Страховые тарифы и резервы: Стохастические модели и методы вычислений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Малиновский, Всеволод Константинович

• Малиновский, Всеволод Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Малиновский, Всеволод Константинович

Введение.

Глава 1. Последовательности, допускающие рекордную регенерацию.

§ 1. Остановленные случайные последовательности. Условие рекордной регенерации.

§ 2. Оценки скорости сходимости к нормальному распределению

§ 3. Асимптотические разложения.

§ 4. Асимптотика и оценки сверху вероятностей больших уклонений.

§ 5. Предельные теоремы для остановленных случайных блужданий.

Глава 2. Общая величина страховых выплат в марковской модели теории риска.

§ 1. Цепи Маркова: основные определения, условия возвратности, регенерирующее расширение.

§ 2. Процессы марковского восстановления: регенерирующее расширение.

§ 3. Марковская модель теории риска и предельные теоремы для процессов марковского восстановления.

Глава 3. Вероятности разорения в коллективной модели теории риска.

§ 1. Вероятность разорения и точные формулы.

§ 2. Асимптотика в задаче о разорении за конечное время.

§ 3. Большие уклонения в задаче о разорении за конечное время.

§ 4. Динамическая модель по периодам отчетности и вероятности разорения.

Глава 4. Вероятности разорения при нагрузке на безопасность, стремящейся к нулю.

§ 1. Определения и формулировка основного результата

§ 2. Приближения для ти, , хи.

§ 3. Приближения для Си.

§ 4. Лестничные величины. Доказательство основной теоремы.

§ 5. Вспомогательные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Страховые тарифы и резервы: Стохастические модели и методы вычислений»

Значение актуарных исследований в России определяется как непреходящей важностью страховых услуг, так и тем, что структурные изменения привели к необходимости менять правовые и экономические отношения участников национального страхового рынка.

Особенность страховой индустрии состоит в том, что если руководство большинства производственных предприятий знает, когда и сколько нужно платить своим деловым партнерам или в каком размере и в какие сроки следует погасить кредит и выплачивать по нему проценты, то страховщику сроки и размеры его обязательств известны лишь в вероятностных терминах, что иногда упрощенно интерпретируется как неполная информация, или информация с большой степенью допуска. Однако массовые явления, в частности явления, связанные со страховыми рисками, подчинены жестким законам природы. Поэтому целью управления оказывается осознание и учет основных объективных закономерностей и адекватная реакция на них.

Численный расчет тарифов, страховых резервов, оценка качества страховых рисков и ряд других аналогичных задач -область деятельности актуариев. Эта профессия находится на стыке юридической и страховой науки, с одной стороны, и прикладной теории вероятностей, с другой стороны.

К основным факторам деятельности страховой компании относятся достаточный собственный капитал, ограничение единичного риска (перестрахование), тарифная политика, которые зависят от страховщика, и удачная страховая конъюнктура, на которую нельзя оказывать прямого влияния, но которая может и должна учитываться при анализе страховой политики.

Ключевым вопросом к пониманию работы страховой компании является вопрос, как из взаимодействия этих факторов складывается «разорение» или, наоборот, «неразорение» страховой компании (точнее, как зависит от них вероятность этих событий). Под «разорением» понимается не столько собственно банкротство компании, сколько событие, состояще в том, что капитал компании в какой-либо момент ее деятельности становится меньше некоторого заранее заданного уровня.

Теоретические прогнозы важны страховщику для сохранения им способности выполнять обязательства при неблагоприятном изменении ситуации, при самом худшем для страховщика стечении обстоятельств. В самом деле, имея количественную оценку влияния начального собственного капитала или уровня перестрахования или размера тарифов, на конечный результат, каковым в данном случае является вероятность разорения, страховщик сознательно будет строить систему мер, призванных исправить ситуацию, если возникли подозрения о неблагоприятности развития страхового процесса.

Модель Лундберга - Крамера - Андерсона, называемая также коллективной моделью теории риска, формализует описание «глобальной» деятельности страховой компании. В течение многих десятилетий она находится в центре внимания математиков-актуариев.

Впервые эта модель была предложена Филипом Лундбергом в 1903 - 1926 гг. ([143] - [147]); значительный вклад в ее изучение внес Гаральд Крамер ([85] - [88]), возглавлявший скандинавскую актуарную и вероятностную школу; Спарре Андерсону [56] принадлежит приоритет в обобщении этой модели и в распространении процесса поступления страховых случаев с пуассоновского процесса на произвольный процесс восстановления.

Основу модели Лундберга - Крамера - Андерсона составляет процесс рискового резерва , который описывает динамику капитала компании в каждый момент (операционного) времени £, начиная с начального момента £ = 0. То, что все индивидуальные страховые договоры, заключенные компанией, суммируются и рассматривается «глобальное» поведение компании, является огрублением, но это вполне допустимо для первоначальной ориентации.

Три основные составляющие процесса Д(£) - это

• размер начального капитала Д(0) = и,

• доходы, связанные с премиальными выплатами, которые определяются принятой системой тарифов, и

• расходы на страховые выплаты; именно эти выплаты отражают случайную природу страхового процесса.

В рамках «традиционной» модели Лундберга - Крамера -Андерсона предполагается, что доходы растут линейно с положительной постоянной интенсивностью с, выплаты производятся сразу же после наступления страхового случая, моменты времени между наступлениями страховых случаев и размеры страховых выплат независимы и величина их «стабильна». Интервалы между страховыми случаями и размеры страховых выплат являются случайными величинами (с.в.) Т{, г =

1,2,. , и Yî, г = 1,2,., соответственно, причем эти с.в. независимы и одинаково распределены (н.о.р.), п-й страховой случай наступит в момент ^ и число страховых случаев, произошедших за время t ^ О, будет выражаться формулой N(t) = max{n > 0: J27=i ^ ^ • Суммарные расходы, понесенные страховщиком на покрытие первых п страховых случаев, составляют ^ единиц, так что расходы страховщика на выплаты до момента t составят X{t) = единиц. С другой стороны, в добавление к начальному капиталу и страховщик получит за время t премиальные взносы в размере et единиц.

Величина рискового резерва в момент времени t равна R(t) = u+ct—X(t) и составляет разность между доходами и расходами компании в этот момент времени. Под «разорением» страховой компании в рамках этой модели понимается исчерпание средств в результате превышения суммарных страховых выплат над средствами, равными сумме первоначального капитала и средств, поступивших от премиальных взносов. Говорят, что «разорение» происходит в некоторый момент времени s, если R(s) < 0. Вероятность наступления хотя бы одного «разорения» в промежутке времени (0, t] выражается формулой

Ip(t,u) = Р{ inf R(s) <0}. (1)

OCs^i

Если размер выплат по страховому случаю не покрывается накоплением страховых взносов, то «разорение» в конце концов обязательно произойдет. Наиболее интересной поэтому представляется ситуация, когда «в среднем» выплаты по страховым случаям покрываются накоплением страховых взносов. Математически это выражается неравенством EYi < сЕТ\, в котором символ Е£, как обычно, обозначает математическое ожидание с.в. £. Величина т = сЕТ\ /~ЕУ\ — 1 называется нагрузкой на безопасность1). Говорят, что выполнено условие положительности нагрузки на безопасность2), если т > 0.

В рамках описанной выше модели получен ряд глубоких результатов, относящихся, прежде всего, к (1) нахождению точных формул, к (2) аппроксимации или к оценкам для вероятности разорения чаще всего за бесконечное время (£ = оо), а также к (3) численным методам нахождения этих вероятностей. Признавая невозможность перечислить все постановки задач, все развитые для их решения методы, а также всех исследователей, внесших вклад в эту проблематику, укажем лишь наиболее известные монографии Асмуссена [60], [63], Берда и пр. [69], Боверса и пр. [81], Бекмана [71], Бюльмана [82], Крамера [86], Дейкинаи пр. [90], Дюбурдье [105], Гербера [110], Грандела [117], Сила [174] и [177] и обзоры Сегердала [179] и Торина [198].

Положим Х{ = У{ — сТ{ и определим коэффициент Лунд-берга х как положительное решение уравнения Лундберга Еехр(хХх) = 1. Из множества задач теории риска остановимся на тех, которые наиболее подробно рассматриваются в диссертации:

• задача нахождения вероятности разорения , и) за конечное время (0, ¿] в случае, когда уравнение Лундберга имеет решение, и

• задача аппроксимации распределения общего числа страsafety loading.

2) positive safety loading condition. ховых выплат X(t) = Уг в определенный, фиксированный, момент времени t.

Важнейшими результатами о приближении вероятности разорения являются неравенство Лундберга

2) приближение Крамера - Лундберга lim е*и<ф{и) = С, (3) и—too где С является константой Крамера - Лундберга, и аппроксимация lim sup Iif>(t, u)e"u - CN/mu £>2u\(t)j = 0, (4) полученная фон Баром [66], где N(mu,D2u){t) обозначает нормальное распределение со средним ти и дисперсией D2u. Выражения m, D2 и С могут быть представлены в различных формах, но за исключением пуассоновско-экспоненциального, во всех случаях их нахождение связано со значительными трудностями. Эти результаты, ставшие классическими, способствовали существенному развитию аналитических и вероятностных подходов, таких как теория восстановления. Для их доказательства разрабатывался ряд альтернативных методов, таких, как диффузионная аппроксимация (см. например, работу Иг-лехарта [128] и мартингальные методы, получившие впоследствии значительное самостоятельное развитие (см. например, работы Дассиоса, Ембрехтса [91], Дельбаена, Хазендонка [97], Де Вильдера [99], Гербера [111], книгу Грандела [117]).

В дальнейших исследованиях, с одной стороны, значительное внимание уделялось уточнениям результатов (2) - (4). Так, для частного случая модели Лундберга - Крамера - Андерсона, для экспоненциальных с.в. Т\ и Y\ (т.е. в пуассоновско-экспоненциальном случае) имеются точные формулы и основанные на них численные методы расчета «точных» значений вероятностей разорения за конечное время и) (см. книги Сила [174], [177], статьи Сила [175], [176] и Асмуссена [58]). Асмуссен [58] в пуассоновско-экспоненциальном случае сравнивал аппроксимацию (4) со значениями вероятности ^(t, и), полученными применением таких «точных» численных методов. Он заметил, что уточнения (4), известные как асимптотические разложения, существенно повышают точность и построил такое асимптотическое разложение, повышающее точность (4). Однако это построение в общей модели Лундберга - Крамера -Андерсона требовало существенного усовершенствования рассуждений, применявшихся Асмуссеном в [58]. Вопрос об уточнениях (4) в модели Лундберга - Крамера - Андерсона долгое время оставался открытой проблемой.

С другой стороны, сама модель Лундберга - Крамера - Андерсона может быть подвергнута критике. Эта критика ведется с разных позиций, что приводит к усложнениям модели (см. например работы Асмуссена [61], Асмуссена, Петерсена [62], Дэвиса [93], Дельбаена, Хазендонка [97], Де Вильдера [100], Дюфресне, Гербера [100], Эмбрехтса, Веравербеке [107], Эмма-нюеля и проч. [108], Гербера [113], Харрисона [102], Хёглунда [127], Янсена [127], Клюпельберг, Штатмюллера [138], Петерсена [161], Шмидли [173]). Большинство из этих работ вводят в рассмотрение такие аспекты экономического характера, как инфляция и соответствующее дисконтирование, или усложняют модель введением зависимости между страховыми случаями.

Нас будет в первую очередь интересовать тот факт, что модель Лундберга - Крамера - Андерсона не учитывает зависимости страховых тарифов, или интенсивности премиальных доходов, от величины начального капитала компании и. Однако в условиях конкуренции «крупная» страховая компания, в отличие от «мелкой» компании, опираясь на свой начальный капитал, может существенно уменьшать стоимость своего страхового продукта. В зависимости от контекста это можно интерпретировать как стратегию, направленную на привлечение клиентов (клиенты платят меньше), или как конкурентную или даже демпинговую политику (большая компания диктует свои тарифы меньшей). Подобная ситуация может возникать и в случае уменьшения деловой активности большой страховой компании, которая, несмотря на значительный начальный капитал, собирает меньше премий, причем тем меньше, чем больше ее размеры, пропорциональные величине капитала. Получение результата, аналогичного (4), в случае, когда интенсивности премиальных выплат с зависит от начального капитала и, представляет значительную проблему, поскольку требует серьезного пересмотра метода доказательства.

Задача исследования общего числа страховых выплат Х(£) = ^ в определенный, фиксированный, момент времени £ также представляет значительный интерес. Результатом многочисленных исследований этой схемы для независимых векторов (Т*, У;), ¿ = 1,2,., явилась книга Гута [120], в которой исследовалась асимптотическая нормальность сумм Х(£), уточнявшаяся далее в работе Хиппа [124].

Поскольку большинство страховых законодательств руководствуется принципом равновесия, согласно которому цена каждого полиса должна быть уравновешенной и каждый класс страхования должен быть оплачен за свой собственный счет, расчет тарифов должен быть сбалансирован с величиной общих страховых выплат по группе рисков, для которой он определяется. При этом значительный интерес (для имущественного, огневого, морского страхования и проч.) представляет обобщение модели рискового резерва Д(£), учитывающее зависимость между моментами наступления страховых случаев и величиной страховых выплат.

Работа преследует следующие цели. Во-первых, уточнение в рамках общей модели Лундберга - Крамера - Андерсона асимптотики (4) для вероятности разорения за конечное время, исследование больших уклонений в задаче о разорении, численные методы нахождения вероятностей разорения в некоторых специальных случаях модели Лундберга - Крамера - Андерсона, в которых процесс поступления страховых случаев непуассонов-ский (гл. 3). Во-вторых, обобщение модели Лундберга - Крамера - Андерсона посредством учета зависимости премиальных доходов от величины начального капитала компании и получение нормальной аппроксимации вероятности разорения и) в этой модели (гл. 4). В-третьих, исследование обобщенной схемы суммирования, возникающей в задаче определения общего числа страховых выплат (гл. 1), нахождение (в явной форме) поправочных выражений для нормальной аппроксимации распределения общего числа страховых выплат в марковской модели теории риска и исследование больших уклонений в этой задаче (гл. 2).

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Малиновский, Всеволод Константинович, 2000 год

1. Бернштейн С.H., Sur l'extension du theoreme limite du calcul des probabilités aux sommes de quantités dépendantes, Math. Annalen. 97 (1926), 1 59; (Русский пер.: Собрание соч., т. IV. M.: Наука, 1964. с. 121 - 176).

2. Бернштейн С.Н., Sur les sommes de quantités dépendantes, Изв. АН СССР 20 (1926), 1459 1478; (Русскийпер.: Собрание соч., т. IV. М.: Наука, 1964. с. 177 - 196).

3. Бернштейн С.Н., Determination d'une limite inférieure de la dispersion des sommes de grandeurs liees en chaine singulière, Математ. сборник 1 (43) (1936), 29 37; (Русский пер.: Собрание соч., т. IV. М.: Наука, 1964. с. 322 - 330).

4. Бикялис А.П., О центральной предельной теореме в . I, ЛМС, XI (1971), 27 58.

5. Бикялис А.П., О центральной предельной теореме в . II, ЛМС, XII (1972), 73 84.

6. Бикялис А.П., О центральной предельной теореме в Ик . III, ЯМС, XII (1972), 19 35.

7. Боровков A.A., Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых, Сиб. матем. журнал 3 (1962), 645 694.

8. Боровков A.A., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания, Наука, Москва, 1972; 368 с.

9. Боровков A.A., Асимптотические методы в теории массового обслуживания, Наука, Москва, 1980; 384 с.

10. Боровков A.A., Королюк B.C., О результатах асимптотического анализа в задачах с границами, ТВП, X, в. 2 (1965), 255 266.

11. Боровков A.A., Рогозин Б.А., Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий, ТВП, IX, в. 3 (1964), 401 430.

12. Бхаттачария Р.Н., Ранга Pao Р., Апроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, Наука, Москва, 1982; 286 с.

13. Гудинас П., Об уточнениях центральной предельной теоремы для однородной цепи Маркова, JIM С, XXII, в. 1 (1982), 66 -78.

14. Гудинас П., О B-регулярности однородной цепи Маркова, ЛМС, XXII, в. 3 (1982), 67 80.

15. Давыдов Ю.А., Условия перемешивания для цепей Маркова, ТВП, XVIII, в. 2 (1982), 321 338.

16. Дуб Дж., Вероятностные процессы, ИЛ, Москва, 1956; 605 с.

17. Дубинскайте Й., О предельных теоремах в R*. I, ЛМС, XXII (1982), 51 68.

18. Дубинскайте Й., О предельных теоремах в Кк. II, ЛМС, XXVI (1984), 120 132.

19. Дубинскайте Й., О предельных теоремах в Rfc. III, ЛМС, XXVI (1984), 68 80.

20. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В., Независимые и стационарно связанные величины, Наука, Москва, 1965; 524 с.

21. Колмогоров А.Н., Цепи Маркова со счетным множеством возможных состояний, Бюлл. МГУ 1 (1937).

22. Колмогоров А.Н., Локальная предельная теорема для классических цепей Маркова, Изв. АН СССР, сер. мат. 13 (1949), 281 300.

23. Королюк B.C., Турбин А.Ф., Полумарковские процессы и их приложения, Наукова думка, Киев, 1976; 184 с.

24. Королюк- B.C., Турбин А.Ф., Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем, Наукова думка, Киев, 1982; 236 с.

25. Малиновский В.К., О предельных теоремах для харрисов-ских цепей Маркова. I, ТВП, XXXI, в. 2 (1986), 315 332.

26. Малиновский В.К., Асимптотические разложения в центральной предельной теореме для возвратных процессов марковского восстановления, ТВП, XXXI, в. 3 (1986), 523 -526.

27. Малиновский В.К., Об интегральных и локальных предельных теоремах для возвратных процессов марковскоговосстановления, В сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей (1988), 100 115.

28. Малиновский В.К., О предельных теоремах для харрисов-ских цепей Маркова. II, ТВП, XXXIV, в. 2 (1988), 289 303.

29. Малиновский В.К., Большие уклонения для возвратных процессов марковского восстановления, ТВП, XXXVI, в. 1 (1991), 165 167.

30. Малиновский В.К., Предельные теоремы для остановленных последовательностей. I: оценки скорости сходимости и асимптотические разложения, ТВП, XXXVIII, в. 4 (1993), 800 -826.

31. Малиновский В.К., Предельные теоремы для остановленных последовательностей. II: вероятности больших уклонений, ТВП, ХЫ, в. 1 (1996), 107 132.

32. Малиновский В.К., Расчет общего числа страховых выплат и предельные теоремы теории вероятностей, СД, (1995), по. 1, 42 46.

33. Малиновский В.К., Расчет общего числа страховых выплат и предельные теоремы теории вероятностей, СД, (1995), по. 6, 42 46.

34. Малиновский В.К., Некоторые вопросы исследования платежеспособности страховых компаний, СД, (1995), по. 6, 46 52.

35. Малиновский В.К., Проблема финансовой устойчивости: что может подсказать страховщику математическая модель?, СД, (1996), по. 11, 32 36.

36. Марков A.A., Исследование общего случая испытаний, связанных в цепь, Записки Акад. Наук по Физико-матем. отделению, VIII серия, 25 (1910), по. 3; (Избранные труды. Теория чисел, теория вероятностей. М: Изд. АН СССР, 1951. с. 465 508).

37. Нагаев A.B., Предельные теоремы, учитывающие большие уклонения, при нарушении условия Крамера, Изв. АН Узб. ССР, Серия физ.-мат. наук, 6 (1969), 17 22.

38. Нагаев A.B., Об одном свойстве сумм независимых случайных величин, ТВП, XXII, в. 2 (1977), 335 346.

39. Нагаев C.B., Некоторые предельные теоремы для однородных цепей Маркова, ТВП, II, в. 4 (1957), 389 416.

40. Нагаев C.B., Уточнение предельных теорем для однородных цепей Маркова, ТВП, VI, в. 1 (1961), 67 86.

41. Нагаев C.B., Некоторые предельные теоремы для больших уклонений, ТВП, X, в. 2 (1965), 231 254.

42. Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы, Мир, Москва, 1989; 207 с.

43. Петров В.В., Суммы независимых случайных величин, Наука, Москва, 1972; 414 с.

44. Петров В.В., Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, Москва, 1987; 317 с.

45. Саулис Л.И., Асимптотическое разложение для вероятностей больших уклонений, ЛМС, 9 (1969), 605 625.

46. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее применения, Мир, Москва, 1964, 1967; тома 1, 2.

47. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Наука, Москва, 1970; том 2.

48. Фук Д.Х., Нагаев C.B., Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин, ТВП, XVI, в. 4 (1971), 660 675.

49. Чибисов Д.М., Асимптотическое разложение для распределения статистики, допускающей стохастическое разложение. I, ТВП, XXV, в. 4 (1971), 754 756.

50. Чжун К.Л., Однородные цепи Маркова, Мир, Москва, 1964; 425 с.

51. Aase, К.К., Accumulated Claims and Collective Risk in Insurance: Higher Order Asymptotic Approximations, S A J, (1985), 65 85.

52. Abramowitz, M., Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington, D.C., 1970.

53. Adams, E., Smitsonian Mathematical Formulae, Washington, 1922.

54. Andersen, E. Sparre, On the collective theory of risk in case of contagion between the claims, In: Trans. XVth International Congress of Actuaries, vol. II, New York, etc., 1957, pp. 219 -229.

55. Asmussen, S., Conditioned limit theorems relating a random walk to its associate, with applications to risk reserve process and GI/G/1 queue, AAP, 14 (1982), 143 170.

56. Asmussen, S., Approximations for the probability of ruin within finite time, SAJ, 67 (1984), 31 57; (1985), 64.

57. Asmussen, S., Conjugate processes and the simulation of ruin problems, SPA, 20 (1985), 213 229.

58. Asmussen, S., Applied Probability and Queues, Wiley, New York, etc., 1987.

59. Asmussen, S., Risk theory in a Markovian environment, SAJ, (1989), 69 100.

60. Asmussen, S., Petersen, S.S., Ruin probabilities expressed in terms of storage processes, AAP, (1989), 913 916.

61. Asmussen, S., Ruin Probabilities, to appear, World Scientific Publishers, Singapore, 1995.

62. Athreya K.B., McDonald D., Ney P., Limit theorems for semi-Markov processes and renewal theory for Markov chains, AP, 6 (1978), 788 797.

63. Barndorff-Nielsen, O., Schmidli, H., Saddlepoint approximations for the probability of ruin in finite time, SAJ, (1995), 169 186.

64. Beard, R.E., Pentilainen, T., Pesonen, E., Risk Theory; The Stochastic Basis of Insurance, 3rd ed., Chapman and Hall, London etc., 1977.

65. Beekman, J.A., A ruin function approximation, TSA, XXI (1969), 41 48; with discussion by N. Bowers, 275 - 277.

66. Beekman, J.A., Two Stochastic Processes, Halsted Press, New York, 1974.

67. Beekman, J.A., Bowers, N.L., An approximation to the finite time ruin function, SAT, LV (1972), 41 56; 128 - 137.

68. Bellman, R.E., Kalaba, R.E., Lockett, J., Numerical Inversion of the Lapalce Transform: Applications to Biology, Economics, Engineering, and Physics, American Elsevier Publishing Company, New York, 1966.

69. Berg, C., The Pareto distribution in a generalized T-convolution a new approach, SAJ, (1981), 117 - 119.

70. Billingsley, P., Probability and Measure, Wiley, New York etc., 1979.

71. Bjork, T., Grandell, J., Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case, SAJ, (1988), 77 111.

72. Bolthausen E., On rate of convergence in a random central limit theorem and the central limit theorem for Markov chains, ZW, B.38, H.4 (1977), 279 286.

73. Bolthausen E., The Berry Esseen theorem for functionals of discrete Markov chains, ZW, B.54 (1980), 59 - 73.

74. Bolthausen E., The Berry Esseen theorem for strongly mixing Harris recurrent Markov chains, ZW, B.60 (1982), 283 - 289.

75. Boogaert, P., Crijns, V., Upper bounds on ruin probabilities in case of negative loadings and positive interest rates, IME, 6 (1987), 221 232.

76. Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A, Nes-bitt, C.J., Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca, 111., 1986.

77. Biihlmann, H., Mathematical Methods in Risk Theory, Springer, New York, 1970.

78. Copson, E.T., Asymptotic expansions, Cambridge University Press, Cambridge, 1965.

79. Cox, D.R., Some statistical methods connected with series of events, J. R. Statist. Soc., B, 17 (1955), 129 164.

80. Cramer, H., On the Mathematical Theory of Risk, In: Skandia Jubilee Volume, Centraltryckeriet, Stockholm, 1930; Reprinted in Ha,raid Cramer Collective works, vol. 1 (1994), Ed. by Martin-Ldf, 601 678. Springer, Berlin.

81. Cramer, H., Collective Risk Theory, In: Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1955.

82. Cramer, H., On streams of random events, SAT, Suppl., (1969), 13 23.

83. Cramer, H., Historical review of Filip Lundberg's works on risk theory, SAT, Suppl., 52 (1969), 6 12.

84. Crane, M.A., Lemoine, A.J., An Introduction to the Regenerative Method for Simulation Analysis, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 4, Springer, New York etc., 1977.

85. Daykin, C.D., Pentikäinen, T., Pesonen, M., Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman and Hall, London, etc., 1996.

86. Dassios, A., Embrechts, P., Martingales and insurance risk, Commun. Statist. Stochastic Models, 5 (1989), 181 - 217.

87. Davidson, Ä., On the ruin problem in the collective theory of risk under the assumption of variable safety loading, SAT, Suppl, (1966), 70 83; (First published in Swedish in 1946).

88. Davis, M.H.A., Piecewise-deterministic Markov processes. A general class of non-diffusion stochastic models, J. R. Statist. Socser. B, 46 (1984), 353 388.

89. De Bruijn, N.G., Asymptotic Methods in Analysis, North Holland, Amsterdam &; P. Noordhoff, Groningen, 1958.

90. De Finetti, B., Su un'impostazione alternativa della teoria col-lettiva del rischio, Trans. Internat. Congr. Actauar., 2 (1957), 433 443.

91. De Pril, N., The aggregate claims distribution in the individual model with arbitrary positive claims, AB, 19 (1989), 9 24.

92. Delbaen, F., Haezendonck, J., Martingales in Markov processes applied to risk theory, IME, 5 (1986), 201 215.

93. Delbaen, F., Haezendonck, J., Classical risk theory in an economic environment, IME, 6 (1987), 85 116.

94. DeVylder, F., A practical solution to the problem of ultimate ruin probability, SAJ, (1978), 114 119.

95. DeVylder, F., Martingales and ruin in a dynamic risk process, SAJ, (1978), 217 225.

96. Devroye, L., Non-uniform Random Variate Generation, Springer, Ney York etc., 1986.

97. Dœblin W., Sur deux problèmes de M. Kolmogoroff concernant les chaines denombrables, Bull. Soc. Math, de France, 66 (1938), 210 220.

98. Dœblin W., Elements d'une theorie generale des chaînes simple constantes de Markoff, Ann. S ci. Ecole Norm. Sup., 37 (1940), 61 111.

99. Dubourdieu, J., Remarques relatives à la théorie mathématique de l'assurance-accidents, Bull. Inst. Actu. Franç., 44 (1938), 79 126.

100. Dubourdieu, J., Théorie Matématique des Assurances, Gauthier Villars, Paris, 1952.

101. Dufresne, F., Gerber, H.U., Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion, IME, 10 (1991), 51 59.

102. Embrechts, P., Veraverbeke, N., Estimates for the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims, IME, 1 (1982), 55 72.

103. Emmanuel, D.C., Harrison, J.M., Taylor, A.J., A diffusion approximation for the ruin function of a risk process with compound assets, SAJ, 58 (1975), 240 247.

104. Feller, W., On a general class of "contagious" distributions, AMS, 14 (1943), 389 400.

105. Gerber, H.U., An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Foundation Monograph 8, distributed by Richard D. Irwin (Homewood, 111.), 1979.

106. Gerber, H.U., Martingales in risk theory, Mitteilungen der Vereinigung Schweiz. Versicherrungsmath., LXXIII (1973), 205 216.

107. Gerber, H.U., An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk, SAT, LXXIV (1970), 46 57.

108. Gerber, H.U., The dillema between dividends and safety and a generalization of the Lündberg Cramér formulas, S A J, LXXIV (1974), 46 - 57.

109. Gœtze F., Hipp C., Asymptotic expansions for sums of weakly dependent random variables, ZW, B.64, H.2 (1983), 211 239.

110. Grandell, J., Doubly Stochastic Poisson Process, Lecture Notes in Math., 529, Springer, Berlin etc., 1991.

111. Grandell, J., Empirical bounds for ruin probabilities, SPA, 8 (1979), 243 255.

112. Grandell, J., Aspects of Risk Theory, Springer, New York etc., 1991.

113. Grigelionis, B., To the question on convergence of the sums of the random step processes to a Poisson process, Lithuanian Math. J., 6 (1966), 241 244.

114. Grigelionis, B., On mixed Poisson processes and martingales, S A J, 1 (1977), 81 -88.

115. Gut, A., Stopped Random Walks: Limit Theorems and Applications, Springer, New York, etc., 1988.

116. Harris, C.M., The Pareto distribution as a queue service discipline, Operations Research, 16 (1968), 307 313.

117. Harrison, J.M., Ruin problems with compouding assets, SPA, 5 (1977), 67 79.

118. Harrison, J.M., Resnick, S.I., The recurrence classification of the risk and storage processes, MOR, 3 (1978), 57 66.

119. Hipp C., Asymptotic expansions in the central limit theorem for compound and Markov processes, ZW, B.69 (1985), 361 -385.

120. Hunter J., Renewal theory in two dimensions: bounds on the renewal functions, AAP, 9 (1977), 527 541.

121. Hoglund, T., An asymptotic expression for the probability of ruin within finite time, AP, 18 (1990), 378 389.

122. Hoglund, T., The ruin problem for finite Markov chains, AP, 19 (1991), 1298 1310.

123. Iglehart, D.L., Diffusion approximations in collective risk theory, JAP, 6 (1969), 285 292.

124. Jacod, J., Systemes regeneratifs et processus semi-Markoviens, ZW, B.31, H.l (1974), 1 23.

125. Jacod, J., Multivariate point processes: predictable projection, Radon-Nicodim derivatives, representation of martingales, ZW, B.31, H.3 (1975), 235 253.

126. Jensen J.L., Asymptotic expansions for strongly mixing Harris recurrent Markov chains, Scand. J. Statist., 16 (1989), 47 63.

127. Janssen, J., Stationary semi-Markov models in risk and queue-ing theories, SAJ, (1982), 199 210.

128. Jung, J., Lundberg, O., Risk processes connected with the compound Poisson process, SAT, (1969), 118 131.

129. Jewell, W.B., Fluctuations of a renewal-reward process, J. Math. Anal. Appl, 19 (1967), no. 2, 309 329.

130. Khintchine, A.Y., Mathematical Methods in the Theory of Queue-ing, Griffin, London, 1960.

131. Kingman J.F.C., Regenerative Phenomena, Wiley, New York, 1972.

132. Kingman, J.F.C., On doubly stochastic Poisson processes, Proc. Camb. Phil. Soc., 60 (1964), 923 930.

133. Kliippelberg, C., Stadtmuller, U., Ruin probabilities in the presence of heawy-tails and interest rates, SAJ, (1998), 49 -58.

134. Krickeberg, K., The Cox process, In: Symposia Mathematica IX, 1972, pp. 151 167.

135. Landers D., Rogge L., On the rate of convergence in the central limit theorem for Markov chains, ZW, B.35, H.l (1976), 57 -63.

136. Lehtonen, T., Nyrhinen, H., On asymptotically efficient simulation of ruin probabilities in a Markovian environment, SAJ, (1992), 60 75.

137. Lukacs, E., On the mathematical theory of risk, Journal of the Institute of Actuaries Students' Society, VIII (1948), 20 37.

138. Lundberg, F., I. Approximerad Framstallning av Sannolikhets-funktionen; II. At erfdrsakring av Kollektivrisker, Almqvist &; Wiksell, Uppsala, 1903.

139. Lundberg, F., Uber die Theorie der Rückversicherung, Ber. VI Intern. Kong. Versich Wissens., 1 (1909), 877 948.

140. Lundberg, F., Teori för riskmassor, Försäkringsteknisk Risku-tjämning, II (1919).

141. Lundberg, F., Försäkringsteknisk Riskutjämning, F. Englunds boktryckeri A.B., Stockholm, 1926.

142. Lundberg, O., On Random Processes and Their Applications to Sickness and Accident Statistics, Almqvist Wiksells, Uppsala, 1940.

143. Malinovskii, V.K., Corrected normal approximation for the probability of ruin within finite time, SAJ, (1994), 161 174.

144. Malinovskii, V.K., Approximations and upper bounds on probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time, SAJ, (1996), 124 147.

145. Malinovskii, V.K., Non-poissonian claims arrivals and calculation of the probability of ruin, IME, 22 (1998), no. 2, 123 -138.

146. Malinovskii, V.K., Some aspects of rate making and collective risk models with variable safety loadings of ruin, Transactions of the 26-th International Congress of Actuaries, 4 (1998), 465 -481.

147. Malinovskii, V.K., Probabilities of ruin when the safety loading tends to zero of ruin, Working paper no. 153 (1998); Lab. Act. Math., Univ. Copenhagen; 36 p.

148. Malinovskii, V.K., Price vs. reserve regulation conditioned by solvency requirements in the colective risk model, Proceedings of ASTIN 2000 (2000); To appear; 9 p.

149. Martin-Löf, A., Entropy, a useful concept in risk theory, SAJ, 69 (1986), 223 235.

150. Miyazawa, M., Schmidt, V., On ladder height distributions of general risk processes, AAP, 3 (1993), 763 776.

151. Nagaev, S.V., Large deviations of sums of independent random variables, AP, 7 (1979), 754 789.

152. Nummelin E., A splitting technique for Harris recurrent Markov chains, ZW, B.46, H.4 (1978), 309 318.

153. Nummelin E., Uniform and ratio limit theorems for Markov renewal and semi-regenerative processes on a general state space, Ann. Inst. H. Poincare, sect. B, XIV (1978), no. 2, 119 143.

154. Orey S., Lecture Notes on Limit Theorems for Markov Chains Transition Probabilities, Van Nostrand, N.-Y., 1971.

155. Palm, K., Intensitätsschwankungen in Fernsprecher verkehr, Ericsson Technics, 44 (1943), 1 189.

156. Petersen, S., Calculation of ruin probabilities when the premium depends on the current reserve, SAJ, (1989), 147 153.

157. Pitman, J.W., An identity for stopping times of a Markov process (1974); In: Studies in Probability and Statistics/ Ed. E.J. Williams: Jerusalem: Jerusalem Academic Press.

158. Pitman, J.W., Occupation measures for Markov chains, AAP, 9 (1977), 69 86.

159. Prabhu, N.U., On the ruin problem of collective risk theory, AMS, 32 (1961), 757 764.

160. Press, W., Teukolsky S., Vetterling, W., Flannery, B., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

161. Promislow, S.D., The probability of ruin in a process with dependent increments, IME, 10 (1991), 99 107.

162. Pyke, R., The weak convergence of the empirical process with random sample size, Proc. Camb. Phil. Soc., 64 (1968), 155 -160.

163. Reinhard, J.-M., On a class of semi-Markov risk models obtained as classical risk models in a markovian environment, AB, 14'(1984), 23 43.

164. Renyi, A., On the asymptotic distribution of the sum of a random number of independent random variables, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 8 (1957), 193 199.

165. Renyi, A., On the central limit theorem for the sum of a random number of independent random variables, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11 (1960), 97 102.

166. Riordan, J., Stochastic Service Systems, Wiley, New York, etc., 1962.

167. Ruohonen, M., On the probability of ruin of risk processes approximated by a diffusion process, SAJ, (1980), 113 120.

168. Schmidli, H., Cramer Lundberg approximations for ruin probabilities of risk processes perturbed by diffusion, IME, (1995), 135 - 149.

169. Seal, H.L., Stochastic Theory of a Risk Business, Wiley, New York, etc., 1969.

170. Seal, H.L., The numerical calculation of U(w, t), the probability of non-ruin in an interval (0, t), SAJ, (1974), 121 139.

171. Seal, H.L., From aggregate claims distribution to probability of ruin, AB, X (1978), 47 53.

172. Seal, H.L., Survival Probabilities. The Goal of Risk Theory, Wiley, Chichester etc., 1978.

173. Segerdhal, C.O., When does ruin occur in the collective theory of risk?, SAT, (1955), 22 36.

174. Segerdhal, C.O., A survey of results in the collective theory of risk, In: Harald Cramer Volume, Wiley, Stockholm, 1959, pp. 276 299.

175. Sen, P.K., On weak convergence of empirical processes for random number of independent stochastic vactors, Proc. Camb. Phil. Soc., 73 (1973), 139 144.

176. Seneta, E., Regularly Varying Functions, Springer, Berlin, etc., 1976.

177. Siegmund, D., The time until ruin in collective risk theory, Mitteil. Verein. Schweiz. Versjch. Math., 75 (1975), 157 166.

178. Siegmund, D., Importance sampling in the Monte-Carlo study of sequential tests, AS, 4 (1975), 673 684.

179. Siegmund, D., Sequential Analysis. Tests and Confidence Intervals, Springer, New York, 1985.

180. Smith, W.L., Regenerative stochastic processes, Proc. Roy. Soc., Ser. A, 232 (1955), 6 31.

181. Smith, W.L., Renewal theory and its ramifications, J. Roy. Stat. Soc., Ser. B 20 (1958), 243 302.

182. Smith, W.L., On some general renewal theorems for nonidenti-cally distributed variables, In: Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Math. Stat, and Probab., vol. 2, Univ. of California Press, Berkeley, 1962, pp. 467 514.

183. Stam A.J., Local central limit theorem for first entrance of a random walk'into a half space, Compositio Math., 23 (1971), 15 23.

184. Snyder, D.L., Filtering and detection for doubly stochastic Poisson processes, IEEE Trans. Inform. Theory, 18 (1972), 91 102.

185. Snyder, D.L., Smoothing for doubly stochastic Poisson processes, IEEE Trans. Inform. Theory, 18 (1972), 558 562.

186. Snyder, D.L., Randon Point Processes, Wiley, New York, etc., 1975.

187. Subramanian, K., Bonus-Malus systems in a competitive environment, North Amer. Actuar. J., 2 (1998), 38 44.

188. Sundt, B., Teugels, J.L., Ruin estimates under interest force, IME, 16 (1995), 7 22.

189. Thorin, O., Analytical steps towards a numerical calculation of the ruin probability for a finite period when the riskprocess is of the Poisson type or of the more general type studied by Sparre Andersen, AB, 6 (1971), 54 65.

190. Thorin, O., The ruin problem in case the tail of the claim distribution is completely monotone, SAT, (1973), 100 119.

191. Thorin, O., On the asymptotic behavior of the ruin probability for an infinite period when the epochs of claims form a renewal process, SAJ, (1974), 81 99.

192. Thorin, O., Ruin probabilities prepared for numerical calculations, SAJ, SuppL, (1977), 7 17.

193. Thorin, O., Probabilities of ruin, SA J, (1982), 65 102.

194. Thorin, O., Wikstad, N., Numerical evaluation of the ruin probabilities for a finite period, AB, 7 (1973), 137 153.

195. Thorin, O., Wikstad, N., Calculation of ruin probabilities when the claim distribution is lognormal, AB, 9 (1977), 231 246.

196. Titchmarsh, E.C., The Theory of the Riemann Zeta-function, Oxford, 1951.

197. Tricomi, F.G. Erdelyi, A., The asymptotic expansions of a ratio of Gamma functions, Pacific J. Math. 1 (1951), 133 142.

198. Whittaker, E.T., Watson, G.N., A Course of Modern Analysis, 4th ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1963.

199. Woodroofe, M., Nonlinear Renewal Theory in Sequential Analysis, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1982.

200. Wishart, J., An approximate formula for the cumulative z-distribution, AMS, 28 (1957), 504 510.

201. Willmot, G., The total claims distribution under inflationary conditions, SAJ, (1989), 1 12.

202. Yannaros, N., On Cox processes and gamma renewal processes, JAP, 25 (1988), 423 -427.