Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Давыдова, Марина Александровна

• Давыдова, Марина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давыдова, Марина Александровна

Введение.

Глава 1. Нелинейное сингулярно возмущенное уравнение второго порядка.

§ 1. Контрастная структура типа ступеньки.

§2. Контрастная структура типа всплеска.

§3. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае. Приложение 1.

Глава 2. Нелинейная система сингулярно возмущенных уравнений первого порядка.

§ 1. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в некритическом случае.

§2. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в критическом случае. Приложение 2.

Глава 3. Квазилинейное сингулярно возмущенное уравнение второго порядка.

§ 1. Существование погранслойного решения.

§2. Контрастная структура типа ступеньки. Приложение 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных системах»

В последнее время, в связи с потребностями некоторых прикладных областей (химическая кинетика, теория полупроводников, нелинейная оптика, математическая биофизика и т. д.), возрос интерес к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных (сингулярно возмущенные системы). В общем случае нелинейность системы затрудняет точное решение задачи и выражение решения через известные функции или квадратуры от них. Однако, благодаря наличию малых параметров, удается применить асимптотические методы при изучении ряда задач. Так, используя метод пограничных функций [4], во многих случаях можно построить асимптотику погранслойных решений и доказать существование этих решений.

В основе метода пограничных функций лежит идея о построении асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи по малому параметру, близкого к решению вырожденной задачи во внутренних точках области и удовлетворяющего граничным условиям за счет введения в асимптотику, так называемых, пограничных функций, которые экспоненциально малы внутри области. Благодаря своей простоте метод является весьма эффективным в отношении исследования широкого класса задач, начиная с простейших задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и заканчивая весьма сложными задачами для уравнений в частных производных [22]. Более того, этот метод применим для изучения особого класса решений - контрастных структур [1,2].

Контрастной структурой называется такое решение сингулярно возмущенной краевой задачи, которое помимо пограничных слоев, локализованных в окрестности границы, обладает внутренним слоем, локализованным в окрестности одной из внутренних точек области. Ряд результатов по теории контрастных структур получен в [2, 6, 7, 22, 26].

Предметом изучения в настоящей диссертации явились контрастные структуры, возникающие в системе двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнении первого порядка, а также в нелинейных уравнениях второго порядка, содержащих малые параметры при первой и второй производных.

Перечислим основные цели работы.

1. Применение метода пограничных функций для построения формальной асимптотики решений в виде контрастных структур в случае: а) сингулярно возмущенного нелинейного уравнения второго порядка, содержащего малый параметр // при первой производной и малый параметр ц2 при второй производной (некритический и критический случаи, а также случай решения типа всплеска); б) системы двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка (некритический и критический случаи); в) квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром /и2 при второй производной и малым параметромл[/и при первой производной.

2. Выявление зависимости типа контрастной структуры от особенностей системы и демонстрация этой зависимости на конкретных примерах.

3. Доказательство существования решений и оценка остаточных членов асимптотик.

Диссертация содержит три главы.

Рассмотрим задачу а2у" = Г(м>',у,х), 0 < х < 1, у(а,е,м) = у°, у{Ъ,£,/и)=у

0) где £ > 0, // > 0 - малые параметры.

Если ¡и = 0, то для такой задачи известно асимптотическое разложение по параметру £ как для решения, не имеющего внутренний переходной слой, так и для решения имеющего внутренний переходной слой (контрастная структура) (см. [1], [2]).

В первой главе исследуется задача (1) при ¡л = е, у" = У = 0: иг' = Р(г,у,х), /иу' = г, а<х<Ъ,

1а) у(а,/л) = 0, уф,ц) = 0.

В этом случае также можно построить асимптотическое разложение решения типа контрастной структуры по малому параметру ¡л : (г) + Лй*Ал (Г) + П02П (т6) + + //П^" (г,) +. + (х) + /¿ИП„2Л (та) + МП<2УД (Г) + /|"П пги(ть) + 0(М"+1),

2) х, //) = (х) + Мл'п (х) + П0^л(го) + /^П^л (та) + во УАЛ (О + (?) + П0^П (*ь) + МП]Уп(ть) + . + м"у^П(х) + М"ПпуА(га) + М"дУ'п(т) + + Мпипуп(т/,) + 0(м"%

Разложения (2) содержат регулярную часть, пограничные функции по переменным та =(х-а)/л~\ ть=(х-Ь)/и~' и функции внутреннего слоя по переменной т = (х-х*)/Г', локализованного в окрестности некоторой точки х*е(а,Ь) (индексы Л,П означают, что решение рассматривается слева от точки х* или справа от нее). Члены этих разложений могут быть получены согласно некоторому модифицированному, по сравнению со случаем /и-0, алгоритму. Построение решения типа контрастной структуры, например "ступеньки", приводит в этом случае к некоторым трудностям, так как внутренний переходной слой описывается уравнением

2у/с1т2 = Р{(1у/(1т,у,х()), где г - некоторая независимая переменная, х0 - нулевой член в разложении по малому параметру для точки перехода. Полученное уравнение не интегрируется в квадратурах, в отличие от случая /.1 = 0. Однако, это не мешает построению асимптотики, не отличающейся по типу от случая ¡л = 0, и лишь определенным образом модифицированной.

В §1 рассматривается контрастная структура типа ступеньки для задачи (1а). Исследование этой задачи непосредственно связано с исследованием соответствующей присоединенной системы сЕ!йг = Р(г,у,х), (Иу/йт^г, (3) где х- фиксировано.

Пусть вырожденное уравнение Р(0,у,х) = 0 имеет три корня у = (р,{х), = 1,2,3, таких, что <рх (х) < <рг (х) < <рг (х) и Гу(<р1)>0 при / = 1,3, ^ (ср2) < 0.

Тогда на фазовой плоскости (у,г) системы (3) существуют два седла

М^{(рх{х),0) и М2Оз(х),0).

Пусть при некотором значении х = х0 седла соединены сепаратрисой.

Заметим, что именно этот обстоятельство отражает сущность некритического случая.

Тогда, при определенных допущениях, удается построить асимптотику решения, обладающего свойством и доказать его существование, используя процедуру сшивания. При этом для точки сшивания х * справедливо асимптотическое разложение

И ту(х,/и) =

Ру(х), а<х<х*, <р3(х), х*<х<Ь, х *(//) = х0 + /£С, +. + цпхп + 0(/лш).

4)

Определение х0 в формуле (4) осуществляется при построении асимптотики решения нулевого порядка, что является характерной чертой некритического случая.

Рассматриваемая контрастная структура является стационарным решением (будем его обозначать у(х,/л)) следующей параболической задачи

-(¡у/Ж + ¡и2 с12у/сЬс2 — Р{/лс1у1сЬс,у,х), а<х<Ь, ¿>0, у{а,ц, 0 = уф,/л, 0 = 0, у(х$,ц) = у°(х,м).

Поэтому, в случае достаточной близости решения у(х,/л) к начальной функции у°(х,/л), возникает вопрос об устойчивости решения у(х,/л) в смысле устойчивости по Ляпунову. Исследование этого вопроса связано с изучением задачи Штурма - Лиувилля (см. [25])

Г с/2д/йЬс2 = с!у/с1х,у,х)]ис1А/с1х + Р (/лс1у/с1х,у,х)А + ЛА,

А(а,/л) = А(Ь,м) = 0.

Асимптотическая устойчивость будет иметь место, если в (5) < 0 для любого г = 0,1,2.

Используя метод пограничных функций, удается построить асимптотику наибольшего собственного значения задачи (5) и тем самым определить условие устойчивости.

В §2 исследуется случай, когда на фазовой плоскости (у,г) присоединенной системы (3) существуют, по крайней мере, одна точка покоя типа седла /V/,(ср](х),х) и одна точка покоя типа центра 01{(р2{х),х), причем функции у = <рх (х), у-(рг (х) являются решениями вырожденного уравнения ^(О^х) = 0. При этом имеет место петля сепаратрисы, то есть сепаратриса, выходящая из седла А/,(</>,(х),х)огибает центр О,((р2(х),х) и возвращается в седло.

Тогда, при определенных условиях, удается доказать существование решения типа всплеска с асимптотикой (2). Для точки всплеска, определяемой условием у\х*,/л)- 0, справедливо представление (4), где х0 определяется при построении асимптотики решения первого порядка.

В §3 рассматривается решение типа ступеньки в критическом случае, что соответствует ситуации, когда при любом значении параметра х седла Мх{д>х(х),0) и М2(<£>3(х),0) на фазовой плоскости системы (3) соединены сепаратрисой. В этом случае асимптотическое разложение решения по параметру ¡л также представимо в виде (2), причем определение х0 в разложении (4) осуществляется не на нулевом шаге.

Отметим, что с практической точки зрения исследование задачи (1) может оказаться полезным при рассмотрении математической модели, описывающей процесс быстрой химической реакции двух веществ с разными концентрациями и разной скоростью изменения концентраций. При определенных условиях соответствующая стационарная модель вырождается в задачу типа (1).

Вторая глава посвящена обобщению результатов, полученных в первой главе для систем вида ¡л ск/с1х = Р{2, у, х), //¿/уД/х = 2 на следующий случай лйг/сЫ = Р(г,у,х), /ис1у/с1х = 0(г,у,х), а<х<Ъ. (6)

Будем рассматривать однородные граничные условия первого рода у(а,ц) = 0, у(Ь,м) = 0. (6а)

В §1 исследуются контрастные структуры для системы (6) в некритическом случае.

Явление внутреннего переходного слоя в сингулярно возмущенных системах типа (6) в некритическом случае изучалось в работе [26] и далее в работе [6]. В результате был разработан формальный алгоритм построения асимптотики и доказано существование решения с внутренним переходным слоем. В частности, в работе [6] рассматривалась контрастная структура типа ступенька - ступенька (по 2 - компоненте и по у - компоненте реализуются контрастные структуры типа ступеньки).

В настоящем параграфе показано, что система (6) может иметь решения в виде контрастных структур других типов (всплеск - ступенька, контрастные структуры смешанного типа), причем тип контрастной структуры зависит от фазового портрета присоединенной системы

Е/(1т = (Ну/(1т = С(г,у,х), (7) где х - фиксировано, т - некоторая независимая переменная.

Асимптотическое разложение решения типа контрастной структуры ищется в виде (2) (¿и = е) . Замечательным является тот факт, что независимо от типа контрастной структуры, формальные построения асимптотики и обоснование построений одни и те же.

Посредством процедуры сшивания доказывается асимптотическая формула (4) для точки сшивания {/л = £), причем х0 определяется при построении асимптотики нулевого порядка, так как случай является некритическим.

В §2 рассматривается вопрос о существовании контрастных структур для системы (6) в критическом случае. Под критическим случаем будем понимать каждую из следующих двух ситуаций для системы (6):

1) на фазовой плоскости (у,г) присоединенной системы (7) при каждом фиксированном х существуют хотя бы две особые точки типа седла Мх{(рх{х),щх{х)), М2{(р2{х),у/2{х)), где (ср,(х),у/1 (х))- два изолированных на а,Ь\ решения вырожденной системы Р(г,у,х) = О, 0(г,у,х) = О, причем для любого х = х е [а,Ь] существует сепаратриса, соединяющая седла Мх и М2;

2) на фазовой плоскости (у,г) при фиксированном х существуют хотя бы одна особая точка типа седла Мх{^>х{х),у/х{х)) и одна особая точка типа центра Ох(ср2(х),у/2(х)), где (<р,(х),^л(х)) - два изолированных на [а,Ь\ решения вырожденной системы F(z,^',x) = 0, 0(г,у,х) = 0, / = 1,2 , причем имеет место петля сепаратрисы.

Несмотря на то, что фазовый портрет в пункте 2) существенно отличается от фазового портрета в пункте 1), при определенных условиях алгоритмы построения асимптотик и обоснования этих построений, за исключением небольших поправок, совпадают. Общим для этих случаев является то, что определение нулевого члена х0 в разложении точки сшивания х * по степеням £ осуществляется не на нулевом шаге. Более того, в отличие от традиционного подхода, когда в случае фазового портрета из пункта 2) точка х* задавалась условием Неймана у'(х*,е) = 0, в данном случае более разумным является задание х* с помощью условия Дирихле так же, как в случае из пункта 1). Эти причины позволили объединить рассмотрение случаев 1)и2).

Асимптотическое разложение решения по параметру £ представимо в виде (2), причем для точки сшивания х* справедливо асимптотическое разложение (4) {/и = £).

Как и в некритическом случае, в критическом случае удается показать, что тип контрастной структуры зависит от поведения сепаратрис на фазовой плоскости (у, 2"). Эта закономерность иллюстрируется на конкретных примерах.

В частности, системы вида (6) могут найти свое применение в математической биофизике, изучающей взаимодействие популяций.

Простейшая модель, описывающая динамику численности (плотности) двух популяций, взаимодействующих по принципу хищник - жертва, была предложена независимо А. Лотка [20] и В. Вольтерра [13]. Неавтономная модель Лотка - Вольтерра в случае быстрого изменения численности популяций имеет вид х = а(1)х - Ь(1)ху, £у = -с(()у + (¿({)ху, (6а) где х и у - плотности популяций жертвы и хищника соответственно, а(1) -скорость размножения популяции жертвы в отсутствии хищника, Ь(1) -удельная скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной плотности обеих популяций, с(^) - естественная смертность хищника, й? (0/6(0 - коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.

Обобщенный вариант модели (6а) учитывает не только внутривидовую борьбу, но и отдельные биологические факторы (конкуренцию хищника за жертву и за отличные от жертвы ресурсы, нелинейный характер выедания хищником жертвы при малых плотностях популяции жертвы и т. д.): а-= ) + >',/), су = -('(>»,/) + 0(х,)М). (66)

Поэтому кроме колебаний численности популяций, которые характерны для модели (6а), данная модель может описывать резкое изменение численности под воздействием внешних или внутренних факторов, что будет соответствовать наличию у системы (66) решения типа контрастной структуры.

В третьей главе вновь рассматривается система (1), но уже при другом соотношении параметров.

Пусть ¡л = 4е , то есть влияние первой производной еще более усилено. Здесь ситуация меняется коренным образом. Для того, чтобы не употреблять 4е , перепишем задачу (1), введя параметр //: л"у" = F(/^y',^,x), а < х <Ь, у(а,/л) = у°, у(Ь,/л) = у.

Рассмотрим следующий пример, на котором можно выяснить характерные черты этой задачи и4 у" = а/лу' + Ъу + с, а<х<Ь, у(а,/л) = у\ уф,/л) = у\ где а, Ь, с - константы.

Так как коэффициенты постоянны, то, пользуясь приближенным выражением для корней характеристического уравнения, можно выписать приближенное решение задачи (9), а именно: если а < О, Ь > 0, то у = (у° +с/Ь)ехр(а(х-а)///3) + (У + с/Ь)ехр(-Ь (х - Ь)//ла) - с/Ь ; если а > О, Ъ > О, то у = (у° + с/б)ехр(-&(х-а)///«) + (У + с/Ь)ехр(а (х-Ь)//иъ)-с/Ь .

В случаях Ъ < 0 решение не имеет предела при /л —> 0 (не выполнено условие регулярности вырождения).

Пример показывает, что в окрестности одной из границ (Иу/сЬс имеет порядок \//лъ, то есть г = ¡иу' имеет порядок 1///2 и погранслой в асимптотике г должен начинаться с члена порядка \//л2 .

Метод пограничных функций, вообще говоря, неприменим в случае, когда ^ = Р{г,у,х). Это связано с тем, что переменная 2 может принимать бесконечно большие значения (см. [12]). Поэтому в данной работе исследования ограничиваются случаем, когда функция ^ линейна относительно г.

В §1 исследуется вопрос о существовании погранслойных решений в системах вида:

Л' = А(у,х)г + В{у,х), !лу' = 2, 0 <х<а, у(0,М) = у°, у(а,/л) = у\

В соответствии с анализом системы (9), асимптотика погранслойного решения задачи (10) ищется в виде

П2г(г0) +1/ /¿П,г(г0) + та) +

10а) у(х, /л) = у0 (х) + ш (х) + П0у(г0) + ^пху(тй) + Я0у(та) + + Жу(та) + . + мяУп (*) + пАч) + М"*„У(та) + 0{/лп+х).

Разложения (10а) содержат регулярную часть и пограничные функции по переменным г0 = х///3 и та=(х-а)//и. Обоснование соответствующих построений проводится с использованием теоремы Нагумо [21].

В §2 обсуждается принципиальная возможность возникновения контрастных структур в системе (10), без рассмотрения детального доказательства их существования.

Заметим, что линейность ^ по г сближает задачу (8) с задачей (1) при // = 1, которая рассмотрена в [7].

Результаты работы докладывались на Международной конференции посвященной 90 - летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова "Теория и приложения методов малого параметра" (Обнинск, 1996), на ежегодных математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Нахабино, 1997), (Руза, 1998), (Руза, 1999), на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2000), а также неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ [8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18,24].

В тексте диссертации принята двойная нумерация формул внутри каждой главы. При этом ссылки на формулы даются внутри данной главы. Ссылки на формулы из других глав оговариваются особо. В конце каждой главы прилагаются рисунки к этой главе.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Давыдова, Марина Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем основные научные результаты, полученные в работе:

1. Метод пограничных функций применен при формальном построении асимптотических разложений по малому параметру решений типа контрастных структур нелинейной сингулярно возмущенной системы, а также сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с различными соотношениями степеней малых параметров при первой и второй производных.

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы равномерных асимптотических приближений решений типа контрастных структур следующих задач: а) нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка, содержащего малый параметр ¡л1 при второй производной и малый параметр /л при первой производной, в некритическом и критическом случаях, а также в случае решения типа всплеска; б) нелинейной сингулярно возмущенной системы двух уравнений первого порядка в некритическом и критическом случаях.

3. Разработан и обоснован алгоритм построения асимптотического разложения по малому параметру погранслойного решения квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром при первой производной и с малым параметром /г при второй производной.

4. Проведен качественный анализ результатов с использованием конкретных примеров.

Автор выражает искреннюю признательность профессору А. Б. Васильевой за оказанную помощь в написании диссертации, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давыдова, Марина Александровна, 2000 год

1. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор). // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-32.

2. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фундаментальная и прикл. матем. 1998. Т. 4. № 3. С. 799-851.

3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М. : Высш. школа, 1990.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Васильева А. Б. Об устойчивости контрастных структур.// Матем. моделирование. 1991. Т.З. №4. С. 114-123.

6. Васильева А. Б. О контрастных структурах типа ступеньки для системы сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 10. С. 1401-1411.

7. Васильева А. Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного и квазилинейного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. № 4. С. 520-531.

8. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 6. С. 938-947.

9. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для уравнения второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. Тез. докл. Москва - 1997. С. 59-62.

10. Васильева А. Б., Давыдова М. А. Сингулярно возмущенное уравнение второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных. // Ж. вычисл. матем. и матим. физ. 1999. Т. 39. № 9. С. 504-512.

11. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. . // ДАН. 132, №6. 1960. С. 1242-1245.

12. Volterra V. Leco'ns sur la the'orie mathematique de lutte pour la vie. P: Gauthiers Villars, 1931.

13. Давыдова M. А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 8. С. 1305-1316.

14. П.Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярно возмущенных уравнений в некритическом случае. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000 (принято к печати).

15. Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярно возмущенных уравнений в критическом случае. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000 (принято к печати).

16. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Т. 3. 1951. С. 225 (103а).

17. Lotka А. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. P. 460.21 .Nagumo M. Uber die Differentialgleichung y" = f(x,y,y'). II Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861-866.

18. Нефедов H. H., Луценко А. Б. О периодических решениях параболического уравнения в случае смены устойчивости // Труды шестых мат. чтений МГСУ. 25-30 января. 1998. Тез. докл.- Москва-1999. С. 23-28.

19. Никитин А. Г. Неустойчивость контрастных пространственных структур типа всплеска в системе реакции диффузии. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. №3. С. 443 -451.

20. Никитин А. Г., Давыдова М. А. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в случае слабой зависимости правой части от первой производной. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. Тез. докл. Москва - 1997. С. 50 -54.

21. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений М.: Мир, 1985.

22. Яркин А. Н. Явление внутреннего пограничного слоя в сингулярно возмущенных системах условно устойчивого типа. // Дифф. уравнения. Т. 12. № 12. 1976. С. 1727- 1728.