Производные категории эквивариантных когерентных пучков и когерентных пучков на стеках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Елагин, Алексей Дмитриевич

• Елагин, Алексей Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елагин, Алексей Дмитриевич

1 Введение

1.1 Краткое содержание диссертации.

1.2 Основные результаты диссертации.

1 Производные категории эквивариантных пучков

2 Косимплициальные категории и комонады

2.1 Косимплициальные конструкции.

2.2 Комонады и комодули.

2.3 Два способа задания данных спуска.

2.4 Ограничение на подкатегории.

3 Производная теория спуска

3.1 Допустимые подкатегории, полуортогональные разложения, исключительные наборы.

3.2 Когерентные пучки на схемах и стеках, их производные категории

3.3 Производная теория спуска для стеков

3.4 Морфизмы, обладающие свойством БСБТ.

4 Скрученные эквивариантные пучки

4.1 Эквивариантные пучки.

4.2 Функтор коиндукции для эквивариантных пучков.

4.3 Скрученные эквивариантные пучки для конечных групп.

4.4 Скрученные эквивариантные пучки для алгебраических групп

II Строение эквивариантных производных категорий

5 Явное построение полуортогональных разложений

5.1 Случай конечных групп.

5.2 Случай исключительного набора из эквивариантных пучков

5.3 Случай исключительного набора из инвариантных пучков.

5.4 Случай исключительного набора из инвариантных блоков.

6 Спуск для полуортогональных разложений

6.1 Полуортогональные разложения для категории комонад

6.2 Спуск для полуортогональных разложений: накрытие схем.

6.3 Инвариантность разложения относительно действия группы

6.4 Спуск для полуортогональных разложений: эквивариантные категории.

7 Явное описание компонент

7.1 Полуортогональные разложения для многообразий, обладающих инвариантным исключительным набором.

7.2 Полуортогональные разложения для расслоений на проективные пространства

7.3 Полуортогональные разложения для раздутий.

8 Примеры

8.1 Проективные пространства.

8.2 Квадрики.

8.3 Поверхности дель Пеццо.

8.4 Многообразия Грассмапа.

А Доказательство предложения 2.1.

В Доказательство предложения 2.3.

С Публикации по теме диссертации

Глава 1 Введение

Работа посвящена исследованию производных категорий эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.

Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец Ох- Среди всех пучков (9х-модулей когерентные пучки -наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме р, дуализация, внутренний Нот, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов ЬгР* х1г, ТогУдобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями. В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой - структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Др*, £р*,£.т£,Тог, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.

Производная категория когерентных пучков - важный инвариаит алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства. Описание этих категорий - одна из задач, составляющих суть изучения алгебраических многообразий.

Хороший способ свести описание триангулированной категории к описанию некоторых её более просто устроенных подкатегорий даёт понятие полуортогонального разложения, введённое А.И.Бондалом [6]. Это понятие - категорный аналог понятия разложения векторного пространства с несимметричной билинейной формой в прямую сумму полуортогональных подпространств: так, всякое полуортогоиальное разложение триангулированной категории Т индуцирует полуортогональное (относительно формы Эйлера) разложение векторного пространства Kq(T) <g> Q. Наиболее "сильный" случай полуортогонального разложения - разложение, порождённое полным исключительным набором - набором объектов в триангулированной категории, удовлетворяющим некоторым соотношениям на морфизмы между объектами. В случае существования полного исключительного набора триангулированная категория может быть описана как производная категория модулей над некоторой явно вычислимой алгеброй, связанной с набором, см. loc. cit.

Первый пример полного исключительного набора был построен А.А.Бейлинсоном[3], это набор из линейных расслоений 0, 0( 1),., 0(п) на Рте. Теми же методами М.М.Капрановым были построены полные исключительные наборы на многообразиях Грассмана и квадриках [13], [14], [15]. Известны примеры полных исключительных наборов на некоторых многомерных многообразиях Фано [19], [28], [31].

Примеры полуортогональных разложений с более сложными компонентами были построены Д.О.Орловым [29]. Так, если X - проективизация векторного расслоения на базе 5, то производная категория пучков на X обладает полуортогональным разложением на компоненты, эквивалентные производным категориям пучков на S, в количестве, равном рангу расслоения. Это разложение естественно считать относительной версией исключительного набора на Рп, построенного Бейлинсоном. Другой пример - производная категория раздутия неособого многообразия X в неособом подмногообразии Z коразмерности г. Она обладает полуортогональным разложением на-компоненты, одна из которых эквивалентна производной категории X, а остальные г — 1 - производным категориям Z. Это полуортогональное разложение позволяет строить полные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо. Полуортогональные разложения пересечения квадрик были подробно изучены А.Г.Кузнецовым [21].

В случае, если на многообразии действует алгебраическая группа, можно рассматривать эквивариантные векторные расслоения (они иногда также называются однородными), т.е. расслоения с заданным действием группы на их сечениях. Так же, как векторные расслоения порождают категорию когерентных пучков, эквивариантные векторные расслоения порождают категорию эквивариантных когерентных пучков. В случае свободного действия она эквивалентна категории когерентных пучков на фактормногообразии, в случае тривиального действия на точке - категории представлений группы.

Производные категории эквивариантных когерентных пучков естественно возникают в разных конструкциях и при решении различных задач. Так, они позволяют строить примеры некоммутативного разрешения особенностей. На многообразии с факторособенностями можно рассмотреть т.н. орбифолдную структуру, и пучки на соответствующем орбифолде будут образовывать категорию, являющуюся "разрешением особенностей" категории пучков на особом многообразии. При этом категория пучков на орбифолде склеивается из подходящих категорий эквивариантных пучков, отвечающих картам атласа. Скажем также в этой связи о производной версии соответствия Маккея. Для X - фактора С2 по действию конечной подгруппы С в ¿>£2 (С) - имеются два эквивалентных категорных разрешения особенностей. Это производная категория (^-эквивариантных пучков на С2 и производная категория минимального разрешения особенности X —> X. Представляют интерес возможные обобщения такого соответствия на случай больших размерностей [10].

Производные категории эквивариантных когерентных пучков относительно мало изучены. Диссертация призвана внести вклад в дело их исследования.

1.1 Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена изучению производной категории эквивариантных когерентных пучков на многообразии с действием группы. Основное направление исследования - построение полуортогональных разложений такой категории.

В диссертации описаны новые способы получения полуортогональных разложений эквивариантной производной категории исходя из полуортогональных разложений производной категории самого многообразия. В таком виде задача естественно обобщается следующим образом: исследовать связь между производными категориями базы и накрывающего её многообразия. В ситуации производной категории эквивариантных пучков на многообразии X относительно действия группы (7 роль накрывающего пространства играет X, а роль базы - стек X//С?, факторстек X по действию группы С. Отсюда возникает необходимость работать в категории стеков, а не схем.

Для морфизма стеков р: X —» в имеется стандартный способ восстанавливать категорию пучков на 5 в терминах категории пучков на X. А именно, при условиях строгой плоскости морфизма р задание пучка- на, 5 эквивалентно заданию пучка ^ на I с данными склейки, имеющими вид изоморфизма р\Р —»р^ на X х 5 X, удовлетворяющего условию коцикла. В работе исследован вопрос о том, когда аналогичным способом можно восстановить производную категорию базы по производной категории накрывающего стека. Ответ получен в теореме 3.3.3, критерием является отщепимость пучка Оз прямым слагаемым при естественном морфизме Оз—>11р*Ох- Тем самым, при выполнении указанного условия производная категория базы 5 эквивалентна категории спуска, связанной с морфизмом р: X —> 5. Это позволяет использовать методы теории спуска при изучении связи полуортогональных разложений базы и накрывающего пространства. Для сравнения эквивариантной и обычной производных категорий полученный критерий сводится к требованию линейной редуктивности группы, т.е., вполне приводимости её линейных представлений.

С морфизмом р : X —> Б связаны две категории спуска. Первая, классическая категория спуска Т>(Х)/р1 образована парами, состоящими из объекта 6 Т>(X) и изоморфизма р\Р —»подчинённого условию коцикла. Вторая категория спуска - это категория Т?(Х)тр комодулей над комонадой Тр = (Тр, е, 6) на категории Т>(Х), связанной с парой сопряжённых функторов р* и р*. В диссертации показано, что эти категории эквивалентны для плоского морфизма р (предложение 2.3.2). Это даёт возможность использовать более удобный язык теории комонад. С его помощью проводится доказательство теоремы 3.3.3, основанное на классической теореме Бека. Также в терминах комодулей над комонадой получено предложение 6.1.2, в котором построено полуортогональное разложение для категории спуска при условии существования полуортогонального разложения исходной категории, в соответствующем смысле совместимого с функтором Тр.

На предложении 6.1.2 основаны основные результаты о связи производных категорий базы и накрывающего пространства - теорема 6.2.2 для накрытия схем и теорема 6.4.2 об эквивариантной производной категории. Последняя теорема в условиях существования полуортогонального разложения Т*(Х) -производной категории пучков на схеме X, сохраняемого действием линейно редуктивной группы С?, позволяет строить полуортогональное разложение Т>°{Х) - производной категории С-эквивариантных пучков на X - на компоненты, описываемые в терминах категории спуска. В диссертации рассмотрены приложения теоремы 6.4.2 к ситуациям действия группы на проективизации эквивариантного векторного расслоения и действия группы на раздутии неособого подмногообразия. В этих случаях теорема 6.4.2 применяется к полуортогональным разложениям указанных многообразий, построенным Д. О. Орловым, при этом строится явное описание компонент разложения как подходящих эквивариантных производных категорий.

Ещё одно, не менее важное применение теоремы 6.4.2, - случай действия линейно редуктивной группы, сохраняющего полный исключительный набор на многообразии, т.е. случай простейшего инвариантного относительно действия группы полуортогонального разложения. В этом случае также удаётся явно описать (теорема 7.1.6) компоненты разложения, доставляемого теоремой 6.4.2. В работе использовано следующее понятие исключительного объекта, сохраняемого действием группы: объект Е производной категории пучков на X инвариантен, если для подходящего линейного расслоения С на группе (2 имеется изоморфизм ■р\С <8> р%Е —> а*Е на С х X (где обозначает проекции, а а - действие). Инвариантный исключительный пучок не обязательно обладает структурой эквивариантного пучка, препятствием является коцикл группы определённый изоморфизмом р\С <8) р\Е —» а*Е. В параграфе 4.4 введено и изучено соответствующее понятие коцикла: коциклом на группе £ называется пара (£, а), состоящая из линейного расслоения С на С и ассоциативного изоморфизма р[С <8> р\С —> ¡л*С, где ц: (2 х (7 —> С? - умножение. Там же определены представления группы и эквивариантные пучки, скрученные на заданный коцикл. С каждым инвариантным исключительным объектом Е в Т>{Х) связаны исключительный объект £ производной категории пучков на X, скрученных на коцикл (£, а), соответствующий Е, и подкатегория в Т>С(Х), эквивалентная производной категории скрученных на коцикл (£, а)-1 представлений С. Эти подкатегории, построенные по объектам инвариантного исключительного набора, и являются компонентами ортогонального разложения, полученного при помощи теоремы 6.4.2. Отметим, что категории скрученных представлений линейно редуктивной группы полупросты, и что фактически теорема 7.1.6 позволяет строить полные исключительные наборы в эквивариантной производной категории.

Также в диссертации изложен другой подход к построению полуортогонального разложения эквивариантной производной категории на многообразии с инвариантным исключительным набором, не использующий результатов теории спуска, см. главу 5. Этот подход не предполагает линейной редуктивности группы, но применим только в случае исключительного набора из пучков. Основной результат, полученный в рамках этого подхода - теорема 5.4.1. В ней строится полуортогональное разложение категории Vе(X) в предположении, что в категории Т>{Х) существует полный исключительный набор из пучков, имеющий блочный вид, при этом группа сохраняет пучки в пределах блока. Компоненты этого разложения эквивалентны производным категориям скрученных представлений подгрупп в С, стабилизирующих отдельные пучки блока.

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть применены для построения ортогональных разложений и полных исключительных наборов на многих многообразиях, к числу которых относятся проективные пространства, квадрики, поверхности дель Пеццо и многообразия Грассмана.

1.2 Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя семь глав.

Глава 1 - введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты диссертации.

В первой части изложены необходимые сведения о производных категориях эквивариантных когерентных пучков. Основные её результаты - утверждения о спуске для производных эквивариантных категорий (теорема 4.1.6) и факты о скрученных эквивариантных пучках (параграфы 4.3 и 4.4).

Глава 2 носит, в основном, вспомогательный характер. В ней описаны технические средства, составляющие основу теории спуска, с их помощью во второй части будут строиться полуортогональные разложения эквивариантных производных категорий.

В параграфе 2.1 определены и обсуждаются косимплициальные категории и связанные с ними категории спуска. Пусть

С» — [Со, Сь Сг,., -Р.*]

- косимплициальная категория. Т.е., заданы категории ^, г = 0,1,2,. и функторы Ру. Ст —> Сп для каждого неубывающего отображения {0, .,т} —» {0, так что для функторов выполнены естественные условия согласованности. С С. связана категория спуска, обозначаемая Кегп(С.). Пусть Р* и Р| обозначают функторы Со ► С\, соответствующие отображениям -¿1, ¿2: {0} —» {0,1} таким, что ¿1(0) = 0,^(0) = 1. Аналогично, Р^Р^ и Р2*3 обозначают функторы С\ С2, соответствующие отображениям ¿12,213 и ¿23'- {0,1} —> {0,1,2} таким, что

12(0) = о, ¿12(1) = 1; ¿13(0) = 0, ¿13(1) = 2;г23(0) = 1,г23(1) = 2.

Определение 1.2.1 (определение 2.1.4). Объекты Кегп(С.) - это пары (Р,#), где Р 6 ОЬСо, а 9 - изоморфизм Р^Р —> Р£Р, подчиняющийся условию коцикла:

Р&О о Р{29 = Р{ф.

Морфизмы в Кегп(С») из (Р^х) в (Р2,#2) - это морфизмы / е Нотс0(Р1,Р2) такие, что Р2*/ ов1 = 62о Р*/.

С помощью категории спуска, связанной с косимплициальной категорией [соЬ(Х),соЬ(С х Х),соЪ.(0 х X х X),.], удобно описывать категорию эквивариантных пучков на X.

В параграфе 2.2 изложены, следуя Барру-Уэллсу и Маклейну, классические факты про комонады и комодули над ними. Язык комонад также используется в теории спуска. Он не так естествен, как язык косимплициальных категорий, но позволяет получить критерии, описывающие, когда функтор сравнения является эквивалентностью. Также на языке комонад в диссертации доказано предложение 6.1.2 - основное утверждение о связи полуортогональных разложений исходной категории и категории спуска.

В параграфе 2.2 в качестве следствий из классической теоремы Бека получены необходимые (следствие 2.2.10,2) и достаточные (следствие 2.2.11) условия того, что функтор сравнения является эквивалентностью для комонады на триангулированной категории. Эти условия использованы при доказательстве теоремы 3.3.3 о спуске для производных категорий пучков на стеках.

Параграф 2.3 объединяет два подхода к заданию данных спуска: с помощью косимплициальной категории и с помощью комонады. А именно, пусть для аугментированной косимплициальной категории

С-1, С0, Сь ., Р*] у всякого функтора Р^ существует правый сопряжённый функтор Р/*. Тогда определены две категории спуска: категория Кегп([Со, Сг,., Р*]) и категория С.т комодулей над комонадой Т на категории Со, определённой парой сопряжённых функторов Р* и Р*. Определение последней категории в данном случае имеет следующий вид (здесь Р*: С-\ —> Со обозначает функтор, связанный с отображением 0 —» {0}, а £ и г/ - канонические морфизмы сопряжения).

Определение 1.2.2 (определение 2.3.1). Объекты С,т ~ это пары (Р, /г), где

1 £]?

Р 6 ОЬСо, а Н: Р—- морфизм, для которого композиция Р —> Р*Р*Е —> Р тождественна, а диаграмма

Р*Г)Р*Р коммутативна. Морфизмы из (^,/¿1) в (^2,^2) в категории С.т - это морфизмы /: —>■ Р2 в С0 такие, что /г 2о/ = Р*Р*/ о /¿ь

Предположим, что естественные морфизмы функторов в [С1, Со,., Р*], играющие роль морфизмов замены базы, суть изоморфизмы.

Предложение 1.2.3 (предложение 2.3.2). Категории Кегп([Со, Съ • • •, Р.*]) и

С.т эквивалентны.

Этот факт позволяет использовать результаты теории комонад для изучения "привычных" данных спуска, в частности, при работе с эквивариантными пучками.

В параграфах 3.1 и 3.2 главы 3 для удобства читателя размещены предварительные сведения. Параграф 3.1 содержит необходимые факты о триангулированных категориях, полуортогональных разложениях, допустимых подкатегориях, исключительных наборах, компактных объектах, системах объектов, порождающих категории. В параграфе 3.2 изложены сведения о производных категориях пучков на схемах и стеках, категориях совершенных комплексов.

Параграф 3.3 - центральный в главе 3. В нём исследуется вопрос о том, когда для накрытия стеков р: X —5 производная категория ¿э восстанавливается по производной категории X методами теории спуска. Рассмотрим косимплициальную категорию с аугментацией образованную неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков и функторами обратного образа между ними, и соответствующую категорию спуска

V{X)/р = Kein[D(X),V(X xs X),V{X x5 X x5 X),.

В силу предложения 2.3.2 категория Kern[X>(X),.] эквивалентна категории комодулей над комонадой на Т>(Х), определённой парой сопряжённых функторов (Lp*,Rp*). При помощи следствий 2.2.10 и 2.2.11 доказан следующий результат:

Теорема 1.2.4 (теорема 3.3.3). Неограниченная производная категория T>{S) эквивалентна категории спуска Т>(Х)/р в толь и только том случае, когда естественный морфизм Os Rp*Ox отщепляется прямым слагаемым. В случае выполнения этих условий имеются эквивалентности для ограниченных производных категорий когерентных пучков T>b(coh(S)) = T>b(coh(X))/p и категорий совершенных комплексов Vpevi(S) = T>peii(X)/p.

В то же время, из наличия эквивалентности в теории спуска для ограниченных производных категорий не следует расщепимость морфизма Os —Rp*Ox и эквивалентность для неограниченных производных категорий. Контрпример - покрытие аффинной прямой двумя нетривиальными открытыми подмножествами, см. пример 3.4.9.

Свойство морфизма Os —> Rp*Ox быть отщепимым названо свойством SCDT (strictly cohomological descent type). Как показывает теорема 3.3.3, это свойство морфизма схем или стековр: X —> S является важным, и заслуживает отдельного изучения. В параграфе 3.4 формулируются простейшие свойства морфизмов, им обладающих. Свойство SCDT эквивалентно строгости функтора обратного образа Lp* на неограниченной производной категории. Морфизмы, обладающие свойством SCDT, замкнуты относительно композиции и замены базы, они отражаются при SCDT-замепе базы. Показано, что конечные плоские морфизмы, а также морфизмы, обладающие плоским квазисечением, обладают этим свойством.

В главе 4 обсуждаются скрученные эквивариантные пучки и устанавливается описание объектов производной категории эквивариантных пучков на схеме в терминах теории спуска.

Пусть X - схема с действием алгебраической группы С, д: С х С (? -морфизм умножения, а а: действие.

Определение 1.2.5 (определение 4.1.1). Эквивариантным пучком на X относительно действия С называется пучок .Р на X вместе с изоморфизмом в: р\Р-^-а*Р пучков на С х X, для которого выполнено условие согласованности.

По-другому, можно сказать, что эквивариантный пучок - это объект категории спуска, связанный с косимплициальной категорией

ЙсоЬрО, цсоЦв х X), х С х X),. где морфизмы р. определены естественным образом. Указанная косимплициальпая категория эквивалентна стандартной косимплициальной категории чсоЦХ),чсоЦХ х5 X),. ,р1], связанной с морфизмом X—»5, где 5 = Х//С - факторстек X по действию группы 6?. При этом категория (7-эквивариантных когерентных пучков эквивалентна категории когерентных пучков на стеке Х//0, она обозначается соЬс?(Х).

Имеет место аналогичное утверждение о спуске для производных категорий. Обозначим через Т>а{Х) неограниченную производную категорию С?-эквивариаитных квазикогерентных пучков на X, а через Т>{Х)° - категорию спуска Кегп([£>(Х), Х>(С х X),., Ьр1]).

Теорема 1.2.6 (теорема 4.1.6). Если группа С линейно редуктивна, то категории Т>а(Х) и Т>(Х)° эквивалентны.

Это утверждение следует из теоремы 3.3.3, условие расщепимости морфизма —> Лр^Ох в этом случае сводится к отщепимости тривиального подпредставления к С к[С] в регулярном. Для групп, не являющихся линейно редуктивными, утверждение не обязано быть верным. Примером служит действие параболической подгруппы на СЬп сдвигами, см. примеры 3.4.7 и 4.1.9.

В последних двух параграфах главы 4 определяются и изучаются скрученные эквивариантные иучки. Сначала в параграфе 4.3 рассмотрен важный частный случай конечных групп. Пусть отображение a: G х G —> к* задаёт 2-коцикл конечной группы со значениями в к*, т.е. выполнено тождество x(f,gh)a(g,h) = a(fg,h)a(f,g).

Эквивариантным относительно коцикла а пучком на схеме X с действием группы G (или эквивариантным скрученным на коцикл а пучком) называется пучок F на X вместе с фиксированными изоморфизмами 9д: F —»g*F для каждого д g G, согласованными с точностью до коцикла а. А именно, должно быть выполнено равенство h*(9g) о Qh — а(д, h)9gh для всякой пары g,h е G.

Взяв в качестве X точку Spec к, получим определение скрученного на коцикл линейного представления группы. Если порядок группы взаимно прост с характеристикой поля, то категория скрученных представлений полупроста.

Определение скрученных на коцикл эквивариантных пучков мотивировано следующим наблюдением. Пусть Е - исключительный пучок на X, и группа G, действуя на X, сохраняет Е в том смысле, что д*Е изоморфен Е для всех д 6 G. Тогда, фиксируя изоморфизмы вд: Е —> д*Е, получим, что Е становится скрученным a-G-эквивариантным пучком для некоторого коцикла а, класс когомологий которого однозначно определён. Этот класс является препятствием к введению на Е эквивариантной структуры.

В параграфе 4.4 обсуждаются скрученные эквивариантные пучки относительно действия алгебраических групп. Правильным обобщением понятия 2-коцикла с коэффициентами в к* является следующее

Определение 1.2.7 (определения 4.4.1 и 4.4.4). Коциклом на алгебраической группе G называется линейное расслоение С на G вместе с ассоциативным изоморфизмом а: р\С <g> р^С —> ¡j*£.

Скрученным на коцикл (£, а) эквивариантным пучком на X называется пучок F на X, снабжённый изоморфизмом р\С F —» a*F на G х X, согласованным с а.

Категория скрученных (С, о;)-С?-эквивариантных когерентных пучков на X обозначается через а категория скрученных на коцикл (С, а) конечномерных представлений G - через rep(G, а).

Эти определения онравданы следующим фактом, справедливым для действия групповой схемы (2 на собственной схеме X:

Предложение 1.2.8 (предложения 5.3.3 и 5.3.4). Если исключительный пучок Р на X сохраняется при действии каждой замкнутой точки схемы С, то для подходящего линейного расслоения С на С существует изоморфизм р\С ® р\Р —> а*Р пучков на С х X. В этом случае корректно определён коцикл (С, а) на расслоении С, и изоморфизм 9 задаёт скрученную (С,а)~ эквивариантную структуру на Р.

Пучок, удовлетворяющий условию предложения, называется инвариантным.

На коциклах естественным образом определено умножение, оно превращает множество коциклов в абелеву группу. Обратный элемент к коциклу (£, а) - это (£, а)-1 = (£*, (а*)-1), он также иногда будет обозначаться через (^С-1,^-1). Это умножение согласовано с операциями на пучках и представлениях, такими как тензорное умножение, дуализация, взятие локальных Нот'ов, глобальных сечений и т.п.

Как и для обычных эквиварнантных пучков, для пучков, скрученных на коцикл (£, о:), также возможно описание на языке категории спуска, связанной с подходящей косимплициальной категорией. Эта категория (см. определение 4.4.13) имеет вид соЦХ)^соЦв х X), ЧсоЬ(С х в х X),., Р'.% где для отображения /: {0,., т} —> {0,., п} функторы

Р'/: дсоЦв х . . . х С хХ) дсоЬ(С х . . . х в хХ) т раз т раз определены формулой

Р';р=р\С®.®Р1ч{гп)С®Р)Р здесь ру обозначает обычный функтор обратного образа). Отметим, что скрученные эквивариантные пучки не являются пучками на каком-либо стеке, и описанная косимплициальная категория не получается стандартной конструкцией из морфизма стеков.

Для скрученных на заданный коцикл (£, а) эквивариантных пучков имеется утверждение о спуске для производных категорий, аналогичное нескрученному случаю. Рассмотрим косимплициальную категорию х X),. , LP|*], где функторы Pj* - такие, как определено выше. Пусть T>(X)G,c,a - связанная с ней категория спуска Kern, a T>G,c,a(X) обозначает неограниченную производную категорию (С, о:)-(?-эквивариантных квазикогерентных пучков на X.

Теорема 1.2.9 (теорема 4.4.17). Пусть группа G линейно редуктивна. Тогда имеется эквивалентность категорий

VG>c'a(X) = V{X)G>L>a.

Во второй части диссертации находятся её основные результаты о полуортогональных разложениях производных категорий эквивариантных пучков.

В главе 5 строится полуортогональное разложение категории G-эквивариантных совершенных комплексов T>peii'G(X) в предположении, что в категории совершенных комплексов T>peii(X) имеется полный исключительный набор, который в некотором смысле согласован с действием группы. Основное утверждение главы 5 - теорема 5.4.1. Отдельно (теоремы 5.2.3 и 5.2.3) сформулированы её частные случаи, которых более удобны для применения и позволяют прояснить доказательство.

Предположим, что Е - исключительный пучок на X, являющийся эквивариантным и лежащий в Vperi(X). С ним связан функтор rep(G) —> cohGr(X), сопоставляющий представлению V группы G эквивариантный пучок Е <g> V. Соответствующий производный функтор задаёт строго полное вложение T>b(rep(G))—>Vpeii'G(X), образ которого - некоторая подкатегорияE®T>b(iep(G)).

Теорема 1.2.10 (теорема 5.2.3). Пусть задан полный исключительный набор (Ei,.,En) в T>peri(X), образованный эквивариантными пучкалт. Тогда подкатегории

Е\ ® £>ь(гер(G)),., Еп ® £>Vp(G)) образуют полуортогональное разложение категории T>pev{,G (X).

Требование эквивариантности пучка Е можно ослабить, потребовав его инвариантности, т.е. наличия изоморфизма р\С ® р\Е а*Е пучков на (2 х X для некоторого линейного расслоения С, на С. В этом случае существует (в силу предложений 5.3.3 и 5.3.4) коцикл (£, а) на (? такой, что Е является (£, а)-С?-эквивариантным пучком. Тогда формула V н-» Е <8> V задаёт функтор из категории (£, о;)1-представлений группы в соЬс(Х). Соответствующий производный функтор определяет вложение Х)6(гер(С, а-1)) —» 1)рег£'С(Х), образ которого обозначается через Е <8> Рь(гер((?, а;-1)).

Предположим, что категория Х>рег£(Х) обладает полным исключительным набором (Е11.,Еп), состоящим из инвариантных пучков. Для каждого г найдётся - такой коцикл на С, что Е\ можно рассматривать как скрученный эквивариантный пучок относительно (£¿,0^).

Теорема 1.2.11 (теорема 5.3.6). Подкатегории

Ех ® Vb(Iep(G, «Г1)), ■ ■ ■, Еп ® С~\ а"1)), определённые как выше, образуют полу ортогональное разложение категории Эти подкатегории эквивалентны производным категориям (Д, а:;)-1 -скрученных представлений группы С.

В параграфе 5.4 рассмотрен наиболее общий случай.

Предположим сначала, что в Т>рет*(Х) имеется набор попарно ортогональных исключительных пучков Е^,., Е^ и что группа (7 транзитивно переставляет их. В случае алгебраически замкнутого поля последнее означает, что любая точка группы переводит пучки в пучки из этого же набора. Пусть

Н С С - стабилизатор пучка это подгруппа в (2 конечного индекса. На Е^ вводится структура скрученного Ы- э к в и в ар и антн ого пучка относительно некоторого коцикла (Д а) на Н. Композиция производных функторов от

Е&®-: гер(Я,£-1,о;-1)->соЬя(Х) и функтора коиндукции

Сотв.%: соЪн(Х) соЬс(Х) даёт строго полное вложение Vb(rep(H, С 1,а 1)) в T)peTi'G(X).

Предположим, что в производной категории V perf(x) имеется полный исключительный набор 4» Е« ЕР \ : , . , . . . , : V E[h) Е{кг) Е{пкп) ) блочного вида. Это значит, что пучки каждого блока Ef\.,E\ki) попарно ортогональны и при любом выборе порядка пучков в блоках полученный упорядоченный набор будет исключительным и полным в X?perf(X). Допустим, что группа G транзитивно переставляет пучки в пределах каждого блока.

Теорема 1.2.12 (теорема 5.4.1). Определённые выше подкатегории

Coind <8> Р*(гер (Я», Cj\ о^))), i = l,.,n образуют полуортогональное разложение категории T>peri'G (X).

В ситуации, когда категории скрученных представлений группы полупросты (например, в случае конечной или редуктивной группы над полем нулевой характеристики), а поле алгебраически замкнуто, компоненты полученных в главе 5 полуортогональных разложений обладают полным исключительным набором, состоящим из неприводимых представлений. Таким образом, в предположениях теорем 5.2.3, 5.3.6 и 5.4.1 удаётся построить полные исключительные наборы в эквивариантных производных категориях.

Глава 6 содержит основные результаты диссертации, касающиеся существования полуортогональных разложений. В ней построены полуортогональные разложения производной категории эквивариантных пучков на многообразии в предположении, что производная категория многообразия допускает полуортогональное разложение, которое сохраняется действием группы. Группа G в этой и следующей

главах считается линейно редуктивной, т.е. имеющей полу простую категорию представлений.

В параграфе 6.1 находится основной инструмент для построения полуортогональных разложений, используемый в работе.

Определение 1.2.13 (определение 6.1.1). Функтор Т: С —> С называется верхнетреугольным относительно полуортогональпого разложения С = (И.1,., Дп), если для любого г верно ТА{ С {А\,., Лт).

Предложение 1.2.14 (предложение 6.1.2). Пусть Т = (Т,е,6) -комонада на триангулированной категории С, предположим, что категория комодулей Ст естественным образом триангулированна. Пусть функтор Т верхнетреуголен относительно разложения С = (Дь ., Ап). Тогда Су допускает полуортогональное разложение (Дп~> • • ■ ? ^»тЬ ^т обозначает категорию комодулей, связанную с подкатегорией А^ С С.

В параграфе 6.2 предложение 6.1.2 применяется к изучению полуортогональных разложений в ситуации, когда имеется "накрытие" схем. Предположим, что для морфизма схем р: X —5 пучок выделяется прямым слагаемым в Яр^Ох- Тогда производная категория эквивалентна категории спуска Т>{Х)/р, что позволяет использовать результат параграфа 6.1. Из него вытекает

Теорема 1.2.15 (теорема 6.2.1). Пусть функтор Тр = Ьр*Яр*: Т)(Х) —► Т>(Х) верхнетреуголен относительно полуортогонального разложения Т>(Х) = {А\,.,Ап) неограниченной производной категории пучков на X. Тогда справедливо полуортогональное разложение!){Б) = (Дь . :Вп), где Вг С Т>{8) обозначает подкатегорию, образованную комплексами Н Е такими, что

Ьр*н е А

В этом случае верхнетреугольность функтора Тр = Ьр*В,р* по отношению к полуортогональному разложению Т>(Х) = (А,., Ап) может быть проверена следующим образом. Пустьр±,р2 обозначают проекции Хх^Хна сомножители. Тогда Тр верхнетреуголен по отношению к разложениюТ>(Х) — (А,., Ап) в том и только том случае, если выполнены равенства Ношр^х^х) (^Рг^, Ьр^^) = О для всех г < Е Аъ, ^ € Ау

Утверждения, аналогичные теореме 6.2.1, справедливы для категорий совершенных комплексов (теорема 6.2.2) и ограниченных производных категорий (теорема 6.2.3).

Пусть аффинная группа С действует на схеме X. В параграфе 6.3 обсуждается условие верхнетреугольности функтора Ьр*Лр* относительно полуортогональных разложений категории пучков на X для морфизма стеков р: X —ХЦО. В этом случаи проекции на сомножители расслоенного произведения X х^/с X имеют вид проекции р2 и действия а: С х X —» X. Относительно морфизмов р2 и а возможен "подъём" полуортогональных разложений. А именно, пусть дано иолуортогональное разложение

Vped(X) = <Л?ег£,.,ЛРегГ>. Тогда имеет место разложение в котором подкатегории классически порождены объектами вида

Ьр2-Р,-Р £ Кроме того, данное разложение для категорий совершенных комплексов порождает разложения Т>(Х) = (А\,.,Ап) и Х>((7 х X) = {р\Л\,., р%Лп) для неограниченных производных категорий. Аналогичное выполнено с заменой на а.

Предложение 1.2.16 (предложение 6.3.3). Функтор Ьр*Яр^ верхнетреуголен по отношению к полуортогональному разложегшю Т>(Х) = (Дь., .Ап) тогда и только тогда, когда выполнены равенства р^ДГ^ = для всех г (а также тогда и только тогда, когда выполнено р\А{ — а*А{ для всех г).

Основной результат главы б - следующая теорема о связи полуортогональных разложений категорий эквивариантных и неэквивариантных пучков на схеме.

Теорема 1.2.17 (теорема 6.4.1). Пусть аффинная линейно редуктивная группа С? действует на квазипроективной схеме X. Предположим, что категория Т>(Х) допускает иолуортогональное разложение (,А\,., Ап) такое, что р^Аг = а*А{ при всех г. Пусть - полная подкатегория в Т>а(Х), состоящая из объектов, которые при забывании эквивариантной структуры лежат в А4. Тогда Т>°{Х) обладает полуортогональным разложением

1,., ¿Зп). Аналогичные утверждения выполнены для Т)рет* (X) и Т>ь(соЪ.(Х)) вместо Т>{Х).

Глава 7 посвящена явному описанию подкатегорий В^ - компонент полуортогонального разложения эквивариантных производных категорий, полученного в теореме 6.4.2. Группа в этой главе также считается линейно редуктивной.

Основной инструмент - предложение 7.1.4. Если подкатегория Л С ТЗ(Х) может быть описана как образ строго полного функтора Ф на производной категории Х>(У) для некоторой схемы У, причём на X и У действует группа С и функтор Ф в некотором смысле согласован с этим действием, то Ф индуцирует вложение эквивариантных производных категорий £>С(У) —> Т>С'(Х), образ которого - связанная с Л категория спуска - и есть искомая подкатегория В. В примерах такая согласованность имеет место естественным образом. В действительности, при этом иногда приходится рассматривать не обычное действие группы О на У, а действие, скрученное на некоторый коцикл (Д а).

В параграфе 7.1 изучается случай, когда в категории совершенных комплексов наХ есть полный исключительный набор (Ег,., Еп), инвариантный относительно действия группы. В отличие от ситуации, рассмотренной в главе 5, набор не предполагается состоящим из пучков. Инвариантный исключительный объект Ег лежит в категории Х)Рег£АА,аг (х) для подходящего коцикла (£г; оц) группы С?. Леммы 7.1.2 и 7.1.3 показывают, что функтор

Рь(гер(С, С"1, а~х)) V^G{X) согласован с действием С? на точку (скрученным на коцикл о.'г)-1) и X (обычным). Из теоремы 6.4.2 следует

Теорема 1.2.18 (теорема 7.1.6). Категория Х>рег£'С(Х) обладает полуортогональным разложением (Ег ® Р6(геР(<?, ¿Г\ «Г1)), • • •, Еп <8> Х>ь(гер(<Я С~\ а'1))) на подкатегории, эквивалентные категориям Т>ъ(гер(£?, С^1 , а:^1)).

В параграфе 7.2 явно описаны компоненты полуортогонального разложения производной категории эквивариантных пучков на проективизации X эквивариантного векторного расслоения Е на G-схеме S. Теорема 6.4.2 применяется к полуортогональному разложению

V^(X) = (p*pPerf(5), Ox/s( 1) <8> p*Vped(S):., Ox/s{r - 1) <S> p*Vp^{S)), полученному Д. О. Орловым. Компоненты этого разложения суть образы функторов

Ох/3(г) 0 Lp*(—): -> эти функторы согласованы с действием G на S и X. Применением предложения 7.1.4 и теоремы 6.4.2 доказывается следующая

Теорема 1.2.19 (теорема 7.2.1). В сделанных предположениях имеет место полуортогональное разложение

2>perf,G(x) = Ox/si 1) ® p*Vpex{'G(S),. его компоненты эквивалентны категориям эквивариантных совершенных комплексов на S.

Пусть а: X —» X - раздутие неособого G-многообразия X в неособой инвариантной подсхеме Z, a Z - исключительный дивизор. В параграфе 7.3 теорема 6.4.2 применена к полуортогональному разложению

Dperf (X) = (Oz/z(-r + 1) <g> cr*V^(Z),., • •. °z/z(-1) ® cr*Vpeii(X)} категории совершенных комплексов на раздутии, построенному Д. О. Орловым. Получена

Теорема 1.2.20 (теорема 7.3.1). Имеется полуортогональное разложение категории G-эквивариантных совершенных комплексов pperf.GpQ = (0-/z(r + 1) 0 CT*VV^G{Z),.

• • ■ > °z/z(~l) ® a*Vperi'G{X)), в нём компоненты О-^^^—г) & а*Т>ре^'°(2) эквивалентны категории Т)рег£,с(^).

В главе 8 теоретические результаты диссертации применяются к построению полных исключительных наборов в производных категориях эквивариантных пучков на таких многообразиях, как проективные пространства, квадрики, поверхности дель Пеццо и многообразия Грассмана.

Применением теорем 5.2.3, 5.3.6, 5.4.1 к известным полным исключительным наборам на этих многообразиях доказываются следующие факты.

Пусть V - векторное пространство размерности п над полем к, и 0 < к < п. Пусть алгебраическая группа С действует на проективном пространстве 1Р(1'Л), это действие индуцирует действие (7 на грассманиане ^-мерных подпространств в V, обозначаемом Сг(к, V).

Следствие 1.2.21 (теорема 8.1.1). Категория Vperi'G(F(V)) - категория О-эквивариантных совершенных комплексов на Р(У) - обладает полу ортогональным разложениель на п компонент, эквивалентных производным категориям скрученных (на некоторые коциклы) представленийС.

Если при этом С? линейно редуктивна*и к = к, то в Х>рег£'С(Р(У)) существует полный исключительный набор.

Следствие 1.2.22 (теорема 8.4.1). Категория Т>р(2Х*'С(От{к, V)) обладает полуортогональным разложением на компоненты, эквивалентные производным категориям скрученных (на некоторые коциклы) представлений О.

Если при этом £ линейно редуктивна и к = к, то в Ррег£'С(Сг(А;, V)) существует полный исключительный набор.

Следствие 1.2.23 (теорема 8.2.1). Пусть линейно редуктивная группа (7 действует на неособой квадрике ф над алгебраически замкнутым полем к характеристики, не равной 2. Тогда категория обладает полным исключительным набором.

Следствие 1.2.24 (теорема 8.3.4). Пусть линейно редуктивная группа С? действует на неособой поверхности дель Пеццо X степени <1 над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль. Пусть д ^ 5. Тогда в категории Т>рет{,(*(Х) существует полный исключительный набор.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Производные категории эквивариантных когерентных пучков и когерентных пучков на стеках»

Работа посвящена исследованию производных категорий эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец Ох- Среди всех пучков (9х-модулей когерентные пучки наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме р, дуализация, внутренний Нот, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов Дгр*,Др*,£:с£г,ТоГг. Удобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями.В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой - структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Rp*,Lp*,£xt,Toi, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.Производная категория когерентных пучков - важный инвариант алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства.Описание этих категорий - одна из задач, составляющих суть изучения алгебраических многообразий.Хороший способ свести описание триангулированной категории к описанию некоторых её более просто устроенных подкатегорий даёт понятие полуортогонального разложения, введённое А.И.Бондалом [6]. Это понятие - категорный аналог понятия разложения векторного пространства с несимметричной билинейной формой в прямую сумму полуортогональных подпространств: так, всякое полуортогопальное разложение триангулированной категории Т индуцирует полуортогональное (относительно формы Эйлера) разложение векторного пространства KQ{T) <g> Q. Наиболее "сильный" случай полуортогонального разложения - разложение, порождённое полным исключительным набором - набором объектов в триангулированной категории, удовлетворяющим некоторым соотношениям на морфизмы между объектами.В случае существования полного исключительного набора триангулированная категория может быть описана как производная категория модулей над некоторой явно вычислимой алгеброй, связанной с набором, см. loc. cit.Первый пример полного исключительного набора был построен А.А.Бейлинсоном[3], это набор из линейных расслоений О, 0(1),..., 0(п) на Fn.Теми же методами М.М.Капрановым были построены полные исключительные наборы на многообразиях Грассмана и квадриках [13], [14], [15]. Известны примеры полных исключительных наборов на некоторых многомерных многообразиях Фано [19], [28], [31].Примеры полуортогональных разложений с более сложными компонентами были построены Д.О.Орловым [29]. Так, если X - проективизация векторного расслоения на базе 5, то производная категория пучков на X обладает полуортогональным разложением на компоненты, эквивалентные производным категориям пучков на S, в количестве, равном рангу расслоения. Это разложение естественно считать относительной версией исключительного набора на Рп, построенного Бейлинсоном. Другой пример - производная категория раздутия неособого многообразия X в неособом подмногообразии Z коразмерности г.Она обладает полуортогональным разложением на-компоненты, одна из которых эквивалентна производной категории X, а остальные г — 1 - производным категориям Z. Это полуортогональное разложение позволяет строить полные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо. Полуортогональные разложения пересечения квадрик были подробно изучены А.Г.Кузнецовым [21].В случае, если на многообразии действует алгебраическая группа, можно рассматривать эквивариантные векторные расслоения (они иногда также называются однородными), т.е. расслоения с заданным действием группы на их сечениях. Так же, как векторные расслоения порождают категорию когерентных пучков, эквивариантные векторные расслоения порождают категорию эквивариантных когерентных пучков. В случае свободного действия она эквивалентна категории когерентных пучков на фактормногообразии, в случае тривиального действия на точке - категории представлений группы.Производные категории эквивариантных когерентных пучков естественно возникают в разных конструкциях и при решении различных задач. Так, они позволяют строить примеры некоммутативного разрешения особенностей. На многообразии с факторособенностями можно рассмотреть т.н. орбифолдную структуру, и пучки на соответствующем орбифолде будут образовывать категорию, являющуюся "разрешением особенностей" категории пучков на особом многообразии. При этом категория пучков на орбифолде склеивается из подходящих категорий эквивариантных пучков, отвечающих картам атласа.Скажем также в этой связи о производной версии соответствия Маккея. Для X - фактора С 2 по действию конечной подгруппы G в 5X2 (С) - имеются два эквивалентных категорных разрешения особенностей. Это производная категория (^-эквивариантных пучков на С 2 и производная категория минимального разрешения особенности X —> X. Представляют интерес возможные обобщения такого соответствия на случай больших размерностей [10].Производные категории эквивариантных когерентных пучков относительно мало изучены. Диссертация призвана внести вклад в дело их исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елагин, Алексей Дмитриевич, 2009 год

1. А. И. Бондал, "Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки", Изв. АН СССР, Сер. матем., 53:1 (1989), 25-44.

2. А.И.Бондал, М.М.Капранов, "Представимые функторы, функторы Серра и перестройки", Изв. АН СССР, Сер. Матем., 53:6 (1989), 1183-1205.

3. A. Bondal, M.Van den Bergh, "Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry", Mosc. Math. J., 3:1 (2003), 1-36.

4. К.С.Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987.

5. Т.Bridgeland, A.King, M.Reid, "The McKay correspondence as an equivalence of derived categories", J. Amer. Math. Soc., 14 (2001), 535-554.

6. С. И. Гельфанд, Ю.И. Манин, Методы гомологической алгебры, т. 1, Наука, М., 1988.

7. P. Deligne, Theorie de Hodge III, Publ. Math. IHES., 44 (1974), 5-78.

8. M. M. Капранов, "О производной категории когерентных пучков на квадрике", Функциональный анализ и его приложения, 20:2 (1986), 67.

9. М.М.Капранов, "О производной категории когерентных пучков на многообразиях Грассмана", Изв. АН СССР, Сер.матем, 48:1 (1984), 192-202.

10. М. М. Kapranov, "On the derived categories of coherent sheaves on some homogeneous spaces", Invent, math., 92 (1988), 479-508.

11. Б.В.Карпов, Д.Ю.Ногин, "Трехблочные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо", Изв. РАН, Сер. матем., 62:3 (1998), 3-38.

12. M.Kashiwara, P.Shapira, Categories and sheaves, Springer-Verlag, Berlin, 2006.

13. B.Keller, "Derived categories and their uses", Handbook of algebra, vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 1996, 671-701.

14. А.Г.Кузнецов, "Исключительный набор векторных расслоений на многообразиях V22\ Вестник МГУ Сер. I Мат. Мех., 3 (1996), 41-44.

15. A. Kuznetsov, "Base change for semiorthogonal decomposition", preprint arXiv: math. AG/07111734.

16. A. Kuznetsov, "Derived categories of quadric fibrations and intersections of quadrics", Adv. in Math., 218:5 (2008), 1340-1369.

17. G. Laumon, L. Moret-Bailly, Sharnps algebriques, volume 39 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2000.

18. Y. Laszlo, M.Olsson, "The six operations for sheaves on Artin stacks, I. Finite coefficients", Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 107 (2008),109-168.

19. С. Маклейн, Категории для работающего математика, ФИЗМАТЛИТ, Москва, 2004.

20. D.Mumford, J.Fogarty, Geometric invariant theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982.

21. M. Nagata, "Complete reducibility of rational representations of a matrix group", J. Math. Kyoto Univ., 87:1 (1961).

22. A. Neeman, "The connection between the K-theory localization theorem of Thoma-son, Trobaugh and Yao and the smashing subcategories of Bousfield and Ravenel", Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 25:5 (1992), 547-566.

23. Д. О. Орлов, "Исключительный набор векторных расслоений на многообразии V5", Вестник МГУ Сер. I Мат. Мех., 5 (1991), 69-71.

24. Д. О. Орлов, "Проективные расслоения, моноидальные преобразования и производные категории когерентных пучков", Изв. РАН, Сер. матем., 56:4 (1992), 852-862.

25. Д. О. Орлов, "Триангулированные категории особенностей и эквивалентности между моделями Ландау-Гинзбурга", Матем. сб., 197:12 (2006), 117-132.

26. А. В.Самохин, "Производная категория когерентных пучков на LGf", УМН, 56:3(339) (2001), 177-178.

27. N. Spaltenstein, "Resolutions of unbounded complexes", Compositio Mathematica, 65:2 (1998), 121-154.

28. У. Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, МЦНМО, М., 2006.