быстро вращающемся цилиндрическом сосуде // Изв. АН АрмССР. Физика. 1985. Т. 20. №6. С. 331-337.

[50] Торосян Д.С. Исследование формы свободной поверхности однородной жидкости в роторах цилиндрических центрифуг // Докл. АН АрмССР. 1984. Т. 79. №4. С. 188-192.

[51] Паршикова Н.В. Исследование течения вязкой жидкости в шнековой центрифуге конечно-разностными методами // В кн. "Математические модели и вычислительная техника в химическом машиностроении". М.,

1985. С. 47-54.

[52] Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

[53] Кузнецов В.М., Шер Е.Н. Об устойчивости течения идеальной несжимаемой жидкости в полосе и кольце // Прикладная механика и техническая физика. 1964. №2. С. 66-73.

[54] Андреев В.К. Об устойчивости нестационарной круглой струи идеальной несжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1972. №4. С. 80-84.

[55] Андреев В.К., Родионов А.А. Неустойчивость при растяжении цилиндрического слоя жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1992. №4. С. 100-107.

[56] Киселев А.Б. Аналитические решения задач об адиабатическом сжатии толстостенных сферических и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопластического материала // Прикладная математика и механика. Т. 76. №4. С. 675-679. 2012.

[57] Киселев А.Б. Точные решения одномерных задач расширения (сжатия) полых двухслойных шаров и цилиндрических труб из вязкопла-стических материалов под действием внешних динамических нагрузок // Прикладная физика и математика. №2. С. 22-30. 2017.

[58] Сериков С.В. Об устойчивости течения металлических колец под действием взрыва // ФГВ. 1975. Т. 11. №1. С. 112-119.

[59] Сериков С.В. Об устойчивости течения плоского пластического кольца со свободными границами // Прикладная механика и техническая физика. 1975. №2. С. 94-101.

[60] Сериков С.В. Об устойчивости вязкопластического кольца // Прикладная механика и техническая физика. 1984. №1. С. 157-168.

[61] Кузнецов В.М. О разрушении металлических колец в пластическом состоянии // ФГВ. 1973. №4. С. 567-571.

[62] Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязко-пластических тел. М.: Изд-во "УРСС 1998. 176 с.

[63] Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: Метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 247 с.

[64] Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 25. С. 3-89.

[65] Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Потапов В.Д. Устойчивость стержней из неоднородно-стареющего вязкоупругого материала // Изв. АН СССР. МТТ, 1984. №2, С. 177-187.

[66] ^Куховицкий Д.М. Устойчивость кольцевых пластин из неоднородно-стареющего вязкоупругого материала // ПММ. 1985. T. 49. Вып. 1. С. 148-155.

[67] Потапов В.Д. Устойчивость тел из неоднородно-стареющего вязко-упругого материала // ПММ. 1985. T. 49. №4. С. 648-654.

[68] Георгиевский Д.В., Тлюстангелов Г.С. Оценки развития малых возмущений при радиальном растекании (стоке) вязкого кольца // Прикладная механика и техническая физика, 58, №4, С. 46-55, 2017.

[69] Pukhnachov V.V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser.I. 1999. V. 328. P. 357-362.

[70] Speith R., Kley W. Stability of the viscously spreading ring // Astronomy and Astrophysics. 2003. V. 399. P. 395-408.

[71] Georgievskii D.V. Variational bounds and integral relations method in problems of stability // Journal of Mathematical Sciences. 2008. V. 154. No. 4. P. 549-603.

[72] Георгиевский Д.В. Эволюция трёхмерной картины возмущений, наложенных на вращательно-осевое течение в цилиндрическом зазоре // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 3. С. 345-354.

[73] Георгиевский Д.В. Интегральный анализ трёхмерной картины возмущений течения Пуазейля в трубе // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. № 4. С. 40-45.

[74] Shtern V., Hussain F. Collapse, symmetry, breaking, and hysteresis in swirling flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1999. V.31. P. 537-566.

[75] Тлюстангелов Г.С. Развитие возмущений в растекающемся вязком цилиндрическом слое с учетом вращения и осевого движения // Вестник ЧГПУ им И.Я.Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 30, №4, С. 12-23, 2016.

[76] Георгиевский Д.В., Путкарадзе В.Г., Тлюстангелов Г.С. Трёхмерные возмущения радиально-вращательного растекания-стока вязкого цилиндрического слоя // Доклады Академии наук, 473, №6, С. 655-658, 2017.

[77] Георгиевский Д.В., Тлюстангелов Г.С. Экспоненциальные оценки возмущений жёсткопластического растекания-стока кольца // Известия РАН. Механика твёрдого тела, №4, С. 135-144, 2017.

[78] Georgievskii D.V. Gravitational Stability of Vertically Moving System: Viscous Layer and Inviscid Half-Space // Russian J. Math. Phys. 2011. V. 18. № 2. P. 144-148.

[79] Georgievskii D.V., Tlyustangelov G.S. Stability of low oscillations in a two-layer inviscid fluid by vertical moving in gravity // Russian J. Math. Phys. 2010. V. 17. № 4. P. 400-405.

[80] Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Наука, 1968. 504 с.

[81] Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. М.: Наука,

2005. 394 с.

[82] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

[83] Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во МГАПИ, 1997. 333 с.

[84] Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1995. 366 с.

[85] Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1986. 264 с.

[86] Rayleigh Investigation on the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variavle density. Collected Papers. V.2, 1900, v.14, 598 p.

[87] Рамберг Х. Моделирование деформаций земной коры с применением центрифуги. М., Мир, 1970, 224 с.

[88] Lewis W. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. Part 1.- Proc. Roy. Soc., London, ser. A, 1950, v.202, № 1068, P. 81-98.

[89] Selig F. A theoretical prediction of Salt dome Patten. - Geophysics., 1965, v.30, № 4, P. 633-643.

[90] Lamb H. Hydrodynamics (Cambridge Univ. Press, 1895).

[91] Biot M. A. Theory of Folding of Stratified Viscoelastic Media and Its Implications in Tectonics and Orogenesis // Geologial Soc. of America Bull. 72 (11), P. 1595-1620 (1961).

[92] Ramberg H. Gravity, Deformation, and the Earth Crust (Acad. Press, London-N.Y., 1981).

[93] Turcotte D.L. and Schubert G. Geodynamics. Applications of Continuum Physics to Geological Problems (John Wiley, N.Y., 1982).

[94] Артюшков Е. В. Физическая Тектоника (Наука, Москва, 1993).

[95] Дубровский В. А. Механизм тектонических движений // Изв. Физика Земли (1), C. 25-38 (1986).

[96] Ryzhak E.I. and Nikitin L.V. On the Stability and Free Vibrations of a Slab-Fluid System with Density Inversion // Izv. Physics of the Earth (5), P. 65-78 (2005).

[97] Jackson M.P.A. and Talbot C.J. External Shapes, Strain Rates, and Dynamics of Salt Structures // Geological Soc. of America Bull. 97 (3), P. 305-323 (1986).

[98] Urai J.L., Spiers C.J., Zwart H.J., and Lister G.S., Weakening of Rock Salt by Water During Long-Term Creep // Nature. 324 (6097), P. 554-557 (1986).

[99] Георгиевский Д.В. Устойчивость границы раздела двух тяжелых вязкоупругих слоёв // Вестник МГУ. Сер.1. Математика. Механика. 1989. № 2. С. 94-97.

[100] Артемьев М.Е., Дубровский В.А. О связи упругих напряжений в литосфере с нарушениями изостазии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. №10. С. 93-98.

[101] Дубровский В.А. Верхняя мантия - тепловая машина Земли // Природа. 1977. №4. С. 144-145.

[102] Дубровский В.А. Тектонические волны // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. №1. С. 29-34.

[103] Artemjev M., Bune V., Dubrovsky V., Kambarov N. Seismicity and Isostasy // Phys. Earth Planet. Interiors. 1972. V. 6 №5. P. 262-268.