Топологические характеристики случайных алгебраических поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Подкорытов, Семен Сергеевич

• Подкорытов, Семен Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подкорытов, Семен Сергеевич

Оглавление

Глава 0. Введение

0.0. Предмет работы 2 0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности

степени 4

0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности

Глава 1. Конфигурации точек и прямых

1.0. Структура главы. Специальные обозначения

1.1. Конструкции

1.2. Запреты

1.3. Одна лемма

1.4. Зеркальные конфигурации точек и перестановки

1.5. Незеркальность поверхностей степени 4

Глава 2. Случайные алгебраические гиперповерхности

2.0. Специальные обозначения и прочее

2.1. 2-струя благородного случайного многочлена

2.2. Регулярность случайного многочлена

2.3. Эйлерова характеристика случайной гиперповерхности

Литература

41

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические характеристики случайных алгебраических поверхностей»

0. Введение

0.0. Предмет работы

Топология вещественных алгебраических многообразий — один из основных разделов вещественной алгебраической геометрии. Ею занимались многие известные математики, среди них — Клейн, Гильберт, И. Г. Петровский, А. О. Олейник, Р. Том, В. А. Рохлин, В. И. Арнольд, Д. А. Гудков, О. Я. Виро, В. В. Никулин, В. М. Харламов и другие. Круг возникающих здесь вопросов весьма широк ([6], [28], [2], [4], [17]). Это и топологические характеристики вещественных алгебраических многообразий, и возможное расположение их в (аффинном или проективном) пространстве (классическая шестнадцатая проблема Гильберта), и проблема жесткой изотопности, и вопросы, касающиеся "средних значений" топологических характеристик алгебраических многообразий.

В шестнадцатой проблеме Гильберта особо выделены поверхности степени 4 — квартики. Окончательно жесткая изотопическая классификация квартик была получена Никулиным и Харламовым в [14], [16], [25]. Для этого потребовалось доказать незеркальность некоторых квартик, что потребовало применения весьма нетривиальной техники, включая глобальную теорему Торелли и теорему об эпи-морфности отображения периодов. Для части этих квартик Харламовым были предложены элементарные доказательства, использу-

2

ющие аналогию между поверхностями и конфигурациями точек и прямых в пространстве. Виро в [3] предложил изучать такие конфигурации сами по себе. В настоящий момент теория подобных конфигураций (в том числе старших размерностей) представляет собой самостоятельный быстро развивающийся раздел вещественной алгебраической геометрии (см. [5], [23], [11], [27], [26], [21], [22]).

С другой стороны, особенно в последнее время, внимание привлекают вопросы, касающиеся "средних значений" топологических характеристик алгебраических многообразий. Один из первых результатов в этом направлении был получен М. Кацем, который нашел математическое ожидание числа корней вещественного многочлена с независимыми стандартными нормальными коэффициентами ([24], см. также [10]). В работах И. А. Ибрагимова и Н. Б. Масловой [7], [8], [9], [12], [13] изучалось распределение числа корней многочлена большой степени с независимыми одинаково распределенными коэффициентами. Также изучалось распределение значений корней случайного многочлена ([18]). В дальнейшем Ибрагимов оценил математическое ожидание числа компонент случайной вещественной гиперповерхности ([III]).

Предлагаемая диссертация посвящена именно этим вопросам. Виро и Ю. В. Дроботухина поставили вопрос о том, сколько точек и прямых может быть в зеркальной конфигурации. Частичные результаты в этом направлении были получены самим Виро и А. Боробиа.

3

В диссертации дается полный ответ на этот вопрос (теорема 0.1.1 и комментарий к ней).

На основе полученных результатов дается элементарное доказательство результата Харламова о незеркальности нестягивающихся квартик (теорема 0.1.3).

В главе 2 изучаются случайные многообразия. Главный результат здесь — вычисление математического ожидания эйлеровой характеристики гиперповерхности пространства КР^ , определяемой случайным многочленом степени т, имеющим нормальное распределение со средним 0, инвариантное относительно действия ортогональной группы 0(с?+ 1) (теорема 0.2.5).

Структура диссертации

Основные результаты и комментарии приводятся в параграфах 0.1 и 0.2, доказательства — в главах 1 и 2, соответственно.

0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности степени 4

Конфигурации точек и прямых

Виро в [3] рассматривал конфигурации точек и конфигурации прямых в пространстве КР3 и ввел понятие зеркальности таких конфигураций. Виро и Дроботухина в [5] предложили рассматривать смешанные конфигурации точек и прямых.

Пусть ЕС?! обозначает пространство прямых в пространстве КР3 .

4

Определение. Конфигурацией т точек и п прямых называется набор

(Р15 • • • > Рт , , . . . , 1п) , р{ е МР3 , Ц е . Конфигурация называется неособой, если выполнены следующие условия: ее точки попарно различны;

никакие три ее точки не лежат на одной прямой;

никакие четыре ее точки не лежат в одной плоскости;

никакие две ее прямые не пересекаются;

никакая ее точка не лежит ни на какой ее прямой;

никакие две ее точки не лежат в одной плоскости ни с какой

ее прямой.

Определение. Жесткой изотопией т точек и п прямых называется такой набор (Рь ..., Рт, ..., Ьп) путей Р\: [0,1] -)■ ЖР3 , Ьу: [0,1] —>• , что при каждом Ь £ [0,1] конфигурация

(Рг (г),..., Рт (£), ¿1 (г),..., Ьп (г)) неособа.

Фиксируем зеркальную симметрию в: ЕР3 —> ЖР3 . Пусть г: Ж(?3 —> Ж(73 — инволюция, индуцированная симметрией в .

Определение. Неособая конфигурация (рх,... ...,1п) назы-

вается зеркальной, если существуют такие жесткая изотопия (Рь ... ,Рт,1/1,... ,Ьп) и перестановки /: {1,... ,т} ->> {1,... ,га} , д: {1,..., п} {1,...,п}, что Р<( 0) = з(р{) , 1^(0) - г(1,) и Рг{ 1) = Pf{i) > = 1д{з) •

В диссертации доказывается следующая теорема. Она обобщает результаты Виро о конфигурациях точек и конфигурациях прямых.

0.1.1. Теорема. Зеркальные конфигурации из т точек и п прямых существуют, если и только если

либо т < 4, п ее 0 или 1 (mod 4),

либо т = 0 или 1 (mod 8) , п = 0 (mod 2) .

Виро и Дроботухина в [5] определили также зеркальность конфигурации точек и прямых в пространстве R3. Для таких конфигураций утверждение теоремы остается справедливым, и это следует из ее доказательства. Это дополняет результаты Боробиа о таких конфигурациях ([19], [20]).

Доказательство запретов на возможное число точек и прямых зеркальной конфигурации использует введенное Виро понятие коэффициента зацепления тройки прямых и следующее предложение.

0.1.2. Предложение. Пусть даны неособая конфигурация точек (pi,... ,рт) и такие жесткая изотопия (Pi,..., Рто) и перестановка /: {1,... ,т} ->• {1,... , га} , что Р»(0) = s(pi) и Р*(1) = • Тогда если т ^ б, то все циклы перестановки f имеют длины d = 4 (mod 8) , кроме, возможно, одного цикла длины d = 1 .

Замечание. Я не знаю примеров того, чтобы перестановка / имела цикл длины d > 4 .

Поверхности степени 4

Определение. Семейство У(£) с ЕР3 , £ е [0,1] , неособых поверхностей степени т называется жесткой изотопией степени т , если существует такая изотопия Н{{): ЕР3 ЕР3 , £ е [0,1], что

я(0) - 1с1 и я(*)(У(о)) = у (г), г е [о, 1].

Напомним, что фиксирована зеркальная симметрия й .

Определение. Неособая поверхность X С ЕР3 степени т называется зеркальной, если существует такая жесткая изотопия У(£) с ЕР3 , Ь Е [0,1] , степени т , что У(0) = в(Х) и У(1) = X .

Харламов в [16], [25] завершил жесткоизотопическую классификацию поверхностей степени 4. В частности, он нашел ряд запретов на изотопический тип зеркальной поверхности. Для некоторых из них он дал элементарное доказательство, и он предложил найти такое доказательство для остальных.

Определение. Поверхность X С ЕР3 будем называть нестягива-ющейся, если она не стягивается по пространству ЕР3 в точку.

В диссертации дается элементарное доказательство следующего утверждения.

0.1.3. Теорема (Харламов). Неособая поверхность степени 4, не-

стягивающаяся и имеющая М ^ 5 компонент, незеркальна.

7

Харламов нашел аналогию между такими поверхностями и конфигурациями т = М — 1 точек и одной прямой и дал элементарное доказательство для случаев М — 5, б, 7,8 . Приводимое доказательство охватывает оставшиеся случаи М = 9,10 (не используя результат Харламова о том, что М ^ 10 ([15])). Оно использует конструкцию и рассуждение Харламова и для М — 5,6 повторяет его доказательство, а для М ^ 7 опирается на предложение 0.1.2.

0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности

Когда X — случайный элемент, принимающий значения в измеримом пространстве ф , будем использовать запись X £ .

Пусть ит(Мй+1) — векторное пространство однородных многочленов степени т на пространстве . На пространстве ^т(Жсг+1) очевидным образом действует ортогональная группа 0(с? + 1) .

Координаты точки х Е будем обозначать хо,... ■ Пусть

^ = {ж £ Е^1 | \х\ = 1} — единичная сфера. Пусть х° = (1, 0,..., 0) 6Е б'6* — отмеченная точка.

Определение. Случайный многочлен Р е НТП(М.<1+1) будем называть благородным, если он имеет нетривиальное нормальное распределение со средним 0 , инвариантное относительно действия группы

0(с1 + 1), при этом параметром случайного многочлена .Р будем

8

называть число

Г 'EF(x0)2 '

0.2.1. Утверждение. Значения параметров благородных случайных многочленов F Е Hm(M,d+1) заполняют отрезок

1- (-l)m m(m + d- 1)

2 d '

0.2.2. Пример. Определим случайный многочлен F £ Нт(Rd+1) формулой

= ^ ^ -^то.-.т^о ° • ' ' Xd d 1 Ж G R ,

т-оН-----b md=m

где -Fmo...m<j — независимые нормальные случайные величины со средним 0 и дисперсией

Т-,2

m°-md = m0!...md!" Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр

г — т.

0.2.3. Пример. Введем в пространстве Hm(Kd+1) скалярное произведение

(Л, /2)= f h(x)f2(x)dx. Jx£Sd 9

Пусть F ё ffm(Rd+1) — такой нормальный случайный многочлен, что

E((f1,F)(f2,F)) = (Д,/2), /ь/2 G

Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр

г =

т(т + d -f 1)

d + 2

Определение. Многочлен / £ Нт(Ша+1) будем называть регулярным., если не существует таких точек х е Жсг+1 \ 0 , что одновременно

нулей. Если многочлен / регулярен, то множество V/ есть гладкая гиперповерхность.

0.2.4. Утверждение. Благородный случайный многочлен почти наверное регулярен.

В диссертации получен следующий результат.

Для d = 1 (mod 2) определим многочлен Id и функцию М^ на полуоси формулами

/0*0 = 0 и grad/(z) = 0.

Для многочлена / G Hm(M.d+1) пусть Vf С KPd — множество его

о

1

s е м,

0.2.5. Теорема. Пусть d= 1 (mod 2) . Пусть F G Ягп(Мо!+1) — благородный случайный многочлен с параметром г . Тогда

Е x(VF) = Md(r).

1. Конфигурации точек и прямых

1.0. Структура главы. Специальные обозначения

В параграфе 1.1 строятся зеркальные конфигурации т точек и п прямых для перечисленных в теореме 0.1.1 значений шип. В параграфе 1.2 доказываются запреты на возможное число точек и прямых зеркальной конфигурации. Вместе это составляет доказательство теоремы 0.1.1. Построения проводятся в евклидовом пространстве, которое понимается как аффинная часть пространства 1LP3 ; жесткие изотопии не выводят точки на бесконечность. Поэтому утверждение теоремы остается справедливым для конфигураций в пространстве М3 . Доказательство запретов использует предложение 0.1.2. В параграфах 1.3, 1.4 доказывается предложение 0.1.2. В параграфе 1.5 доказывается теорема 0.1.3. Доказательство использует предложение 0.1.2.

Специальные обозначения и соглашение

Скалярное произведение векторов х\,Х2 Е М4 будем обозначать

(xi,x2) , длину вектора х G М4 — |ж| . Пусть S3 — {х G К4 | |ж| = 1}

11

— единичная сфера. Линейная зависимость точек сферы S3 понимается как линейная зависимость их как векторов пространства R4 ; так же понимается скалярное произведение точек. Для стандартного накрытия —У ЕР3 используется обозначение х н-> ire .

1.1. Конструкции

В этом параграфе строятся зеркальные конфигурации т точек и и прямых. Построения проводятся в евклидовом пространстве с декартовой системой координат Oxyz . Есть две конструкции.

Конструкция 1: т < 4, п = О или 1 (mod 4) . Пусть R, г > 0 . Выберем на плоскости Оху такой треугольник, что продолжения его сторон не пересекают окружность х2-\-у2 = R2-\-г2 . В качестве точек конфигурации возьмем любые т его вершин. Пусть п — по + е , по = 0 (mod 4) , е = 0 или 1. В качестве прямых

конфигурации возьмем прямые

2тг к , 2-кк

х cos--1- у sin-= R,

п0 п0

. 27тк 27тк к

—х sin--Ь у cos-= г + (■— 1) z, к = 1,..., по-

п0 п0

Если е = 1, то добавим прямую Oz . Построенная конфигурация неособа и переходит в себя после зеркального отражения относительно

плоскости Оху и жесткой изотопии, при которой точки конфигура-

2тг

ции неподвижны, а прямые поворачиваются на угол — вокруг оси

п0

Oz.

Конструкция 2 (Боробиа): т = 0 или 1 (тос! 4) , п = 0 (тос1 2) . Пусть т — 4т" + е , е = 0 или 1 . Для к = 1,..., т" выберем числа ак , Ьк , ск ив качестве точек конфигурации возьмем точки (ак:Ьк,ск), (-а*, -Ък,ск) , (~Ьк,ак, -ск) , (Ьк,-ак, -ск) . Если е = 1, то добавим точку О . Пусть го = 2го'. Для & = 1,..., п' выберем числа рк , д/. , г*; ив качестве прямых конфигурации возьмем прямые ркх + дку = 0, г = гк и -цкх + рку = 0,2; = . Легко видеть, что при общем выборе параметров конфигурация будет неособой. Она переходит в себя после зеркального отражения относительно плоскости Оху и поворота на угол вокруг оси Ох .

1.2. Запреты

В этом параграфе доказываются запреты на возможные значения тип для зеркальной конфигурации т точек и п прямых.

Следуя Виро, неособой тройке прямых (/ь/2^3) ? Ц £ Ш?3 , сопоставим коэффициент зацепления (¿1Ы3) = ±1 следующим образом. Ориентируем прямые произвольным образом. Так как они

не стягиваются по пространству КР3 в точку, то их попарные рациональные коэффициенты зацепления отличны от 0. Положим

{1Мз) = 8§п (1к (Ь, к', <0>) 1к (к, к\ О) 1к (1Ъ О))-

Легко видеть, что результат не зависит от выбора ориентаций.

Коэффициент зацепления тройки прямых не меняется от их перестановки, сохраняется при жесткой изотопии и меняет знак при

13

зеркальном отражении. Есть пять серий запретов. Серия 1 (Виро): т любое, п = 3 (mod 4) .

Так как при таких п число троек прямых конфигурации, равное ' нечетно5 то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 2: т = 2 или 3 (mod 4) , п = 2 (mod 4) . Так как при таких тип число троек прямых, одна из которых проходит через две точки конфигурации, а две другие принадлежат

то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 3: т = 4, 5, б или 7 (mod 8) , п = 1 (mod 2) .

Так как при таких шип число троек прямых, которые получаются, если взять четыре точки конфигурации, разбить их на две пары, через точки каждой пары провести прямую — это будут две прямые —, а третьей взять прямую конфигурации (такие тройки не-

J п , нечетно, то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 4-' m ^ 6 , гп = 2 или 3 (mod 4) , п любое.

Это следует из предложения 0.1.2.

Серия 5: m ^ 6 , n = 1 (mod 2) .

Из предложения 0.1.2 следует, что при m ^ 6 некоторые d =

конфигурации (такие тройки неособы), равное

4 (mod 8) точек конфигурации и ее прямые образуют зеркальную конфигурацию, что запрещено (серия 3).

1.3. Одна лемма

В этом параграфе доказывается следующая лемма, которая нужна для доказательства предложения 0.1.2.

1.3.1. Лемма. Пусть дан такой набор (Qi,..., Qm), rn ^ А, путей Qi: [0,1] —>■ S3 , что для любых различных ¿i,...,«4 точки Qi1(t),..., Qi4(t) линейно независимы, t £ [0,1]. Тогда существует такая изотопия H{t): S3 —» S3 , t Е [0,1], что Н(0) = id и

sgn{Qi{0),x) = sgn(Qi{t),H(t){x)), t € [0,1],

Идею доказательства леммы предложил Виро.

Доказательство леммы.

Для Xq,Xi е S3, XI ф -XQ, определим отображение а{хо, х\)\ [0,1] S3 формулой

(1 - r)xQ + rxi

а(ж0,Ж1)(г) = т--г---г, г G 0,1 .

|(1 - г)х0 + rxi|

Пусть С — множество наборов с = (ci,... ,ст) , С{ = ±1 или 0 .

Введем на множестве С частичный порядок: для с, с' € С пусть

с' ^ с, если cj = Ci или 0 . Для с G С, i G [0,1] определим подмно-

15

жества сферы 53

ес(£) = {х Е 53 | sgn(Qi(t),x) = Сг}, Ес&)= и ес,(£), ЗД- У ес/(£).

с'зСс с'<с

Пусть даны с Е С и отрезок С [0,1] . Тогда про такой путь

в: \Ь', —> ¿>3 , что 6 ес(^) , £ Е , будем условно говорить:

сечение в: \Ь', —ь ес .

Пусть фиксированы произвольные с Е С , £ Е [0,1] .

1 0 . Если х Е -Ес(^) 5 то —х<£Е{£). Действительно. Так как т ^ 4, то в силу условия линейной независимости для некоторого г имеем (С}^)^) ф 0. Следовательно, sgn(Qг(¿),ж) = с; и неверно,

ЧТО Sgn —X) = Сг ИЛИ 0 .

2° . Пусть хо,х± £ ес(Х) , в Е [0,1]. Тогда, как следует из 1 0 , хг ф -жо и ^ ес(£) .

3°. Если ес(£) — 0 , то = 0. Действительно, пусть

ж0 Е -Бс(^) • Пусть / = {г | (ф^жо) = 0}- В силу условия линейной независимости \1\ < 4 и, следовательно, точки (¿{(1) , г Е /, линейно независимы. Поэтому в сфере 53 сколь угодно близко к точке хо найдется такая точка х , что = С{ , г Е I. Если

выбрать точку х достаточно близко к точке ж о , то будем иметь sgn (Qi(t),x) — = Сг, г ^ I, и, таким образом, X Е ес(г) .

4° . Пусть хо Е ес{Ь) . Рассмотрим конус

{*}иадх[о,1] /

/ (ж,0) = *'

Используя 1 ° , определим отображение А: й 53 формулами А(*) = хо и А(х,г) = а(хо,х)(г) , х € , г € [0,1] . Тогда, как легко убедиться, отображение А есть гомеоморфизм на множество Ес{1).

Теперь пусть фиксирован произвольный элемент с £ С. 5°. Пусть ¿о £ [0,1], ес(£о) 0. Покажем, что существуют окрестность [£_,£+] С [0,1] точки £о и сечение в±: [£_,£+] —»• ес . Пусть хо е ес(£о), / = {г | с^ = 0} . Для г € / имеем {Я^о)^^) — 0; в силу условия линейной независимости |/| < 4 и, следовательно, точки о) 5 ъ £ I, линейно независимы. Поэтому существуют окрестность [£_,£+] С [0,1] точки £о и такой путь в±: [£_,£+] —>> 513 , что з±(£о) = и (Ф*(£),з±(£)) = 0, £ € [£_,£+], г € /. По соображениям непрерывности, при £ , достаточно близких к £о ? имеем sgn — сг > ^ ^ 1> и5 таким образом, в±(£) £ ес(£) ; сузим

соответствующим образом окрестность [£_,£+] Э £о •

б 0 . Либо е(£) = 0 , £ е [0,1], либо е(£) ^ 0 , £ е [0,1] . Действительно, множество {£ £ [0,1] | ес(£) ф 0} , с одной стороны, как следует из 5 0 , открыто, с другой стороны, согласно 3 0 , совпадает с множеством {£ £ [0,1] | ЕС(Ь) ф 0} , которое, конечно, замкнуто.

70 . Если е(0) ф 0 , то существует сечение в: [0,1] ес . Пусть £о есть верхняя грань тех Т е [0,1] , для которых существует сечение 5о: [0,Т] —ес. Согласно 6° , ес(£о) ф 0; используя 5° , выберем

окрестность [£_,£+] С [0,1] точки £о и сечение в±: [£-,£+] -> ес .

17

Построим сечение в: [0, t+] —ес . Если ¿0 = 0 , положим я = . Если £0 > 0 5 то выберем Т, < Т < £0 , и сечение : [О, Т] ес , и, используя 2 0 , положим

По выбору ¿о 5 имеем ^ ¿о 5 значит, — 1 и в есть искомое сечение.

Построим искомую изотопию Н по индукции. Предположим, что для некоторого подмножества С С С такого, что для с, с' £ С , с' ^ с, с £ С влечет с' £ С, определена такая гомотопия

Uc'GC'^c'(O) -> £3, i е [0,1], что для с' £ С, t £ [0,1]

отображение #(£) гомеоморфно отображает множество £^'(0) на множество Eci(t). (База С = 0 тривиальна.) Легко видеть, что при всех i G [0,1] отображение i7(£) инъективно. Если С' = С, то, как легко видеть, гомотопия Н есть искомая изотопия. Пусть С' ф С, с £ С \ С' — минимальный элемент. Продолжим гомото-пию Н до гомотопии #(£): Uc'gC'u{c} (0) S3 , t £ [0,1] , так, чтобы при всех t £ [0,1] отображение H(t) гомеоморфно отображало множество Ес(0) на множество E{t) . Если е(0) = 0 , то, как следует из 6 0 и 3 0 , Ec(t) = 0 , t £ [0,1] , и делать ничего не нужно. Пусть ес(0) ф 0. Используя 7°, выберем сечение s: [0,1] —>■ ес . В силу инъективности, при всех t £ [0,1] отображение H(t) гомео-

t £ [0, £_],

t£[t-,T],

t£[T,t+}.

s±(t)

морфно отображает множество F(0) на множество F(t) . Используя 4°, определим отображение H(t) на множестве i?c(0) равенствами Я(*)(в(0)) - s(t) и H{t)(a(s(0),x){r)) = a(s(t),If(t)(x))(r), х в Fc(0) , г € [0,1] . □

1.4. Зеркальные конфигурации точек и перестановки

Предложение 0.1.2 следует из утверждений 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3. Доказательство утверждения 1.4.3 использует вспомогательное утверждение 1.4.4, доказательство которого использует лемму 1.3.1.

Пусть даны неособая конфигурация точек (pi,. ■ ■ ,рт) и такие жесткая изотопия (Pi,..., Рт) и перестановка /: {1,..., т} {1, ...,ш}, что Pi(0)=s(pt) и Рг(1) =Pf(i) ■

1.4.1. Утверждение. Если перестановка f имеет цикл длины О 4; то d = 0 (mod 4).

1.4.2. "Утверждение. Если т ^ 6 , то перестановка f не имеет циклов длин d < 4, кроме, возможно, одного цикла длины d = 1.

1.4.3. Утверждение. Перестановка / не имеет циклов длин d = 0 (mod 8) .

Пусть z: S3 -Ч- S3 — инволюция, индуцированная такой зеркальной симметрией пространства М4 , что ±z(cc) = <г(±ж) , х £ S3 . Выберем такие точки gi,..., qm G 54 , что = pi . Выберем

такие пути Qi,...,Qm: [0,1] S3 , что (0) = zfe) и =

19

Pi(t) , t G [0,1]. Тогда существуют такие числа е^ = ±1, что Qi(l) =

eiQf(i) •

Для любых различных ..., ¿4 точки q^,..., линейно независимы, пусть Oj1...i4 = sgndet (<7^,..., qi4) . Символ о^...^ принимает значения ±1 и меняет знак при перестановке любых двух индексов.

Из определения жесткой изотопии следует, что для любых различных ¿1,... ,¿4 при всех t G [0,1] точки Qjx(i),..., Qi4(t) линейно независимы.

Поэтому sgndet (Qi1(0),...,Qi4(0)) = sgndet (Qh (1),..., <3»4(1)) . Следовательно, так как зеркальная симметрия обращает ориентацию пространства R4 , то для любых различных ii,... ,¿4 имеем

°il...i4 = _еН • ' • eil°f(il)---f{i4)

(чудесная формула).

Пусть запись /: (гц ...¿idj • • • (iki • • • 4dk) означает, что щ G {1,... ,гтг} попарно различны и f(iij) = 4{j+\) при j < di , f(iidi) = ill ■

Доказательство утверждения 1.4-1. Пусть f: (ii---id)- Применяя чудесную формулу d раз, получаем

то есть d = 0 (mod 2). Пусть d — 2d'. Применяя чудесную формулу d' раз, получаем

°hi2id' + 1id> + 2 = V Ч 20

откуда d' = 0 (mod 2) . □

Доказательство утверждения 1.4-2. Пусть к\ , к2 , — число циклов перестановки / длин 1,2,3 соответственно, к — число циклов перестановки / длины d ^ 4. Покажем, что тогда

1) h ^4;

2) fc2 < 2 ;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подкорытов, Семен Сергеевич, 1998 год

Литература

1. В. И. Арнольд, Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского — Олейник и смешанные структуры Ходжа, Функцион. анализ и его приложения 12 (1978), №1, 1 — 14.

2. О. Я. Виро, Успехи последних 5 лет в топологии вещественных алгебраических многообразий, Proc. Intern. Congr. Math., Warszawa, 1983, vol. 1, 595-611.

3. О. Я. Виро, Топологические задачи о прямых и точках трехмерного пространства, Доклады Академии наук СССР 284 (1985), №5, 1049 — 1052.

4. О. Я. Виро, Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние 6 лет, Успехи мат. наук 41 (1986), №3, 45

— 67.

5. О. Я. Виро, Ю. В. Дроботухина, Конфигурации скрещивающихся прямых, Алгебра и анализ 1 (1989), №4, 222 — 246.

6. Д. А. Гудков, Топология вещественных проективных алгебраических многообразий, Успехи мат. наук 29 (1974), №4, 3 — 79.

7. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. I. Коэффициенты с нулевым средним, Теория вероятностей и ее применения 16 (1971), №2, 229 — 248.

8. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним, Теория вероятностей и ее применения 16 (1971), №3, 495 — 503.

9. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, Среднее число вещественных корней случайных полиномов, Доклады АН СССР 199 (1971), №1, 13

— 16.

10. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, М., Мир, 1965.

11. В. Ф. Мазуровский, Многочлены Кауффмана неособых конфи-

42

гураций проективных прямых, Успехи мат. наук 44 (1989), №5, 173 — 174.

12. Н. Б. Маслова, О дисперсии числа вещественных корней случайных полиномов, Теория вероятностей и ее применения 19 (1974), №1, 36 — 51.

13. Н. Б. Маслова, О распределении числа вещественных корней случайных полиномов, Теория вероятностей и ее применения 19 (1974), №3, 488 — 500.

14. В. В. Никулин, Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения, Известия АН СССР. Сер. мат. 43 (1979), №1, 111 — 177.

15. В. М. Харламов, Максимальное число компонент поверхности 4~й степени в МР3 ; Функцион. анализ и его приложения 6 (1972), №4, стр. 101.

16. В. М. Харламов, К классификации неособых поверхностей степени 4 в МР3 относительно жестких изотопии, Функцион. анализ и его приложения 18 (1984), №1, 49 — 56.

17. В. М. Харламов, Топология действительных алгебраических многообразий, И. Г. Петровский, Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия, М., Наука, 1986, 465 — 493.

18. Д. И. Шпаро, М. Г. Шур, О распределении корней случайных

многочленов, Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика, механика

43

(1962), №3, 40 — 43.

19. A. Borobia, Mirror property for nonsingular mixed configurations of one line and К points in R3 , M. Coste, L. Mahé, M.-F. Roy (Eds.), Real Algebraic Geometry, Proceedings, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 349-356.

20. A. Borobia, Mirror property for nonsingular mixed configurations of lines and points in R3 , Discrete Comput. Geom. 11 (1994), 311-320.

21. H. Crapo, R. Penne, Chirality and the isotopy classification of skew lines in projective three-space, Adv. Math. 103 (1994), 1-106.

22. F. Deloup, The monodromy group of a configuration of lines, Алгебра и анализ 8 (1996), №6, 1 — 25.

23. S. M. Finashin, Configurations of seven points in MP3 , О. Ya. Viro (Ed.), Topology and Geometry—Rohlin Seminar, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 501-526.

24. M. Kac, On the average number of real roots of a random polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 314-320.

25. V. M. Kharlamov, Non-amphicheiral surfaces of degree 4 in MP3 , O. Ya. Viro (Ed.), Topology and Geometry—Rohlin Seminar, Lecture Notes in Math. 1346 (1988), 349-356.

26. S. I. Khashin, V. F. Mazurovskiï, Stable equivalence of real projective configurations, V. Kharlamov, A. Korchagin, G. Polotovskiï, O. Viro (Eds.), Topology of real algebraic varieties and related topics, AMS

Translations, Series 2 173 (1996), 119-140.

44

27. V. F. Mazurovskii, Configurations of at most six (2n — 1) -dimensional subspaces of RP471"1 , Adv. Sov. Math. 18 (1994), 209-222.

28. G. Wilson, Hilbert's sixteenth problem, Topology 17 (1978), 53-73.

Публикации по теме диссертации

I. С. С. Подкорытов, Зеркальные конфигурации точек и прямых в трехмерном проективном пространстве, Тезисы докладов XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. Часть 2. Математические секции, М., Российский университет дружбы народов, 1993, стр. 46.

II. С. С. Подкорытов, Зеркальные конфигурации точек и прямых и алгебраические поверхности степени 4, А. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев (ред.), Исследования по топологии. 8, Записки научных семинаров ПОМИ 231 (1995), 299 — 308.

III. И. А. Ибрагимов, С. С. Подкорытов, О случайных вещественных алгебраических поверхностях, Доклады академии наук 343 (1995), №6, 734 — 736.

IV. С. С. Подкорытов, Об эйлеровой характеристике случайной алгебраической гиперповерхности, Зап. науч. семин. ПОМИ 252 (1998), 224 — 230.