О предельных множествах отображений графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Редкозубов, Вадим Витальевич

• Редкозубов, Вадим Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Редкозубов, Вадим Витальевич

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Инвариант типа периода общей точки

1.1 Основные понятия и необходимые леммы.

1.2 D-функция как аналог периода общей точки

1.3 .D-функция точки и декомпозиционный идеал транзитивного отображения

Глава 2. Комбинаторика предельных множеств 2.1 «Спектральная» теорема Блоха и следствия из нее.

2.2 Множество D-функций отображений графов.

2.3 Комбинаторика предельных множеств. Случай n-ода и окружности

Глава 3. Топология предельных множеств

3.1 Асимптотический образ множества неблуждающих точек

3.2 Топология предельных множеств окружности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О предельных множествах отображений графов»

Представленная работа относится к топологической динамике. Цель работы — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.

1. Основы топологической динамики были заложены А. Пуанкаре в конце XIX века, предложившим качественное описание решений дифференциальных уравнений, не допускающих аналитического решения.

Известно, что автономная система дифференциальных уравнений, удовлетворяющая условиям единственности и продолжаемости решений, определяет поток — однопараметрическую группу преобразований фазового пространства. Дж.Д. Биркгоф, развивая идеи Пуанкаре, заметил [1], что многие понятия и результаты теории автономных систем дифференциальных уравнений могут быть перенесены на потоки в абстрактных пространствах. Он ввел важное понятие минимального множества, классифицировал движения по форме их возвращения, заложив тем самым основы общей теории топологических систем. Эта теория была развита в работах М. Морса, В.Х. Гот-шалка, Г.А. Хедлунда, А.А. Маркова, В.В. Немыцкого.

Следуя современной терминологии, под динамической системой понимается «действие группы (полугруппы) на каком-либо пространстве». Точнее, пусть X — топологическое пространство, Т — топологическая группа (полугруппа), 7г : X х Т —> X — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям (образ точки (х, t) при отображении ж обозначим через тгь(х)):

1) -ке{х) — ж, где х € X, е — единица группы Т;

2) 7г®(7г*(я:)) = 7rts(x), где xGl, t,s€ Т.

Тогда тройка (X, Т, 7г) называется топологической динамической системой. При этом X называется фазовым пространством, группа (полугруппа) Т — временем. Для точки х G X определим множество orb(x) = {ттг(х) : t Е Т}, называемое орбитой или траекторией точки х (относительно системы (X, Т, тг)).

Динамическая система (X, Т, 7г) называется дискретной, если Т = Z (Т = 1м+). При этом если обозначить отображение 7Г1 через /, то для любого п Е Z(Z+) выполнено тсп(х) = fn(x), где fn обозначает n-ю итерацию отображения / (в случае Т = Z отображение / является гомеоморфизмом). И наоборот, всякий гомеоморфизм (непрерывное отображение) / по формуле тгп(х) = fn(x) определяет действие группы (полугруппы) Т = Ъ (Т = Z+) на пространстве X. Таким образом, дискретная динамическая система полностью определяется парой (X, /). Динамические системы, рассмотренные в диссертации, являются дискретными и необратимыми, т.е. Т = Z+.

Определим класс топологических систем — символических, представляющих особый интерес в динамике. Фазовым пространством символической системы является множество бесконечных (двусторонних или односторонних) последовательностей над некоторым конечным алфавитом, снабженное тихоновской топологией произведения, а отображением — единичный сдвиг последовательности [9]. Изучение таких систем важно, во-первых, из-за того, что они являются хорошим источником примеров и контрпримеров. Во-вторых, сужения ряда систем на различные инвариантные множества выглядят как символические системы. Такое «кодирование» используется для нахождения у системы орбит с заданными свойствами: чаще их проще найти у символической системы, а затем индуцировать на исходную. Метод «кодирования» широко применяется в диссертации.

Основная задача динамики — изучение асимптотических инвариантов, характеризующих такие свойства как возвращение и разбегание траекторий. Так как чаще всего требуется выяснить, как ведет себя траектория на бесконечном интервале времени, изучение самой траектории сводится к изучению ее предельных точек — ш-предельного множества.

Рассмотрим типичные формы «возвращаемости» точек в произвольную окрестность своего первоначального положения. В классических динамических системах часто встречаются периодические движения (когда движущаяся точка через равные промежутки времени попадает в первоначальное положение). А. Пуанкаре указал примеры непериодических движений, при которых точка сколь угодно поздно возвращается в сколь угодно малую окрестность исходного положения. Движения такого рода называются рекуррентными (в литературе также встречается термин «устойчивые по Пуассону»). Дж.Д. Биркгоф среди рекуррентных выделил класс движений с ограничением на время возвращения: в любом промежутке времени длины, зависящей от окрестности начального положения, найдется момент, при котором точка попадет в эту окрестность. Такие движения называются почти периодическими.

Введенные выше понятия можно переформулировать на языке сопредельных множеств. Точка является периодической, если ее о;-предельное множество совпадает с самой траекторией, рекуррентной — если сопредельное множество совпадает с замыканием траектории, и почти периодической — если она рекуррентна и каждая траектория из ее со-предельного множества всюду плотна в нем (другими словами точка является почти периодической, если она принадлежит своему а;-предельному множеству и это множество минимально).

Разбегание траекторий чаще всего измеряется энтропией отображения. Системы, в которых отображение / имеет положительную энтропию h(f), принято считать хаотическими. Но при этом на множестве полной лебеговой ^ меры траектории могут вести себя регулярно, скажем, притягиваться к одной периодической орбите. Поэтому, чтобы хаотичность системы стала «наблюдаемой» в физическом смысле, нужны дополнительные условия. Примером такого условия является транзитивность отображения, т.е. «неразложимость» фазового пространства на два инвариантных множества с непустой внутренностью. Оказывается свойство транзитивности может быть также сформулировано на языке cj-предельных множеств: система (X, /) тран-зитивна, если существует такая точка х € X, что и(х, /) = X.

В одномерной динамике фазовым пространством чаще всего выступает граф. За последние 10-15 лет появилось множество работ по этой тематике. Интерес к ней объясняется несколькими причинами. С одной стороны, существует тесная связь с другими разделами теории динамических систем. Например, для отображений многообразий с инвариантным слоением коразмерности один соответствующее фактор-отображение оказывается определенным на пространстве с одномерной структурой. Динамика псевдоано-совских гомеоморфизмов поверхностей в ряде случаев может быть сведена к анализу некоторых специальных графов [26]. А.Н. Шарковский и его школа значительно углубили [13] изучение разностных уравнений, основываясь на современной теории одномерных динамических систем (во многом созданной ими). С другой стороны, граф обладает следующим техническим преимуществом — топологическим свойством, тесно связанным с общеизвестной теоремой о промежуточном значении: малая окрестность точки разбивается этой точкой, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной.

2. Результаты главы 2 лежат в русле исследований, инициированных теоремой Шарковского, т.е. посвящены сосуществованию точек различного динамического поведения.

Рассмотрим следующее упорядочивание натуральных чисел (порядок Шарковского):

3>5>7О.>2-3>2-5О2-7о.>22-3>22.5>22-7О.> 23 > 22 > 2 > 1.

Подмножество L С N есть начальный отрезок порядка >, если вместе с числом к оно содержит все числа, стоящие правее к в порядке >.

Теорема Шарковского [И]. Если непрерывное отображение / : I —> / отрезка I в себя имеет периодическую точку периода п, то f имеет пе-i> риодические точки всех периодов, следующих за п в порядке Шарковского, т.е. множество периодов П(/) представляет из себя начальный отрезок порядка Шарковского.

Теорема Шарковского породила важное направление в исследованиях одномерных динамических систем — комбинаторную теорию. Часть усилий здесь была направлена на получение аналогичных результатов для систем с более сложным фазовым пространством. Например, доказано, что сосуществование периодов отображения окружности зависит от степени этого отображения. Если степень не равна 1, то периоды сосуществуют согласно порядку Шарковского с одним исключением (в случае deg(/) = — 2 может отсутствовать периодическая точка периода 2) [21], [23]. Если степень равна 1, то множество периодов есть объединение следующих подмножеств натуральных чисел: знаменателей дробей из некоторого интервала и (возможно) двух отрезков порядка Шарковского, «умноженных» на натуральные числа [30]. Задача сосуществования периодов непрерывных преобразований пода (т.е. графа, состоящего из п расходящихся отрезков от общего центра) была решена С.Балдвином [18].

Определим частичные порядки ур на натуральных числах: а) — порядок Шарковского о. б) Для р > 1, 6 N к Ур т, если выполнено одно из следующих условий:

1) т= 1;

2) р | к, р | т и (к/р) > (т/р)\

3) к не делится на р, т = гк + jp для некоторых целых г ^ 0, j > 0.

Теорема Балдвина [18]. Если f : Хп Хп — непрерывное отображение п-ода Хп в себя, то множество периодов П(/) есть непустое конечное объединение начальных отрезков порядков >~р, 1 ^ р ^ п. И обратно, для любого подмножества К натуральных чисел, являющегося объединением конечного числа начальных отрезков порядков Ур, 1 ^ р ^ п, существует такое непрерывное отображение f п-ода в себя, оставляющее центр на месте, что П(/) = К.

Теоремы Шарковского и Балдвина дают окончательный ответ на вопрос, какие периоды влекут за собой появление других периодов. Однако долгое время незатронутым оставался вопрос сосуществования траекторий более сложных, чем периодические. Трудность заключалась в том, что для этих траекторий не существовало такого полезного инварианта, каким является период для периодических точек. Лишь в начале 90-х гг. Е Сян Дун дал решение этой проблемы для почти периодических точек, а А. И. Демин — для рекуррентных точек. Опишем вкратце их конструкции.

Рассмотрим минимальное для отображения / множество А. При fn множество А не обязано оставаться минимальным, но оно замкнуто и /пинвариантно, следовательно, в А существует подмножество Ао, минимальное при /п. Положим Ai = Р(Ао), г = 0, 1, — Нетрудно показать, что все множества Ai минимальны при итерации /п и найдется такое к, что выполнено Ak = Aq и Ai ф Ао при 0 < г < к (в частности, пересечение AiDAj пусто при 0 < \i — j\ < к). Так как множество и^Д- замкнуто, /-инвариантно и не содержит собственных подмножеств, обладающих этими свойствами, мы имеем разложение

А = А0 U . U Ак-1.

Таким образом, каждому минимальному множеству А можно сопоставить функцию /а '■ N —> N по правилу п —V /л(^) = к. Этот инвариант Е Сян Дун назвал декомпозиционной функцией, или Р-функцией, минимального множества А. D-функция fx для почти периодической точки х определяется как D-функция ее ^-предельного множества ш(х, /). Е Сян Дун показал [8], [32], что для любого /-минимального множества А функция /а принадлежит Е — множеству функций s : N —У N, удовлетворяющих условиям: а) для любых взаимно простых т,п выполнено s(mn) = s(m) • s(n); б) для любого простого р существует такое а(р) € N U {0} U {оо}, что выполнено s(pl) = (р1, ра^) для всех натуральных I.

Верно и обратное [32]: любая функция из Е реализуется как D-функция некоторой минимальной динамической системы.

Для периодической точки х периода т функция fx(n) = (m, п). Заметим, что период т полностью определяется D-функцией fx. Поэтому D-функцию можно рассматривать как обобщение периода для периодической точки. На множестве Е можно ввести линейный порядок. Основной результат [32] заключается в том, что почти периодические траектории непрерывных отображений отрезка сосуществуют в смысле этого порядка.

А. И. Демин развил идеи Е Сян Дуна, «двигаясь» в двух направлениях. С одной стороны, он дал определение £)-функции для рекуррентных точек, основываясь на теории ультрафильтров [6], и показал эквивалентность с определением выше в случае, когда рекуррентная точка является почти периодической. С другой стороны, получено обобщение теоремы Балдви-на для всех рекуррентных траекторий n-ода. А именно, для эндоморфизма n-ода описаны всевозможные множества периодов периодических точек и .D-функций рекуррентных, но не периодических, точек.

Как заметил А. И. Демин, D-функцию рекуррентной точки х можно определить как число различных предельных множеств в разложении lj(x, /) при n-й итерации /". Фактически при этом он пользовался свойствами ^-предельного множества, справедливыми для любой точки (см. лемму 1.1). Вышесказанное позволяет дать определение D-функции общей точки. Это сделано в первой главе настоящей работы. Здесь также установлена тесная связь .D-функции точки и декомпозиционного идеала транзитивного отображения (по Д. Бэнксу).

Возникает вопрос: верен ли результат в духе теорем Шарковского-Е Сян Дуна-Демина для всех точек? То есть мы рассматриваем задачу: зная характер динамической сложности одной точки (не обязательно периодической, почти периодической или рекуррентной), определить все обязательно наличествующие динамические сложности траекторий других точек. Для пода и окружности ответ о сосуществовании точек относительно введенного инварианта дают теоремы, доказанные во второй главе.

Когда фазовым пространством системы является отрезок многие технические трудности в изучении динамики удается избежать, воспользовавшись линейным порядком на нем. Таким образом, актуальна проблема: какие свойства динамическая система приобретает, а какие свойства остаются неизменными при замене отрезка более «сложным» графом? В главе 3 предложен прием, позволяющий редуцировать некоторые вопросы динамики отображения окружности к соответствующим вопросам отображения отрезка. Это позволило ответить на два поставленных в книге ([22], с. 227, 230) вопроса о сохранении на окружности S1 свойств предельного множества, известных в случае отрезка. Кроме того, здесь для отображений произвольных конечных графов доказана формула Блоха о том, что объединение всех предельных множеств есть асимптотический образ множества неблуждающих точек.

3. Сформулируем основные результаты диссертации.

Для произвольной точки х компактного метрического пространства X относительно эндоморфизма / определен инвариант — D-функция fx: N —>• N, обобщающий период периодической точки. Инвариант строится на основе разложения си-предельного множества точки х при п-й итерации /п. Показано, что для любой точки х функция fx принадлежит множеству Е (предложение 1.3) и что D-функция определяется ^-предельным множеством, когда оно минимально:

Предложение 1.5. Если для точки х £ X ее ш-предельное множество является минимальным множеством А С X, то D-функция точки х совпадает с D-функцией множества А.

Построен пример (пример 1.2) непрерывного отображения / отрезка I в себя и таких точек х, у G /, что их предельные множества совпадают с/) = /), но fx ф fy. Таким образом, условие минимальности предельного множества в предложении 1.5 существенно.

Инвариант типа периода, аналогичный D-функции точки, может быть построен с помощью Л-предельного множества. Установлена его связь с D-функцией (утверждение 1.1, замечание 1.8). Для отображений графов предложен другой вариант определения D-функции точки — псевдо D-функция. Модифицированный вариант обладает теми же свойствами.

Декомпозиционный идеал транзитивного отображения и /^-функция рекуррентной точки связаны согласно следующей теореме.

Теорема 1.1. Декомпозиционный идеал совпадает с областью значений D-функции точки х G X со всюду плотной орбитой, т.е. DI(f) = /X(N). Теорема 1.1 позволяет получить другое доказательство теоремы Бэнкса. Теорема I.A. Декомпозиционный идеал DI(f) является идеалом в решетке (N, -<).

Наличие «почти всех» D-функций установлено у отображения графа со свойством перемешивания.

Теорема II.2. Если отображение f : G —> G является перемешиванием и множество P(f) непусто, то у него имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Эта теорема является следствием двух утверждений ниже (/ J означает, что отрезок / накрывает отрезок J при g-й итерации).

Предложение II.1. Если f : G —» G является перемешиванием и множество P(f) непусто, то найдутся два непересекающихся отрезка М\ и

М2 таких, что Mi А Мь Mi Л М2 « М2 —^ М\ с (q, г) = 1.

Теорема II. 1. Если на G найдутся два непересекающихся отрезка Mi и М2 таких, что Mi A- Mi, Mi А- и М2 —^ Mi с (q, г) = 1, то у отображения f имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Следствие II.5. Транзитивная топологическая цепь Маркова имеет все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Определим частичные порядки на множестве N U Е. Для этого разобьем Е на счетное число подмножеств. Положим

Yi = {seE | s{2l) = (2Z, 2l) для всех I G N}, 0 < i < 00; Y^ = {s E E I s(2l • p) = 2l для всех I € N и всех нечетных р }; Y00 = {sG E\Y^ I s{21) = 2l для всех l еЩ.

Заметим, что множество Y£ состоит из одной функции, будем обозначать ее 200. Пусть

YP = {s <Е Е | s(p) =р}, ре N;

YP = Yi П YP, г € N U {0} U {00}, р £ N.

Через к • 2°° обозначим такую функцию s € Е, что выполнено в(2г • q) = 2г(к, q) для любого нечетного q и любого 0 ^ г < оо.

Порядки >-i и У2 определяются условиями

2*'(2к + 1) ^1,2 2>(2к + 3) Yj 2J+1(2m + 1) >-1,2 2°° 2J+1 >-1,2 2i для любых г, J ^ 0 и га, к > 0.

Порядки 2 совпадают с линейным порядком из работы [8]. Будем называть его порядком Шарковского - Е Сян Дуна.

Порядок при р > 2 в общем случае уже не является линейным, но содержит линейную часть из D-функций и натуральных чисел, кратных р. Это в точности порядок >-i, «умноженный» нар:

2J(2k + 1 )р 2* (2к + 3)р Ур Yf 2J+1(2m + 1 )р >-р Y& 2°°-рУрЯ+1р ур2>р для любых г, j ^ 0 и га, к > 0. Кроме того, для к £ р • N kypik + jp У \ Yp Yp Uр • N ур 1 для любых г, j > 0.

Для натуральных чисел порядок >~р совпадает с соответствующим порядком С.Балдвина, описанным выше.

Более наглядное представление о порядке ур дает рисунок 1, где изображены порядки >-з и >-4. Пусть

Jp{k) = {к} U {s G N U Е | k^ps}-, Jp(p.2°°) = {p.2°°}U{p-2n: n = 0,1,2,.}; J{oo) = {p-2n: n = 0, 1, 2, .}.

Обозначим через DF(f) множество периодов периодических точек и D-функций почти периодических, но не периодических точек, а через PDF(f) — множество периодов и псевдо D-функций точек с конечными и бесконечными ^-предельными множествами соответственно. Возможные множества DF(f) и PDF(f) для непрерывных отображений n-ода описывает

Теорема II.4. Если f : Хп —»• Хп непрерывное отображение п-oda Хп в себя, то множества DF(f) и PDF(f) совпадают и представляют собой конечное объединение Jp(kp) начальных отрезков в порядках У-р, р ^ п, для некоторых kp G {р- 200} U {оо} UN \ {2, 3, ., р— 1}. И обратно, любое вышеописанное множество является множеством PDF(f) для некоторого отображения f 6 С(Хп, Хп) с неподвижным центром.

Доказывается сформулированный результат редукцией с помощью «спектральной» теоремы Блоха (теорема II.С) к теореме Демина о сосуществовании почти периодических точек п-ода [7].

I 12 1

1 20

15 .

• ■

• ■ j y3 Y; rr 1

Порядок <1?

Порядок умноженный на 4 умноженный на 3 yi

12

I б I

3 I 1

Y4

Л- м

16

I 8 I

4 I 1

Рис. 1: Частичные порядки >~з (слева) и >-4 (справа).

Наличие «квазисопряжения» подмножества графа с топологической цепью Маркова обеспечивает

Теорема II.3. Пусть на ребре I С G (возможно петле) задана совокупность отрезков С — {/i, /2, ., In} с попарно непересекающимися внутренностями и обладающая свойством от каждой вершины определяемого ею графа Маркова есть путь в вершину, из которой идут по крайней мере два ребра. Пусть А — (0,1)-матрица, ассоциированная с С. Тогда существует такое замкнутое f-инвариантное подмножество X С U"=1/j, что системы (X, /1 X) и а) обладают общим топологическим фактором (£, а). Причем полусопряжения взаимнооднозначны за исключением счетного числа точек, на которых они двукратны.

Следующие результаты описывают сосуществование точек относительно введенных инвариантов в случае отображений окружности.

Теорема II.6. Предположим, что отображение f : S1 —» S1 таково, что 1 € П(/) и п £ П(/) для некоторого натурального п > 1. Тогда для множества псевдо D-функций PDF(f) выполнена, по крайней мере, одна из следующих ситуаций:

1) E\PDF(f) конечно, т.е. имеются все псевдо D-функции за исключением, быть может, конечного числа;

2) PDF(f) D J\{n), т.е. имеются все псевдо D-функции, стоящие правее п в порядке Шарковского-Е Сян Дуна.

Теорема II.9. Если у отображения f : Sl S1 степени 1 интервал вращения невырожден, то имеются все D-функции за исключением, быть может, конечного числа.

Связь между предельными множествами и интервалом вращения описывает

Теорема II.8. Существует такая точка х Е S1, что интервал вращения является образом предельного множества f) при функции вращения.

Объединение предельных точек u(f) = UX£gu(x, f) всех траекторий и множество неблуждающих точек связаны соотношением

Теорема III. 1. Для отображения f : G —> G графа G справедлива формула

Л = П /*(«(/))• fc^O

Следующая теорема позволяет редуцировать некоторые вопросы динамики отображений окружности к соответствующим вопросам отображений отрезка.

Теорема III.2. Пусть для f : Sl —> S1 множество P(f) непусто. Если неблуждающая точка с не лежит в замыкании периодических точек, то у нее найдется такая окрестность U, что отрезок U является периодическим и точка с принадлежит £1{д), где g — сужение fn на U, а п — период U.

Методы исследования. В работе используются методы теории континуумов и теории линейно упорядоченных топологических пространств. Использованы также методы символической динамики.

Апробация диссертации. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова, семинар «Меры, размерность и топологическая динамика» под рук. проф. В.В. Федорчука, проф. С.А. Богатого, доц. Ю.В. Садовничего, семинар «Эргодическая теория и динамические системы» под рук. акад. Д.В. Аносова, проф. A.M. Степина, а также на конференции молодых ученых МГУ (2004 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [33], [34] и [35].

В заключение приношу глубокую благодарность профессору С.А. Богатому за научное руководство и всестороннюю помощь в подготовке работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Редкозубов, Вадим Витальевич, 2005 год

1. Биркгоф Г. Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

2. Блох A.M. О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. 1 // Теория функций, функциональный анализ и их прил. 1986. Т.46, с. 8-18.

3. Блох А. М. О транзитивных отображениях одномерных разветвленных многообразий. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 3-9.

4. Богатый С. А. Периодические точки отображений отрезка. Общая топология. Отображения топологических пространств. Сборник под ред. В. В. Федорчука и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. с.3-12.

5. Верейкина М. Б. Поведение решений разностных уравнений и почти возвращающиеся точки динамических систем. В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 20-24.

6. Демин А. И. Стабилизатор рекуррентной точки // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1994. №6. с.3-6.

7. Демин А. И. Сосуществование периодических и почти периодеческих орбит непрерывных отображений триода в себя. // Вестник Моск. унта, сер.1, математика, механика. 1996. №3. с.84-87.

8. ЕСяндун Минимальные множества и сосуществование почти периодических точек преобразований отрезка // Доклады АН СССР, т.309. №5. 1989. с.1049-1051.

9. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

10. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. т.141. №2. с.343-374.

11. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. №1. с.61-71.

12. Шарковский А. Н. Притягивающие множества, не содержащие циклов // Украинский математический журнал. 1968. №1. с.136-142.

13. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Наукова думка, 1986.

14. Энгельгинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

15. AlsedaLL, Llibre J. A note on the set of periods for continuous maps of the circle which have degree one // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. v.93, №1, p. 133-138.

16. Auslander J., Katznelson Y. Continuous maps of the circle without perioic points // Israel. J. Math. 1979. v.32, p. 375-381.

17. Bae J., Yang K. u;-limit sets for maps of the circle // Bull. Korean Math. Soc. 1988. v.25, p. 233-242.

18. Baldwin 5., An extension of Sharkovskii's theorem to n-od // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1991. v.ll, p.249-271.

19. Banks J. Regular periodic decompositions for topologically transitive maps 11 Ergod. Th. Dynam. Sys. 1997. v.17, p. 505-529.

20. Bernhardt C. Periodic orbits of continuous mappings of the circle without fixed points// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1981. v.l, p. 413-417.

21. Block L. Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. v.82, p. 481-486.

22. Block L.S., Coppel W.A. Dynamics in One Dimension. N.Y.: Springer-Verlag, 1992.

23. Block L., Guckenheimer J., Misiurevicz M., Young L. S. Periodic points and topological entropy of one dimensional maps. Lecture notes in math. 1980. v.819, p.18-34.

24. Blokh A. M. Spectral decomposition, periods of cycles and a conjecture of M. Misiurewicz for graph maps. Lecture notes in math. 1992. v.1514, p.24-31.

25. Evans M., Humke P., Lee Ch., O'Malley R. Characterizations of turbulent one-dimensional mappings via cu-limit sets// Trans. Amer. Mathr Soc. 1991. v.326, №1, p. 261-280.

26. Franks J., Misiurevicz M. Cycles for disk homeomorphisms and thick trees. Contemporary Mathematics. 1993. v.152, p. 69-139.

27. Hedlund G. A. Sturmian minimal sets // Amer.J. of Math. Sos. 1944. v.66, p.605-620.

28. ItoR. Rotation sets are closed // Math. Proc. Cambridge Philos. Sos. 1981. v.89, p. 107-111.

29. Llibre J., Misiurewicz M. Horseshoes, entropy and periods for graph maps // Topology 1993. v.32, №3, p. 649-664.

30. Misiurevicz M. Periodic points of maps of degree one of a circle // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1982. v.2, p. 221-227.

31. Nitecki Z. Topological dynamics on the interval. Progress in Math. 1982. v.21, p. 1-73.

32. Редкозубое В. В. Предельные множества отображений окружности // Матем. заметки. 2005 (принято к печати).

33. Редкозубое В. В. Центр и глубина центра непрерывных отображений дерева // Тезисы докл. XXVI конф. молодых ученых МГУ. Москва, апрель 2004, с. 100-101.