Свойства металлических и сверхпроводящих фотонных кристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Эйдерман, Сергей Леонидович

• Эйдерман, Сергей Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эйдерман, Сергей Леонидович

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 Методы производства фотонных кристаллов.

1.2 Примеры фотонных кристаллов.

1.3 Изучение формирования запрещенной зоны на примере одномерных фотонных кристаллов.

1.4 Зонная структура двумерных диэлектрических фотонных кристаллов.

1.5 Формирование зонной структуры в двумерных металлических фотонных кристаллов.

1.6 Зонная структура трехмерных диэлектрических фотонных кристаллов на примере гранецентрированной и алмазной решеток.

1.7 Зонная структура и спектры прохождения отражения и поглощения трехмерных металлических фотонных кристаллов.

1.8 Спектр поглощения и излучения металлического трехмерного фотонных кристаллов типа «поленница».

Глава 2. Методы моделирования фотонных кристаллов.

2.1 Метод конечных разностей во временной области (Finite - Difference Time — Domain, FDTD).

2.2 Явная схема дискретизации Йи (схема дискретизации с перешагиванием).

2.3 Моделирование источника электромагнитного поля. модель "жесткого источника").

2.4 Моделирование источника электромагнитного поля методом полного и рассеянного поля (total — field/scattered - field method).

2.5 Поглощающие граничные условия (Perfectly Matched Layer).

2.6 Задача на собственные значения. Моделирование периодических граничных условий в рамках алгоритма FDTD.

2.7 Методы расчета полей на искривленных поверхностях.

2.8 Схема моделирования спектров фотонных кристаллов с периодическими граничными условиями при нормальном падении волны.

2.9 Моделирование наклонного падения электромагнитной волны для периодических структур.

2.10 Сравнение расчета спектра методом FDTD с точным аналитическим решением. Границы применимости алгоритма FDTD.

2.11 Метод разложения по плоским волнам (Plane Wave Expansion Method).

2.11.1 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для случая Ё - поляризованной электромагнитной волны.

2.11.2 Задача на собственные значения в двумерном фотонном кристалле для случая Й - поляризованной электромагнитной волны.

2.11.3 Задача на собственные значения в трехмерном случае.

2.12 Метод LKKR (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера).

Глава 3. Моделирование двумерных сверхпроводящих фотонных кристаллов с помощью метода разложения по плоским волнам.

3.1 Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего фотонного кристалла в модели Казимира-Гортера методом разложения по плоским волнам.

3.1.1 Выводы.

Глава 4. Расчет зонной структуры трехмерного металлического фотонного кристалла типа «поленница» методом FDTD eigen value для расчета собственных значений.J.

4.1 Описание модели расчета.

4.2 Техника моделирования.

4.3 Результаты расчета.

4.4 Выводы.

Глава 5. Формирование спектра поглощения металло-диэлектрических трехмерных фотонных кристаллов.

5.1 Описание исследуемого фотонного кристалла.

5.2 Результаты расчетов. Анализ сравнения спектров, полученных с помощью методов FDTD и LKKR.

5.3 Анализ природы спектров фотонных кристаллов.

5.4 Связь спектров поглощения с пространственным распределением интенсивности полей внутри фотонных кристаллов.

5.5 Выводы.

Глава 6. Оптический аналог эффекта Бормана в фотонных кристаллах.

6.1 Введение.

6.2 Описание исследуемой структуры.

6.3 Зависимость спектров отражения и поглощения от угла падения волны.

6.4 Пространственное распределение амплитуды энергии электромагнитного поля в фотонном кристалле. Аналог эффекта Бормана.

6.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства металлических и сверхпроводящих фотонных кристаллов»

Фотонные кристаллы (ФК, англ. - photonic crystals) представляют собой структуры, как правило, искусственные, с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью, т.е.: + *(/))=£(*) (1)

Здесь х(7)- вектор узла решетки.

Уже в 1972 г. в работе В.П. Быкова [1] было показано на примере одномерных периодических структур, что периодические структуры позволяют управлять спонтанным излучением, внедренных в матрицу структуры молекул и атомов. В рамках одномерной модели им был проведен расчет, показавший, что спонтанное излучение может быть существенно подавлено в некотором диапазоне длин волн.

Начиная с работы Э. Яблоновича [2] в 1986 г. и Джона [3], ФК стали одним из наиболее исследуемых объектов в современной физике наноструктур.

В зависимости от числа компонент в векторе *(/) в формуле (1) различают одно-, двух- и трехмерные ФК (Рис. 1). периодичность периодичность периодичность в одном в двух в трех направлении направлениях направлениях

Рис. 1 Типы фотонных кристаллов.

Распространение излучения внутри ФК благодаря свойству периодичности становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. Аналогия между квантово 4 механическим поведением электронов в обычных кристаллах и фотонов в ФК имеет строгое математическое обоснование. Именно: уравнения Максвелла после несложных преобразований могут быть представлены в виде, формально идентичном уравнению Шредингера для волновой функции электрона.

Таким образом, электромагнитные волны в ФК имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычном кристалле. Именно эта аналогия, на которую для трехмерных ФК обратил внимание Э. Яблонович [2], и стала источником многих идей в развитии оптики ФК. Отметим, что вышеуказанная аналогия - неполная:

1. Собственные функции для фотонного кристалла - векторные, а не скалярные, как для электронов, и поэтому, в частности, фотонные щели могут зависеть от поляризации поля;

2. Лишь для простых частотных зависимостей диэлектрической функции материалов, составляющих фотонный кристалл, уравнения, определяющие спектр фотонного кристалла, сводится к уравнению, типа Шредингера. Однако, как легко показать, эти уравнения в любом случае имеют вид уравнений Матье:

Квантовая механика Электродинамика

Волновая функция поле). iEI у(Г,1) = цг{г)е~ h H(?,t) = Н(Г)е~ш'

Задача на собственные значения л Нцг = Ец! А # = (—)# с

Оператор п2 2т А = V •( 1 )V- V)

Из приведенного сравнения видно, что в обоих случаях, как для движения электрона в периодическом потенциале решетки, так и для фотона в фотонном кристалле, задача сводится к нахождению собственных значений уравнения вида: л

АХ = ВХ.

Итак, при определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели, аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от свойств ФК (материала элементов, их размера и постоянной решетки) могут образовываться как полностью запрещенные по частоте зоны 5 photonic band gap, PBG), для которых распространение излучения невозможно в независимости от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп - зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях.

Кроме того, оказалось, что расчеты процессов распространения электромагнитных волн в ФК, могут быть осуществлены с помощью компьютерного моделирования со значительно более высокой степенью точности, чем соответствующие задачи для электронов в кристалле. Связано это, прежде всего с конкретными методами моделирования ФК (речь о которых подробно пойдет ниже), которые являются практически неприменимыми для расчета электронных кристаллов. Причина состоит в одном из фундаментальных различий между фотонами и электронами — электроны обладают сильным взаимодействием между собой. Поэтому «электронные» задачи, как правило, требуют учета многоэлектронных эффектов, сильно увеличивающих размерность задачи, что заставляет часто использовать не достаточно точные приближения, в то время как в ФК, состоящем из элементов с пренебрежимо малым нелинейно-оптическим откликом, данная трудность практически отсутствует.

Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения (например, для управления квантово-электродинамическими процессами), так и для многочисленных приложений, что обуславливает актуальность настоящей работы. На основе ФК могут быть созданы: высокочастотные фильтры и волноводы с высокими коэффициентами передачи, [4], [5], [6], [7], [8], [9]; разнообразные типы антенн [10],[11],[12],[13],[14],[15],[16], в том числе высоко направленных, обладающих превосходной селективностью; "суперпризмы", осуществляющие фокусировку электромагнитного излучения [17],[18],[19],[20]; высокоэффективные излучающие устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением [21],[22],[23],[24],[25],[26],[27] ,[28],[29].

Данная диссертация является продолжением работ, направленных на исследование свойств ФК. Основным объектом исследования являются металлические, металло-диэлектрические и сверхпроводящие фотонные кристаллы.

Цель диссертационной работы:

1. Расчет зонной структуры двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК методом разложения по плоским волнам в модели Казимира-Гортера; выявление зависимости положения и ширины запрещенной зоны от температуры сверхпроводника.

2. Расчет зонной структуры трехмерного металлического ФК, представляющего собой «поленницу» - периодическую систему скрещенных под прямым углом металлических прямоугольных параллелепипедов методом конечных разностей для решения задачи на собственные значения (FDTD — eigen value) в модели Друде-Лоренца. Установление зависимости положения границы запрещенной фотонной зоны от геометрических параметров системы. Выявление "правил дизайна" - оптимальных геометрических параметров, при которых фотонная щель расположена в инфракрасной области спектра.

3. Исследование спектров, зонных структур, а также их связи с пространственным распределением полей в металло-диэлектрическом ФК, представляющем собой слои прямого металлического гранецентрированного опала, помещенного в диэлектрическую матрицу. Выявление влияния диэлектрического окружения на формирование спектра поглощения.

4. Обнаружение нового эффекта, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет спектров прохождения, отражения и поглощения при наклонном падении s-поляризованной электромагнитной волны на ФК слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR), представляющий собой опал с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металло-диэлектрические шарики. Исследование зависимости коэффициента поглощения от угла падения электромагнитной волны; расчет картины пространственного распределения энергии в каждом из слоев ФК методом конечных разностей (FDTD) и анализ связи указанного распределения с коэффициентом поглощения.

Итак, предметом диссертации служит численное моделирование и исследование зонных структур, плотности состояний, а также спектров прохождения отражения и поглощения для различных видов двумерных и трехмерных фотонных кристаллов, наряду с этим мы рассчитываем, где это необходимо, пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемых структур.

Рассмотрим теперь некоторые особенности методов исследования. В качестве них здесь выступают численные методы моделирования, подробному описанию каждого из которых посвящена вторая глава настоящей работы, а именно: метод конечных разностей (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), метод разложения no плоским волнам (Plane'Wave Expansion Method), а также слоевой метод LKKR (слоевой метод Коринга-Кона-Ростокера).

Метод конечных разностей для решения уравнений Максвелла, зависящих от времени (Finite - Difference Time - Domain, FDTD), представляет собой численную процедуру, в рамках которой производится прямое интегрирование этих уравнений. Это самый общий и вместе с тем самый громоздкий метод расчета свойств фотонных кристаллов, требующий больших временных и компьютерных ресурсов. Метод FDTD основан на численной дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной пространственно-временной формулировке. Сетки для электрического и магнитного полей смещены по отношению друг к другу во времени и пространстве на половину шага дискретизации по каждой из пространственных переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют рассчитать электрические и магнитные поля в данный момент времени на основании известных значений полей в предыдущий момент времени, и при заданных начальных условиях вычислительная процедура дает эволюционные решения для каждой из компонент электромагнитного поля во времени от начала отсчета с заданным шагом. В рамках FDTD численно моделируется электромагнитная- волна, которая, распространяясь в вычислительном объеме, падает на исследуемую структуру. Амплитуда прошедшей и отраженной волны записывается на детекторах в зависимости от времени. Нормируя ее на падающий импульс, усреднив по положению детекторов и взяв преобразование Фурье от этого отношения можно получить интересующие нас спектры отражения прохождения и поглощения. Отметим, что в рамках метода конечных разностей может быть произведен расчет зонных спектров фотонных кристаллов, а также смоделированы все процессы по рассеянию электромагнитных волн.

Слоевой метод LKKR (от англ. layered Korringa-Kohn-Rostoker method) основан на теории многократного рассеяния электромагнитных волн и предназначен для вычисления спектральных характеристик структур с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью (например, фотонных кристаллов). В рамках этого алгоритма рассматривается трехмерная периодическая структура, имеющая бесконечные размеры в двух измерениях (напр. X и Y) и обладающая конечной толщиной в третьем измерении (Z). В Z-измерении производится разбиение структуры на слои, каждый из которых представляет собой двумерную решетку. Разложение электрического и магнитного полей, входящих в уравнения Максвелла, проводится следующим образом: 1) на первом этапе решается задача рассеяния плоской электромагнитной волны на одной сфере, при этом производится разложение волны по векторным сферическим функциям с учетом граничных условий на поверхности сферы; 2) учитывается двумерная кристаллическая симметрия слоя. Получающаяся матрица (матрица перехода) , преобразует электромагнитное поле слева (до) слоя в поле справа (после) слоя. Вышеописанная процедура повторяется для каждого следующего слоя, и результирующая матрица преобразует электромагнитное поле слева (до) структуры в поле справа (после) структуры (дополнительно может быть учтено; что фотонный кристалл погружен в диэлектрический слой конечной толщины). И, наконец, вычисление потока энергии отраженного (прошедшего) поля слева (справа)1 от структуры дает коэффициенты прохождения, отражения и поглощения. Отметим, что по сравнению с методом FDTD слоевой метод LKKR является гораздо менее ресурсоемким, однако накладывает ряд ограничений. В частности он позволяет моделировать структуры, содержащие лишь сферические и цилиндрические рассеиватели в трехмерном и двумерных случаях, соответственно. Кроме того, с помощью него оказывается невозможным получить пространственное распределение электромагнитных полей внутри исследуемой структуры.

Метод разложения по плоским волнам , является одним из основных методов расчета зонной структуры и собственных мод ФК. Данный метод основан на трансляционной симметрии фотонного кристалла, что позволяет свести стационарные уравнения Максвелла к системе алгебраических уравнений. В рамках данного метода диэлектрическая проницаемость, являющаяся функцией периодической, раскладывается в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье могут быть получены интегрированием по всей площади элементарной ячейки фотонного кристалла. Компоненты электромагнитного поля также раскладываются в ряд Фурье. Подставляя указанные разложения в волновое уравнение можно получить задачу на собственные значения, решив эту задачу с помощью диагонализации соответствующей матрицы. Таким образом, для каждого значения блоховского вектора К будет получен набор собственных частот о)(к), каждая из которых является непрерывной функцией от К и образует отдельную дисперсионную кривую. Если блоховский вектор в ячейке обратной решетки будет меняться по контуру в первой зоне Бриллюэна содержащему все точки симметрии для данной решетки, полученная зависимость ю(к) даст нам искомую зонную структуру ФК. Метод разложения по плоским волнам является наименее ресурсоемким по сравнению с двумя вышеописанными методиками, однако накладывает еще целый ряд ограничений (подробно см. главу 2). Например, с помощью него невозможен расчет зонных структур трехмерных металлических фотонных кристаллов. Кроме того, данный метод оперирует лишь с бесконечными периодическими структурами и с помощью него нельзя осуществить расчет спектров отражения пропускания и поглощения.

Достоверность результатов компьютерного моделирования с применением вышеописанных методов обеспечивается системой многократных проверок работы кодов. Для метода конечных разностей FDTD выполнены сравнение спектров отражения и прохождения, получаемых для однородной диэлектрической пластины с эквивалентными результатами, полученными аналитически по формулам Френеля. Также работа алгоритма проверена путем сравнения результатов FDTD с аналитическим решением Ми для одиночной сферы. Верификация слоевого метода Корринга-Кона-Ростокера (LKKR) ю проведена путем аналогичного сравнения. Отметим, что оба метода демонстрируют высокую степень согласия с аналитическими решениями. Наряду с этим был осуществлен ряд проверок совместной работы этих кодов для расчета эквивалентных более сложных структур, представляющих собой непосредственно ФК. Результаты расчетов соответствующих спектров полученных этими двумя независимыми методами показывают хорошую степень согласия друг с другом. Проведена также серия расчетов направленных на сравнение работы кодов с экспериментальными статьями. Здесь также получена высокая степень соответствия результатов. Достоверность работы алгоритма разложения по плоски волнам (PWEM) также сравнивалась с работой двух вышеуказанных алгоритмов. Положение запрещенных зон для ФК по соответствующим направлениям совпадает с соответствующими провалами в прохождении (максимумами в отражении) полученными методами FDTD и LKKR. Кроме того, работа этого метода была согласована с более ранними теоретическими работами.

Рассмотрим теперь новые научные результаты, полученные в рамках данной* диссертации:

1. Впервые методом разложения по плоским волнам получена зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Исследована зависимость ширины и положения запрещенных зон от температуры сверхпроводника.

2. Проведена оптимизация структуры, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Выявлены оптимальные геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем ИК диапазоне.

3. Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению (111) и помещенных в диэлектрическую матрицу. Показано влияние диэлектрического окружения на спектры поглощения. Впервые найдена связь пространственного распределения энергии электромагнитного поля внутри ФК и структуры соответствующих спектров поглощения. Установлено, что рассмотренный ФК может быть использован в качестве источника света с высокой селективностью, благодаря низкому коэффициенту поглощения в области фотонной щели, лежащей в ИК диапазоне.

4. Установлена резкая зависимость коэффициента поглощения от угла падения для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Впервые показано, как происходит перестройка пространственного распределения амплитуды энергии электромагнитного поля в зависимости от угла падения волны. Предсказан новый эффект, являющийся оптическим аналогом эффекта Бормана известного в рентгеновской спектроскопии. Расчет показал, что по аналогии с классическим эффектом Бормана, наблюдаемым в обычных кристаллах, в ФК имеется схожий эффект. При наличии острой зависимости поглощения от угла падения волны найдено, что в максимуме поглощения, наблюдаются острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев локализованы в основном между узлами решетки ФК. Положения, выносимые на защиту:

1. Исследована зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Показано, что, меняя лондоновскую глубину проникновения для различных температур, можно влиять на фотонный зонный спектр. Так при температуре Т = 85К край полной нижней запрещенной зоны соответствует частоте / = 0.95 THz. Верхняя щель лежит в диапазоне 1.45THz < / < 1.64 THz. При уменьшении температуры до Т=10К, край нижней запрещенной зоны смещается в высокочастотную область / = I THz. Край верхней щели также сдвигается в высокочастотную область: 1.45THz < / < 1.68 THz.

2. Установлена зависимость положения границы запрещенной фотонной зоны от геометрических параметров системы, представляющей собой «поленницу» периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Проведено построение зонной структуры для

12 четырех различных геометрических параметров: расстояние между брусками-1500 nm, толщина - 750 nm, высота - 500 nm и уменьшенных пропорционально в

2, 3.3 и 5 раз, соответственно. Обнаружена полная запрещенная зона, лежащая в инфракрасном диапазоне, с краем, находящимся на длине волны 2560 нм. Показано практически пропорциональное изменение ширины фотонной щели при указанном изменении геометрических параметров решетки. Оптимальные геометрические параметры, позволяющие локализовать фотонную щель во всем ИК диапазоне следующие: расстояние между брусками - 450nm, толщина -225пш, высота - 150пш. В этом случае край запрещенной зоны соответствует длине волны в 770nm.

3. Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению (111). Период решетки: а = 500 нм (расстояние между соседними сферами: r = aN2), отношение объема металла к объему ФК: / = 1%. Рассмотрено два случая: в первом из них металлические шарики (находящиеся в узлах гранецентрированной решетки) были погружены в диэлектрическую пластинку с £те(1ш= 12, во втором -металлические шарики помещались в центрах сферических полостей обратного опала с плотноупакованной структурой и диэлектрической проницаемостью среды =12. Показано, что важную роль в формировании спектра поглощения без сферических полостей играет диэлектрик, в который погружены металлические шарики со структурой опала. В случае присутствия сферических полостей формирование спектра поглощения во многом обусловлено зонной структурой обратного диэлектрического опала. Построение методом FDTD пространственного распределения энергии электромагнитного поля показало, что в случае присутствия сферических полостей длина волны, при которой поглощение практически обращается в ноль, отвечает минимум интенсивности поля на металлических шариках. При отсутствии воздушных сферических полостей, максимум поглощения отвечает локализации максимумов интенсивности поля на металлических (поглощающих) шариках.

4. Предсказан новый эффект, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. С помощью численного моделирования слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR) вычислены спектры прохождения, отражения и поглощения для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Исследовано изменение спектров прохождения, отражения и поглощения для электромагнитной волны при увеличении количества слоев фотонного кристалла. Установлено, что пяти слоев достаточно для того, чтобы характерные особенности спектра фотонного кристалла, связанные с брэгговским переотражением, проявились в спектре в области средних (300-800 нм) длин волн. Исследована зависимость коэффициента поглощения ФК от угла падения электромагнитной волны на поверхность кристалла. Обнаружена область значений длин волн X и углов наклона к нормали

0, при которых поглощение резко изменяется при небольшом изменении параметров. Конечноразностным методом решения уравнений Максвелла во временной форме (FDTD) построено распределение интенсивности электрического поля внутри каждого из пяти слоев ФК для углов падения 23° и 30° на длине волны 455 нм. Показано, что в максимуме поглощения, наблюдаются острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев локализованы в основном между узлами решетки ФК. Этот эффект может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии.

Практическая значимость работы:

1. Предложен новый тип сверхпроводящего ФК, поглощение для которого отсутствует в диапазоне частот, лежащем ниже сверхпроводящей щели. Показано, что с помощью такого типа ФК имеется возможность управления его сверхпроводящей щелью, а, следовательно, и электромагнитными свойствами (в частности, фотонной щелью) с помощью температуры и внешних магнитных полей. Подобный тип ФК может быть успешно применен в терагерцовом диапазоне в качестве высокочастотного фильтра.

2. Для ФК типа «поленница» определены правила дизайна (оптимальные геометрические параметры), позволяющие получить фотонную щель во всем инфракрасном диапазоне, что позволяет использовать такую структуру в качестве высокоэффективного источника света.

3. Выявлено влияние диэлектрической матрицы на спектр поглощения помещенного в нее металлического гранецентрированного опала. Установленная зависимость позволяет управлять поглощением рассматриваемой структуры, а также оптимизировать излучение в видимом диапазоне спектра.

4. Предсказан новый эффект, являющийся оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеноскопии. Рассчитанная резкая зависимость поглощения от угла падения волны может позволить использовать структуры типа опала в качестве оптических переключателей, а также оптического фильтра, чувствительного к углу падения волны.

По результатам диссертационного исследования опубликованы 5 научных работ в ведущих российских и зарубежных журналах, 3 из которых входят в перечень изданий, рекомендованных ВАК (см. стр. 129). Сделано 8 докладов на российских и международных конференциях.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Эйдерман, Сергей Леонидович

6.5 Выводы

Наличие в фотонных кристаллах трансляционной симметрии приводит к тому, что нормальными модами электромагнитного поля, существующими в кристалле, являются функции Блоха. Таким образом, электромагнитные волны в фотонных кристаллах имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычных кристаллах.

В работе показано, что изменение угла падения электромагнитного поля на поверхность фотонного кристалла в узком диапазоне на определенной длине волны, приводит к глобальной перестройке пространственного распределения амплитуды энергии электромагнитного поля внутри одной элементарной ячейки фотонного кристалла. Вследствие этого происходит резкое изменение поглощения электромагнитного поля внутри кристалла в зависимости от угла падения электромагнитной волны. Максимуму поглощения поля соответствует такое пространственное распределение энергии, при котором энергия поля локализована у поверхности поглощающих металлических шариков. Напротив, в минимуме поглощения наблюдается локализация амплитуды энергии поля строго между узлами решетки фотонного кристалла. Указанное явление может служить аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеноскопии.

Однако следует отметить, что найденное соответствие является неполным. Во-первых, механизм поглощения рентгеновского излучения в электронных кристаллах отличается от механизма поглощения электромагнитного излучения в фотонных кристаллах. В случае обычных кристаллов за поглощение рентгеновского излучения отвечают возбуждения электронов из нижних электронных оболочек. В случае же рассматриваемых ФК механизм поглощения обуславливают как внутризонные, так и межзонные переходы в металле. Во-вторых, в случае эффекта Бормана для рентгеновского излучения, усиление поглощения наблюдается в первом порядке дифракции на семействе кристаллических плоскостей, параллельных поверхности кристалла; в исследованном нами металло-диэлектрическом фотонном кристалле подобный эффект дифракции первого порядка для поглощения подавлен высоким значением отражения и наблюдается только во втором порядке для семейства кристаллических плоскостей (111), лежащих под углом 70.52° к поверхности фотонного кристалла.

7 Заключение

В заключение приведем основные результаты настоящей работы.

1. Впервые методом разложения по плоским волнам получена зонная структура двумерного сверхпроводящего (YBaCuO) ФК в модели Казимира-Гортера. Показано, что, меняя лондоновскую глубину проникновения для различных температур, можно влиять на фотонный зонный спектр. Так при температуре Т = 85К край полной нижней запрещенной зоны соответствует частоте / = 0.95 THz. Верхняя щель лежит в диапазоне 1.45THz < / < 1.64 THz. При уменьшении температуры до Т-10К, край нижней запрещенной зоны смещается в высокочастотную область / = 1 THz. Край верхней щели таюке сдвигается в высокочастотную область: 1.45THz</<1.68THz. Таким образом, данный ФК можно использовать в качестве высокочастотного фильтра электромагнитного излучения в терагерцовом диапазоне с полосой пропускания регулируемой с помощью температуры или внешних магнитных полей.

•2. Используя метод конечных разностей для решения задачи на собственные значения (FDTD - eigen value) в модели Друде-Лоренца установление

123 зависимости положения- границы запрещенной фотонной зоны; от геометрических параметров системы, представляющей собой «поленницу» -периодическую систему скрещенных под прямым углом вольфрамовых прямоугольных параллелепипедов. Проведено построение зонной структуры для четырех различных геометрических параметров: соответствующих эксперименту [21] (расстояние между брусками- 1500 пт, толщина — 750 пт, высота - 500 пт) и уменьшенных пропорционально в 2, 3.3 и 5 раз, соответственно. Обнаружена полная запрещенная зона, лежащая в инфракрасном диапазоне, с краем, находящимся на длине волны 2560 нм, что хорошо согласуется с результатами [21]. Показано практически пропорциональное изменение ширины фотонной щели при указанном изменении геометрических параметров решетки.

3. Исследованы спектры, и зонная структура ФК с геометрией прямого гранецентрированного опала, состоящего из трех слоев, разрезанных перпендикулярно кристаллографическому направлению . (111). Период решетки: а = 500 нм (расстояние между соседними сферами: г-аЫ2), отношение объема, металла к объему ФК: / = 1%. Рассмотрено два случая: в первом из - них металлические шарики (находящиеся в. узлах гранецентрированной решетки) были погружены в диэлектрическую пластинку с emcdja =12, во втором - металлические шарики помещались в центрах сферических полостей обратного опала с плотноупакованной структурой и диэлектрической проницаемостью среды smedja =12. Показано, что важную роль в формировании спектра поглощения без сферических полостей играет диэлектрик, в который погружены металлические шарики со структурой опала. В случае присутствия сферических полостей; формирование спектра поглощения во многом обусловлено зонной структурой обратного диэлектрического опала. Построение методом FDTD пространственного распределения энергии электромагнитного поля показало, что в случае присутствия сферических полостей длина волны, при которой поглощение практически обращается в ноль, отвечает минимум интенсивности поля на металлических шариках. При отсутствии воздушных сферических полостей, максимум поглощения отвечает локализации максимумов интенсивности поля на металлических (поглощающих) шариках.

4. Получен новый эффект, который может служить оптическим аналогом эффекта Бормана, известного в рентгеновской спектроскопии. С помощью численного моделирования слоевым методом Корринга-Кона-Ростокера (LKKR) рассчитаны спектры прохождения, отражения и поглощения, для s-поляризованной электромагнитной волны, падающей на ФК, имеющего структуру опала с гранецентрированной решеткой, в узлах которой помещены двухслойные металлодиэлектрические шарики. Исследовано изменение спектров прохождения, отражения и поглощения для электромагнитной волны при увеличении количества слоев фотонного кристалла. Установлено, что пяти слоев достаточно для того, чтобы характерные особенности спектра фотонного кристалла, связанные с брэгговским переотражением, проявились в спектре в области средних (300-800 нм) длин, волн. Исследована зависимость коэффициента поглощения ФК от угла падения электромагнитной волны на поверхность кристалла. Обнаружена область значений длин волн X и углов наклона к нормали 0, при которых поглощение резко изменяется при небольшом изменении параметров. Конечноразностным методом решения уравнений Максвелла во временной форме (FDTD) построено распределение интенсивности электрического поля внутри каждого из пяти слоев ФК для углов падения 23° и 30° на длине волны 455 нм. Показано, что в максимуме поглощения, наблюдаются острые максимумы интенсивности электрического поля, локализованные на поверхности поглощающих металлических ядер. В тоже время, в минимуме поглощения максимумы распределения поля в каждом из пяти слоев локализованы в основном между узлами решетки ФК. Однако следует отметить, что найденное соответствие с эффектом Бормана, наблюдаемым в обычных кристаллах, является неполным. Во-первых, механизм поглощения рентгеновского излучения в электронных кристаллах отличается от механизма поглощения электромагнитного излучения в ФК. В случае обычных кристаллов за поглощение рентгеновского излучения отвечают возбуждения электронов из нижних электронных оболочек. В случае же рассматриваемых ФК механизм поглощения обуславливают как внутризонные, так и межзонные переходы в металле. Во-вторых, в случае эффекта Бормана для рентгеновского излучения, усиление поглощения наблюдается в первом порядке дифракции на семействе кристаллических плоскостей, параллельных поверхности кристалла; в исследованном нами металло-диэлектричском фотонном кристалле подобный эффект дифракции первого порядка для поглощения подавлен высоким значением отражения и наблюдается только во втором порядке для семейства кристаллических плоскостей (111), лежащих под углом 70.52° к поверхности фотонного кристалла. Благодарности:

Хочу выразить особую благодарность моему руководителю - Лозовику Юрию Ефремовичу за» постановку темы диссертации, формулировку задач исследования и плодотворное обсуждение результатов работы. Отдельную благодарность выражаю моему соавтору Богдановой* Марии, за ценные обсуждения и решение некоторых вопросов в процессе работы, а также Алексею Дейнеге, Арсению Айбушеву, Илье Валуеву и Сергею Белоусову за помощь в решении вопросов программирования и стимулирующие дискуссии по теме диссертационного исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эйдерман, Сергей Леонидович, 2009 год

1. Bykov V.P., Spontaneous emission in a periodic structure., Sov. Phys. JETP, v. 35. pp. 269-273., (1972).

2. Yablonovich E., Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics., Phys. Rev. Lett., v. 58, pp. 2059-2061, (1987).

3. John S., Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices. Phys. Rev. Lett., v. 58, pp. 2486-2488, (1987).

4. V. N. Astratov, D. M. Whittaker, I. S. Culshaw, R. M. Stevenson, M. S. Skolnick, T. F. Krauss, and R. M. De La Rue. Photonic band-structure effects in the reflectivity of periodically patterned waveguides. Phys. Rev. B, 60 (24), pp. 16255-16258, (1999).

5. S. G. Johnson, S. Fan, P. R. Villeneuve, J. D. Joannopoulos, and L. A'. Kolodziejski. Guided'modes in photonic crystal slabs, Phys. Rev. B; 60 (8), pp. 5751-5758, (1999).

6. S. G. Johnson, PI R. Villeneuve, S. Fan, and J. D. Joannopoulos, Linear waveguides in photonic-crystal slabs, Phys. Rev. B, 62 (12), pp. 8212-8222, (2000).

7. A. Chutinan and S. Noda. Waveguides and waveguide bends in two-dimensional photonic crystal slabs. Phys. Rev. B, 62 (7), pp. 4488^1492, (2000).

8. M. M. Sigalas, R. Biswas, К. M. Но, С. M. Soukoulis, and D. D. Crouch, Waveguides in 3-D Metallic Photonic Band Gap Materials, Phys. Rev. B, 60, p. 4426 (1999).

9. H. Bertoni, L.-H. Cheo, and T. Tamir, Frequency-selective reflection and transmission by a periodic dielectric layer, ШЕЕ Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-37, no. 1, pp. 78-83, Jan (1989).

10. W. Leung, R. Biswas, S.D. Cheng, M. Sigalas, J.S. McCalmont, G. Tuttle, and K.M. Ho, Slot antennas on photonic band gap crystals, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 45, p. 1569, (1997).

11. I. J. Bahl, P. Bhartia, and S. S. Stuchly, Design of microstrip antennas covered with a dielectric layer, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-30, no. 2, pp. 314-317, Mar. (1982).

12. A. K. Bhattacharyya, Analysis of multilayer infinite periodic array structures with different periodicities and axes orientation, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-48, no. 3, pp. 357-369, Mar (2000).

13. E. R. Brown and О. B. McMahon, High zenithal directivity from a dipole antenna on a photonic crystal, Applied Physics Letters, vol. 68, no. 9, pp. 1300-1302, Feb (1996).

14. E. R. Brown, C. D. Parker, and E. Yablonovitch, "Radiation properties of a planar antenna on a photonic-crystal substrate, Journal of the Optical Society of America

15. B, vol. 10, no. 2, pp. 404-407, Feb (1993).

16. Z. Cai and J. Bornemann, Rigorous analysis of radiation properties of lossy patch resonantors on complex anisotropic media and lossy ground metallization, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. AP-42, no. 10, pp. 1443-1446, Oct (1994).

17. J; В: Pendry, Negative Refraction Makes a Perfect Lens, Phys. Rev. Lett., v. 85, 18, Oct. (2000).

18. T. Ochiai and J. Sanchez-Dehesa, Superprism effect in opal-based photonic crystals, Phys. Rev. B, 64 (24), 245113, Dec (2001).

19. S. Y. Lin, J. Moreno, and J. G. Fleming, Three-dimensional photonic-crystal emitter for thermal photovoltaic power generation, Appl. Phys. Lett. 83, pp. 380-3822003).

20. J: G. Fleming, S. Y. Lin, I. El-Kady, R. Biswas, and К. M. Ho, All-metallic three-dimensional photonic crystals with a large infrared bandgap, Nature 417, pp. 52-55 (2002).

21. S.-Y. Lin, J. Moreno, and J. G. Fleming, Response to Comment on Three-dimensional photonic-crystal emitter for thermal photovoltaic power generation, Appl. Phys. Lett. 84, p. 1999 (2004).

22. H. Sai, H. Yugami, Y. Akiyama, Y. Kanamori, and K. Hane, Spectral control of thermal emission by periodic microstructured surfaces in the near-infrared1 region, J. Opt. Soc. Am. A 18, pp. 1471-1476 (2001).

23. J.-J. Greffet, R. Carminati, K. Joulain, J.-P. Mulet, S. Mainguy, and Y. Chen, Coherent emission of light by thermal sources, Nature 416, pp. 61-64, (2002).

24. H. Sai, T. Kamikawa, Y. Kanamori, K. Hane, H. Yugami, and M. Yamaguchi, • Thermophotovoltaic Generation with Microstructured Tungsten Selective Emitters, in Proceedings of the Sixth NREL Conference on Thermophotovoltaic, (2002).

25. A. Narayanaswamy and G. Chen, Thermal emission control with one-dimensional metallodielectric photonic crystals, Phys. Rev. В 70, 125101-125104, (2004).

26. С. Luo, A. Narayanaswamy, G. Chen, and J. D. Joannopoulos, Thermal Radiation from Photonic Crystals: A Direct Calculation, Phys. Rev. Lett. 93, 213905-2139082004).

27. B. J. Lee, C. J. Fu, and Z.M. Zhang, Coherent thermal emission from one-dimensional photonic crystals, Appl. Phys. Lett. 87, pp. 071904-071906; (2005).

28. Oleg L. Berman, Yu. E. Lozovik, S. L. Eiderman, Rob. D. Coalson; Superconducting photonic crystals: Numerical calculations of the band structure, Phys. Rev. В 74, 092505, (2006).

29. Ю.Е. Лозовик, C.JI Эйдерман, Свойства сверхпроводящих фотонных кристаллов ФТТ, вып. 11, том 50, стр. 1944-1947, (2008).

30. Yu. Е. Lozovik, S. L. Eiderman, and М. Willander, The two-dimensional superconducting photonic crystal, Las. Phys., Vol. 17, No. 9, pp. 1183-1186(4), (2007).

31. Ю.Е. Лозовик, С.Л Эйдерман. Расчет зонного спектра трехмерных металлических фотонных кристаллов с помощью зависящих от времени уравнений Максвелла, Мат. Мод., том 18, №12, стр. 35-42, (2006)i

32. M.V. Bogdanova, S. L. Eiderman. Yu. E. Lozovik, and M. Willander, The absorption spectra versus field distribution for metal-dielectric three-dimensional photonic crystals, Las. Phys, Vol. 18, pp. 417-423, No. 4, (2008).

33. Богданова M.B, Лозовик Ю.Е, Эйдерман С.Л, Белоусов С.А, Валуев И.А, Дейнега А.В., Формирование спектра поглощения металло-диэлектрических трехмерных фотонных кристаллов, Мат. Модел, том 21, №5, с. 21-40, (2009) в печати.

34. Богданова М.В., Лозовик Ю.Е., Эйдерман С.Л., Оптический аналог эффекта Бормана в фотонных кристаллах, ЖЭТФ, в печати.

35. Yu. Е. Lozovik, S. L. Eiderman, M.V. Bogdanova, Optical analogue of the Bormmann effect for the photonic crystals, Phys. Rev., in print.

36. G. Subramania, K.Constant, R. Biswas, M.M. Sigalas, K.M. Ho, Optical Photonic Crystals Synthesized from Colloidal Systems of Polystyrene Spheres and Nanocrystalline Titania, IEEE Journal of Lightwave Technology, 17, № 11, 1970, (1999).

37. S.H. Park and Y. Xia, Assembly of Mesoscale Particles over Large Areas and It's Application in Fabricating Tunable Optical Filters, Langmuir, Vol. 23, pp. 266-273 (1999).

38. S.H. Park, B. Gates, Y. Xia, A Three-Dimensional Photonic Crystal Operating in the Visible Region, Advanced Materials, Vol. 11, pp. 466-469, (1999).

39. A. van Blaaderen, R. Ruel, and P. Wiltzius. Template-directed colloidal crystallization. Nature, 385 (6614), pp. 321 324, (1997).

40. PbJiang; Ji F. Bertone, К. S: Hwang, and V. L. Colvin, Single-Crystal Со11о1ё1а1Шии11ауег8 of ControllediTKicknesSj Chem. Mater., 11(8); pp. 2132-2140, (1999).

41. Krauss T.F., De.La.Rue R.M, S.Brand, Two-dimensional photonic-bandgap structures operating at near infrared wavelengths, NATURE vol! 383, pp. 699-702, (1996) .

42. R. D. Meade, K. EC Brommer, A. M. Rappe, and J.D. Joannopoulos, Existence of a photonic band gap in! two dimensions; Phys. Rev. Lett., vol; 61, no. 4, pp. 495-497, (1992).

43. A. A. Maradudin and A. R. McGurn, Photonic band structure of a truncated, two-dimensional, periodic dielectric medium, Journal of the Optical Society of America B, vol} 10, no. 2, pp. 307-313, Feb (1993).

44. P: R: Villeneuve and M. Pich'e, Photonic band gaps in two-dimensional square and hexagonal lattices^ Phys. Rev. B; vol! 46, no. 8, pp. 4969-4972, Aug (1992).

45. J. N. Winn, R. D; Meade, and J. D. Joannolpoulos, Two-dimensional photonic bandgapr materials, Journal of Modern Optics, vol. 41, no. 2, pp. 257-273, (1994).

46. V. Kuzmiak, A. A. Maradudin, F. Pincemin, Photonic band structures of two-dimentional systems containing metallic components, Phys. Rev., 50 B, 23, (1994).

47. V. Kuzmiak, A. A. Maradudin, Photonic band structures of one- and two-dimentional periodic systems with metallic components in the presence of dissipation, Phys. Rev., 55 B, 12, (1997).

48. К. M. Но, С. T. Chan, and С. M. Soukoulis, Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures, Phys. Rev. Lett. 65, 3152, (1990).

49. H. Miguez, C. Lopez, F. Meseguer, A. Blanco, L. Vazquez, R. Mayoral, M. Ocana, V. Fornes, A. Mifsud, Photonic crystal properties of packed submicrometric Si02 spheres, Appl. Phys. Lett. 71, pp. 1148-1150, (1997).

50. К. M. Но, С. T. Chan, and C.M. Soukoulis, Photonic gaps for EM waves in periodic dielectric structures: Discovery of the diamond structure, in Photonic Band Gaps and Localization, ed. by C.M. Soukoulis, p. 235, (Plenum Publ. 1993).

51. John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, Robert D. Meade,

52. Photonic crystals. Molding the flow of light. Second edition, Princeton University Press, (2008).

53. Z. Wang, С. T. Chan, W. Zhang, N. Ming, and P. Sheng, Three-dimensional self-assembly of metal nanoparticles: Possible photonic crystal with a complete gap below the plasma frequency, Phys. Rev. В 64, 113108, (2001).

54. A. Taflove, S. C. Hagness, Computation Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 2nd Edition. Boston, MA: Artech House, (2000).

55. К. S. Kunz and R. J. Luebbers, The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics, Boca Raton, FL, CRC Press, (1993).

56. D. M. Sullivan, Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method, N.Y.: IEEE Press, (2000).

57. K. S. Yee, Numerical solution of boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 14 (3), pp. 302-307, (1966).

58. V. Shankar, A. Mohammadian, and W. F. Hall, A time-domain finite-volume treatment for the Maxwell equations, Electromagnetics 10, p. 127, (1990)

59. Pereda J. A., Garcia O., Vegas A., Prieto A. Numerical dispersion and stability analysis of the FDTD technique in lossy dielectrics. IEEE Microwave and guided wave letters, Vol. 8(No. 7), pp. 245-247, (1998):

60. O. P. Gandhi, B. Q. Gao, and Y. Y. Chen; A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for general dispersive media, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 41, pp. 658-665, April (1993).

61. Ю.Е. Лозовик, С.Л Эйдерман. Расчет зонного спектра трехмерных металлических фотонных кристаллов с помощью зависящих от времени уравнений Максвелла, Математическое моделирование, том 18, №12, стр. 35-42, (2006).

62. Mur, G., Absorbing-boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations, IEEE T. Electromagn. C., Vol. 23,p. 377, (1981).

63. J. P. Berenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J. Comput. Phys., vol. 114, pp. 185-200; (1994).

64. Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R! Lee, and J. F. Lee, A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition, IEEE Trans. Anten. and Prop., vol. 43, pp. 1460-1463, Dec. (1995).

65. D. м: Sullivan, An unsplit step 3-D PML for use with the FDTD method, IEEE Microwave and Guided Wave Letters, vol. 7, pp. 184-186, July (1997).

66. Steven G. Johnson, Shanhui Fan, Pierre R. Villeneuve, and J.D. Joannopoulos. Guided modes in photonic crystal slabs, Phys. Rev. B, 60(8), pp. (5751-5758), August (1999).

67. A. Deinega and I. Valuev, Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method, Optics Letters 32 (23), pp. 3429-3431, (2007)

68. S. S. Zivanovic, K. S. Yee, and К. K. Mei, A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations, IEEE Trans. Microware Theory Tech. 38, 471, (1991).

69. T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, and T. G. Moore, Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces, IEEE Trans. Antennas Propag. 40, 357, (1992).

70. A. Mohammadi, H. Nadgaran, and M. Agio, Contour-path effective permettivities for the two-dimensional finite-difference time-domain method, Optics Express 13, 10367, (2005).

71. J.-Y.Lee, and N.-H.Myung, Locally tensor conformal FDTD method for modeling arbitrary dielectric surface, Microw. Opt Technol. Lett. 23, p. 245, (1999).

72. J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard, and P. Wust, "A 3-D tensor FDTD-formulation for treatment of slopes interfaces in electrically inhomogeneous media, IEEE Trans. Antennas Propag. 51, p. 1760, (2003)

73. A. Farjadpour, D. Roundy, A. Rodriguez, M. Ibanescu, P. Bermel, J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, and G. Burr, Improving accuracy by subpixel smoothing in FDTD; Optics Letters 31, (20), p. 2972, (2006).

74. S. Dey, and R. Mittra, A coonformal finite-difference time-domain technique for modeling cylindrical dielectric resonators, IEEE Trans. Microware Theory Tech. 47, p. 1737 (1999).

75. N. Kaneda, B. Houshmand, and T.Itoh, FDTD analysis of dielectric resonators with curved surfaces, IEEE Trans. Microware Theory Tech. 45, p. 1645, (1997).

76. M. Okoniewski, M. Mrozowski, and M. A. Stuchly, Simple tratment of multi-term dispersion in FDTD, IEEE Microware and Guided Wave Lett. 7, p. 123, (1997).

77. C. F. Bohren and D. R. Huffman: Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley-Interscience, New York, (1983).

78. T: Valuev, Al Deinega; andlS: Belousov, Iterative technique fpr analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method; Opt. Lett. 33, pp. 1491-1493, (2008).

79. Y. C. A. Kao and R. G. Atkins, A finite-difference time-domain approach for frequency selective surfaces at oblique incidence, Proc. ,1996sIEEE Antennas and! Propagation Society International Symposium, MD; pp: 1432-1436, July (1996):

80. J. A. Roden, S. D. Gedney, M: P. Kesler, J. G. Maloney, and P; H: Harms, PiH., Time-domain analysis of periodic structures at oblique incidence: orthogonal andinonorthogonal FDTD implementations, Microwave Theory and Techniques 46; pp. 420-427,(1998).

81. J. Ren, O. P. Gandhi, L. R. Walker, J. Fraschilla, and C. R. Boerman. Floquet-based FDTD analysis of two-dimensional phased array antennas, IEEE Microwave and Guided Wave Letters 4, pp. 109-112, (1994).

82. P. Harms, R. Mittra, and W. Ко, Implementation of the periodic boundary condition in thefinite-difference:timerdomain algorithm for FSS structures, IEEE Trans. Antennas and Propagation 42, pp. 1317-1324, (1994).

83. K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals, Springer, (2001);

84. Photonic Band Structures, Topicallssue of J; Mod. Opt: 41, pp. 171-404, (1994);

85. R. D. Meade, A. M. Rappe, K. DK Brommer, J. D- Joannopoulos, and O: L. Alerhand^ Accuratertheoretical analysis of photonic band gap materials^ Phys. Rev.B 48, pp. 8434-8437, (1993). ' .

86. Daniel.Hermann, Meikel Frank, Kurt Busch, Peter Wolfle, Photonic band structure computations, Opt. Express 8, pp. 167-172, (2001).

87. K. Busch and S. John, Photonic band gap formation' in certain self-organizing systems, Phys. Rev. E 58, pp. 3896-3908, (1998).

88. N. Stefanou, V. Yannopapas, and A. Modinos, Geterostructures of photonic crystals: frequency bands and transmission coefficients^ Comput. Phys. Gommun. 113, p. 49, (1998)

89. A. Modinos, Scattering of electromagnetic waves by a plane of spheres -formalism; Physica A, 141, 575, (1987)

90. J.B, Pendry, Low Energy Electron Diffraction, Academic Press, London, (1974).

91. N. Papanikolaou; G: Ganztounis, and N. Stefanou, Calculations of the optical response of metallo-dielectric nanostructures of non-spherical particles by a layer-multiple-scattering method, Proc. SPIE 6988, ppi 69881D-69881D-12, (2008).

92. D.N. Basov, T. Timusk, Electrodynamics of high-Tc superconductors, Rev. Mod. Phys. 77, 15, (2005).

93. M. Rubhausen, A. Gozar, M. Klein, P. Guptasarma, and D. Hinks, Superconductivity-induced optical changes for energies of 100Д in the cuprates, Phys. Rev. B, vol 63, 224514, (2001).

94. M.P. Трунин, Анизотропия проводимости и псевдощель.в микроволновом отклике высокотемпературных сверхпроводников, УФЫ, том 175, №10,* стр. 1017 1037, (2005).

95. П.И. Арсеев, С.О. Лойко, Н.К. Федоров, Теория калибровочно-инвариантного отклика сверхпроводников на электромагнитное поле, УФЫ, том 176, №1, стр. 3-21,(2006).

96. А.В; Долгов, Е.Е. Максимов, Эффекты локального поля и нарушение соотношений Крамерса — Кронига для диэлектрической проницаемости, УФЫ, том 135, №3, стр. 441-475, (1981).

97. Э. Линтон, Сверхпроводимость, Мир, Москва, (1971).

98. Yu.E.Lozovik and A.V.Klyuchnik, The dielectric function and collective oscillations inhomogeneous systems, Chapter in book: "The Dielectric Function of Condensed Systems", eds. L.V.Keldysh etab, Elsevier, pp. 299-387, (1987).

99. A.B. Барышев, A.A. Каплянский, B:A. Кособукин, М.Ф. Лимонов; А.П. Скворцов, Спектроскопия запрещенной фотонной зоны в синтетических опалах, ФТТ, том 46, № 7, стр. 1291 1299, (2004).

100. С.Г. Романов, Анизотропия распространения света в тонких пленках опалов, ФТТ, том 49, №3, стр. 512-522, (2007).

101. К Pavarini, L.C. Andreani, С. Soci, М. Galli, and F. Marabelli, Band structure and optical properties of opal photonic crystals, Phys. Rev. В 72, 045,102, (2005).

102. J. F. Galisteo-Lopez, F. Lopez-Tejeira, S. Rubio, C. Lopez, J. Sanchez-Dehesa, Experimental evidence of polarization dependence in the optical response of opal-based photonic crystals, Appl. Phys. Lett. 82, 23, pp. 4068-4070, (2003).

103. J. F. Galisteo-Lopez and C. Lopez, High-energy optical response of artificial opals, Phys. Rev. В 70, 035108, (2004).

104. Koenderink, A. F. and W. L. Vos. Light Exiting from Real Photonic Band Gap Crystals is Difuse and Strongly Directional. Phys. Rev. Lett. 91, 213902, (2003).

105. S. Roberts, Optical Properties of Nickel and Tungsten and Their Interpretation According to Drude's Formula, Phys. Rev., v.l 14, pp. 104 115, (1959).

106. G. Borrmann, Uber Extinktionsdiagramme der Rontgenstrahlen von Quarz, Phys. Zs. 42, pp. 157-162, (1941).