Управление нелинейными и многоканальными системами на базе метода бэкстеппинга и метода вспомогательного контура тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Вражевский Сергей Александрович

• Вражевский Сергей Александрович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Вражевский Сергей Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

Реферат

Synopsis

Введение

1. Обзор существующих решений

1. 1 Многоканальные системы

1.2 Методы бэкстеппинга

1.3 Компенсация несогласованных возмущений

1.4 Методы робастного управления

2. Компенсация возмущений в линейных многоканальных системах

2.1 Алгоритм децентрализованного субоптимального управления с 55 компенсацией возмущений в линейных многоканальных системах

2.2 Алгоритм централизованного субоптимального управления с компенсацией возмущений для линейных интервальных 61 многоканальных систем

Выводы по главе

3. Компенсация возмущений в нелинейных многоканальных системах

3.1 Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией 73 возмущений для линейных систем с запаздыванием

3.2 Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией 82 возмущений для нелинейных систем

3.3 Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией

возмущений для нелинейных многоканальных объектов по выходу

3.4 Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией

возмущений для нелинейных многоканальных объектов c учетом 105 перекрестных связей

Выводы по главе

4. Компенсация возмущений при управлении двухроторным нелинейным ^0

многоканальным лабораторным стендом

4.1 Математическая модель стенда TRMS

4. 2 Децентрализованный субоптимальный робастный регулятор

4.3 Централизованный субоптимальный робастный регулятор

4 4 Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией 139 возмущений и учетом перекрестных связей

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление нелинейными и многоканальными системами на базе метода бэкстеппинга и метода вспомогательного контура»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Проблемы управления многоканальными системами становятся все более актуальными в современной науке и в производстве (Р.П. Агаев, Б.Р., Андриевсикй, В.Н. Буков, А. Исидори, Л. Миркин, А.С. Морзе, Е.А. Паршева, А.Л. Фрадков, А.М. Цыкунов, П.Ю. Чеботарев и др.). Все большую актуальность и практическую значимость приобретают такие задачи, как синхронизация энергосетей, автоматизация производственных линий, групповое управление мобильными робототехническими объектами, развитие систем управления беспилотными летательными аппаратами и другие.

Специфика разработки алгоритмов управления для многоканальных систем, как линейных, так и нелинейных, заключается в необходимости работать с объектами управления с высоким динамическим порядком, наличием перекрестных связей, которые могут порождать как полезную для системы управления динамику, так и нежелательную, подлежащую компенсации. Наличие параметрических неопределенностей в описании даже одного объекта в многоканальном случае, или присутствие внешних возмущающих воздействий может в значительной степени оказывать негативное влияние на качество работы системы в целом, затрагивая все ее подсистемы. Естественным для больших систем выглядит предположение о возможном наличии немоделируемой либо неучтенной динамики, выявление которой становится важной подзадачей при синтезе системы управления. Такой взгляд на проблему управления многоканальными объектами сделал предпочтительным рассмотрение методов робастного управления в качестве основы для диссертационных исследований. Также для больших систем хочется отметить важность таких свойств, как энергоэффективность и способность работать в условиях дефицита информации. Этим свойствам тоже уделено внимание при разработке алгоритмов управления, которые получены в рамках диссертационных исследований.

Степень разработанности темы исследования. В области робастного управления многоканальными объектами существует ряд решений, наиболее близко относящийся к результатам исследований данной диссертации. К ним относятся метод бэкстеппинга (метод обратного обхода интегратора), включая ряд его модификаций, как робастных, так и адаптивных (М. Крстич, В.О. Никифоров, И.Б. Фуртат и др.). Существуют несколько обобщений и модификаций, которые используют ряд фильтров для приведения объекта к необходимому виду. Один из основных результатов, в котором представлено модельное преобразование для нелинейных объектов для перехода к форме прямой обратной связи, изложен в работе А. Исидори в 1983 году. Ряд решений посвящен модификациям метода бэкстеппинга для упрощения структуры алгоритма, расчета параметров и практической реализаций. В работах И.Б. Фуртата используется только один фильтр состояния для обеспечения такого перехода. На эти решения опирается часть результатов данной диссертации [1 ], [11] при обобщении на нелинейные многоканальные системы.

Метод вспомогательного контура (А.М. Цыкунов, 2007) является робастной вариацией методов управления на основе параллельной эталонной модели. К таким методам относятся метод расширенной ошибки, метод адаптации высокого порядка и другие современные эффективные алгоритмы. Главным отличием метода вспомогательного контура является робастный, а не адаптивный подход к синтезу системы управления, что по отношению к системам большого порядка более удобно. Метод предназначен для определения сигнала возмущающих воздействий, а также нежелательной динамики, и их последующей компенсации. Существует ряд работ, посвященных применению метода вспомогательного контура в различных областях, который выгодно отличает его от аналогов благодаря простоте реализации и высокой точности регулирования.

Метод вспомогательного контура впервые был объединен с алгоритмом бэкстеппинга в работе И.Б. Фуртата, 2015. Было показано, что такая модификация обеспечивает оценку и компенсацию несогласованных неизвестных ограниченных возмущений в линейных системах. В диссертационной работе данный метод распространен для управления линейными объектами с запаздываниями в векторе состояния, а также обобщён для управления нелинейными многоканальными объектами с перекрестными связями.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является развитие методов энергоэффективного управления с компенсацией возмущений в линейных и нелинейных многоканальных объектах при наличии перекрестных связей, параметрических неопределенностей и возмущающих воздействий.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Разработан субоптимальный робастный алгоритм управления интервальными многоканальными объектами с параметрическими неопределенностями и внешними ограниченными возмущениями.

2. Синтезирован модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией возмущений для управления нелинейными многоканальными объектами.

3. Проведен синтез двух алгоритмов робастного управления двухроторной нелинейной многоканальной электромеханической системой.

Научная новизна. Новизна полученных результатов состоит в том, что разработаны новые робастные алгоритмы управления многоканальными объектами большого порядка, позволяющие существенно улучшить качество регулирования в установившемся режиме в условиях внешних неизвестных возмущений и параметрических неопределенностей. Отдельно получены решения для линейных и для нелинейных систем. Для линейных систем в основе разработанных регуляторов лежит метод вспомогательного контура и линейный квадратичный регулятор. Это позволило одновременно решать задачу компенсации нежелательных воздействий и задачу оптимального управления. Централизованная версия данного регулятора позволяет учитывать полезные перекрестные связи в блочно-диагональной структуре матрицы состояния многоканального объекта и использовать динамику этих связей при синтезе закона управления вместо их компенсации. Для нелинейных объектов разработан регулятор, совмещающий метод бэкстеппинга и метод вспомогательного контура. Такая модификация позволяет значительно улучшить робастность замкнутой

системы по сравнению с ближайшими аналогами, повысить точность стабилизации и, при этом, порядок регулятора существенно ниже большинства существующих модифицированных алгоритмов бэкстеппинга. Последнее свойство упрощает применение разработанного алгоритма в системах большого порядка, в том числе в многоканальных системах. Еще одним важным преимуществом данного подхода является способность системы управления компенсировать неизвестные несогласованные возмущения, что невозможно обеспечить при помощи только алгоритма бэкстеппинга или только алгоритма вспомогательного контура.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что разработаны новые алгоритмы управления для линейных и нелинейных многоканальных объектов, обеспечивающие оценку и компенсацию нежелательной динамики, которые могут быть применены в ряде практических задач, в том числе при управлении беспилотными летательными аппаратами, для траекторного управления мобильными робототехническими объектами, в задачах синхронизации сетей электрогенераторов и в других практических задачах, процессы в которых описываются многоканальными системами.

Теоретическая значимость работы также заключается в том, что получены новые алгоритмы управления, повышающие качество регулирования по сравнению с ближайшими аналогами как в линейных, так и в нелинейных системах. К новым свойствам разработанных алгоритмов относятся способность учитывать полезную динамику перекрестных связей при управлении многоканальными объектами, оценка и компенсация несогласованных возмущающих воздействий, высокая робастность системы управления без необходимости синтезировать управляющие сигналы большей амплитуды, чем величина функции возмущений.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы метод пространства состояний, метод вспомогательного контура, метод бэкстеппинга, метод управления на основе линейного квадратичного регулятора, метод интервальной линеаризации и интервальные модели описания линейных объектов, аппарат функции Ляпунова, пакет прикладных программ Matlab с расширением Simulink последних версий, лабораторный стенд «Twin Rotor MIMO System».

Положения, выносимые на защиту:

1. Субоптимальный робастный алгоритм управления интервальными многоканальными объектами с параметрическими неопределенностями и внешними ограниченными возмущениями.

2. Модифицированный алгоритм бэкстеппинга с компенсацией возмущений для управления нелинейными многоканальными объектами.

3. Алгоритмы управления двухроторной нелинейной многоканальной электромеханической системой.

Степень достоверности и апробация результатов. По теме диссертационных исследований соискателем опубликовано 8 печатных работ [1]-[2], [8]-[13], 2 из которых входят в перечень ВАК, 6 из них опубликовано в научных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и

системы цитирования (Web of Science Core Collection и Scopus). По результатам исследований получено 5 свидетельств о регистрации программы для ЭВМ.

Основные результаты диссертации докладывались [9]-[13] и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1. 1 st IEEE Industrial Cyber-Physical Systems (ICPS-2018), 15-18 мая 2018, Санкт-Петербург, Россия.

2. 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems» (ICUMT-2017), 06-08 ноября 2017, Мюнхен, Германия.

3. 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (ICUMT-2016), 18-20 октября 2016, Лиссабон, Португалия.

4. 13th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO 2016), 29-31 июля 2016, Лиссабон, Португалия.

5. VIII Традиционная молодежная Школа "Управление, информация и оптимизация" (VIII ТМШ), 14-19 июня 2016, Санкт-Петербург, Россия.

6. 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (ICUMT-2015), 6-8 октября 2015, Брно, Чехия.

Результаты диссертационных исследований использовались при выполнении следующих НИР:

1. Адаптивное бессенсорное управление синхронным электроприводом для интеллектуальных робототехнических и транспортных систем (тема 380284).

2. Управление киберфизическими системами (тема 718546).

3. Интеллектуальные технологии цифрового производства (тема 380289).

4. Идентификационные методы синтеза наблюдателей в задачах адаптивного управления нелинейными системами (тема 17808).

5. Разработка и создание типоряда высокомоментных малогабаритных ролико-винтовых редукторов (тема 215540).

6. Робастные и адаптивные системы управления, коммуникации и вычисления (тема 340622).

7. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами (тема 713546).

8. Управление сетевыми системами в условиях неопределенностей и запаздывания с применением к управлению электроэнергетическими сетями (№ 18-79-10104).

9. Управление техническими системами на базе наблюдателей возмущений с использованием управляющих воздействий малой амплитуды (№ 18-38-20037).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 224 страницы с 43 рисунками и 8 таблицами. Список литературы содержит 71 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, проведен анализ существующих в современной теории автоматического управления методов в обозначенной предметной области, сформулированы цели и задачи исследований, кратко изложены теоретические и практические результаты работы, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приводится обзор работ по тематике диссертационных исследований. Описаны ключевые идеи и результаты, которые положены в основу диссертации: метод бэкстеппинга и его существующие модификации, метод вспомогательного контура и др. Изложены основные преимущества и недостатки данных методов, сформулированы основные проблемы, решение которых исследуется в данной работе. К проблемам относятся: относительно высокий динамический порядок регуляторов на базе метода бэкстеппинга, отсутствие учета критериев оптимальности в робастных линейных регуляторах, низкое качество регулирования в задачах компенсации возмущений в линейных и нелинейных системах.

Во второй главе рассматривается линейная многоканальная система без наличия перекрестных связей с параметрическими неопределенностями под воздействием внешних возмущений. Синтезирован децентрализованный алгоритм оптимальной стабилизации и компенсации возмущений. Алгоритм обеспечивает желаемую динамику объекта управления, которая определяется квадратичным функционалом качества и значением желаемого положения выходных сигналов, а также компенсацию возмущений, вызванных как внешними факторами, так и неопределенностями параметров самого объекта, в том числе при медленном гладком изменении значений параметров в процессе функционирования.

Многоканальная система рассматривается в общем виде как набор динамически связанных одноканальных (один вход - один выход) подсистем, математически представленных линейным многоканальным объектом с интервальными параметрами:

'х (t) = [a] x(t)+[b] u(t)+[d] f (t), x(0) = x0, У (t ) = Lx (t),

где x(t) e №n - вектор состояния, x0 e Юn - неизвестные начальные условия, и (t) e №k - вектор входных воздействий, f (t)e №k - ограниченный вектор внешних возмущений, y(t) e №k - вектор выходов объекта управления (ОУ), [ A] e I№nxn - матрица состояния, [B] e I№nxk - матрица входов по управлению, [ D ] e I№nxk - матрица входов по возмущению, L e Rkxn - известная матрица выходов. Только выходные сигналы y(t) и управляющие воздействия u(t)

доступны для измерения. Дополнительно, следующий набор предположений выполняется для объекта (1). Выполнены условия ст:

[A] = A + B[ca], [B] = B[cb], [D] = B[cd], где [cfl]eIRkxn,

неизвестные интервальные матрицы. Структура матриц многоканального объекта

руктурного согласования

_cb _ e IRkxk, _cd _ e IRkxk -

известна и может быть представлена в виде конечного множества динамически связанных одноканальных подсистем с известными порядками и., i = 1,k. Рассмотрена задача стабилизации:

|y(t )|| <5, t > T, (2)

где 5 > 0 - точность регулирования, определяемая техническими требованиями к системе, T - время переходного процесса. Дополнительно введем в рассмотрение задачу оптимального управления - задачу минимизации функционала качества следующего вида:

ж

J = j f (t )Qy (t)+Mj (t) Ru0 (t )j dt ^ min, (3)

ov y

где M0(t) - управляющее воздействие оптимально контура; Q е Мkxk: Q = QT > 0 и

R е Mkxk: R = RT > 0 - весовые матрицы. Закон управления может быть представлен в аддитивной форме:

u(t) = и0 (t)+ur (t), (4)

где ur (t) - управляющее воздействие для компенсации возмущений и неучтенной динамики, порождаемой параметрическими неопределенностями. В соответствии с интервальными методами описания систем, объект управления (1) можно представить в виде:

x (t) = Ax(t)+Г ДА] x (t)+Bu(t)+Г Aß] M (t)+Г Dl f (t),

У (t ) = Lx (t).

(5)

Далее все возмущения и параметрические неопределенности, порождающие нежелательную динамику, выделены в отдельную функцию, объект управления переписан с учетом нового вида функции возмущений и аддитивного вида закона управления. Синтез алгоритма разделен на две части. Сначала анализируется динамика объекта при отсутствии параметрических отклонений и внешних возмущений, что позволяет, применяя методы оптимального управления, определить структуру закона управления, обеспечивающего минимизацию функционала (3). Затем для исходной постановки задачи вводится в рассмотрение вспомогательный контур - динамическая система, определяющая желаемую динамику объекта. Структура и параметры вспомогательного контура представляют собой невозмущенную (идеализированную) модель объекта управления, замкнутого матрицей обратных связей, полученной из решения задачи оптимального управления на предыдущем этапе синтеза. Вводится в рассмотрения ошибка рассогласования между динамикой реального объекта и динамикой вспомогательного контура, значение которой используется для формирования компенсирующего управляющего воздействия (робастный контур управления) такой же величины, но с обратным знаком. Таким образом, результирующий закон управления совмещает оба управляющих сигнала (оптимальное и робастное управляющие воздействия) в форме (4), что позволяет одновременно обеспечить компенсацию нежелательной динамики и минимизацию функционала (3).

Таким образом, система управления состоит из вспомогательного контура

ха ^) = Ло£а (t) + Виг (t), У а ^ ) = Ь*а ^).

где Л0 = Л - BG - гурвицева матрица, О = Я-1ВТК, К е Я"х" - решение алгебраического уравнения Риккати; наблюдателя (наблюдатель Халила)

4 (г )=адо - Мо (у (г)-у (г У (' )=),

(7)

где )=|4 ^), 42(t),

y(t), Н0 = blkdiаg

, 4к (t)1, 4, )е Я"' + , вектор у^) е Як - оценка выходного

сигнала

0 I" 00

,/ =1, к

Ь = Ыkdiag

Ь, 0

,, = 1, к|

М0 = Ыkdiag такие, что М = Ыkdiag

<Ллт 1,2,...,d ,,т

1 ' 2 ' 'и,- +1

-и,- +1

т

,, = 1, к|, т > 0, коэффициенты dj., j = 1,ик +1 Н = Н0 - МЬ является гурвицевой,

+1

матрица

т _

,, = 1, к !>; и закона управления

/(0 = -ОЗД - В+^£(0 - Ха (0 - Ло (£(0 - Ха (¿))]. (8)

Структурная схема системы управления представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Структурная схема робастной субоптимальной системы управления

линейным объектом по выходу

В диссертационной работе доказано следующее утверждение. Утверждение 1. Существует параметр т0 > 0 такой, что для всех т<т0

алгоритм управления, состоящий из вспомогательного контура (6), наблюдателя (7), и закона управления (8) обеспечивает для объекта управления (1) выполнение цели управления (2) и минимизацию функционала качества (3).

Основным результатом данной главы является робастный субоптимальный алгоритм управления интервальными линейными многоканальными объектами с параметрическими неопределенностями, функционирующих в условиях внешних возмущений. Предложенный подход учитывает полезную динамику перекрестных связей в модели объекта управления вместо того, чтобы ее компенсировать. Рассмотренная интервальная модель учитывает параметрические неопределенности объекта управления и может быть применена для управления нелинейными объектами, динамика которых представима в виде линейной интервальной системы. Было показано экспериментально, что предложенный подход при управлении лабораторной установкой с нелинейной многоканальной динамикой позволяет достичь высокой точности регулирования по управляемым угловым координатам, чем решения, не учитывающие влияние перекрестных связей. Кроме того, показатели качества предложенного алгоритма выше, чем у часто применяемых регуляторов, таких как ПИД и линейный квадратичный регулятор.

В третьей главе диссертации рассматривается модификация метода бэкстеппинга для управления нелинейными объектами по состоянию и по выходу при воздействии на объект ограниченных внешних возмущений. Как и во второй главе, предложенный результат основан на использовании робастного метода вспомогательного контура. Также для алгоритма бэкстеппинга использована модификация, которая существенно упрощает процесс синтеза системы управления за счет уменьшения числа используемых фильтров до одного с размерностью, равной относительной степени объекта управления. По сравнению с аналогичными модификациями, позволяющими снизить число необходимых фильтров относительно оригинала, данный подход обладает наименьшим показателем по числу фильтров в структуре системы управления.

Главным результатом третьей главы является алгоритм управления по выходу нелинейным многоканальным объектом с перекрестными связями, параметрическими неопределенностями и внешними возмущениями. Рассматривается нелинейный многоканальный объект

п

х-= X А(хл' £ л)+Ц (х-' )(и-+ф-(х-'г ^

л=1 , (9)

У- = ^(х-X■ =1Пх-(0) = х-о,го = 0,г е т с [0,да) где /Л(х ,■ £,-,) + Ц- (х-, £ )( и- + фг- (х-, г)) - собственная динамика ьй

Л Л Л л1 =/

п Т

подсистемы; X /1(хл1,£л1),л * - - функции перекрестных связей; [£1,...,£п] еЕ

Л1=1

— вектора неизвестных параметров, а Е - известное ограниченное множество; хг- е - вектора состояния; /, Ц и - достаточно гладкие функции; фг- -неизвестные функции внешних возмущающих воздействий, ограниченные по г и ограниченные либо Липшицевы по х.

Цель управления задается в виде

е <8, t > t

е = [е11, е12' — , е1и ] , % = У (t) - Уе/,,(tX * = 1, И

где каждая из переменных е1* является ошибкой слежения ,-й подсистемы, 8 -

желаемая точность регулирования, ¿/ > 0 - время переходного процесса, уге/,, -

эталонные сигналы ,-й подсистемы, ограниченные вместе со своими производными.

Далее в диссертационной работе показано, что для нелинейных многоканальных моделей справедливо рассматривать относительную динамическую степень, как порядок производной, когда выполняются условия (в терминах производных Ли)

Условие 1.

V,(X/) = ^Л/(*Л) =... = 7X. ^ (х^) = 0 (11)

71

^у-2 Л-3"' /7 /7 7 У

V 72 71

7у-2

Условие 2.

): 7 Ьу-,"/ ^ (X1) ^ 0 «

7 у-1 7у-2 /71 /'.

V 72 71 7у-1

у-1

А/ (х,) * 0,

/

/

(12)

и и

Е... Е Ч- V 2Л 7 V, (х.)=0.

7 1=1 7у-1=1 72 71

7-1*« у-1

При этом сама производная объекта управления принимает вид

У/(у) = Е/т (Хт) + LblП% (х, )(и, +ф, (X,, 0),

т=1 /

(13)

где

и и

& () =Е - Е /у-Г"^ (Х7у )

7 ■

7'1=1 7у =1 7у

71

у-1

/7 I

= Е (Хт) (14)

1=1 /

у=

у

1

Условие 2 - это допущение, что в случае, если на некотором шаге взятия производной динамика полученной системы будет зависеть от сигнала управления, то это значит, что она будет зависеть от собственного управляющего сигнала, а не от управления других подсистем через перекрестные связи. Первая сумма в выражении (13) - это переписанная для удобства сумма функций, возникших в результате расчёта относительной степени, таким образом, чтобы функции от одного и того же аргумента располагались обособленно. Далее для объекта сформулированы следующие предположения: предположение о том, что существует обратное однозначное преобразование от вида (13) к виду (9), и о том,

и

что функции с (х1, х2,..., хп, £) = X (хт), которые получились при расчете

т=1

относительной динамической степени, ограничены и Рг- (хг-, £) = Lb■L1ihi (х) > 0.

Это позволяет преобразовать уравнения ошибок слежения е1г- = у (г) - у./- (г), - = 1, п, к виду

^1¿1- (г) = С(х1,...>хп .£-) +

+Р;(х-,£ )(М(г) + Ф-(х-,г)) - р1 угеГ(г), / =1, п

(15)

где р = d|dt - оператор дифференцирования. Затем вводятся в рассмотрение

операторы ^ (р1-1) = Х к^р1-я такие, что (р1) = ру + (р1-) - Гурвицев

*=1

полином, и система (15) приводится к виду

% (г) = й- (р1 )-Ч (г) + й- (р1 )-Ч- (хщ,и-, £-, Уг/, г). (16)

Основной результат. Для слагаемого й (ру )-1м- (г) в (16) рассматриваются фильтры вида

V (г) = (г) + /м- (г), - = 1П,

V- (г) =

" V« (г)" т "0"

V2i(г) , / = • , А- =

0

_ Vli (г) _ _1_

к

к

2-

1-1

Л- 0 ... 0

(17)

Далее система (16)-(17) анализируется последовательно в у шагов согласно методу бэкстеппинга, но на каждом шаге итеративной процедуры синтеза закона управления дополнительно вводится в рассмотрение вспомогательный контур, что позволяет осуществить оценку и компенсацию возмущений в каждом уравнении состояния. Таким образом, для системы управления формируются следующие сигналы.

Шаг 1. Формируются вспомогательные контуры

¿1- (г) = -сь- (г) - к^Х1 (г) + ^ (г), - = Щ, (18)

ошибки рассогласования

£и (г) = ¿1- (г) - ¿г- (г), - = Ш, (19)

законы виртуального управления

/V _

% (г) = кц^ (г) - (г) - с^. (г), - = 1, п, (20)

где (г) - оценки производных £1- (г), т.к. последние не измеряются напрямую. Для оценки производных используется наблюдатель вида

+ 5 = £, (21)

где ц > 0 - достаточно малое число, которое является настраиваемым параметром наблюдателя, с; - измеряемый сигнал, ; - оценка производной ;. Также вводится в рассмотрение ошибка виртуального управления

¿2-(г) = ^ (г) - (г), - = 1, п (22) Шаг г,г = 2,у-1. Вычисления, аналогичные проделанным на шаге 1, справедливы для последующего синтеза виртуальных законов управления и анализа динамики ошибок виртуального управления

¿г-(г) = Vri(г) - М(г-1)-(г), Г = 2 1 - 1, - = 1 п

(23)

В результате должны быть сформированы наборы вспомогательных контуров

¿г- (г) = -с„<- (г) - (г) + V+1,- (г), г = 2,1 -1, - = 1, п,

ошибки рассогласования

£г- (г) = ¿г- (г) - ¿г- (г), г = 21-1, - = Щ,

законы виртуального управления

/V ___

М-(г) = (г) - £г-(г) - СгДи(гX Г = 2,1 - 1 - = 1, n,

(24)

(25)

(26)

которые позволяют сформировать ошибки виртуального управления

¿(г+1)-(г) = V(г+1)-(г) - М-(гX- = 1, (27)

Шаг 7. На последнем шаге синтеза закона управления для анализа ошибки ¿1, сформированной на предыдущем шаге, рассматриваются вспомогательные контуры

¿г (г) = -с^г- (г) - кл- (г) + м- (г), - = Щ, (28)

ошибки рассогласования

(г) = ¿у (г) - ¿г- (г), - = 1, п,

законы управления для каждой подсистемы в виде

м-(г) = (г) - £ 1-(г) - с1-£1-(гX- = 1, п.

1-

(29)

(30)

Структурная схема системы управления представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Структурная схема модифицированного алгоритма бэкстеппинга В диссертационной работе доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений. Существуют значения параметров cri > 0, цri0 > 0, r = 1, у, i = 1, n, такие, что для любого цri е (0; цri0] система управления, состоящая из фильтров (17), вспомогательных контуров (18), (24), (28), наблюдателя (21), виртуальных законов управления (20), (26), и законов управления (30) обеспечивает выполнение цели управления (10) для объекта управления (9).

Предложенный подход основан на совмещении метода бэкстепинга и метода вспомогательного контура и обеспечивает более высокую точность регулирования по сравнению с ближайшими аналогами: алгоритмом бэкстеппинга, вспомогательным контуром и модифицированным алгоритмом бэкстеппинга, предложенным И.Б. Фуртатом и Е. Тупичиным.

Алгоритм относится к классу децентрализованных методов управления, но может также быть представлен и в централизованным виде в смысле выполнения общей для всех подсистем цели управления. Цель управления может быть выбрана как синхронизация подсистем многоканальной системы либо сети агентов. Для этого достаточно заменить все эталонные сигналы для подсистем одним yref i (t) = yref (t) и переписать цель управления в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вражевский Сергей Александрович, 2019 год

Литература

1. KokotovicP.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive // IEEE Control systems. 1992. vol. 12. no. 3. pp. 7-17.

2. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами // СПб.: Наука. 2000. 549 с.

3. Sun H., Li S., Yang J., Zheng W. Global output regulation for strict-feedback nonlinear systems with mismatched nonvanishing disturbances // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. vol. 25. no. 15. pp. 2631-2645.

4. KhalilH.K. Nonlinear Systems: 3rd. ed. // N.Y.: Prentice Hall. 2002. 750 p.

5. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений // СПб.: Наука. 2003. 282 c.

6. Marino R., Tomei P. Robust stabilization of feedback linearizable time-varying uncertain nonlinear systems // Automatica. 1993. vol. 29. no. 1. pp. 181-189.

7. Freeman R.A., Kokotovic P.V. Design of 'softer' robust nonlinear control laws // Automatica. 1993. vol. 29. no. 6. pp. 1425-1437.

8. Qu Z. Robust control of nonlinear uncertain systems under generalized matching conditions // Automatica. 1993. vol. 29. no. 4. pp. 985-998.

9. Zheng Y., Yang Y. Adaptive output feedback control for a class of nonlinear systems with unknown virtual control coefficients signs // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2007. vol. 21. no. 1. pp. 77-89.

10. Sun H., Li S., Yang J., Zheng W. Global output regulation for strict-feedback nonlinear systems with mismatched nonvanishing disturbances // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. vol. 25. no. 15. pp. 2631-2645.

11. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и Телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.

12. BelyaevA.N., SmolovikS.V., FradkovA.L., FurtatI.B. Robust control of electric generator in the case of time-dependent mechanical power // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2013. vol. 52. no. 5. pp. 750-758.

13. Furtat I.B. Robust control for a specific class of non-minimum phase dynamical networks // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2014. vol. 53. no. 1. pp. 33-46.

14. FurtatI.B., ChuginaJ.V. Robust adaptive control with disturbances compensation // IFAC-PapersOnLine. 2016. vol. 49. no. 13. pp. 117-122.

15. Vrazevsky S.A., Chugina J. V., Furtat I.B., Kremlev A.S. Robust suboptimal output control for a Twin Rotor MIMO System // 2016 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). 2016. pp. 23-28.

16. Фуртат И.Б. Модифицированный алгоритм робастного обхода интегратора // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 10. С. 2-7.

17. Furtat I., Furtat E., Tupichin E.A. Modified Backstepping Algorithm with Disturbances Compensation // IFAC-PapersOnLine. 2015. vol. 48. no. 11. pp. 1056-1061.

18. Furtat I.B., Vrazhevsky S.A., Kremlev A.S. Robust Control Algorithm under Mismatched Disturbances // 2017 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (ICUMT). 2017. pp. 61-66.

19. Фуртат И.Б., Тупичин Е.А. Модифицированный алгоритм бэкстеппинга для нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. С. 70-83.

20. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем. I. // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 119-129.

21. Furtat I., Fradkov A., Tsykunov A. Robust synchronization of linear dynamical networks with compensation of disturbances // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2014. vol. 24. no. 17. pp. 2774-2784.

22. Фуртат И.Б. Робастное управление определенным классом неминимально-фазовых динамических сетей // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2014. № 1. С. 35-35.

23. Twin Rotor MIMO System Advanced Teaching Manual // Feedback Instruments Ltd. Crowborough. UK 1998. 72 p.

Вражевский Сергей Александрович — аспирант кафедры систем управления и информатики, ФГАОУ ВО "Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики" (Университет ИТМО), инженер кафедры систем управления и информатики, ФГАОУ ВО "Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики" (Университет ИТМО). Область научных интересов: робастное управление, оптимальные и субоптимальные системы управления, нелинейные системы. Число научных публикаций — 12. [e-mail]; Вяземский пер., 5/7, Санкт-Петербург, 197022; р.т.: [phone].

Поддержка исследований. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (8.8885.2017/8.9, 14.Z50.31.0031), РФФИ № 17-08-01266.

DOI 10.15622/sp.58.8

S.A. Vrazhevsky OUTPUT CONTROL OF NONLINEAR SYSTEMS USING MODIFIED BACKSTEPPING ALGORITHM WITH DISTURBANCES COMPENSATION

Vrazhevsky S.A. Output Control of Nonlinear Systems using Modified Backstepping Algorithm with Disturbances Compensation.

Abstract. The article deals with an output tracking control system synthesis for a nonlinear plant functioning under bounded external disturbances which are not available for measurement. The plant is described by continuously differentiable functions with a determinable dynamic relative degree. The disturbance function fulfills the Lipschitz condition. The standard model transformations are used to get a model of error dynamics. The algorithm synthesis process is based on iterative procedure with a number of steps equal to the order of the plant relative dynamic degree. A proposed solution is a robust modification of the backstepping approach with the similar controller design structure. The main changes are based on plant model transformations that make it possible to use the only one filer in control system and, along with it, an auxiliary loop method is used for disturbances evaluation and compensation. The auxiliary loop method leads to introduce a model of desired dynamics of errors on each step of the backstepping procedure and estimates the value of disturbance influences. High-gain observers are used for unknown signals measuring together with their derivatives. Tracking errors and observation errors convergence with the adjustable accuracy during the finite transient time is proved. The efficiency of the algorithm is demonstrated using computer modeling. The performance comparison between the proposed method and the immediate analogue are shown and some quality indicators are obtained. The algorithm is additionally tested using the model of laboratory helicopter-like platform «Twin Rotor MIMO System» to demonstrate the practical importance of the research.

Keywords: backstepping method, auxiliary loop method, nonlinear system, robust control, disturbances compensation, output control.

Vrazhevsky Sergey Alexandrovich — Ph.D. student of computer science and control systems department, ITMO University (Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics), engineer of computer science and control systems department, ITMO University (Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics). Research interests: robust control, optimal and suboptimal control approaches, control for nonlinear systems. The number of publications — 12. [e-mail]; 5/7, Viazemsky per., St. Petersburg, 197022, Russia; office phone: [phone].

Acknowledgements. This research is supported by the Ministry of Education and Science of Russian Federation (8.8885.2017/8.9, 14.Z50.31.0031), RFBR (grant no. 17-08-01266).

References

1. Kokotovic P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control systems. 1992. vol. 12. no. 3. pp. 7-17.

2. Miroshnik I.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. Nelinejnoe i adaptivnoe upravlenie slozhnymi dinamicheskimi sistemami [Nonlinear and adaptive control for complex dynamic systems]. SPb.: Nauka. 2000. 549 p. (In Russ.).

3. Sun H., Li S., Yang J., Zheng W. Global output regulation for strict-feedback nonlinear systems with mismatched nonvanishing disturbances. International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. vol. 25. no. 15. pp. 2631-2645.

4. Khalil H.K. Nonlinear Systems: 3rd. ed. N.Y.: Prentice Hall. 2002. 750 p.

5. Nikiforov V.O. Adaptivnoe i robastnoe upravlenie s kompensaciej vozmushhenij [Adaptive and robust control with disturbances compensation]. SPb.: Nauka. 2003. 282 p. (In Russ.).

6. Marino R., Tomei P. Robust stabilization of feedback linearizable time-varying uncertain nonlinear systems. Automatica. 1993. vol. 29. no. 1. pp. 181-189.

7. Freeman R.A., Kokotovic P.V. Design of 'softer' robust nonlinear control laws. Automatica. 1993. vol. 29. no. 6. pp. 1425-1437.

8. Qu Z. Robust control of nonlinear uncertain systems under generalized matching conditions. Automatica. 1993. vol. 29. no. 4. pp. 985-998.

9. Zheng Y., Yang Y. Adaptive output feedback control for a class of nonlinear systems with unknown virtual control coefficients signs. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2007. vol. 21. no. 1. pp. 77-89.

10. Sun H., Li S., Yang J., Zheng W. Global output regulation for strict-feedback nonlinear systems with mismatched nonvanishing disturbances. International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2015. vol. 25. no. 15. pp. 2631-2645.

11. Cykunov A.M. [Robust control algorithms with compensation of bounded disturbances]. Avtomatika i Telemehanika — Automation and Telemechanics. 2007. vol. 7. pp. 103-115. (In Russ.).

12. Belyaev A.N., Smolovik S.V., Fradkov A.L., Furtat I.B. Robust control of electric generator in the case of time-dependent mechanical power. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2013. vol. 52. no. 5. pp. 750-758.

13. Furtat I.B. Robust control for a specific class of non-minimum phase dynamical networks. Journal of Computer and Systems Sciences International. 2014. vol. 53. no. 1. pp. 33-46.

14. Furtat I.B., Chugina J.V. Robust adaptive control with disturbances compensation. IFAC-PapersOnLine. 2016. vol. 49. no. 13. pp. 117-122.

15. Vrazevsky S.A., Chugina J.V., Furtat I.B., Kremlev A.S. Robust suboptimal output control for a Twin Rotor MIMO System. 2016 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). 2016. pp. 23-28.

16. Furtat I.B. [Modified Algorithm of Robust Integrator Backsteping]. Mehatronika, Avtomatizacija, Upravlenie - Mechatronics, Automation, Control. 2009. vol. 10. pp. 2-7. (In Russ.).

17. Furtat I., Furtat E., Tupichin E.A. Modified Backstepping Algorithm with Disturbances Compensation. IFAC-PapersOnLine. 2015. vol. 48. no. 11. pp. 1056-1061.

18. Furtat I.B., Vrazhevsky S.A., Kremlev A.S. Robust Control Algorithm under Mismatched Disturbances. 2017 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems (ICUMT). 2017. pp. 61-66.

19. Furtat I.B., Tupichin E.A. [Modified backstepping algorithm for nonlinear systems]. Avtomatika i Telemehanika — Automation and Telemechanics. 2016. vol. 9. pp. 70-83. (In Russ.).

20. Brusin V.A. [On a class of singularly perturbed adaptive systems. I.]. Avtomatika i Telemehanika — Automation and Telemechanics. 1995. vol. 4. pp. 119-129. (In Russ.).

21. Furtat I., Fradkov A., Tsykunov A. Robust synchronization of linear dynamical networks with compensation of disturbances. International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2014. vol. 24. no. 17. pp. 2774-2784.

22. Furtat I.B. [Robust control for a certain class of nonminimum phase dynamic networks]. Izvestija Rossijskoj akademii nauk. Teorija i sistemy upravlenija - Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Control theory and control systems. 2014. vol. 1. pp. 35-35. (In Russ.).

23. Twin Rotor MIMO System Advanced Teaching Manual. Feedback Instruments Ltd. Crowborough. UK 1998. 72 p.