Стохастические интегралы и асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Быстров, Александр Александрович

• Быстров, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Быстров, Александр Александрович

введение з

ГЛАВА 1. Стохастический интеграл от неслучайных ядер по неортогональным стохастическим мерам

§ 1. Конструкция стохастического интеграла.

§ 2. Инфинитезимальный анализ ковариационной меры. 2.1. Процессы с регулярной ковариационной функцией.

2.2. Процессы с факторизующейся ковариационной функцией.

2.3. Процессы с ковариационными функциями смешанного типа.

2.4. Мажорируемые ковариационные меры.

Ф 2.6. Построение кратного стохастического интеграла по приращениям негауссовского процесса.

§ 3. Доказательство основных результатов.

3.1. Доказательство предложения 1.

3.2. Доказательство предложения 2.

3.3. Доказательство предложения 3.

3.4. Доказательство теоремы 1.

3.5. Доказательство предложения А . :.

3.6. Доказательство предложения 5.

3.7. Доказательство предложения 6.

ГЛАВА 2. Асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по слабо зависимым наблюдениям

§ 1. Введение и формулировка основных результатов.

§ 2. Моментные неравенства.

§ 3. Доказательство теоремы 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические интегралы и асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям»

В диссертации предложена схема построения стохастических интегралов от неслучайных функций по неортогональным стохастическим мерам. Эта конструкция позволяет описывать предельные распределения для канонических (вырожденных) статистик Мизеса произвольной размерности, построенных по слабо зависимым стационарно связанным наблюдениям.

При изучении случайных процессов, а также при описании некоторых распределений, возникающих в тех или иных приложениях стохастического анализа (например, в статистике) важную роль играют интегралы, записываемые в виде f f{t)d£(t) или ff(ti, .,tn)d€(ti).d£(tn), где ядра }(t) и f(ti,.,tn) — заданные неслучайные функции, a £(f) — случайный процесс. Реализации процесса £(f), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций £(i).

Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер [35]. Основанное на технике гильбертовых пространств построение интегралов от неслучайных функций по стохастическим мерам, порожденным случайными процессами с ортогональными приращениями, независимо предложено в 1940 г. А. Н. Колмогоровым [9] и Г. Крамером [21]. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер [36] и К. Ито [28] (классический кратный интеграл Винера-Ито). Отметим также посвященную кратным интегралам Винера-Ито монографию П. Майора [29]. Схема построения абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции по ортогональным элементарным стохастическим мерам, заданным на произвольных измеримых пространствах, подробно изложена в монографии И. Гихмана и А. Скорохода [8].

Один из первых результатов, касающихся интегрирования по неортогональным мерам, содержится в известной монографии М. Лоэва [12], где предложена конструкция стохастического интеграла Римана по приращениям произвольного гильбертова (т. е. с конечными вторыми моментами сечений) процесса на отрезке прямой. Кратный стохастический интеграл по приращениям броуновского моста, по-видимому, впервые изучался в работе А. А. Филипповой [14] при исследовании предельного поведения функционалов (статистик) Мизеса. Однако с помощью известного представления броуновского моста этот интеграл можно легко свести к аналогичному кратному стохастическому интегралу по приращениям винеровского процесса. Тем не менее, отметим, что метод работы [14] существенно отличается от классического построения интеграла Винера-Ито. В частности, в конструкции А. А. Филипповой стохастический интеграл зависит от значений ядра на диагональных подпространствах области интегрирования, чего нет в конструкции Винера-Ито. В работе С. Камбаниса и С. Т. Хуанга [20] была рассмотрена схема построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса. При этом использовался математический аппарат тензорных произведений некоторых евклидовых ядерных пространств, построенных по исходному гауссовскому процессу. Однако при таком задании кратного стохастического интеграла остается невыясненным вопрос касательно его стохастической непрерывности на пространстве ядер, снабженном удобной для анализа топологией. Именно это свойство является ключевым при доказательстве предельных теорем для статистик Мизеса.

Условия, обеспечивающие корректное задание интегралов в этих работах, сводятся к проверке конечности некоторых детерминированных кратных интегралов по специальным мерам, построенным с помощью ковариационной функции интегрирующего случайного процесса. Причем даже в простейших случаях структура этой меры может оказаться весьма непростой, и проверка упомянутых условий может представлять собой отдельную проблему. В этом смысле весьма показательна работа А. Дасгупты и Г. Каллианпура [22], где как раз и "расшифровываются" условия Камбаниса-Хуанга в случае, когда интегрирующий процесс в конструкции кратного стохастического интеграла представляет собой регулярное фрактальное броуновское движение. Заметим, что в последнее время различным аспектам стохастического интегрирования по приращениям этого гауссовского процесса посвящено немало работ (см., например, [15], [31]).

В первой главе диссертации предложена конструкция стохастического интеграла от неслучайной функции, не предполагающая ни ортогональности, ни гауссовости интегрирующей элементарной стохастической меры и включающая в себя конструкции как одномерных, так и кратных стохастических интегралов по приращениям гильбертовых случайных процессов на прямой. Условия существования этих интегралов конкретизированы для интегрирующих элементарных стохастических мер, порожденных случайными процессами с неортогональными приращениями из некоторых достаточно широких классов.

Напомним классическую конструкцию стохастического интеграла от неслучайной функции по случайному процессу с ортогональными приращениями. При этом мы будем следовать наиболее общей схеме построения, изложенной в [8].

Пусть {ft,.?7,?} — вероятностное пространство, £2 := ^({^j^iP})) % ~ некоторое множество и ЭДТ — полукольцо подмножеств X с единицей, т. е. Ш замкнуто относительно операции "П", X € 9Л и теоретико-множественная разность двух любых элементов из Ш представима в виде конечного объединения элементов из Ш. Предположим, что на {ft, Т, Р} задан случайный процесс {^(^4); А € WI} с конечными вторыми моментами сечений (т. е. ц(А) € £2; такие процессы иногда называют гильбертовыми), удовлетворяющий следующим дополнительным условиям:

Ml) fx(Ai UА2) = ц{Ах) +fi(A2) почти наверное, если Аг ПА2 = 0 и Ai U А2 6 ПЯ;

М2) ЗДЛХЛз) = m(Ai П Л2), где т(А) — некоторая ст-аддитивная конечная мера на сг(Ш) - минимальной о-алгебре, порожденной элементами из Ш.

Определение 1. Гильбертов случайный процесс {/i(-A); А € ЯЛ}, удовлетворяющий условию (Ml), называется элементарной стохастической мерой или шумом. Если дополнительно выполнено условие (М2), то шум называется ортогональным, а т(А) - его структурной функцией.

Отметим, что множество элементарных исходов полной меры, для которого имеет место условие (Ml), вообще говоря, зависит от А\ и А2. При этом может и не существовать универсального множества полной меры в для каждого элемента которого условие (Ml) выполняется при всех A\,Ai € 9Я, удовлетворяющих приведенным выше требованиям. Так что при выполнении (Ml) реализации случайной функции множества {^(Л); А £ ЯЯ} не обязаны быть аддитивным зарядом на Ш.

Свойство ортогональности стохастической меры (М2) означает, что если Л1ПЛ2 = 0, то случайные величины ц{А\) и ц{А2) некоррелированы, т. е. ортогональны в £2. Типичными примерами ортогональных стохастических мер являются центрированные пуассоновские точечные процессы, а также абстрактные винеровские процессы {W\(A); А € ЯЯ}, т. е. центрированные стохастические гауссовские меры с произвольной структурной функцией т(-) = А(-). В последнем примере для любого конечного набора попарно несовместных множеств €Е Ш1; i — 1 ,.,п, гауссовский вектор {W\(Ai),., W\(An)) состоит из независимых компонент. Точно таким же свойством обладают соответствующие конечномерные проекции и пуассоновских точечных процессов. Отметим, что для произвольных полуколец Ш существование абстрактных винеровских процессов на соответствующем вероятностном пространстве следует из классической теоремы А. Н. Колмогорова о согласованных распределениях. Основное свойство (Ml) для этого процесса следует из элементарного тождества

E(WX(A U В)- W\(A) - W\(B))2 = О, которое легко проверяется для любых несовместных А и В.

Далее, обозначим через £о{Ш?} следующий класс простых функций f(x): п f(x) = Y^ckIAk{x), Ак е Ш, к = 1,2, • • • , п, Ai П Aj = 0, г ф j, (1) к=1 где п — любое натуральное число, ск - произвольные числа, a Ia(x) ~ индикатор множества А.

Определим стохастический интеграл от функции f(x) € £о{9Я} по элементарной стохастической мере /х(-) формулой т?(/) := [ f(x)n(dx) = (2)

J к=1

Теперь рассмотрим линейную оболочку Со{ц} уже введенного семейства случайных величин {ц{А)\ А е 9Л}, т. е. множество случайных величин, представимых в виде (2), и пространство ^{ц}, являющееся замыканием £о{аО в гильбертовом пространстве случайных величин £2. Кроме того, обозначим символом £2{9Я} замыкание £о{Ш1} в гильбертовом пространстве С.2{Х, а(Ш),т). В классической конструкции ортогональность используется следующим образом: соотношение (2) устанавливает изометрический изоморфизм (изометрию) rj(f) между £о{ЯЯ} и £о{аО» поскольку

М1)\\Ъ = Е^/)2 = = [ f(x)m(dx). к=1 J

Это соответствие может быть продолжено до изометрии т] между £2{9Л} и £г{д} в силу полноты обоих пространств. Тогда доя любой функции / G £2{9Я} полагаем по определению f f(x) ii{dx) = rj(f).

Заметим, что требование ортогональности не является необходимым для построения пространства функций, изометричного Так в [31] приводится следующее утверждение:

Теорема А. Пусть Т - множество функций, заданных на вещественной прямой и удовлетворяющих следующим условиям:

1. Т - эвклидово пространство со скалярным произведением (f,g)?',

2. £0{9Л} СТ и {f,9h = E7](f)V{g) для всех f,g е C0{V.Я};

3. Множество £о{Ш} плотно в Т в норме, порожденной указанным скалярным произведением.

Тогда существует изометрия между пространством Т и некоторым линейным подпространством в Ci{n}, являющаяся расширением отображения / 1—> v{f)i f е £о{9Я}. Более того, Т изометрично всему пространству £г{А0 тогда и только тогда, когда Т полно.

Важным в предлагаемом нами подходе является то обстоятельство, что для корректного определения стохастического интеграла вместо упомянутой изометрии между введенными выше замкнутыми (в той или иной топологии) линейными оболочками достаточно построить вложение соответствующих функциональных пространств (см. Теорему 1).

Во второй главе диссертации исследуется предельное поведение вырожденных статистик Мизеса, построенных по стационарно связанным наблюдениям с условием ^-перемешивания.

Пусть [Х{] i 6 Z} стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин со значениями в произвольном измеримом пространстве {£, Л} и маргинальным распределением Р. Рассмотрим измеримую функцию f(ti,.td) : Xd —» R. Определим статистику Мизеса (или V-статистику) по формуле

Mn:=nd'2 J2 f(Xh,.,Xid), 71 = 1,2,., (3) l<tl,.,td<n где d> 2, индексы суммирования гк пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до п. Введем также условие вырожденности функции /:

Е/(ti,., tk-UXk, tk+l,., td) = 0 (4) при всех ti,., td G X и к = 1,., d. Функция / называется ядром У-статистики.

Наряду с V-статистиками с середины сороковых годов прошлого века изучались близкие к (3) функционалы, так называемые [/-статистики:

Vn-nW Y1 f(Xh,.,Xid) (5) или

U°n:=n~d/2 МХи,.,Хи)-, (6) l<ii<.<id<n причем ядро /о в (6) дополнительно предполагается симметричным относительно всех перестановок своих аргументов.

Классическими примерами U и У—статистик могут служить выборочная дисперсия, средняя разность Джини, знаково-ранговая статистика Вилкоксона, статистики ш2 и х2 и ДР- (см.,например, [11]).

Основное отличие [/-статистик от V-статистик состоит в отсутствии в области суммирования соответствующих кратных сумм в (5) и (6) так называемых диагональных подпространств, т. е. отсутствие у ядер кратных индексов суммирования. В широких условиях на распределение {Х»} и ядра это отличие оказывается несущественным, поскольку число различных мультииндексов (ii,id) в вышеприведенных суммах при наличии кратных координат имеет порядок 0(nl), I < d, где I - число свободных ("несвязанных") координат г* (или, как говорят, - размерность диагонального подпространства). Так что при соответствующих дополнительных моментных ограничениях на ядро / нетрудно установить эквивалентность по вероятности представлений (3) и (5). Также легко видеть, что формы (5) и (б) записи [/-статистик по сути эквивалентны: если мы положим в (6) fo(h,.,td) := У^/fa.—^td), где суммирование ведется по всевозможным перестановкам чисел то сведем представление (5) к (6).

Если распределение Р не содержит атомов, то [/-статистики в представлении (6) с точностью до множителя (d\)~l совпадают по распределению с соответствующими статистиками Мизеса с симметричными ядрами, равными нулю на всех диагональных подпространствах Xd. Это замечание является центральным в предельной теории [/-статистик.

Впервые асимптотическое поведение U и V—статистик было исследовано в работах Р. Мизеса [34] и В. Хёфдинга [26]. В предельной теории для указанных статистик (как для независимых, так и для зависимых наблюдений) можно выделить два направления: асимптотический анализ невырожденных и вырожденных U и V-статистик. В силу известного представления Хёфдинга главная часть любой невырожденной U или ^статистики представляет собой сумму одного и того же детерминированного преобразования от рассматриваемых наблюдений (независимых или зависимых), что по сути позволяет сводить задачу к соответствующей проблеме классической теории суммирования. При этом следующие по порядку члены в упомянутом разложении Хёфдинга уже будут вырожденными статистиками (как, впрочем, и суммы центрированных случайных величин). Так что асимптотический анализ невырожденных U и V-статистик нередко сводится к соответствующему анализу вырожденных статистик. Именно поэтому последние и называются каноническими. Всюду в дальнейшем мы изучаем предельное поведение только таких статистик.

Несомненное преимущество канонических V-статистик перед {/-статистиками заключается в нижеследующем интегральном представлении.

Случайный процесс п sn(B) = n-l £(/(* G в) ~ р(в))> 5 е Л i= 1 будем называть эмпирической мерой (знакопеременной), построенной по наблюдениям Xi,.,Xn. Известно (см., например, [11], [5]), что статистика Мп допускает представление в виде d-кратного стохастического интеграла, который задается "по-траекторно" как обычный интеграл Лебега от конечной знакопеременной меры (так как "стохастическая" часть Sn(-) - чисто атомарная мера): мп = / fix I, .,xd)Sn(dxl).Sn(dxd). (7) xd

Напомним, что диагональное подпространство D в Xd задается соотношением Dj. := {(ti, .,td) : U, = U2. = Uqi, •••,U4rl+i = U4r1+2--- = гДеh > 2. Qi+i-Qi > 2 при i > 1, < d; i* (гьг2, .,г91,.,г9г1+1,г?р1+2,.,г9г) - вектор с попарно различными целочисленными координатами из набора {1,., d}. В дальнейшем вместо векторного индекса i* диагональных подпространств нам будет удобнее использовать скалярную величину (скажем, i ), перенумеровав эти подпространства натуральными числами произвольным образом. Подпространство в Xd, определяемое попарно различными назовем главным подпространством и обозначим через Dq. Очевидно,

Известно (см. [5], [13], [14]), что если случайные величины {X,} независимы и при всех г > 0, то слабый предел последовательности Мп описывается в виде кратного стохастического интеграла, совпадающего при некоторых дополнительных условиях (скажем, если распределение Р имеет ограниченную плотность) с соответствующим интегралом Винера-Ито (см. [11], [28], [24]). Иначе говоря, при п —> оо, где символ здесь и далее обозначает слабую сходимость соответствующих распределений, Wp(A) - "белый шум" со структурной функцией Р, т. е. элементарная ортогональная гауссова стохастическая мера на Л с нулевым средним и ковариацией ЕWp(A)Wp(B) = Р(АС\ В). Отметим, что интеграл в (8) без дополнительных условий на ядро нельзя определить, в отличие от (7), "потраекторно" с вероятностью 1, так как "белый шум" имеет неограниченную вариацию почти наверное для любых неатомарных распределений Р, скажем, в Жк.

Вторая глава работы посвящена исследованию предельного поведения последовательности (3) в случае, когда наблюдения зависимы. В этом направлении для вырожденных U и V-статистик сделано крайне мало. Прежде всего, упомянем работу [25], в которой доказано, что в случае d = 2 для стационарно связанных наблюдений с ^-перемешиванием при некоторых дополнительных ограничениях на распределение последовательности {Xj} и на fix,у) последовательность статистик вида (5) сходится по распределению к случайной величине

Do = a*\(jA. i>l

8)

00 fc=l где {А*} - собственные числа интегрального оператора с ядром /, а {т*} - гауссова последовательность случайных величин с ковариацией, определяемой как собственными функциями упомянутого интегрального оператора, так и корреляцией элементов последовательности {X,-}. Как будет следовать из результатов второй главы, случайная величина в (9) также допускает интерпретацию в виде двумерного стохастического интеграла по элементарной стохастической мере, порожденной некоторым гауссовским процессом с неортогональными приращениями. Корректное задание этих интегралов и описание соответствующего ядерного пространства обеспечиваются результатами первой главы.

В случае независимых наблюдений {Xj} представление (9) было получено еще в основополагающей работе Р. Мизеса [34]. Позже оно было распространено на статистики произвольной размерности (см. [32]) и, кроме того, была дана иная интерпретация упомянутых предельных законов в виде стохастических интегралов вида (8) (см. [14], [24]). На наш взгляд, подобная интерпретация предельного закона более конструктивна, чем представление (9), поскольку исчерпывающий спектральный анализ упомянутого выше интегрального оператора (т. е. описание множества его собственных чисел и функций) возможен только в исключительных случаях (т. е. для ядер / из очень узкого класса).

Упомянем также работу [23], в которой исследованы предельные распределения для вырожденных [/-статистик от специально построенных наблюдений - детерминированного преобразования стационарно связанных сильно зависимых (т. е. без условий перемешивания) гауссовских величин. Так что в рамках достаточно частной конструкции в [23] изучаются совершенно иные эффекты, нежели в настоящей работе. При этом предельные распределения в [23] описаны как детерминированные преобразования классических случайных объектов - кратных стохастических интегралов Винера-Ито.

В данной работе мы рассмотрим случай, когда наблюдения удовлетворяют условию ^-перемешивания. Обозначим через Т*- сигма-алгебру событий, порожденную случайными величинами Xj, .,Хк, j < к. Для т > 1 определим функцию ф(т) := supsup{|^L - 1 ; А е В € Р(А)Р(В) > о} . (10)

Очевидно, функция t/i(m) монотонно невозрастает. Стационарная в узком смысле последовательность случайных величин называется последовательностью с ^-перемешиванием, если limm»oo xp(m) = 0. Такие условия зависимости были исследованы в [16], [33], [30] и др. Заметим, что если последовательность случайных величин удовлетворяет условиям ^-перемешивания, то она является последовательностью с равномерно сильным (т. е. <р-) перемешиванием.

Для вырожденных статистик Мизеса произвольной размерности, построенных по стационарно связанным наблюдениям с условием ^—перемешивания, мы докажем предельное соотношение, аналогичное (8). Однако в качестве интегрирующего процесса в этой ситуации возникает некоторый гауссовский процесс с неортогональными приращениями (подробнее см. пункт 2.4 первой главы).

Метод доказательства предельной теоремы для вырожденных статистик Мизеса основан на представлении (7) этих статистик в виде кратных стохастических интегралов по соответствующей эмпирической продакт-мере и на результатах первой главы, обеспечивающих задание соответствующих предельных распределений в виде кратных стохастических интегралов от неслучайных ядер по гауссовским шумам, которые являются в известном смысле предельными для упомянутых выше эмпирических мер. Отметим, что в этом случае мы не можем напрямую применять классические предельные теоремы для эмпирических процессов, так как два упомянутых кратных стохастических интеграла задаются по разному: в представлении (7) - потраекторная конструкция Лебега, а в представлении предельного закона кратный стохастический интеграл потраекторно, вообще говоря, не существует.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4],

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быстров, Александр Александрович, 2006 год

1. Белов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, Физматлит, 1996.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

3. Борисов И. С. Об одном критерии марковости гауссовских процессов. — Теория вероятн. и ее примен., 1982, т. 27., №4, с. 802-805.

4. Борисов И. С., Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры // Теория вероятностей и ее применения, 2005, т.50, JV81, с. 52-80.

5. Борисов И. С., Саханенко JI. А. Центральная предельная теорема для обобщенных статистик Мизеса с вырожденными ядрами // Математические труды, Новосибирск, 2001, т. 4, №1, с. 3-17.

6. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

7. Быстров А. А. Обобщение классической конструкции стохастического интеграла. // Труды XXXIX Международной студенческой конференции, Новосибирский государственный университет, 2001, с. 246-252.

8. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971.

9. Колмогоров А. Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений — Доклады АН СССР, 1940, т. 26., с. 6-9.

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

11. Королюк В. С., Воровских Ю. В. Теория /-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

12. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Иностранная литература, 1962.

13. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения //ДАН СССР, 1959, т.129, №1, с. 44-47.

14. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятностей и ее применения, 1962, т.7, №1, с. 26-60.

15. Alos Е., Mazet О., Nualart D. Gaussian stochastic calculus — Ann. Probab., 2001, v. 29, №. p. 766-801.

16. Blum J. R., Sanson D. L., Koopmans L. H. On the strong law of large numbers for a class of stochastic processes // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1963, v.2 Ш, p. 1-11.

17. Borisov I. S., Bystrov A. A. An extension of the classical stochastic integral construction for nonrandom kernels. // 8th Vilnius Conference on Probability Theory. Vilnius, 2002, Abstracts of communications, p. 47-48.

18. Cambanis S., Huang S. T. Stochastic and multiple Wiener integrals for Gaussian processes — Ann. Probability, 1978, v.6, p. 585-614.

19. Cramer H. On the theory of random processes. — Ann. Math., 1940, v. 41., p. 215-230.

20. Dasgupta A., Kallianpur G. Multiple fractional integrals — Probability Theory and Related Fields, 1999, v. 115, №4, p. 505-526.

21. Dehling H., Taqqu M. S. The empirical process of some long-range dependent sequences with an application to f/-statistics // Ann. Statist., 1989, v.17, JVM, p. 1767-1783.

22. Dynkin E. В., Mandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals // Ann. Statist., 1983, v.ll, №3, p. 739-745.

23. Eagleson G.K. Orthogonal expansions and {/-statistics // Austral. J. Statist., 1979, v.21, №3, p. 221-237.

24. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist. 1948, v. 19, p. 293-325.

25. Hoeffding W. The strong law of large numbers for ZY-statistics // Inst. Statist. Mimeo Ser. 1961, №302, p. 1-10.

26. Ito K. Multiple Wiener Integral // J. Math. Soc. Jap., 1951, v.3, №1, p. 157-169.

27. Major P. Multiple Wiener-Ito integrals — Lecture notes in Mathematics, Springer, 1981, v. 849.

28. Philipp W. The central limit problem for mixing sequences of random variables // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1969, v.12, №2, p. 155-171.

29. Pipiras V., Taqqu M. S. Integration questions related to fractional Brownian motion Probability Theory and Related Fields, 2000, v. 118, №2, p. 251-291.

30. Rubin #., Vitale R. A. Asymptotic distribution of symmetric statistics // Ann. Statist., 1980, v.8, №1, p. 165-170.

31. Sen P. К. Limiting behavior of regular functionals of empirical distributions for stationary *-mixing processes // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1972, v.25, №1, p. 71-82.

32. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions 11 Ann. Math. Statist. 1947, v. 18, p. 309-348.

33. Wiener N. Differential space. J. Math. Phys., 1923, v. 2, p.131-179.

34. Wiener N. The homogeneous chaos. — Amer. J. Math., 1938, v. 55, JV»4.