Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Туйчиев, Олим Джураевич

• Туйчиев, Олим Джураевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Туйчиев, Олим Джураевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯС МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ.

1.1. Выделение существенно особых сингулярностей. Регуляризация задачи (1.2).

1.2.Разрешимость первой итерационной системы.

1.3.Разрешимость второй итерационной системы.

1.4.Асимптотическая сходимость формального решения к точному.

1.5.Предельный переход в системе (1.2).

1.6.Приме р.

Глава 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ

ЯДРАМИ И ИХ АСИМПТОТИКА.

2.1 .Регуляризация задачи (2.2).

2.2. Разрешимость итерационных систем.

2.3.Однозначная разрешимость общей итерационной системы.

2.4.Обоснование асимптотической сходимости формальных решений.

2.5. Предельный переход в системе (2.2).

2.6.Приме р.

Глава 3. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

С ДИАГОНАЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ЯДРА.

3.1 .Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач.

3.2.Асимптотическая сходимость формальных решений

3.3. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений»

Исследование многих прикладных задач (квантовой механики, электротехники, динамических и биологических систем и т.д.) приводит к необходимости рассмотрения интегральных и интегро-дифференциальных систем с малыми параметрами. В случае, когда при стремлении малых параметров к некоторым предельным значениям изменяется тип соответствующей системы (например, интегральное уравнение второго рода переходит в интегральное уравнение первого рода), принято говорить, что соответствующая система является сингулярно возмущенной. Лишь в исключительных случаях такие системы допускают построение явно выписываемых решений, поэтому при их исследовании применяются приближенные методы. Эффективность приближенных методов существенно зависит от предварительного асимптотического анализа, включающего в себя не только выяснение качественных характеристик решения (например существования предельного режима), но и разработку алгоритма, позволяющего получать асимптотические решения исходной задачи с любой степенью точности.

Начиная с классической работы Лиувилля, исследования которого были посвящены уравнению второго порядка y' + &2r(x) + q{x))y = 0 (Я^сс), делаются настойчивые попытки развития общей теории сингулярных возмущений. Создание такой теории намного бы упростило исследование сингулярно возмущенных задач как в теоретическом , так и в прикладном аспекте и сделало бы разработку соответствующих алгоритмов более точной и целесообразной.

Однако работа Лиувилля и последующие затем работы Шлезингера [84] и Бирктофа [5] носят эпизодический характер. Они связаны в основном с потребностями в прикладных областях науки, где время от времени появлялись сингулярно возмущенные уравнения и возникала необходимость их приближенного интегрирования.

Систематическое изучение теории сингулярных возмущений начинается в конце сороковых годов настоящего столетия, когда В. Вазов и

А.Н. Тихонов доказывают свои знаменитые теоремы о предельном переходе в сингулярно возмущенных задачах (см. [11], [12], [70] , [71]).

Развивая идеи А. Н. Тихонова, сформулированные им при доказательстве теорем о предельном переходе, А.Б. Васильева разрабатывает в начале пятидесятых годов эффективный метод пограничных функций (см., например, [9], [10]). Этот метод обобщается в различных направлениях. В семидесятых годах он получает развитие в методе угловых пограничных функций, разработанном В. Ф. Бутузовым (см.[3]). Заметим, что для некоторых классов линейных краевых задач для уравнений в частных производных параллельно с методом Васильевой был разработан метод Вишика-Люстерника (см.,например, [13], [14]).

Наиболее ранним и мощным методом является метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Возникший в начале тридцатых годов как метод исследования некоторых колебательных систем, метод усреднения получает свое дальнейшее развитие в более сложных уравнениях (см., например, [1], [26], [53], [77], [81], [82]). Известны различные модификации метода усреднения. В работах [77-79] А. Н. Филатовым разрабатывается метод замораживания, а в работах [26-28] идеи метода усреднения развиваются М. И. Иманалиевым на интегро-дифференциальные уравнения. Эффективными оказались идеи метода усреднения и при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений. В работах М. М. Хапаева [81-82] разрабатывается метод, позволяющий исследовать устойчивость в критических случаях и в различных многочастотных резонансных системах.

Идея сведения сложной дифференциальной системы к более простой, присутствующая в методе усреднения, находит свое воплощение и в других методах. Так, в работах [6], [7], [39], [40] Г. С. Ларионов развивает метод эквивалентного соответствия, в основе которого лежит идея замены интегро-дифференциального уравнения другим, более простым: в нем исходная матрица получает поправку порядка S, а интегральное слагаемое-поправку порядка s~ .Для построения первого приближения отбрасывается член о порядка £~ (т.е. интегральный член) и вместо исходного интегродифференциального уравнения решается дифференциальная система с постоянной матрицей. Эта процедура может быть повторена необходимое число раз для построения приближений высших порядков.

В настоящее время существует большое число и других методов асимптотического интегрирования дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Не имея возможности даже кратко остановиться па них в настоящей диссертации, укажем лишь на некоторые библографические источники, в которых представлены эти методы:[3], [6],

7], [9], [10], [13], [14], [17], [18]; [19], [26], [27], [30], [31], [32], [39-55], [58], [64-69], [72-82], [84].

В шестидесятых годах в теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений появилось предпосылки развития метода, позволяющего рассмотреть различные типы уравнений с общих позиций. В основе этого метода (получившего впоследствии название метода регуляризации С. А. Ломова [42]) лежали спектральная теория переменных линейных операторов и уточненное понятие асимптотического ряда. Не вдаваясь в подробности, отметим, что метод регуляризации позволяет получать в ряде случаев асимптотические ряды, сходящиеся в обычном смысле (см., например, [34]). Но не только в этом состоит ценность метода. Асимптотические ряды, получаемые с помощью метода регуляризации, одинаково пригодны как в колебательном, так и в неколебательном случае. Ранее эти случаи изучались раздельно; это создавало определенные трудности при рассмотрении конкретных прикладных задач.

Поскольку предметом настоящей работы является обобщение метода регуляризации на неисследованные ранее сингулярно возмущенные системы интегральных уравнений, остановимся кратко на основных идеях метода применительно к интегро-дифференциальным задачам (см.[42]).

Рассмотрим следующую задачу:

0.1) где у = {у.yn}, A(i)-известная (п х п) —матрица, h(t)={h,.hn}- известная вектор—функция, £>0 — малый параметр,/1 е [О, Т~\.

В методе регуляризации [42] показано, что если спектр \Я . (/)} оператора /l(t) стабилен, т.е. удовлетворяет условиям:

1)Л}(t) ф X ,(0' ' * 1- i. j = e

Vte[0,T]9 i = /,n, то все сингулярностеи в решении задачи (0.1) описываются функциями г.Л/л^-^й j = Zn, (0.2)

- е J е выделяемыми спектром. Вводя функцию у ~ удовлетворяющую условию у t) .АЛ \ £ J y(t,£-), поставим для нее следующую задачу: ffv 11 ffv jK(t,s)y(s,(/(s)/i-,f)ds = h(t) y{0.()J) = y"

Однако эту задачу нельзя считать «расширенный» по отношению к исходной задаче (0.1), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена. Для полной регуляризации введем следующее пространство функций:

U= y(t,r): у = 2>,(ФГ' +y„(t), i j=' . , у,(0ес"([о,т],С"), j = «.n }. Мы собираемся определять формальное решение системы (0.3) в виде ряда со у(1.г,*)=2>ЧМ (0.4) к с коэффициентами y(t, г) е U .

Этот ряд инвариантен относительно оператора д

L„ (t)--A(t) (т.е.образ L пу снова является рядом по степеням £ с коэффициентами из пространства U). Однако при действии на него интегрального оператора задачи (0.3) мы получим ряд, в котором будут участвовать интегралы вида jK(t.sK^s,^ds, к >-1 . (0.5)

Vj{t)

Здесь не выделены коэффициенты при экспонентах е .Если мы л , " ^ ^ выделим эти коэффициенты и произведем расширение--= г. , то представим интеграл (0.5) в виде формального ряда по степеням S с коэффициентами из пространства U , то сделаем интегральный оператор (0.5) инвариантным в пространстве U . Выделение коэффициентов при

V j if) е * производится путем многократного интегрирования по частям в интегралах вида: и:)= jk(t,s)y,(s)c'- j = /,n. о

После применения этой операции получим, что (см.п. 1.1. гл. 1) е

S-1

При этом мы произведем окончательную регуляризацию интегрального члена (0.3) и запишем «расширенную» задачу:

-f + - ЁI- k+,"+!(-0m к (K(t.s)yf »(s)Lе" )k=-/m=« j-/ |> 1 jK(t.s)yW(s)ds + h(t), y(0,0,e)= y", k=-/ „ где y(t, T, s) — формальный ряд (0.4) с коэффициентами из пространства

U .

Для коэффициентов этого ряда получаем серию итерационных задач, каждая которых имеет вид

Lz(t.r)=L„z-R„z = H(t.r). z(0,0)=z" , (0.6) где R0 —некоторый оператор, индуцируемый интегральным оператором

0.2) (подробнее см.гл.2, настоящей диссертации).

Для задач (0.6) развивается теория нормальной и однозначной разрешимости в пространстве U (см. [42] стр. 140-143). Применяя эту теорию, найдем однозначно все решения итерационных задач в пространстве U , а значит построим (единственным образом) ряд (0.4). В [42] показано, 0 что сужение этого ряда при г = является асимптотическим решением s при с -» +0) исходной задачи (0.1).

Мы изложили кратко идеи метода регуляризация применительно к интегро-дифференциальным уравнениям типа (0.1). Из этого изложения видно , что все сингулярности в решении задача (0.1) описываются спектром {/1,(0} предельного оператора A(t) . Однако могут встретиться задачи, в которых отсутствует спектр. Именно такая задача рассмотрена в первой главе настоящей работы. Она посвященна сингулярно возмущенной системе интегральных уравнений с y{t,s)=t\K{t,s)y{s,s)ds + h{t), re [О, Г] (0.7) 0 с медленно изменяющимся ядром K(t, s) .Если ядро K{t,s) непрерывно, то соответствующая спектральная задача t j"K(t,s)y(s)ds = Л у(0о при любом ЛеС имеет только тривиальное решение y{t) = 0 в с[0, г], и поэтому предельный оператор указанной системы не имеет спектра. Какие же' функции в этом случае отвечают за сингулярности в решении системы (0.7)?

Для сингулярно возмущенных интегральных уравнений типа (0.7) с медленно изменяющимися ядрами K(t,s) исчерпывающий ответ на этот вопрос можно получить, построив (с помощью дифференцирования по / ) интегро-дифферепциальную систему

4 = K(u)y + J^y(s.,)ds + h(,), у«и)-Ш. (0.8) dt (j 3t с эквивалентную системе (0.7). Из (0.8) видно, что сингулярности в решении системы (0.7) описываются спектром |Я •(/)} «диагонального» ядра K(lj) ■

Если спектр стабилен, то к системе (0.8) можно применить процедуру, описанпую выше для системы (0.1). Однако только что описанный переход к соответствующей эквивалентной интегро-дифферепциальной системи (0.8),хотя и приводит к цели, страдает очевидными недостатками. Кроме того, что этот подход усложняет систему (0.7), дифференцирование по / не позволяет рассмотреть с аналогичных позиций сингулярно возмущенные уравнения с быстро убывающими ядрами. Для таких систем (см.гл.2 настоящей работы) необходимо развить алгоритм непосредственной регуляризации, без перехода к эквивалентной интегро-дифференциальной системе. Поэтому в первой главе настоящей диссертации для интегральных систем типа (0.7) развивается именно этот подход. Основная идея его состоит в следующем.

Произведем регуляризацию системы (0.7) с помощью функцией (0.2),где X (t) пока не определены. Применяя идеи метода регуляризации, описанные выше, мы построим серию итерационных задач. Выпишем две первых из них: l<(t,sy-l\s)ds = 0, о уГ'ЧО + ЁуГСОе'1 =E[(IJ°K(t,s)yS-/4s))s,ter'

-(i;;K(t:s)y;-/)(s))s=J+h(t)+jK(t,s)yr(s)ds. о

Если здесь приравнять отдельно свободные члены и коэффициенты при г, одинаковых экспонентах е , то получим следующие системы: jK(t,sM-'4s)ds = 0. (0-9) о

0.10) jK(t.s)yr(s)ds = J fK(t. s)y Г (s)ds = у - h(t) + у <"'> (t). (0.11)

Система (0.9) имеет тривиальное решение у^ 1} = 0 в классе С"([о,т], С").Предполагая, что (t) * 0 (j = /,n, Vie[0.T]), перепишем систему (0.10) в виде

A1(t)I-K(i.t)]y<-/)(t) = 0.

0.12)

Нас не устраивает нулевое решение этой системы, так как подстановка его в (0.11) привела бы к уравнению необходимо искать ненулевые решения системы (0.12). Но тогда (0.12)-спектральная задача и Я {t) —собственные значения диагонального ядра

K(t.t) .Тем самым регуляризирующие функции (0.7) полностью определены и дальнейшее изучение задачи (0.7) аналогично исследованию интегро-дифференциальной системы (0.1). При этом несколько видоизменяются условия нормальной и однозначной разрешимости итерационных систем (см.п. 1.2.и 1.3. гл. 1). Начальные условия, для произвольных функций ядра оператора L() находится из условия обращения в нуль правой части некоторого интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Например, для функций у(1"/)(t) = а(~п{i)(p^i), являющихся решениями системы (0.10), начальные условия у{ "(0) определяются из равенства f «-7,

Г, Я ДО) которое получается из условия обращения в нуль правой части уравнения Вольтерра (0.11) при t — 0 . Несколько видоизменяется и доказательство теорема об остаточном члене (см. теорема 1.1 гл.1).

K{t,s)yf\s)ds = -h{t\ о которое было бы неразрешимым в классе

Поэтому

Идея непосредственной регуляризации, развитая для систем (0.7) с медленно изменяющимися ядрами, обобщается в главе 2 на системы с быстро изменяющимися ядрами. Такие ядра имеют, например интегральные уравнения Вольтерра у(г,г)+ jk(r - s)y(s} s)ds = h(£ г), (0.13) о если их рассматривать на асимптотически большом промежутке времени Т' о, Если в системе (0.13) перейти к медленному времени t = £ г,то получим сингулярно возмущенную систему Вольтерра I о s у (t, •?) + [к(— —)у(0, s)d6 = е h(t). (0.14) о с е ft " J t в где у = у -.е t е [о. т]. Здесь ядро К---быстро изменяется при

С —> +0 на множестве [о,т]х[слт]. Исследование систем типа (0.14) естественно начать с конкретных случаев быстро изменяющихся ядер. В приложениях часто встречается экспоненциально изменяющиеся ядра, поэтому во второй главе диссертации рассматриваются интегральные системы вида t (, t л fv(u-)= Jcxp -|//(6>)d<9 K(t.s)y(s.ff)ds + h(t), (0.15) о VE 4 J где jLl{0) — некоторая скалярная функция, называемая спектральным значением ядра интегрального оператора. Именно она несет информацию о быстрых изменениях ядра; при этом матричная функция K(t,s) не содержит малого параметра 8 , и поэтому изменяется медленно.

Как уже отмечалось выше переход от системы (0.7) с медленно изменяющимися ядрами к системам (0.15), идея дифференцирования системы (0.7) теряет свою ценность. Поясним, в чем тут дело. Пусть для простоты рассматривается скалярное уравнение (0.15). Непосредственное дифференцирование этого уравнение по t приводит к уравнению t t) |K(t,s)e£' y(s,ff)ds +£ K(t, t)y + y(s.£)ds +£,h(t). y(0.e) = ^s

Кроме того, что получено довольно сложное интегро-дифференциальное уравнение, неясно, спектр какого оператора должен участвовать в образовании сингулярностей решения последней задачи. Приведенные соображения поясняют, почему идея непосредственного дифференцирования интегральной системы по t в случае быстро изменяющихся ядер теряет свою привлекательность. Возникает потребность в разработке нового подхода, не использующего дифференцирования гго t . Такой подход был развит в предыдущей главе. Основная его идея сводится к тому, что регуляризирующие функции не выписываются явно, а определяются по ходу решения соответствующих итерационных задач. В случае медленно изменяющегося ядра регуляризирующие функции (0.2) описывались спектром (/)] диагонального ядра K{i,t) . Представляется правдоподобным, что в случае системы (0.15) с быстро изменяющимся ядром, спгулярности описываются порознь спектром диагонального ядра и спектральным значением <Li(t).Однако простейшие примеры интегральных систем с вырожденными ядрами K{/,s) = k]{t)k2(s) показывают, что это не так. Ниже будут установлено, что сингулярности описываются спектром «смещенного диагонального ядра» //(/)/ + K(t,t).

Перейдем к краткому изложению алгоритма для системе (0.15). Введем, как и в случае системы (0.1), регуляризирующие функции в которых не определены пока функции Pi (t), j — 1, /7 . Для расширенной функции y(t,T,s) естественно поставить следующую задачу: ds + Ml). (0.16) <V sy{l ,т,s)= fexp — \jLi(0)d6 c V s )

0 V£ s у v

Однако здесь не произведена регуляризация интегрального оператора. Чтобы сделать это, ведем пространств ys{s) ^ и = п + / т: y(t,r):y = I у (t)e J +yQ(t). 1 = 1 у . (t) g C°°f[fl,Tl cn \ j = Ojn + l]

В классе M. = U| ип . интегральный оператор r t (J t Л j(t,£)y = Jexp - \ц(в)Ь6 K(t,s)y(s.f)ds о \a' ъ J асимптотически инвариантен (см. [42], стр. 62), поэтому регуляризацию интеграла можно произвести так же, как и в случае система (0.1). Сделав это, получим г—— I ■,=-!

J'( <) где обозначено: y(l.r.6-)=^kyu(t.r). yk(i--r)eU (0.17) k=-/ а операторы Rk вычисляются для любого y{t, т) £ U по формулам:

K()v4. T) = /"+| ')1<(1--')Уп + i (s)ds,

Rm+\y С.^Ь п

НУ" 2

Т. iyiK(t,s)y.(s))s=t-e J

-(I?riIC(t,s)yi(s))s=^-c

Ь 7

П П + / но a y{t,T,s)— ряд (0.17). Для коэффициентов l0 1 о Хт 1 0 jm—/ j A.(s)-Ms) ' J A.(s)-//(s) ^s j ' rW Tin ^ ^ jm-y s) /'(s) cs m >7, j = /, n .

Теперь можно записать полную расширенную задачу sy(t,z,s) = Jy(t,T,e) + h{t), (0.18) где Jy(t,r,^=Jyft,— V в , этого ряда получаем серию итерационных задач. Выпишем первую из них

-R„y,(t.r) = 0. - (0.19)

Задача (0.19) имеет (см.п.2.2.) следующее решение в пространстве U :

V-. М = £ y)~"(tW + [МО/ + Kit, 0]"' М'ЖО, (0.20) 1 где /,)(0 удовлетворяют системам

Л j(t) - //(t))l - K(t. t)]y ^ (t) = 0, j = . (0.21)

Как и в случае системы (0.10), нас не устраивают тривиальные решения )/.-1)(/) = 0 систем (0.21), так как в случае h{0)^0 соответствующие уравнение Вольтерра первого ,рода (см.(2.20)) не будет иметь гладких решений. Значит, (0.21)-спектральная задача и j(t) = я .(/) — /и (/) —собственные значения диагонального ядра К(/,/).

Отсюда следует, что функция Я .(/) , участвующие в регуляризации задачи

0.15), являются собственными значениями «смещенного диагонального ядра» jli (t)I + K(t, t) .

Как и в главе 1, здесь так же развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач. Рассмотрим итерационные системы в общий форме:

-R„ у (t,r) = H(t,г), (0.22)

- R0z(t, г) = -y(l,t) + R/y(t, t) + P(t, r), (0.23)

- Rq w(t, t) = -z(t, r) + R ;z(t, r) + R2y(t, r) + Q(t, r), (0?4) в которых H(t, т), P(t, t) ii Q{t, т) — известные вектор- функции класса U.

Имеет место следующий результат.

Теорема 2.1(стр. 68 ). Пусть выполнены условия:

1) /7(/) е ([0, Т\ С" ) K(t, s) е с00 (о < j < / < Т, С"), //(/) g [0, Т\ ц у(0 = я j{t) - //(0 е сш [0, Т];

2)/./(/) ф 0, // .(f) * 0 (w е с00 [о, T], j = й );

3) re//(/)< о, Re// д/)< о (v/ е сю[0,г], j = ln).

Пусть, кроме того, спектр \ju оператора K(t,t~) простои, т.е.

4) //ДО*//, (О, U = V/ е [О, г], и вектор-функции H(t, т), P(t,z) 0(t,r)eU. Тогда для разрешимости системы (0.22) в U необходимо и достаточно, чтобы

H(t,r),e,er'W (H(t,r),e; ) = 0,

0.25)

H(t,r),e,er"*') 11=0=0, i,j=/,n. Эта система при дополнительных условиях тп+7 y(t,i( + Rуy(t,x( + P(t,t(teje ) t=Q = 0, i - 7,n, (()>26)

0.27)

R ? (1, r)y(t, т) + Q(t, т% z- (t)e J ^ 0 Vt e [О, T], j = 7, n, (0Щ однозначно разрешима в пространстве U. Здесь: ei - {0,.Д1Д.,0} - / - й орт в Cn,Xj{f)-собственный вектор оператора K*(t,t), соответствующий собственному значению

Vj(0,J = I"

Используя теорему 2.-1., составим ряд (0.17). Обозначим

Ус п (0 — сужение /7-ой частичной суммы этого ряда при г = . Имеет 8 место следующее утверждение.

Теорема 2.2.(стр. 78 ) Пусть для интегральной системы (0.17) выполнены условия 1) -4). Тогда имеет место оценка y{l,s)~ v п(0||с1о /] <С (л = -1,0, 1,.), (0.29) где y(t,s)—точное решение системы (2.2), а Усп (0 ~ формальное решение, построенное выше. Постоянная Сп > 0 в (0.29) не зависит от с при с е (О, с0 ] где £q > 0 - достаточно мало.

Заметим, что приведенный выше алгоритм построения асимптотического решения справедлив в случае ju{t~)ф 0 (V7 е [0,Г]). Однако он очевидным образом модифицируется, если = 0 (V/1 е [0,7"]). В этом случае асимптотическое решение yEn{t ) не содержит сингулярностей

0, t), порождаемых спектральным значением ядра интегрального оператора, а сам алгоритм принимает форму алгоритма изложенного в главе 1 настоящей диссертации.

В третьей главе диссертации рассматривается интегральные уравнения с вырождающимися ядрами вида о V = \{t-s)K(t,s)y(s,£)ds + h{t), t e [0,Г]. (0.30)

Здесь ядро (t-s)K(t,s) обращается тождественно в нуль при s = t. Предполагается, что K{t,t)^ 0 V7 е [О, Т], т.е. в уравнении (0.30) имеет место вырождение первого порядка ядра интегрального оператора. Чтобы выяснить, какие функции описывают сингулярностии в решении задачи (0.30), про дифференцируем его по t. Получим интегро-дифференциальное уравнение вида % = )\к(,,,) + (/- дак, e)ds + m, у(0,е) = ^ dt

0. dt 31) которое при £ = 0 вырождается в интегральное уравнение Вольтерра первого рода I dt

Такие интегро-дифференциальные уравнения с позиций метод регуляризации ранее не рассматривались. Не рассматривались они и с позиций других методов. Основная проблема, которую надо изучить в первую очередь, эту проблема выделения существенно особых сингулярностей в решении системы (0.31). Поскольку ядро интегрального оператора изменяется медленно, то, согласно изложенному в главе 1 настоящей диссертации, можно выделить эти сингулярностии, производя повторно дифференцирование по t системы (0.31):

-4 = K(t. t)y + I 2 ^ + (i - s) Д y(s. ^)ds +

J dt of 1 dt"

0 \ y (0.32)

- ад.

Хотя мы получили довольно сложную интегро-дифференциальную задачу (0.32), из нее видно, что сингулярности решения исходный системы (0.30) определяются из характеристического уравнения Я2(/)— АГ(/, /) = 0.

Если I<(t,t)>0, то я12 = Тогда из метода регуляризации следует, что сингулярности в решении задачи (0.30) описываются двумя экспонентами ехр

С л V

Одна из них стремится к бесконечности, другая- к нулю. В этом случае ис ходная система (0.30) будет неустойчивой при £ —> +оо , поэтому случай

K{t,t) > 0 рассматривать не будем. Если же K(t,t) < 0, то сингулярности в решении задачи (0.30) описываются двумя экспонентами с мнимыми показателями, и в этом случае, как это следует из общий теории метода регуляризации [42], решение система (0.30) будет равномерно ограниченным при s —> 0 . Именно это случай и рассмотрен в диссертации. Уточним условия, при которых изучается задача (0.30). Будем предполагать, что функции K{t,s) иh[t) удовлетворяет требованиям:

5) /<-(/, s) е С°° (о < .V < / < Г, R1 j, h(t) е С00 ([О, т\ С1},

6)K(l,t)<0 (Vte[fl,T]).

Вводя регуляризирующие функции г, = - i J ' - 'r Г-^с-а^а - 4>2 О r2 = +- U- К(в,0)с16 = <^(0,(0.33) л £ 0 " ° 0 получим для расширенной функции y(t,T,£) следующую задачу t

-j- + £Ly-\G{t,s)y at Q где введены обозначения: а г л, S J ds + h(t), y(0,0,s) =

7(0)

0.34) a

OT\ дт2

G[t, s) ^ K(t, s) + (/ - s). s ^ (,)). ot

В задаче (0.34) не произведена регуляризация интегрального члена

J s

Как и в предыдущих, главах, для регуляризации оператора I у надо ввести класс М6. , инвариантный относительно интегрального оператора / . Этот класс является сужением при т y/[t) пространства т т y({,T)-.y = yx(t)e 1 +y2{t)e 2 + yQ(t), v т]с

Опуская подробности, получим следующее расширение задачи (0.31): с: — + <vLy — Ту = h(t), ot

0.35) где

00 00 у(г, Г, с) = ZRr-sysM > г=-2 у=-2 t,T,s)= Y,£kyA(t,T),yk(t,T)eU, к~—2 операторы Rk определяется г) е £/ следующим образом: т) = №(t, sb;o (s)ds > R

7=1

Tj

-\J\G<.t,s)y j(s) 1

J 1 f,A Д„ / ' ' 7 ' fm — k rill-1

0.36)

0.37)

7 ЯДл-)' J

Так же, как и в предыдущих главах, здесь развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач для коэффициентов у j {t, г) ряда (0.36). Каждая из этих задач имеет вид

-R0y{t,T)=H(t,T), y(0,0) = y°. (0.38)

Несмотря на то, что исходная задача (0.31) является интегро-дифференциальной, главным оператором итерационных систем этой задачи является интегральный оператор (0.37).Подчинение решения у(/,т) задачи

0.38) начальному условию ^(0,0) = у0 возможно за счет выбора произвольных функций в ядре оператора Rq .Сформулируем относящийся сюда основной результат.

Теорема 3.1.(стр. 100 ) Рассмотрим наряду с системой (0.38) дополнительные системы

- R0z(t, г) = Rxy(u т) - Ly{l\т) + P(t, г), (0.39)

- R0w{t, т) = R} z(t, t)-L z{t, г) - ^ + R,y(tt т) + Q(t, г), (0.40) ot где P(t, т), H(t, r), Q(t,r)sCJ— известные вектор функции. Пусть выполнены условия 5),6). Тогда для разрешимости задач (0.38) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы у = 1,2, v/ е [о, г],

7/(/,г),1)|/=0=0. Задача (0.38) при дополнительных условиях [Riy(t,z) + P{t,T), l)|^o=0'

Rxy(t, т) - Ly(t, т) + />(/, т), еГЛ = 0, j = 1,2, R2y{t,T)-C^ + Q(tiT),eTj^ 0, j = 1,2, v/ е [0, г] имеет единственное решение в пространстве U.

Как и в предыдущих главах, здесь так же обосновывается асимптотическая сходимость сужения ряда (0.36) (при т = ) при <£■ —> +0 .

В заключение отметим, что мы изучили скалярные интегральные уравнения типа (0.30). Системы уравнений с вырождающимся ядрами изучались Бободжановым. А. А. В настоящее время исследуются также вырождающиеся системы в случае быстро изменяющихся ядер.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Туйчиев, Олим Джураевич

Вводя функцию w(t,£) = y{t,e)

At Л и

A =

0 Г k(t) 0 H(t) =

Г n \ обозначая запишем следующую систему. dw A(t)w + II(t), w(t,f) = h(fl) h(fl)

3.59)

Решение (3.59) ищем методом регуляризацию Ломова, регуляризпрующую функцию

42]. Вводим j i (s)ds =

3.60) где A] = —i-J— k(tj, Ao - +i\J— k(t) ; при этом собствешгые векторы оператора А имеет вид bx = {l, i^J- k{t)\ b2 = {l, - i^J- k(t)}, а собственные векторы сопряженного оператора А* — вид: dx = 1 }. ~ {- ij^Wl1 }•

Вводя новую функцию. w{t,T,s\ которая удовлетворяет равенству

IV» г, г, Б) т=

V(t) w(t,£);

3.61) s и учитывая (3.60). (3.61). получим расширенную задачу:

Swft,.?) , . . 5w . г-—. / ч . . . £•-^ + X Л (О — = Aw(t. е) + h(t),

St w (0.0.s) = дт: h(0) h(0)

8'

3.62)

Решение (3.62) ищем в виде ряда со w

3.63) к =-2

Поставляя (3.63) в (3.62). получим следующие итерационные задачи:

0w2=0, w2(0,0) = {A(0),0}

3w w(0,0H dw

0,h(0)

-1

V"oM =//(/)-—w0(0,0) = {0. 0}; 0

L„Wl(t.r)=~^^-, w>,O) = {fl.h(0)l i>0. at

Решения итерационных задач ищем в пространстве

U = {if : w(t, т) = w, {t)eT[ + w2 (t)eT2 + w0 (t), Wj (/) e C°° ([О, T\ С2)}. Решая задачи ) и (о '). получим для определения коэффициентов функции /оч Т ■ (О Л т) - X " {t)b j е J + ^ (0 следующие задачи: и; j (t) + aH\t) bj,d. = Aw[."2\t) = 0. J

Решая (3.64), мы получим и><~2) (0 = о,

J w 2 t •

Jbj,d. ds 1 m °2Ш J d 80 Ш

0=sj ds 2 где b/ = r i w W

W-k(t)

J) b,.d(

0 Л iC-kCQ) k(0 \ iJ-k(t) 1

2V=k(t) i[-k(t)| k(t)

- kco) f. Л v У i д

2Я ,(t) 5s вд;

Общее решение системы (<? I, запишется в виде

U \ v h(0) 0

Jbj.d. ds т. b.e J J

3.64)

3.65)

3.66) и оно совпадают с решением (3.55). полученным с помощью нашего алгоритма 2

Тем самым показано, что коэффициенты при £ рядов (3.37) и (3.63) совпадают. Аналогично показывается, что и остальные члены этих рядов, полученные нашим методом и методом регуляризации, совпадут.

Аналогично как в главе 1 можно доказать справедливость следующая теоремы .

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1) и 2) и h(0) = h(0) = 0. Для того чтобы решение y(t.s) задачи (3.1) сходилось при е —> + 0 к решению y(t) предельной системы t

J(t - s)K(t,s)y(s)ds + h(t) = О О равномерно по I е[0,Т]), необходимо и достаточно, чтобы h(0) = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Туйчиев, Олим Джураевич, 2004 год

1. Боголюбов H.1., Митропольский ТО.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. -504с.

2. Бобочко В.Н. Ломов С.А. Внутренний пограничный слой.// Тр. Моск. Энерг. Ин-та. 1980. Вып.499.с.57-60.

3. Бутузов В.А. Угловой погранслой в смешанных задачах для гиперболических уравнений .//Матем.сб. 1977.Т. 104.№>3.с.460-485.

4. Бобочко В.Н. Задача Валле-ГТуссена для системы сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений с нестабильным спектром предельного оператора.//Укр.мат.жур.1984.Т. 17.№2.с.34-45.

5. Birkhoff G.D. Он the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations constaining a parameter.//Trans.Amer.Math.Soc.l908.v.9.p.219-231.

6. Булатов P.А. Ларионов Г.С. Метод эквивалентного соответствия в линейных пнтегро-диффсрепциальным уравнениях.//Исслед. по шпегро-дифференциальпым уравнениям. Фрунзе.:«Илим». 1985.Вып. 18.с. 238-246.

7. Булатов Р.А., Ларионов Г.С. Построение классов решений линейных систем иптегро-дифференциальных " уравнений. //Всесоюзная копф. По асимптотическим методом в теории сингулярно возмущенных уравнений. Алма-ата.: Изд-во Паука АН УзССР. 1979.4.2. с. 107-109.

8. Васильева А.Б. Винокуров В.А. Ломов С.А. Митропольский Ю.А. Математическая школа «Метод малого параметра и его применения» //У МН .1973 .ТЗЗ .№3 .с.207-223.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973.-272с.

10. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных.//УМН. 1963 .Т. 18.Вып.З .с.3-36.

11. П.Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир.1968.-464с.

12. Waso\v W. Asimptotic solutions of boundary value problemes for the differential equations. //Duke. Math.J. 1944.v. 1 l.p.405-411.

13. Виншк М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. //УМН. 1957.Т.12.Вып.5.е.З-122.

14. Вишик М.И., Лгостерпик Л.А. Асимптотические поведения решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями.//УМН. 1960.Т. 15.Вып.4.с.27-95.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука.-550с.

16. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.-536с.

17. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особы-х типов дифференциальных уравнений второго порядка.//У МН. 1952.Т.7.Вып.6.с.З-96.

18. Дзядык С.10. Исследование решений колебательного типа неоднородных уравнений второго порядка сточкой поворота. Препринт ИМ-73-7. Киев. 1973.

19. Дзядык В.К. Асимптотические представления решений сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений с точкой поворота. В кн.: Теория функций и сс приложения. Киев: Наукова думка. 1979.

20. Данфорд П., Шварц Д. Линейные операторы. Т.1.2. М.:ИЛ. 1962.

21. Демпдович Б.11. Лекции по математической теории устойчивости. М. 1967.

22. Елисеев А.Г. Ломов С.А. Теория возмущений в банаховом пространстве. // Докл. АН СССР. 1982. Т.264. №'1. С. 34-38.

23. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора. //Матем. Сб. 1986. Т. 131 (173): №4. С. 544-557.

24. Елисеев А.Г., Сафонов В.Ф. Методы асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений. М: Изд-во МЭИ. 1990.-60с.

25. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника. 1970.-670с.

26. Иманалиев М. И Асимптотические методы в теории ингулярно -возмущенных интегро-дпфференциальпых систем. Фрунзе: 1974.-350с.

27. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе.: Илим. 1974. -350 с.

28. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе.: Илим. 1977.

29. Контарович J1.B. Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.-М.: Наука. 1977.-744 с.

30. Касымов К.А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейных уравнений, содержащих малый параметр. //УМЫ. 1962. Т. 17. Вып.З.с.187-188.3 1.Коэл Дж. Методы возмущений в прикладной математике-М.: Мир. 1972.-274 с.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.-740 с.

32. Кодингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ.1958.-475 с.

33. Качалов В.И. Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру. //Докл. АН СССР. 1988. Т.299. .№4. с.805-807.

34. ЗЗ.Кприпкова О.И. Расщепкина Н.А. Регуляризованная асимптотика решения параболической задачи в случае спектральных особенностей. //Спектральная теория в задачах матем. Физики. Сб. иаучн. трудов.М.: МЭИ.1987. №141.с. 109113.

35. Конясв Ю.А. О новом подходе к иследованию сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра. //Диф. уравнения. .1985.Т.21 .№10. с.1811-1814.

36. Liouville J. Sur le devecloppement des fonctions on partiies en series dont les divers termes sont assujettes asatisfaire a une neme equation differentelle du seeond ordre contenant une paramctrc variable // J. Math. Pure. Appl.1837. v.2.p. 16-35.

37. Lauger R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special refference to a turning point.// Trans. Amer. Math. Soc. 1949. v.67. p.461-490/

38. Ларионов Г.С. Метод эквивалентного соответствия в линейных задачах динамики не вполне упругих систем//Докл. АН СССР. Т.229. №1.1976. с.48-51.

39. Ларионов Г.С. Колебания осциллятора со слабо нелинейной упруго-наследственной характеристикой //Изв. АН УзССР. МТТ.1972.Т.I.e.64-68.

40. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент.:Фан. 1985.-188с.

41. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука. 1981.-400с.

42. Ломов С.А. Равномерные асимптотические разложения одной задачи с точкой поворота. В кн.: Докл. научно, техн. конф., секция матем. М.: МЭИ. 1969.С.42-50.

43. Ломов С.А. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач //Докл. АН СССР. 1982. Т.265.№3.с.529-532.

44. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование при изменении характера спектра //Тр. Мокв. энерг. ин-та. 1978.Вып.357.с.56-62.

45. Ломов С.А. Обобщение теоремы Тпхипова на случай чисто мнимого спектра //Докл. АН СССР. 1983. Т. 271.№6.с. 1317-1320.

46. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Асимптотическое интегрирование линейных задач в области «неустойчивости» // Изв. АН КиргССР. 1983. №3.с. 14-29.

47. Ломов С. А. Сафонов В.Ф. Регуляризация и асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с точечными особенностями ciieiapa предельного оператора // Укр. мат. жури. 1984. Т.36. №2. с. 172-180.

48. Ломов С.А. .Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач //УМН. 1988. Т.43. Вып. 3 (261 ).с.3-53.

49. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. -М.: Изд-во. МГУ. 1965.-554с.

50. Ломов И.С. Обычная сходимость асимптотических ряда при точек спектра. //Вести. МГУ. Сер. матем. мех. -1987.№6.с.85-90.

51. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М. Паука. 1977.-384с.

52. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейой механике. Киев.: Нукова думка. 1971 .-440 с.

53. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения и релаксационные колебания. М.: Наука. 1975.-247 с.

54. Найфе А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир. 1976.-445 с.

55. Омуралиев А.С. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений //Исследования по пшегро-дпфференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим. 1987.Вып. 20.с.68-79.

56. Поптря1 ин JI.C. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрам!! при высших производпых.//Тр. Всесоюзного матсмат. Съезда. 1956(1958).Т.2.с.93-95.

57. Понтраягпн Л.С. Мищенко Е.Ф. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производпых.//Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1959.Т.23.№5.с.643-660.

58. Prandll L. Uber Flussigkeishewegung ber sehr klrinen Reibung.//Vcrk.d. 11 l.Inl.Math.Kongr.Heidelberg. 1904.Teubener. 1905.484-494.

59. Расщепкина H.A. Асимптотическое интегрироваппс краевой задачи при изменении характера спектра.//Укр. мат.журп.1982.Т.4.№6. с.789-792.

60. Расщепкина II.А. Асимптотическое интегрирование задачи Коши в условиях неешбилыюстн спектра.В кн.:Меюды малого параметра и их приложение.Минск. 1982.

61. Рыжих А.Д. Асимптотическое интегрирование уравнения в банаховом пространстве.//Тр. Моск. энерг. инс-та.1980.Вып.499.с.159-161.

62. Сафонов В.Ф. Регуляризованые асимптотические решения сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнеиий.//Докл. АН СССР. 1977.Т.235.№6.С. 1274-1276.

63. Сафонов В.Ф. Асимптотическое решение сингулярно-возмущенной нелинейной задачи с нулевой точкой спектра предельного оператора.//Тр.Моск.энерг.ин-та. 1978.Вып.357.с.95-97.

64. Сафонов В.Ф. Румянцева М.А. Асимптотические решения сингулярно-возмущенных задач с* нарушением стабильности спектра на множествах положительной меры.// Спектральная теория в задачах матем.физики.Сб.науч.трудов.М.:Моск.энерг.ин-т.1987.№14 I.e.86-88.

65. Сафонов В.Ф. Нормальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных эволюционных уравнений.//Днф. уравн. 1989.Т.25.№4.с.627-635.

66. Сафонов В.Ф. Выделение сингулярностей с номощыо нормальных форм // Вестник МЭИ 1994 № 4. стр. 73-83

67. Стрижков В.А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно возмущенных нелинейных задач.//Матем.заметки. 1985.Т.37.Выпб.с.847-868.

68. Тихинов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого парамстра.//Матем.сборник.1947.Т.22.(64).с. 193-204.

69. Тихинов А.Н. Системы дифференциальных уравнений содержащие параметры при производных.//Матем.сборник. 1952.Т.31 (73).№3.с.575-586.

70. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика.//УМН. 1970.Т.25.Вып.4( 154).с. 123-156.

71. Trjitginsky W.S. Theory of linear differential equationst containing a parameter. // Asta. Math. 1936.V.67.P. 1-50.

72. Федорюк M.B. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнении. М.: Наука. 1983.-350с.

73. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука. 1987.-370с.

74. Фещенко С.Ф. Шкиль Н.Н. Нпколаенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев.: Наукова думка. 1966.-252с.

75. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и иптегро-дифферепциальных уравнениях. Ташкент: Фан. 1971.-280с.

76. Филатов А.Н. Асимптотические, методы в теории дифференциальных и иптегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент: Фан. 1974.-216с.

77. Филатов А.Н. Шарова J1.B. Интегральные неравенства и теория линейных колебаний. М.: Наука. 1976.-152с.

78. Филатов А.Н. Шсршков В.В. Асимптотические методы в атмосферных моделях. Ленинград.: Гндрометпздат. 1988.-266с.

79. Ха паев М.М. Введение в теорию устойчивости. М.:Наука. 1986,-192с.

80. Ха паев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.:Высш.школа. 1988.- 184с.

81. Хартмап Ф. Обыкновенные дифференциальных уравпепня.-М.:Мпр. 1970.-720с.

82. Sehlesinger L. Uber asymptotische Darslellunger deer hosunden linearer Differentials systems als Functioned lines Parameters. //Math.Ann. 1907.Bd.63.s.277-300.

83. Бободжанов A.A. Бобохаиов К., Туйчиев О.Д. Регуляризация по нормальным формам в задачах с точкой поворота. // Сб: «Иследедование теории дифференциальных, интегральных и операторных уравнений». Худжанд.1993 г.с.5-7.

84. Сафонов В.Ф. Туйчиев О. Д. Сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтера и его регуляризация. // Сб. «Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущенний» г.Воронеж. 1994.

85. Сафонов В. Ф. Туйчиев О. Д. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения с быстро изменяющимися ядрами. // Сб. Матем. Модели и методы в социальных науках. Труды вюрых математических чтений МГСУ. Москва. 1994.С.32-34.

86. Бободжанов А.А., Калимбетов Б.Т. Туйчиев О.Д Равномерная асимптотика интегралов с нестабильной фазой. //Сб. Матем. Модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. Москва. 1994.с.35-36.I

87. Бободжанов А.А. Сафонов В.Ф. Туйчиев О.Д Исследование по сингулярно возмущенным интегральным и ишегро-дифференциальпым уравнениям. // Обнинск. 1996г. Сб.:Методы малого парамефа» .поев.90-летию академика А.Н.Тихонова, с. 12-13.

88. Бободжанов А. А. Туйчиев О. Д. Асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра в случае нестабильности спектра «смещенного» ядра. //Сб. Матем. и методы и приложения. Труды пятых математических чтений МГСУ. Москва. 1997.с.29-30.

89. Бободжанов А. А. Туйчиев О. Д. Сингулярно возмущенное интегральное уравнение с вырожденным ядром. //Дифф. уравн. 33 (1997). №11.- С. 15371542.

90. Сафонов В. Ф. Туйчиев О. Д. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотика. // Дифф.уравн. 33 (1997).№9.-С. 1199-1211.

91. Туйчиев О.Д., Бободжанов А. А. Сингулярно возмущенное интегралное уравнение с вырождающимся ядром. Ученые записки ХГУ. № 4 Хужанд 2002. 23-34 стр.

92. Туйчиев О.Д. Асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения в случае нестабильного спектра // Маводи конфронси наз. ва амалп устодону олимони чавон ба ифтихори 70-солагии ДДХ Хужапд. 2002.

93. Туйчиев О.Д. Об асимптотики решения сишулярного интегрального уравнения второго рода. //Сб.материалы конфренцип малодых учение ТГУППБ Хужанд 2003

94. Туйчиев О.Д. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения Вольтерра и его асимптотика //Материалы международной научной кофренцпи «Актуальные проблемы математики и ее приложения». Хужанд 2003 с. 154-157.