Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич

• Неделько, Илья Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич

Оглавление

Введение

Краткое содержание работы

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости

§1. Основные обозначения

§2. Принципы максимума и сравнения

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи

§4. Теорема существования решения параболической задачи

§5. Теорема об асимптотической устойчивости

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых

задач

§1. Формулировка основных результатов

§2. Доказательство теоремы (2.1)

§3. Доказательство теоремы (2.2)

Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность

решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач

§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае

§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае

§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях

§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными

слоями

§5. Погранслойные решения

Литература

о

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями»

Введение.

В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название "контрастные структуры" [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).

Контрастная структура типа ступеньки (КСТС), а именно о таких контрастных структурах пойдет речь в данной работе, характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых кривых, лежащих внутри области определения КСТС) в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня.

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций. Для одномерных задач это сделано в [1-4] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [4-6]. Обширная библиография содержится в [4].

В [5] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах [7-10] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [7-10] и [4]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. Методы, использованные в [7-10] не удается применить для многомерных задач, о которых идет речь в данной работе.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет исследовать области влияния (устойчивых) решений, а также находить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай).

Используемый метод позволил обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность контрастных структур типа ступеньки (при условиях, обеспечивающих построение упорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемых задач достаточно высокого порядка точности по малому параметру), а также решений без внутренних переходных слоев, т. е. (чисто) погранслойных решений (ПР), и получить информацию об их областях влияния, причем как в случае задач с условиями Дирихле, так и в случае задач с условиями Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор рассматриваемой задачи (ЛО) формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными Л О получены еще и оценки собственных значений этих ЛО.

Отметим, что сходные результаты по областям влияния (устойчивых) КСТС и ПР для одномерных задач (другим методом) были получены в [11,12]. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность многомерных ПР в случае, когда ЛО является формально самосопряженным следуют из оценки главного собственного значения этого ЛО, полученной (другим методом) в [13].

Следует также отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований. Подчеркнем, что все только что сказанное относится именно к двумерному случаю. В одномерном случае доказательство существования КС,ТС удается провести при более слабых требованиях [1], причем при этих ослабленных требованиях такое решение может оказаться неустойчивым [4],[7-10].

Краткое содержание работы.

о

В главе 1 доказаны теоремы существования решений нелинейных эллиптических и параболических задач (теоремы (1.1) и (1.2)) в случаях, когда существуют негладкие на некоторых кривых верхнее и нижнее решения. Эти теоремы являются обобщением известных теорем существования для случая гладких верхнего и нижнего решений. Кроме того, в заключительном параграфе главы 1 приведены определения асимптотической (С-С)-устойчивости и области влияния стационарного решения, а также теорема о достаточных условиях асимптотической (С-С)-устойчивости (теорема (1.3)). Результаты главы 1 носят вспомогательный характер.

В главе 2 приведен общий метод доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности сингулярно возмущенных задач (его главные утверждения — теоремы (2.1) и (2.2)), являющейся одним из основных результатов работы (см. Введение).

В главе 3 результаты главы 2 применяются для доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности контрастных структур типа ступеньки (при различных условиях) и погранслойных решений, возникающих в сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических краевых задачах, рассматриваемых в двумерной ограниченной области. Основные результаты главы 3 (теоремы (3.2),(3.4),(3.5)-(3.8)) содержат также утверждения об областях влияния исследуемых решений и оценки собственных значений линеаризованных на этих решениях операторов рассматриваемых задач.

В данной работа для нумерации формул принята десятичная система: первая цифра — номер главы, а цифры после точки — порядковый номер формулы в данной главе. Аналогичным образом нумеруются леммы, теоремы и следствия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неделько, Илья Витальевич, 1999 год

Литература.

[1] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

[2] Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

[3] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

[4] Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Автоматика и телемеханика. 1997. N 7. С. 4-32.

[5] Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

[6] Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719-722.

[7] Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114-123.

[8] Васильева А.Б., Никитин А.Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N 2. С. 61-71.

[9] Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems // J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212-242.

[10] Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers // Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367-405.

[11] Васильева А. Б., Бутузова M. В. Об устойчивости стационарных решений с пограничными и внутренними слоями // Математические методы и их приложения. (Труды третьих математических чтений МГСУ 24-29 января 1995). М.: МГСУ. 1995. С. 81-86.

[12] Васильева А. Б. Об области влияния стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 6. С. 874-883.

[13] Fife Р. С. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. N 3. P. 205-232.

[14] Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

[15] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

[16] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

[17] Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979-1001.

[18] Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971 V. 21. N 2. P. 125-146.

[19] Amann H. Existence and stability of solutions for semilinear parabolic systems and applications to some diffusion reaction equations // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1978. V. 81. N 1. P. 35-47.

[20] Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear analysis: Collections of Papers in Honor of Eric Rothe. New York: Academic Press, 1978. P. 1-29.

[21] Ильин A. M., Калашников А. С. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 3-146.

[22] Amann Н. Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems. In "Nonlinear Operators and the Calculus of Variations", Lecture Notes in Mathematics, V. 543, P. 1-55. Springer-Verlag, Berlin and New-York, 1976.

[23] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

[24] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

[25] Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

[26] Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

[27] Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Доклады РАН. 1999. Т. 366. N 3. С 1-4.

О

[28] Бутузов В.Ф., Неделы^о И.В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 135-136.

[29] Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости контрастных структур // Дифферент уравнения. 1998. Т. 34. N 6. С. 852-853.

[30] Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости многомерных контрастных структур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 1-6.