Стохастические актуарные модели, учитывающие перестрахование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Ярцева, Дарья Андреевна

• Ярцева, Дарья Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ярцева, Дарья Андреевна

Введение

Глава 1. Поиск и оценивание различных количественных показателей работы страховой компании в дискретном времени.

§1.1 Модель с дискретным капиталом.

1.1.1 Основные уравнения.

1.1.2 Верхние и нижние оценки.

§1.2 Модель с непрерывно распределенными требованиями.

1.2.1 Основные уравнения.

1.2.2 Нахождение оценок средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков.

1.2.3 Оценивание среднего времени до разорения.

1.2.4 Оптимальное перестрахование с точки зрения среднего времени до разорения

Глава 2. Оптимальное перестрахование в многошаговых моделях.

§2.1 Модель с пропорциональным перестрахованием и барьерной стратегией выплаты дивидендов.

2.1.1 Оптимальное перестрахование за один год.

2.1.2 Случай п ^ 2.

§2.2 Модель с непропорциональным перестрахованием.

2.2.1 Случай п = 1.

2.2.2 Случай п ^ 2.

Глава 3. Устойчивость моделей и предельные распределения капитала компа

§3.1 Устойчивость модели к изменению распределений выплат.

3.1.1 Устойчивость решений интегральных уравнений.

3.1.2 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов.

3.1.3 Устойчивость средних дисконтированных убытков.

3.1.4 Устойчивость средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков при перестраховании.

§3.2 Предельные распределения капитала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические актуарные модели, учитывающие перестрахование»

Страхование является важной частью жизни современного общества, практически каждый хоть раз в жизни обращался к услугам страховых компаний, чтобы оградить себя от возможных больших трат, связанных, например, с медицинским обслуживанием или порчей имущества. В ХХ-м веке изучение и моделирование работы страховой компании дало мощный толчок развитию современной теории вероятностей. В диссертации шведского актуария Лундберга [42], посвященной коллективной модели риска, был впервые рассмотрен пуассоновский процесс. Другой шведский актуарий, Крамер, стоял у истоков теории случайных процессов и математической статистики. В 1929 году, специально для Крамера в университете Стокгольма была создана кафедра актуарной математики и математической статистики. Работы Крамера были посвящены теории риска [22] и ее приложениям к страхованию [23], коллективной теории риска [24]. Полный список его публикаций и биографию можно найти в [16].

Основная задача страховой компании — обеспечение выплаты возмещений полисодержателям. Именно поэтому в первых работах по изучению работы страховых компаний ставился вопрос, сможет ли компания удовлетворить все поступившие требования, т.е. какова вероятность неразорения компании. В классической модели Крамера-Лундберга капитал [/(¿) страховой компании в момент £ задается равенством т и(Ь) ^и + сЬ-^Хи г=0 где Х{ — это размер г-го поступившего требования, и — начальный капитал, с — приход премий в единицу времени, М(£) — число требований, поступивших за время Предполагается, что все Х{, г = 1,2,., независимые случайные величины, с общей функцией распределения -Р(ж), такой, что -Р(О) = 0 и ЕХх = /1, а ЛГ(£) — пуассоновский процесс с интенсивностью Л, не зависящий от случайных величин

Случайная величина т = шф > 0 : и(Ь) < 0} (1) называется моментом разорения страховой компании. Если С/(¿) ^ 0 для любого £ > 0, то т = оо. Вероятностью разорения при начальном капитале и называется ф(и) = Р(г < оо|[/(0) = и). (2)

Верхнюю грань для вероятности разорения дает неравенство Лундберга. Также существует явная формула для вычисления вероятности разорения, это формула Поллачека-Хинчина-Беекмана (см. [8]).

Модель Крамера-Лундберга описывает работу страховой компании в случае непрерывного времени. В 1991 году Диксон и Уотерс [25] предложили метод дискретизации модели Крамера-Лундберга, обосновав возможность перехода к дискретному времени и дискретным распределениям выплат. При практическом моделировании работы страховой компании также часто прибегают к дискретизации моделей, поэтому изучение дискретных моделей имеет важное прикладное значение.

Гербер в 1988 году в работе [31] предложил рассматривать составную биномиальную модель в качестве дискретного аналога составной пуассоновской модели. В этой модели капитал компании в момент времени п есть п

Бп = и + пс — ^^ г=1 где — независимые одинаково распределенные неотрицательные целочисленные случайные величины, а момент разорения г и вероятность разорения 1р(и) задаются формулами, аналогичными (1) и (2), соответственно, с заменой 11({) на и £ на п. В этой же работе Гербер привел формулы для рекурсивного вычисления вероятности разорения, в дальнейшем эти результаты были обобщены и уточнены Михелем [43], Шиу [44], Виллмотом [47], Ченгом и соавторами [20], Диксоном и соавторами [26].

Дискретный аналог неравенства Крамера-Лундберга упоминается в книге Бауэрса и соавторов [18]. Ли и соавторы в работе [40] привели обзор основных результатов, полученных к 2009 году.

В данной диссертации во всех рассматриваемых моделях время дискретно. Поскольку практически любую постановку задачи для случая непрерывного времени можно перенести на случай дискретного и наоборот, то и далее будут упоминаться работы, в которых рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга, но появляются новые идеи и проблемы.

В 1957 году де Финетти [29] предложил поставить в основу исследований другой аспект работы страховой компании, а именно то, что компания является коммерческой организацией и должна приносить прибыль своим владельцам или акционерам за счет выплаты дивидендов. Де Финетти исследовал простейшую дискретную модель, в которой капитал компании в течение одного года может изменяться на плюс или минус единицу, и доказал, что барьерная стратегия выплаты дивидендов будет оптимальна с точки зрения максимизации прибыли акционеров. Эта стратегия состоит в том, что при превышении текущим капиталом компании некоторого уровня Ь, называемого барьером выплаты дивидендов, весь излишек капитала немедленно выплачивается акционерам и капитал компании становится равным Ь. Позднее, идеи де Финетти были популяризованы и развиты Борхом в [17].

При таком подходе естественным образом возникает вопрос поиска оптимальных стратегий выплаты дивидендов, т.е. стратегий, при которых максимизируются средние дисконтированные дивиденды. Первые исследования были посвящены дважды дискретным моделям, в которых дискретны и время, и капитал компании. В этом случае капитал компании в момент п есть п п п = £о + ПС - Х{ ~ X) ¿=1 ¿=1 где выплаты Х{ — неотрицательные одинаково распределенные целочисленные случайные величины, а йп — дивиденды, выплаченные в момент п, начальный капитал

5о = х- Средние дисконтированные дивиденды равны т г=1 где а — коэффициент дисконтирования, индекс х у математического ожидания подчеркивает, что начальный капитал был равен х.

Бенинг и Ротарь в [11] показали, что в дискретном времени в большинстве случаев оптимальной стратегией выплаты дивидендов будет барьерная стратегия. Для случая непрерывного времени в модели с броуновским движением Жанблан-Пике и Ширяев [7] показали, что барьерная стратегия будет оптимальной. Поиском оптимальных значений барьера занимался Гербер с соавторами в [32], [34], [35].

Диксон и Уотерс в 2004 году [27] предложили несколько модификаций моделей с выплатой дивидендов. Причиной для введения модификаций послужил тот факт, что при использовании барьерной стратегии компания неминуемо разоряется. Диксон и Уотерс предположили, что в случае разорения акционеры должны участвовать в возмещении убытков компании. Акционеры также могут вернуть капитал компании на некоторый положительный уровень и компания продолжит работу. В этом случае возникает вопрос о размере прибыли акционеров (доходы минус участие в убытках компании). Куленко и Шмидли в [38] показали, что в классической модели Крамера-Лундберга с выплатой дивидендов и возмещением убытков акционерами оптимальной стратегией выплаты дивидендов также будет барьерная стратегия.

В классических моделях помимо вероятности разорения также изучались среднее время до разорения и величина убытков компании в случае разорения. Гербер и Шиу в [33] рассматривали дисконтированные убытки в классической модели Крамера-Лундберга, Ли и Гарридо [39] проводили анализ для составной биномиальной модели. Поскольку в моделях с барьерной стратегией выплаты дивидендов вероятность разорения равна единице, то в этих моделях представляется особо важным исследование среднего времени до разорения и величины убытков. Модели с выплатой дивидендов в непрерывном времени изучали Лин и соавторы [41], а также Жоу [48].

Еще одним важным аспектом работы компании является возможность пользоваться услугами перестраховщика либо для уменьшения вероятности разорения, либо для увеличения среднего времени до разорения, либо для оптимизации какой-либо еще характеристики работы компании (см. [3]). Существуют разные механизмы перестрахования, основные два класса — это пропорциональное и непропорциональное перестрахования. Далее в диссертации речь будет вестись о квотном перестраховании, как представителе пропорционального класса, и о договоре эксцедента убытка, как представителе непропорционального класса.

При квотном перестраховании страховая компания отдает долю рисков £ [0,1] перестраховщику. Точно такая же доля премий отдается в качестве платы за услуги. Тем самым, при поступлении требований размера X страховщик выплачивает лишь (1 — однако и размер премий, которые получает страховщик теперь равен (1 — ¿9)с (при ранее получаемых премиях с). Также в рамках договора о перестраховании могут возникать дополнительные обязательства страховщика по отношению к перестраховщику или наоборот, которые характеризуются числом в £ (—1,1) и равны Ьдвс. Если 9 > 0, то дополнительные деньги получает перестраховщик, если в < 0, то дополнительные средства получает страховщик.

При использовании договора эксцедента убытка задается число Я — уровень собственного удержания. При поступлении требования размера X страховщик выплачивает величину тт(Х,В), а перестраховщик — величину тах(0,Х — Я). Премии, отдаваемые в перестрахование, в этом случае равны /?Етах(0, X — Я), где р — 1 — страховая нагрузка перестраховщика, р > 1.

Поиску оптимальных в различных смыслах стратегий перестрахования посвящено множество работ, среди которых работы Эрроу [14], Белкиной и Матвеевой [2], Го-лубина [5], [6], Хиппа и Вогта [36], Хойгаарда и Таксара [37], Шмидли [45]. Рассматривались также модели, в которых производятся дополнительные денежные вливания в случае нехватки капитала компании для возмещения требований, т.е. фактически аналог модификации Диксона-Уотерса. В этом случае ставится задача минимизации этих денежных вливаний. Для модели Крамера-Лундберга задача поиска оптимальной стратегии перестрахования рассматривалась Эйзенберг и Шмидли в [28].

Стоит также отметить, что договоры перестрахования, как правило, заключаются в определенные фиксированные моменты времени, например в конце финансового года, поэтому для описания работы компании, пользующейся услугами перестраховщика, вполне логично использовать модели с дискретным временем.

Краткое содержание диссертации.

В главе 1 рассматриваются две модели работы страховой компании, использующей барьерную стратегию выплаты дивидендов. В первом параграфе рассматривается модель, в которой распределение выплат и капитал компании дискретны. Изучаются средние дисконтированные дивиденды, полученные до момента разорения. Эти величины удовлетворяют системе линейных уравнений, имеющей единственное решение в предположениях модели, которое в общем случае можно найти лишь численно, поэтому возникает вопрос поиска его оценок. Теорема 1.1 указывает двухточечные распределения выплат, при которых дивиденды будут принимать минимальное или максимальное значения. Для случая двухточечных распределений требований, можно рассматривать средние дисконтированные дивиденды как функции от вероятности принять одно из значений и построить линейные оценки дивидендов, приведенные в теореме 1.4.

В модели, модифицированной по Диксону-Уотерсу, изучается дисконтированная прибыль акционеров (дивиденды минус убытки). Как и в случае средних дисконтированных дивидендов, средняя дисконтированная прибыль удовлетворяет системе линейных уравнений, имеющей решение, которое можно найти лишь численно. Поэтому ищутся оценки средней дисконтированной прибыли, которые можно получить аналитически. В теореме 1.2 предъявлены оценки для произвольных распределений выплат. В случае двухточечных распределений выплат линейные оценки прибыли приведены в теореме 1.5, квадратичные — в теореме 1.6.

Во втором параграфе первой главы исследуется модифицированная модель, в которой распределение выплат абсолютно непрерывно. Также добавляется возможность использовать квотное перестрахование. Показано, что средние дисконтированные дивиденды и средние дисконтированные убытки удовлетворяют интегральным уравнениям и доказано существование решения этих уравнений.

Предложен метод нахождения оценок решений таких уравнений и получены оценки средних дисконтированных дивидендов и средних дисконтированных убытков. Также получены оценки среднего времени до разорения. Затронута задача нахождения стратегии перестрахования, максимизирующей среднее время до разорения, в утверждении 1.7 приведены условия, при которых такая стратегия может быть найдена среди стратегий с постоянной квотой.

Более подробно вопрос существования оптимальных стратегий перестрахования исследуется во второй главе. Предполагается, однако, что в случае, если капитала компании не хватает для покрытия всех требований, то компания берет банковский кредит, и ставится задача минимизации средней платы за пользование кредитом в течение п лет.

В первом параграфе рассматривается модель с пропорциональным перестрахованием. При п = 1 оптимальное перестрахование ищется при помощи теоремы 2.1, при ть ^ 2 — при помощи теоремы 2.2, в которой также установлены некоторые свойства средних издержек.

Во втором параграфе рассматривается модель, в которой используется непропорциональное перестрахование. Оптимальное перестрахование находится при помощи теоремы 2.3 и теоремы 2.4.

В первом параграфе третьей главы рассматривается вопрос устойчивости средних дисконтированных убытков и средних дисконтированных дивидендов к изменению распределения величин страховых выплат. Рассматривается модель из второго параграфа первой главы. Показано, что при небольшом изменении распределения величин страховых выплат дивиденды и убытки изменятся мало.

Во втором параграфе изучается вопрос существования предельных распределений капитала компании в модификации Диксона-Уотерса. В теореме 3.5 приведены условия при которых будет существовать предельное распределение капитала компании и указан вид этого предельного распределения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ярцева, Дарья Андреевна, 2011 год

1. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы, М., 1987.

2. Т. А. Белкина, М. В. Матвеева. Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузной аппроксимацией процесса риска. В сб. "Инновационная система государства и перспективы ее развития". Гомель: ЦИИР, 2010. с. 43-54.

3. Е. В. Булинская. Теория риска и перестрахование, М.: Мейлор, 2009.

4. О. П. Виноградов. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения, Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, 5(1), 134-139.

5. А. Ю. Голубин. Оптимизация франшизы в статической модели страхования Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, 10(2), 287-302.

6. А. Ю. Голубин. Оптимизация дележа риска в статической модели с перестрахованием, Автоматика и телемеханика, 2009, 8, 133-143.

7. М. Жанблан-Пике, А. Н. Ширяев. Оптимизация потока дивидендов, УМН, 1995, 50:2(302) , 25-46.

8. В.Ю. Королев, В.Е. Бенинг, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска, М.: Физико-математическая литература, 2007.

9. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, 7-е изд. М.: Физико-математическая литература, 2006.

10. А. Б. Пиуновский. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями, М., 1996.

11. В.И. Ротарь, В.Е. Бенинг. Введение в математическую теорию страхования, Обозрение прикладной и промышленной математики,1994, 1(5), 699-779.

12. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 1. — М.: Мир, 1984.

13. Н. Albrecher and S. Thonhauser. Optimality results for dividend problems in insurance, RACSAM Revista de la Real Academia de Ciencias; Serie A, Matematicas, 2009,103(2), 295-320.

14. K.J. Arrow. Essays in the Theory of Risk Bearing, Chicago: Wiley, 1971.

15. B. Avanzi. Strategies for dividend distribution: A review, North American Actuarial Journal, 2009, 13, 217-251.

16. G. Blom. Harald Cramer, 1893-1985, The Annals of Statistics, 1987, 15 (4): 1335-1350.

17. К. H. Borch. The Mathematical Theory of Insurance, Cambridge, MA: Lexington Books, 1974.

18. N. L. Bowers, H. U. Gerber, J.C.Hickman, D.A.Jones and C. J.Nesbitt. Actuarial Mathematics, 1997, Society of Actuaries, Schaumburg.

19. H. Biihlman. Mathematical methods in risk theory, Springer-Verlag. Heidelberg. 1970.

20. S. Cheng, H.U. Gerber, E. S.W. Shiu. Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 26, 239-250.

21. M.M. Claramunt, M. Marmol у A. Alegre. Expected present value of dividends with a constant barrier in the discrete time model, Sixth International Congress on Insurance: Mathematics and Economics, ISEG Technical University of Lisbon.

22. H. Cramer. On the mathematical theory of risk, Forsakringsaktiebolaget Skandia 1855-1930, Stockholm, 1930, 2, 7-84.

23. H. Cramer. The theory of risk in its application to life insurance problems, Proceedings of Ninth International Congress Actuaries, 1931, 2, 380-394.

24. H. Cramer. Collective risk theory The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1-92.

25. D. С. M. Dickson, H. R. Waters. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21(2), 199-221.

26. D.C.M. Dickson, A.D. Egidio dos Reis, H.R. Waters. Some Stable Algorithms in Ruin Theory and Their Applications, Astin Bulletin, 1995, 25(2), 153-175.

27. D. C. M. Dickson, H. R. Waters. Some Optimal Dividends Problems, Astin Bulletin, 2004, 34(1), 49-74.

28. J. Eisenberg, H. Schmidli. Minimising expected discounted capital injections by reinsurance in a classical risk model, Scandinavian Actuarial Journal, 2010. http: / / www.informaworld.com / smpp/content~db=all~content=a920027023

29. B. de Finetti. Su un' impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio, 1957, Transactions of the XVth International Congress of Actuaries 2, 433-443.

30. H. U. Gerber. An Introduction to Mathematical Risk Theory, SS Huebner Foundation. 1979.

31. H. U. Gerber. Mathematical fun with compound binomial model, ASTIN Bulletin 1988, 18(2), 161-168.

32. H.U. Gerber, E.S.W. Shiu. Optimal Dividends: Analysis with Brownian Motion North American Actuarial Journal, 2004, 8(1), 1-20.

33. H. U. Gerber, E, S. W. Shiu. The joint distribution of the time of ruin, the surplus immediately before ruin, and the deficit at ruin, Insurance: Mathematics and Economics, 1997, 21(2), 129-137.

34. H.U. Gerber, E.S.W. Shiu, N. Smith. Maximizing dividends without bankruptcy, ASTIN Bulletin, 2006, 36(1), 5-23.

35. H. U. Gerber, E. S. W. Shiu, H. Yang. An elementary approach to discrete models of dividend strategies, Insurance: Mathematics and Economics. 2010, 46(1), 109-116.

36. C. Hipp, M. Vogt. Optimal Dynamical XL Reinsurance, ASTIN Bulletin, 2003, 33(2), 193-207.

37. B. H0jgaard, M. Taksar. Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models with transaction costs, Insurance: Mathematics and Economics, 1998, 22(1), 41-51.

38. N. Kulenko, H. Schmidli. Optimal dividend strategies in a Cramer-Lundberg model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270-278.

39. S. Li, Y. Lu and J. Garrido. A review of discrete-time risk models, RACSAM Revista de la Real Academia de Ciencias; Serie A, Matematicas, 2009, 103(2), 321-337.

40. X. S. Lin, G.E. Willmot, S. Drekic. The Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier: Analysis of the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function, Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(3), 551-566.

41. F. Lundberg. Approximations of the Probability Function/Reinsurance of Collective Risks, doctoral thesis, 1903.

42. R. Michel. Representation of a time-discrete probability of evential ruin, Insurance: Mathemaics and Economics,1989, 8, 149-152.

43. E. Shiu. The probability of eventual ruin in the compound binomial model, Astin Bulletin, 1989, 19(2), 179-190.

44. H. Schmidli. On Minimizing the Ruin Probability by Investment and Reinsurance, The Annals of Applied Probability, 2002, 12, 890-907.

45. K.-H. Waldmann. On optimal dividend payments and related problems, Insurance: Mathematics and Economics, 1988, 7(4), 237-249.

46. G. E. Willmot. Ruin probabilities in the compound binomial model, Insurance: Mathematics and Economics, 1993, 12, 133-142.

47. X. Zhou. On a Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier, North American Actuarial Journal, 2005, 9(4), 95-108.

48. Д. А. Ярцева. Верхние и нижние оценки дивидендов в дискретной модели, Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2009, 5, 60-62.

49. Д. А. Ярцева. Предельное распределение капитала компании в модели с выплатой дивидендов, Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, 17(6), 830-838.

50. Д. А. Ярцева. Устойчивость некоторых актуарных моделей Деп. в ВИНИТИ ДО668-В2010, 31 стр.

51. D. Yartseva. Optimal Reinsurance Strategies for Some Discrete Time Models, Proceedings of 6th St. Petersburg Workshop on Simulation, 2009, 73-78.

52. E. Bulinskaya, D. Yartseva. Discrete Time Models with Dividends and Reinsurance, Book of Abstracts of Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis International Conference, Chania, Greece, 8-11 June 2010, p. 21.