Тензорные сети и машинное обучение для динамических и стационарных квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Лучников Илья Андреевич
Лучников Илья Андреевич
кандидат наук
2020
- Специальность ВАК РФ01.04.02
- Количество страниц 144
Оглавление диссертации кандидат наук Лучников Илья Андреевич
Введение
Глава 1. Сложность моделирования динамики открытых
квантовых систем: подход на основе тензорных сетей
1.1 Тензорные сети
1.1.1 Компактное представление квантовых состояний, разложение Шмидта
1.1.2 Операции над тензорами и их диаграммное представление
1.1.3 Матричные разложения
1.1.4 Тензорные сети
1.1.5 Каноническая форма тензорных сетей
1.1.6 Выбор архитектуры тензорной сети
1.1.7 Краткий обзор основных архитектур тензорных сетей и алгоритмов для работы с ними
1.2 Описание динамики открытых квантовых систем на языке тензорных сетей
1.2.1 Подходы к описанию открытых квантовых систем
1.2.2 Тензорные сети во временной развертке
1.2.3 Глубина памяти резервуара
1.2.4 Сравнение временной сети резервуара с функционалом влияния и тензором процесса
1.2.5 Временная сеть эффективного резервуара
1.2.6 Оценка размерности эффективного резервуара
1.2.7 Пример открытой квантовой динамики с эффективным резервуаром
1.2.8 Применение оценки размерности эффективного резервуара на практике
1.3 Заключение к первой главе
Глава 2. Построение эффективной модели открытой квантовой
системы: подход на основе машинного обучения
Стр.
2.1 Мотивировка и постановка задачи
2.2 Обучение марковского вложения
2.2.1 Логарифмическое правдоподобие и его градиент
2.2.2 Алгоритм обучения марковского вложения
2.2.3 Численная проверка алгоритма обучения марковского вложения
2.2.4 Замечания о сходимости алгоритма обучения
2.2.5 Замечание о предсказании отклика на внешнее воздействие
2.3 Сравнение обучения марковского вложения и томографии процесса
2.3.1 Байесовский подход к задаче обучения марковского вложения
2.3.2 Сравнение ошибки предсказания обучения марковского вложения и ошибки предсказания томографии процесса
2.4 Заключение ко второй главе
Глава 3. Квантовая динамика в стробоскопическом пределе
3.1 Мотивировка и постановка задачи
3.2 Динамика системы под действием квантовых селективных измерений
3.3 Эффективные динамические уравнения в стробоскопическом пределе для измерений единичного ранга
3.4 Эффективные динамические уравнения в стробоскопическом пределе для измерений произвольного ранга
3.5 Заключение к третьей главе
Глава 4. Вариационный автокодировщик для описания
многочастичных квантовых систем
4.1 Мотивировка и постановка задачи
4.2 Генеративная модель как квантовое состояние
4.3 Квантовая модель Изинга в поперечном поле
4.4 Вариационный автокодировщик
Стр.
4.5 Численные результаты: сравнение эффективной модели на основе вариационного автокодировщика с численно точным описанием
4.6 Заключение к четвертой главе
Заключение
Список сокращений и условных обозначений
Список рисунков
Список таблиц
Приложение А. Программирование тензорных сетей
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК
Тензорные методы в задачах машинного обучения2021 год, кандидат наук Новиков Александр Витальевич
Динамика открытых оптических квантовых систем в режимах сильной и слабой связи2024 год, кандидат наук Вовченко Иван
Теория спектроскопических переходов для квантовой системы с запутыванием2013 год, кандидат наук Стадная, Надежда Павловна
Динамический хаос, бифуркации и локализация в математических моделях открытых квантовых систем2022 год, кандидат наук Юсипов Игорь Ильясович
Ускорение, сжатие и усовершенствование нейросетевых алгоритмов классификации и распознавания объектов на изображении и в видеопотоке.2023 год, кандидат наук Пономарёв Евгений Сергеевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тензорные сети и машинное обучение для динамических и стационарных квантовых систем»
Введение
Актуальность работы. Современная теоретическая физика предоставляет большое количество инструментов для описания сложных природных явлений. Практически для любого природного явления существует упрощенная физическая модель, которая допускает точное решение. На практике такие точно решаемые модели очень полезны, т.к. позволяют качественно описать поведение любой природной системы. Если качественного, идеализированного описания недостаточно, точно решаемая модель может стать отправной точкой для более глубокого изучения. Для уточнения описания можно использовать разложение по малому параметру, который отличает реальную систему от идеализированной. Такой универсальный подход используется во всех разделах теоретической физики. В квантовой механике все основные результаты опираются именно на такой подход. Существует большое количество точно решаемых моделей квантовой механики, таких как модель атома водорода, модель квантового осциллятора, модели Бозе- и Ферми-газа без взаимодействия, одномерная квантовая модель Гейзенберга и некоторые другие модели квантовых магнетиков, модель Вайскопфа-Вигнера для распада двухуровневой системы, модели открытой квантовой динамики с генератором Горини-Косса-ковского-Сударшана-Линдблада и многие другие модели, которые образуют основу качественного понимания квантовой механики динамических и стационарных систем. При необходимости описать систему с большей точностью можно воспользоваться теорией возмущения, квазиклассическим приближением или любым другим разложением по малому параметру, отличающему реальную систему от точно решаемой [33; 137].
Однако зачастую существует необходимость описать квантовую систему, которая не допускает точного решения и далека от всех других точно решаемых моделей (не имеет малого параметра). Такая задача часто возникает на практике, когда система не имеет симметрий и включает в себя много компонент, которые сильно взаимодействуют друг с другом. В этом случае прибегают к численному исследованию задачи. Основное отличие численного подхода от аналитического заключается в том, что задачу заменяют на близкий к ней дискретный аналог и используют арифметику с плавающей точкой, что полностью разрушает аналитические свойства задачи. Такой подход имеет как
преимущества, так и недостатки. Основное преимущество заключается в том, что такой подход значительно более универсальный и может быть применен к гораздо более широкому классу задач. Основной недостаток заключается в невозможности установить аналитическую связь между параметрами и свойствами задачи (вывести закон), исследовать асимптотики задачи, получить глубокое качественное понимание моделей и явлений. При этом стандартные методы численного анализа (такие как точная диагонализация гамильтониана) не применимы для систем, состоящих из большого числа частиц. Эффективный численный метод должен опираться на физическую структуру задачи (локальность гамильтониана взаимодействия, общие свойства спектра гамильтониана, свойства корреляционных функций квантового окружения). Поэтому разработка эффективных численных методов, опирающихся на физическую структуру задачи, является важным направлением исследований [95]. Одним из широко распространенных инструментов численного анализа многочастичных квантовых систем являются тензорные сети, структура которых учитывает физические особенности задачи. Активное развитие численных методов на основе тензорных сетей началось в 1992 году [14], когда был разработан метод "группа перенормировок матрицы плотности", который позволяет находить основное состояние некоторых многочастичных квантовых систем. На данный момент существует большое количество методов на основе тензорных сетей, которые используются для описания свойств основного состояния [52; 86; 112], динамики во времени [38; 153], квантовых фазовых переходов [62; 65], тепловых состояний [46] многочастичных квантовых систем. Важной задачей является определение границ применимости тензорных сетей к различным задачам квантовой механики и создание новых архитектур на основе тензорных сетей для решения ранее неразрешимых задач.
Другой класс задач, важный для практики и требующий эффективных численных методов, — это задачи о расчете немарковской динамики квантовых систем, взаимодействующих с квантовым окружением. Наиболее часто в литературе рассматриваются задачи о взаимодействии квантовой системы с резервуаром невзаимодействующих квантовых осцилляторов. Для решения таких задач предложено большое количество численных методов, например, метод иерархических уравнений движения (hierarchical equations of motion) [13], изменяющихся во времени операторов в виде матричного произведения (time-evolving matrix product operators) [160], метод одетых квантовых траекторий
(dressed quantum trajectories) [195] и многие другие. Так как для моделирования динамики квантовой системы, взаимодействующей с окружением, важно лишь действие окружения на систему, а структура самого окружения не важна, существуют методы, подбирающие эффективное окружение квантовой системы, которое проще моделировать численно [193]. Такое эффективное окружение оказывает идентичное воздействие на систему, хотя и отличается от оригинального окружения. Этот подход тесно связан с подходом марковского вложения для немарковской квантовой динамики [110], который позволяет сводить немарковскую динамику к марковской, расширяя пространство состояний квантовой системы и рассматривая динамику в новом, расширенном пространстве.
На практике часто встречается еще более сложная задача, которую иногда называют проблемой идентификации модели [98]. Применительно к квантовой механике, примерами проблемы идентификации являются реконструкция операторов плотности и квантовых каналов по результатам измерений (томография) [66; 73; 79; 205], восстановление гамильтониана многочастичной системы по результатам локальных измерений [181], определение структуры квантового окружения по результатам измерений, произведенных над системой [176]. Методы для решения такого типа задач часто основываются на современных архитектурах для анализа данных, таких как нейронные сети. Например, для восстановления состояния многочастичной системы по данным, собранным с экспериментальной установки, можно использовать генеративные модели, которые часто используют для синтеза изображений [171; 198]. Для восстановления модели немарковской квантовой динамики можно использовать рекуррентные нейронные сети [169], которые используются для анализа временных рядов. Создание новых методов идентификации моделей в квантовой механике является важной задачей, в частности для построения алгоритмов оптимального управления, которые могут использоваться для борьбы с декогерентизацией, приготовления запутанных многочастичных состояний, обработки и передачи квантовой информации. Развитие новых методов оптимального управления существующими квантовыми регистрами является необходимым шагом для повышения их эффективности и является вызовом, требующим объединения методов теоретической физики (для построения адекватной модели эксперимента, учитывающей специфику задачи) и современных методов обработки данных (тензорные и нейронные сети, байесовские методы машинного обучения, методы оптимизации).
Решение задач идентификации модели и разработки новых методов описания квантовых систем на основе тензорных и нейронных сетей определяет актуальность работы.
Целью данной работы является разработка новых, применимых к физическому эксперименту методов описания открытой квантовой динамики и стационарных многочастичных квантовых систем на основе тензорных сетей и машинного обучения.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1. нахождение размерности марковского вложения для немарковской динамики квантовой системы на основе параметров гамильтониана взаимодействия между системой и окружением, а также свойств корреляционных функций окружения;
2. разработка алгоритма восстановления генератора, определяющего динамику марковского вложения для немарковской динамики квантовой системы, по результатам последовательных однократных измерений над системой;
3. вывод эффективных уравнений для квантовой динамики составной системы, часть которой подвергается одинаковым, повторяющимся с периодом т, проективным измерениям;
4. построение вариационного автокодировщика для моделирования исходов измерений над многочастичной квантовой системой и использование этой генеративной модели для расчета корреляционных функций спиновых цепочек.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Немарковская динамика открытой квантовой системы допускает марковское вложение с размерностью эффективного окружения
^ЕК « ехр(2пуТ[1 - ^(ут)]), (1)
где Т — характерное время убывания корреляционных функций окружения, п — количество различных степеней свободы системы, участвующих во взаимодействии с окружением, т-1 — характерная частота изменения корреляционных функций резервуара, у — константа взаимодействия окружения и системы.
2. Результаты последовательных однократных проективных измерений над открытой квантовой системой позволяют установить вид генератора С соответствующего марковского вложения, действующего в расширенном пространстве системы и эффективного окружения. Генератор С восстанавливается алгоритмом, максимизирующим функцию правдоподобия для исходов измерений. Восстановленная динамика матрицы плотности системы дается выражением
ps(t) = Tier [exp (tC) Ps+er(0)] , (2)
где ER обозначает степени свободы эффективного окружения.
3. Последовательные проективные измерения над вспомогательной (второй) частью двусоставной квантовой системы с гамильтонианом Н =
Aj 0 Bj, повторяющиеся с периодом т и сопровождающиеся наблюдением одинаковых исходов, отвечающих проектору Р, вызывают нетривиальную динамику в подпространстве 0 suppP, где — пространство основной (первой) части составной системы. В пределе ут ^ 0, у2т ^ 2 = const динамика системы в целом задается эффективным неэрмитовым гамильтонианом
Heff = Hi - 1Н2, (3)
Hi = Y £ Ai 0 Gi, (4)
j
H2 = 2 ^ AjAk 0 (Gjk - GjGk), (5)
jk
где Gj = PB3 P, Gjk = PB3 BkP.
4. Вариационный автокодировщик, обученный на конечном наборе исходов информационно полных измерений над многочастичной квантовой системой, позволяет генерировать неограниченно большую выборку исходов измерений, удовлетворяющих той же статистике, что и истинные результаты измерений. Сгенерированные вариационным автокодировщиком выборки позволяют рассчитать корреляционные функции многочастичной квантовой системы и средние значения локальных наблюдаемых.
Научная новизна:
1. Впервые показано, что действие окружения на динамику квантовой системы представляется в виде тензорной сети (временная сеть резервуара), аппроксимация которой с заданной точностью определяет размерность эффективного окружения в марковском вложении.
2. Впервые построен алгоритм для предсказания немарковской квантовой динамики по набору исходов последовательных однократных измерений над системой, позволяющий предсказывать отклик системы на внешний управляющий сигнал.
3. Впервые введена концепция стробоскопического предела, позволяющая получать эффективное описание динамики квантовой системы, прерываемой проективными измерениями.
4. Впервые вариационный автокодировщик применен для моделирования исходов измерений над многочастичной квантовой системой. Предложенный подход заключается в том, что для обучения вариационного автокодировщика используется конечный набор исходов измерений над многочастичной квантовой системой в неизвестном состоянии, а обученный вариационный автокодировщик способен генерировать произвольное число новых исходов измерений, которые используются для уточнения статистических оценок корреляционных функций.
Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты обладают большим практическим потенциалом. Алгоритм для восстановления марковского вложения немарковской квантовой динамики на основе результатов последовательных однократных измерений над системой может быть использован для создания эффективной модели квантовой системы на основе экспериментальных данных. В свою очередь, эффективная модель может быть использована для реализации оптимального контроля над квантовой системой [48; 72; 190; 191]. Такая схема имеет большую универсальность и может быть использована в разных практических задачах, таких как управление центрами окраски в алмазах, управление холодными ионами и атомами в оптических ловушках, управление сверхпроводящими кубитами и т.д. [67; 129; 174; 184; 186]. Оценка достаточной размерности эффективного резервуара может быть использована не только для определения гиперпараметров алгоритма восстановления марковского вложения, но и для определения параметров некоторых других численных алгоритмов [97; 160] для моделирования немарковской
квантовой динамики. Нелинейная динамика в стробоскопическом пределе, индуцированная последовательными измерениями, также представляет интерес с точки зрения практики, например, для управления квантовыми системами могут быть использованы нелинейные эффекты, вызванные измерениями. Схема восстановления состояния многочастичной квантовой системы с использованием вариационного автокодировщика может быть использована для считывания квантового состояния с аналогового квантового устройства, например, с квантового симулятора [189]. Практическая ценность результатов, описанных в диссертации, подтверждается цитированиями российских и зарубежных коллег.
Апробация работы. Основные результаты работы прошли апробацию на следующих всероссийских и международных конференциях: 48 Symposium on Mathematical Physics (г. Торунь, Польша, 10 - 12 июня 2016 г.), 13th Central European Quantum Information Processing Workshop (г. Вальтице, Чехия, 16 -19 июня 2016 г.), Уфимская международная математическая конференция (г. Уфа, 27 - 30 сентября 2016 г.), конференция "Новые направления в теории квантовых и сложных систем" (г. Москва 3-7 октября 2016 г.), Международная конференция по теории функций, посвящённая 100-летию А. Ф. Леонтьева (г. Уфа, 24 - 27 мая 2017 г.), 4th International Conference on Quantum Technologies (г. Москва, 12 - 16 июля 2017 г.), Probability Theory, Mathematical Statistics and its Applications (г. Казань, 7-10 ноября 2017 г.), 15-я Международная конференция по квантовой оптике и квантовой информации (г. Минск, Республика Беларусь, 20 - 23 ноября 2017), 2nd Physics Informed Machine Learning (г. Санта-Фе, США, 21 - 25 января 2018 г.), 14th Biennial IQSA conference Quantum Structures 2018 (г. Казань, 16 - 20 июля, 2018 г.), MIPT-PhysTech-Quant 2018 (г. Долгопрудный, 9-15 сентября 2018 г.), 61-я Всероссийская научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 19 - 25 ноября 2018 г.), Machine Learning for Quantum Design (г. Ватерлоо, Канада, 8-12 июля 2019 г.), 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 18 - 23 ноября 2019 г.).
Личный вклад. Все теоретические результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Основная часть программного кода для алгоритма восстановления марковского вложения и восстановления состояния многочастичной квантовой системы при помощи вариационного автокодировщика написана автором самостоятельно. Задача о стробоскопическом пределе квантовой динамики была поставлена научным руководителем. Постановка
остальных задач была предложена автором и обсуждена с научным руководителем.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных изданиях [209—212], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК.
Благодарности. В первую очередь хочу выразить свою признательность моему научному руководителю С.Н. Филиппову за всестороннюю поддержку, за многочисленные долгие обсуждения, в ходе которых ко мне приходило понимание различных аспектов физики и математики, за превосходное научное руководство. С.Н. Филиппов показал мне, насколько важно внимание к деталям в работе ученого, насколько важно качество выполненной работы, чего до работы с С.Н. Филипповым я не осознавал. С.Н. Филиппов привил мне любовь к строгой математике и показал ее важность в работе физика-теоретика. Благодаря научному руководству С.Н. Филиппова мне удалось развить базовые навыки систематической работы над большими проектами, которых ранее я не имел. Увлеченность своим делом, профессионализм, целеустремленность и мудрость лучше всего характеризуют С.Н Филиппова и служат примером для меня.
Я благодарен преподавателям МФТИ, которые привили мне любовь к физике и математике, в особенности Л.А. Мельниковскому, Д.А. Чубичу, А.М. Бишаеву, А.В. Гецу, М.И. Карлову, и многим другим.
Особую благодарность хочу выразить руководителю моего бакалаврского диплома А.В. Акимову, который познакомил меня с экспериментальной квантовой оптикой.
Хочу выразить благодарность своим соавторам и коллегам из Сколковского института науки и технологий Х. Уэрдану и А.А. Рыжову и из МФТИ С.В. Винцкевичу и Д. А. Григорьеву за продуктивное сотрудничество и поддержку.
Хочу также выразить благодарность наставникам, которые готовили меня к олимпиадам по физике и математике в школьные годы, а именно М.В. Гырдымову, К.А. Коханову, Л.И. Василевсокой, Е.И. Шехиревой.
Хочу выразить благодарность своим друзьям за постоянную поддержку.
Самые главные слова благодарности я хочу адресовать моим родителям, моей бабушке и моей жене, без которых эта диссертация не была бы написана. Спасибо, что всегда в меня верили и были рядом.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Полный объём диссертации составляет
144 страницы, включая 60 рисунков и 1 таблицу. Библиографические записи в списке литературы оформлены согласно ГОСТ 7.1 и упорядочены в хронологическом порядке согласно ГОСТ Р 7.0.11-2011. Список литературы содержит 212 наименований.
Глава 1. Сложность моделирования динамики открытых квантовых систем: подход на основе тензорных сетей
1.1 Тензорные сети
1.1.1 Компактное представление квантовых состояний, разложение
Шмидта
При решении многочастичных задач в квантовой механике остро встает проблема компактного описания квантовых систем. Эта проблема вызвана экспоненциальным ростом размерности гильбертова пространства состояний с ростом числа подсистем. Например, вектор состояния цепочки спинов 1/2, состоящей из 100 спинов, может быть записан в следующей форме:
|ф> = Е ^ь...,Н00 К1> ^ • • • ^ |^100> , (О)
где или Состояние |ф> задается 2100 коэффициентами. Хранение та-
кого массива комплексных чисел с использованием двойной точности (каждое комплексное число занимает 128 бит в памяти компьютера) требует примерно 1.8 • 1019 ТБ памяти компьютера. Помочь решить данную проблему может сжатое представление для набора коэффициентов ф^ь...^100. В качестве первого примера сжатия квантового состояния рассмотрим простую двусоставную систему с гильбертовым пространством состояний 'Н1 0 где = М,
= N и с волновым вектором
|Ф> = Е ^ > • (1.2)
У
Здесь {"фу }г=1;...;м,^'=1,...,^ комплекснозначная матрица М х N. Сжатие квантового состояния тесно связано с понятием квантовой запутанности [70]. Будем говорить, что чистое состояние не является запутанным, если его вектор состояния представим в виде |ф> = |ф> 0 |х> или ф^ = ф^', в противном случае состояние будем называть запутанным. Здесь и далее понятие запутанности рассматривается только для конечномерных квантовых систем, однако исследование запутанности в бесконечномерных системах является активной областью
исследований [34; 47]. В случае, если состояние не запутано, волновую функцию можно хранить в памяти компьютера в виде двух векторов ф^ и Xj, что означает хранение М + N комплексных чисел в противовес хранению MN комплексных чисел для матрицы ф^ в случае запутанного состояния. Это означает, что незапутанное состояние значительно легче описать, чем состояние общего вида. Известны различные меры запутанности между подсистемами [63; 115]. Например, взаимная информация может служить мерой запутанности между подсистемами, если полная система находится в чистом состоянии. Взаимная информация определяется следующим выражением [92]:
I(а; b) = S(да) + 5(дъ) - S(даЬ), (1.3)
здесь S(д) = -Trg log д - энтропия фон Неймана [92], даъ - матрица плотности всей системы, да и дъ - матрицы плотности подсистем. Здесь и далее log обозначает натуральный логарифм. Энтропию системы можно трактовать, как средний объем информации, которую мы не знаем о системе. Взаимную информацию мы можем трактовать, как средний объем информации, описывающий взаимосвязь между подсистемами. Для двусоставной системы в чистом состоянии энтропия всей системы равна 0. Половину взаимной информации для чистой двусоставной системы будем называть энтропией запутанности и определять следующим выражением [74]:
I (ф) = (5 Ы + S (дв ))/2 = 5 Ы = S (ев), (1.4)
здесь мы воспользовались тем фактом, что S(дл) = S(дв) в случае чистого состояния, так как спектры частичных матриц плотности одинаковы [88]. Энтропия запутанности определяет допустимую степень сжатия квантового состояния. Рассмотрим разложение Шмидта волновой функции [33], которое используется для анализа запутанности между квантовыми подсистемами [43; 50]. Волновую функцию двусостовной системы можно представить в следующем виде (для определенности положим, что размерность М первого подпространства больше чем размерность N второго подпространства):
М N N
|Ф> = ^^Фч1г)®1з> = ^>® |oä), (1.5)
i=i j=i k=i
здесь {|ak>}{=1 - ортонормированный набор векторов из первого пространства, {|аk>}N=1 - ортонормированный набор векторов из второго пространства,
{Л,}к=1 набор действительных неотрицательных чисел (числа Шмидта). Такое разложение существует и единственно с точностью до унитарно-диагонального преобразования, если все числа Шмидта разные. По своей сути разложение Шмидта является сингулярным разложением матрицы ф^. Пользуясь разложением Шмидта частичные матрицы плотности подсистем двусоставной системы можно выписать в следующем виде:
Qi = Е ^к > {*кI , к=1
N
Q2 = ^ ^к >{^к I • (1-6)
При этом видно, что энтропии первой и второй подсистем удовлетворяют выражению S(д1) = S) = — ^\2к log \2к, что доказывает равенство энтропий подсистем в случае, когда полная система находится в чистом состоянии. Теперь перейдем к сжатию квантового состояния. Осуществлять сжатие квантового состояния можно путем понижения ранга матрицы ф^ [1]. Оптимальная процедура понижения ранга матрицы ф^ основывается на сингулярном разложении и эквивалентна удалению слагаемых из разложения Шмидта с минимальными числами Шмидта. Необходимо подобрать такой ранг матрицы, для которого достигается наибольшая степень сжатия, но степень запутанности между подсистемами, или ,другими словами, энтропия запутанности, сильно не уменьшается. Если матрица ф^- имеет ранг г, то соответствующая энтропия запутанности не превосходит Imax = log(r). Это означает, что если состояние двусоставной системы имеет энтропию запутанности I, то мы не можем выбрать ранг меньше rmin = exp(/) без значительной потери точности [82]. Эта формула дает критерий подбора ранга, который хорошо работает на практике. Схема сжатия квантового состояния, рассмотренная здесь, имеет строгую математическую формулировку [55].
1.1.2 Операции над тензорами и их диаграммное представление
Многочастичные волновые функции, матрицы плотности, операторы эволюции, квантовые каналы очень удобно представлять в виде многомерных тензоров. В связи с этим, в дальнейшем мы будем развивать формализм для многомерных тензоров, который может быть применен для любых из перечисленных объектов. В данном разделе мы рассмотрим основные операции над тензорами и удобный язык для работы с ними. В численной линейной алгебре тензор обычно рассматривают просто как многомерную таблицу [85; 130], однако, для лучшего понимания операции деформации тензора мы немного формализуем данное определение. Вопрос о том, как тензоры ведут себя при замене координат нами подниматься не будет. Тензором назовем два массива чисел, для которых выполняются следующие условия:
— первый массив, который мы будем называть массивом элементов тензора, содержит N комплексных чисел {ф,;с фиксированным порядком,
— второй массив чисел, который мы будем назвать формой тензора (в англоязычсной литературе эЬаре)[85], содержит М натуральных чисел
с фиксированным порядком, таких, что П1 81 = N. Число М назовем рангом тензора. Такое, на первый взгляд очень странное, определение легко интерпретировать. Первый массив - это просто множество элементов тензора. Второй массив задает размерность тензора (пространственные размеры многомерной таблицы, которой является тензор). Или, иными словами, второй массив задает индексацию тензора. Первое число из формы тензора показывает, на сколько подмассивов одинаковой длины нужно разбить массив элементов тензора. Второе число из формы тензора показывает, на сколько подмассивов одинаковой длинны нужно разбить каждый подмассив из предыдущего шага и т. д. Последнее число из формы тензора определяет количество элементов в последнем подмассиве. Форму тензора можно интерпретировать и как правило расставления скобок в массиве элементов. На рисунке 1.1 показана графическая интерпретация этого определения. Очевидно, что условие П^ 1 Si = N должно выполняться, в противном случае форма тензора будет определена некорректно. Индексация элементов осуществляется следующим образом: первый индекс
Похожие диссертационные работы по специальности «Теоретическая физика», 01.04.02 шифр ВАК
Математические модели квантовых оптических каналов2021 год, кандидат наук Фалеева Мария Петровна
Алгоритмы и применения тензорных разложений для численного решения многомерных нестационарных задач2014 год, кандидат наук Долгов, Сергей Владимирович
Немарковская теория релаксации спиновых моментов электронов, взаимодействующих со случайными полями в вакууме и конденсированных средах2013 год, кандидат наук Петров, Дмитрий Алексеевич
Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем2008 год, доктор физико-математических наук Амосов, Григорий Геннадьевич
Тензорные методы аппроксимации негладких функций многих переменных для задач численного моделирования2025 год, кандидат наук Бойко Алексей Игоревич
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лучников Илья Андреевич, 2020 год
Список литературы
1. Eckart, C. The approximation of one matrix by another of lower rank [Текст] / C. Eckart, G. Young // Psychometrika. — 1936. — Vol. 1, no. 3. — P. 211-218.
2. Bhattacharyya, A. On a measure of divergence between two multinomial populations [Текст] / A. Bhattacharyya // Sankhya: the Indian Journal of Statistics. - 1946. - P. 401-406.
3. Nakajima, S. On quantum theory of transport phenomena: steady diffusion [Текст] / S. Nakajima // Progress of Theoretical Physics. — 1958. — Vol. 20, no. 6. - P. 948-959.
4. Zwanzig, R. Ensemble method in the theory of irreversibility [Текст] / R. Zwanzig // The Journal of Chemical Physics. — 1960. — Vol. 33, no. 5. — P. 1338-1341.
5. Sudarshan, E. C. G. Stochastic Dynamics of quantum-mechanical systems [Текст] / E. C. G. Sudarshan, P. M. Mathews, J. Rau // Physical Review. — 1961. - Vol. 121. - P. 920-924.
6. Rau, J. Relaxation phenomena in spin and harmonic oscillator systems [Текст] / J. Rau // Physical Review. - 1963. - Vol. 129, no. 4. - P. 1880.
7. Choi, M.-D. Completely positive linear maps on complex matrices [Текст] / M.-D. Choi // Linear Algebra and its Applications. — 1975. — Vol. 10, no. 3. - P. 285-290.
8. Gorini, V. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems [Текст] / V. Gorini, A. Kossakowski, E. C. G. Sudarshan // Journal of Mathematical Physics. - 1976. - Vol. 17, no. 5. - P. 821-825.
9. Lindblad, G. On the generators of quantum dynamical semigroups [Текст] / G. Lindblad // Communications in Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 48, no. 2. - P. 119-130.
10. Misra, B. The Zeno's paradox in quantum theory [Текст] / B. Misra, E. G. Sudarshan // Journal of Mathematical Physics. — 1977. — Vol. 18, no. 4. — P. 756-763.
11. Van Loan, C. F. Matrix computations [Текст] / C. F. Van Loan, G. H. Golub. — Johns Hopkins University Press, 1983. — P. 694.
12. Numerical recipes [Текст]. Vol. 3 / W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukol-sky, W. T. Vetterling, [et al.]. — Cambridge University Press, Cambridge, 1989. - P. 1256.
13. Tanimura, Y. Nonperturbative expansion method for a quantum system coupled to a harmonic-oscillator bath [Текст] / Y. Tanimura // Physical Review A. - 1990. - Vol. 41, no. 12. - P. 6676.
14. White, S. R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups [Текст] / S. R. White // Physical Review Letters. - 1992. - Vol. 69. -P. 2863-2866.
15. Stochastic wave-function approach to non-Markovian systems [Текст] /
A. Imamoglu [et al.] // Physical Review A. — 1994. — Vol. 50, no. 5. — P. 3650.
16. Braginsky, V. B. Quantum measurement [Текст] / V. B. Braginsky, F. Y. Khalili. — Cambridge University Press, 1995. — P. 212.
17. Makri, N. Tensor propagator for iterative quantum time evolution of reduced density matrices. II. Numerical methodology [Текст] / N. Makri, D. E. Makarov // The Journal of Chemical Physics. - 1995. - Vol. 102, no. 11. - P. 4611-4618.
18. Nishino, T. Corner transfer matrix renormalization group method [Текст] / T. Nishino, K. Okunishi // Journal of the Physical Society of Japan. — 1996. - Vol. 65, no. 4. - P. 891-894.
19. Audretsch, J. Continuous fuzzy measurement of energy for a two-level system [Текст] / J. Audretsch, M. Mensky // Physical Review A. — 1997. — Vol. 56, no. 1. - P. 44.
20. Chuang, I. L. Prescription for experimental determination of the dynamics of a quantum black box [Текст] / I. L. Chuang, M. A. Nielsen // Journal of Modern Optics. - 1997. - Vol. 44, no. 11/12. - P. 2455-2467.
21. Garraway, B. Nonperturbative decay of an atomic system in a cavity [Текст] /
B. Garraway // Physical Review A. - 1997. - Vol. 55, no. 3. - P. 2290.
22. Feynman, R. P. Statistical mechanics: a set of lectures [Текст] / R. P. Feyn-man. - 1998.
23. Feynman, R. P. The theory of a general quantum system interacting with a linear dissipative system [Текст] / R. P. Feynman, F. Vernon Jr // Annals of Physics. - 2000. - Vol. 281, no. 1/2. - P. 547-607.
24. Kofman, A. Acceleration of quantum decay processes by frequent observations [Текст] / A. Kofman, G. Kurizki // Nature. - 2000. - Vol. 405, no. 6786. -P. 546.
25. Audretsch, J. Sequence of unsharp measurements enabling a real-time visualization of a quantum oscillation [Текст] / J. Audretsch, T. Konrad, A. Scherer // Physical Review A. - 2001. - Vol. 63, no. 5. - P. 052102.
26. Facchi, P. From the quantum Zeno to the inverse quantum Zeno effect [Текст] / P. Facchi, H. Nakazato, S. Pascazio // Physical Review Letters. — 2001. - Vol. 86, no. 13. - P. 2699.
27. Fischer, M. Observation of the quantum Zeno and anti-Zeno effects in an unstable system [Текст] / M. Fischer, B. Gutiérrez-Medina, M. Raizen // Physical Review Letters. - 2001. - Vol. 87, no. 4. - P. 040402.
28. Khalili, F. Y. Quantum experiments with macroscopic mechanical objects [Текст] / F. Y. Khalili // Optics and Spectroscopy. - 2001. - Vol. 91, no. 4. - P. 542-550.
29. Korotkov, A. N. Selective quantum evolution of a qubit state due to continuous measurement [Текст] / A. N. Korotkov // Physical Review B. — 2001. — Vol. 63, no. 11. - P. 115403.
30. Sim, E. Quantum dynamics for a system coupled to slow baths: On-the-fly filtered propagator method [Текст] / E. Sim // The Journal of Chemical Physics. - 2001. - Vol. 115, no. 10. - P. 4450-4456.
31. Audretsch, J. Evolution of a qubit under the influence of a succession of weak measurements with unitary feedback [Текст] / J. Audretsch, L. Diósi, T. Konrad // Physical Review A. - 2002. - Vol. 66, no. 2. - P. 022310.
32. Bressanini, D. Robust wave function optimization procedures in quantum Monte Carlo methods [Текст] / D. Bressanini, G. Morosi, M. Mella // The Journal of Chemical Physics. - 2002. - Vol. 116, no. 13. - P. 5345-5350.
33. Breuer, H.-P. The theory of open quantum systems [Текст] / H.-P. Breuer, F. Petruccione. — Oxford University Press, 2002. — P. 625.
34. Eisert, J. On the quantification of entanglement in infinite-dimensional quantum systems [Текст] / J. Eisert, C. Simon, M. B. Plenio // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2002. - Vol. 35, no. 17. - P. 3911.
35. Facchi, P. Quantum Zeno subspaces [Текст] / P. Facchi, S. Pascazio // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 89, no. 8. - P. 080401.
36. Ruskai, M. B. Inequalities for quantum entropy: A review with conditions for equality [Текст] / M. B. Ruskai // Journal of Mathematical Physics. — 2002. - Vol. 43, no. 9. - P. 4358-4375.
37. Thermalizing quantum machines: Dissipation and entanglement [Текст] / V. Scarani, M. Ziman, P. Stelmachovic, N. Gisin, V. Buzek // Physical Review Letters. - 2002. - Vol. 88, no. 9. - P. 097905.
38. Vidal, G. Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations [Текст] / G. Vidal // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 91, no. 14. - P. 147902.
39. Facchi, P. Unification of dynamical decoupling and the quantum Zeno effect [Текст] / P. Facchi, D. Lidar, S. Pascazio // Physical Review A. — 2004. — Vol. 69, no. 3. - P. 032314.
40. Jizba, P. The world according to Rényi: thermodynamics of multifractal systems [Текст] / P. Jizba, T. Arimitsu // Annals of Physics. — 2004. — Vol. 312, no. 1. - P. 17-59.
41. Symmetric informationally complete quantum measurements [Текст] / J. M. Renes, R. Blume-Kohout, A. J. Scott, C. M. Caves // Journal of Mathematical Physics. - 2004. - Vol. 45, no. 6. - P. 2171-2180.
42. Verstraete, F. Renormalization algorithms for quantum-many body systems in two and higher dimensions [Текст] / F. Verstraete, J. I. Cirac // arXiv preprint cond-mat/0407066. — 2004.
43. Bogdanov, A. Y. Schmidt information and entanglement in quantum systems [Текст] / A. Y. Bogdanov, Y. I. Bogdanov, K. Valiev // arXiv preprint quan-t-ph/0512062. - 2005.
44. Coleman, P. Quantum criticality [Текст] / P. Coleman, A. J. Schofield // Nature. - 2005. - Vol. 433, no. 7023. - P. 226.
45. Drummond, N. D. Variance-minimization scheme for optimizing Jastrow factors [Текст] / N. D. Drummond, R. J. Needs // Physical Review B. — 2005. — Vol. 72. - P. 085124.
46. Feiguin, A. E. Finite-temperature density matrix renormalization using an enlarged Hilbert space [Текст] / A. E. Feiguin, S. R. White // Physical Review
B. - 2005. - Vol. 72, no. 22. - P. 220401.
47. Holevo, A. On the notion of entanglement in Hilbert space [Текст] / A. Holevo, M. Shirokov, R. Werner // Russian Math. Surveys. — 2005. — Vol. 60, no. 2. - P. 359-360.
48. Accardi, L. Coherent quantum control of Л-atoms through the stochastic limit [Текст] / L. Accardi, S. Kozyrev, A. Pechen // Quantum Information and Computing. - 2006. - P. 1-17.
49. Bishop, C. M. Pattern recognition and machine learning [Текст] /
C. M. Bishop. - Springer, 2006. - P. 738.
50. Bogdanov, A. Y. Schmidt modes and entanglement in continuous-variable quantum systems [Текст] / A. Y. Bogdanov, Y. I. Bogdanov, K. Valiev // Russian Microelectronics. — 2006. — Vol. 35, no. 1. — P. 7—20.
51. Complex chaos in the conditional dynamics of qubits [Текст] / T. Kiss, I. Jex, G. Alber, S. Vymetal // Physical Review A. - 2006. - Vol. 74, no. 4. -P. 040301.
52. Hastings, M. B. Solving gapped Hamiltonians locally [Текст] / M. B. Hastings // Physical Review B. - 2006. - Vol. 73, no. 8. - P. 085115.
53. Quantum process tomography and Linblad estimation of a solid-state qubit [Текст] / M. Howard, J. Twamley, C. Wittmann, T. Gaebel, F. Jelezko, J. Wrachtrup // New Journal of Physics. — 2006. — Vol. 8, no. 3. — P. 33.
54. Shi, Y.-Y. Classical simulation of quantum many-body systems with a tree tensor network [Текст] / Y.-Y. Shi, L.-M. Duan, G. Vidal // Physical Review A. - 2006. - Vol. 74. - P. 022320.
55. Verstraete, F. Matrix product states represent ground states faithfully [Текст] / F. Verstraete, J. I. Cirac // Physical Review B. — 2006. — Vol. 73. - P. 094423.
56. Levin, M. Tensor renormalization group approach to two-dimensional classical lattice models [Текст] / M. Levin, C. P. Nave // Physical Review Letters. — 2007. - Vol. 99, no. 12. - P. 120601.
57. Chakrabarti, B. K. Quantum Ising phases and transitions in transverse Ising models [Текст]. Vol. 41 / B. K. Chakrabarti, A. Dutta, P. Sen. — Springer Science & Business Media, 2008. - P. 416.
58. Chiribella, G. Quantum circuit rchitecture [Текст] / G. Chiribella, G. M. D'Ariano, P. Perinotti // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101. - P. 060401.
59. Cincio, L. Multiscale entanglement renormalization ansatz in two dimensions: quantum Ising model [Текст] / L. Cincio, J. Dziarmaga, M. M. Rams // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 100, no. 24. - P. 240603.
60. Quenching spin decoherence in diamond through spin bath polarization [Текст] / S. Takahashi, R. Hanson, J. Van Tol, M. S. Sherwin, D. D. Awschalom // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101, no. 4. — P. 047601.
61. Verstraete, F. Matrix product states, projected entangled pair states, and vari-ational renormalization group methods for quantum spin systems [Текст] /
F. Verstraete, V. Murg, J. I. Cirac // Advances in Physics. — 2008. — Vol. 57, no. 2. - P. 143-224.
62. Vidal, G. Class of quantum many-body states that can be efficiently simulated [Текст] / G. Vidal // Physical Review Letters. - 2008. - Vol. 101, no. 11. -P. 110501.
63. Amosov, G. G. Entanglement from operators splitting [Текст] /
G. G. Amosov, S. Mancini // AIP Conference Proceedings. — 2009. — Vol. 1101, no. 1. - P. 100-103.
64. Chiribella, G. Theoretical framework for quantum networks [Текст] / G. Chiri-bella, G. M. D'Ariano, P. Perinotti // Physical Review A. - 2009. -Vol. 80. - P. 022339.
65. Evenbly, G. Algorithms for entanglement renormalization [Текст] / G. Even-bly, G. Vidal // Physical Review B. - 2009. - Vol. 79, no. 14. - P. 144108.
66. Lvovsky, A. I. Continuous-variable optical quantum-state tomography [Текст] / A. I. Lvovsky, M. G. Raymer // Reviews of Modern Physics. — 2009. - Vol. 81, no. 1. - P. 299.
67. Nebendahl, V. Optimal control of entangling operations for trapped-ion quantum computing [Текст] / V. Nebendahl, H. Haffner, C. Roos // Physical Review A. - 2009. - Vol. 79, no. 1. - P. 012312.
68. Orus, R. Simulation of two-dimensional quantum systems on an infinite lattice revisited: Corner transfer matrix for tensor contraction [Текст] / R. Orus, G. Vidal // Physical Review B. - 2009. - Vol. 80, no. 9. - P. 094403.
69. Pseudomodes as an effective description of memory: Non-Markovian dynamics of two-state systems in structured reservoirs [Текст] / L. Mazzola, S. Maniscalco, J. Piilo, K.-A. Suominen, B. M. Garraway // Physical Review A. - 2009. - Vol. 80, no. 1. - P. 012104.
70. Quantum entanglement [Текст] / R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki // Reviews of Modern Physics. — 2009. — Vol. 81, no. 2. — P. 865.
71. Salakhutdinov, R. Deep Boltzmann Machines [Текст] / R. Salakhutdinov, G. Hinton // Artificial Intelligence and Statistics. — 2009. — P. 448—455.
72. Dong, D. Quantum control theory and applications: a survey [Текст] / D. Dong, I. R. Petersen // IET Control Theory & Applications. — 2010. — Vol. 4, no. 12. - P. 2651-2671.
73. Efficient quantum state tomography [Текст] / M. Cramer, M. B. Plenio, S. T. Flammia, R. Somma, D. Gross, S. D. Bartlett, O. Landon-Cardinal, D. Poulin, Y.-K. Liu // Nature Communications. — 2010. — Vol. 1, no. 1. — P. 1-7.
74. Eisert, J. Colloquium: Area laws for the entanglement entropy [Текст] / J. Eisert, M. Cramer, M. B. Plenio // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Vol. 82. - P. 277-306.
75. Filippov, S. N. Inverse spin-s portrait and representation of qudit states by single probability vectors [Текст] / S. N. Filippov, V. I. Man'ko // Journal of Russian Laser Research. — 2010. — Vol. 31, no. 1. — P. 32—54.
76. Introduction to quantum noise, measurement, and amplification [Текст] / A. A. Clerk, M. H. Devoret, S. M. Girvin, F. Marquardt, R. J. Schoelkopf // Reviews of Modern Physics. - 2010. - Vol. 82, no. 2. - P. 1155.
77. Quantum criticality in an Ising chain: experimental evidence for emergent E8 symmetry [Текст] / R. Coldea, D. Tennant, E. Wheeler, E. Wawrzynska, D. Prabhakaran, M. Telling, K. Habicht, P. Smeibidl, K. Kiefer // Science. —
2010. - Vol. 327, no. 5962. - P. 177-180.
78. Schuch, N. PEPS as ground states: Degeneracy and topology [Текст] / N. Schuch, I. Cirac, D. Pérez-García // Annals of Physics. — 2010. — Vol. 325, no. 10. - P. 2153-2192.
79. Statistical estimation of the efficiency of quantum state tomography protocols [Текст] / Y. I. Bogdanov, G. Brida, M. Genovese, S. Kulik, E. Moreva, A. Shurupov // Physical Review Letters. — 2010. — Vol. 105, no. 1. — P. 010404.
80. Continuous-time Monte Carlo methods for quantum impurity models [Текст] / E. Gull, A. J. Millis, A. I. Lichtenstein, A. N. Rubtsov, M. Troyer, P. Werner // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83, no. 2. — P. 349.
81. Evenbly, G. Tensor network states and geometry [Текст] / G. Evenbly, G. Vidal// Journal of Statistical Physics. -2011. - Vol. 145, no. 4. - P. 891-918.
82. Feiguin, A. E. The Density Matrix Renormalization Group and its time-dependent variants [Текст] / A. E. Feiguin // AIP Conference Proceedings. Vol. 1419. - 2011. - P. 5-92.
83. Heinosaari, T. The mathematical language of quantum theory: from uncertainty to entanglement [Текст] / T. Heinosaari, M. Ziman. — Cambridge University Press, 2011. - P. 339.
84. Nondeterministic ultrafast ground-state cooling of a mechanical resonator [Текст] / Y. Li, L.-A. Wu, Y.-D. Wang, L.-P. Yang // Physical Review B. -
2011. - Vol. 84, no. 9. - P. 094502.
85. Oseledets, I. V. Tensor-train decomposition [Текст] / I. V. Oseledets // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2011. - Vol. 33, no. 5. - P. 2295-2317.
86. Schollwock, U. The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states [Текст] / U. Schollwock // Annals of Physics. — 2011. — Vol. 326, no. 1. - P. 96-192.
87. Hardy, L. The operator tensor formulation of quantum theory [Текст] / L. Hardy // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2012. — Vol. 370, no. 1971. — P. 3385-3417.
88. Holevo, A. S. Quantum systems, channels, information: a mathematical introduction [Текст] / A. S. Holevo. - Walter de Gruyter, 2012. - P. 349.
89. Konrad, T. Maintaining quantum coherence in the presence of noise through state monitoring [Текст] / T. Konrad, H. Uys // Physical Review A. — 2012. - Vol. 85, no. 1. - P. 012102.
90. Krizhevsky, A. Imagenet classification with deep convolutional neural networks [Текст] / A. Krizhevsky, I. Sutskever, G. E. Hinton // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2012. — P. 1097—1105.
91. Localization and glassy dynamics of many-body quantum systems [Текст] / G. Carleo, F. Becca, M. Schiro, M. Fabrizio // Scientific Reports. — 2012. — Vol. 2. - P. 243.
92. Nielsen, M. A. Quantum computation and quantum information [Текст] / M. A. Nielsen, I. Chuang. — Cambridge University Press, 2012. — P. 676.
93. Quantum back-action in measurements of zero-point mechanical oscillations [Текст] / F. Y. Khalili, H. Miao, H. Yang, A. H. Safavi-Naeini, O. Painter, Y. Chen // Physical Review A. - 2012. - Vol. 86, no. 3. - P. 033840.
94. Accardi, L. Quantum theory and its stochastic limit [Текст] / L. Accardi, Y. G. Lu, I. Volovich. — Springer Science & Business Media, 2013. — P. 474.
95. Avella, A. Strongly correlated systems: numerical methods [Текст]. Vol. 176 / A. Avella, F. Mancini. — Springer Science & Business Media, 2013. — P. 349.
96. Budini, A. A. Embedding non-Markovian quantum collisional models into bipartite Markovian dynamics [Текст] / A. A. Budini // Physical Review A. - 2013. - Vol. 88, no. 3. - P. 032115.
97. Frenzel, M. F. Matrix product state representation without explicit local Hilbert space truncation with applications to the sub-ohmic spin-boson model [Текст] / M. F. Frenzel, M. B. Plenio // New Journal of Physics. - 2013. -Vol. 15, no. 7. - P. 073046.
98. Industrial applications of the Kalman filter: A review [Текст] / F. Auger, M. Hilairet, J. M. Guerrero, E. Monmasson, T. Orlowska-Kowalska, S. Kat-sura // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2013. — Vol. 60, no. 12. - P. 5458-5471.
99. Kingma, D. P. Auto-encoding variational bayes [Текст] / D. P. Kingma, M. Welling // arXiv preprint arXiv:1312.6114. - 2013.
100. Li, Y. Quantum Zeno effect of general quantum operations [Текст] / Y. Li, D. A. Herrera-Marti, L. C. Kwek // Physical Review A. - 2013. - Vol. 88, no. 4. - P. 042321.
101. Quantum anti-Zeno effect without wave function reduction [Текст] / Q. Ai, D. Xu, S. Yi, A. Kofman, C. Sun, F. Nori // Scientific Reports. - 2013. -Vol. 3. - P. 1752.
102. Valkunas, L. Molecular excitation dynamics and relaxation: quantum theory and spectroscopy [Текст] / L. Valkunas, D. Abramavicius, T. Mancal. — John Wiley & Sons, 2013. - P. 449.
103. Wilde, M. M. Quantum information theory [Текст] / M. M. Wilde. — Cambridge University Press, 2013. — P. 655.
104. Cerrillo, J. Non-Markovian dynamical maps: numerical processing of open quantum trajectories [Текст] / J. Cerrillo, J. Cao // Physical Review Letters. - 2014. - Vol. 112, no. 11. - P. 110401.
105. Dinh, L. Nice: Non-linear independent components estimation [Текст] / L. Dinh, D. Krueger, Y. Bengio // arXiv preprint arXiv:1410.8516. — 2014.
106. Generative adversarial nets [Текст] / I. Goodfellow, J. Pouget-Abadie, M. Mirza, B. Xu, D. Warde-Farley, S. Ozair, A. Courville, Y. Bengio // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2014. — P. 2672—2680.
107. Kingma, D. P. Adam: A method for stochastic optimization [Текст] / D. P. Kingma, J. Ba // arXiv preprint arXiv:1412.6980. — 2014.
108. Light-cone effect and supersonic correlations in one-and two-dimensional bosonic superfluids [Текст] / G. Carleo, F. Becca, L. Sanchez-Palencia, S. Sorella, M. Fabrizio // Physical Review A. - 2014. - Vol. 89, no. 3. -P. 031602.
109. Lloyd, S. Quantum principal component analysis [Текст] / S. Lloyd, M. Mohseni, P. Rebentrost // Nature Physics. — 2014. — Vol. 10, no. 9. — P. 631-633.
110. Mappings of open quantum systems onto chain representations and Markovian embeddings [Текст] / M. Woods, R. Groux, A. Chin, S. Huelga, M. B. Plenio // Journal of Mathematical Physics. — 2014. — Vol. 55, no. 3. — P. 032101.
111. Noise and disturbance in quantum measurements: an information-theoretic approach [Текст] / F. Buscemi, M. J. Hall, M. Ozawa, M. M. Wilde // Physical Review Letters. - 2014. - Vol. 112, no. 5. - P. 050401.
112. Orus, R. A practical introduction to tensor networks: Matrix product states and projected entangled pair states [Текст] / R. Orus // Annals of Physics. — 2014. - Vol. 349. - P. 117-158.
113. Orus, R. Advances on tensor network theory: symmetries, fermions, entanglement, and holography [Текст] / R. Orus // The European Physical Journal B. - 2014. - Vol. 87, no. 11. - P. 280.
114. Pfeifer, R. N. Faster identification of optimal contraction sequences for tensor networks [Текст] / R. N. Pfeifer, J. Haegeman, F. Verstraete // Physical Review E. - 2014. - Vol. 90, no. 3. - P. 033315.
115. Plenio, M. B. An introduction to entanglement theory [Текст] / M. B. Plenio, S. S. Virmani // Quantum Information and Coherence. — Springer, 2014. — P. 173-209.
116. Shlens, J. A tutorial on principal component analysis [Текст] / J. Shlens // arXiv preprint arXiv:1404.1100. — 2014.
117. Adversarial autoencoders [Текст] / A. Makhzani, J. Shlens, N. Jaitly, I. Good-fellow, B. Frey // arXiv preprint arXiv:1511.05644. — 2015.
118. Evenbly, G. Tensor network renormalization [Текст] / G. Evenbly, G. Vidal // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 115, no. 18. - P. 180405.
119. On pseudo-stochastic matrices and pseudo-positive maps [Текст] / D. Chrus-ciñski, V. Man'ko, G. Marmo, F. Ventriglia // Physica Scripta. — 2015. — Vol. 90, no. 11. - P. 115202.
120. Pechen, A. Measurement-assisted Landau-Zener transitions [Текст] / A. Pechen, A. Trushechkin // Physical Review A. — 2015. — Vol. 91, no. 5. - P. 052316.
121. Quantum filter for a class of non-Markovian quantum systems [Текст] / S. Xue, M. R. James, A. Shabani, V. Ugrinovskii, I. R. Petersen // 2015 54th IEEE Conference on Decision and Control (CDC). - 2015. - P. 7096-7100.
122. Rezende, D. J. Variational inference with normalizing flows [Текст] / D. J. Rezende, S. Mohamed // arXiv preprint arXiv:1505.05770. — 2015.
123. Sohn, K. Learning structured output representation using deep conditional generative models [Текст] / K. Sohn, H. Lee, X. Yan // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2015. — P. 3483—3491.
124. TensorFlow: Large-scale machine learning on heterogeneous systems [Текст] / Martín Abadi, Ashish Agarwal, Paul Barham, Eugene Brevdo, Zhifeng Chen, Craig Citro, Greg S. Corrado, Andy Davis, Jeffrey Dean, Matthieu Devin, Sanjay Ghemawat, Ian Goodfellow, Andrew Harp, Geoffrey Irving, Michael Isard, Y. Jia, Rafal Jozefowicz, Lukasz Kaiser, Manjunath Kudlur, Josh Levenberg, Dandelion Mané, Rajat Monga, Sherry Moore, Derek Murray, Chris Olah, Mike Schuster, Jonathon Shlens, Benoit Steiner, Ilya Sutskever, Kunal Talwar, Paul Tucker, Vincent Van-houcke, Vijay Vasudevan, Fernanda Viégas, Oriol Vinyals, Pete Warden, Martin Wattenberg, Martin Wicke, Yuan Yu, Xiaoqiang Zheng. — 2015. — URL: https://www.tensorflow.org/.
125. Costa, F. Quantum causal modelling [Текст] / F. Costa, S. Shrapnel // New Journal of Physics. - 2016. - Vol. 18, no. 6. - P. 063032.
126. Goodfellow, I. Deep learning [Текст] / I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville. - MIT press, 2016. - P. 800.
127. Layden, D. Universal scheme for indirect quantum control [Текст] / D. Lay-den, E. Martin-Martinez, A. Kempf // Physical Review A. — 2016. — Vol. 93, no. 4. - P. 040301.
128. Nowozin, S. f-GAN: Training generative neural samplers using variational divergence minimization [Текст] / S. Nowozin, B. Cseke, R. Tomioka // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2016. — P. 271—279.
129. Optimal control of complex atomic quantum systems [Текст] / S. van Frank, M. Bonneau, J. Schmiedmayer, S. Hild, C. Gross, M. Cheneau, I. Bloch, T. Pichler, A. Negretti, T. Calarco, S. Montangero // Scientific Reports. — 2016. - Vol. 6. - P. 34187.
130. Tensor networks for dimensionality reduction and large-scale optimization: Part 1 low-rank tensor decompositions [Текст] / A. Cichocki, N. Lee, I. Os-eledets, A.-H. Phan, Q. Zhao, D. P. Mandic, [et al.] // Foundations and Trends in Machine Learning. - 2016. - No. 4/5. - P. 249-429.
131. Van Den Oord, A. Wavenet: A generative model for raw audio [Текст] / A. Van Den Oord, S. Dieleman // arXiv preprint arXiv:1609.03499. — 2016. - Vol. 8, no. 9.
132. Van Den Oord, A. Pixel recurrent neural networks [Текст] / A. Van Den Oord, N. Kalchbrenner, K. Kavukcuoglu // arXiv preprint arXiv:1601.06759. — 2016.
133. Variational dynamics of the sub-Ohmic spin-boson model on the basis of multiple Davydov D1 states [Текст] / L. Wang, L. Chen, N. Zhou, Y. Zhao // The Journal of Chemical Physics. - 2016. - Vol. 144, no. 2. - P. 024101.
134. Arjovsky, M. Wasserstein GAN [Текст] / M. Arjovsky, S. Chintala, L. Bot-tou // arXiv preprint arXiv:1701.07875. — 2017.
135. Biamonte, J. Tensor networks in a nutshell [Текст] / J. Biamonte, V. Bergholm // arXiv preprint arXiv:1708.00006. - 2017.
136. Carleo, G. Solving the quantum many-body problem with artificial neural networks [Текст] / G. Carleo, M. Troyer // Science. — 2017. — Vol. 355, no. 6325. - P. 602-606.
137. De Vega, I. Dynamics of non-Markovian open quantum systems [Текст] / I. De Vega, D. Alonso // Reviews of Modern Physics. — 2017. — Vol. 89, no. 1. - P. 015001.
138. Degen, C. L. Quantum sensing [Текст] / C. L. Degen, F. Reinhard, P. Cappel-laro // Reviews of Modern Physics. - 2017. - Vol. 89, no. 3. - P. 035002.
139. Deng, D.-L. Quantum entanglement in neural network states [Текст] / D.-L. Deng, X. Li, S. D. Sarma // Physical Review X. - 2017. - Vol. 7, no. 2. - P. 021021.
140. Divisibility of quantum dynamical maps and collision models [Текст] / S. Fil-ippov, J. Piilo, S. Maniscalco, M. Ziman // Physical Review A. — 2017. — Vol. 96, no. 3. - P. 032111.
141. Efficient tomography of a quantum many-body system [Текст] / B. Lanyon,
C. Maier, M. Holzäpfel, T. Baumgratz, C. Hempel, P. Jurcevic, I. Dhand, A. Buyskikh, A. Daley, M. Cramer, [et al.] // Nature Physics. — 2017. — Vol. 13, no. 12. - P. 1158.
142. Entanglement in a quantum neural network based on quantum dots [Текст] / M. V. Altaisky, N. N. Zolnikova, N. E. Kaputkina, V. A. Krylov, Y. E. Lo-zovik, N. S. Dattani // Photonics and Nanostructures-Fundamentals and Applications. - 2017. - Vol. 24. - P. 24-28.
143. Flows in non-equilibrium quantum systems and quantum photosynthesis [Текст] / S. Kozyrev, A. Mironov, A. Teretenkov, I. Volovich // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. — 2017. — Vol. 20, no. 04. - P. 1750021.
144. Gelzinis, A. Applicability of transfer tensor method for open quantum system dynamics [Текст] / A. Gelzinis, E. Rybakovas, L. Valkunas // The Journal of Chemical Physics. - 2017. - Vol. 147, no. 23. - P. 234108.
145. Gradient descent can take exponential time to escape saddle points [Текст] / S. S. Du, C. Jin, J. D. Lee, M. I. Jordan, A. Singh, B. Poczos // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2017. — P. 1067—1077.
146. Introducing the Qplex: a novel arena for quantum theory [Текст] / M. Appleby, C. A. Fuchs, B. C. Stacey, H. Zhu // The European Physical Journal
D. - 2017. - Vol. 71, no. 7. - P. 197.
147. Lorenzo, S. Composite quantum collision models [Текст] / S. Lorenzo, F. Ci-ccarello, G. M. Palma // Physical Review A. - 2017. - Vol. 96, no. 3. -P. 032107.
148. Milz, S. An introduction to operational quantum dynamics [Текст] / S. Milz, F. A. Pollock, K. Modi // Open Systems & Information Dynamics. — 2017. — Vol. 24, no. 04. - P. 1740016.
149. Modelling and filtering for non-Markovian quantum systems [Текст] / S. Xue, T. Nguyen, M. R. James, A. Shabani, V. Ugrinovskii, I. R. Petersen // arXiv preprint arXiv:1704.00986. - 2017.
150. Molchanov, D. Variational dropout sparsifies deep neural networks [Текст] /
D. Molchanov, A. Ashukha, D. Vetrov // Proceedings of the 34th International Conference on Machine Learning-Volume 70. — 2017. — P. 2498—2507.
151. Non-convex optimization for machine learning [Текст] / P. Jain, P. Kar // Foundations and Trends in Machine Learning. — 2017. — Vol. 10, no. 3/4. — P. 142-336.
152. Orlov, Y. N. Feynman formulas for nonlinear evolution equations [Текст] / Y. N. Orlov, V. Z. Sakbaev, O. Smolyanov // Doklady Mathematics. Vol. 96. - Springer. 2017. - P. 574-577.
153. Quantum thermalization dynamics with matrix-product states [Текст] /
E. Leviatan, F. Pollmann, J. H. Bardarson, D. A. Huse, E. Altman // arXiv preprint arXiv:1702.08894. - 2017.
154. Sample-optimal tomography of quantum states [Текст] / J. Haah, A. W. Harrow, Z. Ji, X. Wu, N. Yu // IEEE Transactions on Information Theory. — 2017. - Vol. 63, no. 9. - P. 5628-5641.
155. Strathearn, A. Efficient real-time path integrals for non-Markovian spin-boson models [Текст] / A. Strathearn, B. W. Lovett, P. Kirton // New Journal of Physics. - 2017. - Vol. 19, no. 9. - P. 093009.
156. Zhao, S. InfoVAE: Information maximizing variational autoencoders [Текст] / S. Zhao, J. Song, S. Ermon // arXiv preprint arXiv:1706.02262. - 2017.
157. Bina, M. Continuous-variable quantum probes for structured environments [Текст] / M. Bina, F. Grasselli, M. G. Paris // Physical Review A. - 2018. -Vol. 97, no. 1. - P. 012125.
158. Chen, L. Dynamics of the spin-boson model: A comparison of the multiple Davydov D1, D1.5, D2 Ansätze [Текст] / L. Chen, M. Gelin, Y. Zhao // Chemical Physics. - 2018. - Vol. 515. - P. 108-118.
159. Dallaire-Demers, P.-L. Quantum generative adversarial networks [Текст] / P.-L. Dallaire-Demers, N. Killoran // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 1. - P. 012324.
160. Efficient non-Markovian quantum dynamics using time-evolving matrix product operators [Текст] / A. Strathearn, P. Kirton, D. Kilda, J. Keeling, B. W. Lovett // Nature Communications. — 2018. — Vol. 9, no. 1. — P. 3322.
161. Filippov, S. N. Time deformations of master equations [Текст] / S. N. Filip-pov, D. Chruscinski // Physical Review A. — 2018. — Vol. 98, no. 2. — P. 022123.
162. Kingma, D. P. Glow: Generative flow with invertible 1x1 convolutions [Текст] / D. P. Kingma, P. Dhariwal // Advances in Neural Information Processing Systems. - 2018. - P. 10215-10224.
163. Kozyrev, S. Dark states in quantum photosynthesis [Текст] / S. Kozyrev, I. Volovich // Trends in Biomathematics: Modeling, Optimization and Computational Problems. — Springer, 2018. — P. 13—26.
164. Learning hard quantum distributions with variational autoencoders [Текст] / A. Rocchetto, E. Grant, S. Strelchuk, G. Carleo, S. Severini // npj Quantum Information. - 2018. - Vol. 4, no. 1. - P. 28.
165. Li, L. Concepts of quantum non-Markovianity: a hierarchy [Текст] / L. Li, M. J. Hall, H. M. Wiseman // Physics Reports. - 2018. - Vol. 759. -P. 1-51.
166. Li, S.-H. Neural network renormalization group [Текст] / S.-H. Li, L. Wang // Physical Review Letters. - 2018. - Vol. 121, no. 26. - P. 260601.
167. Liu, J.-G. Differentiable learning of quantum circuit Born machines [Текст] / J.-G. Liu, L. Wang // Physical Review A. - 2018. - Vol. 98, no. 6. -P. 062324.
168. Milz, S. Reconstructing non-Markovian quantum dynamics with limited control [Текст] / S. Milz, F. A. Pollock, K. Modi // Physical Review A. -2018. - Vol. 98, no. 1. - P. 012108.
169. Modelling non-Markovian quantum processes with recurrent neural networks [Текст] / L. Banchi, E. Grant, A. Rocchetto, S. Severini // New Journal of Physics. - 2018. - Vol. 20, no. 12. - P. 123030.
170. Monge-Ampere flow for generative modeling [Текст] / L. Zhang, L. Wang, [et al.] // arXiv preprint arXiv:1809.10188. - 2018.
171. Neural-network quantum state tomography [Текст] / G. Torlai, G. Mazzola, J. Carrasquilla, M. Troyer, R. Melko, G. Carleo // Nature Physics. — 2018. — Vol. 14, no. 5. - P. 447.
172. Non-Markovian quantum processes: Complete framework and efficient characterization [Текст] / F. A. Pollock, C. Rodríguez-Rosario, T. Frauenheim, M. Paternostro, K. Modi // Physical Review A. — 2018. — Vol. 97, no. 1. — P. 012127.
173. Operational Markov condition for quantum processes [Текст] / F. A. Pollock, C. Rodríguez-Rosario, T. Frauenheim, M. Paternostro, K. Modi // Physical Review Letters. - 2018. - Vol. 120, no. 4. - P. 040405.
174. Reinforcement learning in different phases of quantum control [Текст] / M. Bukov, A. G. Day, D. Sels, P. Weinberg, A. Polkovnikov, P. Mehta // Physical Review X. - 2018. - Vol. 8, no. 3. - P. 031086.
175. Sason, I. Tight bounds on the Rényi entropy via majorization with applications to guessing and compression [Текст] / I. Sason // Entropy. — 2018. — Vol. 20, no. 12. - P. 896.
176. Shrapnel, S. Quantum Markovianity as a supervised learning task [Текст] / S. Shrapnel, F. Costa, G. Milburn // International Journal of Quantum Information. - 2018. - Vol. 16, no. 08. - P. 1840010.
177. System-environment correlations and Markovian embedding of quantum non-Markovian dynamics [Текст] / S. Campbell, F. Ciccarello, G. M. Palma, B. Vacchini // Physical Review A. - 2018. - Vol. 98, no. 1. - P. 012142.
178. Unsupervised generative modeling using matrix product states [Текст] / Z.-Y. Han, J. Wang, H. Fan, L. Wang, P. Zhang // Physical Review X. — 2018. - Vol. 8, no. 3. - P. 031012.
179. Ab-initio solution of the many-electron schr\" odinger equation with deep neural networks [Текст] / D. Pfau, J. S. Spencer, A. G. d. G. Matthews, W. Foulkes // arXiv preprint arXiv:1909.02487. - 2019.
180. Atomistic structure learning [Текст] / M. S. J0rgensen, H. L. Mortensen, S. A. Meldgaard, E. L. Kolsbjerg, T. L. Jacobsen, K. H. S0rensen, B. Hammer // The Journal of Chemical Physics. — 2019. — Vol. 151, no. 5. — P. 054111.
181. Bairey, E. Learning a local Hamiltonian from local measurements [Текст] /
E. Bairey, I. Arad, N. H. Lindner // Physical Review Letters. — 2019. — Vol. 122, no. 2. - P. 020504.
182. Choo, K. Two-dimensional frustrated Ji- J2 model studied with neural network quantum states [Текст] / K. Choo, T. Neupert, G. Carleo // Physical Review B. - 2019. - Vol. 100, no. 12. - P. 125124.
183. Cirac, J. I. Mathematical open problems in projected entangled pair states [Текст] / J. I. Cirac, J. Garre-Rubio, D. Pérez-García // Revista Matemática Complutense. - 2019. - Vol. 32, no. 3. - P. 579-599.
184. Coherent quantum control of nitrogen-vacancy center spins near 1000 Kelvin [Текст] / G.-Q. Liu, X. Feng, N. Wang, Q. Li, R.-B. Liu // Nature Communications. - 2019. - Vol. 10, no. 1. - P. 1-8.
185. Differentiable programming tensor networks [Текст] / H.-J. Liao, J.-G. Liu, L. Wang, T. Xiang // Physical Review X. - 2019. - Vol. 9. - P. 031041.
186. Digital coherent control of a superconducting qubit [Текст] / E. Leonard, M. A. Beck, J. Nelson, B. Christensen, T. Thorbeck, C. Howington, A. Opremcak, I. Pechenezhskiy, K. Dodge, N. Dupuis, M. Hutchings, J. Ku,
F. Schlenker, J. Suttle, C. Wilen, S. Zhu, M. Vavilov, B. Plourde, R. McDer-mott // Physical Review Applied. - 2019. - Vol. 11, no. 1. - P. 014009.
187. Efremova, L. Phase Flows Generated by Cauchy Problem for Nonlinear Schrodinger Equation and Dynamical Mappings of Quantum States [Текст] / L. Efremova, A. Grekhneva, V. Z. Sakbaev // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2019. - Vol. 40, no. 10. - P. 1455-1469.
188. Efthymiou, S. TensorNetwork for machine learning [Текст] / S. Efthymiou, J. Hidary, S. Leichenauer // arXiv preprint arXiv:1906.06329. — 2019.
189. Integrating neural networks with a quantum simulator for state reconstruction [Текст] / G. Torlai, B. Timar, E. P. L. van Nieuwenburg, H. Levine, A. Omran, A. Keesling, H. Bernien, M. Greiner, Vuleti c, M. D. Lukin, R. G. Melko, M. Endres // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 123, no. 23. -P. 230504.
190. Morzhin, O. V. Minimal time generation of density matrices for a two-level quantum system driven by coherent and incoherent controls [Текст] / O. V. Morzhin, A. N. Pechen // International Journal of Theoretical Physics. - 2019. - P. 1-9.
191. Morzhin, O. V. Krotov method for optimal control of closed quantum systems [Текст] / O. V. Morzhin, A. N. Pechen // Russian Mathematical Surveys. — 2019. - Vol. 74, no. 5. - P. 851.
192. On quantum methods for machine learning problems part II: Quantum classification algorithms [Текст] / F. Ablayev, M. Ablayev, J. Z. Huang, K. Khadiev, N. Salikhova, D. Wu // Big Data Mining and Analytics. — 2019. - Vol. 3, no. 1. - P. 56-67.
193. Optimized auxiliary oscillators for the simulation of general open quantum systems [Текст] / F. Mascherpa, A. Smirne, D. Tamascelli, P. F. Acebal, S. Donadi, S. F. Huelga, M. B. Plenio // arXiv preprint arXiv:1904.04822. -2019.
194. Orús, R. Tensor networks for complex quantum systems [Текст] / R. Orús // Nature Reviews Physics. - 2019. - Vol. 1, no. 9. - P. 538-550.
195. Polyakov, E. A. Dressed quantum trajectories: novel approach to the non-Markovian dynamics of open quantum systems on a wide time scale [Текст] / E. A. Polyakov, A. N. Rubtsov // New Journal of Physics. - 2019. - Vol. 21, no. 6. - P. 063004.
196. Probabilistic simulation of quantum circuits with the transformer [Текст] / J. Carrasquilla, D. Luo, F. Pérez, A. Milsted, B. K. Clark, M. Volkovs, L. Aolita // arXiv preprint arXiv:1912.11052. - 2019.
197. Quantum information meets quantum matter [Текст] / B. Zeng, X. Chen, D.-L. Zhou, X.-G. Wen. - Springer, 2019. - P. 364.
198. Reconstructing quantum states with generative models [Текст] / J. Carrasquilla, G. Torlai, R. G. Melko, L. Aolita // Nature Machine Intelligence. — 2019. - Vol. 1, no. 3. - P. 155.
199. Restricted Boltzmann machines in quantum physics [Текст] / R. G. Melko, G. Carleo, J. Carrasquilla, J. I. Cirac // Nature Physics. — 2019. — Vol. 15, no. 9. - P. 887-892.
200. TensorNetwork on TensorFlow: a spin chain application using tree tensor networks [Текст] / A. Milsted, M. Ganahl, S. Leichenauer, J. Hidary, G. Vidal // arXiv preprint arXiv:1905.01331. - 2019.
201. TensorNetwork: a library for physics and machine learning [Текст] /
C. Roberts, A. Milsted, M. Ganahl, A. Zalcman, B. Fontaine, Y. Zou, J. Hidary, G. Vidal, S. Leichenauer // arXiv preprint arXiv:1905.01330. — 2019.
202. Tree tensor networks for generative modeling [Текст] / S. Cheng, L. Wang, T. Xiang, P. Zhang // Physical Review B. - 2019. - Vol. 99, no. 15. -P. 155131.
203. Deep autoregressive models for the efficient variational simulation of many-body quantum systems [Текст] / O. Sharir, Y. Levine, N. Wies, G. Carleo, A. Shashua // Physical Review Letters. - 2020. - Vol. 124. - P. 020503.
204. Experimental neural network enhanced quantum tomography [Текст] / A. M. Palmieri, E. Kovlakov, F. Bianchi, D. Yudin, S. Straupe, J. D. Biamonte, S. Kulik // npj Quantum Information. — 2020. — Vol. 6, no. 1. — P. 1-5.
205. Huang, H.-Y. Predicting many properties of a quantum system from very few measurements [Текст] / H.-Y. Huang, R. Kueng, J. Preskill // arXiv preprint arXiv:2002.08953. - 2020.
206. Lyakhova, Y. S. Effectively trainable semi-quantum restricted Boltzmann machine [Текст] / Y. S. Lyakhova, E. Polyakov, A. Rubtsov // arXiv preprint arXiv:2001.08997. - 2020.
207. On quantum methods for machine learning problems part I: Quantum tools [Текст] / F. Ablayev, M. Ablayev, J. Huang, K. Khadiev, N. Salikhova,
D. Wu // Big Data Mining and Analytics. - 2020. - Vol. 3. - P. 41-55.
208. Quantum sensing with a single-qubit pseudo-Hermitian system [Текст] / Y. Chu, Y. Liu, H. Liu, J. Cai // Physical Review Letters. - 2020. -Vol. 124, no. 2. - P. 020501.
Публикации автора по теме диссертации
209. Luchnikov, I. Quantum evolution in the stroboscopic limit of repeated measurements [Текст] / I. Luchnikov, S. Filippov // Physical Review A. — 2017. - Vol. 95, no. 2. - P. 022113.
210. Simulation complexity of open quantum dynamics: Connection with tensor networks [Текст] / I. Luchnikov, S. Vintskevich, H. Ouerdane, S. Filippov // Physical Review Letters. - 2019. - Vol. 122, no. 16. - P. 160401.
211. Variational autoencoder reconstruction of complex many-body physics [Текст] / I. A. Luchnikov, A. Ryzhov, P.-J. Stas, S. N. Filippov, H. Ouerdane // Entropy. - 2019. - Vol. 21, no. 11. - P. 1091.
212. Machine learning non-markovian quantum dynamics [Текст] / I. A. Luchnikov, S. V. Vintskevich, D. A. Grigoriev, S. N. Filippov // Physical Review Letters. - 2020. - Vol. 124, no. 14. - P. 140502.
Список рисунков
1.1 Графическая интерпретация определения тензора. Видно, что форму тензора можно интерпретировать как правило, по которому расставляются скобки............................ 18
1.2 Графическая интерпретация индексации тензора............ 18
1.3 Последовательность операций деформации................ 19
1.4 Операция объединения индексов в мультииндекс и обратная к ней операция тензоризации. Любой тензор можно превратить в
матрицу (или вектор) и наоборот..................... 20
1.5 Перестановка индексов (обобщенное транспонирование)........ 20
1.6 Пример диаграмм Пенроуза для представления тензоров....... 21
1.7 Пример реализации свертки тензоров с использованием деформации, транспонирования и матричного перемножения..... 22
1.8 Пример операций над тензорами в диаграммном представлении . . . 23
1.9 Графическое представление алгоритма поиска оптимальной низкоранговой аппроксимации матрицы................. 25
1.10 QR разложение тензора. Размерность всех индексов исходного тензора равна В данном примере размерность индекса, соединяющего две части факторизованого тензора, равна ...... 26
1.11 Пример тензорной сети в диаграммном представлении......... 27
1.12 Тензорные сети с фиксированным небольшим ё, описывают лишь малую часть множества всех возможных тензоров........... 28
1.13 Пример тензора и его представления в форме тензорной сети. Если параметр ё, мал, то хранение тензора в виде элементов тензорной
сети эффективнее, чем хранение всех элементов тензора........ 29
1.14 Пример свертки тензорной сети тремя различными способами. Все три способа свертки требуют разное количество операций перемножения................................ 30
1.15 Статистическая сумма двумерной модели Изинга............ 31
1.16 Последовательность QR разложений, которая преобразует тензор в тензорную сеть (тензорное дерево).................... 32
1.17 След тензора в диаграммном представлении............... 33
1.18 Диаграммное представление определяющего свойства центра ортогональности. Зеркально отраженная нижняя часть сети
является комплексным сопряжением верхней части сети........ 33
1.19 Диаграммное представление условия, при котором а является центром ортогональности. Зеркально отраженная нижняя часть
сети является комплексным сопряжением верхней части сети..... 34
1.20 Диаграммное описание алгоритма приведения узла к центру ортогональности. Зеркально отраженная нижняя часть сети
является комплексным сопряжением верхней части сети........ 35
1.21 Каноническая фиксация калибровки между узлами........... 37
1.22 Каноническая форма тензорной сети................... 38
1.23 Выделение двух подсистем в квантовой многочастичной системе и подсчет частичных матриц плотности подсистем............ 39
1.24 Ранг матрицы двусоставной системы ограничен архитектурой тензорной сети................................ 39
1.25 Граф задающий локальный гамильтониан с щелью многочастичной квантовой системы. Система разделена на две подсистемы А и В. Энтропия запутанности пропорциональна площади (количеству пересеченных ребер, выделенных красным цветом) .......... 41
1.26 Состояние произведения матриц...................... 42
1.27 Состояние спроецированных запутанных пар (projected entangled
pair states, PEPS).............................. 43
1.28 Диаграммное представление открытой квантовой динамики...... 49
1.29 Диаграммное представление временной сети резервуара........ 50
1.30 Сравнение временной сети резервуара с функционалом влияния и тензором процесса. (а) Тензор процесса. (b) Функционал влияния.
(с) Временная сеть резервуара....................... 52
1.31 (а) Исходный резервуар взаимодействует с системой. (b) Эффективный резервуар взаимодействует с системой, система и резервуар вместе испытывают полугрупповую динамику с некоторым генератором С......................... 53
1.32 (а) Временная сеть резервуара. (b) Переобозначаения, упрощающие диаграммы. (с) Матрица временной сети резервуара. (d) Частичная матрица временной сети резервуара.................... 54
1.33 (а) Частичная матрица временной сети резервуара. (Ь) Т.к. взаимная информация между подсистемами удаленными на Т близка к 0, можем факторизовать матрицу. (с) Правая часть является скаляром, можно переобозначить как показано на рисунке. (^ Преобразованная частичная матрица временной сети резервуара. 55
1.34 Неравенство для энтропии фон Неймана частичной матрицы временной сети резервуара......................... 56
1.35 Зависимость логарифма достаточной размерности резервуара от безразмерных параметров, ошибка аппроксимации £ = 0.05...... 58
1.36 Сравнение динамик трех моделей: точно решаемой модели с
гамильтонианом (1.52), модели с ё, = 1 (уравнение 1.61) и модели с ё, = 2 (уравнение 1.62). Последовательные точки показывают динамику точно решаемой модели, пунктирная линия показывает динамику модели с ё, = 1, сплошная линия показывает динамику модели с ё, = 2. Сравнение выполнено для трех различных оценок ^еи точно решаемой модели........................ 61
2.1 (а) Открытая динамика системы Б (£ взаимодействует с
окружением Е) под влиянием проективных измерений в моменты времени • • •. (Ь) Марковское вложение для открытой
динамики: Б и эффективный резервуар ЕЯ эволюционируют под действием динамической полугруппы с генератором С. Тензор
процесса выделен пунктирной линией................... 67
2.2 Диаграммное представление динамики матрицы плотности целевой системы и ближнего окружения в модели столкновений. -унитарное преобразование, описывающее столкновение продолжительностью Д£.......................... 72
2.3 Точная динамика (сплошная линия) и динамика предсказанная выученной моделью (пунктирная линия) для немарковской квантовой динамики на малых временах. (о^ = Тг[^(£)о^]....... 73
2.4 Точная динамика (сплошная линия) и динамика предсказанная выученной моделью (пунктирная линия) для немарковской квантовой динамики на больших временах. (о^ = Тг[^(£)о^]...... 73
2.5 Зависимость логарифмического правдоподобия от номера итерации на обучающей выборке (синяя кривая). Горизонтальная линия (красная пунктирная кривая) показывает значение логарифмического правдоподобия, которое дает точная модель. Зеленая кривая показывает зависимость логарифмического правдоподобия на валидационной выборке. Epochs (эпохи обучения) — стандартное обозначение для количества пройденных итераций в машинном обучении...................... 75
2.6 На графике показано сравнение отклика обученного марковского вложения и истинной системы на внешнее возмущение. Сплошная кривая показывает динамику (uz) истинной системы, пунктирная кривая - обученной. Вертикальная фиолетовая линия показывает момент времени, когда к системе было приложено внешнее
возмущение................................. 76
2.7 Точная динамика (сплошная линия) и динамика, предсказанная выученной моделью, (пунктирная линия) со стандартным отклонением для немарковской квантовой динамики на маленьких временах. (œ^) = Tr[g(t)Œi]......................... 80
2.8 Точная динамика (сплошная линия) и динамика, предсказанная выученной моделью, (пунктирная линия) со стандартным отклонением для немарковской квантовой динамики на больших временах. (&i) = Tr[g(t)Œi]......................... 80
2.9 Сравнение точности томографии процесса и обучения марковского вложения................................... 82
3.1 Тензорная диаграмма для стробоскопических измерений над вспомогательной системой (probe)..................... 86
3.2 Сравнение точной динамики заселенности (точки) и динамики
заселенности рассчитанной в стробоскопическом пределе (сплошная
линяя) по формуле (3.23). Параметры модели у = 5, т = 0.04,
Q = 1. Три кривые показывают эволюцию заселенности с разными
начальными условиями. Для нижней кривой |а|2 = 0.01,
|в|2 = 0.99, для промежуточной кривой |а|2 = 0.2, |в|2 = 0.8, для
верхней кривой |а|2 = 0.6, |в|2 = 0.4................... 91
под действием селективных измерений ранга 2 на вспомогательную систему. Динамика с разрывами - точная динамика кубита а. Разрывы вызваны измерениями, которые нарушают непрерывность кривой. Сплошная линия - динамика кубита а в стробоскопическом пределе.................................... 94
4.1 Тензорные диаграммы для (а) "строительных" блоков, (b) MPS представления распределения вероятности индуцированного тетраэдральным POVM, (с) элементарный тензор из этого MPS. . . 99
4.2 Диаграммное представление для (а) операторов T-f, и Mtgtra используемых в формуле (4.9), (Ь) матрицы плотности (4.8), выраженной через генеративную модель.................100
4.3 Диаграммное представление двухточечной корреляционной функции для спиновой цепочки, полученной генерацией выборки из генеративной модели............................100
4.4 Схема генерации выборки из вариационного автоэнкодера.......103
4.5 Корреляционная функция (af о^) для разных значений внешнего магнитного поля hx. VAE — английская аббревиатура к variational autoencoder, обозначающая вариационный автокодировщик......104
4.6 Корреляционная функция (аХа^) для разных значений внешнего магнитного поля hx. VAE — английская аббревиатура к variational autoencoder, обозначающая вариационный автокодировщик......104
4.7 Средняя намагниченность вдоль оси х для каждого спина и для разных значений внешнего магнитного поля. VAE — английская аббревиатура к variational autoencoder, обозначающая вариационный автокодировщик......................105
4.8 Полная намагниченность цепочки вдоль осей х и z в зависимости от внешнего магнитного поля. Положение точки фазового перехода смещено влево из-за конечности цепочки. VAE — английская аббревиатура к variational autoencoder, обозначающая вариационный автокодировщик......................105
4.9 Сравнение распределений вероятности р[а] = Tr (дМа). Цепочка состоит из 5 спинов. Мультииндекс а упорядочен по убыванию для точной функции распределения. VAE — английская аббревиатура к variational autoencoder, обозначающая вариационный
автокодировщик...............................106
4.10 Зависимость коэффициента Бхаттачария от величины напряженности поперечного магнитного поля..............107
А.1 Деформация и обобщенное транспонирование тензора в
диаграммном виде и соответствующие команды TensorFlow......143
А.2 a) Перемножение двух тензоров как наборы матриц. Два последние индекса рассматриваются как матричные индексы, все остальные индексы нумеруют матрицу. b) Свертка двух тензоров с использованием соглашения Эйнштейна.................144
Список таблиц
1 Сравнение MPS аппроксимации чистого квантового состояния и
MPS аппроксимации TRN......................... 53
Приложение А Программирование тензорных сетей
В этом разделе мы рассмотрим подходы к программированию тензорных сетей. В качестве центрального инструмента для программирования тензорных сетей мы рассмотрим библиотеку TensorFlow 2.0. Данная библиотека предоставляет простой и удобный программный интерфейс, реализованный для языка Python. Мы выбираем TensorFlow 2.0 по следующим причинам:
1. В данной библиотеке реализованы все необходимые инструменты для работы с многомерными тензорами. Более того, библиотека имеет программные интерфейсы для работы с нейронными сетями, которые также могут быть использованы для описания многочастичных квантовых систем.
2. Библиотека позволяет проводить вычисления на графическом ускорителе, распределять вычисления между несколькими графическими ускорителями и даже между несколькими компьютерами, что значительно ускоряет вычисления.
3. Основной особенностью библиотеки является поддержка автоматического дифференцирования, что позволяет оптимизировать тензорные сети напрямую при помощи градиентного спуска.
В TensorFlow 2.0 существует два основных класса для представления тензора: класс "тензор" и класс "переменная". Класс "переменная" является аналогом класса "тензор" с расширенным функционалом. Объект класса переменная можно изменять, и по нему можно считать градиент при помощи автоматического дифференцирования в отличие от класса "тензор", в остальном эти два класса идентичны. Рассмотрим подробно класс "тензор". Объект класса "тензор" удовлетворяет определению тензора, которое мы ввели в первой главе. Существует несколько способов инициализировать тензор. Например, можно инициализировать тензор, заполнив его единицами: |т = tf.ones ( (2 , 2, 2), dtype = tf.complex64)
Здесь мы указали, что хотим создать тензор размера 2 х 2 х 2, заполненный единицами, и прописали тип данных, который хотим использовать. Можно создать тензор, заполненный нулями:
T = tf.zeros ((2, 3, 4), dtype = tf.float32)
Тензор можно инициализировать случайными числами, сгенерированными из нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией: T = tf.random.normal((2, 2, 2, 2), dtype=tf.float32)
Единичная матрица размера n х n:
T = tf.eye(n, dtype=tf.float32)
Можно также конвертировать тип данных "список" в тензор: T = tf.constant([1, 2, 3, 4, 5], dtype=tf.float32)
Здесь приведен далеко не полный список способов сгенерировать тензор в TensorFlow 2.0. Каждый тензор имеет набор атрибутов, которые задают его. Первый важный атрибут — это форма тензора. Форма тензора является кортежем Python, она может быть получена вызовом соответствующего атрибута: T.shape
Другими важными атрибутами тензора являются тип данных элемента тензора: T.dtype
а также имя устройства, в оперативной памяти которого хранится тензор: T.device
Над тензорами можно производить различные унарные операции, такие как деформация и обобщенное транспонирование. Рассмотрим пример. Пусть мы задали следующий тензор:
T = tf.random.normal((2, 4, 3), dtype=tf.float32)
Мы можем поменять его форму, вызвав следующую команду: T_resh = tf.reshape(T, (8, 3))
Здесь новый тензор будет тензором размера 8 х 3. Данная операция используется для объединения индексов в мультииндекс и для разбиения индекса в набор
Рисунок А.1 — Деформация и обобщенное транспонирование тензора в диаграммном виде и соответствующие команды TensorFlow.
индексов (тензоризация). Мы можем применить к тензору операцию обобщенного транспонирования, вызвав следующую команду: T_t = tf.transpose(T, (0, 2, 1))
Кортеж, задающий операцию обобщенного транспонирования, указывает новый порядок индексов в тензоре. Таким образом, здесь переставлены два последних индекса тензора местами. Графическая интерпретация приведена на рисунке А.1. Существуют и другие унарные операции над тензорами [124].
В TensorFlow 2.0 существует несколько способов произвести свертку тензоров. Например, если мы хотим перемножить две матрицы, нам достаточно написать:
| Т_ССПУ = Т_1 @ Т_2
Здесь тензоры не обязаны быть матрицами, они могут иметь более двух индексов. При этом два последних индекса тензоров будут рассматриваться как матричные индексы. Если нам нужно свернуть тензоры по произвольному набору индексов, мы можем воспользоваться следующей командой: I . е insum ('^к^к!->П', Т_1, Т_2)
Здесь при помощи строки мы задаем порядок свертки индексов. Правило очень простое, как и в соглашении Эйнштейна, по повторяющимся индексом до стрелки производится суммирование. После стрелки выписываются индексы, которые остаются после суммирования. Графическая интерпретация операций, описанных выше, приведена на рисунке А.2. Существуют и другие способы свернуть тензоры в TensorFlow 2.0 [124].
TensorFlow 2.0 позволяет реализовать все необходимые матричные разложения:
Рисунок А.2 — a) Перемножение двух тензоров как наборы матриц. Два последние индекса рассматриваются как матричные индексы, все остальные индексы нумеруют матрицу. b) Свертка двух тензоров с использованием
соглашения Эйнштейна.
S, U, V = tf.linalg.svd(T) Q , R = tf.linalg.qr(T) L = tf.linalg.cholesky(T) lambda, U = tf.linalg.eigh(T)
Здесь приведены команды для реализации сингулярного разложения, QR разложения, разложения Холецкого и разложения по собственным векторам самосопряженной матрицы.
TensorFlow 2.0 поддерживает большое количество поэлементных операций, например, поэлементное сложение и вычитание тензоров, поэлементное умножение и деление, поэлементное возведение в степень, поэлементное применение функций и т. д.:
T_1 + T_2 T_1 - T_2 T_1 * T_2 T_1 / T_2 T_1 ** T_2 tf.math.log (T) tf.exp(T)
Представленного функционала TensorFlow 2.0 достаточно для реализации многих алгоритмов использующих тензорные сети, в частности, алгоритмов, которые были использованы для получения результатов, описанных в диссертации.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.