Системы дифференциальных уравнений для квазистационарных электромагнитных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Калинин Алексей Вячеславович

• Калинин Алексей Вячеславович
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Калинин Алексей Вячеславович

Введение

Глава 1. Представления вектор-функций и оценки скалярных произведений векторных полей

1.1. Некоторые функциональные пространства и предварительные сведения

1.1.1. Обозначения

1.1.2. Пространства измеримых функций

1.1.3. Пространства С. Л. Соболева Wт'р(П)

1.1.4. Пространства вектор-функций

1.2. Некоторые представления векторных полей

1.2.1. Представления векторных полей в трехмерных звездных областях

1.2.2. Представления векторных полей во внешних областях

1.2.3. Некоторые свойства операторов представлений

1.3. Основные неравенства для ограниченных областей .... 57 1.3.1. Ьр-оценки для ограниченных областей

1.4. Оценки скалярных произведений векторных полей для ограниченных областей при р =

1.4.1. Оценки скалярных произведений для областей класса О0'1 гомеоморфных шару

1.4.2. Некоторые следствия оценок для ограниченных областей

о

1.5. Ь^-оценки векторных полей в К

1.6. Оценки векторных полей в двумерных областях

83

Глава 2. Краевые задачи для стационарной системы урав-

нений Максвелла

2.1. Некоторые функциональные пространства и основные неравенства

2.2. Стационарная система уравнений Максвелла и основные краевые задачи

2.2.1. Стационарная система уравнений Максвелла

2.2.2. Задача (2.20)-(2.24), (2.27) в проводящей ограниченной области

2.2.3. Задача (2.20)-(2.24), (2.28) в проводящей ограниченной области

2.3. Задача (2.20)-(2.24), (2.27) в проводящей ограниченной области

2.3.1. Задача об определении потенциалов (А; р) с калибровочным соотношением =

2.3.2. Задача об определении потенциалов (А; р) с калибровочным соотношением ^ = —к

2.4. Задача (2.20)-(2.24), (2.28) в проводящей ограниченной области

2.4.1. Задача об определении полей (Н; Е)

2.4.2. Задача об определении потенциалов (А; с калибровочным соотношением &у(<гА) =

2.4.3. Задача об определении потенциалов (А; с калибровочным соотношением ^ = —к &у(<гА)

2.5. Эффективный учет соленоидальности векторных полей

2.6. Связь между задачами для потенциалов (А; (р) при различных калибровочных соотношениях

2.7. Связь между решениями задач в потенциалах (А; <р>) ив полях (Н; Е)

2.8. Краевые задачи в областях с непроводящими и слабопро-водящими включениями

2.8.1. Задача с непроводящими включениями

2.8.2. Задача со слабопроводящими включениями

2.9. Задача определения (Н; Е) в К3 с компактной проводящей подобластью

2.10. Некоторые оценки в случае нелинейных материальных соотношений

Глава 3. Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении

3.1. Вспомогательные сведения

3.2. Начально-краевые задачи в терминах напряженности магнитного поля

3.3. Эффективный учет соленоидальности поля ц,Н

3.4. Стабилизация решения при £ ^ то

3.5. Начально-краевые задачи в терминах векторного и скалярного потенциалов

3.6. Связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях

3.7. Эквивалентность формулировок задач в терминах полей

(Н; Е) ив терминах потенциалов (А; <р>)

3.8. Обратная задача финального наблюдения

3.8.1. Описание метода двойственной регуляризации

3.8.2. Задача финального наблюдения

3.9. Квазистационарная система уравнений Максвелла в неограниченной области

3.9.1. Формулировка задачи

3.9.2. Некоторые функциональные пространства и их свойства

3.9.3. Теорема о существовании и единственности решения

3.10. Стабилизация решения

Глава 4. Начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении

4.1. Система уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении и задачи атмосферного электричества

4.2. Основные функциональные пространства и их свойства

4.3. Задача в терминах полей Е и Н

4.3.1. Существование и единственность задачи (4.13), (4.14), (4.15)

4.3.2. Итерационный алгоритм нахождения квазистационарного электрического поля

4.4. Задача Дирихле для скалярного электрического потенциала217

4.4.1. Основные функциональные пространства

4.4.2. Обобщенная формулировка задачи Дирихле

4.5. Задача для скалярного электрического потенциала с граничными условиями в магнитосопряженных точках

4.6. Численное моделирование глобальной электрической цепи

в атмосфере

4.6.1. Обоснование метода Галёркина для приближенного определения скалярного потенциала

4.6.2. Некоторые результаты численных расчетов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы дифференциальных уравнений для квазистационарных электромагнитных полей»

Введение

Актуальность работы. Являясь классическим объектом теории уравнений с частными производными, система уравнений Максвелла лежит в основе обширного класса дифференциальных, интегро-дифферен-циальных и интегральных уравнений, связанных с изучением электромагнитных процессов [1-6]. Классические дифференциальные уравнения и системы уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типа, интегральные уравнения теории потенциала, интегро-диф-ференциальные уравнения теории переноса излучения могут рассматриваться как прямые следствия системы уравнений Максвелла или как некоторые приближения для системы уравнений Максвелла, получающиеся с учетом специальных допущений, адекватных рассматриваемой физической ситуации.

Нестационарная система уравнений Максвелла в гауссовой системе единиц записывается в виде ([1, 2]):

ft/^ ч . ldD (х, t)

rotH (х, t) = —J (х, t) +--, (1)

С- С- &Т>

divB (х, t) = 0, (2)

l д B

rot Е (х, t) =---— (х, t), (3)

divD (х, t) = 4np (х, t), (4)

где (х, t) е Qt = Q х (0,Т), H : QT ^ R3, B : QT ^ R3, Е : QT ^ R3, J: QT ^ R3, D : QT ^ R3 и p : QT ^ R1 - неизвестные функции, Q С R3 - пространственная область в R3 ( H -напряженность магнитного поля, B - вектор магнитной индукции, Е - напряженность электрического поля, J- вектор объемной плотности тока, D - вектор электрической индукции, p - объемная плотность тока, - скорость света в вакууме).

Предполагается, что выполнены линейные материальные соотношения

В(х, Ь) = д(х) Й(х, Ь), 3(х, Ь) = е(х)Ё(х, Ь),

Т(х, ¿) = а(х) (Е(х, ¿) + Ест(х, ¿)) = а(х)Е(х, ¿) + !ст(х, г). (5)

Ест : ^ К3 - напряженность поля сторонних электродвижущих сил -заданная функция на Qт, Д - относительная магнитная проницаемость среды, £ - относительная электрическая проницаемость среды, а - удельная проводимость среды, а(х) = о в непроводящих областях. Через Ах обозначается характерный пространственный масштаб, через АЪ - характерный временной масштаб.

В случае, когда физические процессы протекают достаточно медленно, т.е.

(Ах)' <<' '6,

могут рассматриваться различные квазистационарные приближения. В

1д3 (х, г)

частности, когда >> 1, можно пренебречь током смещения----

с т

и такое приближение называется нерелятивистским магнитным приближением [2], или квазистационарным магнитным приближением. В этом случае первое уравнение системы записывается в виде

тьн (х, г) = —з (х, г). (7)

В случае когда аАЪ << 1, можно пренебречь изменением во времени 1 дБ (х, I) Т

магнитного поля----. Тогда третье уравнение системы принимает

д

вид

го1 Е (х, г) = 0. (8)

Система уравнений Максвелла и ее различные приближения (стационарные и квазистационарные системы) относятся к классу систем

дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих операции векторного анализа, находящих применение в различных разделах фундаментальной и прикладной науки. Исследование таких задач опирается на специальные свойства функциональных пространств, в которых определены дифференциальные операции векторного анализа.

Исследованию свойств функциональных пространств, определенных для дифференциальных уравнений векторного анализа, связанных с различными разложениями векторных полей, теоремами о вложениях и неравенствами, результатами о регулярности и с теоремами о следах, посвящена обширная литература [7-45]. Основополагающей в этом направлении была работа Г. Вейля [35], в которой строго было получено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую сумму подпространств соленоидальных и потенциальных полей. Дальнейшее развитие теория функциональных пространств для векторных полей получила в работах О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова [40, 41], Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса [38], Р. Темама [44] В.Н. Масленниковой, М.Е. Бо-говского [10-13, 42], Э.Б. Быховского, Н.В. Смирнова [34], С.Г. Крейна [39], М.Ш. Бирмана [8 ,9, 32, 33], Дж.Дж. Хейвуда [25, 26], Ю.А. Дубин-ского [36, 37]. Основы теории рассматриваемых пространств достаточно полно изложены в [16, 19,22, 23, 28, 34, 45]. К изучению функциональных пространств для операций векторного анализа тесно примыкают работы о решении задач о восстановлении функций по заданным div и rot. Соответствующие результаты, применимые в случае неоднородных сред, рассматриваются в работах [46-50].

Для исследования свойств функциональных пространств, в которых определены операции div и rot, понимаемые в обобщенном смысле, было

предложено использовать представления векторных полей в виде

и(х) = grada

(и(гх + (1 — т)у) • (х — у)) (т+

+

т [го1 и(тх + (1 — т)у) х (х — у)} (г;

(9)

и(х) = го^

т [и(гх + (1 — т)у) х (х — у)} (т+

+

т2(х — у) div и(тх + (1 — т)у) (т.

(10)

Использование различных представлений функций играет важную роль в теории функциональных пространств [51-55]. В диссертации приведенные выше представления (эти представления используются в теории дифференциальных форм [55]) были использованы для получения нового класса Ьр-оценок скалярных произведений векторных полей следующего вида

(и • И) ((х

п

< с (|И|ьд(П) • II divи\\Ьр{п) + N^(0) • II го* А\ьч(П))

в случае ограниченных областей (1/р + 1/д = 1).

В случае неограниченных областей (П = К3) получены соответствующие весовые неравенства.

Различные классы задач электромагнитной теории, постановки которых приводят к интегральным, интегро-дифференциальным и собственно дифференциальным уравнениям, следующим из системы уравнений Максвелла, рассматривались в работах В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова,

А.С. Ильинского, В.П. Ильина, А.Г. Свешникова, Г.В Алексеева, Э.Б. Бы-ховского, Ю.П. Попова, А.Б. Самохина, В.М. Урева и других авторов [56-71].

В последние годы в связи с важным прикладным значением и интенсивными исследованиями, связанных с разработкой численных алгоритмов, особый интерес вызывает теоретическое изучение математических задач для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении [72-103]. Обоснование возможности применения квазистационарного магнитного приближения для медленных процессов в средах с высокой проводимостью приведено в работах [86, 95, 96].

Отметим следующие особенности этих задач. Первая особенность связана с многообразием формулировок. Рассматриваемую систему уравнений (1)-(4) с материальными соотношениями (5) можно сформулировать в виде задач для различных неизвестных функций (исключая другие неизвестные функции), в частности, возможны формулировки относительно напряженности электрического поля Е, относительно напряженности магнитного поля Й, а также возможны формулировки относительно векторного магнитного потенциала А и скалярного электрического потенциала у, вводя эти величины с помощью соотношений

1 дА

В = rot А, Е = -— - grad у. (11)

1 д grad

Отметим, что при замене А ^ А + grad^, ш ^ ш-----физи-

д

ческие поля Е и Й не изменятся (градиентная инвариантность). Это означает, что при различных значениях потенциалов А и ш могут быть получены одни и те же физические поля Е и Й. Поэтому для выделения конкретной пары (А, у) используются дополнительные (калибровочные ) соотношения. Традиционно это калибровочное соотношение Кулона

div А = 0 или калибровочное соотношение Лоренца у = к div А, где к -некоторая положительная постоянная.

В случае, когда среда неоднородна ( а = const), задачи об определении векторного магнитного потенциала А и скалярного электрического потенциала у при обоих калибровочных соотношениях не разделяются.

Многообразие различных дифференциальных и численных формулировок отражено в работах [72-75, 77, 78, 80, 82, 84, 88, 89, 93].

Другая особенность задач в квазистационарном магнитном приближении обусловлена тем, что в проводящих областях система уравнений относится к параболическому типу, а в непроводящих - к эллиптическому [75, 77, 81, 82, 88, 90, 91, 94].

Для преодоления этой проблемы используются различные, технически достаточно сложные, подходы. Например, для описания полей в непроводящей части используется теория потенциала, в результате получается задача для определения полей в проводящей части с нелокальными интегральными граничными условиями на поверхности раздела проводящих и непроводящих сред.

В диссертации для решения задач с использованием векторного магнитного потенциала А и скалярного электрического потенциала у предлагаются модифицированные калибровочные соотношения вида div а Л = 0 и у = —к div а А.

При этих соотношениях задача об определении векторного магнитного потенциала А решается независимо от задачи об определении скалярного электрического потенциала у. При этом показано, что оба калибровочных соотношения корректны в том смысле, что найденные по формулам (11) поля соответствуют исходной постановке задачи. Установлена связь между векторными потенциалами при двух различных

калибровочных соотношениях. При этом показано, что Ак ^ А при к ^ ж по норме функционального пространства, определенного постановкой задачи (Ак - решение, соответствующее калибровочному соотношению = —к divaA).

Также в III главе при изучении задачи в неограниченной области (П = R3) с компактной проводящей подобластью с использованием оценок скалярных произведений, полученных в I главе, устанавливается корректность соответствующей параболо-эллиптической задачи в результате непосредственного применения теоремы Лионса для эволюционных уравнений [44].

В диссертации изучается обратная задача финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении. Различные подходы к решению обратных задач отражены в работах [104-153].

Основы теории решения обратных задач были заложены в классических работах А.Н. Тихонова [145-147], М.М. Лаврентьева [124-127],

B.К. Иванова [121], Ю.С. Осипова [132, 133] и получили дальнейшее развитие в работах А.Б Бакушинского [112, 113], В.В. Васина [117, 118],

C.И. Кабанихина [122, 123], А.В. Кряжимского [105], А.С. Леонова [128], В.Г. Романова [138-141]. Важные теоретические и актуальные прикладные результаты получены в работах В.И. Агошкова [177], Г.В. Алексеева [157], А.М. Денисова [108,149], В.И. Дмитриева [109], А.И. Короткого [151-153], В.И. Максимова [129-131], В.А. Морозов [106], М.М. Потапова [134, 135], А.И. Прилепко [111, 136, 137], М.И. Сумина [142-144], А.Г. Яго-лы [150].

Обратные задачи и задачи оптимизации, связанные с электромагнитными процессами рассматривались в работах [139-141, 154-159].

В диссертации для решения рассматриваемой обратной задачи используется метод двойственной регуляризации, имеющий оптимизационную природу, развитый в работах М.И. Сумина.

Также в III главе приводится строгое обоснование постановки задачи для определения напряженности магнитного поля, в которой условие соленоидальности является экспоненциально устойчивым, предложенной в работе [77].

При решении всех задач III главы использовались формулировки в виде интегральных тождеств. Для изучения этих формулировок и доказательства основных результатов использовались оценки скалярных произведений векторных полей, полученные в I главе.

Для соответствующих стационарных задач в диссертации также расм-мотрны постановки в полях Й и Е, в потенциалах А, у с модифицированными калибровочными соотношениями, обоснована корректность применения модифицированных калибровочных соотношений с использованием оценок для скалярных произведений, исслдеованы асимптотические свойства решений стационарных задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, содержащих слабопроводящие и непроводящие включения в зависимости от малого параметра - проводимости сла-бопроводящих включений.

Квазистационарное электрическое приближение является основой для описания переходных явлений в атмосфере Земли. Физические аспекты применения этого приближения для решения задач атмосферного электричества и объяснения такого явления как глобальная электрическая цепь в атмосфере Земли изучается в работах [160-191].

Глобальная электрическая цепь (согласно [185]) - "распределенный токовый контур, образованный высокопроводящими слоями верхнего слоя

океана и земной коры и атмосферой, проводимость которой ничтожно мала в пограничном слое, но резко (экспоненциально) возрастает с увеличением высоты. Согласно концепции Вильсона, основными источниками электродвижущей силы (э.д.с.), поддерживающей потенциал ионосферы, служат облака, обладающие электрической структурой (прежде всего, кучево-дождевые ислоисто-дождевые), а зонами возвратных токов - области хорошей погоды. Фундаментальное экпериментальное подтверждение концепция Вильсона получила в конце 20-х годов ХХ века при сравнении суточной вариации атмосферного электрического поля над океанами, измеренной в условиях хорошей погоды (т.н. кривая Карнеги), с суточной вариацией количества грозовых событий на земном шаре".

Одной из характеристик глобальной электрической цепи является т.н. ионосферный потенциал (разность потенциалов между поверхностью Земли и условной поверхностью, разделяющей атмосферу и ионосферу).

В диссертации рассмотрены новые постановки задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарные электрические поля в терминах полей Е и Н и с использованием электрического скалярного потенциала <р>. Приведенные постановки задач позволяют определить ионосферный потенциал.

При описании глобальной электрической цепи с использованием электрического потенциала возникает неклассическое уравнение, относящееся к классу псевдопараболических уравнений (или уравнениям соболевского типа). Теории уравнений соболевского типа посвящены публикации [192-207].

Постановки задач для рассмотренного псевдо параболического уравнения являются новыми и обусловлены лишь физическими приложени-

ями и связью уравнений для электрического потенциала с уравнениями Максвелла. Также в IV главе построены и обоснованы численные алгоритмы решения задачи о глобальной электрической цепи и приводятся некоторые результаты численного исследования задач, имеющих конкретное физическое содержание, полученные с помощью разработанного и реализованного программного комплекса1.

Результаты исследований, приведенные в работе относятся к актуальным направлениям теории уравнений с частными производными и служат теоретической основой для решения актуальных практических задач.

Цель диссертационной работы. Целью работы является строгое математическое обоснование корректности краевых и начально-краевых задач для различных классов дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих при описании стационарных и квазистационарных электромагнитных процессов в неоднородных средах; изучение свойств решений этих задач, формулировка задач в виде, ориентированном на применение современных численных методов решения.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем:

• Получены Ь^-оценки скалярных произведений векторных полей в ограниченных и неограниченных областях.

• На основе Ьр-оценок скалярных произведений векторных полей получены новые результаты о корректности различных постановок задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах в

1 Программа для ЭВМ "Квазистационарные поля в атмосфере Земли"(Жидков А.А., Калинин А.В.) от 24.04.2012; авторское свидетельство - Комплекс программ "Расчёт потенциала электрического поля в атмосфере Земли"(Жидков А.А., Калинин А.В.) №18139 от 17.04.2012.

терминах полей и потенциалов с использованием модифицированных калибровочных соотношений Лоренца и Кулона, исследована связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях.

• Исследованы асимптотические свойства решений стационарных задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах, содержащих слабопроводящие и непроводящие включения в зависимости от малого параметра - проводимости слабопроводящи включений.

• На основе Ь^-оценок скалярных произведений векторных полей получены результаты о корректности различных постановок начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах в квазистационарном магнитном приближении (нерелятивистском магнитном приближении) в терминах полей и потенциалов с использованием предложенных в работе модифицированных калибровочных соотношений Лоренца и Кулона, исследована связь между решениями задач при различных калибровочных соотношениях, обоснованы постановки квазистационарных задач, позволяющие эффективно учитывать соленоидальность векторных полей (в предложенных постановках свойства соленоидальности решений обладает экспоненциальной устойчивостью по времени).

• Предложены новые строгие формулировки начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении, доказаны теоремы о существовании и единственности решений для соответствующих формулировок в терминах напряженностей электрических и магнитных полей и форму-

лировок, использующих скалярный электрический потенциал.

• Для начально-краевых задач об определении квазистационарных электрических полей предложены и обоснованы эффективные итерационные процедуры нахождения решений и постановки, удобные для применения проекционных методов решения, обоснована сходимость галёркинских приближений для решения рассматриваемых задач.

• Исследованы обратные задачи финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении при общих предположениях о связях в материальных соотношениях на основе оптимизационного метода двойственной регуляризации для формулировок задач в терминах полей и в терминах потенциалов для различных калибровочных соотношений, предложенных в работе.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе постановки краевых и начально-краевых задач для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений с частными производными, используемых для моделирования электромагнитных процессов в неоднородных средах, теоремы об их разрешимости и свойствах решений, обоснование сходимости некоторых новых алгоритмов их численного решения и регу-ляризованные алгоритмы решения обратных задач. Практическая значимость этих результатов обусловлена возможностью их применения для математического и численного моделирования электромагнитных явлений.

В качестве конкретного практического применения полученных ре-

зультатов можно рассматривать результаты исследований, проведенных с помощью разработанного программного комплекса для решения прикладных задач атмосферного электричества.

Основные результаты диссертационной работы являются частью исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00495-а на 2007-2009 годы и 09-01-97019-р_поволжье_а на 2009-2010 годы), Аналитической целевой ведомственной программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)" Минобрнауки РФ (регистрационные номера 2.1.1/3927 и 2.1.1/13303), Федеральной целевой ведомственной программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2011 годы (шифр проекта НК-13П/13), гранта Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг подведомственными высшими учебными заведениями (проект 1.1907.2011), гранта правительства Российской Федерации (договор № 11.G34.31.0048).

Методология и методы исследования. В работе используются методы теории функций действительного переменного, методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Степень достоверности. Все результаты работы строго обоснованы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009 г.), 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2010 г.), 8 Международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011 г.), Семинаре им. И.Г. Петровского (Москва, 1985 г.), II, III Международной конференции "Современные проблемы прикладной

математики и математического моделирования" (Воронеж, 2007, 2009 г.г.), IV, XIII, XIV, XVII, XIX Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 1993, 2002, 2003, 2006, 2008 г.г.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003, 2007, 2009 г.г.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007 г.), XIV Международной конференции по атмосферному электричеству (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 2011 г.), Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2011 г.). Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988 г.), Международная конференция "Обратные и некорректные задачи" (Новосибирск, 2012 г.), X, XI Международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, 2008, 2009 г.г.), IX коллоквиум "Современный групповой анализ: методы и приложения" (Нижний Новгород, 1992 г.), VI Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Горький, 1986 г.), Итоговой конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (Нижний Новгород, 2007 г.), VI Российской конференции по атмосферному электричеству (Нижний Новгород, 2007 г.), XVI Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 2011 г.), VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008 г.), VII Всероссийской конференции по атмосферному электричеству (Санкт-Петербург,

2012), Международной конференции "Обратные и некорректрые задачи математической физики", посв. 80-летию со дня рожд. акад. М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012), Всероссийской конференции "Глобальная электрическая цепь" (Борок, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посв. 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), Четвёртой Международной конференции, посв. 90-летию со дня рожд. чл.-корр. РАН, акад. Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013), Десятой Международной конференции "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2014), Школе-конференции "Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы" (САтЭП2014, Борок, 2014), XVth International Conference on Atmospheric Electricity ICAE2014 (Norman, Oklahoma, USA, 2014). International Symposium Topical problems of nonlinear wave physics (NWP-2014, Nizhny Novgorod, 2014). Второй Всероссийской конференции "Глобальная электрическая цепь" (Борок, 2015). Международной конференции "XXVII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам"(КР0МШ-2016, Симферополь, 2016), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016). XI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ 2016 Алушта, 2016). 11 International Conference "Mesh methods for boundary-value problems and applications"(Казань, 2016).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Обратные задачи математической физики" в НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Б. Баку-шинский, проф. А.В. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола), семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. А.С. Ан-

типин, проф. Ф.П. Васильев, проф. М.М. Потапов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений и отдела прикладных задач института математики и механики УрО РАН (рук. проф. В.И. Максимов, проф. А.И. Короткий), семинаре кафедры математической физики ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин), семинаре кафедры общей математики ВМиК МГУ (рук. действительный член РАН, проф. В.А. Ильин), семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (рук. проф. Ю.А. Ду-бинский, проф. А.А. Амосов), семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ МГУ (рук. действительный член РАН, проф. В.В. Козлов, проф. А.С. Шамаев)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 89 печатных работах. В том числе 25 в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций, из них 8 в индексируемых в международных базах данных Web of Science (WoS), Scopus.

Личный вклад автора. В публикациях, выполненных совместно с С.Ф. Морозовым, соискателю принадлежат постановки всех задач и доказательства всех утверждений; В работах, выполненных совместно с учениками: А.А. Тюхтиной (А.А. Калинкиной) и А.А. Жидковым, соискателю принадлежат постановки всех задач, идеи доказательства всех утверждений и доказательство всех основных теорем. В работах, выполненных совместно с М.И. Суминым, М.И. Сумину принадлежат абстрактные результаты по методу двойственной регуляризации. В работе [263], выполненной совместно с Н.Н. Слюняевым, Н.Н. Слюняеву принадлежит раздел, посвященный глобальной электрической цепи. В работах, выполненных совместно с Е.А. Мареевым и Н.Н. Слюняевым [254, 258], автору принадлежит постановка задач и аналитические результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 282 страниц. Диссертация содержит 3 рисунка и 321 наименований литературы.

Глава 1

Представления вектор-функций и оценки скалярных произведений векторных полей

1.1. Некоторые функциональные пространства и предварительные сведения

1.1.1. Обозначения

В евклидовом пространстве Rn через х = {х\,х2, ...,хп}, У = {У1, У2,..., Уп}, •••, обозначаются точки пространства; через е1 = {1, 0,..., 0}, е2 = {0,1,..., 0},. • •, еп = {0,..., 0,1} - канонический базис; х• у = (х • у) = Х1У1+Х2У2 +... +хпуп, |х| = (х • х)1/2 = [х\ + х\ + ... + х2п) /2; х х у = [х х у\ = {х,2Уз - хзУ2, хзУ 1 - ххУз, хУ2 - х,2Уi} (х, у е R3)

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Калинин Алексей Вячеславович, 2017 год

Литература

1. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. - М.: Наука, 1976. - 616 с.

2. Толмачев, В. В. Термодинамика и электродинамика сплошной среды /

B. В. Толмачев, А. М. Головин, В. С. Потапов. - М.: Изд-во МГУ, 1988. - 232 с.

3. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1982. - 656 с.

4. Макаров, A.M. О роли лоренцевой калибровки в уравнениях электродинамики / A. M. Макаров, Л. А. Лунева, И. А. Макаров // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. - 2002. - №1. - С. 118-123.

5. Савин, М. Г. Проблема калибровки Лоренца в анизотропных средах / М. Г. Савин. - М.: Наука, 1979. - 123 с.

6. Стрэттон, Д. А. Теория электромагнетизма / Д. А. Стрэттон. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 541 с.

7. Vector potentials in three-dimensional non-smooth domains /

C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, V. Girault // Math. Meth. Appl. Sot. - 1998. - Vol. 21. - Pp. 823-864.

8. Бирман, М. Ш. Об операторе Максвелла в областях с ребрами / М. Ш. Бирман // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1985. - Т. 147, вып. 17. - С. 3-9.

9. Бирман, М. Ш. Оператор Максвелла для резонатора с входящими ребрами / М. Ш. Бирман // Вестник ЛГУ. Сер. 1. - 1986. - №3. -С. З-8.

10. Боговский, М. Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad / М. Е. Боговский // Теория куба-

турных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. -С. 5-40.

11. Масленникова, В. Н. О плотности финитных соленоидальных векторных полей / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1978. - Т. 19, №5. - С. 1092-1108.

12. Масленникова, В. Н. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1981. - Т. 22, №3. - С. 91-118.

13. Масленникова, В. Н. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Дифференциальные уравнения с частными производными. - Новосибирск: Наука, 1986. - С. 129-137.

14. Alonso, A. An optimal domain decomposition preconditioner for low-frequency time-harmonic Maxwell equations / A. Alonso and A. Valli // Mathematics of computation. V. 68, Number 226, April 1999, Pp. 607-631.

15. Alonso, A. Some remarks on the characterization of the space of tangential traces of H(rot;^) the construction of an extension operator / A. Alonso and A. Valli // Manuscripta math. 89, 159-178 (1996).

16. Amrouche, C. Vector potentials in three-dimensional non-smooth domains / C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge and V. Girault // Math. Meth. Appl. Sci., 21, 823-864 (1998).

17. Bolik, J. Estimating u in terms of div u, curl u, either (m, u) norm u and the topology / J. Bolik and W. von Wahl // Math. Meth. in the Appl. Sci., Vol. 20, 737-744 (1997).

18. Buffa, A. On traces for H(curl, Q) in Lipschitz domains / A. Buffa, M. Costabel, and D. Sheen // J. Math. Anal. Appl. 276 (2002) 845-867.

19. Cessenat, M. Mathematical methods in electromagnets. Linear theory and applications / M. Cessenat . Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences - Vol. 41. 1996. World Scientific Publishing Co. Pie. Ltd.396 p.

20. Costabel, M. A remark on the regularity of solutions of Maxwell's equations on lipschitz domains / M. Costabel // Math. Meth. in the Appl. Sci., Vol. 12, 365-368 (1990).

21. Fernandes, P. Magnetostatic and electrostatic problems in inhomogeneous anisotropic media with irregular boundary and mixed boundary conditions / P. Fernandes, G. Gilardi // Math. Models Methods Appl. Sci. 1997. Vol. 7, no. 7. Pp. 957-991.

22. Girault, V. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations / V. Girault, P.-A. Raviart. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1979. - 207 pp.

23. Girault, V. Finite element methods for Navier-Stokes Equations / V. Girault, P. Raviart. - Berlin- Heidelberg-New-York-Tokyo: SpringerVerlag, 1986. - 374 pp.

24. Gobert, J. Sur une inegalite de coercivite / J. Gobert // J. of Math. Anal. and App. - 1971. - Vol. 36. - Pp. 529-555.

25. Heywood, J. G. The exterior nonstationary problem for the Navier-Stokes equations / J. G. Heywood // Acta Math. - 1972. - Vol. 129. - Pp. 11-34.

26. Heywood, J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow / J. G. Heywood // Acta Math. - 1974. - Vol. 136. - Pp. 443-450.

27. Kotiuga, P. R. Vector potential formulation for three-dimensional

magnetostatics / P. R. Kotiuga and P. P. Silvester // J. Appl. Phys. 53, 8399 (1982); DOI: 10.1063/1.330372.

28. Mitrea, D. Vector potential theory on nonsmooth domains in R and applications to electromagnetic scattering / D. Mitrea, M. Mitrea, and J. Pipher // J. Fourier Anal. and Appl.. V. 3, N 2, 1997.

29. Picard, R. On the boundary value problems of electro- and magnetostatics / R. Picard // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 92A, 165-174, 1982.

30. Weber, C. A local compactness theorem for Maxwell's equations / C. Weber // Math. Meth. Appl. Sci. - 1980. - Vol. 2. - Pp. 12-25.

31. Week, V. Maxwell's boundary value problem on Riemannian manifolds with nonsmooth boundaries / V. Week // J. of Math, Analysis and Appl.

- 1974. - Vol. 46, no. 2. - Pp. 410-437.

32. Бирман, М. Ш. Ь2-теория оператора Максвелла в произвольных областях / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк // УМН. - 1987. - Т. 42, №6.

- С. 61-76.

33. Бирман, М. Ш. Оператор Максвелла в областях с негладкой границей / М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк // Сиб. мат. журнал. - 1987. -Т. 27, №1. - С. 23-76.

34. Быховский, Э. Б. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа / Э. Б. Быховский, Н. В. Смирнов // Труды МИ АН СССР. - 1960. - Т. 59. - С. 5-36.

35. Вейль, Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала / Г. Вейль // Математика. Теоретическая физика. - М.: Наука, 1984.

- С. 275-307.

36. Дубинский, Ю. А. Об

одном ортогональном разложении Lp и его 245

приложении к задаче Стокса / Ю. А. Дубинский // Доклады РАН. -2000. - Т. 374, №1. - С. 13-16.

37. Дубинский, Ю. А. Об одном ортогональном разложении соболевских пространств и краевой задаче типа задачи Стокса / Ю. А. Дубинский // Доклады РАН. - 2000. - Т. 373, №6. - С. 727-730.

38. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж. Л. Лионс.

- М.: Наука, 1980. - 384 с.

39. Крейн, С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики / С. Г. Крейн // ДАН СССР. - 1953. -Т. 93, №6. - С. 969-972.

40. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961.

- 400 с.

41. Ладыженская, О. А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Сток-са / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников // Записки научного семинара ЛОМИ. - 1976. - Т. 59, №9. - С. 81-116.

42. Масленникова, В. Н. Аппроксимация потенциальных и соленоидаль-ных векторных полей / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1983. - Т. 24, №5. - С. 159-171.

43. Плотницкий, Т. А. О некоторых свойствах операторов векторного анализа в пространствах С. Л. Соболева / Т. А. Плотницкий // Краевые задачи электродинамики проводящих сред / Под ред. Ю. А. Мит-ропольского. - Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. - С. 149-165.

44. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

45. Dautray, R. Mathematical Analysis and Numerical Methods for

Science and Technology: Volume 3. Spectral Theory and Applicftions / R. Dautray, J.-L. Lions. Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

46. Saranen, J. On electric and magnetic problems for vector fields in anisotropic nonhomogeneous media / J. Saranen // J. Math. Anal. Appl. 91, 254-275 (1983).

47. Auchmuty, G. L2 well-posedness of planar div-curl systems / G,. Auchmuty and J. C. Alexander // Arch. Rational Mech. Anal. 160 (2001) 91-134. DOI 10.1007/s002050100156.

48. Auchmuty, G. Reconstruction of the velocity from the vorticity in three-dimensional fluid flows / G. Auchmuty // Proc. R. Soc. Lond. A 1998 454, 607-630. DOI: 10.1098/rspa.1998.0176.

49. Saranen, J. On generalized harmonic fields in domains with anisotropic nonhomogeneous media / J. Saranen // J. Math. Anal. Appl. 88, 104-115 (1982).

50. Алексеев, Г. В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости / Г. В. Алексеев // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, №2. - С. 243-263.

51. Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. - М.: Наука, 1975. - 480 с.

52. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. - М.: Наука, 1977. - 480 с.

53. Перепелкин, В. Г. Интегральные представления функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях, и некоторые приложения. i / В. Г. Перепелкин // Сиб. мат. журнал. - 1976. -Т. 17, №1. - С. 119-140.

54. Перепелкин, В. Г. Интегральные представления функций, принад-

лежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях, и некоторые приложения. ii / В. Г. Перепелкин // Сиб. мат. журнал. - 1976. -Т. 17, №2. - С. 318-330.

55. Спивак, М. Математический анализ на многообразиях / М. Спивак. - М.: Мир, 1968. - 164 с.

56. Chen, Z. Finite element methods with matching and nonmatching meshes for maxwell equations wish discontinuous coefficients / Z. Chen, Q. Du, J. Zou // SIAM J. Numer. Anal. - 2000. - Vol. 37, no. 5. -Pp. 1542-1570.

57. Алексеева, Л. А. Обобщенные решения нестационарных краевых задач для уравнений Максвелла / Л. А. Алексеева // ЖВМ и МФ. -2002. - Т. 42, №1. - С. 76-88.

58. Алексеева, Л. А. Метод обобщенных функций при решении стационарных краевых задач для уравнений Максвелла / Л. А. Алексеева, С. С. Саутбеков // ЖВМ и МФ. - 2000. - Т. 40, №4. - С. 611-622.

59. Березовский, А. А. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики проводящих сред / А. А. Березовский, Т. А. Плотницкий // Краевые задачи электродинамики проводящих сред / Под ред. Ю. А. Митропольского. - Киев: Изд. ИМ АН УССР, 1976. - С. 139-148.

60. Быховский, Э. Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально-проводящей границы / Э. Б. Быховский // Вестник ЛГУ. - 1957. - Т. 13. - С. 50-66.

61. Дмитриев, В. И. Электромагнитные поля в неоднородных средах / В. И. Дмитриев. - М.: Изд-во МГУ, 1969. - 131 с.

62. Дмитриев, В. И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. - М.: МАКС Пресс, 2008. - 312 с.

63. Иванов, М. И. Решение методом регуляризации квазистационарной системы Максвелла в неоднородной проводящей среде / М. И. Иванов, И. А. Кремер, М. В. Урев // ЖВМ и МФ. - 2012. - Т. 52, №3. -С. 564-576.

64. Ильин, В. П. Численные методы решения задач электрофизики /

B. П. Ильин. - М.: Наука, 1985. - 336 с.

65. Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов. -М.: Изд-во МГУ, 1989.

66. Никольский, В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В. В. Никольский. - М.: Наука, 1967. - 460 с.

67. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики / В. В. Никольский, Т. Н. Никольская. - М.: Наука, 1983. -304 с.

68. Самохин, А. Б. Метод решения внутренних задач электродинамики / А. Б. Самохин // Дифференц. уравнения. - 1997. - Т. 33, №9. -

C. 1291-1292.

69. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения для нестационарных задач электродинамики в материальных средах / А. Б. Самохин // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, №9. - С. 1288-1290.

70. Самохин, В. Н. О стационарных задачах магнитной гидродинамики неньютоновских сред / В. Н. Самохин // Сиб. мат. журнал. - 1992. - Т. 33, №4. - С. 120-127.

71. Свешников, А. Г. Обоснование метода исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением / А. Г. Свешников // ЖВМ и МФ. - 1963. - Т. 3, №5. -С. 953-955.

72. A Gauged A, A — V — ^ Formulation without A • n = 0 on Conductor Boundaries / G. Drago, P. Girdinio, P. Molfino, etc. // IEEE Trans. on Magnetics. 1994. Vol. 30. no. 5. P. 2976-2979.

73. Acevedo, R. An E"-based mixed formulation for a time-dependent eddy current problem / R. Acevedo, S. Meddahi, R. Rodriguez // Math. Comput. 2009. Vol. 78. 1929-1949.

74. Alonso Rodriguez, A. Eddy current approximation of Maxwell equations. Theory, algorithms and applications/A. Alonso Rodriguez., A. Valli. -Milan: Spriner-Verlag Italia, 2010. 347 p.

75. Arnold, L. A unified variational formulation for the parabolic-elliptic eddy current equations / L. Arnold, B. Harrach // SIAM J. Appl. Math. 2012. Vol. 72 558-576

76. Bachinger, F. Numerical analysis of nonlinear multiharmonic eddy current problems / Bachinger F, Langer U, Schoberl J // Numer. Math. 2005. Vol. 100. Pp. 593-616.

77. Biro, O. CAD in Electromagnetism/O. Biro, K. R. Richter // Electronics and Electron Physics, edited by Academic press Inc. - Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto. 1991. P. 1-96.

78. Biro, O. On the Use of the Magnetic Vector Potential in the Finite Element Analysis of Three-Dimensional Eddy Currents / O. Biro, K. Preis // IEEE Trans. on Magnetics. - 1989. - Vol. 25, no. 4. -Pp. 3145-3159.

79. Biro, O. The Coulomb gauged vector potential formulation for the eddy-current problem in general geometry: well-posedness and numerical approximation / O. Biro and A. Valli //

80. Bossavit, A. Computational Electomagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements/A. Bossavit. - Academic press Inc. -

Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto. 352 p.

81. Camano, J. Analysis of a FEM — BEM in Lipschitz domains / J. Camano, R. Rodriguez // J. Comp. and Appl. Math. 2012. Vol. 236. Pp. 3084-3100.

82. Fernandes, P. General Approach to Prove the Existence and Uniqueness of the Solution in Vector Potential Formulations of 3-DEddy Current Problems / P. Fernandes // IEE Proc.-Sci. Meas. Technol. 1995. Vol. 30. no. 4. P. 299-306.

83. Fernandes, P. Lorenz gauged vector potential formulations for the time-harmonic eddy-current problem with LTO-regularity of material properties / P. Fernandes and A. Valli //

84. Kang, T. A E-Based Splitting Finite Element Method for the Time-Dependent Eddy Current Equations / P. Kang, K. I. Kim, Z. Wu // J. Comp. and Appl. Math. 2006. Vol. 85. Pp. 358-367.

85. Kang, T. Fully Discrete Potential-Based Finite Element Methods for a Transient Eddy Current Problem / P. Kang, K. I. Kim // Computing. 2009. Vol. 85. Pp. 339-362.

86. Kawashima, S. Magnetohydrodynamic approximation of the complete equations for an electromagnetic fluid. ii / S. Kawashima, Y. Shizuta // Proc. Japan Acad. Ser. A. - 1986. - Vol. 62, no. 5. - Pp. 181-184.

87. Kettunen, L. Formulation of the Eddy Current Problem in Multyply Connected Regions in Terms of h / L. Kettunen, K. Forsman, A. Bossavit // Int. J. Mum. Meth. Engeneering. 1998. Vol. 196. Pp. 935-954.

88. Kolmbauer, M. Existence and uniqueness of eddy current problems in bounded and unbounded domains / M. Kolmbauer. Numa-Report 2011-03 Institute of Computational Mathematics, Linz (available at

www.numa.uni-linz.ac.at/Publications/List/2011/011-03.pdf).

89. Kwang, I. K. Fully Discrete Potential-Based Finite Element Methods for a Transient Eddy Current Problem / K. I. Kim, P. Kang // Int. J. Comp. Math.. 2006. Vol. 83. Pp. 107-122.

90. Meddahi, S. An Я-based FEM-BEM Formulation for a Time Dependent Eddy Current Problem / S. Meddahi, V. Selgas // App. Num. Math. 2008. Vol. 58 1061—1083.

91. Prato Torres, R. A. A FE/BE Coupling for the 3D Time-Dependent Eddy Current Problem. P.I: a Prior error Estimates / R. A. Prato Torres, E. P. Stephan // Computing. 2010. Vol. 88. Pp. 131-154.

92. Selgas, V. Analisis Matemattico y Numerico de las Ecuaciones de Maxwell Cuasiesratticas / V. Selgss // PhD Thesis. Universidad de Oviedo Spain, 2006 (available at http://orion.ciencias.uniovi.es/ salim/).

93. Wu, L. A new potential-based finite element algorithm for eddy-current problems / L. Wu, T. Chen, T. Kang //IV Int. Conf. on Comput. and Inform. Sci. - 2012. - Pp. 57-61. DOI: 10.1109.ICCIS.2012.30.

94. Zheng, V. I. An adaptive element method for the H — ф formulation of time-dependent eddy current problems / W. Zheng, Z. Chen, L. Wang // Numer. Math. - 2006. - Vol. 103. - Pp. 667-689.

95. Александров, А. П. О задаче ККоши для уравнений Максвелла в анизотропной проводящей среде / А. П. Александров, В. И. Дмитриев // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд. МГУ, 1975 (24). - С. 23-37.

96. Галанин, М. П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах / М. П. Галанин, Ю. П. Попов. - М.: Наука, 1995. -320 с.

97. Кулон, Ж.-Л. САПР в электротехнике / Ж.-Л. Кулон, Ж.-К. Сабон-

надьер. - М.: Мир, 1988. - 208 с.

98. Meir, A. J. Analysis and numerical approximation of a stationary mhd flow problem with nonideal boundary / A. J. Meir // SIAM J. Numer. Anal. - 2000. - Vol. 36, no. 4. - Pp. 1304-1332.

99. Sermange, M. Some mathematical questions related to the mhd equations / M. Sermange, T. R. // Comm. Pure Appl. Math. - 1983.

- Vol. 36. - Pp. 635-664.

100. Wiedmer, M. Finite element approximation for equations of magnetohydrodynamics / M. Wiedmer // Math. Соmp. - 1999. - Vol. 69, no. 229. - Pp. 83-101.

101. Алексеев, Г. В. О разрешимости однородной начально-краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной жидкости / Г. В. Алексеев // Динамика сплошных сред. - Т. 57, 1982. - С. 3-20.

102. Алексеев, Г. В. Разрешимость краевой задачи для стационарной модели магнитной гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости / Г. В. Алексеев // Сиб. журн. индустр. матем. - 2006. - Т. 9, №1. -С. 13-27.

103. Солонников, В. А. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики / В. А. Солонников // Труды МИ АН СССР.

- 1960. - Т. 59. - С. 174-187.

104. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. - (N.Y.: Marcel Dekker Inc.), 2000.

105. Кряжимский, А. В. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем / А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. - 1988. - Т. 185. - С. 126-146.

106. Морозов, В. А. Регулярные методы решений некорректно постав-

ленных задач / В. А. Морозов. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

107. Agoshkov, V. Solution of the Stokes problem as an inverse problem / V. Agoshkov, C. Bardos, S. Buleev // Comput. Methods in Appl. Math.

- 2002. - Vol. 2, no. 36. - Pp. 213-232.

108. Denisov, A. M. Uniqueness of solution to an inverse problem for a semilinear system of partial differential equations / A. M. Denisov // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2008. - Vol. 16, no. 7. -Pp. 695-704.

109. Dmitriev, V. I. Magnetotellurics in the context of the theory of ill-posed problems / V. I. Dmitriev, M. N. Berdichevsky. - Tulsa: Society of Eploration Geophysicists, 2002. - 231 pp.

110. Isakov, V. Inverse problems for partial differential equations / V. Isakov.

- (New York: Springer), 2006.

111. Prilepko, A. On approximation of inverse problem for abstract prabolic differential equations in banach spaces / A. Prilepko, S. Piskarev, S.-Y. Shaw // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. Vol. 15(8). Pp. 831—851.

112. Бакушинский, А. Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. - М.: Наука, 1989. -130 с.

113. Бакушинский, А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

114. Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

115. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

116. Васильев, Ф. П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны / Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов // Вестник Московского университета. Сер. ВМК. - 1993. - №3. - С. 8-15.

117. Васин, В. В. Итерационные методы решения некорректных задач с априорной информацией в гильбертовых пространствах / В. В. Васин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1988. - Т. 28, №7.

- С. 971-980.

118. Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией / В. В. Васин, А. Л. Агеев. - Екатеринбург: Наука, 1993. - 263 с.

119. Жданов, М. С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике / М. С. Жданов. - М.: Научный мир, 2007. - 712 с.

120. Иванов, В. К. О решении операторных уравнениях, не удовлетворяющих условиям корректности / В. К. Иванов // Труды МИАН СССР.

- 1971. - Т. 112. - С. 232-240.

121. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задачи и её приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. - М.: Наука, 1978.

- 206 с.

122. Кабанихин, С. И. Метод градиентного спуска для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности / С. И. Кабанихин, А. Гасанов, А. В. Пененко // Сиб. журн. вычисл. математики. -2008. - Т. 11, №1. - С. 41-54.

123. Кабанихин, С. И. Акустическое зондирование методами линеаризации и обращения волнового поля / С. И. Кабанихин, М. А. Шишле-нин // Сиб. электрон. матем. известия. - 2010. - Т. 7. - С. 199-206.

124. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск: изд-во СО АН

СССР, 1962. - 91 с.

125. Лаврентьев, М. М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск: СО АН СССР, 1973. - 71 с.

126. Лаврентьев, М. М. О восстановлении правой части параболического уравнения / М. М. Лаврентьев, В. И. Максимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2008. - Т. 48, №4. - С. 674-680.

127. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский. -М.: Наука, 1980. - 268 с.

128. Леонов, А. С. Адаптивные оптимальные алгоритмы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями / А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2001. - Т. 41, №6. - С. 855-873.

129. Максимов, В. И. Численное решение некоторых обратных задач теплопроводности / В. И. Максимов // Автоматики и телемеханика. - 1993. - №2. - С. 83-92.

130. Максимов, В. И. Конечномерная аппроксимация входов в параболических вариационных неравенствах / В. И. Максимов // Труды МИ-АН. - 1995. - Т. 211. - С. 326-337.

131. Максимов, В. И. Об отслеживании эталонного решения управляемой системы уравнений фазового поля / В. И. Максимов // Труды МИАН. - 2010. - Т. 271. - С. 148-158.

132. Осипов, Ю. С. Основы метода динамической регуляризации / Ю. С. Осипов, Ф. П. Васильев, М. М. Потапов. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 237 с.

133. Осипов, Ю. С. Некоторые алгоритмы динамического посстановле-

ния входов / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский, В. И. Максимов // Труды ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, №1. - С. 129-161.

134. Потапов, М. М. Об оценках точности методов регуляризации в задачах квадратичной минимизации на полупространстве / М. М. Потапов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2004. - Т. 44, №2. - С. 255-264.

135. Потапов, М. М. Приближённое решение задачи граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня / М. М. Потапов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2005. - Т. 45, №6. - С. 1015-1032.

136. Прилепко, А. И. Существование решений обратных задач теории потенциала / А. И. Прилепко // Доклады АН СССР. - 1971. - Т. 199, №1. - С. 30-32.

137. Прилепко, А. И. Обратные задачи теории потенциала / А. И. Прилепко // Матем. заметки. - 1973. - Т. 14, №5. - С. 755-765.

138. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. - М.: Наука, 1984. - 262 с.

139. Романов, В. Г. Оценка устойчивости решения трёхмерной обратной задачи для системы уравнений Максвелла / В. Г. Романов // Сиб. матем. журн. - 2004. - Т. 45, №6. - С. 1347-1364.

140. Романов, В. Г. Оценка устойчивости решения в обратной задаче электродинамики / В. Г. Романов // Сиб. матем. журн. - 2011. -Т. 52, №4. - С. 861-875.

141. Романов, В. Г. Исследование математической модели электромагнитного зонда в осесимметричной скважине / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин, М. А. Шишленин // Сиб. электрон. матем. известия. -2010. - Т. 7. - С. 307-321.

142. Сумин, М. И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2004. - Т. 44, №11. - С. 2001-2019.

143. Сумин, М. И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2007. -Т. 47, №4. - С. 602-625.

144. Сумин, М. И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2007. - Т. 47, №5. - С. 796-816.

145. Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153, №1. - С. 49-52.

146. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 151, №3. - С. 501-504.

147. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

148. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

149. Численное решение обратной задачи электрокардиографии для среды с кусочно-постоянным коэффициентом электропроводности / А. М. Денисов, Е. В. Захаров, А. В. Калинин, В. В. Калинин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2010. - Т. 50, №7. - С. 1233-1239.

150. Ягола, А. Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах / А. Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1980. - Т. 20, №3. - С. 586-596.

151. Короткий, А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределёнными параметрами / А. И. Короткий // Изв. вузов. Матем. - 1995. - № 11 (402). - С. 101-124.

152. Короткий, А. И. Восстановление параметров системы Навье-Сток-са / А. И. Короткий // Труды ИММ УрО РАН. - 2005. - Т. 11, №1. -С. 122-138.

153. Короткий, А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов // Труды ИММ УрО РАН. - 2006. - Т. 12, №2. -С. 88-97.

154. Денисов, А. М. Интегро-фунциональные уравнения для задачи определения источника в волновом уравнении / А. М. Денисов // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, №9. - С. 1155-1165.

155. Arnold, L. Unique shape detection in transient eddy current problems / L. Arnold, B. Harrach Inverse Problems. 2013. Vol. 29. 19 p.

156. Rodriguez, A. A. Inverse source problems for eddy current equations / R. Rodriguez, J. Camano, A. Valli // Inverse problems. 2012. Vol. 28. 15 p.

157. Алексеевв, Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассо-переноса и магнитной гидродинамики / Г. В. Алексеев. - М.: Научный мир, 2010.

158. Алексеев, Г. В. О задаче идентификации для стационарной модели магнитной гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости / Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2009. - Т. 49, №10. - С. 1796-1811.

159. Сравнительный анализ двух методов расчета электромагнитных полей в прискважинном пространстве нефтегазовых коллекторов /

М. И. Эпов, С. И. Кабанихин, В. Л. Миронов и др. // Сиб. журн. индустр. математики. - 2011. - Т. 14, №2. - С. 132-138.

160. Bostrem, R. Vertical Propagation of Time-Dependent Electric Fields in the Atmosphere and Ionosphere / R. Bostrem, U. Fahleson // Electrical process in atmospheres, edited by H.Dolezalek and R.Reiter. - Darmstadt, Germany. 1977. P. 529-535.

161. Hays, P. B. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 1. The lower atmosphere / P. B. Hays, R. G. Roble // J. of Geophysical Research. - 1979. - Vol. 84, no. A7. - Pp. 3291-3305.

162. Hays, P. B. A quasi-static model of global atmospheric electricity: 1. The lower atmosphere / P. B. Hays, R. G. Roble // J. Geophys. Res. 1979. Vol. 84, no. A7. Pp. 3291-3305.

163. Holzer, R. E. Distribution of electrical conduction currents in the vicinity of thunderstorms / R. E. Holzer, D. S. Saxon // J. Geophys. Res. 1952. Vol. 57, no. 2. Pp. 207-216.

164. Jansky, J. Charge balance and ionospheric potential dynamics in time-dependent global electric circuit model / J. Jansky, V. P. Pasko // J. Geophys. Res. Space Physics. 2014. Vol. 229, no. 12. Pp. 10184-10203.

165. Kasemir, H. W. Das gewitter als generator im luftelektrischen stromkreis I, II / H. W. Kasemir // Z. f. Geophysik. 1959. Vol. 25. Pp. 33-96.

166. Krehbiel, P. R. The electrical structure of thunderstorms / P. R. Krehbiel // The Earth's Electrical Environment / Ed. by E. P. Krider, R. G. Roble. Washington, D.C.: National Acad. Press, 1986. Pp. 90-113.

167. Mareev, E. A. Global electric circuit as an open dissipative system / E. A. Mareev, S. V. Anisimov // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric

Electricity. - Versailes: 2003. - Pp. 797-800.

168. Markson, R. Global scale comparison of simultaneous ionospheric potential measurements / R. Markson, L. H. Ruhnke, E. R. Williams // Atmos. Res. 1999. Vol. 51, no. 3-4. Pp. 315-321.

169. Markson, R. Solar modulation of atmospheric electrification and possible implications for the Sun-weather relationship / R. Markson // Nature. 1978. Vol. 273, no. 5658. Pp. 103-109.

170. Markson, R. The global circuit intensity: Its measurement and variation over the last 50 years / R. Markson // Bull. Amer. Meteor. Soc. 2007. Vol. 88, no. 2. Pp. 223-241.

171. Morozov, V. N. The influence of convective current generator on the global current / V. N. Morozov // Nonlin. Processes Geophys. - 2006. -Vol. 13. - Pp. 243-246.

172. New model simulations of the global atmospheric electric circuit driven by thunderstorms and electrified shower clouds: The roles of lightning and sprites / M. J. Rycroft, A. Odzimek, N. F. Arnold et al. // J. Atmos. Sol. Terr. Phys. 2007. Vol. 69, no. 17-18. Pp. 2485-2509.

173. Ogawa, T. Fair-weather electricity / T. Ogawa // J. Geophys. Res. 1985. Vol. 90, no. D4. Pp. 5951-5960.

174. Park, C. G. Penetration of thundercloud electric fields into the ionosphere and magnetosphere: 1. Middle and subauroral latitudes / C. G. Park, M. Dejnakarintra // J. Geophys. Res. 1973. Vol. 78, no. 28. Pp. 6623-6633.

175. On the role of clouds in the fair weather part of the global electric circuit / A. J. G. Baumgaertner, G. M. Lucas, J. P. Thayer, S. A. Mallios // Atmos. Chem. Phys. 2014. Vol. 14, no. 16. Pp. 8599-8610.

176. On the role of transient currents in the global electric circuit /

E. A. Mareev, S. A. Yashunin, S. S. Davydenko et al. // Geophys. Res. Lett. 2008. Vol. 35, no. 15.

177. Planetary Atmospheric Electricity / Ed. by F. Leblanc, K. Aplin, Y. Yair et al. - New York: Springer, 2008. - 534 pp.

178. Roble, R. G. A quasi-static model of global atmospheric electricity.

2. Electrical coupling between the upper and lower atmosphere / R. G. Roble, P. B. Hays // J. of Geophysical Research. - 1979. - Vol. 84, no. A12. - Pp. 7247-7256.

179. Stolzenburg, M. Electrical structure in thunderstorm convective regions:

3. Synthesis / M. Stolzenburg, W. D. Rust, T. C. Marshall // J. Geophys. Res. 1998. Vol. 103, no. D12. Pp. 14097-14108.

180. Volland, H. Atmospheric Electrodynamics / H. Volland. Physics and Chemistry in Space Series. Berlin, Heidelberg: Springer, 1984.

181. Willett, J. C. Solar modulation of the supply current for atmospheric electricity? / J. C. Willett // J. Geophys. Res. 1979. Vol. 84, no. C8. Pp. 4999-5002.

182. Wilson, C. T. R. Investigations on lightning discharges and on the electric field of thunderstorms / C. T. R. Wilson // Phil. Thans. R. Soc. Lond. A. - 1921. - Vol. 221. - Pp. 75-115.

183. Wilson, C. T. R. The electric field of a thundercloud and some of its effects / C. T. R. Wilson // Proc. Phys. Soc. London. 1924. Vol. 37. Pp. 32D-37D.

184. Дымников, В. П. Устойчивость и предсказуемость крупномасштабных атмосферных процессов / В. П. Дымников. - М.: ИВМ РАН, 2007. - 283 с.

185. Мареев, Е. А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи / Е. А. Мареев // УФН. - 2010. - Т. 180, №5. -

С. 527-534.

186. Мареев, Е. А. О проблеме электрического динамо / Е. А. Мареев,

B. Ю. Трахтенгерц // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. - 1996. - Т. 39, №6. - С. 797-814.

187. Морозов, В. Н. Влияние молниевых разрядов грозовых облаков на глобальную электрическую цепь / В. Н. Морозов // Труды ГГО им. А. И. Воейкова. 2013. № 569. С. 249-257.

188. Морозов, В. Н. Модель нестационарного электрического поля в нижней атмосфере / В. Н. Морозов // Геомагнетизм и аэрономия. 2005. Т. 45, № 2. С. 268-278.

189. Морозов, В. Н. Распределение электрического поля, создаваемого нестационарным током заряжения грозового облака в атмосфере с неоднородной электрической проводимостью / В. Н. Морозов // Прикладная метеорология. - 2006. - № 5 (777). - С. 51-67.

190. Светов, Б. С. Аналитические решения электродинамических задач / Б. С. Светов, В. П. Губатенко. - М.: Наука, 1988. - 341 с.

191. Слюняев, Н. Н. О параметризации источников глобальной электрической цепи / Н. Н. Слюняев, А. А. Жидков // Изв. вузов. Радиофизика. 2016. Т. 59, № 3. С. 223-242.

192. Lagnese, J. S. Exponential stability of solutions of differential equations of sobolev type / J. S. Lagnese // SIAM J. Math. Anal. - 1972. - Vol. 3, no. 4. - Pp. 625-636.

193. Showalter, R. E. Pseudoparabolic partial differential equations / R. E. Showalter, T. W. Ting // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, no. 1. Pp. 1-26.

194. Гальперн, С. А. Задача Коши для уравнения С. Л. Соболева /

C. А. Гальперн // Сиб. мат. журнал. - 1963. - Т. 4, №4. - С. 758-773.

195. Маслов, В. П. О существовании убывающего при t ^ <ж решения уравнения типа Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области / В. П. Маслов // Сиб. мат. журнал. - 1968. - Т. 9, №6. - С. 1351-1359.

196. Showalter, R. E. Local regularity of solutions of Sobolev-Galpern differential equations / R. E. Showalter // Pacif. J. Math. - 1970. -Vol. 34, no. 3. - Pp. 781-787.

197. Showalter, R. E. Partial differential equations of sobolev-galperin type / R. E. Showalter // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31, no. 3. -Pp. 787-793.

198. Дезин, А. А. Неклассические граничные задачи / А. А. Дезин,

B. Н. Масленникова // Дифференциальные уравнения. Тр. симпозиума. - М.: Наука, 1970. - С. 81-95.

199. Демиденко, Г. В. О смешанных краевых задачах для уравнений типа Соболева с переменными коэффициентами / Г. В. Демиденко // Дифференциальные уравнения с частными производными. Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1979 (2).

200. Демиденко, Г. В. Смешанные задачи для одного класса уравнений типа Соболева / Г. В. Демиденко // Теоремы вложения и приложения. Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1982 (1). -

C. 44-74.

201. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. -Новосибирск: Научная книга, 1998. - 456 с.

202. Масленникова, В. Н. Оценки в Lp и асимптотика при t ^ <ж решения задачи Коши для системы Соболева / В. Н. Масленникова // Труды МИ АН СССР. - 1968. - № 103. - С. 117-141.

203. Масленникова, В. Н. О скорости убывания при большом времени решения системы Соболева с учетом вязкости / В. Н. Масленникова // Мат. сборник. - 1973. - Т. 92, №4. - С. 589-610.

204. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. - 1954. -Т. 18, №1. - С. 3-50.

205. Успенский, С. В. Об общих краевых задачах для одного класса неклассических уравнений / С. В. Успенский // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа. Материалы школы-конференции. - Новосибирск, 1975. - С. 212-233.

206. Успенский, С. В. О дифференциальных свойствах решений общих краевых задач для уравнений типа Соболева / С. В. Успенский, Г. В. Демиденко // Математический анализ и смежные вопросы математики. - Новосибирск: Наука, 1978. - С. 276-296.

207. Успенский, С. В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С. В. Успенский, Г. В. Демиденко, В. Г. Пере-пелкин. - Новосибирск: Наука, 1984. - 233 с.

208. Adams, R. A. Sobolev Spaces / R. A. Adams. - New York: Academic Press, 1975. - 268 pp.

209. Bendali, A. Numerical analysis of the exterior boundary value problem for the time harmonic maxwell equations by a boundary finite element method. I and II / A. Bendali // Math. Comp. - 1984. - Vol. 43. -Pp. 29-86.

210. Dautray, R. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology: Volume 2. Functional and Variational Methods / R. Dautray, J.-L. Lions. Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

211. Dautray, R. Mathematical Analysis and Numerical Methods for

Science and Technology: Volume 5. Evolution Problems I / R. Dautray, J.-L. Lions. Berlin, Heidelberg: Springer, 2000.

212. Necas, J. Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations / J. Necas. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer, 2012.

213. Necas, J. Les Methodes Directes en Theorie des Euations Elliptiques / J. Necas. - Masson, 1967.

214. Valli, A. Solving the problem of electrostatics with a dipole source by means of the duality method / A. Valli // Preprint submitted to Applied Mathematics Letters July 11, 2011.

215. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. - M.: Мир, 1978. - 336 с.

216. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. -М.: Наука, 1970. - 535 с.

217. Данцер, Л. Теорема Хелли и ее применения / Л. Данцер, Б. Грюн-баум, В. Кли. - М.: Мир, 1968. - 162 с.

218. Калинкина, А. Ф. Исследование решений некоторых уравнений в частных производных на основе оценок векторных полей: Дисс ... канд.физ-мат.н. / Н.Новгород: ННГУ. - 2004. - 157 с.

219. Кобельков, Г. М. О численных методах решения уравнений На-вье - Стокса в переменных скорость-давление / Г. М. Кобельков // Вычислительные процессы и системы. - М.: Наука, 1991. Вып. 8. -С. 204-236.

220. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М.: Мир, 1987. - 312 с.

221. Кочин, Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисле-

ния / Н. Е. Кочин. - М.: Изд-во АН СССР, 1951. - 424 с.

222. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С. Г. Крейн. - М.: Наука, 1967. - 464 с.

223. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007. - 736 с.

224. Лионс, Ж. Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

225. Мазья, В. Г. Пространства С. Л. Соболева / В. Г. Мазья. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 416 с.

226. Обен, Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обен. - М.: Мир, 1977. - 383 с.

227. Пятницкий, А. Л. Усреднение. (Методы и некоторые приложения) / Г. А. Чечкин, А. Л. Пятницкий, А. С. Шамаев. - Новосибирск.: Изд-во «Тамара Рожковская», 2004. - 342 с.

228. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

229. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

230. Успенский, С. В. О теоремах вложения для весовых классов / С. В. Успенский // Труды Мат. ин-та АН СССР. - 1961. - Т. 60. - С. 282-303.

231. Хенл, X. Теория дифракции / X. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. -М.: Мир, 1964. - 428 с.

232. Эрроу, К. Д. Исследования по линейному и нелинейному программированию / К. Д. Эрроу, Л. Гурвиц, Х. Удзава. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 336 с.

233. Калинин, А. В. Некоторые оценки теории векторных полей / А. В. Калинин // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1997. Вып. 1 (18). - С. 32-38.

234. Калинин, А. В. Стационарные задачи для системы уравнений Максвелла в неоднородных средах / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1997. Вып. 1 (18). - С. 24-31.

235. Калинин, А. В. Стационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабо проводящими включениями / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 1999. Вып. 1 (20). - С. 48-62.

236. Калинин, А. В. Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 2001. Вып. 1 (23). - С. 97-106.

237. Калинин, А. В. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 2002. Вып. 1 (25). - С. 95-107.

238. Калинин, А. В. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 2003. Вып. 1(26). - С. 21-38.

239. Калинин, А. В. Ь^-оценки векторных полей / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Изв. вузов. Сер. Математика. - 2004. - №3. -С. 26-35.

240. Калинин, А. В. L^-оценки для скалярных произведений векторных полей / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Вестник ННГУ. Сер. Математика. - 2004. Вып. 1. - С. 104-115.

241. Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в некоторых задачах математической физики / А. В. Калинин // Изв. ин-та математики и информатики. Вып. 3 (37). - Ижевск, 2006. - С. 25-37.

242. Калинин, А. В. Задача об определении электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14, №4. -С. 712-714.

243. Калинин, А. В. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений / А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2010. - № 2 (1). - С. 117-123.

244. Калинин, А. В. Алгоритм двойственной регуляризации в обратных задачах глобальной электрической цепи / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1074-1076.

245. Калинин, А. В. О регуляризирующих двойственных алгоритмах в обратных задачах финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении / А. В. Калинин, А. А. Тюхтина, М. И. Сумин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (1). - С. 166-172.

246. Lp-estimates of vector fields and some applications to magnetostatics problems / A. V. Kalinin, B. Cekis, R. A. Mashiyev, M. Avci // J. of

Math. Analysis and Appl. - 2012. - Vol. 389, no. 2. - Pp. 838-851.

247. Калинин, А. В. L^-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах / А. В. Калинин, А. А. Жидков, А. А. Тюхтина // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». - 2012. - №1. - С. 3-14.

248. Калинин, А. В. Сходимость галёркинских приближений в квазистационарных задачах теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2012. - №4.

249. Slyunyaev, N. N. Influence of Large-Scale Conductivity Inhomogeneities in the Atmosphere on the Global Electric Circuit / N.N.Slyunyaev, E.A.Mareev, A.V. Kalinin, A.A. Zhidkov // J. Atmos. Sci. . - 2014. - V. 71 - P. 4382-4396.

250. Калинин, А. В. Lp-оценки векторных полей в двумерных областях / А. В. Калинин, А. А. Тюхтина, В. Е. Метелева // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2014. - № 4 (1). - С. 271-278.

251. Калинин, А. В. Некоторые представления векторных полей во внешних областях / А. В. Калинин, В.Е. Молодкина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2014. - № 3 (1). -С. 94-98.

252. Калинин, А. В. О единственности решения ретроспективной обратной задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении / А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2014. -№ 4 (1). - С. 263-270.

253. Калинин, А. В. Стационарные и нестационарные модели глобальной электрической цепи: корректность, аналитические соотношения, численная реализация / А. В. Калинин, E. А. Мареев, А. А. Жидков,

H. Н. Слюняев // Известия РАН. Физика атмосферы и океана . -2014. - Т. 50 - № 3. - С. 355-364.

254. Калинин, А. В. Устойчивые секвенциальные принципы Лагранжа в обратной задаче финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационаоном магнитном приближении / Калинин А.В., Сумин М.И., Тюхтина А.А. // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 608-624.

255. Modified Coulomb and Lorenz gauges in the modeling of low-frequency electromagnetic processes /. Kalinin A.V., Tyukhtina A.A., Lavrova S.R. // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. V. 158. №

I. 2016. P. 012046

256. Kalinin, A.V. Initial-boundary value problems for the equations of the global atmospheric electric circuit / Kalinin A.V., Slyunyaev N.N. // J.Math.Anal.Appl. 2017. V. 450, Iss. 1, 1 Pp. 112-136. http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.01.025

257. Калинин, А. В.Об обратных задачах финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационаоном магнитном приближении и устойчивых секвенциальных принципах Лагранжа для их решения / Калинин А.В., Сумин М.И., Тюхтина А.А. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2017, т. 57, № 2, с. 18-40.

258. Калинин, А. В. Задача Коши для одного нелинейного интегро-диф-ференциального уравнения переноса / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Мат.заметки. - 1997. - Т. 61, вып.5. - С. 677-686.

259. Studies of an artificially generated electrode effect at ground level /

A. V. Kalinin, E. A. Mareev, S. Israelsson et al. // Annales Geophysicae.

- 1997. - Vol. 14, no. 10. - Pp. 1095-1101.

260. Калинин, А. В. Свойства решений нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений теории переноса излучения / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Вестник ННГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. - 1998. - №1. - С. 76-88.

261. Калинин, А. В. Некоторые оценки векторных полей и их применение в электромагнитной теории / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Деп. в ВИНИТИ. 2002.-8-В 2002.-29 с.

262. Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Деп. в ВИНИТИ РАН. 2006. - № 1235-В2006, 13. 10. 06.

263. Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике / А. В. Калинин. -Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - 319 с.

264. Калинин, А. В. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2009. - №4.

- С. 123-129.

265. Калинин, А. В. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2009. - №6. - С. 150-158.

266. Жидков, А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 5 (1). - С. 169-173.

267. Kalinin, A. V. L^-estimations of vector fields in unbounded domains / A. V. Kalinin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // Applied Mathematics. - 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-51.

268. Интегрирование некоторых систем теории классического электродного эффекта в присутствии аэрозолей / Калинин А.В., Леонтьев Н.В., Терентьев А.М., Умников Е.Д. // Изв. вузов. Радиофизика. 2015. №11. С. 960-969.

269. Калинин, А. В. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах с непроводящими и слабопроводящими включениями / Калинин А.В., Тюхтина А.А. // Журн. Средневолжского мат. об-ва. 2016. Т. 18. № 4. С. 119-133.

270. Обработка и визуализация результатов решения в диалоговой системе автоматизированного решения задач математической физики / А. В. Калинин, А. В. Жидков, Е. П. Кочетков и др. // Тезисы докл. IV шк. «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач матфизики» Горький, сентябрь 1986 г. - Горький: изд-во ГГУ, 1986. - С. 56.

271. Калинин, А. В. Исследование физико-механических процессов в одновитковом соленоиде на диалоговом комплексе / А. В. Калинин, Е. П. Кочетков, А. Н. Щепин // Тезисы докл. II Всесоюз. конф. Численная реализация физико-механических задач прочности Горький, 24-25 июня 1987 г. - Горький: изд-во ГГУ, 1987. - С. 26.

272. Калинин, А. В. Начально-краевая задача для системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Тезисы докл. Межд. науч. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения, мат.физика и спецфункции». - Самара, 1992. - С. 37.

273. Калинин, А. В. Некоторые вопросы математического моделирования стационарных электромагнитных полей в неоднородных средах / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов, Н. А. Угодчиков // Тезисы докл. конф. «Совр. проблемы механики и матем.физики». - Воронеж, 1994. - С. 28.

274. Калинин, А. В. Оптимальное управление квазистационарными магнитными полями в неоднородных изотропных средах / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов, М. М. Новоженов // Тезисы докл. Воронежск. весенней мат. школы «Соврем.методы в теории краевых задач». - Воронеж, 1996. - С. 58.

275. Калинкина, А. А. Некоторые оценки векторных полей электромагнитной теории / А. А. Калинкина // Современные исследования в математике и механике: Труды 23 Конф. молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ, Москва, 9-14 апреля 2001 г. Вып. 2. - М.: Изд-во ЦПИ ММФ МГУ, 2001. - С. 135-138.

276. Калинин, А. В. Вариационные формулировки стационарных задач электродинамики в терминах векторного магнитного потенциала / А. В. Калинин // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтения-XIII». - Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 68-69.

277. Калинин, А. В. Калибровочные соотношения и вариационные формулировки стационарных задач электродинамики в терминах векторного магнитного потенциала / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // VII Нижегородская сессия молодых ученых: Тезисы докл. - Н. Новгород: Изд-во Гладкова О. В., 2002. - С. 45-46.

278. Калинин, А. В. Квазистационарные задачи электродинамики / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 18. Казанское мат. общество. Лобачевские чтения-2002.

Материалы Межд. молодежной науч. шк.-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2002. - С. 40-41.

279. Калинин, А. В. Вариационные формулировки квазистационарных задач электродинамики / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конф. - Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 114-115.

280. Калинин, А. В. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Современные методы качественной теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтения-Х1У». - Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 61-62.

281. Калинин, А. В. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // VIII Нижегородская сессия молодых ученых: Тез. докл. - Н. Новгород: изд-во Гладкова О. В., 2003. - С. 28-29.

282. Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений и стационарные электромагнитные поля в неоднородных неограниченных областях / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтения - XVII». - Воронеж: 2006. - С. 64-65.

283. Калинин, А. В. Интегральное тождество для определения электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков //VI Российская конф. по атмосферному электричеству. Сб. трудов. - Н. Новгород: 2007. - С. 53-54.

284. Калинин, А. В. Математическое и численное моделирование электрических полей в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Труды итоговой науч. конф. учебно-научного инновационного комплекса

«Модели, методы и программные средства». - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - С. 160-163.

285. Калинин, А. В. Математическое моделирование электромагнитных полей в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Межд. науч. конф. - Воронеж: 2007. - С. 71-72.

286. Калинин, А. В. О задаче определения электрического поля в шаровом слое в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф. - Воронеж: 2007. -С. 80-81.

287. Калинин, А. В. Численное исследование задачи об определении электрических полей в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков //VI Российская конф. по атмосферному электричеству. Сб. трудов. - Н. Новгород: 2007. - С. 51-52.

288. Калинин, А. В. Вопросы математического и численного моделирования электрических полей в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Труды VIII Всероссийской науч. конф. «Нелинейные колебания механических систем». - Т. 2. - Н. Новгород: 2008. - С. 340-345.

289. Калинин, А. В. Вопросы математического моделирования электрических процессов в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Сб. докладов и тезисов X Межд. семинара «Супервычисления и математическое моделирование». - Саров: 2008. - С. 70-72.

290. Калинин, А. В. Метод двойственной регуляризации для создания электромагнитного поля заданной конфигурации / А. В. Калинин, А. В. Климов, М. И. Сумин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежск. весенней мат. школы «Понтрягинские

чтения-ХГХ». - Воронеж: 2008. - С. 105.

291. Калинин, А. В. Прямые и обратные задачи в моделях глобальной электрической цепи в атмосфере / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежск. весенней мат. школы «Понтрягинские чтения-ХК». - Воронеж: 2008.

- С. 90-91.

292. Калинин, А. В. Двойственная регуляризация в обратных задачах атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Сб. докладов и тезисов XI Межд. семинара «Супервычисления и математическое моделирование». - Саров: 2009. - С. 65-66.

293. Калинин, А. В. Итерационный алгоритм решения одной задачи атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Сб. докладов и тезисов XI Межд. семинара «Супервычисления и математическое моделирование». - Саров: 2009. - С. 64-65.

294. Калинин, А. В. Метод возмущений и двойственной регуляризации для решения задачи создания электромагнитного поля заданной конфигурации / А. В. Калинин, А. В. Климов, М. И. Сумин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф.

- Воронеж: 2009. - С. 79-80.

295. Калинин, А. В. О некоторых обратных задачах для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Молодежная Межд. шк.-конф. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Тезисы докл. - Новосибирск: 2009. - С. 50.

296. Калинин, А. В. Об одной нестационарной задаче для определения электрического поля / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф. -

Воронеж: 2009. - С. 69-70.

297. Калинин, А. В. Об одном классе математических задач атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Труды Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики и их приложения». - Москва: 2009. - С. 143.

298. Калинин, А. В. Об одном классе обратных задач атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III Межд. науч. конф. - Т. 2. - Воронеж: 2009. - С. 133-134.

299. Калинин, А. В. Математическое обоснование некоторых алгоритмов решения прямых и обратных задач теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Труды 53-й науч. конф. МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». - Т. 1. - Москва: 2010. - С. 56-58.

300. Калинин, А. В. Прямые и обратные задачи теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докл. - М.: МИАН, 2010. - С. 92-93.

301. Kalinin, A. V. Calculation of different-type clouds in the global atmospheric electric circuit / A. V. Kalinin, E. A. Mareev, A. A. Zhidkov // Proc. of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. -Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

302. Калинин, А. В. Алгоритмы двойственной регуляризации в обратных задачах граничного наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Ка-

линин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Тезисы докл. Межд. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Екатеринбург: 2011. -С. 131-132.

303. Калинин, А. В. Алгоритмы двойственной регуляризации в обратных задачах граничного наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Тезисы докл. Межд. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Екатеринбург: 2011. -С. 131-132.

304. Калинин, А. В. Применение оптимизационных алгоритмов для одного класса обратных задач атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков, М. И. Сумин // Материалы XVI Межд. конф. «Проблемы теоретической кибернетики». - Нижний Новгород: 2011. - С. 162-165.

305. Convective generator in the global electric circuit: Analytical approach and numerical consideration / O. V. Mareeva, E. A. Mareev, A. V. Kalinin, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conf. on Atmospheric Electricity. - Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

306. Some inverse problems in quasi-stationary electromagnetic theory / A. V. Kalinin, M. I. Sumin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications and Computation. - Moscow, Russia: 2011. - P. 294.

307. Двойственные методы для некоторых классов прямых и обратных задач электромагнитной теории / А. В. Калинин, М. И. Сумин, А. А. Тюхтина, А. А. Жидков // Межд. конф. «Обратные и некоррек-трые задачи математической физики», посв. 80-летию со дня рожд. акад. М.М. Лаврентьева. - Новосибирск: 2012. - С. 138.

308. Калинин, А. В. Lp-оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в исследовании электромагнитных процессов в неоднородных средах / Калинин А.В., Тюхтина А.А. // Тез. докл. Межд. конф. "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посв. 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.

309. Корректность постановок и алгоритмы решения стационарных и квазистационарных задач глобальной электрической цепи / Жидков А.А., Калинин А.В., Мареев Е.А., Слюняев Н.Н. // Глобальная электрическая цепь. Мат. Всеросс. конф. Борок, 28 октября-1 ноября 2013 г. Ярославль: ООО "Филигрань". 2013. С. 12.

310. Некоторые представления вектор-функций и их применение к исследованию полей в неоднородных средах / Жидков А.А., Калинин А.В., Молодкина В.Е., Тюхтина А.А. // Тез. докл. Четвёртой Межд. конф., посв. 90-летию со дня рожд. чл.-корр. РАН, акад. Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН..25-29 марта 2013 г. С. 186-187.

311. Оценка изменения ионосферного потенциала вследствие крупномасштабных возмущений проводимости в атмосфере / Жидков А.А., Калинин А.В., Мареев Е.А., Слюняев Н.Н. // Глобальная электрическая цепь. Мат. Всеросс. конф. Борок, 28 октября-1 ноября 2013 г. Ярославль: ООО "Филигрань". 2013. С. 17.

312. Калинин, А. В. Ажурная схема МКЭ решения трехмерной задачи магнитостатики Сеточные методы для краевых задач и приложения / А. В. Калинин, Д. Т. Чекмарев // Мат. Десятой Межд. конф. Казань: Казанский университет, 2014. С.356-360.

313. Calculation of the Ionospheric Potential in Steady-State and Non-

Steady-State Models of the Global Electric Circuit / Slyunyaev N.N., Kalinin A.V. , Mareev E.A., Zhidkov A.A. // XVth Intern. Conf. on Atmospheric Electricity ICAE2014, Norman, Oklahoma, USA, 16-20 June 2014. P-10-11.

314. Numerical analysis and analytical relations for stationary and non-stationary models of the global electric curcuit / Kalinin A.V. , Mareev E.A., Slyunyaev N.N. Zhidkov A.A. // International Symposium Topical problems of nonlinear wave physics (NWP-2014).

315. On the Description of Thunderstorm Generators and Its Relation to the Impact of Large-Scale Conductivity Inhomogeneities on the Ionospheric Potential / Mareev E.A., Kalinin A.V. , Slyunyaev N.N. Zhidkov A.A. // XVth International Conference on Atmospheric Electricity ICAE2014, Norman, Oklahoma, USA, 16-20 June 2014. P-10-05.

316. Направления развития теории глобальной электрической цепи / Е. А. Мареев, А. В. Калинин, Н. Н. Слюняев, А. А. Жидков / / Вторая Всеросс. конф.«Глобальная электрическая цепь». 2015. C .9-11.

317. Тюхтина, А.А., Lp-оценки векторных полей и их применение в задачах электромагнитной теории / Тюхтина А.А., Калинин А.В. / Межд. конф. «XXVII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2016): сб. тезисов. Симферополь: ООО ФОРМА, 2016. С. 41-42.

318. Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в задачах электромагнитной теории / Калинин А.В., Тюхтина А.А., Метелева В.Е. / Межд. конф. по дифф. уравнениям и динамич. системам. Тез. докл. Суздаль, 8-12 июля 2016 г. М.: МИАН, 2016. С. 80-81.

319. Калинин, А. В. Численный алгоритм решения задачи о глобальной

электрической цепи в атмосфере Земли / Калинин А.В., Садовский В.В. , Чекмарев Д.Т. // Материалы XI Межд.конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ 2016), 25-31 мая 2016 г. Алушта. 2016. Изд-во МАИ, 2016, 600 С. 2016. С. 433-435.

320. Калинин, А. В.Порядковые структуры и свойства решений некоторых классов нелинейных задач математической физики / Калинин А.В., Тюхтина А.А., Изосимова О.А. / Межд. конф. по дифф. уравнениям и динамич. системам. Тез. докл. Суздаль, 8-12 июля 2016 г. М.: МИАН, 286 с.. 2016. С. 81-82.

321. Rare meshes FEM scheme for quasi-stationary electromagnetic fields determination 3D problems / Chekmarev D.T., Kalinin A.V., Sadovskii V.V., Tyukhtina A.A. / 11th Intern.Conf. "Mesh methods for boundary-value problems and applications"IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 158 (2016) 012025 doi:10.1088/1757-899X/158/1/012025. 2016. P. 7.