Разработка математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Жариков, Александр Владимирович

• Жариков, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жариков, Александр Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОРПОРАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ И МЕТОДЫ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Проблема принятия корпоративных решений в условиях информационных ограничений

1.2. Вариационное расширение задачи принятия решений при информационных ограничениях

1.3. Исследование информационных ограничений в задачах принятия решений и управления

1.4. Исследование информационных процессов при принятии и реализации решений в производственных системах

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С ИНФОРМАЦИОННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

2.1. Необходимые условия оптимальности задачи с информационными ограничениями

2.2. Игровая постановка задачи управления при несовпадающей информированности

2.3. Задача стимулирования при несовпадающей информированности игроков

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В КОРПОРАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ПРИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

3.1. Пример детерминированной задачи стимулирования второго рода

3.2. Пример задачи стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов

3.3. Влияние информационных ограничений по типу обменной информации на примере задач блочного линейного программирования

3.3.1. Генерация задач блочного линейного программирования

3.3.2. Метод Данцига-Вульфа

3.3.3. Метод Корнай-Липтака

3.3.4. Метод отсечений

3.4. Анализ эффективности методов блочного линейного программирования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях»

Введение

Актуальность исследования. В последние годы усиливается интерес к математическому моделированию процессов принятия решений в сложных социально социальных и экономических системах, в том числе в системах со многими центрами принятия решений (системы с п ЛПР).

Одним из значимых аспектов сложных систем при обосновании оптимальных решений выступают информационные ограничения, т.е. уровень информированности ЛПР о целях, условиях, предпочтениях, множествах допустимых решений всех действующих участников рассматриваемой системы, включая случай асимметрии указанной информированности.

Исторически задачи обоснования решений как одного ЛПР, так и п ЛПР с учетом различных информационных гипотез рассматривались в рамках теории игр (В.Н. Бурков [14, 16], Ю.Б.Гермейер [23], В.А.Горелик, М.А.Горелов, А.Ф.Кононенко [27, 28], Н.Н.Моиссев [62, 81] и другие), двух-этапного и многоэтапного стохастического программирования (Ю.Н. Ермольев [34], В.В. Колбин [37], А.С. Немировский [66], Е.А. Нурминский [71], Д.Б. Юдин [88, 89]), декомпозиционных процедур при оптимизации систем управления (Ю. Г Евтушенко [33], Н.М.Оскорбин [49, 57], B.C. Танаев [47],

B.И. Цурков [1, 85]), системного компромисса (Г.И. Алгазин [6, 5]), теории принятия решений при нечеткой информации (Л. Заде [95], А. Кофман [42],

C.А. Орловский [72]).

При анализе информационных ограничений в задачах поддержки принятия решений (ЗПР) часто используются две из известных в литературе базовые модели значений неконтролируемых параметров. В первой модели неконтролируемые параметры ЗПР можно рассматривать как случайные, т.е. значения всех параметров реально являются случайными и ЛПР известны их распределения вероятностей. Во второй модели для значений неконтролируемых параметров в рамках заданных множеств неизвестны их вероятностные характеристики и/или они не могут изучаться вероятностно-статистическими методами. Случай асимметрии информированности ЛПР и

соответствующие математические модели обоснования оптимальных решений рассматривались только в простых частных случаях в общем же случае, недостаточно полно исследованы в литературе.

Перспективным для исследования является общий подход к проблеме поддержки принятия решений в условиях информационных ограничений, суть которого состоит в том, что все ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информированности, включая и асимметрию информированности. При этом ЗПР записываются как задачи вариационного исчисления. Практическая применимость такого подхода состоит в том, что при некоторых простых информационных структурах, поиск оптимальных решений сводится к конечномерным задачам оптимизации, которые решаются известными методами математического программирования. В общем случае для задач поддержки принятия решений с информационными ограничениями необходимо применять методы вариационного исчисления. Учитывая вышесказанное, можно заключить, что тема диссертации является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях: теоретическое исследование; разработка и обоснование численных методов; программная реализация.

Для достижения цели в диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1) анализ существующих подходов к формализации задач принятия решений с учетом информационных ограничений;

2) вариационное расширение задач принятия решений с учетом информационных ограничений и исследование частных случаев, в том числе игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей;

3) формулировка и доказательство существования равновесия по Нэшу в игре п лиц при разной информированности ироков;

4) обоснование необходимых условий существования решения в задаче стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов;

5) разработка алгоритма для модельного примера задачи стимулирования второго рода при общей и несовпадающей информированности игроков;

6) исследование информационных процессов в системах поддержки принятия корпоративных решений и качественный анализ схем информационного межуровневого взаимодействия на примере численных методов блочного программирования.

Объект исследования - процедуры принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии информированности ЛПР.

Предмет диссертационного исследования - математические модели процессов принятия решений в условиях информационных ограничений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались математические методы теории принятия решений (теория игр, теория активных систем), методы блочного программирования, вариационного исчисления, теории вероятностей и математической статистики, теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Предложены модели, методы и алгоритмы для задач принятия решений при информационных ограничениях путем их сведения к задачам вариационного исчисления. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу в условиях несовпадающей информированности игроков. Разработан алгоритм численного решения класса игр двух лиц с квадратичными интегральными функционалами выигрышей в концепции ситуаций равновесия по Нэшу. Исследованы теоретические и прикладные модели поддержки принятия корпоративных решений и вычислительные алгоритмы ЗПР с учетом ограничений обмена информации.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в том, что предложен способ формализации проблемы

принятия решений в условиях информационных ограничений и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления, который позволяет обосновать оптимальность искомых решающих функций.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в расширении возможности применения математических методов для задач поддержки принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии информированности ЛИР. Исследование информационных ограничений в корпоративных системах управления может способствовать разработке эффективных численных методов и алгоритмов межуровневого взаимодействия при проектировании внутрифирменных информационных систем.

Разработанный в среде МАТЬАВ программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу в квадратичном случае с асимметрией информированности может быть применен при решении задач вариационного исчисления, модификации алгоритмов блочного программирования и решения систем интегральных уравнений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты системного анализа проблем принятия решений в условиях информационных ограничений, классификации ЗПР и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления.

2. Формализация игры п лиц с асимметрией информированности и математические результаты ее исследования, включая существование ситуации равновесия по Нэшу, необходимые условия существования ситуации равновесия по Нэшу для игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей.

3. Результаты исследования математических моделей обоснования решений при информационных ограничениях, путем имитационного и компьютерного моделирования.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические результаты работы представлены автором на следующих научных конференциях, семинарах и научных школах:

Международные: VII международная научно-практическая конферен-

ция «Динамика современной науки» (Республика Болгария, г. София, 2011г.).

Всероссийские: IV Всероссийская научно-практическая конференция-выставка «Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития» (Томск, 2005), IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2008).

Межрегиональные и региональные: ежегодная студенческая конференция, проводимая в рамках дней молодежной науки в Алтайском государственном университете (Барнаул, 2005, 2006); региональная конференция по математике МАК (Барнаул, 2006-2011); Сибирский научно-практический семинар «Информационные технологии регионального и муниципального управления» (Барнаул, 2009).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка используемых источников и литературы (95 наименований). Основной материал изложен на 110 страницах, включая 2 таблицы, 20 рисунков.

В главе 1 приведен анализ информационных структур принятия решений при информационных ограничениях, обоснована классификация этих задач и отражена степень изученности в современной литературе.

В качестве основой модели рассматривается задача поддержки принятия решений с п ЛПР, когда ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информированности.

Для иллюстрации данного подхода, приводятся примеры с простыми информационными структурами, а поиск оптимальных решений сводится к задачам математического программирования.

Рассмотрена игра двух лиц с непротивоположными интересами («Государство-Предприниматели») и задача поэтапной оптимизации управления методом динамического программирования.

В разделе 1.4. «Исследование информационных процессов при принятии и реализации решений в производственных системах» рассмотрено моделирование информационных процессов поиска оптимального плана корпорации на примере решения задач блочного линейного программирования методами Данцига-Вульфа, Корнай-Липтака и методом отсечений

В главе 2 рассматриваются методы решения игры при асимметрии информированности с использованием вариационного исчисления в концепции равновесия по Нэшу. Проводится исследование частных случаев этой задачи на примере игры двух лиц.

Для общего случая игры сформулированы условия существования ситуаций равновесия по Нэшу.

В разделе 2.3 «Задача стимулирования при несовпадающей информированности активных элементов» приводится постановка задачи стимулирования в условиях асимметрии информированности активных элементов, и рассматриваются некоторые свойства указанных задач.

В главе 3 приведено численное исследование моделей ЗПР в условиях информационных ограничений на примере задачи индивидуального стимулирования при асимметрии информированности и задач принятии и реализации решений в производственных системах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Жариков, Александр Владимирович

Основные результаты работы:

1. Проведен системный анализ проблем принятия решений в условиях информационных ограничений и предложен общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления.

2. Впервые формализована игра п лиц с асимметрией информированности и сформулированы необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу, при несовпадающей информированности игроков.

3.Разработан алгоритм численного решения игр двух лиц с квадратичными интегральными функционалами выигрышей для поиска ситуаций равновесия по Нэшу.

4. Сформулированы и обоснованы необходимые условия существования решения в задаче стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов.

5.Исследованы информационные процессы систем поддержки принятия корпоративных решений и проведен качественный анализ схем информационного межуровневого взаимодействия на примере численных методов блочного программирования.

6.В среде МАТЬАВ реализован программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу в квадратичном случае с асимметрией информированности, который может быть применен при решении задач вариационного исчисления, модификации алгоритмов блочного программирования и решения системы интегральных уравнений.

Реализация результатов. Разработан программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу для частных случаев игры п лиц при асимметрии информированности и численного исследования алгоритмов блочного линейного программирования.

Заключение

Основной итог диссертации состоит в разработке математической модели поддержки принятия решений при информационных ограничениях, алгоритмов и программного инструментария реализации расчетных блоков математической модели,

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жариков, Александр Владимирович, 2011 год

Список литературы

1. Авербах И. Л, Цурков В.И. Некоторые декомпозиционные подходы в блочном целочисленном и частично целочисленном программировании // Материалы Всес. конф. "Декомпозиция и координация в сложных системах". - Челябинск: ЧПИ, 1987. С. 3-11.

2. Авербах И.Л., Цурков В.И. Оптимизация в блочных задачах с целочисленными переменными. - М.: Наука, 1995. - 228 с.

3. Авербах И.Л., Цурков В.И. Целочисленные оптимизационные модели блочного типа // Матем. моделирование, 2:2. - М.: Выч. Центр АН СССР, 1990. С. 39-57.

4. Алгазин Г.И. Математические модели системного компромисса: Монография. -Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1999. - 133 с.

5. Алгазин Г.И. Модели системного компромисса в социально-экологических исследованиях / Монография. - Барнаул: Азбука, 2009. - 239 с.

6. Алгазин Г.И. Эколого-экономические системы с различной информированностью участников: модели, механизмы функционирования, оценки эффективности. Препринт. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1997. -44 с.

7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.-432 с.

8. Ашманов С.А. Линейное программирование. -М.:Наука, 1981. - 304 с.

9. Барахин В.Б., Федотов A.M. Информационная система: взгляд на понятие // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии. - 2007. - Том 5, выпуск 2. - С. 12-19.

Ю.Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. -М.: Наука, 1969. - 118 с.

П.Бобко И.М., Мироносецкий Н.Б., Поляков Ю.А. и др. Оптимизация планов производства. - Новосибирск : Наука, СО, 1987. - 215 с.

12.Боговиз A.B., Оскорбин Н.М., Жариков A.B. Информационные процессы координации корпоративных решений и их компьютерное моделирование (статья)// Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии. -2010. Т. 8, вып. 1.-е. 54-59.

13.Боровков А. А. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., пе-рераб. и доп.— М.: Наука, 1986.— 432 с.

14.Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. - М.: Наука, 1977.-255 с.

15.Бурков В.Н., Данев Б., Еналеев А.К. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. - М.: Наука, 1989. - 246 с.

16.Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. - М.: Наука, 1981. - 384 с.

17.Бухалков М.И. Внутрифирменное планирование: Учебник - М.:ИНФРА-М, 2000.- 392с.

18.Воронин A.A., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. - М.: ИЛУ РАН, 2003.-210 с.

19.Гасс С. Линейное программирование. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961. - 304 с.

20.Гельфанд И.М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. - М.: Физматлит, 1961.-228 с.

21.Гераськин М.И. Согласование экономических интересов в корпоративных структурах. - М.: ИЛУ РАН. Изд-во «Анко», 2005. - 293 с.

22.Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1973.-383 с.

23.Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. -М.: Наука, 1976. -328 с.

24.Глущенко В.В. Информационные и структурные модели организационно-административных систем. - СПб.: Изд-во СПГУВК, 1997. - 232 с.

25.Гольштейн Е.Г., Юдин Д.В. Специальные направления в линейном программировании. Изд.2, испр. -М.: Изд-во «KP АС АНД»,2010. - 528 с.

26.Голыитейн Е.Г., Юдин Д.В. Новые направления в линейном программировании. Изд.2, испр. - М.: Сов. Радио, 1966. - 524 с.

27.Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системе управления. - М.: Радио и связь, 1991.-286 с.

28.Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений а эколого-экономических системах. - М.: Радио и связь, 1982. - 145 с.

29.Губко М.В. Механизмы управления организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. - М.: ИПУ РАН, 2003. - 118 с.

30. Данилов H.H., Зенкевич H.A. Неантагонистические игры двух лиц. Учебное пособие. - Кемерово : Изд-во Кем. ун-та, 1990. - 100 с.

31. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M., Шамардин Ю.В. Задачи оптимизации иерархических структур. - Новосибирск: НГУ, 1996. - 167 с.

32. Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. - 368 с.

33.Евтушенко Ю. Г., Голиков А. И. Новый метод решения систем линейных равенств и неравенств. ДАН, Т. 381, № 4, 2001. - С. 444-447.

34. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. - М.:Наука, 1976.-239 с.

35.Жариков A.B. Равновесие Нэша в игре двух лиц для вариантов информированности игроков (статья) // Известия Алтайского государственного университета. - 2007. - №1. _ с. 55-59.

36.Жариков A.B., Максимов A.B. О решении частной задачи управления в случае разной информированности субъектов (статья) // Известия Алтайского государственного университета. - 2006. - №1. - с. 55-58.

37.Колбин В.В.Стохастическое программирование", Итоги науки. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. - М.: ВИНИТИ, 1970, с. 5-68

38.Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

39.Кондратенко В.И., Петкевич Ф.П. Особенности организационной структуры и стратегии управления в рыночных условиях хозяйствования: Теория, опыт, практика. - Тюмень: СофтДизайн, 1995. - 213 с.

40.Корнаи Я., Липтак Т. Планирование на двух уровнях. - В кн.: «Применение математики в экономических исследованиях». Т.З. - М.: Мысль, 1995. - с. 141169.

41. Корпоративное управление. Владельцы, директора и наемные работники акционерного общества : пер. с англ. -М.: «Джон Уайли энд Санз», 1996. -248 с.

42.Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. Пер. с франц. - М.: Радио и связь, 1982.-432 с.

43.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). - М.: Наука, 1975.-304 с.

44. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 392 с.

45.Краснощёков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. - М.:Изд-во МГУ, 1983. —264 с.

46.Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. - М.: Наука, 1973.-448 с.

47.Левин Г.М., Танаев B.C. Декомпозиционные методы оптимизации проектных решений. - Минск.: Наука и техника, 1978. - 240 с.

48. Лэсдон Л. Оптимизация больших систем. - М.: Наука, 1975. - 432 с.

49. Люблинский Р.Н., Оскорбин Н.М. Методы декомпозиции при оптимальном управлении непрерывным производством. - Томск: Изд-во ТГУ, 1979. - 219 с.

50.Максимов A.B. Замена генерации случайного процесса на генерацию случайного вектора // Тезисы докладов к конференции молодых ученых АГУ. -Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1981. - С. 98-103.

51.Максимов A.B. Моделирование дискретных систем управления с коррекцией состояния: Дис.... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1993. - 120 с.

52.Максимов A.B., Оскорбин Н.М. Многопользовательские информационные системы: основы теории и методы исследования: монография. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2005. - 250 с.

53.Максимов A.B. Нахождение оптимальных программ управления объектом в случайных средах при произвольном информационном векторе // Синтез и проектирование многоуровневых иерархических систем: Мат. Всес. конф. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1983. - С. 142-146.

54.Мамченко О.П. Потоковые модели систем управления корпоративной организацией: Монография. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. Серия: Управление корпорацией. - 254 с.

55.Мамченко О.П., Оскорбин Н.М. Иерархические системы управления в экономике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та. - 2007. - 283 с.

56.Мамченко О.П., Оскорбин Н.М. Многоагентные системы принятия решений: декомпозиционный подход / препринт. - Барнаул : Изд-во Алт. унт-та, 2008.-39 с.

57.Мамченко О.П., Оскорбин Н.М. Моделирование иерархических систем: учебник для вузов. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. - 317 с

58.Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем - М.: Мир, 1973. - 344 с.

59.Мильнер Б.З. Теория организации (издание пятое) - М.: Инфра-М, 2006. -720 с.

60.Михалевич B.C., Волкович B.JI. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. -М.: Наука, 1982. -286 с.

61.Михалевич В. С., Кукса А. И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. - М.: Наука, 1983.-207 с.

62. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.-488 с.

63.Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука, 1975. -526 с.

64.Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. - 461 с.

65.Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. - М.; Мир, 1985. - 200 с.

66.Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

67.Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. -М.: Фонд "Проблемы управления", 1999. - 150 с.

68.Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. - М.: Изд-во Московского психолого-социального института, 2005. - 584 с.

69.Новиков Д.А., Губко М.В. Теория игр в управлении организационными системами - М.: СИНТЕГ, 2002. - 139с.

70.Новиков Д.А., Цветков A.B. Механизмы функционирования организационных систем с распределенным контролем. - М.: ИПУ РАН, 2001. - 118 с.

71.Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминированных и стохастических минимаксных задач. - Киев: Наук. Думка, 1979. - 161 с.

72. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

73.0скорбин Н.М. О схемах блочного программирования // Экономика и мат. методы. - 1981.-Вып. 5. С. 964-972.

74.0скорбин Н.М., Дубина И.Н. Жариков A.B. Проблема дележей в иерархических системах / Препринт 2/09. - Барнаул : Изд-во Алт. унт-та, 2009. - 32 с.

75.0скорбин Н.М., Боговиз A.B., Жариков A.B. Информационный аспект принятия решений в системе ЛПР // Динамика современной науки - 2011. Т. 2. Экономика : материалы VII международной научно-практической конференции. Республика Болгария, г. София, 17-25 июля 2011 г. - София: «Бял ГРАД-БГ»ООД, 2011.-С. 53-55.

76. Оуэн Г. Теория игр. -М.: Мир, 1971.-198 с.

77.Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. - М.: Наука, 1979. - 342 с.

78.Полянин А.Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям. -М.: Физматлит, 2003. - 608 с.

79.Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов, 4-е изд., стереотипное. - М.: Наука, 1983.-393 с.

80. Райзберг Б. А., Лозовский Л. Ш., Стародубцева Е. Б.Современный экономический словарь. 5-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 495 с.

81. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. H.H. Моисеева. -М.: Наука, 1979. - 464 с.

82.Урясьев С П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр/Под ред. Ю. М. Ермольева. - М.: Наука, 1990. - 184 с.

83.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. -720 с.

84.Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. - М.: Наука, 1982.-200 с.

85.Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. - М.: Наука, 1981.-352 с.

86.Черезов A.B., Рубинштейн Т.Б. Корпорация. Корпоративное управление. -М.: ЗАО Изд-во «Экономика», 2006. - 478 с.

87.Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. - М.: Наука, 1989.-320 с.

88.Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. - М.: «Сов. радио», 1979.-392 с.

89. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. - М.: «Сов. радио», 1974,- 400 с.

90.Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. - М.:Наука, 1969. -424 с.

91.Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

92.Янг С. Системное управление организацией. - М.: Сов. радио, 1982. - 176 с.

93.Danzig G.B., Wolfe Р, Decomposition principle for linear programs // Oper. Res. -1960. - 8, NL-P. 101-111.

94.Myerson R.B. Game theory: analysis of conflict. - London: Harvard Univ. Press, 1991.-568 p.

95.Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, vol.8, N 3, pp. 338-353.