Формулы следов для возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Зыкова, Татьяна Валерьевна

• Зыкова, Татьяна Валерьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Зыкова, Татьяна Валерьевна

Содержание

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЗАМКНУТЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОТОКОМ

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Многообразие МЬ

1.1.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии МЬ

1.1.3. Спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами

1.2. Построение и вычисление регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на МЬ

1.2.1. Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь — ~^мь + В и —Амь

1.2.2. Построение регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь + Ч и —Амь

1.2.3. Сведение общей формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —А + <7 и кы

1.2.4. Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами

1.2.5. Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на МЬ

1.3. Задача нахождения регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения

1.3.1. Общий вид метрик в случае общего положения

1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения

1.3.3. Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-

Бельтрами на многообразии в случае общего положения

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формулы следов для возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком»

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящей работы является исследование задач теории регуля-ризованных следов дифференциальных операторов на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими. В диссертации исследован спектр, дзета- и тета-функции и получены формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на разных типах многообразий с замкнутым геодезическим потоком.

Известны два основных метода исследования распределений собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром: вариационный принцип (Г. Вейль [37], Р. Курант [9]) и резольвентный (Т.Карлеман [26]). Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен к гладкости коэффициентов, границы области и т.п., его же недостаток в том, что он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. С резольвентным методом, который основан на изучении резольвенты рассматриваемого оператора (или другой функции от него) и последующем использовании тауберовых теорем, связаны многие важнейшие достижения в области спектральных асимптотик: метод гиперболического уравнения (В.Г.Авакумович [25] и Б.М.Левитан [10]) и метод параболического уравнения (С. Минакшисун-дарам и А. Плейль [32]). Подробный обзор по тематике спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных можно найти в [15]. Приведем основные результаты этой теории.

Пусть Л^(А) число собственных значений с учетом кратности оператора А, не превосходящих Л. В 1913 году Г.Вейлем [36] был получен главный член асимптотики Л^(А) ~ а\п^т (т-порядок оператора, п-размерность многообразия М, на котором он действует) без оценки остаточного члена, и было сделано предположение о существовании второго члена асимптотики N(X), связанного с учетом граничных условий (для многообразия с

краем). Л.Хёрмандер [30] получил следующий результат: пусть А самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор на компактном многообразии М без края, тогда

при Л —у +оо.

Остаточный член в формуле (1) в некоторых случаях может быть исследован, и сейчас принята следующая классификация (см. например, [15]): - говорят, что функция N(\) имеет вейлевскую асимптотику, если

где а, Ь - константы;

- говорят, что функция N(X) имеет квазивейлевскую асимптотику, если

где а, Ь - константы, а ф(А) - ограниченная, равномерно непрерывная на К функция;

- если функция ф из (3) имеет разрывы в точках^, иок —»• оо, то можно построить сходящуюся к нулю положительную последовательность {£&}, для которой

ЩХ) = аХп'т + 0(Л(п"1)/т)

(1)

ЛГ(А) = аХп'т + + о{Х^'т),

(2)

ЩХ) = аХп'т + ЪХ^'т + 0{Х)Х{п~1)1т + (3)

Щ(ик + ек)т)-Щ(ик-ек)т) =

{Я{ык + 0) - <2(ик - 0Ж"1 + «К"1)-

(4)

Если

+ 0) - <2(ик - 0)) > с > о,

то (4) означает, что вокруг точек шк образуются стягивающиеся к при

к —> оо группы собственных значений оператора

А1/т

с сумарнои кратностью порядка Такие группы собственных значений называются кластерами., а про функцию N(\) говорят, что она имеет кластерную асимптотику.

Характер асимптотики Л^А) зависит от свойств бихарактеристическо-го (биллиардного для оператора на многообразии с краем) потока оператора А (работы Дж. Дейстермаата и В.Гийемина [27], В.Я.Иврия [7,31], Д.Г.Васильева [4] и других). Точка € Б*М называется абсолют-

но периодической относительно бихарактеристического потока если £) = (х, £), и график отображения Р1 в точке (х, ж, £) имеет касание бесконечного порядка с графиком тождественного отображения. Говорят, что выполнено условие неабсолютной периодичности, если мера множества точек из 5*М, абсолютно периодических относительно этого потока, равна нулю. Для случая неабсолютной периодичности было показано, что N(X) имеет вейлевскую асимптотику для оператора на многообразии без края [27], для оператора второго порядка [7,31] и для оператора высокого порядка на многообразии с краем [4], а так же для задачи с псевдодифференциальными краевыми условиями [6]. Квазивейлевская асимптотика Л^А) впервые была обнаружена в задаче дифракции [21].

Задачи, для которых условие неабсолютной периодичности не выполнено, исследованы значительно менее полно. Например [27], если все траектории потока на многообразии без края периодичны и имеют общий период, то (при некотором дополнительном ограничении) А^(А) в этом случае имеет кластерную асимптотику.

Во всех перечисленных примерах исследование асимптотики Л^(А) проводилось с помощью метода гиперболического уравнения, в значительной степени развитого Л.Хёрмандером в [30]. В основе этого метода лежит исследование особенностей волновой функции оператора Тгехр(г'^4) - следа фундаментального решения, соответствующего оператору волнового урав-

нения с последующим применением некоторой тауберовой теоремы. Волновая функция имеет особенность при £ = 0 и при £ = ±7), где - периоды траекторий бихарактеристического (биллиардного) потока. Поэтому, для задачи с неабсолютно периодическим потоком достаточно исследовать особенность лишь при £ = О (нуль всегда является периодом траекторий бихарактеристического потока, а в данном случае других периодов нет).

Если нарушается условие неабсолютной периодичности задачи, то каждой абсолютно периодической функции траектории можно поставить в соответствие фазовый сдвиг /3. Характер асимптотики Л^(А) полностью определяется этим фазовым сдвигом [15]. Функция А^(А) имеет кластерную асимптотику тогда и только тогда, когда существует множество ненулевой меры в 5*М, состоящее из абсолютно периодических точек, которым отвечает один и тот же фазовый сдвиг. Если же такого множества, не существует, то функция Л^(А) имеет квазивейлевскую асимптотику. При некоторых дополнительных условиях функция <5(А) из уравнения (3) оказывается периодической.

Получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора становится важным инструментом в исследовании спектра оператора, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра становится невозможным. Так в случае, когда Л^(А) имеет кластерную асимптотику (4), невозможно улучшение остаточного члена в (2), более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики.

Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида

"к-Ак(а)) = В(а), (5)

к

где Хк - собственные числа оператора А, а € К1, а Ак(а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ ^^ может

означать как обычное суммирование, так и применение какого-либо метода суммирования.

Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе [5] И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиу-

Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.

В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в работе [12] был предложен метод доказательства формул типа (5) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.

Даже для обыкновенных дифференциальных операторов регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды (см. например [17]), и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом.

Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мартино-вича 1987 года [18]. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [16], где рассматривался оператор

вилля с потенциалом д(х), J q(x)dx = 0:

о

п=i

Лапласа-Бельтрами, возмущенный гладким нечетным вещественнознач-ным потенциалом на двумерной единичной сфере Б2. Этот оператор имеет кластерную асимптотику Л^А), и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула:

к=0 1_г=0

2 к

^11Ы-к{к + 1){2к + 1)

-к!«43-

52

Позже В. Е. Подольский [14], применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским [33] были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1. А.Н. Бобров предпринимал попытку [2] найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы), и приведенную им фомулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы 52 и произвольной комплекснозначной функции д £ С00 был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для д е С2(52) [19], а в 2011 году для д € \¥?(в2) [20] получили формулу регуляризованного следа:

оо 2 к

XI ^ы ~ к(к+~ с°]= 2сь

а:=0 ¿=0

где с„ = ± / с, = ¿з / /

- скалярное произведение векторов й = (соБсрзтО^тсрэтв^созв)

И C¿ó = (cos IPQ sin во, sin Ifo sin 6q, COS во).

Другой подход — суммирование по Абелю. Впервые этот метод был применен В.Б. Лидским в [11] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых обыкновенных дифференциальных операторов. Позже этот метод был успешно применен В.А. Любишкиным и В.Е. Подольским в работе [13], где была предложена формула суммирования методом Абеля первых регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов порядка т > 0 на римановом многообразии размерности п. Существенное ограничение этого исследования т/п > 1 было снято для компактных симметрических пространств ранга 1 в уже упоминавшихся работах В.Е. Подольского [14] и [33].

Целью настоящей диссертации является получение явных формул регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутым геодезическим потоком. Сначала мы доказываем формулу регуляризованного следа в случае, когда оператор рассматривается на не рассматривавшеемся ранее в задачах спектральной теории типе многообразия с замкнутыми геодезическими (метрика которого задана в явном виде), а затем будет приведено обобщение результата на двумерные многообразия с замкнутыми геодезическими, с помощью представления метрики в абстрактном виде. В основе решения поставленных задач лежит применение различных методов теории регуляризованных следов к псевдодифференциальным операторам (ПДО), действующим на компактных многообразиях без края, с периодическим гамильтоновым потоком. Если у многообразия геодезический поток замкнут, то оператор Лапласа-Бельтрами входит в этот класс.

Пусть М - компактное связное С°°-многообразие без края размерности 2, А - эллиптический ПДО порядка 2 и А е Ф^ДМ), где ЩНд(М) —

класс полиоднородных1 ПДО порядка 2 на М [23]. Будем полагать, что на М фиксирована некоторая положительная плотность р, причем А— симметричен относительно соответствующего скалярного произведения в Ь2р(М):

(и,у)ь2(м) = У идр, и, у е С°°(М), м

и строго положителен.

А является оператором с компактной резольвентой и дискретным спектром, который состоит из вещественных собственных значений конечной кратности, которые могут накапливаться только к +оо. Обозначим собственные значения оператора А через {А^}^ с учетом кратности в порядке возрастания. Мы будем полагать, что весь спектр А лежит на луче (О, +оо) (в противном случае мы можем рассмотреть оператор А + с/ с соответствующей константой с > 0).

Рассмотрим расслоение плотностей О. на М. Сечение расслоения Г2, выраженное в локальных координатах х\, Хч - это функция и, такая что мера и\йх\ не зависит от выбора локальных координат (\йх\ обозначает меру Лебега в локальных координатах). Для функции и', представляющей рассматриваемое сечение в локальных координатах х' имеем

и'\йх'\ = и\йх\.

Для любого а € С можно определить степень Оа расслоения Г2, заменив записанный выше закон преобразования на

и'\йх'\а = и\(1х\а-

1 Нижний индекс фд является сокращением от polyhomogeneous (полиоднородность). ПДО называют полиоднородным, если его символ является полиоднородной функцией, то есть функцией вида

оо

а(х,£) ~ где функция а^ однородна степени тп—] по £ при |£| > 1, где тп - порядок ПДО [23].

¿=о

более формально, расслоение fia строится по функциям перехода

3W - | det(x о у/~1У1а о >/ в М„П М*,

где х и х! - произвольные локальные координаты в координатных окрестностях Мх и М^. Таким образом, можем опеределить расслоение полу-плотностеи — Q}'2 и в дальнейшем обозначать сечение расслоения полуплотностей через С°°(М, П1/2).

Дальше отметим, что если Е и F - комплексные векторные расслоения класса С°° над С°°-многообразием М, то ПДО порядка 2 из сечений расслоения Е в сечение расслоения F - это непрерывное линейное отображение:

А! : С0°°(М, Е) -> С°°(М, F),

удовлетворяющее следующему условию: для всякого открытого множества У С М, над которыми расслоения Е и F тривиализуются с помощью отображений

фЕ : E\y -> V х С, </>f : F|y —> Y х

существует / х е - матрица псевдодифференциальных операторов А¡ - G такая что

(<ЫЛ'и)|г)г- = А^(фви)у, и € С5°(У,£7).

В этом случае мы будем писать, что А' 6 Е, F).

Мы будем рассматривать оператор Р, действующий в сечениях расслоения полуплотностей по формуле:

Ри = р1/2А{ир~1/2), и е С°°(М, Q1/2),

где р - положительная фиксироанная плотность на М. Эта формула определяет классический эллиптический ПДО из Ф2Л (М; О1/2, Г^2), для которого (Рщь) = (щРу), и,у €. С°°(М, О}^2). Собственные значения этого оператора совпадают с собственными значениями оператора А, а собственные функции получаются из собственных функций оператора А умножением на р1//2.

Из асимптотического разложения полного символа оператора Р

оо .7=0

можно определить главный р(х, £) и субглавный символы опера-

тора Р по правилу

к= 1

где р^{х, £) — положительно однородные по £ функции порядка 2 — у:

= г> 0. -

1 д

При этом для дифференциального оператора Р = ра(х)Ва, И = ——

гдх

\а\<2

имеем соответственно

РЫ)=

|а|=2

|а|=1 к= 1

Для операторов, действующих в сечениях расслоения полуплотностей, главный и субглавный символы являются инвариантно определенными функциями на кокасательном расслоении без нулевого сечения Т*М\ {0}. Теперь будем рассматривать гамильтонову систему Т*М, порожденную

главным символом оператора Р1//2:

Idxjt) _ дрУ2{х,£) dt /6) д№= др1,2М

dt дх '

состоящую из четырех уравнений, (х, £) — координаты в Т*М, индуцированные некоторой локальной системой координат в М. Известно, что векторное поле Нр 1/2 на Т*М, опеределяемое правыми частями в (6), не зависит от выбора локальных координат в М.

Введем в рассмотрение гамильтонов поток Р*(х,£): являющийся множеством траекторий гамильтонова поля Нр 1/2 (действие потока —оо < t < +00, состоит в том, что любая точка (х,£) 6 Т*М переходит в точку (x(t),£(t)) £ Т*М, являющуюся значением в момент времени t решения системы (6) с начальными условиями ж(0) = х, £(0) =

Особенности траекторий гамильтонова поля г,£) и их проекций на М (бихарактеристик опертора Р) несут информацию о спектре самого оператора и его асимиптотике [15]. Так если для оператора Р на связном многообразии без края выполнены два условия:

1. Все траектории гамильтонова поля Нр 1/2 замкнуты и имеют наименьший общий период Т.

То есть, бихарактеристики оператора Р на М являются простыми замкнутыми кривыми без самопересечений и при любых фиксированных (ж,£) поток Рь(х,£) периодичен по t с наименьшим периодом Т.

2. р(Т, х, £) = А) = const на Т*М \ {0}.

Здесь (3(Т,х,£) - сдвиг фазы для замкнутой траектории

Ft{x,^)1 0 <t<T, где FT(x,£) = (х,£), определен как

гд eßa(T,x,t) =

ß(T,x,Z)=ßc(T,x,Z)+ßa{T,x,Z),

1

\ Jp-^F^^subiF^^dt

an

2л-

ßc{T, х, £) = -—, здесь [-]2тг - вычет по модулю 2тт, а - индекс Маслова траектории 7,

то с точностью до о(А) все собственные значения оператора Р1//2 содержатся в объединении интервалов вида (jUk+Sk, ¿к), где ßk = (2пк — ßo)T_1, £к 0.

Указанными свойствами обладает оператор Лапласа-Бельтрами на многообразиях с периодическим геодезическим потоком, который и будет рассматриваться в настоящей диссертации.

Опишем структуру данной работы. Диссертация состоит из одной главы, приложения и списка литературы.

В основной главе проводится исследование спектральных свойств возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком.

В первом параграфе приведены предварительные сведения:

В пукте 1.1.1 описано многообразие ML, на котором изучаются спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами (многообразие было построено и изучено в монографии A.B. Болсинова и А.Т. Фоменко [3]). Метрика этого многообразия получается посредством перехода к сфероконическим координатам (^1,^2,^3) в R3:

2 _ vi(a + v2){a + уз) 2 = vi(b + v2)(b + v3) 2 _ vi(c + + уз) ^ ~ (а — Ь){а — с) 'У ~ (Ь — а)(Ь — с) ,Z ~ (с-а)(с-Ь) '

представления метрики стандартной сферы в сферо-конических координа-

тах (г>1 = х2 + у2 + г2 = 1):

,2 1, . / ^о (1Уо \

^ = \-рщ + рщ)>

где Р(г>) = (а + и)(Ь + и)(с + и); и последующим возмущением этой метрики:

,2 1/ \ ( ¿V2 \ , .

^=1("2 - (гш+ад; • где (7)

<5(^2) = Щщ) = на области соотв. х > 0, г > 0;

<5(^2) = ^+(^2), Щщ) — Л-^з), на области соотв. х < 0, г > 0;

<5(г>2) = ф_(г;2), -й(^з) = на области соотв. х > 0,0 < 0;

= <5_(г>2), -К(^з) = Я-(уз), на области соотв. ж < 0, г < 0;

Таким образом, получено целое семейство С°°-гладких метрик (1з2а р (попарно неизометричных) на двумерной сфере, зависящее от двух функциональных параметров а и /9, и таких, что

1) все геодезические этих метрик замкнуты и имеют одинаковую длину;

2) все эти метрики (1в2 р являются возмущениями метрики стандартной сферы в том смысле, что при а = 0, /3 = 0 метрика превращается в обычную метрику с^д постоянной кривизны на сфере;

3) все метрики задаются явными формулами.

В пункте 1.1.2 описан сам оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии МЬ: приведен его явный вид на нем, исследован и описан его полный символ и его компоненты, описан его бихарактеристический поток и выделены особенности его траекторий.

В пункте 1.1.3 изложены основные спектральные свойства оператора

Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими (собственные значения, их кратность, связь собственных чисел возмущенного и невозмущенного оператора), а так же приведены известные на сегодняшний день результаты в теории регуляризованных следов.

Во втором параграфе проводится построение и вычисление регуляри-зованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на МЬ. Для этого в рассмотрение вводятся:

1) псевдодифференциальный оператор второго порядка— Амь на МЬ, собственные числа которого совпадают с собственными числами оператора Лапласа-Бельтрами на стандартной сфере, то есть = к(к + 1), где к = 0,1,...; г — 1,..., 2к+1. Также вводится в рассмотрение тета-функция

оо

этого оператора .Р(£) ~ ^^ при ^ —0;

¿=о

2) оператор Лапласа-Бельтрами — Амь на МЬ с собственными числами Аь

оо

и тета-функцией Ь(Ь) ~ ^^ при £ —V 0;

з=о

3) возмущенный оператор Лапласа-Бельтрами —Амь+О. МЬ с собствен-

оо

ными числами цы и тета-функцией М(£) ~ ^^ т^ при t 0.

j=0

В пункте 1.2.1 строится формула регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь и —Амь, которая имеет вид:

оо / 2к \

к=О V г=0 )

= /2-/2-00/1 + ^2 J (vav)2dv,

s*ml

где aav определен ниже в формулировке Теоремы 1, ао = —k ~ коэф-

/о

фициенты разложения тета-функции L(t) и fa - коэффициенты разложения тета-функции F(t).

В пункте 1.2.2. строится формула регуляризованного следа для соб-

ственных чисел операторов —Aml + q и —Aml, которая имеет вид:

оо /2 к

Y1 ( Yl^ki - Xki) ~ b0(2k + 1) к=0 \ i=0

= l2-m2-b0h + JL J {qav?dv,

s* ml

где qav определен ниже в формулировке Теоремы 1, &о = ~i—U ~ ко-

h

эффициенты разложения тета-функции L(t) ит;- коэффициенты разложения тета-функции M(t).

В пункте 1.2.3 из формул, полученных в пунктах 1.2.1 и 1.2.2, выводится окончательная формула искомого регуляризованного следа:

оо / 2к

( 2 ^ " к(к + г)(2к + !) - (fl0 + Ь0)(2к + 1)

А;=0 \г=0

= + / ^av)2dv-m2-bQh + ^ J (■q™)2dv, (8)

s* ml s'ml

_^

где oav и qav определены ниже в формулировке Теоремы 1, ао = —j—, I

Ъ0 — 1 7711, ттц - коэффициенты разложения тета-функции M{t), U - коэф-k

фициенты разложения тета-функции L(t) и fi - коэффициенты разложения тета-функции F{t).

В пункте 1.2.4 устанавливается связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами и приводится схема вычисления искомых коэффициентов тета-функций операторов для вычисления правой части формулы (8).

В пункте 1.2.5. проводятся все вычисления недостающих коэффициен-

тов для вычисления окончательного ответа:

m0 = l,mi = i - ^ JJ q{v2,v3)^/detgdv2dv3,

ml

1

т2 -

60тг ml

JJ {AmlKml + K2ml) \/detgdv2dv3+

^ JJ {~AMLq{v2,v3) + 3q2{v2,v3) - 2q{v2,v3)Kml) y/áetgdv2dv3,

24тг

ml

l0 = l,h = i, l2 = JJ {AmlKml + K2ML)yJáetgdv2dv3,

ml

/о = 1, fi = 2' /2 = Y5'

„ Щуз) - Q(v2)) + (V2 - Уз)(#Ы + Q'M)

где ívml =-7-^--гауссова кривиз-

(v2 - v3)d

на ML, и \/detp = — 3 - корень из определителя матрицы

4y/-Q(v2)R(v 3) метрического тензора.

Здесь же формулируется основной результат второго параграфа: Теорема 1. Пусть ML — многообразие, заданное некоторым функциональным семейством гладких почти лиувиллевых метрик на сфере и определенное формулами (1). Если q - бесконечно-дифференцируемая комплексно значная функция на ML, то для собственных чисел оператора —Амь + Я верно равенство:

оо 2 k j 1 /■ \

ЕЕ qdS\ =

к=о ¡-0 \ /Г1 )

s'ml s'ml

^ J{AmlKml + K¡IL)dS " ¿ / {~AMLq + 3q2 - 2q{KML ~ 1)) dS,

60тг

ml ml

^ КМЬ = 2(Л("з) - + <»» - + - еауссоеа ,Ри-

(У2 - У3У

визна МЬ, - элемент площади поверхности МЬ, Б*МЬ - расслоение единичных сфер в кокасателъном пространстве, (1V - каноническая форма

2тг

объема на Б*МЬ, = J(ехр£Е)*(д)бЙ, где Е - гамильтоново вектор-

о

ное поле на кокасателъном расслоении Т* МЬ\{0}7 определяемое римано-

2тг

вой структурой на МЬ, аау = ^ (ехр£Е)*(сг)гй, где а = -(Кмь — 1+

), где у - еди-

г г

У {Кмь)у^8 - {Кмь\и2Ь У {КмьЪи^йв

о о

ничный вектор нормали к геодезической 7, J(r, о;) - объемная плотность

в геодезических полярных координатах, то есть <¿^0/(7) = J(r,cй)drdш, и

и v - фундаментальные решения уравнения Якоби вдоль геодезической 7 ( и{0) у(0) ^ ^

с условиями

у й(0) ¿(0)

В третьем параграфе задача нахождения регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами рассматривается в случае общего положения, когда метрика многообразия задана в абстрактном виде.

В пункте 1.3.1 определяется многообразие М € ЗС2ж (геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину 2тг), метрика которого получена возмущением метрики единичной сферы, заданной в некоторых координатах

(щ,и2)

йв2 — А{и\,112)<1и[ + 2В{щ, и2)(1щ<1и2 + С(щ, (9)

и имеет вид

dsl = Ар(щ, + 2Вр{и\,и^и^и2 + Ср(щ, и2)с1и1, (10)

причем Ар(щ,и2) = А(щ,и2) + Pa(ui,u2), Вр(щ,и2) = В(щ,и2) + Pb{uiiU2)i Ср(щ,и2) = С(щ,и2) + Pc{ui,u2), то есть возмущения таковы, что при обнулении функций Pa(ui,u2), Рв(щ,и2), Рс(щ,и2) мы получим стандартную метрику сферы ds2.

В пункте 1.3.2 описан сам оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии M: приведен его явный вид на нем, исследован и описан его полный символ и его компоненты.

В пункте 1.3.3 показано, что асимптотики тета-функций F{t), L(t), M(t) соответствующих операторов — Дм, —Дм, —Дм + Q, взятых уже на произвольном М, аналогичны асимптотикам, полученым в пункте 1.2.5, то есть найденные коэффициенты не зависят от вида метрики M, а зависят только лишь от инвариантных характеристик многообразия. Все коэффициенты были получены с помощью символьных вычислений в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica 9 [35], так как при задании метрики в общем виде (10), произвести вычисления вручную становится невозможным. В случае общего положения вид этих асимптотик представляет отдельный интерес, поэтому результат сформулирован в виде Леммы:

Лемма 1: Пусть M Е SC27T — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для тета-функций F(t), L(t), M(t) соответствующих операторов —Am, —Am, —Дм+ <7 верны асимптотические разложения при t 0;

m = t~ljr\ + ^ J (A mKm + K2M)dS^j t + 0(t2),

м® = г1 + I + I (АМКМ + к2м № +

\ м / \ м

^ У(-Амд + Зд2 - 2дКм)йБ | I + 0(*2),

+ 24тг 3 ,

м /

где Км = , -—-—--— х

4 (Вр(щ, и2)2 - Ар(щ, и2)Ср(иъ и2)У (ср(щ,и2)Ари2{и1, и2)2 - 2Вр(щ,щ)Ари2(и1,и2)Ври2(иъи2)+

Ар(иии2)Ари2{иъи2)Сри2{иъи2) + 2Вр{иии2)2АРи2и2{иъи2)-

2Ар(щ, и2)Ср(щ, и2)Ари2Ч2{ии и2) - 2Ср(иь и2)ВРи2(щ, и2)Ар'и1(и1,и2)+

Вр{щ,и2)Сри2{ии и2)Ари1{иъ и2) + 4Вр(щ, и2)Вр'и2(щ, и2)ВРи1{ии и2)~

2Ар(иъи2)Срщ{иъи2)ВРщ{иии2) - Вр(щ,и2)Ари2(щ,и2)Сри1(иъи2)+

Ср(щ, и2)Ари1{и1, и2)Срщ (щ,и2) - 2Вр(щ, и2)Вр'и1(щ, и2)Ср'и1(щ, и2)+

Ар(щ,и2)Сри1{иии2)2 - АВр{иьи2)2Вр'щи2(щ,и2)+

4Ар(и1,и2)Ср(иии2)Вр11и2(и1,и2) + 2Вр{и1,и2)2Ср11и1(щ,и2)-

2Ар(и\,и2)Ср(и1,и2)СРи1и^{и\,и2)^ — гауссова кривизна М.

В Теореме 2 показано, что результат Теоремы 1, сформулированный в пункте 1.2.5, полностью переносится на случай произвольного М. Результат, приведенный в Теореме 2, является универсальным и не зависит от явного вида метрик многообразия, а зависит только от его геомерических инвариантов. Из Теоремы 2, полученной для произвольного М, сформулированы три следствия, представляющие самостоятельный интерес:

Следствие 1: Пусть М 6 ЗС2ж — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для собственных чисел Хы невозмущенного оператора

Лапласа-Белътрами —Дм на М верно равенство:

оо 2 к

к=0 г=0

= 55 " бЬ /+ ^ + йЬ / ^^

м 5*м

г^е все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.

Следствие 2: Пусть М = <92 — стандартная сфера единичного радиуса, метрика которой задана в виде (9), я - бесконечно-дифференцируемая комплекснозначная функция на Б2, тогда для собственных чисел оператора —Д52 + ц верно равенство:

оо 2к / Л Г \

££ №-*(* + !)-- /вйЭ =

к=0 г=0 у 52 /

где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.

Следствие 3: Пусть М Е БСчя- — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для собственных чисел Ам невозмущенного оператора Лапласа-Б елътрами —Дм и для собственных чисел ры возмущенного комплекснозначной функцией д оператора Лапласа-Б елътрами —Дм + Я. на М, верно равенство:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зыкова, Татьяна Валерьевна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М. Мир., 1980.

[2] Бобров А. Н. След оператора лапласа-бельтрами с потенциалом на поверхности цолля. // Доклады АН. — 1999. — Т. 368, № 2. — С. 154156.

[3] Болсииов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация (Том 2). — Ижевск. Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.

[4] Васильев Д.Г. Двучленная асимптотика спектра краевой задачи при внутреннем отражении общего вида // Функц. анализ и его прил.— 1984. - Т. 18, № 4. - С. 1-13.

[5] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. - 1953. - Т. 88, № 4. - С. 593-596.

[6] Гуреев Т.Е., Сафаров Ю.Г. Точная асимптотика спектра оператора лапласа на многообразии с периодическими геодезическими // Труды МИАН. - 1988. - Т. 179. - С. 36-53.

[7] Иврий В.Я. О точных спектральных асимптотиках для оператора лапласа-бельтрами при общих эллиптических краевых условиях // Функц. анализ и его прил. — 1981.— Т. 15, № 1.— С. 74-75.

[8] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М. Мир., 1972.

[9] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 1.— М.: ГТГИ, 1951.

[10] Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. АН СССР. Серия матем. - 1952.- Т. 16, № 1.- С. 325352.

[11] Лидский В. Б. О суммиремости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов // Труды ММО. — 1962. — Т. 11. — С. 3-35.

[12] Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его прил.— 1967.— Т. 1, № 2,- С. 52-59.

[13] Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризован-ных следов дифференциальных операторов // Матем. заметки.— 1993. - Т. 53, № 2. - С. 33-38.

[14] Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора лапласа-бельтрами с нечетным потенциалом на сфере s2 // Матем. заметки. - 1994. - Т. 56, № 1. - С. 71-77.

[15] Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. напр. — 1989.— Т. 64.— С. 5-242.

[16] Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора лапласа-бельтрами с потенциалом на сфере j j ДАН СССР. - 1991. - Т. 319, № 1. - С. 6162.

[17] Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа // ДАН СССР. - 1981. - Т. 256, № 4. - С. 794-798.

[18] Садовничий В.А., Любишкин В.А., М.Мартинович. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // ДАН СССР. - 1987. - Т. 293, № 5. - С. 1062-1064.

[19] Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора лапласа на сфере s2 // Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, № 3. - С. 434-448.

[20] Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.И. Свойства резольвенты оператора лапласа-бельтрами на двумерной сфере и формула следов //Доклады академии наук. — 2011. — Т. 441, № 2. — С. 174-176.

[21] Сафаров Ю.Г. Об асимптотике собственных значений задач дифракции // ДАН СССР. - 1985. - Т. 281, № 5. - С. 1058-1061.

[22] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. — М. Мир., 1985.

[23] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными произвадными. Том 3. Псевдодифференциальные операторы. — Мосва "Мир 1987.

[24] Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — М. Наука., 1978.

[25] Avakumovic V. G. Uber die eigenfunktionen auf geschlossen riemannschen mannigfaltigkeiten // Math. Z.- 1956,- Vol. 65.- Pp. 324-344.

[26] Carleman T. Uber die asymptotische verteilung der eigenwerte partieller differentialgle-ichungen // Ber. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. — 1936. — Vol. 88.-Pp. 119-132.

[27] Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacterictics // Invent.Math. — 1975. — Vol. 29. — Pp. 39-79.

[28] Guillemin V. Some spectral results for the laplace operator with potential on the n-sphere // Adv. Math. - 1978. - Vol. 27. - Pp. 273-286.

[29] Guillemin V., Uribe A. Spectral properties of a crtain class of complex potentials // Trans, of the Amer. Math. Soc.— 1983.— Vol. 279.— Pp. 759-771.

[30] Hormander L. The spectral function of elliptic operator // Acta. Math. — 1968. - Vol. 121. - Pp. 193-218.

[31] Ivrii V. Precise spectral asymptotics for elliptic operators // Led. Notes in Math. - 1984. - Vol. 1100. - Pp. 1-238.

[32] Minakshisundaram S., Pleijel A. Some properties of the eigenfunctions of the laplace-beltrami operator on riemannian manifolds // Canad. J. Math. - 1949. - Vol. 1. - Pp. 242-256.

[33] PodoVskii V. E. On the summability of regularized sums of eigenvalues of the laplace-beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one // Russian J. Math. Phys.- 1996.- Vol. 4, no. 1,- Pp. 123-130.

[34] Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator // Proc. Symp. in sure Math.- 1967. - Vol. 10. - Pp. 288-307.

[35] Walfram. Mathematica 9.— [Electronic].

http://www.wolfram.com/mathematica/.

[36] Weil H. Uber die ranfwertaufgabe der strahlungstheotie und asymptotische spektralgesetze. // J.Reine Angew.— 1913.— Vol. 143, no. 3.- Pp. 177-202.

[37] Weil H. Das asymptotic eigenfunctions of mixed problems of stekloff type // Zs.Angev. Math. Phys.- 1972.- Vol. 23.- Pp. 1-12.

[38] Weinstein A. Fourier integral operators, quantization and the spectra of riemmanian manifolds. // Colloque International de Geometrie Symplectique et Physique Mathématique CNRS Aix (Juin 1974). — 1976.

[39] Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the laplacian plus a potential // Duke Math J. - 1977. - Vol. 44. - Pp. 883-892.

[40] Widom H. The laplace operator with potential on the 2-sphere. // Adv. Math. - 1979. - Vol. 31. - Pp. 63-66.

[41] Zelditeh S. Fine structure of zoll spectra // Journal of functional analysis. - 1997. - Vol. 143. - Pp. 415-460.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[42] Зыкова Т.В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на некотором семействе многообразий // Доклады Академии Наук— 2011. - Т. 437, №5 — С. 590-591.

[43] Зыкова Т. В. След оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом при возмущении метрики многообразия // Научное обозрение — 2014. — №2 - С. 95 -103.

[44] Зыкова Т. В. След оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом при возмущении метрики многообразия // Деп. в ВИНИТИ РАН — 28.03.2014 - №85-В2014, С. 1-12.

[45] Зыкова ТВ. Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами возмущенного оператором умножения на функцию на многообразиях со специальным возмущением метрики сферы // е-ргМв агХ1и:Ц04-4810~ 2014. — [Электронный ресурс] Режим доступа: http://arxiv.org/abs/1404.4810

[46] Зыкова Т. В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на некотором семействе многообразий // Международная конференция «Спектральная теория операторов и ее приложения», Тезисы докладов, г. Уфа — 2011.-— С. 34-35.

[47] Зыкова Т.В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа на некоторых многообразиях // XI Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», Тезисы докладов, г. Нальчик — 2013.— С. 27-31.

[48] Зыкова Т.В. Формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения. // 17-ая международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 170-летию со дня рождения В. А. Стеклова, Тезисы докладов, г. Саратов — 2014 — С. 97-99.