Решение задач теории упругости методами Монте-Карло тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Сорокин, Михаил Владимирович

• Сорокин, Михаил Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорокин, Михаил Владимирович

Введение 1

1 Общая схема метода Монте-Карло для решения линейных интегральных уравнений. 9

1.1 Схема Неймана-Улама в случае сходящегося ряда Неймана. 9

1.2 Аналитическое продолжение резольвенты. Обобщенное суммирование ряда Неймана. . . 13

1.3 Паде-аппроксимации резольвенты и разложение ее в цепную дробь. 15

1.4 Определение максимального собственного значения интегрального оператора и регуляризация аналитического продолжения для интегральных уравнений 1-го рода.17

2 Решение основных краевых задач линейной теории упругости для однородной изотропной среды. 19

2.1 Интегральные уравнения теории упругости.19

2.2 Метод блуждания по границе.23

2.3 Задачи Дирихле и Неймана.39

2.4 Смешанная задача теории упругости.42

3 Решение задач линейной теории упругости для однородной анизотропной среды. 51

3.1 Частный случай трансверсальной изотропии.51

3.2 Численное построение фундаментального решения и оператора напряжений.

Произвольный тип анизотропии.55

4 Применение метода блуждания по границе для решения задач о напряженно-деформированном состоянии шины. 62

4.1 Постановка задач. Задание геометрии шины.62

4.2 Решение задач о шине методом блуждания по границе. Анализ результатов.66

4.3 Замечание о возможности применения метода блуждания по границе в случае неоднородной среды.69

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач теории упругости методами Монте-Карло»

Актуальность темы. Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) являются классическими при решении задач теории переноса [7, 15]. Они также находят широкое применение в таких областях как статистическая физика, теория турбулентности, физико-химическая кинетика, т.е. там, где распространено статистическое описание тех или иных сложных физических процессов. Однако методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных применяются значительно реже. Первая книга [5], посвященная данному вопросу, вышла в 1980 г., вторая [8] - в 1984 г. Монография [27], вышедшая в 1989 г., содержит наиболее полное изложение результатов по решению краевых и начально-краевых задач теории потенциала, диффузионных уравнений и уравнения теплопроводности. В ней также рассмотрены алгоритмы статистического моделирования для некоторых задач теории упругости как для плоского, так и для трехмерного случаев.

В настоящее время при решении краевых задач для уравнений в частных производных (в том числе и задач теории упругости), в основном, применяются методы конечных элементов и разностные методы, основанные на аппроксимации исходной континуальной задачи ее дискретным аналогом. При этом задача сводится к решению одной или нескольких систем линейных алгебраических уравнений. При таком подходе находится все поле решения целиком, хотя в механике деформируемого твердого тела достаточно распространена ситуация, при которой необходимо знать решение только в нескольких заранее известных точках (например, точках концентрации напряжений).

Другой важной особенностью этих методов является сильное падение эффективности при росте размерности задачи. Прежде всего, это связано с большим объемом данных, которые необходимо загружать в оперативную память компьютера (или память на жестком диске), скорость работы с которой представляет узкое место практически для всех современных вычислительных систем.

Методы Монте-Карло имеют ряд отличительных особенностей в сравнении с детерминированными разностными и вариационными методами, которые позволяют во многом преодолевать описанные выше проблемы. Во-первых, зависимость требуемой памяти ЭВМ от размерности задачи, как правило, близка к линейной. Это позволяет эффективно решать задачи высокой размерности. Во-вторых, решение задачи в конкретной точке может быть получено без построения поля решения целиком во всей области, за счет этого существенно уменьшается время вычислений и объем используемой оперативной памяти.

С точки зрения реализации методов Монте-Карло можно сказать, что она достаточно универсальна для различных областей, границы которых могут задаваться как аналитически, так и по точкам. Также стоит отметить, что при использовании в методах Монте-Карло несмещенных оценок погрешность оценивается в ходе решения без существенных дополнительных затрат машинного времени.

Наконец, одним из важнейших преимуществ методов Монте-Карло является их автоматическая распараллеленость, которая возникает из самой структуры алгоритмов, представляющих собой многократную реализацию независимых случайных траекторий. Число таких независимых реализаций может быть очень большим (несколько миллионов и больше), что позволяет использовать параллельные вычислительные блоки независимо друг от друга все время решения вплоть до объединения результатов счета в конце работы программы.

Исторически, методы Монте-Карло включают в себя три наиболее важных подхода, используемых для решения краевых задач. Первый подход заключается в приближенном вычислении континуальных интегралов, представляющих решение соответствующей краевой задачи. При этом основная сложность состоит в получении такого представления решения в виде интегралов по определенной мере, для вычисления которых может быть применен метод Монте-Карло.

Второй подход основан на использовании теорем о среднем и формул Грина для стандартных областей. Чаще всего в качестве такой области выбирается шар или сфера. Указанный подход приводит к методам блуждания внутри области, в частности, к методу блуждания по сферам.

Третий подход связан с использованием глобальных интегральных уравнений на границе рассматриваемой области. Чаще всего, интегральные уравнения записываются не для самого решения, а для некоторой вспомогательной функции. Примером применения данного подхода может служить метод блуждания по границе на основе граничных интегральных уравнений теории потенциала. Также существуют различные модификации методов Монте-Карло, которые можно интерпретировать как частные случаи трех основных подходов. К ним относятся методы блуждания по решетке и методы решения систем линейных алгебраических уравнений [23, 31].

Данная классификация дана в монографии [27], там же можно найти подробный обзор работ по этому вопросу. Более подробно второй и третий подходы описаны в книгах [46] и [47]. Таким образом, в области общей теории решения краевых задач методами статистического моделирования выделились основные направления исследований, были получены эффективные алгоритмы для решения классических краевых задач уравнений математической физики.

Указанные выше преимущества методов Монте-Карло перед детерминированными методами определили естественный интерес к их применению для решения задач механики деформируемого твердого тела. В работе [4] был предложен метод решения краевой задачи для уравнения Ламе в плоском случае. В [5] и [17] методы Монте-Карло были применены к решению задачи об изгибе пластин. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в [9]. Работа [28] посвящена алгоритмам блуждания по малым сферам для решения метагармонических уравнений, а в [30] рассматриваются неоднородные задачи теории пластин. В работе [48] были приведены методы решения частных задач для трехмерного случая (плоский и антиплоский сдвиги), которые могут быть сведены к классическим задачам теории потенциала.

Однако наибольший интерес с вычислительной точки зрения представляют пространственные задачи теории упругости. Здесь тоже практически сразу выделились два основных метода Монте-Карло: метод блуждания по сферам и метод блуждания по границе. Описание и различные аспекты применения первого метода можно найти в [23, 25, 27, 41, 42, 46], при этом круг решаемых задач ограничивался первой и второй внутренними краевыми задачами теории упругости для однородной изотропной среды. Описание второго метода дано в [26, 27, 29, 47], он расширил область применения методов Монте-Карло на внешние краевые задачи тех же типов.

Здесь необходимо отметить ряд особенностей этих методов, которые определяют области их преимущественного применения.

1.Алгоритм блуждания по границе позволяет строить статистические оценки решения одновременно в произвольном множестве точек, используя одни и те же траектории случайных блужданий. Это позволяет применять этот метод и в тех случаях, когда требуется построить поле решения во всей рассматриваемой области.

2.Метод блуждания по границе может быть применен к решению как внутренних краевых задач, так и внешних, причем схема метода практически не изменяется. Кроме того, как будет показано ниже, этим методом решается более широкий класс задач теории упругости.

3.В методе блуждания по сферам возникает проблема сноса граничных условий, что, например, во второй краевой задаче существенно снижает точность метода.

В то же время, алгоритмы блуждания внутри области довольно просты в реализации. В случае сложной многосвязной области методы блуждания по границе требуют разработки серьезной программы для работы с заданной геометрией. Таким образом, метод блуждания по границе применяется для решения широкого класса краевых задач, позволяет получить более высокую точность в сравнении с методом блуждания по сферам. Однако в ряде простых случаев алгоритм блуждания внутри области дает эффективное решение задачи.

К настоящему времени в рамках обоих подходов построен целый ряд алгоритмов для решения пространственных задач линейной теории упругости. Однако круг задач, решаемых методами статистического моделирования, еще недостаточно широк для их внедрения в вычислительную практику. Пространственные задачи теории упругости рассмотрены только для однородной изотропной среды. Также остается открытым вопрос о возможности применения методов Монте-Карло для решения смешанной задачи теории упругости, когда на одной части границы заданы перемещения, а на остальной — нагрузки.

Цель диссертационной работы. Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению новых методов статистического моделирования для решения смешанных краевых задач линейной теории упругости для анизотропной среды. Главной целью работы является расширение области применения методов Монте-Карло в механике деформируемого твердого тела. Основной упор сделан на практической реализации на ЭВМ предложенных алгоритмов, с этой целью приводится пример решения задачи о напряженно-деформированном состоянии шины.

Методика исследований. Исследование свойств методов Монте-Карло и их модификаций, предложенных в диссертационной работе, основано на сочетании аналитических методов (оценивание трудоемкости, построение случайных функционалов) и численных экспериментов с использованием программ, написанных на Microsoft Visual С++ .NET.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научном и аспирантском семинарах кафедры механики композитов МГУ; на научных конференциях "Ломоносовские чтения "МГУ (секция механики) в 2003 и 2004 гг.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти статьях и тезисах, указанных в конце данного введения.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех разделов, разбитых на параграфы, двух приложений и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Сорокин, Михаил Владимирович

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Построен и исследован алгоритм блуждания по границе для решения смешанной задачи теории упругости. Предложена новая модификация метода, основанная на сохранении оценок итераций интегрального оператора (см. [33, 35]).

2. Построен метод блуждания по границе для случая анизотропной упругости (см. [24, 32, 34]).

3. Метод Монте-Карло применен к решению задач о напряженно-деформированном состоянии шины. Приведены результаты сравнения этого метода и разностного метода решения интегральных уравнений (см. [35]).

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сорокин, Михаил Владимирович, 2004 год

1. Александров А.Я. Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнений. ДАН СССР, 208, N2, - 1973.

2. Бурчуладзе Т.В., Гегелгш Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. Тбилиси: Мецниереба, 1985.—226с.

3. Бухин Б.Л. Введение в механику пневматических шин. Москва: Химия, 1988, 224с.

4. Ворошко П.П., Квитка А.Л., Цыбенко А. С. Применение метода случайных блужданий для решения задач теории упругости.— Проблемы прочности, 1973.—N4.—С.53—57.

5. Елепов Б.С., Кронберг А.А., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1980.—173с.

6. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.—471с.

7. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982—295с.

8. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984—205с.

9. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.—472с.

10. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа.— М.:Наука, 1980.—269с.

11. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974.—142с.

12. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.—239с.

13. Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К., Ченцов Н.Н. Векторно-статистические модели некоторых задач математической физики.—В кн.: Актуальные проблемы прикладной математики и математического моделирования.—Новосибирск: Наука, 1982.— С.69—82.

14. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959—232с.

15. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М. Физматгиз, 1962.

16. Партон В.З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1978.

17. Порее В.Н. Компьютерная графика.— СПб.: БХВ-Петербург, 2004.— 432с.

18. Победря Б.Е. Задача в напряжениях для анизотропной среды // ПММ. 1994. Т.58. Вып.1. С.77-85.

19. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981.—343с.

20. Победря Б.Е., Сорокин М.В. Применение методов Монте-Карло к решению задач теории упругости. // Тезисы докладов Ломоносовских чтений.—М.: Изд-во МГУ, 2003.—С.110.

21. Победря Б.Е., Чистяков П. В. Решение пространственных задач теории упругости методом Монте-Карло // ПММ. 1988. Т2. С.341— 345.

22. Сабельфельд К. К. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения систем эллиптических уравнений 2-го порядка и уравнений Ламе // Докл.АН СССР.-1982.-Т.262, N5.-C. 1076-1080.

23. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука, 1989.—280с.

24. Сабельфельд К.К., Макаров С.Е. Алгоритм блуждания по малым сферам для решения метагармонических уравнений // Методы и алгоритмы статистического моделирования.—Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983.—С.40-47.

25. Сабельфельд К.К., Симонов Н.А. Решение пространственных задач теории упругости в детерминированной и стохастической постановках методом Монте-Карло // Докл.АН СССР.—1984.— Т.285, N4.—С.802—805.

26. Сабельфельд К.К., Ультан А.Е. Решение некоторых неоднородных задач теории пластин методом Монте-Карло // Численные методы механики сплошной среды.—Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981.-Т.12, N 2.—С.117-124.

27. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.— 131с.

28. Сорокин М.В. Решение второй краевой задачи методом Монте-Карло в случае анизотропной среды. // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. N 2. с.74—76.

29. Сорокин М.В. Решение смешанной задачи теории упругости методом Монте-Карло. // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. N 5. (в печати).

30. Сорокин М.В. Применение метода Монте-Карло к решению задач линейной теории упругости для анизотропной среды. // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. N 3.— С.38—44.

31. Сорокин М.В. Метод Монте-Карло в задаче об упругом деформировании шины. // Тезисы докладов Ломоносовских чтений.—М.: Изд-во МГУ, 2004.—(в печати).

32. Трехмерные задачи математической теории упругости. // Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. — М.: Наука, 1976.—790с.

33. Трусов П.В. Механика сплошной среды. // Пермь: Изд-во ПГТУ, 1996.—ч.З.—141с.

34. Трусов П.В., Дударь О.И., Келлер Н.Э. Тензорные алгебра и анализ. // Пермь: Изд-во ПГТУ, 1998.—132с.

35. Фоли Док., ван Дэм А. Основы интерактивной машинной графики. В 2-х книгах.—М.: Мир, 1985.

36. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода // Успехи мат. наук.—1956.—Т. 11, вып. 1(67).— С.233-234.

37. Чистяков П. В. О смещенной оценке решения пространственной задачи теории упругости методом Монте-Карло. // Теория вероятн. и ее применен., 1984, т.29., N 1, — С.174—175.

38. Чистяков П. В. О решении пространственной задачи теории упругости методом Монте-Карло. // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1984. N 6, — С.88—90.

39. Fair W. Continued fraction solution to Fredholm integral equations // Rocky Mountains J.Math—1974—Vol.4.—P.357—360.

40. Fichera G. Existence theorems in elasticity. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg, N.Y., 1972. Перевод: Фикера Г., Теоремы существования в теории упругости. "Мир", 1974.]

41. Sabelfeld K.K. Shalimova I.A. Spherical means for PDEs. VSP, Utrecht, The Netherlands, 1997.

42. Sabelfeld K.K., Simonov N.A. Random walks on boundary for solving PDEs. Utrecht: VSP, 1994. 137 p.

43. Shia D., Hui G. Y. A Monte Carlo solution method for linear elasticity // Int. Journ. of Solids and Structures. 2000. N37. P.6085—6105.