Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Никонов, Владимир Иванович

• Никонов, Владимир Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никонов, Владимир Иванович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Необходимые сведения

1.1. Устойчивость и стабилизация

1.2. Элементы матричного анализа и теория

линейных неравенств

Глава 2. Устойчивость линейных стационарных, нестационарных и интервальных

динамических систем

2.1. Устойчивость линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных

2.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем

2.3. Устойчивость линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью

2.4. Достаточные условия асимптотической устойчивости

и теория линейных неравенств

2.5. Устойчивость линейных нестационарных динамических систем по отношению к части переменных

Глава 3. Стабилизация линейных стационарных и интервальных динамических систем

3.1. Стабилизация линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных

3.2. Стабилизация линейных интервальных динамических систем

3.3. Стабилизация линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью

Список обозначений Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем»

ВВЕДЕНИЕ

За последние 30 лет интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных, постановка которой принадлежит великому русскому математику и механику A.M. Ляпунову[21].

Среди существующих подходов к ее решению следует отметить результаты, полученные В.В.Румянцевым и А.С.Озиранером [41], В.И.Зубовым[15], В.И.Воротниковым[б].

Особенно привлекательным подходом является метод, разработанный В.И.Воротниковым, основанный на построении вспомогательной системы, которая и решает поставленную задачу.

Тем не менее при решении задачи стабилизации возникают существенные трудности при выборе стабилизирующего управления. В связи с этим, данная задача представляется весьма актуальной.

Одно из центральных мест в современной теории автоматического управления занимает проблема устойчивости и стабилизации динамических объектов, параметры которых изменяются в заданных интервалах.

Все динамические управляемые объекты в той или иной степени являются неопределенными. Параметры объектов обычно известны с некоторой степенью точности. При этом известны лишь интервалы, на которых изменяются те или иные параметры системы. Возникает следующий вопрос: будет ли сохранять спроектированная система управления свои основные свойства, и прежде всего, асимптотическую устойчивость, при некоторых изменениях (вариациях), не обязательно малых, ее параметров от расчетных?

В связи с этим вопросом возникло понятие "грубости" динамической системы, впервые введенное в работе А.А.Андронова

и Л. С.Понтрягина [2]. Особенно важным свойством линейных систем управления является грубость или "робастность" [13] по отношению к устойчивости системы. Сам термин "робастность" имеет более широкий смысл. Он характеризует сохранение тех или иных свойств не единственной системы, а целого множества (окрестности) систем. Таким образом, для линейных систем управления необходимо исследовать устойчивость целого класса матриц, характеризующих динамику системы, а стабилизирующее управление выбирать так, чтобы оно стабилизировало указанный класс систем.

Установление факта устойчивости линейных систем является первым этапом их исследования. Л ля того, чтобы линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все нули ее характеристического полинома Р(А) имели отрицательные действительные части. Известные критерии устойчивости линейных непрерывных динамических систем (алгебраический критерий Рауса-Гурвица, частотные критерии устойчивости Найквиста, Михайлова) дают решение задачи устойчивости при точно заданных параметрах системы.

Прямое применение указанных критериев для исследования робастной устойчивости линейных динамических систем вызывает трудности, в связи с тем, что необходимо исследовать целое множество близких систем.

Одним из способов представления неопределенностей в динамических системах являются линейные интервальные системы, которые в некотором смысле близки к линейным стационарным(ав-тономным) системам, а, значит, анализ таких систем можно проводить с использованием теории линейных стационарных систем, а вопросы стабилизации решать опираясь на теорию стабилизации линейных систем.

В связи с этим начались поиски критериев устойчивости линейных интервальных динамических систем.

Наиболее значительные результаты в данной области исследования получены в работах В.Л.Харитонова [44, 45]. В них указаны критерии устойчивости систем, коэффициенты характеристических полиномов которых принимают произвольные значения из заданных интервалов.

Рассмотрим следующий вещественный интервальный многочлен

я

= аак е Ь* Щ. (0.0.1)

кв 0

Слабая теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости семейства многочленов (0.0Л) является гурвицевостъ (т.е. устойчивость) всех угловых многочленов. Угловыми многочленами называются все многочлены вида (0.0.1) с аи = либо а>к = Щ Vк. Таким образом, существует 2п+1 угловых многочленов.

Сильная теорема Харитонова. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости является гурвицевостъ лишь четырех многочленов с коэффициентами

йо а\ <¡¿2 «з £4 «б Щ ...

«о аг Щ а3 «5 Щ ...

«0 «1 §2 Од «4 Ж5 Од ...

а0 а2 % йб

соотв етств енно.

Указанные работы вызвали огромный поток публикаций, связанных с актуальностью решения проблем робастности систем [10, 11, 13, 14].

Частотные условия робастной устойчивости решены в работах Я.З.Иыпкина, Б.Г.Поляка и Ю.И.Неймарка[26, 35-36].

Другие способы решения задачи робастной устойчивости рассмотрены в работах[3-4, 7-8, 34, 38-40, 42, 50].

Одним из способов представления неопределенности в линейных системах являются линейные интервальные системы, динамика которых описывается интервальными матрицами. Исследованию таких систем посвящено большое число публикаций. Наиболее подробный список публикаций содержится в работах [11, 13, 14].

До недавнего времени, вопрос о нахождении критерия устойчивости линейных интервальных динамических систем (ЛИДС) оставался открытым. Так в работе [60] было предложено утверждение, сформулированное в форме критерия устойчивости интервальных матриц. Но, как оказалось, это утверждение было неверным, о чем свидетельствуют контрпримеры в [56, 64].

На основе результатов В.Л.Харитонова в работе Р.О.Ома-рова [33] был предложен критерий устойчивости ЛИДС в следующей форме

Теорема[33]. Для того, чтобы положение равновесия ЛИДС било асимптотически устойчивым при всех А Е И или чтобы интервальная матрица А была асимптотически устойчивой при всех А € .О, необходимо и достаточно, чтобы были гурвицевы все четыре угловые полиномы Харитонова, составленные по последовательным сепаратным угловым коэффициентам Ь (£¿,6;, г = 1,п) характеристических полиномов системы,

Лемма[33]. Сепаратные угловые коэффициенты 6,- г =

1,п) образуются как соответствующие коэффициенты характеристических полиномов при угловых значениях элементов а^ = 1,п) матрицы А, либо при нулевых значениях некоторых элементов (если интервал принадлежности включает нуль).

Другим способом решения данной задачи является вероят-

ностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц [37].

Пусть А - вещественная пхп матрица с элементами а^, все характеристические числа которой имеют отрицательную вещественную часть. Случайные матрицы вида А+А, где Д - матрица с неизвестными одинаково распределенными равномерно распределены на [—7, 7], называются случайным интервальным семейством. Задается некоторый доверительный уровень 0 < а < 1 (например, а = 0.99).

Случайное интервальное семейство робастно устойчиво с вероятностью а, если

Р(А + А устойчива) > а.

Наибольшее 7, для которого выполняется это условие, называется вероятностным интервальным радиусом устойчивости матрицы А и обозначается гд(А)

гд(А) = : А + В неустойчива для некоторой Вь [|2?|| < е).

Случайное интервальное семейство робастно устойчиво с вероятностью 0.99, если

и робастно устойчиво с вероятностью 0.998, если

. у/г 0.77

7 * 2л&л(л) =

В связи с тем, что при практической реализации критериев устойчивости возникают трудности с огромными вычислениями, начались поиски простых по форме и удобных с вычислительной точки зрения достаточных условий устойчивости интервальных матриц. Об этом свидетельствует библиографический список в [11], а также работы [56-72].

В обзоре [11] отмечено, что большинство результатов в области получения достаточных условий устойчивости ЛИДС группируются по нижеперечисленным направлениям:

1) применение теоремы Гершгорина;

2) составление и решение матричного уравнения Ляпунова;

3) использование метода характеристических годографов.

В данной работе используются первые два направления.

Задачи создания систем управления, свойства которых мало

изменялись бы при некоторых отклонениях параметров системы от расчетных возникли уже в начале развития теории автоматического управления.

Для оценки этого свойства было использовано понятие функции чувствительности, впервые введенное в теории усилителей с отрицательной обратной связью . Особенно остро вопрос о чувствительности систем управления возник после развития и оформления теории оптимальных процессов. Как отмечено Я.З.Цыпки-ным, данная теория реализовывала лозунг 50-х годов "Оптимизировать все, что оптимизируется, а что не оптимизируется — сделать оптимизируемым." Однако применение таких классических методов, как принцип максимума, динамическое программирование часто не оправдывало своих надежд. Оказывалось, что найденные алгоритмы сильно чувствительны к отклонениям параметров управляемой системы.

Вследствии этого, требовалось разрабатывать другие методы, позволяющие учесть вышеуказанные недостатки. В связи с этим, возникла задача регулирования системы с неизвестными параметрами.

В [52] эта задача сформулирована в следующей форме. Пусть движение управляемого объекта описывается уравнением

х —

(0.0.2)

где х € К71,а £ С? С - некоторая ограниченная замкнутая

область, и е Нг- вектор управляющих воздействий, ^ - некоторая непрерывная векторная функция своих аргументов.

Задача. Найти управление и = «(ж), не зависящее от а, при котором система (0.0.2) асимптотически устойчива относительно начальных условий.

В указанной работе стабилизирующее управление ищется на основе использования условий устойчивости Гурвица.

Другое решение поставленной задачи предлагается в работах

[23-25].

Дана линейная управляемая система

х = Ах + Вщ х € Н\ и € Нг, (0.0.3)

где А и В - постоянные матрицы соответствующих размерностей, о которых известно лишь то, что (А, В) € С? - замкнутому ограниченному множеству в пространстве всевозможных упорядоченных пар таких матриц. Требуется построить управление вида

и = Мх, (0.0.4)

где М - постоянная г х т матрица, что нулевое решение системы (0.0.3), замкнутой управлением (0.0.4), будет асимптотически устойчивым по Ляпунову при У(А, В) €

В указанной работе рассматривается случай, когда матрица А принадлежит некоторому многограннику с вершинами А\,..., Ат, а матрица В фиксирована. При этом, управление ищется в виде линейной формы с достаточно большим коэффициентом усиления, так, чтобы заданная положительно определенная квадратичная форма монотонно убывала на всех возмущенных движениях системы.

Другой подход решения данной задачи представлен в [54]. Здесь получены достаточные условия устойчивости ЛИДС и синтез стабилизирующего управления с зада,иной мерой робастности. Подход основан на применении скалярно- оптимизационной функции множеств и интервальных функций Ляпунова. При этом результаты опираются на теорию интервального анализа[55].

Довольно часто при проектировании возникает задача исследования влияния некоторого параметра системы на устойчивость замкнутой системы.

В [53] предложены частотные необходимые и достаточные условия устойчивости, опирающиеся на обобщенный критерий устойчивости Найквиста, и позволяющие находить точные границы на возможные отклонения данного параметра от его номинального значения.

При этом возникают следующие задачи:

Задача 1[53]. Найти £ и д интервала возможных значений параметра д 6 [д,д] при которых система сохраняет свойство асимптотической устойчивости.

Если границы интервала д и д заданы, то приходим к задаче анализа устойчивости.

Задача 2 [53]. Для данного интервала возможных значений д € [д,д] исследовать устойчивость системы.

Применительно к текущему состоянию проблемы можно выделить следующие направления синтеза робастных регуляторов [11]:

1) методы и алгоритмы синтеза ЛИДС, основанные на применении аппарата функций чувствительности, построения структур, допускающих неограниченное увеличение коэффициентов усиления, а также на других классических подходах;

2) частотные методы синтеза ЛИДС исходя из требования

устойчивости замкнутой системы;

3) методы и алгоритмы синтеза ЛИДС, предполагающие формирование модального управления (в интервальной постановке);

4) методы синтеза оптимальных регуляторов для ЛИДС;

5) методы синтеза регулятов для ЛИДС на основе аппарата функций Ляпунова.

Как отмечено в [14], наступает период в развитии теории автоматических систем, одним из лозунгов которого является: "Ро-бастизировать все, что робастизируется, а что не робастизирует-ся — сделать робастизируемым."

В настоящей диссертации получены результаты в области устойчивости и стабилизации линейных стационарных, нестационарных и интервальных динамических систем.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь содержатся все необходимые сведения, на которые опирается основной материал данной работы.

В §1.1 приводится необходимый материал из теории устойчивости и стабилизации линейных динамических систем.

Параграф 1.2 включает в себя элементы матричного анализа, теории линейных неравенств и некоторые сведения из теории линейных операторов.

Глава 2 посвящена исследованиям устойчивости линейных динамических систем.

В §2.1 рассматриваются вопросы устойчивости линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных. Рассматривается динамическая система вида

* = ГУ1Вп' (0.0.5)

г = Су + их. 4 '

Здесь исследуется асимптотическая устойчивость динамической системы (0.0.5) по отношению к переменной у = со1оп(у\,...,ут).

Предлагается новый геометрический подход к исследованию у-устойчивости системы (0.0.5), основанный на декомпозиции исследуемой динамической системы. По сравнению с существующим методом В.И.Воротникова[6], основанным на построении //-системы, использование предлагаемого подхода дает более полное исследование у-устойчивости рассматриваемой системы. Показывается, что декомпозиция возможна в том случае, если существует инвариантное подпространство оператора /), удовлетворяющего определенным условиям.

Параграф 2.2 содержит новые результаты, связанные с устойчивостью линейных интервальных динамических систем. Здесь приводятся достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем. Полученные результаты формулируются в условиях существования функции Ляпунова с использованием некоторых фактов из теории матриц. Кроме того, рассматриваются вопросы конвергентности исследуемой системы.

Далее, в § 2.3 рассматривается устойчивость линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью. Объектом исследования данного параграфа является динамическая система

где А{ (г = 0,га) — постоянные матрицы, а,- — интервальные параметры. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости системы (0.0.6). Отметим, что на изменения параметров О!; не накладывается достаточная малость.

Затем, в § 2.4 приводятся результаты по устойчивости линейных стационарных и интервальных динамических систем, основанные на использовании теории линейных неравенств. Дается

т

(0.0.6)

дальнейшее развитие результатов, полученных в данном направлении.

И в заключении главы 2, в § 2.5 исследуется устойчивость нестационарной динамической системы

у = )у + В(г)г, * = с(*)у + />(<)*,

относительно фазовых переменных у = со1оп(у1,..., ут)(у-устойчивость). При анализе устойчивости используется подход, предложенный в §2.1. Здесь же рассматривается задача о приведении одного класса линейных нестационарных динамических систем к линейной стационарной системе. При этом вопрос у-устойчивости первоначальной системы сводится к исследованию у-устойчивости линейной стационарной динамической системы.

Глава 3 содержит результаты по стабилизации линейных динамических систем, исследуемых в главе 2.

§3.1 посвящен стабилизации линейных стационарных динамических систем по отношению к части переменных. Метод, предложенный В.И.Воротниковым[6], решает задачу стабилизации при определенных достаточных условиях. Предлагаемый подход позволяет в некоторых случаях полностью решить указанную задачу, т.е. даны необходимые и достаточные условия существования управляющего воздействия иг, решающего задачу декомпозиции.

В § 3.2 решается задача стабилизации линейных интервальных динамических систем. Результаты этого параграфа опираются на теоремы, полученные в § 2.2. Исследуется устойчивость системы, замкнутой некоторым управлением и = Мх. Даются достаточные условия стабилизируемости системы выбранным управлением.

Параграф 3.3 включает в себя задачу стабилизации линейных интервальных динамических систем с параметрической не-

определенностью. Получены достаточные условия стабилизации исследуемых систем.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Предлагается новый геометрический подход к исследованию у-устойчивости линейных стационарных и нестационарных динамических систем.

2. Получены необходимые и достаточные условия существования управляющего воздействия, решающего задачу декомпозиции линейных стационарных динамических систем.

3. Найдены достаточные условия асимптотической устойчивости линейнътх интервальных динамических систем, а также линейных интервальных динамических систем с параметрической неопределенностью.

4. Предложены достаточные условия стабилизации линейных интервальных динамических систем и систем с параметрической неопределенностью.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [27-32].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никонов, Владимир Иванович, 1998 год

Библиографический список

Альбрехт Э.Г., ШеДементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. - Свердловск: УрГУ, 1972. - 273 с.

Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. - 1937. - Т.14, № 5. - С. 247-251.

Браверман М.Э., Розоноэр Л.И. О грубости линейных стационарных динамических систем, I // АиТ. - 1991. - № 11. - С. 17-23.

Браверман М.Э., Розоноэр Л.И. О грубости линейных стационарных динамических систем, II // АиТ. - 1992. - № 1. -С. 41-52.

Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980. - 400 с.

Воротников В.И. Устойчивость динамических системно отношению к части переменных. - М.: Наука, 1991. - 284 с.

Гайдук А.Р. К исследованию устойчивости линейных систем // АиТ. - 1997. - №3.- С. 153-160.

Гайдук А.Р. К исследованию устойчивости линейных систем // АиТ. - 1997. - № 4. - С. 133-144.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы) I. Анализ с использованием ин-

1

тервальных характеристических полиномов // Изв. РАН. Техн. кибернетика. - 1991. - № 1. - С.3-30.

[11] Гусев Ю.М., Бфанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы) II. Анализ устойчивости интервальных матриц и синтез робастных регуляторов // Изв. РАН. Техн. кибернетика. - 1991. - № 2. - С.3-30.

12

13

14

15

16

17

18

19

Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

Джури Э.И. Робастность дискретных систем // АиТ. - 1990.

- № 5. - С. 3-28.

Дискуссия по проблеме робастности в системах управления.

- // АиТ. - 1992. - № 1. - С.165-176.

Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. - Л.: Судпромиздат, 1974. -336 с.

Зубов В.И. Лекции по теории управления. - М.: Наука, 1975. - 495 с.

Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. - М.: Наука, 1968. - 476 с.

Ляо Сяосинь Об устойчивости движения относительно части переменных для линейных систем // ПММ. - 1989. - Т.53, вып. 6. - С. 1034-1035.

Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.

[21] Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр. соч. Т.2. - М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 272-331.

[22] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 530 с.

[23] Мейлахс A.M. О монотонной стабилизации линейных систем регулирования // АиТ. - 1973. - № 3. - С. 179-181.

[24] Мейлахс A.M. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // АиТ. - 1975. - N® 2. -С. 182-184.

[25] Мейлахс A.M. О синтезе устойчивых систем автоматического регулирования при параметрических возмущениях // АиТ. - 1978. - № 10. - С. 5-16.

[26] Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978. - 336 с.

[27] Никонов В.И., Щенников В.Н. Стабилизация линейной управляемой системы с нечетко заданной матрицей // Тез. докл. Междунар. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 20-24 декабря, 1994. - Саранск, 1994. -С. 29.

[28] Никонов В.И., Шенников В.Н. Стабилизация систем с неточно заданной матрицей // Дифференциальные уравнения и методы их решения / Морд. гос. ун-т. - Саранск, 1995. -С. 53-61. - Деп. в ВИНИТИ 05.12.95, № 3224 - В95.

[29] Никонов В.И. Устойчивость интервальных динамических систем //24 Огаревские чтения: Тез. докл. научн. конф., Саранск, 4-9 декабря, 1995, Ч.З. - Саранск, 1995. - С. 20.

[30] Никонов В.И. У-устойчивость линейных стационарных динамических систем // Вест. Морд, ун-та. - 1996. - № 4. - С. 45-47.

[31] Никонов В.И. Об у-устойчивости одного класса линейных нестационарных динамических систем / / III конференция молодых ученых Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева: Научн. тр., Саранск, 22-24 апреля, 1998, 4.1. - Саранск, - 1998. - С.221.

[32] Никонов В.И. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейных интервальных динамических систем по части переменных // Вестн. Морд, ун-та. - 1998. - № 3-4. - С. 75-78.

[33] Омаров P.O. Робастность интервальных динамических систем. I. Робастность непрерывных интервальных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. -1995. - № 1. - С. 22-27.

[34] Петров Ю.П. Устойчивость линейных систем при вариациях параметров // АиТ. - 1994. - № 11. - С. 186-189.

[35] Поляк В.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // АиТ.

- 1990. - № 9. - С. 45-54.

[36] Поляк В.Т., Цыпкин Я.З. Устойчивость и робастная устойчивость однотипных систем // АиТ. - 1996. - № 11. - С. 91-104.

[37] Поляк Б.Т., Панченко О.Б. Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц // Докл. АН. - 1997.

- Т.353, № 4. - С. 456-458.

[38] Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. - М.: Наука, 1981. - 464 с.

[39] Розоноэр Л.И. Инвариантность как вариационная проблема // АиТ. - 1963. - № 5. - С. 165-168.

[40] Рокитянский Д.Я. Возмущенные линейные отображения множеств // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1996.

- № 6. - С. 110-116.

[41] Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 256 с.

[42] Смирнов Е.Я. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // АиТ. - 1971. - N* 11.

- С. 167-169.

[43] Треногин В.А. Функционный анализ. - М.: Наука, 1980. -495 с.

[44] Харитонов B.JI. Об асимптотическая устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. - 1978. - Т.14, № 11.

- С. 2086-2087.

[45] Харитонов В.Л. Об одном обобщении критерия устойчивости // Изв. АН Каз. ССР. - 1978. - Сер. физ.-мат., № 1. -С.53-57.

[46] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.; Мир, 1989.

- 655 с.

[47] Цыпкин Я.З. Робастность в системах управления и обработка данных // АиТ. - 1992. - № 1. - С. 165-169.

[48] Черников С.Н. Линейные неравенства. - М.: Наука, 1968. -488 с.

[49] Черникова Н.В. Алгоритм для нахождения общей формулы неотрицательных решений системы линейных неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1965. - Т.5, № 2. - С. 334-337.

[50] Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // ПММ. - 1996. - Т.60, вып. 6. - С. 940-950.

[51] Чернятин В.А. О построении устойчивых линейных систем регулирования // АиТ. - 1967. - № 1. - С. 57-62.

[52] Чернятин В.А. О стабилизации линейных систем регулирования с неизвестными параметрами // АиТ. - 1968. -№9,-С. 5-17.

[53] Честнов В.Н. Робастная устойчивость многомерных динамических систем с линейной зависимостью от одного интервального параметра // АиТ. - 1997. - К» 4. - С. 175-180.

[54] Шапшхин В.Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1996. - № 6. - С. 47-53.

[55] Шохин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск; Наука, 1981. - 547 с.

[56] Barmish B.R., Hollot C.V. Couter-example to a recent on the stability of interval matrices by S.Bialas // Int. J. Contr. - 1984. - V.39, JV® 5. - P. 1025-1031.

[57] Bernstain D.S., Haddad W.M. The majorant Lyapunov equation: a nonnegative matrix equation for robust stability and perfomance of large scale systems // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1987. - V.32, X* 11. - P. 1005-1013.

[58] Bernstein D.S., Haddad W.M. Robust stability and perfomahce analysis for linear dinamic systems // IEEE Trans. Autom. Contr. -1989. - V.34, № 7. - P. 751-758.

[59] Bernstein D.S., Haddad W.M. Robust stability and performance analysis for state-space systems via quadratic Lyapunov bounds // SI-AM J. Matrix Anal. Appl. - V.ll, № 2. - P. 239-271.

[61

[62

[63

[64

[65

[66

[67

[68

[69

[70

Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of interval matrices // Int. J. Contr. - V.37, № 4. - P. 1123-1130.

Gong C., Thompson S. Stability margin evaluation for uncertain linear systems // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1994. - V.39, № 3. -P. 548-550.

Heinen J.A. Sufficient condition for stability of interval matrice // Int. J. Contr. - 1984. - V.39, № 6 - P. 1323-1328.

Hewer G., Kenney C. The sensitivity of the stable Lyapunov equation // SIAM J. Contr. and Optimization. - 1988. - V.26, № 2. - P. 321344.

Karl W.C., Greschak J.P., Vergese G.C. Comments on a necessary and sufficient condition for stability of interval matrices // Int. J. Contr. - 1984. - V.39, № 4. - P.1001-1012.

Martin J.M., Hewer G.A. Smallest destabilizing perturbations for linear systems // Jnt. J. Contr. - 1988. - V.45, № 5. - P. 1495-1504.

Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator // Jnt. J. Contr. - 1988. - V.47. - P. 363-372.

Rohn J. interval matrices: singularity and real eigenvalues // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. - 1993. - V.14, № 1. - P. 82-91.

Rohn J. Positiv definitness and stability of interval matrices // SIAM J. Matrix Anal, and Appl. - 1994. - V.15, № 1. - P. 175-184.

Shi Zhi-Cheng, Gao Weibin Stability of interval parameter matrices // Int. J. Contr. - 1987. - V. 45. - P. 740-149.

Siljak D.D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1989. - V.34, № 7. -P. 674-688.

Yau-Tarng Juang, Chin-Shen Shao Stability analysis of dinamic interval systems // Jnt. J. Contr. - 1989. - V.49, № 4. - P. 1401-1408.

[72] Zhou K., Khargenekar P.P. Stability robustness bounds for linear state-space models with structured uncertainty // IEEE Trans. Au-tom. Countr. - 1987. - V.32, № 7. - P. 621-623.