Устойчивое оценивание статистических моделей при распределении наблюдений по закону минимальных значений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Грюнер, Дмитрий Александрович

• Грюнер, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Грюнер, Дмитрий Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЯ УСТОЙЧИВОГО ОЦЕНИВАНИЯ.

1.1. Классификация статистических моделей.

1.2. Классические методы оценивания.

1.2.1. Метод наименьших квадратов.

1.2.2. Метод максимального правдоподобия.

1.3. Робастные методы оценивания.

1.3.1. Элементы теории локально-устойчивого оценивания.

1.3.2. Теория стойких оценок.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ОЦЕНОК.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Оценки сдвига.

2.2.1. Локально-устойчивые оценки сдвига.

2.2.2. Стойкие оценки сдвига.'.

2.2.3. Сравнение оценок сдвига.

2.3. Оценки масштаба.

2.3.1. Локально-устойчивые оценки масштаба.

2.3.2. Стойкие оценки масштаба.

2.3.3. Сравнительный анализ оценок масштаба.

2.4. Устойчивое оценивание параметров регрессии.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОЦЕНОК.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Экспериментальные исследования оценок сдвига.

3.2.1. Точечное засорение.

3.2.2. Равномерное засорение.

3.2.3. Исследование оценок сдвига при модельном засорении.

3.3. Экспериментальные исследования оценок масштаба.

3.3.1. Точечное засорение.

3.3.2 Равномерное засорение.

3.3.3. Исследование оценок масштаба при модельном засорении.

3.4. Сравнительный анализ оценок при модельном засорении.

3.5. Исследование оценок параметров регрессионной модели и масштаба.

3.5.1. Исследование оценок при точечном засорении.

3.5.2. Исследование оценок при равномерном засорении.

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ.

4.1. Исследование стойкости сверл.

4.1.1. Спецификация модели.

4.1.2. Критерии качества оценок.

4.1.4. Оценка параметров модели.

4.2. Анализ выживаемости мышей, облученных радиацией.

4.3. Исследование пробоя электроизоляционной жидкости.

4.3.1. Спецификация модели.

4.3.2. Предположение о плотности минимальных значений.

4.3.3. Предположение о плотности максимальных значений.

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивое оценивание статистических моделей при распределении наблюдений по закону минимальных значений»

Актуальность темы исследований. Одна из основных задач в анализе данных - оценивание статистических моделей, описывающих определенные процессы или явления. В классических методах оценивания постулируется некоторое гипотетическое модельное распределение. Наиболее часто встречается гауссово распределение, основанное на центральной предельной теореме [6, 20, 21, 25, 37, 43, 47]. На практике данное предположение достаточно часто нарушается [8, 26], например, из-за наличия в выборке засоряющих наблюдений, вызванных нарушением условий эксперимента или неверным вводом данных [38]. В результате данного нарушения статистические выводы могут быть существенно искажены. Классические методы оценивания оказались крайне неустойчивы даже при малых отклонениях распределения наблюдений от модельного. В связи с этим встал вопрос об устойчивом оценивании параметров, что привело к развитию так называемых непараметрических методов [5, 46, 49], свободных от какого-либо модельного распределения.

Отказ от постулирования модельного распределения приводит, с одной стороны, к возможности решать широкий класс задач, но, с другой стороны, мы существенно теряем в эффективности найденных оценок. Кроме того, непараметрические методы обладают преимуществом перед параметрическими лишь при резких отклонениях наблюдений от центральной части распределения, в противном случае они проигрывают по точности последним. Как правило, по результатам первичной обработки данных исследователь может выбрать определенное гипотетическое (модельное) распределение, которое разумно использовать при построении более эффективных оценок.

Следующим этапом развития устойчивого оценивания являются методы, основанные на минимаксном принципе построения оценок для некоторого множества возможных распределений, в том числе и робастные методы,

41, 51, 52, 53, 62, 71]. Однако предложенные подходы, как непараметрический, так и минимаксный, теряют устойчивость при асимметричном засорении симметричных распределений.

Ф. Хампель ввел понятие функции влияния и предложил свой локально-устойчивый подход [48], который позволил выделить оценки, обладающие устойчивостью к асимметричному засорению данных. Но введенное им понятие ß-робастности не приводит к устойчивости для данного вида засорения.

Исследованиями по проблеме робастности занимались также Дж. Тью-ки (Tukey J. W.) [45, 72], Дж. Пфанзагль (Pfanzagle J.) [70], Л. Жакель (Jaeckel L. А.) [63], Э. Леман (Lehman Е. L.) [27], Д. Эндрюс (Andrews D. F.) [56], С. А. Смоляк, Б. П. Титаренко [41], Ф. П. Тарасенко, Б. Ю. Лемешко и многие другие ученые.

В теории надежности, анализе выживаемости часто используются статистические модели с распределением наблюдений по закону В ей булл а. Гнеденко [36, 9]. Для оценивания параметров удобнее преобразовать модели, перейдя к логарифмам наблюдения. При этом от распределения Вейбулла— Гнеденко переходим к распределению минимальных значений. Исследованию оценок параметров распределения Вейбулла-Гнеденко и экстремальных значений посвящено множество научных работ (К. Boudt, D. Caliskan, С. Croux, [58], R. W. Berger, К. Lawrence [57], R. Langlois [65],S. D. Dubey [59], T. ICernane, Z. A. Raizah [64], N. B. Marks [67], V. Niola, R. Oliviero, G. Qua-remba [68]), в которых авторы используют методы, не обладающие свойс твом устойчивости к асимметричным засорениям. Так, например, в работе [58] предлагаются квантильные и медианные методы оценивания. Представленные в работе функции влияния предлагаемых оценок не являются гладкими функциями, а также демонстрируют неустойчивость оценок при асимметричном засорении данных. Асимптотическая эффективность этих оценок существенно ниже, чем у метода максимального правдоподобия.

Предлагаемые в диссертационной работе методы основаны на подходе А. М. Шурыгина [54, 55] (см. также [18]), обеспечивающем локальную устойчивость оценок к широкому множеству асимметричных засорений асимметричного модельного распределения и высокую асимптотическую эффективность. Данный подход применяется впервые к оцениванию параметров распределения минимальных значений, а также к оцениванию параметров регрессии в предположении распределения остатков по закону минимальных значений.

Необходимо отметить, что существует ряд других распределений, которые также встречаются на практике, например, нормальное, экспоненциальное, распределение Коши и распределение Лапласа, для которых, известны решения, устойчивые к асимметричным видам засорений [54, 55].

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является построение и исследование устойчивых оценок параметров статистических моделей с распределением наблюдений по закону минимальных значений при асимметричном засорении данных.

Для реализации цели исследования были поставлены и решены следующие задачи:

1) конструирование устойчивых оценок;

2) теоретическое исследование построенных оценок;

3) экспериментальные исследования построенных оценок;

4) практическое применение построенных оценок.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовался аппарат теории вероятностей, методы математической статистики, математического анализа, вычислительной математики, статистического моделирования.

Научная новизна. Автором были получены следующие основные новые результаты, которые выносятся на защиту: построены локально-устойчивые и стойкие оценки параметров сдвига и масштаба;

- найдены локально-устойчивые и стойкие оценки параметров регрессионной модели; сформулирован и доказан ряд теорем, касающихся свойств локально-устойчивых и стойких оценок параметров сдвига и масштаба;

- разработано программное обеспечение робастного оценивания статистических моделей и численного исследования оценок;

- численно исследованы локально-устойчивые и стойкие оценки сдвига и масштаба, выявлены области их превосходства над оценкой максимального правдоподобия;

- численно исследованы устойчивые оценки параметров регрессионной модели и масштаба, выявлены области их превосходства над оценкой максимального правдоподобия; найдены оценки параметров регрессионной модели стойкости сверл с использованием локально-устойчивого оценивания;

- найдены оценки параметров сдвига и масштаба распределения времени жизни мышей, облученных радиацией, с использованием локально-устойчивого оценивания; проведено оценивание регрессионной модели времени пробоя электроизоляционной жидкости при помощи локально-устойчивых оценок.

Обоснованность и достоверность научных положений, рекомендаций и выводов обеспечиваются: применением для исследования свойств рассматриваемых оценок аналитического аппарата математического анализа, математической статистики и теории вероятностей; подтверждением аналитических выводов результатами испытаний с использованием статистического моделирования;

- решением прикладных задач.

Практическая ценность результатов:

- построенные оценки устойчивы к наличию выбросов в массиве данных, к асимметричному засорению наблюдений, а также обладают высокой асимптотической эффективностью;

- созданное программное обеспечение позволяет эффективно производить вычисление оценок линейных регрессионных моделей;

- полученные результаты исследований используются в учебном процессе в рамках читаемого магистрантам курса «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (направление 010500 - «Прикладная математика и информатика», специализация «Математическое и программное обеспечение информационных технологий моделирования и анализа данных») на факультете прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ), при проведении лекционных и практических занятий по курсу «Эконометрика» для студентов Омского юридического института, а также при подготовке аспирантов Омской государственной медицинской академии (ОмГМА); регрессионная модель стойкости сверл используется в научно-исследовательских работах кафедры проектирования технологических машин НГТУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в ряде статей, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VI International Symposium on Optimization and Statistics (India, Aligarh, 2008) [60]; Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2009) [14]; X юбилейная окружная конференция молодых ученых «Наука и инновация XXI века» (Сургут, 2009) [13]; V Международный научный конгресс «Роль бизнеса в трансформации российского общества — 2010» (секция «Актуальные проблемы высшей и прикладной математики», Москва, 2010) [10]; Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2010); региональная конференция молодых ученых «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты» (Пермь, 2010) [15], а также на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 основных работ, в том числе: 2 - в ведущих научных журналах и изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ, 3 - в сборниках научных трудов, 2 - в материалах Российских конференций.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка использованных источников из 72 наименований и четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 159 страниц, включая 22 таблиц и 78 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Грюнер, Дмитрий Александрович

4.4. Выводы

В данной главе были рассмотрены некоторые задачи с реальными данными, которые взяты из практики. Исследования показали, что робастные оценки заметно превосходят по качеству и устойчивости МНК-оценку и ОМП даже при небольших объемах выборки (40-50). Главные достоинства робастных оценок заключаются в том, что они не только устойчивы к аномальным наблюдениям и неправильно подобранным модельным плотностям, но и обладают меньшей дисперсией, нежели другие методы, даже при неправильно подобранной модельной плотности.

При удалении подозрительных наблюдений из набора данных робастные оценки в меньшей степени изменяют свои значения в отличие от МНК-оценки и ОМП. Последние оценки при удалении становятся ближе к робаст-ным оценкам.

Основные полученные результаты: разработано программное обеспечение для робастного оценивания статистических моделей; найдены оценки параметров регрессионной модели стойкости сверл с использованием локально-устойчивого оценивания; найдены оценки параметров сдвига и масштаба распределения времени жизни мышей, облученных радиацией, с использованием локально-устойчивого оценивания; проведено локально-устойчивое оценивание регрессионной модели времени пробоя электроизоляционной жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты.

Теорет и чес кие результат ы:

1) построены локально-устойчивые и стойкие оценки параметров сдвига и масштаба;

2) сконструированы локально-устойчивые и стойкие оценки параметров регрессионной модели;

3) сформулирован и доказан ряд теорем, касающихся свойств локально-устойчивых и стойких оценок параметров сдвига и масштаба.

Экспериментальные результаты:

1) методом статистических испытаний исследованы локально-устойчивые и стойкие оценки сдвига и масштаба, выявлены области превосходства над оценкой максимального правдоподобия;

2) методом статистических испытаний исследованы параметры регрессионной модели и масштаба, выявлены диапазоны проигрыша/выигрыша оценки максимального правдоподобия.

Прикладные результаты:

1) разработано программное обеспечение робастного оценивания статистических моделей и численного исследования оценок;

2) найдены оценки параметров регрессионной модели стойкости сверл с использованием локально-устойчивого оценивания;

3) найдены оценки параметров сдвига и масштаба распределения времени жизни мышей, облученных радиацией, с использованием локально-устойчивого оценивания;

4) проведено локально-устойчивое оценивание регрессионной модели времени пробоя электроизоляционной жидкости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Грюнер, Дмитрий Александрович, 2010 год

1. Айвазян С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. -М. : ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

2. Айвазян С. А. Прикладная статистика: исследование зависимостей / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. — М. : Финансы и статистика, 1985. 487 с.

3. Айвазян С. А. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработка данных / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. М. : Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

4. Афифи А. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ / А. Афифи, С. Эйзен. М. : Мир, 1982. - 488 с.

5. Болдин М. В. Знаковый статистический анализ линейных моделей / М. В. Болдин, Г. И. Симонова, Ю. Н. Тюрин. М. : Наука, 1997. -208 с.

6. Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. -Новосибирск : Наука, 1997. 772 с.

7. Бусленко Н. П. Методы статистических испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых машина / Н. П. Бусленко, Ю. А. Шрейдер. М. : Физматгиз, 1961. - 266 с.

8. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В. Н. Вапник. М. : Наука, 1979. - 447 с.

9. Гнеденко Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. М. : Наука, 1965. - 524 с.

10. Грюнер Д. А. Исследование устойчивых оценок параметров регрессии с ошибками, имеющими распределение минимальных значений / Д. А. Грюнер // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - № 2 (60). - С. 33-38.

11. Грюнер Д. А. Устойчивое оценивание параметра сдвига распределения минимальных значений / Д. А. Грюнер // Наука. Технологии. Инновации : материалы Всерос. науч. конф. молодых ученых. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. - Ч. 1. - С. 14-16.

12. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии / Е. 3. Демиденко. М. : Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

13. Денисов В. И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор / В. И. Денисов. М. : Наука, 1977. - 252 с.

14. Денисов В. И. Методы построения многофакторных моделей по неоднородным, негауссовским, зависимым наблюдениям : монография

15. В. И. Денисов, Д. В. Лисицин. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2008. -360 с.

16. Дженирич Р. И. Пошаговая регрессия / Р. И. Дженирич // Статистические методы для ЭВМ / под ред. К. Энслейна, Э. Рэлстона, Г. С. Уилфа. М. : Наука, 1986. - С. 77-94.

17. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ : в 2 кн. Кн. 2 / Н. Дрейпер, Г. Смит. -М. : Финансы и статистика, 1987. 351 с.

18. Ивченко Г. И. Математическая статистика / Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев. М. : Высшая школа, 1984. - 248 с.

19. Карманов В. С. Исследование математических моделей стойкости режущего инструмента / В. С. Карманов // Научный вестник НГТУ. -Новосибирск : НГТУ, 2006. С. 55-64.

20. Кендалл М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт. М. : Наука, 1976. - 736 с.

21. Кендалл М. Дж. Статистические выводы и связи / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт. М. : Наука, 1973. - 900 с.

22. Кендалл М. Дж. Теория распределений / М. Дж. Кендал, А. Стюарт. М. : Наука, 1966. - 588 с.

23. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки / А. Н. Колмогоров // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1950. - Т. 14, № 4. - С. 303-326.

24. Леман Э. Теория точечного оценивания / Э. Леман. — М. : Наука, 1991.-444 с.

25. Лисицин Д. В. Исследование стойких оценок параметров распределения минимального значения / Д. В. Лисицин, Д. А. Грюнер // Доклады АН ВШ РФ. Новосибирск : НГТУ, 2010. - № 1 (14). -С. 6-17.

26. Лисицин Д. В. Исследование устойчивых оценок параметров распределения минимальных значений / Д. В. Лисицин, Д. А. Грюнер //

27. Научный вестник НГТУ. Новосибирск : НГТУ, 2010. - №2. -С. 21-30.

28. Лисицин Д. В. Об оценивании параметров модели при байесовском точечном засорении / Д. В. Лисицин // Доклады АН ВШ РФ. — Новосибирск : НГТУ. 2009. №1 (12). - С. 41-55.

29. Лисицин Д. В. Свойства инвариантности при оценивании параметров модели в условиях байесовского точечного засорения / Д. В. Лисицин // Доклады АН ВШ РФ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010.-№ 1 (14).-С. 18-25.

30. Лисицин Д. В. Стойкие оценки параметров распределения минимальных значений / Д. В. Лисицин, Д. А. Грюнер // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск : НГТУ, 2010. - № 1 (59). - С. 63-68.

31. Лисицин Д. В. Условно оптимальные и обобщенные радикальные оценки параметров распределения минимальных значений / Д. В. Лисицин, Д. А. Грюнер // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск : НГТУ, 2010. - № 1 (59). - С. 55-62.

32. Лисицин Д. В. Устойчивое оценивание параметров модели при асимметричном засорении данных / Д. В. Лисицин, К. В. Гаврилов // Изв. Междунар. академии наук высшей школы. — Новосибирск, 2006. -№ 1 (35).-С. 60-73.

33. Лисицин Д. В. Конструирование робастных оценок параметров регрессии при неоднородных наблюдениях / Д. В. Лисицин // Научный вестник НГТУ. Новосибирск : НГТУ, 2004. - № 3 (18). - С. 43-55.

34. Ллойд Д. К. Надежность. Организация исследования, методы, математический аппарат / Д. К. Ллойд, М. Липов. М : Советское радио, 1964.-687 с.

35. Мудров В. И. Методы обработки измерений: квазиправдоподобные оценки / В. И. Мудров, В. Л. Кушко. М. : Радио и связь, 1983. -304 с.

36. Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. — 2-е изд., перераб. и доп. J1. : Энерго-атомиздат. Ленингр. отд-ние, 1991. - 304 с.

37. Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применения / С. Р. Pao. -М. : Наука, 1968. 548 с.

38. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер. М. : Мир, 1980.-456 с.

39. Смоляк С. А. Устойчивые методы оценивания (статистическая обработка неоднородных совокупностей) / С. А. Смоляк, Б. П. Титаренко. М. : Статистика, 1980. - 208 с.

40. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло / И. М. Соболь. -М. : Наука, 1973.-312 с.

41. Справочник по прикладной статистике : в 2-х т. Т. 1 : пер. с англ. / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. М. : Финансы и статистика, 1989. - 510 с.

42. Справочник по прикладной статистике : в 2-х т. Т. 2 : пер. с англ. / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. -М. : Финансы и статистика, 1990. 526 с.

43. Тьюки Д. У. Анализ результатов наблюдений / под ред. В. Э. Фигурнова. М. : Мир, 1981.- 693 с.

44. Тюрин Ю. Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров. М. : ИНФРА, 1997.-558 с.

45. Ферестер Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа / Э. Ферестер, Б. Ренц. — М. : Финансы и статистика, 1988. — 302 с.

46. Хампель Ф. Робастность в статистике: подход на основе функций влияния / Ф. Хампель, Э. Рончетти, П. Рауссеу, В. Штаэль. М. : Мир, 1989.-512 с.

47. Хеттманспергер Т. П. Статистические выводы, основанные на рангах / Т. П. Хеттманспергер. М. : Финансы и статистика, 1987. -333 с.

48. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. -М. : Мир, 1975. 535 с.

49. Хьюбер П. Робастность в статистике / П. Хьюбер. М. : Мир, 1984.-303 с.

50. Цыпкин Я. 3. Основы информационной теории идентификации / Я. 3. Цыпкин. М. : Наука, 1984. - 320 с.

51. Шуленин В. П. Введение в робастную статистику / В. П. Шуленин. Томск : Изд-во ТГУ, 1993. - 227 с.

52. Шурыгин А. М. Математические методы прогнозирования / А. М. Шурыгин. М. : Горячая линия Телеком, 2009. - 180 с.

53. Шурыгин А. М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз / А. М. Шурыгин. М. : Финансы и статистика, 2000. -224 с.

54. Andrews D. F. A robust estimation for location: survey and advances / D. F. Andrews, P. J. Bickel, F. R. Hampel, P. J. Huber, W. H. Rodger, J. W. Tukey. N. Y. : Princeton Univ. Press, 1972. - 373 p.

55. Berger R. W. Estimating Weibull parameters by linear and non linear regression / R. W. Berger, K. Lawrence // Technometrics. 1974. — Vol. 16. -P. 617-619.

56. Boudt K. Robust explicit estimators of Weibull parameters / ЬС. Boudt, D. Caliskan, C. Croux // Metrika. 2009. In press.

57. Dubey S. D. Some percentile estimators for Weibull parameters / S. D. Dubey //Techometrics. 1971. -Vol. 13.-P. 119-129.

58. Gryuner D. Research of parameter estimations of pair linear regression depending on kinds of initial variables distribution / D. Gryuner // VI International Symposium on Optimization and Statistics, Aligarh, India, 28

59. December 2008. P. 17. Исследование параметров парной регрессии в зависимости от вида распределения переменных.

60. Hoel D. A representation of mortality data by competing risks / D. Hoel // Biometrics. 1972. - Vol. 28. - P. 475-488.

61. Huber P. J. Robust estimation of location parameter / P. J. Huber // The Annals of Mathematical Statistics. 1967. - Vol. 35, № 1. - P. 73-101.

62. Jaeckel L. A. Robust estimators of location: symmetry and asymmetric contamination / L. A. Jaeckel // The Annals of Mathematical Statistics. -1971.-Vol. 42, №3.-P. 1020-1034.

63. Kernane T. Fixed point iteration for estimating the parameters of extreme value distributions / T. Kernane, Z. A. Raizah // Communications in Statistics Simulation and Computation. - 2009. - Vol. 34, № 5. - P. 21612170.

64. Langlois R. Estimation of Weibull parameters / R. Langlois // Journal of Materials Science Letters. 1991.-Vol. 10, № 18.-P. 1049-1051.

65. Lawless J. F. Statistical models and methods for lifetime data / J. F. Lawless. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. - 2003. - 637 p.

66. Marks N. B. Estimation of Weibull parameters from common percentiles / N. B. Marks // Journal of Applied Statistics. 2005. - Vol. 32, № 1. -P. 17-24.

67. Olive D. J. Robust estimators for transformed location scale families / D. J. Olive // Southern Illinois University : Working Paper. — 2006.

68. Pfanzagle J. On measurability and consistency of minimum contrast estimates / J. Pfanzagle // Metrica. 1969. - Vol. 14, № 1. - P. 248-278.

69. Siegel A. F. Robust regression using repeated medians / A. F. Siegel // Biometrika. 1982. - Vol. 69. - P. 242-244.

70. Tukey J. W. A survey of sampling from contaminated distribution. Contribution to Probability and Statistics / J. W. Tukey. Ed. I. Olkin. Stanford : Stanford Univ. Press. - 1960. - P. 446^186.