Динамическая устойчивость стенок канала при протекании по нему физически нелинейной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Юшутин, Владимир Станиславович

• Юшутин, Владимир Станиславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Юшутин, Владимир Станиславович

Оглавление

Введение

Глава 1. Течение нелинейно-вязкой среды со степенным законом

упрочнения внутри деформируемого канала

1.1 Степенная среда

1.1.1 Течение Пуазейля степенной среды

1.2 Упругий канал

1.2.1 Безынерционное винклерово основание

1.3 Интегральная постановка связанной задачи

1.3.1 Интегральные величины

1.3.2 Гипотеза единого профиля

1.3.3 Осреднение системы по поперечному сечению для произвольной среды

1.3.4 Осреднение течения степенной среды. Теория тонкого слоя

1.3.5 Аналогия с теорией мелкой воды

1.3.6 Разгон ньютоновской среды внутри цилиндрического жёсткого канала

1.4 Стационарное течение степенной среды внутри деформируемого канала

1.4.1 Аналитическое решение

1.4.2 Конфузор и диффузор

1.5 Асимптотическое интегрирование динамической задачи в случае большой жёсткости канала

1.5.1 Асимптотическое разложение по малому параметру

1.5.2 Нулевое приближение

1.5.3 Линейное приближении динамической задачи в случае

большой жёсткости

1.6 Оценка сдвигового напряжения в стенке канала

Глава 2. Течение вязкопластической среды Шведова-Бингама внутри

деформируемого канала

2.1 Вязкопластические среды

2.1.1 Среда Шведова-Бингама

2.1.2 Течение Пуазейля среды Шведова-Бингама

2.2 Интегральная постановка связанной задачи

2.2.1 Интегральные величины

2.2.2 Профиль продольной скорости в зоне течения

2.2.3 Осреднение по поперечному сечению

2.2.4 Уравнение Мещерского движения жёсткого ядра

2.3 Стационарное течение внутри деформируемого канала

2.4 Асимптотическое интегрирование в случае большой жёсткости канала

2.4.1 Асимптотическое разложение по малому параметру

2.4.2 Нулевое приближение

2.4.3 Линейное приближение динамической задачи в случае большой жёсткости

2.5 Течения в абсолютно жёсткой трубе переменного по длине радиуса

2.5.1 Стационарное течение внутри жёсткого конфузора

2.6 Течения внутри абсолютно жёсткого кругового цилиндра

2.6.1 Установление течения Пуазейля в жёсткой трубе

2.6.2 Задача об управлении средой заданным перепадом давления

2.6.3 Поведение системы вблизи положения равновесия

2.6.4 Время остановки вязкопластической среды внутри трубы кругового сечения

Глава 3. Устойчивость упругих каналов при протекании внутри них

неньютоновских сред

3.1 Устойчивость деформируемого канала в случае степенной среды

3.1.1 Дисперсионный закон нормальных мод

3.1.2 Критерий неустойчивости системы

3.1.3 Области неустойчивости в пространстве безразмерных параметров

3.1.4 Линии вырождения дисперсионного закона

3.2 Устойчивость деформирования упругого сосуда при течении среды Шведова-Бингама

3.2.1 Дисперсионный закон нормальных мод

3.2.2 Критерий неустойчивости системы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая устойчивость стенок канала при протекании по нему физически нелинейной среды»

Введение

Объектом исследования является осесимметричная система, состоящая из канала, стенки которого могут упруго деформироваться, и среды, текущей внутри него.

Предметом исследования является установление влияния реологии текущей среды на качественные и количественные характеристики колебания канала.

Актуальность работы.

Механические задачи, связанные с течением сред внутри податливых сосудов, изучались в связи с биологическими процессами [4], [14], [47], [35], [31], [41]. Изменение размеров и формы канала под действием сил со стороны протекающей среды влияет на само течение, перестраивая поля скорости и давления, а значит, снова воздействуя на геометрию сосуда, поэтому проблема течения внутри деформируемого канала является связанной контактной нелинейной задачей.

Взаимодействие сосуда и среды позволяет появляться специфичным явлениям, таким как схлопывание оболочки с последующим восстановлением осесимметричной формы, нелинейная зависимость перепада давления и расхода, автоколебания системы [33], [32].

Эксперименты и теоретические модели показывают, что самовозбуждаемые колебания могут возникнуть при отсутствии периодического внешнего воздействия [30], [39], [48], [23], [16]. Основными чертами являются устойчивое поведение системы при малом расходе среды, неустойчивость при больших, а также возможность неколебательной потери устойчивости.

Математические модели, предлагаемые для моделирования таких систем, постепенно усложнялись путем увеличения пространственной детализации.

Изначально рассматривались модели, где все параметры системы зависят лишь от времени, т.е. задача усреднялась по всему объему [43], [36]. Хотя при такой постановке невозможно изучать распространение среды по каналу и связанное с ним волновое движение стенок, но в некоторых вопросах удобно рассматривать систему подобно электрической схеме, где внешнее воздействие приводит к мгновенному изменению состояния в каждой точке. Примером является задача о транспортировке сред через разветвленную цепь последовательно-параллельных трубопроводов.

Широкое распространение получили пространственно одномерные модели, в которых поведение системы осредняется уже не по всему объёму, а лишь по поперечному сечению, так что появляется зависимость параметров системы от продольной координаты [26], [5]. Несмотря на относительную простоту математического аппарата, одномерные модели позволяют исследовать волновые процессы, связанные с течением среды, а также устойчивость системы.

Следующим этапом стали двумерные и трехмерные модели [25], [44|, [40], [34], [11], которые необходимо исследовать численно [50], [38]. Такие модели используются в задачах несимметричного схлопывания канала, задачах о стыке каналов из разных материалов. Следует отметить, что на их основе были подтверждены качественные результаты одномерных моделей.

Почти во всех моделях подразумевается, что среда, текущая внутри канала является ньютоновской или даже идеальной. В некоторых работах, однако, действительно исследуются течения неньютоновских, в том числе пластических сред, но деформирование стенок является заданным [54], [46], [29]. Таким образом, модели эти описывают перистальтические явления [3], [8]. В данной диссертации предлагается изучать системы, в которых канал взаимодействует со средами, обладающими сложной реологией: нелинейно-вязкая среда со степенным законом упрочнения и вязкопластическая среда Шведова-Бингама.

В основном, проблема течения сред внутри деформируемых каналов рассматривалась с гемодинамической стороны: кровь течет внутри сосудов живых организмов [7], [13] . Различные болезни артерий, вен, аорт, сердца и кровеносной системы в целом имеют и механический аспект, поэтому моделирование кровообращения представляется важной задачей. Например, атеросклероз есть болезнь, при которой, из-за большого числа факторов, просвет сосудов уменьшается, приводя к полному перекрытию. Такие сосуды подлежат операции (называемой стентированием), во время которой внутрь сосуда вставляется каркас, поддерживающий его раскрытое состояние [19]. Одномерные модели также эффективны в моделировании сильно разветвленных, каппилярных участков системы кровообращения [37], [28], [27], а также в моделировании аневризм сосудов [49].

Однако, известно, что кровь является неньютоновской средой [10], [24]. Эксперименты показывают наличие предела текучести [2], характерного для пластических сред, что объясняется тем, что эритроциты способны собираться в структуры (" монетные столбики"), которые и препятствуют течению при малых сдвиговых напряжениях. Другие работы показывают, что кровь является "псевдопластической" вязкой средой со степенным законом упрочнения [55]. Поэтому становится важным выявить качественные отличия поведения канала при течении по нему неньютоновских сред.

Цель исследования состоит в разработке пространственно одномерной математической модели течения нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения, а также модели течения вязкопластической среды Шведова-Бингама внутри деформируемого канала: и исследовании динамической устойчивости стенок канала при протекании внутри него указанных сред.

В диссертационной работе исследованы и решены следующие задачи:

• о стационарном течении в упругом канале нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения и вязкопластической среды Шведова-Бингама;

• об асимптотическом поведении при большой жёсткости системы, состоящей из упругого канала и степенной среды, либо вязкопластической среды Шведова-Бингама, текущих внутри него;

• о разгоне-торможении вязкопластической среды Шведова-Бингама внутри абсолютно жёсткого цилиндрического канала и об устойчивости этого процесса;

• о времени остановки вязкопластической среды Шведова-Бингама при течении по инерции внутри абсолютно жёсткого канала;

• об устойчивости стенок канала при течении внутри него нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения, либо вязкопластической среды Шведова-Бингама .

Научная новизна:

• предложена осреднённая пространственно одномерная модель течения нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения внутри деформируемого канала;

• предложена осреднённая пространственно одномерная модель течения вязкопластической среды Шведова-Бингама внутри деформируемого канала;

• установлена качественная зависимость устойчивости системы от реологических свойств текущей среды.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена течению нелинейно-вязкой степенной среды со степенным законом упрочнения внутри деформируемого канала. Уравнение движения среды интегрируется по произвольному сечению канала с

учётом гипотезы единого профиля и длинноволнового приближения. Уравнение несжимаемости интегрируется по произвольному сечению точно. Система уравнений замыкается уравнением движения упругого канала.

С помощью предложенной математической модели аналитически решается стационарная задача течения степенной среды внутри деформируемого канала. Затем изучаются асимптотические свойства системы при большой жёсткости канала.

Во второй главе исследуется течение вязкоп ласти ческой среды Шведова-Бингама внутри деформируемого канала. Уравнение движения среды интегрируется по произвольному сечению, но теперь гипотеза единого профиля модифицируется так, что вид профиля может меняться от сечения к сечению. Уравнение несжимаемости и уравнение движения оболочки ровно такие же, как и в первой главе.

Далее численно решается задача о стационарном течении вязкопла-стической среды Шведова-Бингама внутри деформируемого канала. Также получено решение нестационарной задачи в асимптотическом смысле при большой жёсткости канала.

Затем изучаются течения внутри абсолютно жёстких каналов переменного радиуса поперечного сечения. Разбирается численный пример стационарного течения в случае переменного размера канала.

Также изучаются задачи о течении среды Шведова-Бингама внутри абсолютно жёсткого цилиндра. Решение предполагается не зависящим от продольной координаты, так что параметры системы зависят лишь от времени. Динамическая система дифференциальных уравнений исследуется в окрестности положения равновесия, показывается, что все собственные значения отрицательны. Также численно решается задача об управлении средой переменным перепадом давления. Проводится оценка времени остановки вязкопластической среды Шведова-Бингама при движении по инерции, оказывающаяся согласованной со строгими аналитическими оценками.

В начале третьей главы изучается устойчивость относительно малых возмущений стационарного поведения системы, состоящего из упругого канала и протекающей внутри него нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения. Показывается, что условия устойчивости качественно зависят от показателя степенной среды. Также в главе решается та же задача устойчивости, но уже при протекании вязкопластической среды Шведова-Бингама. Оказывается, что стационарное течение внутри деформируемого канала является устойчивым при произвольных значениях безразмерных параметров.

Апробация работы.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения секция механики, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009-2013 гг.

• XII Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах Звенигород, 2010 г.

• XIV Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем Киев, 2011 г.

в XII Всероссийская школа-семинар "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете Дивноморское, 2012 г.

• Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ, Москва, 2012 г.

• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Побед-ри, 2008-2013 гг.

• Научно-исследовательский семинар им. A.A. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Кийко И.А., 2013 г.

• Научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН, д.ф.-м.н, проф. Ломакина Е.В., 2013 г.

• Научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. РАН, д.ф.-м.н, проф. Нигматулина Р. И., 2013 г.

• Научно-исследовательский семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики "на механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевским, д.ф.-м.н. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, 2007 г., 2012-2013 гг.

Основные результаты диссертации представлены в работах: Юшутин В. С. Вязкопластические течения по каналам с переменным по длине сечением и деформируемыми стенками //Известия РАН. Серия физическая. 2011. т.75. №1. с. 139-143;

Юшутин В. С. Устойчивость деформируемых каналов при течении по ним нелинейно-вязких сред со степенным законом упрочнения //Вестник Московского Университета. Сер. 1.Математика и механика. 2012. №4. с. 6770;

Юшутин В. С. Вязкопластические течения по каналам с переменным по длине сечением и деформируемыми стенками //Сборник трудов участников XII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах секция 2. Гидродинамические волны и течения, с.58-60;

Юшутин B.C. Устойчивость течений нелинейно-вязких степенных жидкостей в канале с деформируемыми стенками //Тезисы докладов XIV Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем с. 344;

Юшутин B.C. Течения неньютоновских сред в каналах с деформируемыми стенками //Тезисы докладов XII Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете с. 114;

Yushutm V.S. Viscous-Plastic Medium Flow in Vessels with Deformable Walls // Sessions of the workshop of the Mathematics and Mechanics Department of Lomonosov Moscow State University. "Urgent problems of geometry and mechanics" named after V. V. Trofimov, Journal of Mathematical Sciences, 161:5 (2009), p. 614;

Yushutm V.S. Non-Newtonian flow in a collapsible tube: does rheology of blood affect stability of a vessel? // Book of abstracts of International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", c. 116;

Глава 1. Течение нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения внутри деформируемого канала

В данной главе предлагается феноменологическая постановка для моделирования продольного течения степенной среды внутри деформируемого канала. Особенностью постановки является независимость участвующих уравнений от поперечной координаты, а в качестве неизвестных функций выступают технические величины, относящиеся к сечению в целом, например, расход.

Рассматривается сосуд с границей, являющейся поверхностью вращения. С ним можно связать цилиндрическую систему координат так, что ее ось Oz совпадала с осью симметрии канала. Образующая границы задаётся функцией R(z,t), где R — радиус окружности, лежащей в сечении S(z,t) поверхности плоскостью г = const в момент времени t (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Осесимметричное деформирование канала.

Уравнения движения среды в покомпонентном виде имеют вид

где агз — компоненты тензора напряжений, а запятой обозначено дифференцирование по соответствующей координате (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Среда считается несжимаемой

Уг,г = 0. (1.2)

Уравнения (1.1) и (1.2) в проекциях на оси цилиндрической системы координат в физических компонентах имеют вид

2

ду, | ^ ^г _ р д°гг 1 дог? даГ2 ^__

дЬ г дг г дф г дг г г р \ дг г дф дг г

<7Г

дуф | ^ + | - р +1 (д(7г6 + 1 дабФ + + ^

дЬ г дг г дф г дг г р \ дг г дф дг г

дУг дуг УфдУг ^дуг _ р [ 1 /даГ2 | 1 дагф ^ да2г ^ агЛ дЬ т дг г дф г дг г р\ дг г дф дг г )

дуг дуг у г 1 ду,ь Л . ,.

ог от г г дф В дальнейшем считается, что компонента вектора скорости Уф = 0, и

движение является осесимметричным, т.е. любые производные параметров

системы по ф равны 0. Массовые силы отсутствуют, — 0.

1.1. Степенная среда

В данной главе рассматривается течение тензорно-линейной среды со степенным законом упрочнения. Другими словами, определяющие соотношения имеют вид (1.5):

<тгз = -р 613 + 2ру7/1~1угз. (1.5)

Здесь р — давление. уи = ^/УгзУг] — квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций уЬ1. Среда обладает двумя материальными константами: р — динамическая вязкость, и п — степенной параметр. Ньютоновская

среда является частным случаем (1.5) при п = 1. Среды с мягкой характеристикой, степенной параметр которых меньше 1, называются псевдопластическими. При п > 1 среда имеет жёсткую характеристику и называется дилатантной.

1.1.1. Течение Пуазейля степенной среды

Классическая задача Пуазейля о стационарном движении среды внутри жёсткого цилиндра радиуса До под действием постоянного перепада давление = —к имеет аналитическое решение (1.6) при определяющих соотношениях (1.5)

уг(г) = 1/П (<+1)/п - г(п+1)/п) . (1.6)

Для получения (1.6) достаточно разрешить относительно напряжений единственное нетривиальное уравнение движения (1.3), учитывая их непрерывность на оси цилиндра:

г ог

кг

<Угг = "у ,

а затем обратить напряжения в скорости деформации, используя (1.5). После этого выражение для продольной скорости может быть получено прямым интегрированием (константа определяется условием прилипания к стенке).

1.2. Упругий канал

В предлагаемой постановке канал моделируется цилиндрической оболочкой, перемещения и деформации которой малы. Взаимодействия между средой и каналом происходит за счёт нормальных напряжений. Продольными перемещениями будем пренебрегать. В наиболее общем случае взаи-

модействие описывается соотношением

Ф(770м)) = p(z,t) - Vext(z.t), (1.7)

где Ф - дифференциальный оператор по г и t, 77(2, t) = R(z, t) — Rq - радиальные перемещения точек канала, p(z,t) и pext(z,t) — давление в среде и внешнее давление, соответственно. Вид оператора Ф определяет инерционные, упругие, вязкоупругие и другие свойства оболочки.

1.2.1. Безынерционное винклерово основание

В дальнейшем везде в работе исследуется упругая реакция оболочки на давление среды. Предполагается, что оболочка имеет малую массу по сравнения с текущей средой. Также считается, что оболочка тонка, и из-гибной жёсткостью можно пренебречь. Такая модель канала по своей сути является винклеровым основанием без массы, а дифференциальный оператор Ф вырождается в алгебраический, так что уравнение (1.7) принимает вид

¡3 (R(z, t) - R0) = p(z, t) - pext, (1.8)

где /3 = Es /2.s/(l — v^)Rq - радиальная жёсткость, Es и vs - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала, hs - толщина стенки канала.

Следует отметить, что предлагаемая постановка возможна для любого вида оператора Ф.

1.3. Интегральная постановка связанной задачи

Определив механические модели как текущей среды, так и канала, следует отметить, что поставленная задача является геометрически нелинейной, пространственно двумерной, с подвижными границами области течения. В связи с численной трудностью поставленной задачи предлагается

применить метод получения пространственно одномерных соотношений, заключающийся в интегрировании всех соотношений по произвольному поперечному сечению, таким образом исследуя систему "канал-среда" в среднем по сечению. Подобные постановки можно назвать интегральными.

1.3.1. Интегральные величины

Интегральные постановки содержат средние интегральные продольной скорости и давления. Таким образом, при интегрировании соотношений происходит переход от классических кинематических величин к интегральным, относящимся к всему сечению, величинам, имеющим технический смысл. Точнее, будет предложена замкнутая постановка относительно трёх интегральных величин: расхода (1.9) через сечение 5 (г, ¿), радиуса этого сечения и среднего давления (1.10):

<Э0М)= I Уг{г,гЛ)а8. (1.9)

О

1.3.2. Гипотеза единого профиля

Профилем продольной скорости называют следующую функцию

з(г.гЛ) = У^/2\\у(2,г)= * , [ = (1.11)

^ ' ' ' у{гЛ) ' к ' ) тгД2(г,г) ] к ' ' ' к }

Б(гЛ)

где V - среднее интегральное значение продольной скорости. Следовательно, верно представление (1.12)

иг(т. 2, г) = -Щ^-Лг., I) . (1.12)

Методика получения одномерных соотношений подразумевает предположение о том, что в каждом сечении профиль продольной скорости является постоянной и известной функцией безразмерной поперечной координаты. Часто используют течения Пуазейля данной среды в качестве профиля. Для его получения нужно проинтегрировать (1.6) по сечению, получив расход течения Пуазейля, а затем найти отношение (1.13) продольной скорости к её среднему.

«(*) = = ^ТТ С1 -*("+1)/") • (1-13)

Ц п + IV /

Итак, гипотеза единого профиля, применяемая в интегральной постановке, подразумевает представление (1.14) при пуазейлевском профиле (1.13) течения степенной среды.

1.3.3. Осреднение системы по поперечному сечению для произвольной среды

Интегральная постановка может быть получена интегрированием (1.3), (1.4) по поперечной поверхности 3{гЛ). Рассмотрим равенство

г + ^ + = 0

] \ог ог т)

5(2,4)

Интеграл от первого члена может быть найден в полярных координатах, используя осевую симметрию задачи:

/ -т^-йБ = 2тг / г——б/г. б ог ,/ ог

Б {г Л) 0

А так как для любой дифференцируемой функции / тождественно верно Я(г.г) Я(г.Ь)

^ I г/(г,2,*)<гг= I г^г + Щ^-К(гА)/(К(г,г),гЛ), (1.15) о о

то

R(z,t) R(z,t)

о 0

Но среда прилипает к стенкам, точки которой могут перемещаться только в плоскости 2 = const, следовательно, vz(R(z,t): z.t) = 0. Поэтому

R(z,t)

Г dVzHQ О д f Л д f HQ dQ

/ -x~dS = 2тг— / rvzdr = — / vzdS = —, J oz oz J oz J oz

S (z.t) о s(z,t)

гд<д Q(z.t) = f vz(r,z,t)dS — расход среды через сечение. S(z,t)

В свою очередь, второй и третий члены в уравнении несжимаемости можно объединить, так что

R(z,t)

dvr vr

fid fid

dS — / - — (rvr)dS — 2n / r- — (rvr)dr. J r or J r or

] \дг г Б(гЛ) 5(г,4) 0

Поскольку точки на границе имеют только радиальное перемещение, то

Б(гЛ)

где А(гЛ) = тгЯ2(г,г).

Таким образом, уравнение несжимаемости в интегральной постановке записывается в следующем виде

дЯ дА ^ ,

ж + ж = °- (1Л6>

Заметим, что вывод (1.16) верен при любых определяющих соотношениях. Далее, (1.3) интегрируется так же, как и уравнение несжимаемости.

dv'+vr^l+v^)ds= ( + (1.17)

J \dt dr dz J J p \ dr dz r

S(z,t) S(z.t)

Первое слагаемое левой части (1.23) в соответствии с (1.15) равно дQ/дt. Интеграл по сечению от второго слагаемого равен интегралу от третьего слагаемого согласно формуле Ньютона-Лейбница. Действительно,

В,{гЛ)

vr

dvz dr

dS = 2ttR(z, t)vz(R(z, t), z, t)vr(R(z, t), z, t) - 2тг J

v

d{rvr) dr

dr.

Б{гЛ) 0

где первое слагаемое в правой части равно нулю, а второе может быть преобразовано, учитывая уравнение несжимаемости (1-4), так что

dVz jq о vrdb = — 2тг

or

R(z,t)

v, - г

dvz

dz

dr —

dv7

vz—— dS = -dz

ld_ 2 dz

{

S(z,t)

S(z.t)

\

vi dS

\S(z,t)

J

2tt P

Первое и третье слагаемые правой части (1.23) можно проинтегриро-

R(z,t)

вать совместно

R(z,t) /О

darz (7,.г\ 27г

--1--аб = —

or г J

1 d(razr) , 2тт

r--v^rv dr = __ д t)azr(R{z, t , z, t).

p J r Or p

0

Следовательно, (1-23) можно записать в виде

dQ д_ dt dz

(

\

vidS

до

2тт R(z,t) /r>/ , , 1

-—L-^-ozr(R{z, t), z,t) + - , —

p p J dz

S(z,t)

zz

dS. (1.18)

Надо отметить, что (1.18) применимо для течения любых сред и является точным следствием закона движения. Для дальнейшего приведения уравнения (1.18) необходимо вводить определяющие соотношения (1.5) для тензора напряжений, а также использовать гипотезу (1.14).

1.3.4. Осреднение течения степенной среды. Теория тонкого слоя

Второе слагаемое левой части (1.18) должно быть преобразовано, учитывая (1.14) и (1.13):

д_

dz

(

\

vidS

9 ^

= dz

( R(z,t)

Г

Q2(z,t) 2 / Г

\

A2{z,t) \R(z.t)

dr

д_

дг

/

\

<Э2СМ)

\

2тг

г

гв

(Iг

= 2

х з2(х)с1х

д (ЯЧ^У дг V А{г,Ь)

= 2

(3 п + I)5

(га + I)2

д д ((Зга + 1)

(п + 1)2 \2(3п+ 1)(2га + 1)7 дг \ А(г^)

дг \(2п 4-1) 7гЯ2(2, ¿) у

(1.19)

Исследоваться задача будет в приближении тонкого слоя. Это означает, что отношение характерного поперечного размера До к характерному продольному размеру Ь есть малая величина е. по которой закон движение будет линеаризован:

£

До

т

Из несжимаемости следует, что характерные продольные и поперечные скорости должны быть связаны малым параметром:

К = Яо = К ь £'

Теперь квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций можно выразить следующим образом:

ду

Vи = ЪиУг3 =

г \ 2

+

ду

Г \ 2

дг ) \ дг ди,

Уу

^ г ) 2 V дг ' дг

1 (дуг дуг / +

Щ V \ду) \дх

Г \ 2 , Л I и>' \ 2

У1 (1 (диЛ 2 В2 ^2 V дх )

(1.20)

Касательное напряжение в первом слагаемом правой части (1.18) можно упростить с учётом (1.20):

агг(К{гЛ),гЛ) = 2 /хи™ 1 угз = 2/г

1 (дуг\ 2 + 0 (п_1)/2 1 (дУ1 + &иг

2 \ дг

2 \ дг дг

Ян п

-м2(1"п)/2| ^(П(гА),гА)\ + 0(е2).

(1.21)

Выразим поперечный градиент скорости в представлении гипотезы (1.14):

г

<3(М) Зп + 1п+1

г

1 /п

дуг( дв /_ ^_____

Следовательно, первое слагаемое правой части (1.18) в теории тонкого слоя принимает вид:

2тгД(;М) ^"^(З П+1Г30М)'

-а2ГуК\гЛ). гЛ) = —

(1.22)

Для преобразования второго слагаемого правой части (1.18) рассмотрим градиент среднего значения продольных напряжений =

ЧЩП) I Мг, *)<*£:

2тт

\

V

7тЯ2(гЛ)

/

7тЯ2{г^)

дг дг ( ЩгЛ)

2?г I гдаг2^^г)бг^27тдК{г'г)К(гЛ)а22(К(гЛ),г^) I +

V

+

/ Л(г^)

\

V

27Г у гст2г(г, гА)с1г о

Отсюда выразим: ~Р J

/

2 дЯ(гЛ) пЯ3{гА) дг

Оа,,^ = здм) () _ ^^4)> г

<9г

Р

дг

5(2.4)

(1.23)

Второе слагаемое правой части (1.23) в теории тонкого слоя имеет второй порядок малости, поскольку разница между средним значением продольного напряжения и её значением на границе есть величина первого порядка малости, так же, как и наклон дЯ/дг.

Следует отметить, что (1.23) не зависит от определяющих соотношений текущей среды. В данной же главе градиент продольных напряжений отличается от градиента давления на величину второго порядка малости:

д ( п-гдуЛ =_др ( 2) дг дг+^дг\и дг ) дг+и{ 1

Поэтому будем говорить не о средних продольных напряжениях, а о среднем интегральном давления (1.10) и

дИ дР

Итак, уравнения (1.16), (1.18) и (1.8) (либо, в более общем случае, (1.7)) с учетом (1.19), (1.22), (1.23) принимают вид следующей замкнутой системы уравнений относительно трех неизвестных интегральных функций двух переменных:

дЯ (Зга + 1) д ( д2 \ /¿(Зга + 1)п2<3-та)/2фп тгД^дР

~дг + (2га +1)дг {^В2) + ~р гап7гп~1Д3,г~1 + ~ дГ ~ ' ^

дЯ д(тт В2)

¡3 (В - Во) = Р. (1.26)

Для упрощения системы можно подставить в (1.24) выражение для среднего давления из уравнения (1.26) , сократив количество уравнений и неизвестных до двух: расхода Я(гЛ) и размера канала В(гЛ). Эта математическая модель и будет исследоваться в данной главе.

1.3.5. Аналогия с теорией мелкой воды

Система уравнений (1.24)-(1.25), где давление уже исключено с помощью (1.26), имеет много общего с уравнениями, описывающими распространение идеальной среды по открытому каналу, глубина которого много

меньше характерного продольного размера [18], [9]:

дЛ дАй п . .

Ж + ~ (1'27)

ди дй \dFdA Л

т +иТг + А Ш Тг ='■ (1'28)

где функция .Р(А) задана и определяет зависимость массовой силы, действующей на поперечном сечении, от площади этого сечения.

1.3.6. Разгон ньютоновской среды внутри цилиндрического жёсткого канала

Продемонстрируем на простом примере результаты, получающиеся на основании гипотезы единого профиля. Пусть ньютоновская жидкость (п = 1) покоится в неподвижном цилиндрическом сосуде радиуса До- Затем скачком начинает действовать постоянный перепад давления др/дг = —к. Все сечения получаются эквивалентными и решение не зависит от Уравнение движения (1.1) приводит к

дУг

р— = рАуг + к . дЬ

Это уравнение имеет аналитическое решение:

стремящееся при £ —» оо к установившемуся течению Пуазейля. Здесь -функция Бесселя ьго порядка, а Аг-корни уравнения = 0.

Решение той же задачи, но в рамках интегрального подхода является более простой задачей. Система (1.24)-(1.25) редуцируется до следующего вида:

дг

' Я + к-

д<3 8ц ^ ,_тгД§

дь рЩ р

Последнее уравнение есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого, учитывая начальное условие

Таким образом, найдена зависимость расхода в конечном виде, хотя компонента выражается только через функциональный ряд. Зависимость расхода от времени пропорциональна экспоненте с отрицательным показателем и также стремиться при £ —)> оо к постоянному расходу установившегося течения Пуазейля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юшутин, Владимир Станиславович, 2013 год

Литература

1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - Физматгиз, 1961

2. Георгиевский Д. В. Об эффективном пределе текучести в определяющих соотношениях крови in vivo //Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. - 2006. - №. 5. - С. 51-54.

3. Гноевой А. В., Климов Д. М., Чесноков В. М. Основы теории течений бингамовских сред. - М. : Физматлит, 2004.

4. Громека И. С. О скорости распространения волно- образного движения жидкостей в упругих трубках. - Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР. -1952 - С. 172-183.

5. Гуляев Ю. П. Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в гибких трубках //Изв. Сарат. ун-та. - 2001. - Т. 1. - №. 2. - С. 111-131.

6. Гуткин A.M. Медленное течение вязкопластичной дисперсной среды в коническом и плоском диффузорах при малом угле раствора. Коллоидный журнал. Т.53. № 3. 1961.

7. К. Каро, Т. Педли, Р. Шротер, У. Сид. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981. 624 с.

8. Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. - Наука, 2005.

9. Куликовский А. Г.. Погорелое Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. -М.: Физматлит, 2001. - Т. 4.

10. Левтов В.А., Вегирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. - М.: Медицина, 1982. -270 с.

11. Медведев А.Е. Нестанционарное движение вязкой несжимаемой жидкости в трубке с деформирующейся стенкой // ПМТФ. - 2013. - Т. 54. - № 4. - С.45-54.

12. Окулов Н.А., Окулова Н.Н. Тестовые испытания метода версий. // Уч. зап. РГСУ. - 2009. - Ж7(1). - С. 236.

13. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.:Мир, 1983. 400 с.

14. Регирер С.А. Некоторые вопросы гидродинамики кровообращения // Гидродинамика кровообращения. - М.: Мир, 1971.-С. 242-264.

15. Регирер С.А. О моделях биологических сплошных сред // Прикл. ма-тем. и мех. -1982. - Т. 46, № 4. - С. 531-542.

16. Селезов И. Т., Лукомекий Д. В. Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления. - 2008.

17. Чеботарёв Н. Г., Мейман Н. Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций //Труды Математического института им. В А Стеклова. - 1949. - Т. 26. - №. 0. - С. 3-331.

18. Эглит М. Э. Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. -МГУ, 1986.

19. Agoshkov V.. Quarteroni A., Rozza G. A mathematical approach in the design of arterial bypass using unsteady Stokes equations //Journal of Scientific Computing. - 2006. - T. 28. - Ж 2. - С. 139-165.

20. Carpenter P. W., Pedley T. J. (ed.). Flow past highly compliant boundaries and in collapsible tubes. - Springer, 2003. - T. 72.

21. Chatzimina M. et al. Cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic and finite stopping times //Journal of non-newtonian fluid mechanics. - 2005. - T. 129. - №. 3. - C. 117-127.

22. Chatzimina M. et al. Cessation of annular Poiseuille flows of Bingham plastics //Journal of non-newtonian fluid mechanics. - 2007. - T. 142. -№. 1. - C. 135-142.

23. Demiray H. Wave propagation through a viscous fluid contained in a prestressed thin elastic tube //International journal of engineering science.

- 1992. - T. 30. - №. 11. - C. 1607-1620.

24. Elad DEinav S. Physical and flow properties of blood //Standard Handbook of Biomedical Engineering and Design. - 2004.

25. Figueroa C. A. et al. A coupled momentum method for modeling blood flow in three-dimensional deformable arteries //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. - T. 195. - №. 41. - C. 56855706.

26. Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in arteries //Journal of Engineering Mathematics. - 2003. - T. 47. - №. 3. - C. 251-276.

27. Formaggia L., Moura A., Nobile F. On the stability of the coupling of 3D and ID fluid-structure interaction models for blood flow simulations //ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2007. - T. 41. - №. 04. - C. 743-769.

28. Formaggia L. et al. On the coupling of 3D and ID Navier-Stokes equations for flow problems in compliant vessels //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001. - T. 191. - №. 6. - C. 561-582.

29. Frigaard I. A., Ryan D. P. Flow of a visco-plastic fluid in a channel of slowly varying width //Journal of non-newtonian fluid mechanics. - 2004.

- T. 123. - №. 1. - C. 67-83.

30. Gerrard J. H. An experimental test of the theory of waves in fluid-filled deformable tubes //Journal of Fluid Mechanics. - 1985. - T. 156. - C. 321-347.

31. Grotberg J. B. Pulmonary flow and transport, phenomena //Annual review of fluid mechanics. - 1994. - T. 26. - №. 1. - C. 529-571.

32. Grotberg J. B., Davis S. H. Fluid-dynamic flapping of a collapsible channel: sound generation and flow limitation //Journal of Biomechanics.

- 1980. - T. 13. - №. 3. - C. 219-230.

33. Grotberg J. B., Jensen 0. E. Biofluid mechanics in flexible tubes //Annu. Rev. Fluid Mech. - 2004. - T. 36. - C. 121-147.

34. Heil M. Stokes flow in an elastic tube — a large displacement fluid structure interaction problem //International journal for numerical methods in fluids. - 1998. - T. 28. - №. 2. - C. 243-265.

35. Kamm R. D. et al. Flow in collapsible tubes: a brief review //Journal of biomechanical engineering. - 1989. - T. 111. - №. 3. - C. 177.

36. Katz A. I., Chen Y., Moreno A. H. Flow through a collapsible tube: experimental analysis and mathematical model //Biophysical Journal. -1969. - T. 9. - №. 10. - C. 1261-1279.

37. Lee J., Smith N. Development and application of a one-dimensional blood flow model for microvascular networks //Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part H: Journal of Engineering in Medicine. - 2008.

- T. 222. - №. 4. - C. 487-512.

38. Luo X. Y. Steady and unsteady flows in collapsible channels //Advances in Biomechanics. - 2001. - C. 192-199.

39. Luo X. Y., Pedley T. J. The effects of wall inertia on flow in a two-dimensional collapsible channel //Journal of Fluid Mechanics. - 1998. -T. 363. - C. 253-280.

40. Luo X. Y., Pedley T. J. A numerical simulation of steady flow in a 2-D collapsible channel //Journal of Fluids and Structures. - 1995. - T. 9. -№. 2. - C. 149-174.

41. Pedley T. J., Luo X. Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes //Theoretical and Computational Fluid Dynamics. - 1998. - T. 10. - №. 1-4. - C. 277-294.

42. Mandal P. K. An unsteady analysis of non-Newtonian blood flow through tapered arteries with a stenosis //International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2005. - T. 40. - №. 1. - C. 151-164.

43. Milisic V., Quarteroni A. Analysis of lumped parameter models for blood flow simulations and their relation with ID models //ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2004. - T. 38. - №. 04. - C. 613-632.

44. Nobile F., Vergara C. An effective fluid-structure interaction formulation for vascular dynamics by generalized Robin conditions //SIAM Journal on Scientific Computing. - 2008. - T. 30. - №. 2. - C. 731-763.

45. Paidoussis M. P., Li G. X., Moon F. C. Chaotic oscillations of the autonomous system of a constrained pipe conveying fluid //Journal of Sound and Vibration. - 1989. - T. 135. - №. 1. - C. 1-19.

46. Sankar D. S., Hemalatha K. Pulsatile flow of Herschel-Bulkley fluid through stenosed arteries—A mathematical model //International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2006. - T. 41. - №. 8. - C. 979-990.

47. Shapiro A. H. Steady flow in collapsible tubes //Journal of Biomechanical Engineering. - 1977. - T. 99. - C. 126.

48. Stewart P. S.. Waters S. L., Jensen O. E. Local and global instabilities of flow in a flexible-walled channel //European Journal of Mechanics-B/Fluids. - 2009. - T. 28. - №. 4. - C. 541-557.

49. Torii R. et al. Fluid-structure interaction modeling of aneurysmal conditions with high and normal blood pressures //Computational Mechanics. - 2006. - T. 38. - №. 4. - C. 482-490.

50. Quaini A., Quarteroni A. A semi-implicit, approach for fluid-structure interaction based on an algebraic fractional step method //Mathematical models and methods in applied sciences. - 2007. - T. 17. - №. 06. - C. 957-983.

51. Quarteroni A. Cardiovascular mathematics //Proceedings oh the International Congress of Mathematicians: Madrid, August 22-30, 2006: invited lectures. - 2006. - C. 479-512.

52. Quarteroni A., Veneziani A., Zunino P. Mathematical and numerical modeling of solute dynamics in blood flow and arterial walls //SIAM journal on numerical analysis. - 2002. - T. 39. - №. 5. - C. 1488-1511.

53. Wang D. M., Tarbell J. M. Nonlinear analysis of flow in an elastic tube (artery): steady streaming effects //J. Fluid Mech. - 1992. - T. 239. - C. 341-358.

54. Wang Y., Hay at T., Hutter K. Peristaltic flow of a Johnson-Segalman fluid through a deformable tube //Theoretical and Computational Fluid Dynamics. - 2007. - T. 21. - №. 5. - C. 369-380.

55. Yilmaz F., Gundogdu M. Y. A critical review on blood flow in large arteries; relevance to blood rheology, viscosity models, and physiologic conditions //Korea-Australia Rheology Journal. - 2008. - T. 20. - №. 4. -C. 197-211.