Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Лукьянов, Вячеслав Анатольевич

• Лукьянов, Вячеслав Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Лукьянов, Вячеслав Анатольевич

Содержание

Введение

Глава I. 4-мерное многообразие конформной связности

п.1. Вещественные квадрики 5-мерном проективном пространстве

п.2. Конформная связность на 4-мерных многообразиях

п.З. Оператор Ходжа и функционал Янга-Миллса

п.4. Первая вариация функционала Янга-Миллса

и уравнения Янга-Миллса

п.5. Примеры многообразий конформной связности

Глава II. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна

п.6. Пространство конформной связности

п.7. Компонентная запись некоторых формул

п.8. Оператор Ходжа для компонент формы кривизны

п.9. Уравнения Янга-Миллса

п. 10. Компонентная запись уравнений Янга-Миллса

п.11. Метрика пространства Эйнштейна

п.12. Уравнения Эйнштейна в конформно-плоском пространстве

п. 13. Метрика Фридмана-Робертсона-Уокера

Глава III. Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики

п. 14. Вывод уравнений Янга-Миллса

п. 15. Отыскание основного решения

п. 16. Другие решения уравнений Янга-Миллса

п. 17. Некоторые решения в элементарных функциях

Глава IV. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла

п. 18. Пространство конформной связности без кручения

п. 19. Уравнения Янга-Миллса

п.20. Компонентная запись некоторых формул

п.21. Главные формулы пространства Янга-Миллса без кручения

Бианки и уравнений Янга-Миллса 65 п.23. Уравнения Эйнштейна и Максвелла как следствие

уравнений Янга-Миллса

п.24. Упрощение системы уравнений Янга-Миллса

п.25. Преобразование кососимметрической части второго уравнения

п.26. Преобразование симметрической части второго уравнения

п.27. Уравнения Янга-Миллса на конформном

многообразии нулевой вейлевой кривизны

п.28. Уравнения Янга-Миллса с ненулевой пфаффовой формой 74 п.29. Чисто временное решение уравнений Янга-Миллса

в пространстве без кручения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности»

Введение

Актуальность темы исследования

Пространства конформной связности были введены Э. Картаном [14] в 1923 году вскоре после создания общей теории относительности, где А. Эйнштейн объяснил гравитационное взаимодействие с помощью тензора кривизны псевдориманова 4-мерного многообразия сигнатуры (+,—,—,—). Однако сразу же стали видны и недостатки этой модели пространства-времени. В 1918 году Г. Вейль для моделирования не только гравитационного, но и электромагнитного взаимодействия рассмотрел более общую геометрическую схему, представляющую собой 4-мерное многообразие, в касательном слое которого вместо группы Пуанкаре движения квадратичной формы действует немного более широкая группа подобия [4, 5]. Конформная группа, рассматриваемая в данной работе, также более широкая, чем группа Пуанкаре.

Геометрически близкими к теме диссертации являются работы М. Павшича [50] и Р.Л. Ингрэхема [43, 44]. Как и в настоящей работе, они рассматривают более широкую группу, чем группа Пуанкаре, 15-параметрическую группу ортогональных преобразований 50(4,2). Павшич назвал такую модель «конформным релятивизмом». Однако у Павшича и Ингрэхема уравнений Янга-Миллса не возникает. В работах А. В. Столярова [32, 33] и М. А. Акивиса [51, 52] изучается геометрия пространств конформной связности, также без уравнений Янга-Миллса.

В диссертации показано, что, в отличие от псевдориманова многообразия или многообразия Вейля, на 4-мерном многообразии М конформной связности П имеется лишь один инвариантный функционал действия, квадратичный по кривизне Ф, - это функционал Янга-Миллса. Равенство нулю вариации этого функционала приводит к уравнениям Янга-Миллса

¿*Ф + ПЛ*Ф-*ФЛО. = 0,

где * - оператор Ходжа. Заметим, что первоначально уравнения такого вида назывались уравнениями Янга-Миллса только для Би(2)-связностей, однако в последние десятилетия такое название используют и для любых других связностей (см., например, учебник М. М. Постникова за 1988 год [29, с. 381]). Связности, удовлетворяющие уравнению Янга-Миллса, называются там калибровочными полями. В случае 5С/(2) калибровочные поля называются полями Янга-Миллса.

Решение уравнений Янга-Миллса ввиду их нелинейности - процесс сложный и трудно алгоритмизируемый. В пространстве конформной связности при решении уравнений Янга-Миллса возникает дополнительная трудность: отсутствие автодуальных и антиавтодуальных решений. Дело в том, что большая глава современных исследований посвящена изучению пространств, где оператор Ходжа инволютивен, т.е. * * Ф = Ф. В таких пространствах возможна ситуация, когда *Ф = Ф или *Ф = —Ф. В этом случае уравнения Янга-Миллса будут выполняться автоматически, в силу тождеств Бианки. Такие решения уравнений Янга-Миллса называются соответственно инстантонами и антиинстантонами. Отысканию такого рода решений посвящена значительная глава современной литературы по уравнениям Янга-Миллса [39, 42, 45, 40]. На многообразии, рассматриваемом в данной работе, оператор Ходжа не является инволютивным, здесь * * Ф = —Ф, что приводит к отсутствию автодуальных и антиавтодуальных решений.

Близкими к теме данного исследования являются работы, где уравнения Янга-Миллса рассматриваются на 4-многообразии, оснащенном конформным классом эквивалентности

метрик [д]. Это статьи [17-19]. Во всех этих работах рассматривается так называемая нормальная конформная связность Картана, на компоненты которой с самого начала накладываются условия, равносильные уравнениям Эйнштейна. И у самого Картана в понятие нормальной конформной связности включено условие = 0 [14, с. 178], равносильное уравнениям Эйнштейна. В статье С. А. Меркулова [49] без вывода указаны уравнения Янга-Миллса, сводящиеся к равенству нулю тензора Баха. Кроме того, у Меркулова в спинорную связность включен другой вид условий, содержащий тензор электромагнитного поля [24]. Для этого случая также записан вид уравнений Янга-Миллса. В 2003 году Коржинский и Левандовский [46] продолжили исследования, начатые Меркуловым, приведя вывод уравнений Янга-Миллса, и нашли их решения в случае метрики Феффермана.

В отличие от предшественников, в диссертации не требуется выполнения условий Картана Аф = 0. Кроме того, здесь рассматривается многообразие конформной связности в первоначальном (более широком) смысле, в том, который ему придал Картан в [14]. В этом случае метрики на всем многообразии не существует, она существует лишь локально, а в областях пересечения координатных окрестностей эти метрики конформны друг другу. Все это существенно отличает результаты диссертации от результатов указанных выше работ. Пространство, рассматриваемое Меркуловым, Коржинским, Левандовским и другими [41] - это псевдориманово многообразие, являющееся всего лишь одной локальной картой пространства, рассматриваемого в данной работе. Здесь показано, что на 4-многообразии конформной связности имеется единственный функционал действия - функционал Янга-Миллса. Уравнения его экстремалей - уравнения Янга-Миллса - при отсутствии кручения без всяких дополнительных условий распадаются на уравнения Эйнштейна, уравнения Максвелла и уравнения движения вещества. В работах же Меркулова, Коржинского и Левандовского уравнения Эйнштейна фактически постулируются. Другие работы, в которых бы уравнения Эйнштейна и Максвелла получались как составные части уравнений Янга-Миллса, автору не известны.

Цели и задачи исследования

• получение уравнений Янга-Миллса на 4-многообразии конформной связности, доказательство их единственности;

• упрощение (редукция) системы уравнений Янга-Миллса для двух частных случаев: пространства конформной связности без кручения с дополнительным условием Фд = 0 и без него;

• нахождение решений уравнений Янга-Миллса для некоторых видов метрик.

Объект исследования

Диссертация посвящена изучению геометрии 4-мерного многообразия конформной связности.

Методы исследования

• Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.

• Методы вариационного исчисления.

• Методы, применяющиеся в теории непрерывных групп и теории расслоенных многообразий.

• Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна

В диссертации доказаны следующие утверждения, являющиеся новыми с научной точки зрения.

1. На 4-мерном многообразии конформной связности имеется лишь один инвариантный функционал действия, квадратичный по кривизне, - функционал Янга-Миллса.

2. Уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения при дополнительном условии Фо = 0 сводятся к системе из двух групп 10 + 9 = 19 дифференциальных уравнений на 20 неизвестных функций.

3. Полное решение уравнений Янга-Миллса в таком пространстве для центрально-симметричес метрики выражается через эллиптическую р-функцию Вейерштрасса.

4. Уравнения Янга-Миллса в пространстве конформной связности без кручения сводятся к трем группам из 10 + 9 + 8 = 27 уравнений на 26 неизвестных функций. Совместность системы доказана конструктивным образом (с помощью примера).

Степень обоснованности результатов обусловлена корректностью построения математической модели, основанной на теории расслоенных пространств; строгим использованием математического аппарата внешних форм Картана и решения дифференциальных уравнений.

Апробация результатов

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах:

• кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева (15 апреля 2010 года);

• кафедры геометрии Казанского (Приволжского) федерального университета (4 мая 2010 года);

• кафедры общей теории относительности и гравитации Казанского (Приволжского) федерального университета (28 мая 2010 года);

• Российского гравитационного общества (Москва, МГУ, 02 декабря 2010 года);

• кафедры геометрии и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета (7 декабря 2011 года);

• кафедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (23 марта 2012 года);

и научных конференциях:

• IX конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых, (Саранск, 1-3 июля 2010 года);

• вторая международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 года);

• международная конференция «Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation» (Казань, 1-6 ноября 2010 года).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертационной работы содержатся в 4 статьях [17-20], опубликованных в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК. В сжатом виде некоторые результаты опубликованы в тезисах упомянутых конференций.

Структура и объем диссертации

8

I

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 92 страницы. Список литературы состоит из 55 наименований.

Основное содержание работы

ВI главе данной работы рассматриваются квадрики 5-мерного проективного пространства Р5 с различной сигнатурой. Группой инвариантности любой из этих квадрик является 15-параметрическая конформная группа С(р, 9) где р + ? = 4. Приводится описание ее 11-параметрической подгруппы стационарности, т.е. подгруппы, оставляющей на месте фиксированную точку квадрики. Вводится понятие конформной связности

0 =

/ , ,0 ш3 Ш 4 0 \

и1 0 , 12 , >3 071

и2 /12 0 -и>\

и* и* 0

и>4 и* 0 —Ш4

V 0 и1 -и2 -ш3 -о;4 , ,0 —ш0 /

и кривизны

ф =

(Ч ф1

ф2

фЗ

ф4

\ о

Ф1 Ф2 Фз ф4

0 ф2 фЗ ф*

Ф2 0 -ц -Ф4

фЗ фЗ 0 -ф|

Ф? ц 0

ф1 -ф2 -фЗ -Ф4

о \

Ф1 -ф2

-Фз -ф4

на дифференцируемом 4-мерном многообразии (матрицы связности и кривизны приведены для случая С(3,1), рассматриваемого в следующих частях).

В п.п. 2 и 3 диссертации доказано, что существуют лишь две внешние 4-формы, являющиеся инвариантами конформной связности - это следы

Ьг (Ф Л Ф) и Ьг (*Ф Л Ф).

Однако лишь вторая из них в общем случае не имеет глобальной первообразной 3-формы и может быть использована для составления функционала действия

= Jtr (*Ф Л Ф) .

м

В п. 4 доказано, что требование равенства нулю вариации этого функционала,

51 — 0

равносильно уравнениям Янга-Миллса

¿/*Ф + ^А*Ф-*ФЛГ2 = 0.

В п. 5 на примере трех квадрик с различной сигнатурой, являющихся простейшими многообразиями конформной связности, показано, что глобально оператор Ходжа определен лишь с точностью до знака, поэтому в глобальном функционале действия должен присутствовать знак модуля:

1 = J |£Г (*Ф Л Ф)| .

м

t

Результаты, полученные в I главе данной работы, опубликованы в [17]. Во II главе диссертации рассматривается частный случай пространств, введенных в I главе, а именно, расслоенное пространство со структурной группой С(3,1). Только такая структурная группа приводит к метрике

- (ы1)2 + (а,2)2 + (а,3)2 + (а,4)2 = г^М,

где

/ -1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 ч

метрический тензор Минковского. В этой части разобран простейший случай, в котором можно получить нетривиальные решения уравнений Янга-Миллса. Во-первых, предполагается, что Фг = 0, г = 1,2,3,4 (такое пространство конформной связности называется пространством без кручения). Во-вторых, накладывается требование Ф§ = 0. Такое пространство мы называем беззарядным. В п. 10 доказано, что при этих допущениях число искомых функций сокращается до 20, а число независимых уравнений системы - до 19. Это 10 уравнений Эйнштейна и 9 уравнений, состоящих в равенстве нулю тензора Баха.

Во II главе диссертации также доказаны следующие результаты.

• Метрика любого пространства Эйнштейна (когда R^ = хщ, R^ - тензор Риччи) может быть принята за метрику беззарядного пространства конформной связности, где выполняются уравнения Янга-Миллса. При этом матрица конформной кривизны Ф выражается только через тензор Вейля конформной кривизны метрики пространства Эйнштейна.

• Любая метрика Фридмана-Робертсона-Уокера вкладывается в свободное (конформно-плоское) пространство конформной связности. При этом для тензора энергии-импульса получается диагональная матрица с двумя параметрами, рир, трактуемыми в космологии как плотность энергии и давление.

Результаты, полученные во II главе данной работы, опубликованы в [18].

В III главе диссертации найдено полное решение уравнений Янга-Миллса в беззарядном пространстве конформной связности для центрально-симметрической метрики

ф = —e2udt2 + e2Xdr2 + e2ß{dd2 + а2 (0) d<p2), »2

где X, ß, и - функции только от г и i, a = —ха. Приведено общее решение уравнений Янга-Миллса, выражающееся через эллиптическую р-функцию Вейерштрасса (п. 15). Для нескольких частных случаев получены решения, выражающиеся через элементарные функции (п. 17). Доказаны критерии того, что метрика, являющаяся прямой суммой двух бинарных квадратичных форм, является эйнштейновой метрикой и конформно-плоской метрикой (п. 16).

Результаты, полученные в III главе данной работы, опубликованы в [20].

В IV главе диссертации рассматривается более общий по сравнению со второй и третьей главами случай. Теперь нет требования Ф° = 0, но, по-прежнему, Фг = 0, г = 1,2,3,4. Это пространство конформной связности без кручения.

В п. 26 доказано, что система уравнений Янга-Миллса сводится к 27 уравнениям на 26 неизвестных функций, система переопределенная.

В п. 29 рассматривается чисто временное решение этой системы, т.е. случай, когда искомые функции зависят только от переменной Приводится развернутая запись всех уравнений Янга-Миллса, которые сводятся к 3 дифференциальным уравнениям на 3 неизвестных функции, т.е. переопределенность системы исчезает. Приводятся два класса решений, записанных в явном виде.

Результаты, полученные в IV главе данной работы, опубликованы в [19].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

11

I

Глава I. 4-мерное многообразие конформной связности

Данная глава работы была опубликована в [17].

1 Вещественные квадрики в пятимерном проективном пространстве Р5

Вещественная квадрика <5 пятимерного проективного пространства в однородных координатах задается уравнением

(ж, х) = Г]п (гл)2 + ?722 сх2)2 + Пзз (^з)2 + Ща (х4)2 + 2х0х5 = 0, (1)

где г]ц = ±1, а символ (х, х) обозначает скалярное произведение точек из Р5 относительно билинейной формы

(х, у) = Г]ПХ1У1 + Г}22Х2У2 + ЛЗЗ^ЗУз + Ш^т + Уъ + ЯъУо

Сигнатура квадрики (1) есть пара чисел (р, д), где р — 1 - число положительных, д — 1 - число отрицательных коэффициентов среди г]ц. Квадрика <3 представляет собой связное компактное ориентируемое 4-мерное дифференцируемое многообразие. Группа инвариантности квадрики С} есть конформная группа С (р — 1,9 — 1). Она состоит из матриц ¿> шестого порядка с вещественными элементами, удовлетворяющих тождеству

^ = д, (2)

[9, стр. 23], где обозначает транспонированную матрицу,

есть матрица квадратичной формы (1), а

V

( г] и 0 0 0 ^

0 7/22 О О

0 0 тузз О

V 0 0 0 7744 /

(3)

Как известно, группа С (р — 1, д — 1) простая. При р + д = 6 она зависит от 15 параметров. Из равенства (2) имеем, очевидно, что

£? (-д) в = -д,

откуда следует, что группы С (р, д) и С (<?,р) изоморфны. Поэтому можно ограничиться лишь тремя типами сигнатур: (5,1), (4,2) и (3,3). Следовательно, можно всегда считать

г]зз = '''/44 = 1.

Для сигнатуры (5,1) получим

= 422 = 1",

для (4,2)

»711 = 7722 = 1;

для сигнатуры (3,3)

Г)11 = Я22 = -1.

Для всякой матрицы X, удовлетворяющей условию (2), т.е. X & С (р — 1, д — 1), положим, по определению,

п = х~1ах. (4)

Здесь ¿X - это матрица, составленная из продифференцированных внешне элементов матрицы X. Дифференцируя равенство (2) и используя то, что

получим:

¿^дв = -^дйБ = -дБ-ЧБ = -дП, й^двд = -дГЬд, ¿Р {в-1)1, =-дПд, = -дПд,

Пт = -дПд. (5)

Это равенство равносильно требованиям на компоненты матрицы = (ш?) , приведенным в [14, стр. 157].

Утверждение 1

Если выполняется условие (4), то

(1П + ПЛП = 0. (6)

Здесь и далее под записью Г2 Л Г2 понимается матрица, полученная по правилу умножения матриц, только вместо обычного умножения элементов производится внешнее умножение. Т.е. если Г2 - это матрица, составленная из внешних 1-форм, то элементами матрицы Г2ЛГ2 являются внешние 2-формы. Доказательство производится при помощи внешнего дифференцирования равенства (4)

<Ш = й (Х-1) Лс1Х + Х~Ы ((IX) = й (Х-1) Л йХ.

Воспользуемся правилом дифференцирования обратной матрицы

<10. = -Х-ЧХ • X"1 Л ¿X — -Х~ЧХ Л Х'1йХ = -плп,

что и доказывает Утверждение 1. Утверждение 2

След матрицы 17, вычисленной по формуле (4), равен нулю:

= 0. (7)

В самом деле, в силу того, что д = д 1 и для любых матриц А и В (если умножение их элементов коммутативно) справедливо равенство

Ьг (.АВ) = Ьг (ВА), (8)

получаем:

Ьг Пт = Ьг {-дПд) = Ьг (-ддО) = -Ьг П. Но, с другой стороны, всегда

Ьг Пт = Ьг П.

Сопоставляя эти равенства, получим (7). Утверждение доказано. Рассмотрим матрицу

X' = ХБ, (9)

также принадлежащую конформной группе, и положим

М = (Х'Г1 ¿Х'.

Продифференцируем равенство (9):

йХ' = (1Х-Б +Х- йБ, (X')-1 йХ' = (.Х'У1 ¿Х-Б + (Х')~1X • сiS, П' = • 5 + Э-хХ-хХ ■ ЛБ,

О' = + Б~ЧБ. (10)

Тем самым получено трансформационное условие, показывающее, как меняется матрица = Х~1(1Х при умножении X на Б.

В уравнении (1) последнее слагаемое 2x0X5 специально выбрано таким образом, а не (—Жц + х\), чтобы удобнее было вести рассмотрение окрестности точки

Х0 = (1,0,0,0,0,0)

на квадрике (1). В первую очередь нам нужно описание подгруппы стационарности точки Хо, которую обозначим П (р — 1, <7 — 1). Это подгруппа конформной группы, оставляющая на месте точку Хо. Подгруппа стационарности П (р — 1) зависит от 11 параметров и

порождается следующими тремя подгруппами:

1. Одночленной подгруппой нормировочных преобразований

( » 0 0 0 0 0 ^

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

к 0 0 0 0 0

¡л ф 0 - произвольная функция 4-х переменных.

2. Четырехчленной подгруппой преобразований нормализации

( \ А1 Л2 Аз 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 \ 0 0 0 0

«¿е/

А = гу^АДу Здесь и везде далее по одноименному верхнему и нижнему индексам предполагается суммирование, А; - произвольные функции.

3. Шестичленной подгруппой инвариантности квадратичной формы

»7п (^О2 + »722 (я2)2 + »7зз (^з)2 + 7744 (ж4)2 1 0 0 \

0Л0, (13)

0 0 1 /

где Л - квадратная матрица 4-го порядка, удовлетворяющая равенству

Атг]А = г]. (14)

Подгруппы стационарности разных точек квадрики (1), разумеется, изоморфны, но все же они зависят от точки квадрики. Такие группы, зависящие от точки многообразия, получили в физике устоявшееся название калибровочных групп, а сами преобразования (11)-(13) - это калибровочные преобразования [31, стр. 10]. Термины "нормализация"и "перенор-мировка"использовал Норден [26]. Геометрический смысл преобразований нормализации и перенормировки указан в [21].

А4 о о

0

1 о

-|А \ -»711*1

-»722А2 -»7ззА3 -»744А4 1

2 Конформная связность на 4-мерных многообразиях

Пространства конформной связности введены Э.Картаном ([10], третий раздел). Будем говорить, что на дифференцируемом 4-мерном многообразии М задана конформная связность типа (р, д), (1 < <7 < р < 5, р + Я = 6), если:

1. каждой точке любой локальной карты и многообразия М поставлена в соответствие квадратная матрица 6-го порядка Г2, состоящая из пфаффовых форм ш- на 17 и удовлетворяющая равенству (5);

2. для любых двух пересекающихся локальных карт и и V и соответствующих им матриц

и ГУ на 17 П V существует преобразование координат и' = и' (и) и квадратная матрица 6-го порядка 5, дифференцируемо зависящая от координат карты и и принадлежащая группе С (р — 1,9 — 1), такие, что выполняется трансформационное условие (10):

П' (и' (и)) = З^О? + Б-Чв. (15)

[16, стр. 54].

15

I

Матрица П называется формой конформной связности (или просто конформной связностью). Матрица из внешних 2-форм

Ф = ^ + (16)

называется формой кривизны конформной связности [16, стр.70]. Теперь у нас нет оснований (в отличие от формы Г2, заданной формулой (4)), используя (6), считать, что Ф = 0. Положим

Ф' = йО' + О' Л О',

где О' - форма связности на карте V, и продифференцируем внешне равенство (15):

с10' = (1Б~1 А ОБ + Б'ЧОБ - Б~гО А йБ + ¿Б'1 А <1Б, ¿0' = (IБ-1 Л (ПБ + ¿Б) + Б~1(Ф-ОАО)Б- БЛ ¿Б.

Если переписать равенство (15) в виде

= ОБ + ¿Б

и использовать формулу дифференцирования обратной матрицы

¿Б'1 = -Б-ЧБ-Б-1,

получим:

сЮ' = -Б'ЧБ АО' + Б~1ФБ - Б~гО А ОБ- Б^О А ¿0' = Б'1ФБ - Б-ЧБ АО'- Б~гО А (ОБ + (1Б), ¿0' = Б^ФБ - (Б~ЧБ + Л О',

¿О' + О' А О' = Б'ЧБ,

Ф' = Б~гФБ (17)

на пересечении С/ П V. Утверждение 3

Если Ф - матрица кривизны конформной связности, то имеет место равенство, аналогичное (5)

ФТ = -дФд. (18)

Для доказательства продифференцируем внешне равенства (5)

От = -дОд, с10т = —дйОд.

Теперь воспользуемся (16)

ФТ-(^ЛО)Т = -д (Ф - О А О) д,

фт = -дФд + дОАОд + (ОАО)Т.

Используем то, что д = д-1 и что для матриц, состоящих из пфаффовых форм, справедлива формула

(ААВ)Т = -вт аат.

Тогда получим:

фТ = -дфд + дПд Д дПд - Д = -дфд + ПТ Л ПТ ~ П? Л С1Т = -дФд,

что и требовалось доказать.

Таким образом, матрицы конформной связности Г2 и кривизны конформной связности Ф имеют одинаковую алгебраическую структуру, определяемую формулами (5) и (18). Например, если матрица квадратичной формы д имеет сигнатуру (—Ь + + ++)

(0 0 0 0 0 1 \

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

^ 1 0 0 0 0 оу

то

= / , 1° Ч) U)l "о V 0 /1° 0 cot -и? 0 ul -<4 /1° / ,3 0 ul : I3 <4 -и* 0 -Wo 0 1 1 >° —и з /1° 11° \ /

фО ф§ фО ФЧ 0 \

ф¿ 0 _ф2 -фЗ -ф? -фО

ф§ ф2 0 -Ф| -ф* -ф°

фЗ фЗ 0 -ф°

ц ф} ц Ч 0

. 0 -н -Ч -фЗ -Ф8 /

Если же если матрица квадратичной формы д имеет сигнатуру (---Ь + ++), то эти матрицы имеют вид (49) и (51) соответственно. Дифференцируя внешне (16), получим

¿Ф = dSl Л Q - П Л dii, ¿Ф = (Ф - П Л i2) Л П - П Л (Ф - П Л П),

£1Ф + ПЛФ-ФЛП = 0. (19)

Равенство (19) есть сжатая форма так называемых тождеств Бианки [16, стр.71].

Займемся теперь отысканием инвариантов конформной связности Г2. В первую очередь нас будет интересовать задача существования инвариантной внешней 4-формы г для составления функционала действия

м

Из (17) имеем:

Ф'ЛФ' = 5_1Ф Л ФБ. (20)

Матрицы Ф и Ф Л Ф можно рассматривать как матрицы линейных преобразований пространства внешних форм четного порядка. Из операционных законов преобразований (17) и (20) матриц Ф и Ф Л Ф следует, что коэффициенты характеристических многочленов этих матриц являются инвариантами. Положим

(Ф - АЕ) = А6 - А5 + р2А4 - р3А3 + р4А2 - р5Х + рв, det (Ф Л Ф — ХЕ) = А6 — 91А5 + А4 - 93А3 + 94А2 - я5Х + 9е,

где Е - единичная матрица, а А - произвольная линейная комбинация внешних форм четного порядка. Элементы матриц Ф и ФЛФ есть внешние формы четного порядка, они коммутируют [13, стр. 16], поэтому определители вычисляются обычным образом. Утверждение 4

Среди Рг и 9г единственным инвариантом является 91.

Так как р3, р4, р5, р6, 92, 93, 94, 95, 9б при любом А есть внешние формы порядка, большего четырех, то на 4-мерном многообразии они равны нулю, т.е.

с^ (Ф - ХЕ) = А6 - Р1ХЪ + р2А4, сМ (Ф Л Ф — ХЕ) = А6 — 9!А5.

Как известно из теории линейных операторов, р\ и 91 являются следами соответственно матриц Ф и Ф Л Ф:

Рх = £гФ, 91 = £г (Ф Л Ф). Покажем, что р\ — 0. В силу (8), по формуле (18):

(Фт) = ¿г (—дФд) = ¿г (-ддФ) = —£г Ф.

С другой стороны, всегда

¿г (фт) = ¿ГФ,

что и доказывает

= ¿гФ = 0.

Итак,

сЫ (Ф - ХЕ) = А6 + р2А4, det (Ф Л Ф — ХЕ) = X6 — 91 А5.

Как известно, для коэффициентов характеристических многочленов линейного оператора и его квадрата справедлива формула

(Р1)2 = 91 + 2р2.

Так как £>1 =0, то

91 = ~2р2,

18

I

и мы получили только один инвариант

91 = £г (Ф Л Ф),

что и требовалось доказать. Инвариант

г = £г (Ф Л Ф)

является внешней 4-формой, квадратично зависящей от формы кривизны Ф, но он не годится в качестве функционала действия в силу Утверждения 5 Справедлива формула

<2(£г(^ЛФ)) =£г(ФлФ). (21)

Для доказательства этой формулы заметим, что если элементы матриц А и В коммутируют, то

£г (АВ) = £г (ВА), (22)

а если антикоммутируют, то

£г (АВ) = —£г (ВА). (23)

Поэтому, если 9 и О, - матрицы из 1-форм, а Ф - матрица из 2-форм, то

£г (9 Л Ф Л П) = -£г (17 А Ф А 9).

Следовательно,

£г (П Л Ф Л П) = 0. (24)

Подставим в равенство

й (П Л Ф) = сШ Л Ф - О Л <1Ф вместо ¿0, и с1Ф их выражения из (16) и (19). Получим:

(1 (П Л Ф) = (Ф - П Л П) Л Ф + Л (П Л Ф - Ф Л П),

¿(ПЛФ) = ФЛФ-плфлп.

Отсюда, вычисляя след и используя (24), приходим к формуле (21). Доказательство окончено.

Из (21) следует, что

J г = ! £г (Ф Л Ф) = /ег(£г(Г2ЛФ))= 0,

мм м

ибо, как известно, интеграл от полного дифференциала по компактному многообразию равен нулю.

Дальнейший поиск нужного инварианта связан с оператором Ходжа.

3 Оператор Ходжа и функционал Янга-Миллса

Распишем подробно трансформационные уравнения (10), взяв поочередно в качестве ¿> калибровочные преобразования (И), (12) и (13). В дальнейшем в двухиндексных символах мы, вслед за Картаном [14, стр.161], для удобства будем опускать индекс 0, если он входит один раз, т.е. считать

и т.д. Если

Шо^"3,

П =

и* =Ши

иг ш;

и>° и?

то получим три группы формул

ф* = Фг

( Ш1 ... ш5 \

<4 )

Ш

о = Ли _4_ ,,,0

Шг = ци)%,

¿г =

(гЛе 1,4);

(25)

= - Хкшк,

и>1=и\ + \iUji - г]^ Хтгцкшк, к и>г=си{ + - \кш£ + - Хг\кшк + \ХГ]1кшк\

Г7б_, .о

Ч) — Ч)>

04=^X1 + ^X1, Шг = ХкШк.

(26)

(27)

Здесь А^ - элементы матрицы А, а А^ - элементы обратной матрицы А-1, А а= r]г:'XiXj. Из этих формул легко усматривается Утверждение 6 Квадратичная форма

(р = щш'ш3 = Г)и (ш1)2 + 7722 {ш2У + Т7зз (ш3)г + (<^4)

не меняется относительно преобразований (27) и (26). Действительно,

2\2

Д\2

Но равенство (14) означает, что поэтому

у? = = щХ1шкХ ¡,ир.

ТН]ХгкХ^ — г)кр,

(р = 7]крШкиР =

Инвариантность <р относительно преобразований (26) очевидна, так как пфаффовы формы шг не меняются, что и требовалось доказать.

I

ш

Что касается преобразований нормировки (25), то имеем

(р = ц2(р. (28)

Таким образом, квадратичная форма <р задает на многообразии М угловую метрику [14, стр. 162]. (р - это не глобальный инвариант, а локальный. Он существует в любой области многообразия М, в которой трансформация (10) может быть осуществлена при 5бП(р-1,9-1). Отметим, что множитель /I2 в равенстве (28) появился благодаря равенствам

= /мл;1.

Коэффициенты же щ квадратичной формы

</? = щшгш3

мы считаем инвариантными относительно всех калибровочных преобразований (25), (26) и (27).

Введем теперь также инвариантные относительно всех калибровочных преобразований величины

4 = «е^гГ, (29)

где ¿¿^ - символ Кронекера, равный нулю, если какие-либо два нижних индекса одинаковы, и ±1 в зависимости от четности или нечетности перестановки (к,1,т,п) чисел (1,2,3,4), а Т]гпг = г/то^. Очевидно, величины е1^ кососимметричны как по паре верхних, так и по паре нижних индексов. Кроме того, справедливо равенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лукьянов, Вячеслав Анатольевич, 2014 год

Список литературы

1. Акивис, М.А. Некоторые локальные аспекты теории конформных структур / М.А. Аки-вис, В.В. Коннов // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. - N£l. - С. 3-40.

2. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна, т. I. / А. Бессе - М.: Мир, 1990. - 703 с.

3. Берке, У. Пространство-время, геометрия, космология / У. Берке - М.: Мир, 1985. - 412 с.

4. Вейль, Г. Гравитация и электричество / Г. Вейль // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. - М.: Мир, 1979. - С. 513-523.

5. Вейль, Г. Пространство. Время. Материя / Г. Вейль // Лекции по общей теории относительности. - М.: Эдиториал УРСС, 2004.

6. Владимиров, Ю.С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий / Ю.С. Владимиров - М.: Издательство МГУ, 1987. - 215 с.

7. Владимиров, Ю.С. Пространство-время: явные и скрытые возможности / Ю.С. Владимиров - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ 2010. - 208 с.

8. Владимиров, Ю.С. Геометрофизика / Ю.С. Владимиров - М.: БИНОМ, 2010. - 536 с.

9. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: методы и приложения. Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Изд. 4-е, испр. и доп. / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко - М.: Эдиториал УРСС, 1998, - 336 с.

10. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: методы и приложения. Том II. Геометрия и топология многообразий. Изд. 4-е, испр. и доп. / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко - М.: Эдиториал УРСС, 1998. - 278 с.

11. Каган, В.Ф. - Теория поверхностей, т. I. / В.Ф. Каган - Москва-Ленинград, 1947. - 512 с.

12. Картан, Э. Риманова геометрия в ортогональном репере / Э. Картан - Издательство Московского университета, 1960. - 308 с.

13. Картан, Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан - Издательство Московского университета, 1962. - 236 с.

14. Картан, Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан

- Издательство Казанского университета, 1962. - 210 с.

15. Ландау, Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука, 1973. - 504 с.

16. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голономий / А. Лихнерович - М.: Издательство иностранной литературы, 1960. - 216 с.

17. Лукьянов, В.А. Уравнения Янга-Миллса на 4-мерных многообразиях конформной связности / В.А. Лукьянов // Известия вузов. Математика. - 2009. - N-3. - С. 67-72.

18. Лукьянов, В.А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна / Л.Н. Кри-воносов, В.А. Лукьянов // Известия вузов. Математика. - 2009. - N-9. - С. 69-74.

19. Лукьянов, В.А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2009. - Т. 2. - N^4. - С. 432-448.

20. Лукьянов, В.А. Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2011. - Т. 4. - N-3. С. 350-362.

21. Лукьянов, В.А. Уравнения Эйнштейна на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2012. - Т. 5. - ]М£3. - С. 393-408.

22. Лукьянов, В.А. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2013. - N-3. - С. 54-63.

23. Лукьянов, В.А. Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности без кручения / Л.Н. Кривоносов, В.А. Лукьянов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. - 2014. - №-2.

- С. 180-198.

24. Меркулов, С.А. Твисторная связность и конформная гравитация / С.А. Меркулов // ТМФ. -1984. - Т. 60. - №2. - С. 311-316.

25. Монополи: Топологические и вариационные методы: сборник статей. - М.: Мир, 1989. -584 с.

26. Норден, А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Норден - М.: Наука, 1976. - 432 с.

27. Обухов, Ю.Н. Калибровочные поля и геометрия пространства-времени / Ю.Н. Обухов // ТМФ. - 1998. - Т. 117. - №-2. - С. 249-262.

28. Петров, А.З. Новые методы в общей теории относительности / А.З. Петров - М.: Наука, 1966. - 495 с.

29. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия: Учебное пособие для вузов / М.М. Постников - М.: Наука, 1988. - 496 с.

30. Рабинович, A.C. Точные осесимметричные волновые решения уравнений Янга-Миллса / A.C. Рабинович // ТМФ. - 2006. - Т. 148. - №2. - С. 243-248.

31. Рубаков, В.А. Классические калибровочные поля: Бозонные теории: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп / В.А. Рубаков - М.: КомКнига, 2005. - 296 с.

32. Столяров, A.B. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / A.B. Столяров // Известия вузов. Математика. - 2002. - N£ll. - С. 61-70.

33. Столяров, A.B. Пространство конформной связности / A.B. Столяров // Известия вузов. Математика. - 2006. - №-11. - С. 42-54.

34. Сущ, В.Н. О калибровочно-инвариантных дискретных моделях уравнений Янга-Миллса / В.Н. Сущ // Математические заметки. - 1997. - Т. 61. - N£5. - С. 742-754.

35. Фавар, Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии (пер. с фр.) / Ж. Фавар - М.: ИЛ, 1960. - 560 с.

36. Фиников, С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С.П. Фиников - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. -432 с.

37. Эйзенхарт, Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхарт - М.: ИЛ, 1948. - 316 с.

38. Akivis, M.A. On the real theory of four-dimensional conformai structures / M.A. Akivis // Journal of Geometry and Physics. - 1996. - N 21. - P. 55-80.

39. Aryapoor, M. Self-dual Yang-Mills Equations in Split Signature / M. Aryapoor // arXiv:0902.0633vl [math.DG]. - 2009.

40. Brodel, J. Construction of noncommutative instantons in 4k dimensions / J. Brodel, T.A. Ivanova, O. Lechtenfeld // Mod. Phys. Lett. - 2008. - N A23. - C. 179-189.

41. Gallo, T. Cartan Normal Conformai Connections from Pairs of 2nd Order PDE's / T. Gallo, С. Kozameh, E.T. Newman, K. Perkins // arXiv:gr-qc/0404072vl. - 2004.

42. Harland, D. Instantons and Killing Spinors / D. Harland, C. Noll // arXiv:1109.3552v2 [hep-th], - 2011.

43. Ingraham, R.L. Conformal Relativity / R.L. Ingraham // Nuovo Cim. - 1978. - Vol. 46B. - N 1. - R 1-15; 1978. - Vol. 46B. - N 1. - P. 16-32; 1978. - Vol. 46B. - N 2. - P. 217-260; 1978. -Vol. 46B. - N 2. - P. 261-286; 1978. - Vol. 47B. - N 2. - P. 151-191; 1979. - Vol. 50B. - N 2. -P. 233-270.

44. Ingraham, R.L. Free Field Equations of Conformal Relativity in Riemannian Formalism. I-II / R.L. Ingraham // Nuovo Cim. - 1982. Vol. 68B. - N 2. - P. 203-217; 1982. - Vol. 68B, - N 2. - P. 218-234.

45. Ivanova, T.A. Instantons and Yang-Mills flows on coset spaces / T.A. Ivanova, O. Lechtenfeld, A.D. Popov, T. Rahn // Lett. Math. Phys. - 2009. - N 89. - C. 231-247.

46. Korzyjnski, M. The Normal Conformal Cartan Connection and the Bach Tensor / M. Korzyjnski, J. Levandowski // arXiv:gr-qc/0301096v3. - 2003.

47. Luk'yanov V.A. Purely time-dependent solutions to the Yang-Mills equations on a 4-dimensional manifold with conformal torsion-free connection / V.A. Luk'yanov, L.N. Krivonosov // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2013. - Т. 6. - Nal. - С. 40-52.

48. Luk'yanov V.A. Extremal curves in the conformal space and in an associated bundle / L.N. Krivonosov, V.A. Luk'yanov, L.V. Voloskova // Журнал Сибирского федерального университета. Серия Математика и физика. - 2014. - Т. 7. - N£l. - С. 68-78.

49. Merkulov, S.A. A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism / S.A. Merkulov // Class. Quantum Grav. - 1984. - Vol. 1. - P. 349.

50. Pavsic, M. Unified Theory of Gravitation and Electromagnetism, Based on Conformal Group 50(4,2) / M. Pavsic // Nuovo Cim. - 1977. - Vol. 41B. - N 2. - P. 397-427.

51. Trunev, A.P. Hadrons metrics simulation on the Yang-Mills equations / A.P. Trunev // Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University. - 2012. - N 10. - P. 874-887.

52. Trunev, A.P. Dynamics of quarks in the hadrons metric with application to the baryon structure / A.P. Trunev // Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University. - 2013. - N 01. - P. 525-542.

53. Trunev, A.P. Dynamics of quarks in the baryons metric and structure of nuclei / A.P. Trunev // Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University. - 2013. - N 01. - P. 623-636.

54. Trunev, A.P. Quark dynamics in atomic nuclei and quark shells / A.P. Trunev // Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University. - 2013. - N 02. - P. 1-27.

55. Trunev A.P. Preon shells and atomic structure / A.P. Trunev // Network electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University. - 2013. - N 03. - P. 874-887.