Построение кратных стохастических интегралов с помощью рядов ортогональных случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Хрущев, Сергей Евгеньевич

• Хрущев, Сергей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Хрущев, Сергей Евгеньевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Достаточные условия существования кратного стохастического интеграла

§ 1. Достаточные условия существования

§ 2. Представление кратного стохастического интеграла в виде

кратного ряда со случайными коэффициентами

§ 3. Доказательство основных результатов

3.1. Доказательство теоремы 1

3.2. Доказательство теоремы 2

3.3. Доказательство теоремы 3

3.4. Доказательство теоремы 4

3.5. Доказательство теоремы 5

ГЛАВА 2. Задание кратного стохастического интеграла в виде

кратного ряда со случайными коэффициентами

§ 1. Определение кратного стохастического интеграла

§ 2. Экспоненциальное неравенство

§ 3. Доказательство теоремы 6

ГЛАВА 3. Задание кратного стохастического интеграла в виде

одномерного ряда со случайными коэффициентами

§ 1 Определение кратного стохастического интеграла 65 § 2 Сравнение различных конструкции кратных с I охастических

ннЕсгралов 69 § 3 Обобщенная конструкция стохастического интсч рала 73 § 4 Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида 74 § 5 Условия существования кратного вииеровско] о стохастического интеграла 76 § 6 Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных относительно различных разложений одного и того ж о процесса 84 § 7 Экспоненциальное неравенство 87 § 8 Доказательство основных результатов 89 8 1 Доказательство теоремы 7 89 8 2 Доказательство теоремы 8 94 8 3 Доказательство теоремы 9 95 8 4 Доказательство теоремы 10 99 8 5 Доказательство теоремы 11 101 8 6 Доказательство теоремы 12 103 8 7 Доказательство теоремы 13 105 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 107 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение кратных стохастических интегралов с помощью рядов ортогональных случайных величин»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В математической статистике и некоторых других приложениях стохастического анализа важную роль играют кратные интегралы вида

J 1{х1,...,ха)(1£{х1) ...<%{хл) М"

от неслучайной измеримой функции /(а?!,..., ха), заданной на [а, Ь]а, где а < Ь конечны, й — фиксированное натуральное число, а £(х) — случайный процесс, заданный на [а,Ь]. Реализации процесса £(.х), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций

Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер [37]. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер [38] и К. Ито [26], [27] (классический кратный интеграл Винера-Ито).

Классические кратные стохастические интегралы Винера - Ито кратности (1 (далее их будем обозначать символом (см. [38], [26], [27], [30]) опреде-

лены для функций / € ¿2 на множестве интегрирования [а, Ь]а, при этом на конструкцию не влияет поведение функции / на так называемых диагональных подмножествах вида {(х1,... [а.Ь]л,хг = х3} для некоторых г ф По этой причине работать с таким интегралом достаточно удобно. Однако для такой конструкции, вообще говоря,

ЧкЫ) ■ ■ • Ш Ф ШЫ)) ■ ■ . М/лЫ).

Это значит, что кратные стохастические интегралы Винера - Ито ведут себя несколько иначе, нежели неслучайные кратные интегралы, скажем, по лебеговой продакт-мере.

Ю. Хыо и П. Мейер [25] ввели в рассмотрение новый кратный стохастический интеграл по приращениям винеровского процесса, называемый кратным интегралом Стратоновича (далее будем его обозначать как ^(/)), который был определен на диагональных подпространствах и обладал обычными правилами кратного интегрирования. Этот интеграл, вообще говоря, отличен от классического интеграла Винера-Ито. Но между ними-есть связь, которая выражается формулой Хыо-Мейера: для симметричной функции }'{х\, . . . , хс{). обладающей некоторыми свойствами регулярности (см. [25]), справедливо представление

№1 ( . \

J /(•; Х\. Х\. Х'2, Ж'2, • • ■ ; X!, х1)(1х 1 . . . ¿Х,]

У

Напомним, что функция /(х1;.... х^) называется симметричной, если для любой перестановки тг элементов множества {1.... с/} выполняется

¡(XI,. . . , ха) = ¡(хф),.. ., хп(о)).

Если функция / не является симметричной, то можно рассмотреть ее симметризацию-.

/(жь . . . , Хс1) = — ^ /(^(1), • - - : Х7г(г/)),

7Г

где сумма берется но всем перестановкам гс элементов множества {1,... с1}.

Кратный интеграл Стратоновича для симметричных функций определяется через повторные интегралы, т. е.

. . . Ц*"'1 Дхь . . . , хл)ст{х(1)^ . . . СГ\¥{х2)^ С1°\У(Х1),

где W{x) — стандартный винеровский процесс. Напомним, что интеграл

понимается как среднеквадратический предел при |П| -4 0 последовательности сумм

здесь г](х) — предсказуемый случайный процесс, т.е. для каждого х случайная величина rj(x) измерима относительно а-алгебры, порожденной траекторией W(t) до момента времени х\ П := {а = х\ < ■■■ < = 6} — разбиение

отрезка [а, Ь], |П| : = тахг<дг l^v+i — _ диаметр разбиения.

Известны также и другие подходы при построении кратных винеровских интегралов. О некоторых из них более подробно будет рассказано ниже.

Отметим наиболее важные результаты из области стохастического интегрирования. примыкающей к теме диссертации. Основанное па технике гильбертовых пространств построение интегралов от неслучайных функций по стохастическим мерам, порожденным случайными процессами с ортогональными приращениями, независимо предложено А. Н. Колмогоровым [9J и Г. Крамером [20]. Схема построения абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции по ортогональным элементарным стохастическим мерам, заданным на произвольных измеримых пространствах, подробно изложена в монографии И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [8].

Один из первых результатов, касающихся интегрирования по неортогональным мерам, содержится в известной монографии М. Лоэва 112], где предложена конструкция стохастического интеграла Римана по приращениям произвольного гильбертова (т. е. с конечными вторыми моментами сечений) процесса на отрезке прямой.

ь

г=\

А. А. Филиппова [14], А. Дасгупта и Г. Каллианпур [211 определяли кратные стохастические интегралы для специальных гауссовых процессов, отличных от винеровских. С. Камбанисом и С. Т. Хуангом в [19] изучалась схема построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса. При этом использовался математический аппарат тензорных произведений некоторых евклидовых ядерных пространств, построенных по исходному гауссовскому процессу. Однако при таком задании кратного стохастического интеграла остался невыясненным вопрос касательно его стохастической непрерывности на пространстве ядер, снабженном удобной для анализа топологией. Именно это свойство является ключевым при доказательстве предельных теорем для так называемых [/-статистик и статистик Мизеса (У-статистик).

Классические кратные интегралы Винера-Ито используются, в частности, для описания предельного распределения [/-статистик и V- -статистик от независимых наблюдений (см. [22]). Но конструкция кратных стохастических интегралов с интегрирующей стохастической винеровской прода.кт-мерой не подходит для указанных выше целей в случае слабо зависимых стационарно связанных наблюдений.

Последнее обстоятельство побудило И. С. Борисова и А. А. Быстрова (см. [1]. [2]) предложить конструкцию абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции без классического требования ортогональности интегрирующей стохастической меры, включающую в себя конструкции как одномерных. так и кратных стохастических интегралов по приращениям гильбертовых случайных процессов на прямой. Основное отличие этого подхода от методов предшественников состоит в возможности определения кратных стохастических интегралов в том числе и для иегауссовых процессов Условия, обеспечива-

ющие корректное задание интеграла в [1], сводятся к проверке конечности некоторых детерминированных кратных интегралов по специальной мере. Структура этой меры может оказаться непростой, и проверка упомянутых выше условий представляет собой отдельную проблему (см. [1]). Этот интеграл в дальнейшем будем обозначать символом Ici{f-,£)■ В силу указанных выше обстоятельств в настоящей работе конструкция интеграла l(i{f,0 будет базовой.

Отметим, что предельное распределение статистик Мизеса можно описывать как в виде кратных стохастических интегралов, так и в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссовских случайных величин с известной ковариационной матрицей (см. [22], [14], [36], [35]). В связи с этим приведем результаты Р. Мизеса и А. А. Филипповой (см. [36], [14]), соответствующие конструкциям стохастических интегралов второго порядка (конструкции интегралов произвольного порядка см. в [14], [35]).

Теорема А. (Р. Мизес, 1947) Пусть X, Х\. Х2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие зна;ч,ения в произвольном измеримом, пространстве {Х,Л}, f(t,s) — измеримая симметричная функция, заданная н,а X2 и удовлетворяющая условиям: Ж[(Х, t) = 0 для всех t 6 X, Ef2(XuX2) + \Ef(X,X)\ < оо. Тогда

п оо

Кг := n"1 J] f(Xi, X3) Л X] Afc(rfc2 - 1) + ЕД X, X),

г,з = 1 k=1

где A/l -- собственные числа линейного интегрального оператора с ядром /(•) и распределением X в качестве интегрирующей меры, т^ - независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.

Теорема В. (А. А. Филиппова, 1962) Пусть X, ХЪХ2, ■ ■ ■ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0,1]; f(t, s) — измеримая симметричная функция на [О, I]2. удовлетворяющая уело-

виям: Е/(ХЛ) = 0 для всех £ £ [0,1]; Е/2(ХЬ Х2) + |Е¡{X., Х)\ < оо. Тогда

где И-/о(/;) — броуновский мост, а кратный стохастический интеграл определен по схеме [14] ■

Из этих результатов следует, что кратные стохастические интегралы, заданные по классической схеме в виде среднеквадратических пределов кратных интегральных сумм, допускают представление в виде рядов случайных величин. Значит, указанные кратные стохастические интегралы можно определять посредством таких рядов. Это наблюдение и стало побудительным мотивом настоящего исследования. При этом оказалось, что достаточные условия для существования таких рядов нередко проверять проще, чем для исходных классических конструкций кратных стохастических интегралов.

Цель работы:

1. Получение достаточных условий для существования стохастического интеграла £) в случае, когда интегрирующий случайный процесс допускает представление в виде ряда ортогональных случайных величин.

2. Создание для случайных процессов, допускающих представление в виде рядов ортогональных случайных величин, иной конструкции кратного стохастического интеграла, в некотором смысле обобщающей конструкцию интегра-

3. Получение экспоненциальных оценок для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.

Научная новизна. В диссертации получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов £) в случае, когда интегрирующие случайные процессы допускают представление в виде

[одр

■шЩ.,0

рядов со случайными коэффициентами. Для указанных процессов предложены конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе и для негауссовых случайных интегрирующих процессов. Кроме того, получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов. построенных по предложенным схемам.

Методы исследований. В работе использованы разнообразные методы стохастического анализа и теории ортогональных рядов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

На защиту выносятся результаты, сформулированные в теоремах 1-13.

Обзор основных результатов и предварительные сведения. Сначала изложим общую схему построения интеграла /¿(/,0 из [1].

Пусть {П, Т, Р} — вероятностное пространство. Введем в рассмотрение С^ :=

({П. Т. Р}), к = 1, 2. ..., - банаховы пространства случайных величин, заданных на основном вероятностном пространстве и имеющих конечные моменты к-го порядка. Хорошо известно, что С^ ~ гильбертово пространство с известным скалярным произведением. Предел в пространстве £2 будем называть средне-квадратич,еским, соответствующую сходимость в £2 — среднеквадратической.

Рассмотрим следующее полукольцо с единицей подмножеств отрезка [а, Ъ] :

Ш := {(ж; х + 5] : а < х < х + 5 < Ь} и {[а; 5]: а < 6 <Ь}.

Пусть на {и. т, Р} задан случайный процесс {/.¿(Л); а с: ШТ} с конечными вторыми моментами сечений (т.е. ¿¿(А) б Со). Такие процессы называют гильбертовыми.

и

Определение 1. Гильбертов случайный процесс {ц{а) \ а £ ШТ} называется элементарной стохастической мерой, если

для всех подмножеств а[ и а2 таких, что а\ П а2 = 0 и а[ и а2 6 9Л.

Всякий гильбертов случайный процесс определенный на [а.Ь], будет

индуцировать элементарную стохастическую меру по формуле

где при х = а по этой формуле определяется мера отрезка \а: а+ 5] (в дальнейшем это обстоятельство больше не будет оговариваться).

Декартова степень <$Лк := ЭДТх • • • хОЛ будет полукольцом в [а, Ь]к с единицей. Множества из 9Лк представляют собой канонические параллелепипеды в [а. Ь]к.

¡л(а1 х ■ • • х ак) := /¿(Ах) х • • • х ¡л{ак):

где а3 е эя и ц - элементарная стохастическая мера на ШТ.

Обозначим через Ьо(Шс1) следующий класс простых функций /мм

/мОь . . . . ха) = . . . ., ха),

к=1

где а^ 6 ШТ^, = 0,г ^ м - произвольное натуральное число,

с[М) - произвольные вещественные числа, а 1А^){х\.. .. , ж(/) - индикатор множества .4М = Лх х • • • х ай, где аг е ШТ.

Стохастический интеграл от простой функции /м по стохастической мере заданной на определяется формулой:

¡л{ах и а2) — + ц(а\) почти наверное

¡л((х] х + 5}) := £(х + 5) - £(х)

Стохастическую меру на 9Лк определим следующим образом:

м

[а,ь]"

Определим на канонических прямоугольниках А\ х - • ■ х А^ в [а, Ь]2с1} где , • • • 5 <1 £ ЯК, следующую функцию множества:

т(А1 х • • • х А2Л) Ж(л{Аг)... ц(А2а),

где {¡х(А)\ А £ Ш1} - элементарная стохастическая мера. Эта, функция (вообще говоря, знакопеременная) аддитивна в следующем смысле: если А^ = 4^ для 2 — 1,.. . , 2<1, причем Aj, А^ £ 9Л и каждый из конечных наборов {А^} состоит из попарно непересекающихся множеств, то

т(А, х • • • х Аи) = 7п(Л^ х • • • х 4^).

'¿1 ,...¿2,1

Наиболее существенным условием для построения стохастического интеграла будет следующее

Основное предположение. Функция множества т(-) — конечная а-аддитивная знакопеременная мера (заряд) на Ш2с1. т. е. указанное выше свойство аддитивности имеет место и для любых счетных семейств подмножеств {А^}.

В силу классической теоремы о продолжении меры (см., например, [10]) конечный заряд т при выполнении основного предположения может быть продолжен на а(^Я2с1) - сигма-алгебру всех борелевских подмножеств пространства [а,Ь]2с1. Этот заряд называется ковариационной мерой.

Пусть и - соответственно множества положительности и отрицательности ковариационной меры т. Поскольку функция т конечна, то она (как и любой конечный заряд) допускает разложение Жордана: т — т+ — тГ, где т+ и т~ — неотрицательные ст-аддитивные функции множества, (т. е. обычные меры на а(Ш2с1)). называемые соответственно положительной и отрицательной частями т\ при этом гп+(А) = т(АГ\С}+) > 0 и т,~(А) — —'т,(АГ\(2~) > 0 для любого А £ Ш12(1. Стало быть, функция \т\ = т+ + т~. называемая полной вариацией заряда т. обладает всеми свойствами обычной конечной меры.

Введем в рассмотрение также проекцию меры \т\ на одну из осей: т(А) : = \гп\(А х [а, Ъ](1). Понятно, что т(А) — конечная ст-аддитивная мера на сг^УЛ^.

Введем в рассмотрение следующее пространство о^ЭДТ^-измеримых функций:

5' {/ : I ¡{хи ..., х(1) ¡{х(1+ъ .. хи) гп(с1х ь .... с1х2(1) < оо}.

[а,Ь}2''

Отметим, что существование кратного интеграла в этом определении эквивалентно существованию соответствующих интегралов по мерам т+ и га-. Далее, введем в рассмотрение заданный на й*2 билинейный функционал

(/,д):= ! Лх1,...,хс1)д(х(1+1,...,х2с1)т(дх1,...,дх2с1),

[а.Ь]2'1

для которого выполнены все аксиомы скалярного произведения за исключением одной: уравнение (/, /) = 0 имеет, вообще говоря, не единственное решение. Так что функционал ||/|| у (/,/) образует в 5 полуно-рму. которая после стандартной факторизации пространства 5 превращается в норму. Отметим, что величина (/, /) неотрицательна в силу неотрицательной определенности ковариационной меры га(-) и что евклидово пространство 5, вообще говоря, не будет полным, т. е. гильбертовым (см. [1]). В [1] доказана следующая

Теорема С. Пусть выполнено основное предположение и / 6 5\ Тогда существует последовательность простых функций {/м}; сходящаяся к / в норме || • ||. Более того, для последовательности случайных величин {Лг(/м;0} СУ~ ществует среднеквадратический предел который не зависит от выбора

последовательности {/м}-

Определение 2. Предельную случайную величину

[аМ"

из теоремы с назовем стохастическим интегралом функции / по мере Д. Введем в рассмотрение следующее гильбертово пространство функций:

ь2 := ь2{[а,ьу',т).

Замечание 1. Как установлено в [1]. пространство Ь2 вкладывается в 5. Иными словами, формулировка теоремы с останется в силе, если пространство 5 заменить на Ь2. Несмотря на то, что пространство Ь2 несколько уже 5, проверять принадлежность той или иной функции к Ь2, как правило, значительно проще, нежели к 5 (см. [1]).

Структура ковариационной меры гп(-) весьма непроста поэтому проверка упомянутых условий из теоремы с касательно существования кратного стохастического интеграла /(/(/;£) представляет собой отдельную проблему.

Глава 1 посвящена описанию новых достаточных условий существования интеграла /¿(/. £) для довольно широкого класса случайных процессов, порождающих интегрирующую стохастическую продакт-меру. При этом будет предполагаться, что с вероятностью 1 (или, что то же самое, I'. пространстве С2) случайный процесс при всех х 6 [а, Ь] допускает представление

оо

= (1) а.=0

где - случайные коэффициенты, </?&(£') ~ неслучайные функции; при этом ряд в правой части равенства (1) понимается как среднеквадратический предел соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном х 6 [а,Ь]. В

дальнейшем все подобные (1) представления по умолчанию будут определяться именно по вышеприведенной схеме. Указанный среднеквадратический предел существует тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном х £ [а, Ъ] существует предел при N—¥00 последовательности частичных сумм вида

N

Щк€т<Рк{х)<Рт{х)-

к,т=0

В случае, когда последовательность случайных величин удовлетворяет условию ортогональности, т. е. = 0 для всех к ф т, то среднеквадра-

тический предел из (1) существует тогда и только тогда, когда при каждом

оо

фиксированном х £ [а,Ъ} сходится ряд ^ Е£2(/?2(ж).

/с=0

Без ограничения общности всюду в дальнейшем будем считать, что выполнено условие = 1 для всех к.

Приведем несколько результатов касательно разложении (1).

Пусть случайный процесс в{х\, . . . , а;^), заданный на [а,Ь\'1, имеет конечный второй момент. Тогда для процесса в(х\,.. ., ха) определим ковариационную функцию Ко, заданную на [а. Ъ]м, следующим образом:

К0{х 1,. . . , хл, ух, ..., у := Ев(хг,.... хл)в{уъ . . . , уа).

В дальнейшем процесс в{хх,. .., х(/) с многомерным временем будем называть многопараметрическим процессом.

Хорошо известна следующая теорема (см., например, [8|).

Теорема О (Разложение Карунена - Лоэва) Пусть ковариационная функция Кв(х 1,. . . , х([, у\,. . . , у а) непрерывна на [а, Ъ]2с1. Тогда в пространстве случайный процесс 9(х\,. . . , х^) может быть разложен в ряд

оо

9(х1,...,./;,) = вкл/ЖкМ* Ь • • . ; х(1), (х1;. . . , „■:,/) £ [а, Ь]а, (2) к=0

где случайные величины

Ок = J 0(хъ .. ., хЛ)фк{хь .. ., ха)с1,х 1 . . . ¿хс1

ортонормировании, ,вк являются собственными значениями, а фк{х\-,.... ха) — собственными функциями ядра Кд(х1, ... . х^, у\,.. . , уо). Более того, функции 'фк(х[,.... £(/) удовлетворяют соотношению

j Фк(х 1,.. ., ха)фт(х1.. . . , ХЛ)(1Х1 . . . ¿ХС1 = ()к,т.

[а,Ь]"

В частности, для центрированного случайного процесса заданного на [а, Ь] и имеющего непрерывную ковариационную функцию ]\^(х, у), разложение Карунена - Лоэва процесса ^(х) имеет вид

со

^Н^ау^^гс); хе[а,ь], (3)

/с=0

где {^к} — ортонормированные случайные величины, А к — собственные значения, а фк(к) ~ собственные функции

ковариации процесса ¿д.т). Хорошо известно, что стандартный винеровский процесс \¥{х), х 6 [0; 1], имеет следующее разложение Карунена-Лоэва:

(4)

где {И/д,}д;>о — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное р ас п р еде л е н и е.

А* = 1

{к + \)

— собственные числа, а

2 9 7Г

фк(х) = ч/2зт(/с +

— собственные функции интегрального оператора с ядром, равным ковариации процесса V/(х) :

Кц/(х.у) = 1шп(ж, у).

Для броуновского моста разложение Карунена-Лоэва, имеет следую-

щий вид:

оо . ,

11;/ , /— V—\ т т г бш кттх . 1

И/0(х) = —, Х- е [0; 1],

к=1

где {И//с}/с>1 ~~ независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.

Заметим, что представлять процесс £(х) в виде ряда (]) можно не только с помощью разложения Карунена-Лоэва. Пусть последовательность является полной ортонормированной системой функций в Ь2[0; 11. Тогда последовательность частичных сумм

а' / 1

^ ек(1)с№'(Ь)1 у! екЦ)сИ

будет сходиться в среднеквадратическом к стандартному в и перовскому процессу \¥{х) при N —» оо. Таким образом, в пространстве С2 имеет место разложение:

= Е {/ (/

\о / \о

ек{Ь)(И . (5)

Упомянем также известный подход (см. [24]) для нахождения разложения вида (1). Пусть {'>](х), х Е [0; 1]} — рассматриваемый случайный процесс. Через /-/,/ обозначим замыкание в С2 линейной оболочки, порожденной семейством всех одномерных проекций случайного процесса т]{-). Если Н* является сепа-рабельным, то мы будем иметь в С2 следующее представление процесса г](х) :

оо к=0

Здесь {г]к}к>о образуют полную ортонормированную систему в н}у Если случайный процесс г](х) является гауссовским, то щ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. В работах [23] и [24] этот подход реализован для фрактального броуновского движения.

В главе 1 установлено (см. теорему 5), что при выполнении некоторых условий с вероятностью 1 справедливо представление

где ряд в правой части понимается как среднеквадратический предел при n —> оо последовательности частичных сумм

В связи с последним обстоятельством, в главе 2 кратный стохастический интеграл будет пониматься как случайная величина

построенная относительно разложения (1) (см. определение 3), которую мы будем обозначать

Отметим, что стохастический интеграл в смысле определения 3 хорош тем, что в отличие от некоторых других конструкций для него проще вычисляются моменты любых порядков, если, конечно, они существуют. Кроме того, эта конструкция подходит для случая не обязательно конечных ковариационных мер.

Для случая винеровского интегрирующего процесса VI/(х) представление стохастического интеграла в виде кратного ряда, не обязательно построенного

оо

оо

<1 Ч

относительно разложения (1), уже были известны. В частности, такое представление используется при решении проблем численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и в задачах моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений в работах Д. Ф. Кузнецова, Г. Н. Мильштейна, П. Е. Клоедена, Е. Платена (см. [11], [13], |'29]).

Кратный стохастический интеграл от функции / относительно разложения винеровского процесса (5) задается как случайная величина вида

со

У^ ■ ■ ■ Щ,г1 / 1{хг,... , хй)еч(жх) . . . е1в(х(,)с!х1 .. . (6)

Так как {ек} — полная ортонормированная система функций в Ь2[0; 1], то коэффициенты

J 1{х1,. . ., ха)еч(х1) . . . ег<](хс1)(1х1 . . . <1хл [0. 1]"

являются коэффициентами Фурье. Это обстоятельство упрощает работу с интегралом (6).

В работе Г. В. Джонсона и Г. Каллианпура [28] было получено представление стохастического интеграла, построенного относительно винеровского интегрирующего процесса, в виде ряда (6). Но в этой работе интеграл определяется не относительно разложения случайного процесса \¥{х). а относительно разложения в виде ряда Фурье неслучайной функции / по полной ортонормированной системе {е^(х1). . . е,и(х(1)} в Ь2([0,1]^). При этом предполагается, что функция / симметрична, и существуют пределы при а1 —» оо в пространстве ь2([0,1]с/~2-7)

последовательностей частичных сумм N N

£ £

ег2] n(x2j+l) ■ ■ ■ eid

(xd)x

X I /О'Ъ- ■ ■,xd)e,1{xi)en(x2) . . .eli(x2j-i)cli(x2i)x [o ' 1]"

X el2j+1(x2j+i)... elfl(xd)dxi . .. dx2]clx2j+l. .. dxd

для каждого фиксированного j, 1 < j < [d/2], и любой полной ортонормиро-ванной системы функций {e^} в Ь2[0] 1]. Более того, предполагается, что указанные пределы не зависят от выбора {е^}. Эти условия являются необходимыми и достаточными для построения интеграла в работе [28].

При выполнении введенных выше условий стохастический интеграл относительно разложения

оо

J(Li.. id) = •/'!, ^„(zi) . . .ejxf/)

¿1. ,1,1=0

определяется как среднеквадратический предел ¿(f) при N —» оо последовательности частичных сумм

N ,i ,1

JZ fn Ь, ell(x1)dW(x1). . . / eu(xd)dW(xd), гь .г„=0 J° J°

где /ib i?rf — соответствующие коэффициенты Фурье функции /. Отметим, что

¿(f) не зависит от выбора системы функций {ек}- Случайные величины

Г eL(x)dW(x)

Jo

являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение, а отсюда следует, что если существует стохастический интеграл ¿(f), то существует интеграл (6), и они равны с вероятностью 1.

Более того, если существует стохастический интеграл 6( [), то, как следует из работы А. Будхираджи и Г. Каллианпура [17], для всякой непрерывной и симметричной функции / существуют и равны с вероятностью 1 стохастические интегралы \¥), 75(/) и ¿(/).

Мы также отметим работы Д. Росински [34] и Д. Нуаларта, М. Закая [33] по -1ак называемым кратным стохастическим интегралам Огавы с винеровским интегрирующим процессом. Напомним, что для измеримого случайного процесса г](х) с /д1 Щг](х)\(1х < оо и всякой полной ортонормпрованной системы {е/„} интеграл Огавы г}(х) * в\¥(х) определяется как среднеквадратический предел при n —> оо частичных сумм вида

ек{х)г]{х)(1х^ ^ ек{х)<Ж{х) если, конечно, этот предел существует и не зависит от выбора системы функций

Ы-

В работе А. Будхираджи и Г. Каллианпура [18] разбираются условия существования и равенства конструкций интеграла $(/) и игпеграла Огавы. Там же рассмотрены некоторые другие конструкции стохастических интегралов, например, интегралов Фиска-Стратоиовича.

В главе 2 получены экспоненциальные оценки для хвостов распределения стохастических интегралов в смысле определения 3. В связи с этим приведем результат П. Майора [30] для классических интегралов Випера-Ито и стохастических интегралов, построенных по ортогональным гауссонеким мерам. Указанные интегралы будем обозначать J(f)■ Напомним, что 15 схеме построения стохастических интегралов J(f) не учитывается поведение функции / на диагональных подпространствах множества [а, Ъчто существенно отличает их от

стохастических интегралов, построенных по схеме, предложенной в настоящей работе.

Теорема Е. Пусть для функции f определен кратный стохастический интеграл J(f) на множестве [а, b]d. Тогда существуют некоторые константы К1 > К-2 > 0 и xq > 0, зависящие от функции /, та,кие, что справедливо

е-к^< < р(| j(/)| > £•) < е-ъ*2/"

для всех х > xq.

Здесь в качестве К2 можно взять Cd(EJ(/)2)1//d с константой Cci, зависящей только от порядка d стохастического интеграла. То есть при фиксированном d константа К2 зависит только от дисперсии случайной величины J(f). Но с другой стороны, не так просто охарактеризовать константу К\.

Отметим также работу П. Майора [31] по экспоненциальным неравенствам для интегралов Винсра-Ито, где получены в некотором смысле оптимальные оценки для хвостов распределения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хрущев, Сергей Евгеньевич, 2015 год

Список литературы

1. Борисов И. С.. Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры // Теория вероятн. и ее примен. — 2005. — Т. 50. — В. 1. — С. 52-80.

2. Борисов И. С.. Быстрое А. А. Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса. построенных по зависимым наблюдениям // Сиб. ма-тем. журнал. - 2006. - Т. 47. - В. 6. - С. 1205-1217.

3. Борисов И. С., Володько Н. В. Экспоненциальные неравенства для распределений и- и V - статистик от зависимых наблюдений // Матем. Труды. - 2008. - Т. 11. - В. 2. - С. 3-19.

4. Борисов И. С.. Хрущев С. Е. Построение кратных стохастических интегралов по негауссовым продакт-мерам // Матем. Труды. — 2012. — Т. 15.

- В. 2. - С. 37-71.

5. Борисов И. С., Хрущев С. Е. Кратные стохастические интегралы, построенные по специальному разложению произведения интегрирующих случайных процессов // Матем. Труды. — 2014. — Т. 17. — В. 2. — С. 61-83.

6. Быстрое А. А. Экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений кратных стохастических интегралов по гауссовским интегрирующим процессам // Теория вероятн. и ее примен. — 2014. — Т. 59. — В. 1. — С. 150-159.

7. Боровков А. А. Теория вероятностей. -- М.: Эдитормал УРСС, 1999.

8. Гихмап И. И.. Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.

- М.: Наука, 1965.

9. Колмогоров А. Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные но отношению к однопараметрической группе движений // Доклады АН СССР. - 1940. - Т. 26. - С. 6-9.

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.

11. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. — СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009.

12. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962.

13. Милыитейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Свердловск.: Изд-во Уральского ун-та, 1988.

14. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятн. и ее примен. — 1962. — Т. 7. — В. I. — С. 26-60.

15. Xpyui,ee С. Е. Об условии существования n-мерного стохастического интеграла от неслучайной функции // Тезисы XLVII Международной научной студенческая конференции. — Новосибирск. — 2009. — С. 202-203.

16. Borisov /.. Khruschev S. A construction of stochastic integrals of nonrandom functions in the non-Gaussian case // V-th Conference "Limit Theorems in Probability Theory and Their Applications". — Novosibirsk. — August 15-21, 2011. — Abstracts of Communic. — P. 12-13.

17. Budhiraja A., Kallianpur G. Hilbert space valued traces and multiple Stratonovich integrals with statistical applications // Probab. Math. Statist. — 1995. - V. 15. - P. 127-163.

18. Budhiraja A., Kallianpur G. Two results on multiple slratonovich integrals // Statistica Simca. - 1997. - V. 7. - P. 907-922.

19. Cambanis S.. Huang S. T. Stochastic and multiple Wiener integrals for Gaussian processes // Ann. Probab. — 1978. — V. 6. — P. 585-614.

20. Cramer Ii. On the theory of random processes // Ann. Math. — 1940. — V. 41. - P. 215-230.

21. Dasgupta A., Kallianpur G. Multiple fractional integrals // Probab. Theory Rel. Fields. - 1999. - V. 115. - P. 505-526.

22. Denker M.. Grillenberg C., Keller G. Note on Invariance Principles for v. Mises' Statistics // Metrica. - 1985. — V. 32. - P. 197-214.

23. Dzhaparidze K., Zanten H. Krein spectral theory and the Paley-Wiener expansion for fractional Brownian Motion // Ann. Probab. — 2005. — V. 33. - №2. - P. 620-644.

24. G Using H., Sottinen T. Power series expansions for fractional Brownian Motions // Theory of Stocli. Processes. - 2003. - V. 9 (25). - №3-4. -P. 38-49.

25. Hu Y. Z., Meyer P. A. Sur les intégrales multiples de Stratonovitch //In Séminaire de Probabilités XXII. Lecture Notes in Math. — 1988. — V. 1321. - P. 72-81.

26. Ito K. Stochastic integral // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1944. — V. 20. — P. 519-524.

27. Ho K. Multiple Wiener integral // J. Math. Soc. Japau. — 1951. — V. 3. — P. 157-169.

28. Johnson G, W., Kallianpur G. Homogeneous chaos, p-forms, scaling and the Feynman integral // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 340. — P. 503-548.

29. KloedenP. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations.

- New York: Springer-Verlag, 1995.

30. Major P. Multiple Wiener-Ito integrals // Lecture Notes in Math. Springer.

- 1981. - V. 849.

31. Major P. Estimation of Wiener-Ito integrals and polynomials of independent gaussian random variables. — arXiv:0803.1453[math.PR|.

32. Major P. On a multivariate version of Bernstein's inequality // Springer, Electron. J. Probab. - 2007. - V. 12. - P. 966-988.

33. Nualart D., Zakai M. On the relation between the Stratonovitch and Ogawa integrals // Ann. Probab. - 1989. - V. 17. - P. 1536-1540.

34. Rosinshi J. On stochastic integration by a series of Wiener integrals // Appl. Math. Optim. - 1989. - V. 19. - P. 137-155.

35. Rubin N.. Vitale R. Asimptotic distribution of symmetric statistics // Ann. Statist. - 1980. - V. 8. - №1. - P. 165-170.

36. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentia,ble statistical functions // Ann. Math. Statist. - 1947. - V. 18. - P. 309-348.

37. Wiener N. Differential space // J. Math. Phys. — 1923. - V. 2. - P. 131-179.

38. Wiener N. The homogeneous chaos // Amer. Journ. Math. — 1938. — V. 60.

- P. 897-936.