Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Жидков, Артем Александрович

• Жидков, Артем Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жидков, Артем Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Основные функциональные пространства и их свойства

1.1. Обозначения. Пространства гладких функций и распределений

1.2. Пространства Лебега и пространства Соболева

1.3. Функциональные пространства, содержащие операции векторного анализа

1.4. Некоторые представления векторных полей и Ь^-оценки скалярных произведений вектор-функций

1.5. Некоторые результаты о разрешимости абстрактных уравнений

Глава 2. Начально-краевые задачи определения стационарных и квазистационарных потенциальных полей

2.1. Стационарные задачи определения потенциальных полей

2.2. Квазистационарные задачи определения потенциальных полей

2.3. Итерационный алгоритм для решения квазистационарной задачи

2.4. Обоснование метода Галёркина для приближённого определения скалярного потенциала

Глава 3. Обратная задача граничного наблюдения

3.1. Постановка обратной задачи

3.2. Граничный оператор и его свойства

3.3. Метод двойственной регуляризации

3.4. Сопряжённая задача

112

Глава 4. Некоторые приложения результатов к задачам ат-

мосферного электричества

4.1. Численное моделирование глобальной электрической цепи в атмосфере

4.2. Некоторые результаты численных расчётов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одного класса дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей»

Введение

Актуальность работы. Дифференциальные уравнения с частными производными, содержащие дифференциальные операции векторного анализа используются при моделировании самых разнообразных физических явлений и являются основным математическим аппаратом гидродинамики, механики сплошных сред, теории поля, электромагнитной теории. Решениями таких уравнений являются векторные поля различной физической природы. Исследование таких задач опирается на специальные свойства функциональных пространств, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа, и различные теоремы вложения, в основе которых, как правило, лежат оценки для норм векторных полей в этих пространствах.

В частности, с физической и математической точки зрения одним из важнейших моментов изучения структуры векторного поля является выделение его вихревой и потенциальной составляющих. Основополагающей в этом направлении является работа Г. Вейля [49], в которой впервые было получено ортогональное разложение произвольного векторного поля на прямую сумму ортогональных подпространств соленоидальных и потенциальных полей. В этой работе также впервые были получены оценки для норм векторных полей в функь ; на ъных пространствах, связанных с дифференциальными операциями векторного анализа. Идея ортогонального проектирования и теоремы вложения соответствующих функциональных пространств получили существенное теоретическое развитие и нашли важное применение при изучении различных прикладных задач в работах C.JI. Соболева [180], O.A. Ладыженской [132, 134], Дж.Дж. Хейвуда [11, 12], Г. Дюво, Ж.-Д. Лионса [65], В.А. Солонникова [183], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [152-154], Э.Б. Быховского, Н.В. Смирнова

[42, 43], С.Г. Крейна [123], Р. Темама [190], Ю.А. Дубинского [64], В. Жиро, П.-А. Равьяра [8, 9], Дж. Лере [15-17] и ряда других авторов. Принципиальной основой этих исследований послужила развитая C.J1. Соболевым и его учениками теория обобщённого дифференцирования в пространствах суммируемых функций и концепция обобщённых решений уравнений с частными производными.

В диссертационной работе получены новые Lp-оценки для скалярных произведений векторных полей, находящих применение при изучении систем уравнений, моделирующих различные процессы в неоднородных средах. Эти результаты являются развитием работ A.B. Калинина [110, 111, 116,117], в которых аналогичные оценки были получены для ограниченных областей. В качестве иллюстрации применения полученных оценок изучена задача об определении потенциальных и вихревых полей для стационарной системы уравнений Максвелла.

Различные классы задач для системы уравнений Максвелла, соответствующие интегральные уравнения и методы их решения рассматривались в работах В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова [31, 62, 63, 198], В.П. Ильина [105], Г. Дюво, Ж.-Л. Лионса [65] и других авторов [36, 40, 42, 52, 56, 61, 175, 176, 183].

В диссертационной работе изучаются некоторые постановки задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными об определении потенциальных полей, возникающих, в частности, при исследовании системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении, в котором основным предположением является потенциальность электрического поля, вообще говоря, зависящего от времени. Эта система может быть сведена к дифференциальному уравнению относительно скалярного потенциала, не разрешённому относительно производной по времени, называемому в работах по атмосферному электричеству уравне-

нием глобальной электрической цепи [4, 10, 24, 144]. Это уравнение относится к категории уравнений соболевского типа (также такие уравнения называются псевдопараболическими уравнениями), а соответствующие постановки смешанных задач для этих уравнений — неклассическими задачами математической физики. Впервые неклассические задачи были рассмотрены при изучении гидродинамических явлений в работах C.JI. Соболева [180, 181] и в дальнейшем получили своё развитие в работах В.П. Маслова [155], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [146-151], Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [59, 196, 197], P.E. Шоуолтера [26, 27], А.Г. Свешникова [136] и многих других авторов.

Для исследуемых в работе дифференциальных уравнений для квазистационарных потенциальных полей рассматриваются новые специальные постановки начально-краевых задач, для которых решаются следующие актуальные вопросы. В диссертации с использованием метода ортогонального проектирования обосновываются важные для практических применений результаты о корректности рассматриваемых краевых и начально-краевых задач, формулируется и обосновывается итерационный метод решения, который может быть положен в основу алгоритмов, существенно использующих идею распараллеливания вычислений, обосновывается возможность применения метода Галёркина.

Для рассматриваемых квазистационарных задач в диссертации изучается обратная задача о восстановлении источников по результатам граничного наблюдения. Эта задача относится к разряду некорректных задач и её решение требует формулировки и обоснования регуляризирующих алгоритмов. Теория некорректных задач опирается на классические результаты А.Н. Тихонова [191-193], М.М. Лаврентьева [128, 129] и В.К. Иванова [102, 103], которые получили существенное развитие в работах Ю.С. Осипо-ва [125, 162, 163], A.B. Кряжимского [125, 163], В.И. Дмитриева [7], В.Г. Ро-

манова [170-173], B.B. Васина [30, 47, 48], С.И. Кабанихина [108, 109]. Важные теоретические и актуальные прикладные результаты получены в работах В.И. Агошкова [2, 29], А.Б Бакушинского [34, 35], Ф.П. Васильева [46], A.B. Гончарского [34, 35], A.M. Денисова [6, 60, 61, 198], A.C. Ильинского [106], А.И. Короткого [120-122], В.И. Максимова [141-143], М.М. Потапова [165, 166], А.И. Прилепко [167, 168], М.И. Сумина [185-187], Ю.В. Шесто-палова [106], А.Г. Яголы [135, 200] и других авторов.

В диссертации для решения обратной задачи граничного наблюдения применяется итеративный вариант метода двойственной регуляризации, предложенного и развитого в последние годы в работах М.И. Сумина [185— 187]. Он является основанным на теории двойственности итерационным ре-гуляризирующим алгоритмом условной оптимизации, двойственная задача в котором решается с привлечением метода стабилизации А.Н. Тихонова.

Разработанная в диссертации теоретическая основа использована при реализации вычислительного исследовательского программного комплекса, с использованием которого были получены важные прикладные результаты теории электрических явлений в атмосфере.

Цель диссертационной работы. Целью работы является строгое математическое обоснование корректности краевых и начально-краевых задач для одного класса дифференциальных уравнений с частными производными, возникающего при описании квазистационарных потенциальных полей, изучение свойств решений этих задач и исследование эффективных для построения численных алгоритмов постановок соответствующих прямых и обратных задач.

Научная новизна. Все сформулированные в работе результаты являются новыми и состоят в следующем:

• На основе полученных новых Ьр-оценок для скалярных произведений

векторных полей, исследованы задачи об определении стационарных потенциальных полей в неоднородных неограниченных областях.

• Предложены новые строгие формулировки начально-краевых задач об определении потенциальных полей для одного класса дифференциальных уравнений с частными производными, имеющего прикладное значение.

• Доказаны теоремы о корректности предложенных постановок задач.

• Доказана теорема о стабилизации решений рассматриваемых начально-краевых задач при £ —оо.

• Обоснована возможность применения для решения рассматриваемых начально-краевых задач метода Галёркина.

• Предложен и обоснован итерационный метод решения рассматриваемых начально-краевых задач, который может быть использован при конструировании параллельных алгоритмов.

• Обоснована возможность применения алгоритмов двойственной регуляризации для нахождения нормального решения задачи об определении источников по результатам граничного наблюдения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе постановки краевых и начально-краевых задач для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений с частными производными, теоремы об их разрешимости и свойствах решений, обоснование сходимости некоторых новых алгоритмов их численного решения и регулризованные алгогритмы решения обратных задач. Практическая значимость этих результатов обусловлена возможностью их применения для математического и численного мо-

делирования электромагнитных явлений в атмосфере. В качестве конкретного практического применения полученных результатов можно рассматривать результаты исследований, проведённых с помощью разработанного программного комплекса для решения прикладных задач атмосферного электричества.

Основные результаты диссертационной работы являются частью исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00495-а на 2007-2009 годы и 09-01-97019-р_поволжье_а на 2009-2010 годы), Аналитической целевой ведомственной программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)" Минобрнауки РФ (регистрационные номера 2.1.1/3927 и 2.1.1/13303), Федеральной целевой ведомственной программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2011 годы (шифр проекта НК-13П/13), гранта Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг подведомственными высшими учебными заведениями (проект 1.1907.2011), гранта правительства Российской Федерации (договор № 11.G34.31.0048).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV-X молодёжной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2005-2011 гг.), II, III международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2007, 2009 гг.), XVII, XIX Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2006, 2008 гг.), XI-XV Нижегородской сессии молодых учёных, математические науки (Нижний Новгород, 2006-2010 гг.), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007, 2009 гг.), VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007 г.), VI Российской конференции по атмо-

сферному электричеству (Нижний Новгород, 2007 г.), итоговой конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (Нижний Новгород, 2007 г.), VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2008 г.), X, XI международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, 2008, 2009 гг.), Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009 г.), I молодёжной международной школ е-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009 г.), IV, V Всероссийской молодёжной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 2010, 2011 гг.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.), 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2010 г.), X международной конференции "Будущее технической науки" (Нижний Новгород, 2011 г.), XVI международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 2011 г.), XIV международной конференции по атмосферному электричеству (Рио-де-Жанейро, Бразилия, 2011 г.), 8 международном конгрессе ISAAC (Москва, 2011 г.), международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2011 г.).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Обратные задачи математической физики" в НИВЦ МГУ (рук. проф. А.Б. Баку-шинский, проф. A.B. Тихонравов, проф. А.Г. Ягола), семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. A.C. Антипин, проф. Ф.П. Васильев, проф. М.М. Потапов), расширенном семинаре отдела дифференциальных уравнений и отдела прикладных задач института математики и механики УрО РАН (рук. проф. В.И. Максимов,

проф. А.И. Короткий), семинаре кафедры математической физики ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 44 печатных работах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций.

Публикации в журналах из перечня ВАК

[1] Калинин, А. В. Задача об определении электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, Я5 4. — С. 712-714.

[2] Жидков, А. А. Алгоритм двойственной регуляризации в обратных задачах глобальной электрической цепи / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2011. — Т. 16, вып. 4. — С. 1074-1076.

[3] Жидков, А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011.- № 5 (1). — С. 169-173.

[4] Жидков, А. А. Ьр-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах / А. А. Жидков, А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». - 2012. - № 1. - С. 3-14.

Публикации в других журналах

[1] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений векторных полей в

неограниченных областях / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2007.— № 1. — С. 162-166.

[2] Жидков, А. А. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009.— № 4.— С. 123-129.

[3] Жидков, А. А. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 6. — С. 150-158.

[4] Kalinin, А. V. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains / A. V. Kalinin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // Applied Mathematics.— 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-51.

Тезисы конференций

[1] Жидков, A. A. L2-оценки скалярных произведений векторных полей / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 31. - Казань: 2005. - С. 69-71.

[2] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений и стационарные электромагнитные поля в неоднородных неограниченных областях / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVII». — Воронеж: 2006. — С. 64-65.

[3] Жидков, А. А. Об одной начально-краевой задаче для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении /

А. А. Жидков //XI нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2006. — С. 5-6.

[4] Жидков, А. А. Об одной смешанной задаче для потенциала электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 34. - Казань: 2006. - С. 100-102.

[5] Жидков, А. А. О задаче определения электрического поля в шаровом слое в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: 2007. — С. 80-81.

[6] Жидков, А. А. Теоретический и численный анализ квазистационарной задачи об определении электрического потенциала / А. А. Жидков // XII нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2007. — С. 7-8.

[7] Жидков, А. А. Численное исследование задачи об определении электрических полей в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин //VI Российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. — С. 51-52.

[8] Калинин, А. В. Интегральное тождество для определения электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков //VI Российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. — С. 53-54.

[9] Жидков, А. А. Математическое и численное моделирование электрических полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Труды итого-

вой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства". — Н. Новгород: Изд-во ИНГУ, 2007.-С. 160-163.

[10] Жидков, А. А. Математическое моделирование электромагнитных полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II международной научной конференции. — Воронеж: 2007. — С. 71-72.

[И] Жидков, А. А. Об одной неклассической задаче для скалярного потенциала электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 36. — Казань: 2007. — С. 81-83.

[12] Жидков, А. А. Прямые и обратные задачи в моделях глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XIX». — Воронеж: 2008.- С. 90-91.

[13] Жидков, А. А. Об одном псевдопараболическом уравнении для потенциала электрического поля / А. А. Жидков // XIII нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2008.- С. 5-6.

[14] Жидков, А. А. Вопросы математического и численного моделирования электрических полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Труды VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". — Т. 2. — Н. Новгород: 2008.— С. 340-345.

[15] Жидков, А. А. Вопросы математического моделирования электриче-

ских процессов в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборник докладов и тезисов X международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2008. — С. 70-72.

[16] Жидков, А. А. Смешанная нестационарная задача для функции напряжённости электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 37. — Казань: 2008. — С. 52-54.

[17] Жидков, А. А. Об одной нестационарной задаче для определения электрического поля / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: 2009. - С. 69-70.

[18] Жидков, А. А. Об одном классе обратных задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III международной научной конференции. — Т. 2. — Воронеж: 2009.-С. 133-134.

[19] Жидков, А. А. Об одном классе математических задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения". — Москва: 2009. — С. 143.

[20] Жидков, А. А. О некоторых обратных задачах для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Молодежная международная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Тезисы докладов.— Новосибирск: 2009.-С. 50.

[21] Жидков, А. А. Итерационный алгоритм решения одной задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборник докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 64-65.

[22] Жидков, А. А. Двойственная регуляризация в обратных задачах атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Сборник докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 65-66.

[23] Жидков, А. А. Об одной обратной задаче теории атмосферного электричества / А. А. Жидков // Труды математического центра им. И.И. Лобачевского. - Т. 39. - Казань: 2009. - С. 216-218.

[24] Жидков, А. А. Задача об определении источников электрических токов в атмосфере Земли / А. А. Жидков //IV Всероссийская молодёжная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». — Саров: 2010. — С. 52-53.

[25] Жидков, А. А. Алгоритмы численного решения некоторых классов задач атмосферного электричества / А. А. Жидков // XV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. - Н. Новгород: 2010. - С. 14-15.

[26] Калинин, А. В. Прямые и обратные задачи теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2010. - С. 92-93.

[27] Григорьев, Е. Е. Алгоритмы решения некоторых квазистационар-

ных задач теории атмосферного электричества / Е. Е. Григорьев, А. А. Жидков // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 40. - Казань: 2010. - С. 101-105.

[28] Жидков, А. А. Математическое обоснование некоторых алгоритмов решения прямых и обратных задач теории атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». — Т. 1,- Москва: 2010.- С. 56-58.

[29] Жидков, А. А. Обратная задача граничного наблюдения в теории глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 44. — Казань: 2011. — С. 132-134.

[30] Жидков, А. А. Об аппроксимации гильбертовых пространств и её применении в электромагнитной теории / А. А. Жидков //V Всероссийская молодёжная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». — Саров: 2011. — С. 74-75.

[31] Жидков, А. А. Применение оптимизационных алгоритмов для одного класса обратных задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Материалы XVI международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики». — Нижний Новгород: 2011,- С. 162-165.

[32] Жидков, А. А. Вопросы математического моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере Земли / А. А. Жидков // Труды X международной конференции «Будущее технической науки». — Нижний Новгород: 2011. — С. 376.

[33] Kalinin, A. V. Calculation of different-type clouds in the global atmospheric electric circuit / A. V. Kalinin, E. A. Mareev, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[34] Convective generator in the global electric circuit: Analytical approach and numerical consideration / О. V. Mareeva, E. A. Mareev, A. V. Kalinin, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[35] Some inverse problems in quasi-stationary electromagnetic theory / A. V. Kalinin, M. I. Sumin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications and Computation. — Moscow, Russia: 2011. — P. 294.

[36] Жидков, А. А. Алгоритмы двойственной регуляризации в обратных задачах граничного наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Тезисы докладов международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". — Екатеринбург: 2011.-С. 131-132.

Личный вклад автора. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем А.В. Калининым, соискателю принадлежат доказательства всех утверждений, А.В. Калинину принадлежат постановки задачи, формулировки некоторых утверждений, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой. В работах, выполненных совместно с М.И. Суминым, автору принадлежит доказательство утверждений, обосновывающих возможность применения метода двойственной регуляризации при исследовании конкретных задач. В работах, выполненных сов-

местно с A.A. Тюхтиной, автору принадлежит доказательство теорем и формулировка некоторых утверждений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации 150 страниц. Диссертация содержит б рисунков и 200 наименований литературы.

Краткое содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе представлены необходимые сведения из функционального анализа, определены основные функциональные пространства и сформулированы их свойства, приведены используемые в работе теоремы об ортогональном разложении вектор-функций на потенциальную и вихревую составляющие (пп. 1.1-1.3). В п. 1.4 доказываются новые Lp-оценки скалярных произведений вектор-функций в неограниченных областях. В п. 1.5 приводятся некоторые сведения из теории абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах.

Вторая глава посвящена изучению прямых задач для дифференциальных уравнений с частными производными для определения стационарных и квазистационарных потенциальных полей, возникающих при изучении соответствующих стационарных и квазистационарных приближений для системы уравнений Максвелла. В п. 2.1 доказываются теоремы о существовании и единственности решений об определении стационарных потенциальных полей для соответствующей системы уравнений Максвелла в ограниченных и неограниченных областях. В п. 2.2 доказываются теоремы о корректности задачи об определении квазистационарных полей, исследуется вопрос о стабилизации решения при i^oon регулярность решения. В

п. 2.3 изучается итерационный алгоритм решения квазистационарных задач, в п. 2.4 обосновывается метод Галёркина для приближённого решения таких задач.

В третьей главе обоснована возможность применения метода двойственной регуляризации при решении обратных задач об определении источников по данным граничных наблюдений.

В четвёртой главе обсуждаются результаты некоторых численных расчётов, носящих прикладной характер, выполненных на основе проведённых в диссертации теоретических исследований.

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Жидков, Артем Александрович

Заключение

В диссертационной работе исследованы некоторые стационарные и квазистационарные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными об определении потенциальных полей, находящие своё применение при моделировании различных физических явлений, являющиеся следствием некоторых приближений для системы уравнений Максвелла. Исследованы вопросы корректности рассматриваемых задач в функциональных классах, определённых постановкой задачи, получены новые оценки скалярных произведений вектор-функций в весовых функциональных пространствах, используемые для теоретического обоснования результатов, изучены свойства решений рассматриваемых задач: стабилизация решения при £ -» оо, непрерывная зависимость от параметров задачи, регулярность решения. Предложен итерационный алгоритм определения электрического поля и вихря магнитного поля, обоснована возможность применения метода Галёркина для решения задачи в потенциалах. В диссертации обоснована возможность применения метода двойственной регуляризации для решения обратной задачи граничного наблюдения. Приводятся результаты численных исследований изучаемых уравнений для решения некоторых прикладных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жидков, Артем Александрович, 2012 год

Литература

[1] Adams, R. A. Sobolev Spaces / R. A. Adams.— New York: Academic Press, 1975. - 268 pp.

[2] Agoshkov, V. I. Functional approaches to solving some inverse problems for second-order abstract equations / V. I. Agoshkov //J. Inv. Ill-Posed Problems. - 1995. - Vol. 3, no. 4. - Pp. 259-275.

[3] Bochner, S. Integration von funktionen, deren werte die elemente eines vektorraumes sind / S. Bochner // Fund. Math.— 1933.— Vol. 20.— Pp. 262-276.

[4] Browning, G. L. A global time-dependent model of thunderstorm electricity. Part I. Mathematical properties of the physical and numerical models / G. L. Browning, I. Tzur, R. G. Roble // J. of the Atmospheric Sciences. - 1987. - Vol. 44, no. 15. - Pp. 2166-2177.

[5] Convective generator in the global electric circuit: Analytical approach and numerical consideration / 0. V. Mareeva, E. A. Mareev, A. V. Kalinin, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[6] Denisov, A. M. Uniqueness of solution to an inverse problem for a semilinear system of partial differential equations / A. M. Denisov // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2008. — Vol. 16, no. 7. — Pp. 695-704.

[7] Dmitriev, V. I. Magnetotellurics in the context of the theory of ill-posed problems / V. I. Dmitriev, M. N. Berdichevsky. — Tulsa: Society of Eploration Geophysicists, 2002. — 231 pp.

[8] Girault, V. Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equa-

tions / V. Girault, P.-A. Raviart.— Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1979. — 207 pp.

[9] Girault, V. Finite Element Method for Navier-Stokes Equations. Theory and Applications / V. Girault, P.-A. Raviart. — Berlin - Heidelberg - New York - Tokio: Springer-Verlag, 1986. — 374 pp.

[10] Hays, P. B. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 1. The lower atmosphere / P. B. Hays, R. G. Roble // J. of Geophysical Research. - 1979. - Vol. 84, no. A7. - Pp. 3291-3305.

[11] Heywood, J. G. The exterior nonstationary problem for the Navier-Stokes equations / J. G. Heywood // Acta Math. - 1972. - Vol. 129. - Pp. 11-34.

[12] Heywood, J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow / J. G. Heywood // Acta Math. - 1974. - Vol. 136,- Pp. 443-450.

[13] Kalinin, A. V. Calculation of different-type clouds in the global atmospheric electric circuit / A. V. Kalinin, E. A. Mareev, A. A. Zhidkov // Proceedings of the 14th International Conference on Atmospheric Electricity. — Rio de Janeiro, Brazil: 2011.

[14] Kalinin, A. V. Lp-estimations of vector fields in unbounded domains / A. V. Kalinin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // Applied Mathematics. — 2012. - Vol. 3, no. 1. - Pp. 45-51.

[15] Leray, J. Etude de diverses equations integrals nonlinearies et de quelques problèmes que pose hydrodynamique / J. Leray // J. Math. Pures et Appl. - 1933. - Vol. 12. - Pp. 1-82.

[16] Leray, J. Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace / J. Leray // Acta Math. - 1934. - Vol. 63,- Pp. 193-248.

[17] Leray, J. Essai sur les mouvements plan d'un liquide visqueux que limitent

des psrois / J. Leray //J. Math. Pures et Appl — 1934.— Vol. 13.— Pp. 331-418.

[18] Mareev, E. A. Global electric circuit as an open dissipative system / E. A. Mareev, S. V. Anisimov // Proe. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity. - Versailes: 2003. - Pp. 797-800.

[19] Morozov, V. N. The influence of convective current generator on the global current / V. N. Morozov // Nonlin. Processes Geophys. — 2006. — Vol. 13.-Pp. 243-246.

[20] Necas, J. Les Méthodes Directes en Théorie des Equations Elliptiques / J. Necas. — Paris: Masson, 1967.

[21] Nedelec, J. C. Mixed finite elements in R3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. - 1980. - Vol. 35. - Pp. 315-341.

[22] Partial Differential Equations / Ed. by L. C. Evans. — Providence: AMS, 1998. - 662 pp.

[23] Planetary Atmospheric Electricity / Ed. by F. Leblanc, K. Aplin, Y. Yair et al. — New York: Springer, 2008. — 534 pp.

[24] Roble, R. G. A quasi-static model of global atmospheric electricity. 2. Electrical coupling between the upper and lower atmosphere / R. G. Roble, P. B. Hays // J. of Geophysical Research. — 1979,— Vol. 84, no. A12.— Pp. 7247-7256.

[25] Schwartz, L. Théorie des distributions / L. Schwartz. — Paris: Hermann, 1951.- 169 pp.

[26] Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31, no. 3. - Pp. 787-793.

[27] Showalter, R. E. Local regularity of solutions of Sobolev-Galpern diffe-

rential equations / R. E. Showalter // Pacif. J. Math. - 1970. — Vol. 34, no. 3. - Pp. 781-787.

[28] Some inverse problems in quasi-stationary electromagnetic theory / A. V. Kalinin, M. I. Sumin, A. A. Tyukhtina, A. A. Zhidkov // The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications and Computation. — Moscow, Russia: 2011. — P. 294.

[29] Агошков, В. И. Методы оптимального управления и сопряжённых уравнений в задачах математической физики / В. И. Агошков. — М.: ИВМ РАН, 2003. - 256 с.

[30] Алгоритмы решения прямой и обратной задач наклонного радиозондирования ионосферы / A. JI. Агеев, Т. В. Антонова, Э. Н. Бессонова и др. // Матем. моделирование. — 2002. — Т. 14, № 11. — С. 23-32.

[31] Александров, А. П. О задаче Коши для уравнений Максвелла в анизотропной проводящей среде / А. П. Александров, В. Дмитриев // Вин. методы и программирование. — 1975. — Т. 24. — С. 23-37.

[32] Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

[33] Вайокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства / К. Вайокки, А. Капело. — М.: Наука, 1988. — 448 с.

[34] Бакушинский, А. Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский.— М.: Наука, 1989. — 130 с.

[35] Бакушинский, А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. — М.: Изд-во МГУ, 1989.- 199 с.

[36] Березовский, А. А. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики проводящих сред / А. А. Березовский, Т. А. Плотницкий // Краевые задачи электродинамики проводящих сред. — Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1976.- С. 139-148.

[37] Берс, Л. Уравнения с частными производными / J1. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. - М.: Мир, 1966. - 351 с.

[38] Бесов, О. В. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин // Мат. сборник. — 1968. — Т. 75, № 4. - С. 483-495.

[39] Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М.: Наука, 1975. - 480 с.

[40] Бирман, М. Ш. ^-теория оператора Максвелла в произвольных областях / М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк // Успехи мат. наук. — 1987. — Т. 42, №6.-С. 61-76.

[41] Бремерман, Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье / Г. Бремерман. — М.: Мир, 1968. — 276 с.

[42] Быховский, Э. Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально-проводящей границы / Э. Б. Быховский // Вестник ЛГУ. - 1957. - № 13. - С. 50-66.

[43] Быховский, Э. Б. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области и операторах векторного анализа / Э. Б. Быховский, Н. В. Смирнов // Труды МИАН СССР. - 1960. - Т. 59. - С. 5-36.

[44] Васильев, Ф. П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

[45] Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

[46] Васильев, Ф. П. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны / Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов // Вестник Московского университета. Сер. ВМК. - 1993. - № 3. - С. 8-15.

[47] Васин, В. В. Итерационные методы решения некорректных задач с априорной информацией в гильбертовых пространствах / В. В. Васин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 1988. — Т. 28, № 7.-С. 971-980.

[48] Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией /

B. В. Васин, А. Л. Агеев. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 263 с.

[49] Вейль, Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала / Г. Вейль // Математика. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1984. —

C. 275-307.

[50] Владимиров, В. С. Обобщённые функции в математической физике / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1976.- 280 с.

[51] Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас. — М.: Мир, 1978.- 336 с.

[52] Галанин, М. П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах / М. П. Галанин, Ю. П. Попов. — М.: Наука, 1995. — 320 с.

[53] Галлагер, Р. Метод конечных элементов / Р. Галлагер.— М.: Мир, 1984. - 428 с.

[54] Гальперн, С. А. Задача Коши для уравнения С.Л. Соболева / С. А. Гальперн // Сиб. мат. журнал. - 1963. - Т. 4, № 4. — С. 758-773.

[55] Григорьев, Е. Е. Алгоритмы решения некоторых квазистационарных задач теории атмосферного электричества / Е. Е. Григорьев,

A. А. Жидков // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 40. - Казань: 2010. - С. 101-105.

[56] Гудович, И. С. Краевые задачи для уравнений Максвелла / И. С. Гу-дович, С. Г. Крейн, И. М. Куликов // Доклады АН СССР. - 1972.Т. 207, № 2. - С. 321-324.

[57] Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. - 535 с.

[58] Дезин, А. А. Неклассические граничные задачи / А. А. Дезин,

B. Н. Масленикова // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды конф., посвящённой 60-летию акад. С.Л. Соболева. - М.: Наука, 1970. - С. 81-95.

[59] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 456 с.

[60] Денисов, А. М. Интегро-фунциональные уравнения для задачи определения источника в волновом уравнении / А. М. Денисов // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 9. — С. 1155-1165.

[61] Денисов, А. М. Обратная задача для математических моделей возбуждения сердца / А. М. Денисов, В. В. Калинин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2010. — Т. 50, № 3. — С. 539-543.

[62] Дмитриев, В. И. Электромагнитные поля в неоднородных средах /

В. И. Дмитриев. - М.: Изд-во МГУ, 1969.- 131 с.

[63] Дмитриев, В. И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. — М.: МАКС Пресс, 2008.- 312 с.

[64] Дубинский, Ю. А. Об одном ортогональном разложении соболевских пространств и краевой задаче типа задачи Стокса / Ю. А. Дубинский // Доклады РАН. - 2000. - Т. 373, № 6. - С. 727-730.

[65] Дюво, Р. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. — М.: Наука, 1980.-384 с.

[66] Жидков, А. А. Ьг-оценки скалярных произведений векторных полей / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 31. - Казань: 2005. - С. 69-71.

[67] Жидков, А. А. Об одной начально-краевой задаче для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков //XI нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2006. — С. 5-6.

[68] Жидков, А. А. Об одной смешанной задаче для потенциала электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 34. - Казань: 2006. - С. 100-102.

[69] Жидков, А. А. Об одной неклассической задаче для скалярного потенциала электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 36. — Казань: 2007. — С. 81-83.

[70] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2007. — № 1. — С. 162-166.

[71] Жидков, А. А. Теоретический и численный анализ квазистационарной задачи об определении электрического потенциала / А. А. Жидков // XII нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2007. — С. 7-8.

[72] Жидков, А. А. Об одном псевдопараболическом уравнении для потенциала электрического поля / А. А. Жидков // XIII нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2008,- С. 5-6.

[73] Жидков, А. А. Смешанная нестационарная задача для функции напряжённости электрического поля / А. А. Жидков // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 37. — Казань: 2008. — С. 52-54.

[74] Жидков, А. А. Об одной обратной задаче теории атмосферного электричества / А. А. Жидков // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 39. - Казань: 2009. - С. 216-218.

[75] Жидков, А. А. Алгоритмы численного решения некоторых классов задач атмосферного электричества / А. А. Жидков // XV нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород: 2010. — С. 14-15.

[76] Жидков, А. А. Задача об определении источников электрических токов в атмосфере Земли / А. А. Жидков //IV Всероссийская молодёжная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». — Саров: 2010. — С. 52-53.

[77] Жидков, А. А. Вопросы математического моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере Земли / А. А. Жидков // Труды X международной конференции «Будущее технической науки». — Ниж-

ний Новгород: 2011. — С. 376.

[78] Жидков, А. А. О непрерывной зависимости решений от данных задачи для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 5 (1). — С. 169-173.

[79] Жидков, А. А. Об аппроксимации гильбертовых пространств и её применении в электромагнитной теории / А. А. Жидков // V Всероссийская молодёжная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». — Саров: 2011. — С. 74-75.

[80] Жидков, А. А. Обратная задача граничного наблюдения в теории глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Т. 44. — Казань: 2011.-С. 132-134.

[81] Жидков, А. А. Оценки скалярных произведений и стационарные электромагнитные поля в неоднородных неограниченных областях / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVII». — Воронеж: 2006. — С. 64-65.

[82] Жидков, А. А. Математическое и численное моделирование электрических полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства". — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - С. 160-163.

[83] Жидков, А. А. Математическое моделирование электромагнитных полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: ма-

териалы II международной научной конференции. — Воронеж: 2007. — С. 71-72.

[84] Жидков, А. А. О задаче определения электрического поля в шаровом слое в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: 2007. — С. 80-81.

[85] Жидков, А. А. Численное исследование задачи об определении электрических полей в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин // VI Российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. — С. 51-52.

[86] ЖидковА. А. Вопросы математического и численного моделирования электрических полей в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Труды VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". — Т. 2. — Н. Новгород: 2008. — С. 340-345.

[87] Жидков, А. А. Вопросы математического моделирования электрических процессов в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборник докладов и тезисов X международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2008. — С. 70-72.

[88] Жидков, А. А. Прямые и обратные задачи в моделях глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XIX». — Воронеж: 2008.-С. 90-91.

[89] Жидков, А. А. Итерационный алгоритм решения одной задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Сборник

докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 64-65.

[90] Жидков, А. А. Корректность одной математической задачи атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — № 4. — С. 123-129.

[91] Жидков, А. А. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2009.— № 6. — С. 150-158.

[92] Жидков, А. А. Об одной нестационарной задаче для определения электрического поля / А. А. Жидков, А. В. Калинин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. — Воронеж: 2009. - С. 69-70.

[93] Жидков, А. А. Двойственная регуляризация в обратных задачах атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Сборник докладов и тезисов XI международного семинара "Супервычисления и математическое моделирование". — Саров: 2009. — С. 65-66.

[94] Жидков, А. А. О некоторых обратных задачах для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Молодежная международная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Тезисы докладов. — Новосибирск: 2009.-С. 50.

[95] Жидков, А. А. Об одном классе математических задач атмосферно-

го электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения". — Москва: 2009. — С. 143.

[96] Жидков, А. А. Об одном классе обратных задач атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы III международной научной конференции. — Т. 2. — Воронеж: 2009. - С. 133-134.

[97] Жидков, А. А. Математическое обоснование некоторых алгоритмов решения прямых и обратных задач теории атмосферного электричества / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». - Т. 1. — Москва: 2010. - С. 56-58.

[98] Жидков, А. А. Алгоритм двойственной регуляризации в обратных задачах глобальной электрической цепи / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2011.— Т. 16, вып. 4.— С. 1074-1076.

[99] Жидков, А. А. Алгоритмы двойственной регуляризации в обратных задачах граничного наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном электрическом приближении / А. А. Жидков, А. В. Калинин, М. И. Сумин // Тезисы докладов международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". — Екатеринбург: 2011.-С. 131-132.

[100] Жидков, А. А. Применение оптимизационных алгоритмов для одного

класса обратных задач атмосферного электричества / А. А. Жидков,

A. В. Калинин, М. И. Сумин // Материалы XVI международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики». — Нижний Новгород: 2011.-С. 162-165.

[101] Жидков, А. А. ¿р-оценки векторных полей в неограниченных областях и некоторые задачи электромагнитной теории в неоднородных средах / А. А. Жидков, А. В. Калинин, А. А. Тюхтина // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». — 2012. — № 1. — С. 3-14.

[102] Иванов, В. К. О линейных некорректных задачах / В. К. Иванов // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 145, № 2. - С. 270-272.

[103] Иванов; В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Матем. сб. - 1963. - Т. 61, № 2. - С. 211-223.

[104] Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задачи и её приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

[105] Ильин, В. П. Численные методы решения задач электрофизики /

B. П. Ильин. - М.: Наука, 1985. - 336 с.

[106] Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов.— М.: Изд-во МГУ, 1989.

[107] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[108] Кабанихин, С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений / С. И. Кабанихин. — Новосибирск: Наука, 1988. — 167 с.

[109] Кабанихин, С. И. Акустическое зондирование методами линеаризации и обращения волнового поля / С. И. Кабанихин, М. А. Шишле-нин // Сиб. электрон, матем. известия. — 2010. — Т. 7. — С. 199-206.

[110] Калинин, А. В. Некоторые оценки теории векторных полей / А. В. Калинин // Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 1997. — Т. 20, № 1.-С. 32-38.

[111] Калинин, А. В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике / А. В. Калинин. — Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007.- 319 с.

[112] Калинин, А. В. Задача об определении электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, № 4. — С. 712-714.

[113] Калинин, А. В. Интегральное тождество для определения электрического потенциала в квазистационарном электрическом приближении / А. В. Калинин, А. А. Жидков //VI Российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник трудов. — Н. Новгород: 2007. — С. 53-54.

[114] Калинин, А. В. Прямые и обратные задачи теории атмосферного электричества / А. В. Калинин, А. А. Жидков // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — М.: МИАН, 2010.— С. 92-93.

[115] Калинин, А. В. Квазистационарные начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла / А. В. Калинин, А. А. Калинкина //

Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 2003. — № 1. — С. 21-38.

[116] Калинин, А. В. Ьр-оценки векторных полей / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Известия вузов. Математика. — 2004. - № 3. -С. 26-35.

[117] Калинин, А. В. Ьр-оценки скалярных произведений векторных полей / А. В. Калинин, А. А. Калинкина // Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Математика. — 2004. — № 1. — С. 104-115.

[118] Калинин, А. В. Система уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении / А. В. Калинин, С. Ф. Морозов // Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 2001. — № 1. — С. 97-106.

[119] Канторович, Л. В. Функциональный анализ / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, 1984. - 752 с.

[120] Короткий, А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределёнными параметрами / А. И. Короткий // Изв. вузов. Ма-meM.~mb.~W 11 (402).- С. 101-124.

[121] Короткий, А. И. Восстановление параметров системы Навье-Сток-са / А. И. Короткий // Труды ИММ УрО РАН. - 2005. - Т. 11, № 1. -С. 122-138.

[122] Короткий, А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов // Труды ИММ УрО РАН.- 2006.- Т. 12, № 2.-С. 88-97.

[123] Крейн, С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики / С. Г. Крейн // Доклады АН СССР.—

1953. - T. 93, № 6. - С. 969-972.

[124] Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — М.: Наука, 1967. — 464 с.

[125] Кряжимский, А. В. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем / А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов // Труды МИАНим. В. А. Стеклова. — 1988. — Т. 185. - С. 126-146.

[126] Кулон, Ж.-Л. САПР в электротехнике / Ж.-Л. Кулон, Ж.-К. Сабон-надьер. - М.: Мир, 1988. - 208 с.

[127] Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. - М.-Л.: ГТТИ, 1945. - Т. 2. - 620 с.

[128] Лаврентьев, M. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / M. М. Лаврентьев. — Новосибирск: СО АН СССР, 1962.- 91 с.

[129] Лаврентьев, M. М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений / M. М. Лаврентьев. — Новосибирск: СО АН СССР, 1973. - 71 с.

[130] Лаврентьев, M. М. О восстановлении правой части параболического уравнения / M. М. Лаврентьев, В. И. Максимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2008. — Т. 48, № 4. — С. 674-680.

[131] Ладыженская, О. А. Исследование уравнений Навье-Стокса в случае стационарного движения вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская // Успехи мат. наук. — 1959. — Т. 14, № 3. — С. 75-98.

[132] Ладыженская, О. А. Об однозначной разрешимости в целом трёхмерной задачи Коши для уравнения Навье-Стокса при наличии осевой симметрии / O.A. Ладыженская / / Записки научного семинара

ЛОМИ. - 1968. - № 7. - С. 155-177.

[133] Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

[134] Ладыженская, О. А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщённых постановках краевых задач для уравнений Навье-Стокса / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников // Записки научного семинара ЛОМИ. - 1976. - Т. 59, № 9. - С. 81-116.

[135] Леонов, А. С. Адаптивные оптимальные алгоритмы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями / А. С. Леонов, А. Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2001. - Т. 41, № 6. - С. 855-873.

[136] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

[137] Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес, — М.: Мир, 1971. — 371 с.

[138] Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Лю-стерник, В. И. Соболев. — М.: Наука, 1965. — 520 с.

[139] Мазья, В. Г. Р-проводимость и теоремы вложения некоторых функциональных пространств в пространство С / В. Г. Мазья // Доклады АН СССР. - 1961. - Т. 140, № 2. - С. 299-302.

[140] Мазья, В. Г. Пространства С.Л. Соболева / В. Г. Мазья. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 416 с.

[141] Максимов, В. И. Численное решение некоторых обратных задач теплопроводности / В. И. Максимов // Автоматики и телемеханика. —

1993. — № 2.- С. 83-92.

[142] Максимов, В. И. Конечномерная аппроксимация входов в параболических вариационных неравенствах / В. И. Максимов // Труды МИ-АН. - 1995. - Т. 211. - С. 326-337.

[143] Максимов, В. И. Об отслеживании эталонного решения управляемой системы уравнений фазового поля / В. И. Максимов // Труды МИ-АН. - 2010. - Т. 271. - С. 148-158.

[144] Мареев, Е. А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи / Е. А. Мареев // УФК — 2010. — Т. 180, № 5. — С. 527-534.

[145] Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Мар-чук, В. И. Агошков. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

[146] Масленникова, В. Н. Оценки в Ьр и асимптотика при t —»• оо решения задачи Коши для системы Соболева / В. Н. Масленникова // Труды МИАН СССР. - 1968. - Т. 103. - С. 107-141.

[147] Масленникова, В. Н. Явные представления и априорные оценки решения граничных задач для системы Соболева / В. Н. Масленникова // Сиб. мат. журнал. - 1968. - Т. 9, № 5. — С. 1182-1198.

[148] Масленникова, В. Н. О скорости убывания при большом времени решения системы Соболева с учётом вязкости / В. Н. Масленникова // Мат. сборник. - 1973. - Т. 92, № 4. - С. 589-610.

[149] Масленникова, В. Н. Системы Соболева в случае двух пространственных переменных / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Доклады АН СССР. - 1975. - Т. 221, № 3. - С. 563-566.

[150] Масленникова, В. Н. О системах Соболева с тремя пространственны-

ми переменными / В. Н. Масленникова, M. Е. Боговский // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара акад. С.Л. Соболева. - 1976. - № 2. - С. 49-68.

[151] Масленникова, В. Н. Асимптотическое поведение решений краевых задач для системы уравнений Соболева в полупространстве и явление погранслоя / В. Н. Масленникова, M. Е. Боговский // Математический анализ и смежные вопросы математики. — Новосибирск: Наука, 1978. - С. 109-152.

[152] Масленникова, В. Н. О плотности финитных соленоидальных векторных полей / В. Н. Масленникова, M. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1978. - Т. 19, № 5. - С. 1092-1108.

[153] Масленникова, В. Н. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей / В. Н. Масленникова, M. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1981. - Т. 22, № 3. - С. 91-118.

[154] Масленникова, В. Н. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей / В. Н. Масленникова, M. Е. Боговский // Сиб. мат. журнал. - 1983. - Т. 24, № 5. - С. 159-171.

[155] Маслов, В. П. О существовании убывающего при t оо решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области / В. П. Маслов // Сиб. мат. журнал. — 1968. - Т. 9, № 6. - С. 1351-1359.

[156] Мину, М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы / М. Мину. — М.: Наука, 1990. — 488 с.

[157] Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. — М.: Наука, 1976. — 391 с.

[158] Морозов, В. А. Регулярные методы решений некорректно поставлен-

ных задач / В. А. Морозов. — М.: Наука, 1987. — 240 с.

[159] Морозов, В. Н. Распределение электрического поля, создаваемого нестационарным током заряжения грозового облака в атмосфере с неоднородной электрической проводимостью / В. Н. Морозов // Прикладная метеорология. — 2006. — № 5 (777). — С. 51-67.

[160] Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

[161] Обэн, Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн. - М.: Мир, 1977. - 383 с.

[162] Осипов, Ю. С. Основы методы динамической регуляризации / Ю. С. Осипов, Ф. П. Васильев, М. М. Потапов. — М.: Изд-во МГУ, 1999. - 237 с.

[163] Осипов, Ю. С. Некоторые алгоритмы динамического посстановления входов / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский, В. И. Максимов // Труды ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 1. - С. 129-161.

[164] Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974. — 332 с.

[165] Потапов, М. М. Об оценках точности методов регуляризации в задачах квадратичной минимизации на полупространстве / М. М. Потапов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2004. — Т. 44, № 2. - С. 255-264.

[166] Потапов, М. М. Приближённое решение задачи граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня / М. М. Потапов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2005. — Т. 45, № 6.- 0. 1015-1032.

[167] Прилепко, А. И. Существование решений обратных задач теории потенциала / А. И. Прилепко // Доклады АН СССР. - 1971.- Т. 199, № 1.-С. 30-32.

[168] Прилепко, А. И. Обратные задачи теории потенциала / А. И. Прилепко // Шатаем, заметки. - 1973. — Т. 14, К® 5. — С. 755-765.

[169] Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. - М.: Мир, 1985. — 590 с.

[170] Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. — М.: Наука, 1984. — 262 с.

[171] Романов, В. Г. Оценка устойчивости решения трёхмерной обратной задачи для системы уравнений Максвелла / В. Г. Романов // Сиб. матем. журн. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1347-1364.

[172] Романов, В. Г. Оценка устойчивости решения в обратной задаче электродинамики / В. Г. Романов // Сиб. матем. журн. — 2011.— Т. 52, № 4. - С. 861-875.

[173] Романов, В. Г. Исследование математической модели электромагнитного зонда в осесимметричной скважине / В. Г. Романов, С. И. Кабани-хин, М. А. Шишленин // Сиб. электрон, матем. известия. — 2010. — Т. 7.-С. 307-321.

[174] Самарский, А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1987.- 269 с.

[175] Самохин, А. Б. Метод решения внутренних задач электродинамики / А. Б. Самохин // Дифференциальные уравнения.— 1997. — Т. 33, №9.-С. 1291-1292.

[176] Самохин, А. Б. Интегральные уравнения для нестационарных задач

электродинамики в материальных средах / А. Б. Самохин // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, К2 9. — С. 1288-1290.

[177] Слободецкий, Л. Н. Обобщённые пространства C.JI. Соболева и их приожение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных / JI. Н. Слободецкий // Учёные записки ЛГПИ им. А.И. Герцена.- 1958.- Т. 197,- С. 54-112.

[178] Соболев, С. Л. О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. - 1936. - Т. 1. - С. 267-270.

[179] Соболев, С. Л. Об одной теореме функционального анализа / С. Л. Соболев // Мат. сборник. - 1938. - Т. 4, № 3. - С. 471-497.

[180] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче для системы уравнений в частных производных / С. Л. Соболев // Доклады АН СССР. — 1951. — Т. 81, №6.-С. 1007-1009.

[181] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Известия АН СССР. Сер. Математическая.— 1954.-Т. 18, № 1.-С. 3-50.

[182] Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев; Под ред. О. А. Олейник. — М.: Наука, 1988.- 336 с.

[183] Солонников, В. А. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики / В. А. Солонников // Труды МИ АН СССР. — 1960.-Т. 59.-С. 174-187.

[184] Сравнительный анализ двух методов расчета электромагнитных полей в прискважинном пространстве нефтегазовых коллекторов / М. И. Эпов, С. И. Кабанихин, В. Л. Миронов и др. // Сиб. журн.

индустр. математики. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 132-138.

[185] Сумин, М. И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2004. - Т. 44, № 11. - С. 2001-2019.

[186] Сумин, М. И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2007. — Т. 47, № 4. - С. 602-625.

[187] Сумин, М. И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования / М. И. Сумин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2007. — Т. 47, № 5. — С. 796-816.

[188] Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980.- 512 с.

[189] Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. — М.: Наука, 1989.- 616 с.

[190] Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

[191] Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153, № 1. —С. 49-52.

[192] Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР.- 1963,- Т. 151, № 3,-С. 501-504.

[193] Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,

B. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

[194] Толмачев, В. В. Термодинамика и электродинамика сплошной среды / В. В. Толмачев, А. М. Головин, В. С. Потапов.— М.: Изд-во МГУ, 1988.- 232 с.

[195] Успенский, С. В. О теоремах вложения для весовых классов /

C. В. Успенский // Труды Мат. ин-та АН СССР. - 1961.- Т. 60.-С. 282-303.

[196] Успенский, С. В. О поведении на бесконечности решений одной задачи С.Л. Соболева / С. В. Успенский, Г. В. Демиденко // Сиб. мат. журнал. - 1983. - Т. 24, № 5. - С. 199-210.

[197] Успенский, С. В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С. В. Успенский, Г. В. Демиденко, В. Г. Пере-пелкин. — Новосибирск: Наука, 1984. — 223 с.

[198] Численное решение обратной задачи электрокардиографии для среды с кусочно-постоянным коэффициентом электропроводности / А. М. Денисов, Е. В. Захаров, А. В. Калинин, В. В. Калинин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 2010. — Т. 50, № 7. — С. 1233-1239.

[199] Эрроу, К. Д. Исследования по линейному и нелинейному программированию / К. Д. Эрроу, Л. Гурвиц, X. Удзава. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. — 336 с.

[200] Ягола, А. Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах / А. Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 1980. — Т. 20, № 3. — С. 586-596.