Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Харина, Ольга Владимировна

• Харина, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харина, Ольга Владимировна

Введение

1 Построение конструктивных схем для систем уравнений на бесконечном интервале

1 1 Система уравнений типа диффузия-реакция.

1.2 Система уравнений типа диффузия-конвекция.

1.3 Система типа диффузия-реакция с диагонально преобладающей матрицей.

1.4 Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции.

2 Построение конструктивных схем для задач с точечным источником

2.1 Линейное уравнение с точечным источником.

2.2 Система линейных уравнений с точечным источником.

2.3 Система нелинейных уравнений с точечным источником

3 Применение метода прямых для уравнений в частных производных

3.1 Параболическое уравнение с сосредоточенным источником на бесконечном интервале.

3.2 Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные схемы для одномерных сингулярно возмущенных задач в неограниченной области»

Актуальность. При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Чтобы решить такую задачу конечно-разностным методом, необходимо, чтобы разностная схема была конструктивной для компьютерных вычислений и сетка содержала конечное число узлов. Решение задачи в случае преобладания конвекции над диффузией содержит область пограничного слоя, что, как известно, приводит к расходимости классических разностных схем и к необходимости построения разностных схем, сходящихся равномерно по малому параметру. При наличии сосредоточенных источников возникают пограничные слои в окрестности источников, которые необходимо учитывать при построении разностных схем.

Первоначально для решения уравнений с малыми параметрами развивались асимптотические методы. Основопологающими являются работы А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, С.А. Ломова, В.Б. Бутузова, Л.И. Люстерника, М.И. Вишика, A.M. Ильина.

Вопрос построения равномерно сходящихся разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач исследуется с 1969 года. На данный момент много работ посвящено разработке разностных схем для сингулярно возмущенных задач, рассматриваемых, как правило, в ограниченной области. Можно выделить следующие направления.

1) Подгонка схем к погранслойной составляющей решения. К этому подходу относятся работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, Д. Миллера, Р. Келлога и других авторов. Выделяется погранслойная составляющая решения и строится разностная схема исходя из того, чтобы на погранслойной функции схема была точной. Преимущество данного подхода в том, что не требуется ограничений на шаги сетки, но функция пограничного слоя должна иметь явный вид и схема к этой функции должна быть подогнана, что не всегда возможно.

2) Сгущение сеток в пограничных слоях. К данному подходу относятся работы Н.С. Бахвалова, В. Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, В.Б. Андреева, Р. Вулановича и других авторов. В работе Н.С. Бахвалова функция, распределяющая узлы сетки, строится таким образом, чтобы погрешность аппроксимации по узлам сетки в пограничных слоях была одинаковой, а вне пограничного слоя сетка принимается равномерной. Доказано, что на такой сетке классическая схема центральных разностей сходится со вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Требуется применение итерационного метода для нахождения узла, после которого сетка становится равномерной. Г.И. Шишкиным определен подход к построению разностных сеток, которые равномерны внутри пограничного слоя и вне пограничного слоя. Такая сетка отличается простотой, ее использование приводит к незначительной потере точности в сравнении с сеткой Бахвалова.

3) Применение метода конечных элементов. К этому подходу относятся работы В.В. Шайдурова, Б.М. Багаева, И.А. Блатова, JI. Тобиска и других авторов. Равномерная сходимость относительно малого параметра достигается, например, внесением дополнительных базисных функций, описывающих пограничный слой.

Вопрос построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области менее изучен. Разностные схемы строятся либо в ограниченной области, либо в неограниченных, но на неконструктивных сетках с бесконечным числом узлов. В работах Г.И. Шишкина рассматриваются сингулярно возмущенные задачи в неограниченной области. Разностные схемы сводятся к конструктивным, но точность перехода к схеме с конечным числом узлов существенно зависит от размеров конечной области. Вопрос построения конструктивных разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области остается актуальным. А.И. Задорин разрабатывает конструктивные разностные схемы для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.

Для переноса предельных краевых условий из бесконечности и построения конструктивных разностных схем используется идея выделения многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию на бесконечности, которая была предложена A.A. Абрамовым в 1961 году и далее была развита применительно к краевым задачам для систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Н.Б. Конюховой, Е.С. Биргер, К. Балла. Выделенное многообразие может задаваться в виде дифференциального уравнения первого порядка и при фиксированном значении аргумента рассматриваться в качестве недостающего граничного условия при переходе к задаче в конечной области. Актуальным остается вопрос развития этого метода для сингулярно возмущенных уравнений и уравнений в частных производных, в частности, для эллиптических и параболических уравнений.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка численного метода решения сингулярно возмущенных краевых задач на неограниченном интервале, с учетом сосредоточенных источников, применение развиваемого подхода к уравнениям в частных производных на основе метода прямых.

Цель работы достигается решением следующих задач:

• редукция дифференциальной задачи к ограниченной области;

• обоснование устойчивости решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий;

• построение разностных схем с учетом пограничных слоев, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников;

• разработка программ для численного решения сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.

В работе рассмотрены системы линейных и нелинейных уравнений на бесконечном интервале с учетом сосредоточенных источников, нелинейное уравнение, моделирующее химические реакции, применен метод прямых для уравнений в частных производных.

Методы исследования. При обосновании теоретических результатов использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории сингулярно возмущенных уравнений и математического анализа, асимптотические методы, основы линейной алгебры, методы теории разностных схем, численные методы. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ и проведения численных экспериментов.

Научная новизна.

• Разработан численный метод решения систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Предложен метод решения вспомогательных сингулярных задач

Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц.

• Разработаны конструктивные разностные схемы для задач с сосредоточенным источником на бесконечном интервале.

• Исследованы разностные схемы на бесконечном интервале для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции.

• Применен развиваемый подход для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых.

На защиту выносятся:

• построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных систем сингулярно возмущенных уравнений на неограниченном интервале (системы уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция в случае положительно определенной и диагонально преобладающей матриц);

• построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных и нелинейных систем уравнений с малым параметром при старших производных и с точечным источником на бесконечном интервале;

• разностные схемы с конечным числом узлов для нелинейной краевой задачи на бесконечном интервале, моделирующей химические реакции;

• построенные конструктивные разностные схемы для эллиптической задачи в полуполосе и для параболического уравнения с точечным источником на бесконечном интервале.

Практическая значимость. При математическом моделировании различных конвективно-диффузионных процессов появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченной области. При разработке разностных схем необходимо учитывать, чтобы скорость сходимости этих схем не зависела от значений малых параметров (вязкости, диффузии и других). Для компьютерной реализации разностных схем необходимо, чтобы, несмотря на неограниченность исходной области, разностная схема была конструктивной и сетка содержала конечное число узлов. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ОФ ИМ СО РАН и кафедры математического моделирования ОмГУ, научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия" (Омск, 2001), II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002), Международной конференции по Вычислительной Математике (ICCM-2002, Новосибирск, 2002), IV Международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 2003), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск, 2003), Международной конференции по Вычислительной Математике (MKBIvI-2004, Новосибирск, 2004), III Международной конференции "Numerical Analysis and Applications" (Болгария, Русе, 2004), Международной конференции "Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods" (BAIL-2004, Франция, Тулуза, 2004), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004), семинаре института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант 02-01-01166.

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (49 наименований). Материал изложен на 143 страницах текста, включая 14 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Харина, Ольга Владимировна

Заключение

В работе разработаны конструктивные разностные схемы на сетках с конечным числом узлов для краевых и начально-краевых задач в неограниченной области с учетом пограничных слоев в решении, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников. Исходные задачи редуцировались к задачам в ограниченной области, исследовалась устойчивость решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий из бесконечности. При решении сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати использовался метод асимптотических разложений, получены оценки точности при различных ограничениях на матрицы, в частности, использовались свойства положительно определенных и диагонально преобладающих матриц. Исследовался вопрос вычисления корней из матриц. Сингулярные задачи Коши исследовались на устойчивость к возмущению коэффициентов. Равномерная по малому параметру сходимость разностных схем для полученных сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченной области обеспечивалась подгонкой схем к погранслойной составляющей решения или засчет сгущения сеток в пограничных слоях. Развиваемый подход применен для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых.

• Построены конструктивные разностные схемы для решения линейных систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Исследована устойчивость и предложен метод решения вспомогательных сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц. Построены конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для уравнения с малым параметром, линейной и нелинейной систем уравнений с точечным источником на бесконечном интервале. Исследованы разностные схемы на бесконечном интервале для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции. Исследован метод решения параболического уравнения с сосредоточенным источником на бесконечном интервале и эллиптического уравнения в полуполосе.

Написан соответствующий комплекс программ, проведены численные эксперименты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харина, Ольга Владимировна, 2004 год

1. Абрамов АА. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1, N 4, С. 733-737.

2. Абрамов A.A., Балла К. О приближенных решениях, основанных на теоремах сравнения, скалярных и матричных уравнений Риккати на бесконечном интервале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33, N 1. С. 35-51.

3. Абрамов A.A., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сообщения по вычислительной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1981.

4. Багаев Б.М., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. Ч. 1. 199с.

5. Багаев Б.М., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. Новосибирск: Наука, 2001. Ч. 2. 224с.

6. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач приналичии пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, N 4. С. 841-859.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука, 1987.

8. Биргер Е.С., Ляликова Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5, N 6. С. 979-990.

9. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Сходимость метода сплайн коллокаций для сингулярно возмущенных краевых задач на локально равномерных сетках // Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 26, N 7. С. 1191-1197.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

11. Величко О.В. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Материалы научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия". Омск. ОмГПУ. 2001. С. 66-67.

12. Величко О.В. Редукция линейной краевой задачи для системы уравнений с малым параметром с полубесконечного интервала к конечному // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск. КрасГУ. 2002. С. 33-35.

13. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение уравнения с точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2000. Вып. 5. С. 5-10.

14. Величко О.В., Задорин А.И. Численное решение системы уравнений с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Математические структуры и моделирование. Омск. ОмГУ. 2001. Вып. 7. С. 17-27.

15. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

16. Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

17. Задорин А.И. Перенос краевого условия из бесконечности при численном решении уравнений второго порядка с малым параметром // Сибирский журнал вычислительной математики. 1999. Т. 2, N 1. С. 21-35.

18. Задорин А.И. Редукция нелинейной краевой задачи для системы уравнений второго порядка с малым параметром с полубесконечного интервала к конечному // Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42, N 5. С. 1057-1066.

19. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром и точечным источником на бесконечном интервале // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1, N 3. С. 249-260.

20. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, N 10. С. 1671-1682.

21. Задорин А.И. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с малым'параметром // Методические указания. Омск: Ом-ГУ, 1997. 45с.

22. Задорин А.И. Численное решение уравнений с малым параметром на бесконечном интервале // Методические указания. Омск: ОмГУ, 1998. 51с.

23. Задорин А.И. Разностные схемы для задач с пограничным слоем. Учебное пособие. Омск: ОмГУ, 2002. 118с.

24. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для нелинейного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции // Вычислительные технологии. Т. 9, часть 2 (спец. выпуск). 2004. С. 215-221.

25. Задорин А.И., Харина О.В. Численный метод для системы линейных уравнений второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале // Сибирский журнал вычислительной математики. 2004. Т. 7, N 2. С. 103-114.

26. Игнатьев В.Н., Алексеева Т.Я., Задорин А.И. Моделирование двумерного ламинарного горения углеводородных топлив с учетом образования вредных примесей // Препринт N 840 ВЦ СО АН СССР, 1989.

27. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

28. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. 1969. Т. 6, N 7. С. 237-248.

29. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1958.

30. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

31. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

32. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

33. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

34. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

36. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 232с.

37. Харина О.В. Метод прямых для эллиптической задачи с пограничными слоями вдоль полубесконечной полосы // Материалы ежегодного научного семинара аспирантов и студентов-выпускников "Под знаком " Омск. ООО "Издатель-Полиграфист", 2003. С. 65-71.

38. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

39. Alefeld G., Schneider N. On square roots of M-matrices // Linear algebra and its applications. 1982. N 42. P. 119-132.

40. Bellman R. Some Inequalities for the Square Root of a Positive Definite Matrix // Linear Algebra and its Applications. 1968. V. 1, N 3. P. 321-324.

41. Kharina O.V. Numerical solution of a linear system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Abstracts of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 90.

42. Kharina O.V. The method for a system of singular perturbed equations on a half-infinite interval // Proceedings of the Fourth International Conference "Tools for Mathematical Modelling". Saint-Petersburg. 2003. P. 295-299.

43. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted numerical methods for singular perturbation problems. Error estimates in the maximum norm for linear problems in one and two dimensions. World Scientific. Singapore. 1996.

44. Pulay P. An Iterative Method for the Determination of the Square Root of a Positive Definite Matrix // Zamm. 1966. N. 46. P. 151-152.

45. Royden H.L. Comparison theorems for the matrix Riccati equation // Communs Pure and Appl. Math. 1988. V. 41. P. 739-746.

46. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers. Chapman and Hall // CRC Press, Boca Raton. USA. 2000.

47. Freiling G., Jank G., Abou-Kandil H. Generalized Riccati Difference and Differential Equations // Linear Algebra and Its Applications. New York. 1996. P. 291-303.