Равновесные ориентации спутника-гиростата и спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов на круговой орбите тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Дегтярев, Александр Александрович

• Дегтярев, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дегтярев, Александр Александрович

Введение

Глава 1. Постановка задач. Основные предположения

1.1 Системы координат. Уравнения движения спутника 12 относительно центра масс.

1.2 Движение спутника-гиростата.

1.3 Движение спутника под действием гравитационного и 20 аэродинамического моментов.

Глава 2. Исследование динамики спутника-гиростата

2.1 Вектор внутреннего гиростатического момента коллинеарен одной из главных центральных осей инерции спутника

2.1.1 Положения равновесия

2.1.2 Достаточные условия устойчивости положений равновесия

2.1.3 Необходимые условия устойчивости положений равновесия

2.2 Вектор внутреннего гиростатического момента лежит в одной из главных плоскостей инерции спутника

2.2.1 Положения равновесия

2.2.2 Достаточные условия устойчивости положений равновесия

2.2.3 Необходимые условия устойчивости положений равновесия

Глава 3. Исследование динамики спутника движущегося под действием гравитационного и аэродинамического моментов.

3.1 Центр давления лежит на одной из главных центральных осей инерции спутника

3.1.1 Положения равновесия

3.1.2 Достаточные условия устойчивости положений 84 равновесия

3.1.3 Необходимые условия устойчивости положений 87 равновесия

3.2 Центр давления лежит в одной из главных плоскостей инерции спутника

3.2.1 Положения равновесия

3.2.2 Достаточные условия устойчивости положений 114 равновесия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесные ориентации спутника-гиростата и спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов на круговой орбите»

Одним из важных направлений развития космической техники является создание систем ориентации искусственных спутников Земли. В зависимости от поставленных задач ориентация спутника может быть осуществлена с использованием активных или пассивных методов. При разработке пассивных систем ориентации можно использовать свойства гравитационного и магнитного полей, эффект сопротивления атмосферы и давление солнечного излучения, гироскопические свойства вращающихся тел и др. Важное свойство пассивных систем ориентации заключается в том, что эти системы могут функционировать продолжительное время без расходования энергии или рабочего тела.

Из систем, использующих свойства внешней среды, наибольшее распространение получили гравитационные системы ориентации, принцип работы которых основан на том, что в центральном ньютоновом поле сил спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующие совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты. Введение в конструкцию вращающихся с постоянной угловой скоростью относительно корпуса спутника маховиков (роторов) позволяет получить новые, более сложные, положения равновесия спутника-гиростата, интересные для практических приложений. Кроме того, исследование динамики спутника с роторами позволяет проанализировать влияние на спутник нескомпенсированного постоянного кинетического момента.

На круговых или слабоэллиптических орбитах в диапазоне высот от 250 км до 500 км для ориентации оси симметрии спутника по набегающему потоку воздуха, направление которого мало отличается от направления касательной к орбите, можно использовать аэродинамический момент. Если спутник аэродинамически устойчив (центр давления позади центра масс), то при отклонении от положения равновесия возникает восстанавливающий аэродинамический момент по тангажу и рысканию, стремящийся совместить продольную ось спутника с вектором набегающего потока.

В диссертации рассматриваются задачи о движении на круговой орбите спутника-гиростата и спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов. При этом основное внимание уделяется поиску возможных положений равновесия спутников в орбитальной системе координат и анализу их устойчивости. Прежде чем приступить к обзору работ о спутнике-гиростате и спутнике под действием гравитационного и аэродинамического моментов отметим два подхода к решению этих проблем: 1) «прямая» задача (задача анализа), когда компоненты внутреннего гиростатического момента (положение центра давления) заданы; 2) «обратная» задача (задача синтеза), когда компоненты гиростатического момента (положение центра давления) включаются в число определяемых неизвестных.

Рассмотрению задачи определения положений равновесия спутника-гиростата посвящено много публикаций. В работе [12] «обратная» задача решена для двух «элементарных» случаев, когда главная ось инерции спутника совпадает (в равновесном положении) с одной из осей орбитальной системы координат, либо, когда главная ось лежит в одной из орбитальных плоскостей. Также различные частные случаи «обратной» задачи рассмотрены в [43,44]. В общем случае «обратная» задача впервые решена в [37]. Авторам удалось выразить стационарные решения через вспомогательные углы. Другой путь решения этой задачи с использованием направляющих косинусов в качестве определяемых неизвестных и применением множителей Лагранжа чуть позднее предложен в [23], где, кроме того, были получены условия устойчивости положений равновесия. В [10] дана наглядная геометрическая интерпретация решений, полученных в работе [23], и, кроме того, рассмотрен случай осисимметричного спутника и получены новые семейства решений.

Проведенное в [33] исследование устойчивости решений «обратной» задачи совпадают с результатами работы [23]. Работа [37] содержит также решения «прямой» задачи для некоторых интересных частных случаев. Наиболее простой метод решения «обратной» задачи изложен в [22, 9].

Общее решение «прямой» задачи, когда вектор гиростатического момента имеет произвольное положение в связанных со спутником осях, не получено до сих пор. В работах [1,31, 22] получена система уравнений для определения равновесных ориентаций гиростата. В [3] эта система сведена к двум тригонометрическим уравнениям. И, наконец, в [17] была доказана возможность получения одного алгебраического уравнения 12-го порядка, коэффициенты которого довольно сложно зависят от параметров задачи. Тем самым доказано, что спутник-гиростат на круговой орбите может иметь не более 24 положений равновесия. Аналогичный результат получен в [11], где также показано, что гиростат на круговой орбите может иметь не более 24-х положений равновесия и существуют 4 бифуркационных значения параметров, при которых число решений уменьшается каждый раз на 4. В [35] приведен численный алгоритм поиска решений в случае, когда вектор внутреннего гиростатического момента имеет произвольное направление.

Решения прямой задачи для частных случаев, когда вектор внутреннего гиростатического момента коллинеарен одной из главных центральных осей инерции спутника, подробно исследованы в [31]. Здесь показано, что для некоторой величины кинетического момента ротора существует однопараметрическое семейство положений равновесия. При этом ось ротора параллельна главной оси инерции спутника, соответствующей максимальному или минимальному моменту инерции. Исследование устойчивости этих решений проведено в [34]. В работе [36] получены необходимые условия устойчивости решений и проведен их численный анализ. Явный вид соотношений, определяющих все положения гиростата, приведен в [50]. Найдены шесть групп изолированных решений, каждая из которых описывает четыре положения равновесия. Для каждой группы решений получены достаточные условия устойчивости в удобной для аналитического исследования форме. Кроме того, доказано существование восьми однопараметрических семейств решений.

Более сложные частные решения «прямой» задачи, когда вектор гиростатического момента параллелен одной из главных центральных плоскостей инерции спутника, получены в [32].

Существует значительное число работ, посвященных исследованию динамики спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов. Идея использования аэродинамического момента для ориентации спутника и простейшие результаты исследования были приведены в работах [25,42,53-55]. Более глубокие исследования влияния аэродинамического момента на движение спутника около центра масс проведены в [4,38-39, 19]. Положительные и отрицательные эффекты воздействия сопротивления атмосферы на динамические характеристики гравитационной системы ориентации спутник-стабилизатор проанализированы в [14,45].

Первая успешная реализация аэродинамической системы ориентации была осуществлена советскими учеными на спутниках Космос-149 (1967 г.) и Космос-320 (1970 г.). Система ориентации состоит из аэродинамического стабилизатора и гиродемпфера. Аэродинамический стабилизатор выполнен из тонкой жести в виде боковой поверхности усеченного конуса и установлен на четырех длинных (4-6 м) полых стержнях, соединенных с корпусом спутника (рис. 1). Аэродинамический стабилизатор приводит к появлению восстанавливающих аэродинамических моментов по тангажу и рысканию, стремящихся совместить продольную ось спутника с направлением набегающего потока воздуха.

Гиродемпфер (два двухстепенных интегрирующих гироскопа, установленные по схеме V-рыскание) обеспечивает демпфирование собственных колебаний спутника и появление восстанавливающих гироскопических моментов по рысканию и крену. Основные проблемы динамики спутника с аэродинамической системой ориентации были исследованы в [6, 1416, 18,47].

Еще один пример использования аэродинамического момента для ориентации спутников - разработанный американскими учеными малый спутник PAMS (проект GAMES) [28-29,41]. Демпфирование собственных колебаний этого спутника реализовано с помощью магнитных гистерезисных стержней. Спутник был запущен на орбиту с борта Space Shuttle в мае 1996 г.

Значительный цикл работ посвящен исследованию влияния аэродинамического момента на динамику движения находящихся в режиме гравитационной ориентации орбитальных станций Салют-6 и Салют-7, обладающих большими солнечными батареями [5, 21, 48, 51-52].

В работах [27,40] проведен анализ влияния неконсервативной компоненты аэродинамического момента на устойчивость положений равновесия спутника. Более подробно и глубоко эта задача рассмотрена в [13] применительно к исследованию вращательного движения орбитальной станции Салют-7 под действием гравитационного, аэродинамического и диссипативного моментов. Проведено оригинальное численно-аналитическое исследование, позволяющее объяснить основные характеристики самопроизвольно устанавливающегося режима гравитационной ориентации орбитальной станции Салют-7.

В работе [49] исследовано движение спутника на круговой орбите под действием гравитационного и аэродинамического моментов. В случае, когда центр давления расположен на главной центральной оси инерции спутника, определены все положения равновесия в орбитальной системе координат и получены достаточные условия их устойчивости в удобном для аналитического исследования виде. Доказано существование однопараметрического семейства решений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Дегтярев, Александр Александрович

Заключение

В диссертации рассмотрены задачи о движении на круговой орбите спутника-гиростата и спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов. При этом основное внимание было уделено поиску возможных положений равновесия спутников в орбитальной системе координат и анализу их устойчивости.

В случае, когда вектор внутреннего гиростатического момента коллинеарен главной центральной оси инерции спутника (центр давления лежит на главной центральной оси), построена полная классификация системы. Найден явный вид всех равновесных ориентаций и проведен анализ их существования. Для каждого равновесия получены как достаточные, так и необходимые условия устойчивости. Проведен их детальный анализ и найдены все бифуркационные значения параметров, при которых происходит качественное изменение вида областей выполнения условий устойчивости.

В случае, когда вектор внутреннего гиростатического момента (центр давления) лежит в главной центральной плоскости инерции спутника, найдены все положения равновесия. Проведено численно-аналитическое исследование областей существования различного числа решений в зависимости от параметров системы. Определены все бифуркационные значения параметров, при которых происходит качественное изменение вида этих областей. Получены достаточные условия всех найденных равновесий и проведен их численный анализ. Приведены результаты численного анализа областей выполнения необходимых условий устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дегтярев, Александр Александрович, 2006 год

1. АтевА.А. Об устойчивости относительного равновесия спутника с роторами // Българска академия на науките, Известия на Математическия институт. - 1968. - Т.11. - С.149-158.

2. АнчевА.А. АтанасовВ.А. Анализ необходимых и достаточных условий устойчивости равновесия спутника-гиростата // Космические исследования. 1990. - Т.28, №6. - С.831-836.

3. АнчевА.А., Лилов Л. Равновесии ориентации на спътник-жиростат по кръгова орбита при фиксирани вътрешни движения // Българска академия на науките, Теоретична и приложна механика. 1978. - Т.9, №4.-С.9-15.

4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

5. Гречко Г.М., Сарычев В.А., Легостаев В.П., Сазонов В.В., Гансвинд И.Н. Гравитационная ориентация орбитального комплекса «Салют-6»-«Союз» // Космические исследования. 1985. - Т.23, №5.-С. 659-675.

6. Драновский В.И., Зигунов В.Н., Новоселова Н.Г., Соколов Л.В. Математическая нелинейная модель гироаэродинамической системы ориентации // Сб. «Космическая стрела. Оптические исследования атмосферы». М.: Наука, 1974. - С.47-54.

7. КацА.М. К вопросу о критерии апериодической устойчивости // Приклад-ная математика и механика. 1951. - Т.15, №1. - С. 120.

8. МаркеевА.П, Соколовский А.Г. К задаче об устойчивости относительного равновесия спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1975. - Т. 13, №2. - С. 139-146.

9. Роберсон Р.Е., СарычевВ.А., Яковлев Н.И. Динамика гравитационно-ориентированного спутника с маховиками // Космические исследования. 1975. - Т. 13, №5. - С.619-631.

10. Рубановский В.Н. Об относительных равновесиях спутника-гиростата, их ветвлении и устойчивости // ПММ. 1988. - Т.52, № 6. - С. 909914.

11. Рубановский В.Н. О ветвлении и устойчивости относительных равновесий спутника-гиростата // ПММ. 1991. - Т.55, № 4. - С.565-571.

12. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. -М.: Вычислительный центр АН СССР, 1967.

13. Сазонов В.В. О механизме потери устойчивости в гравитационно-ориентированном спутнике // Космические исследования. 1989. -Т.27, № 6. - С.836-848.

14. СарычевВ.А. Влияние сопротивления атмосферы на систему гравитационной стабилизации искусственных спутников Земли // Космические исследования. 1964. - Т.2, № 1ю - С.23-32.

15. СарычевВ.А. Условия устойчивости системы гравитационной стабилизации спутника с гиродемпфированием // Astronautica Acta. -1969. V.14, №4. - Р.299-310.

16. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников / Итоги науки и техники. Серия «Исследование космического пространства». Т. 11.-М.: ВИНИТИ, 1978.

17. СарычевВ.А., ГутникС.А.К вопросу о положениях относительного равновесия спутника-гиростата // Космические исследования. -1984. Т.22, №3. - С.323-326.

18. СарычевВ.А., МирерС.А., ЗлатоустовВ.А. Оптимальные параметры аэрогироскопической системы ориентации спутников // Космические исследования. 1984. - Т.22, № 3. - С.369-380.

19. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. Динамика спутника с пассивной аэродинамической системой ориентации // Космические исследования. 1994. -Т.32, № 6. - С.561-575.

20. Сарычев В.А., Садов Ю.А. Анализ динамики спутника с гиро-аэродинамической системой ориентации // Сб. «Космическая стрела. Оптические исследования атмосферы». М.: Наука, 1974. - С.71-88.

21. Сарычев В А., Сазонов В.В. Влияние сопротивления атмосферы на одноосную гравитационную ориентацию искусственного спутника // Космические исследования. 1982. - Т.20, № 5. - С.659-673.

22. Сарычев В.А., Яковлев Н.И. Исследование динамики гравитационно-ориентированного спутника с маховиками: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР.-М., 1973.- №32.

23. Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновом поле сил и их устойчивость // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ, № 4. - С.737-744.

24. Crespo da Silva M.R.M. Attitude stability of a gravity-stabilized gyrostat satellite // Cel. Mech. 1970. - V.2, №2. - P. 147-165.

25. DeBraD.B. The effect of aerodynamic forces on satellite attitude // J. Astronaut. Sci. 1959. - V.6, №3. - P.40-45.

26. De Br D.B., Delp R.H. Rigid body attitude stability and natural frequencies in a circular orbit // J. Astronaut. Sci. 1961. - V.8, №1. - P.14-17.

27. FrikM.A. Attitude stability of satellites subjected to gravity gradient and aerodynamic torques // AIAA Journal. 1970. - V.8, №10. - P. 1780-1785.

28. Kumar R.R., Mazanek D.D., HeckM.L. Simulation and Shuttle Hitchhiker validation of passive satellite aerostabilization // J. of Spacecraft and Rockets. 1995. - V.32, №5. - P.806-811.

29. KumarR.R., MazanekD.D., HeckM.L Parametric and classical resonance in passive satellite aerostabilization // J. of Spacecraft and Rockets. 1996. - V.33, №2.-P. 228-234.

30. Likins P.W., RobersonR.E. Uniqueness of equilibrium attitudes for Earth-pointing satellites // J. Astronaut. Sci. 1966. - V.13, №2. - P.87-88.

31. Longman R.W. The equilibria of orbiting gyrostats with internal .angular momenta along principal axes // Proc. of the symposium on gravity gradient attitude stabilization. El Segundo, USA, 1969.

32. Longman R.W. Gravity-gradient stabilization of gyrostat satellite with rotor axes in principal planes // Cel. Mech. 1971. - V.3, №2. - P.169-188.

33. Longman R.W. Stability analysis of all possible equilibria for gyrostat satellites under gravitational torques // AIAA Journal. 1972. -V. 10, №6. - P.800-806.

34. Longman R. W. Stable tumbling motion of a dual-spin satellite subject to gravitational torques // AIAA Journal. 1973. - V.l 1, №7. - P.916-921.

35. Longman R.W. Attitude equilibria and stability of arbitrary gyrostat satellites under gravitational torques // J. of the British Interplanetary Society. 1975. - V.28, №1. - P.38-46.

36. Longman R.W., HagedornP., Beck A. Stabilization due to gyroscopic coupling in dual-spin satellites subject to gravitational torques // Cel. Mech. -1981.- V.25, №4. P.3 53-3 73.

37. Longman R.W, RobersonR.E. General solutions for the equilibria of orbiting gyrostat subjected to gravitational torques // J. Astronaut. Sci. -1969. V.l6, №2. -P.49-58.

38. Meirovitch L., Wallace F.B. On the effect of aerodynamic and gravitational torques on the attitude stability of satellites // AIAA Journal. 1966. - V.4, №12. - P.2196-2202.

39. Modi V.J., Shrivastava S.K. On the limiting regular stability and periodic solutions of a gravity oriented system in the presence of the atmosphere // C.A.S.I. Transactions. 1972. - V.5, №1. - P.5-10.

40. Nurre G.S. Effects of aerodynamic torques on an asymmetric, gravity stabilized satellite // J. of Spacecraft and Rocket. 1968. - V.5, №9. -P.1046-1050.

41. Pacini L., SkillmanD.A passive aerodynamically stabilized satellite for low Earth orbit // AAS Paper 95-173. Feb. 1995. - P.625-630.

42. Roberson R.E. Attitude control of a satellite an outline of the problems // 7th International Astronautical Congress. - 1957. - Barcelona, Spain (Proceedings. - 1958.- P.317-339).

43. Roberson R.E. Equilibria of orbiting gyrostat // J. Astronaut. Sci. 1968. -№15. -P.242-248.

44. Roberson R.E., Hooker W. W. Gravitational equilibria of a rigid body containing symmetric rotors // Proc. 17th Congr. Int. Astronaut. Fed. -(1966. Madrid). - 1967. - Dunud, Paris.

45. Sarychev V.A. Dynamics of a satellite gravitational stabilization system with consideration of atmosphere resistance // 11th International Congress on Applied Mechanics. 1964. - Munich, FRG. (Proceedings, Springer-Verlag. - 1965. - P.429-435).

46. Sarychev V.A. Asymptotically stable stationary rotational motions of a satellite // lstIFAC Symposium on Automatic Control in Space. 1965. -Stavanger, Norway. (Proc. Plenum Press. - New York, USA. - P.277-286).

47. Sarychev V.A. Aerodynamic stabilization system of the satellite // Proceedings of the International Conference on Attitude Changes and Stabilization of satellites. 1968. - Paris, France. -P.l 77-183.

48. Sarychev V.A., Legostaev VP., Sazonov V.V., BelyaevM.Yu., Gansvind I.N., Tyan T.N. The passive attitude motion of the orbital stations Salyut-6 and Salyut-7 // Acta Astronautica. 1987. - V.15, №9. -P.635-640.

49. Sarychev V.A., Mirer S.A. Relative equilibria of a satellite subjected to gravitational and aerodynamic torques // Cel. Mech. 2000. - V.76, №1. -P.55-68.

50. Sarychev V.A., Mirer S.A. Relative equilibria of a gyrostat satellite with internal angular momentum along a principal axis // Acta Astronautica. -2001. V.49, №11. -P.641-644.

51. Sarychev V.A., Sazonov V. V. Gravity gradient stabilization of large space stations // Acta Astronautica. 1981. - V.8, №5-6. - P.549-573.

52. Sarychev V.A., Sazonov V. V. Gravity gradient stabilization of the Salyut -Souz orbital complex // Acta Astronautica. 1984. - V.l 1, №7-8. - P.435-447.

53. Schrello D.M. Aerodynamic influences on satellite librations // ARS Journal. 1961. - V.31, №3. - P.442-444.

54. Schrello D.M. Dynamic stability of aerodynamically responsive satellites // J. of Aerospace Sci. 1962. -V.29, №10. -P.l 145-1155.

55. Wall J.K. The feasibility of aerodynamic attitude stabilization of a satellite vehicle: Preprints / American Rocket Soc. 1959. - №787.

56. Публикации автора по теме диссертации

57. Дегтярев А.А. Устойчивость положений равновесия спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов, на круговой орбите // Труды XLVII научной конференции МФТИ. 2004. - Москва-Долгопрудный. - Т. 7. - С. 175.

58. Дегтярев А.А. Общие подходы при анализе равновесных ориентации спутника-гиростата и спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов // Труды XLVIII научной конференции МФТИ. 2005. - Москва-Долгопрудный. - Т. 7. - С. 177-178.

59. Дегтярев А.А. Равновесия и устойчивость спутника-гиростата с вектором гиростатического момента в главной плоскости инерции спутника // Труды XLVIII научной конференции МФТИ. 2005. -Москва-Долгопрудный. - Т. 3. - С. 178.

60. Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата в случае, когда две компоненты вектора внутреннего гиростатического момента отличны от нуля // Труды XXVI академических чтений по космонавтике. 2002. - Москва. - С. 94-95.

61. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Исследование динамики спутника-гиростата на круговой орбите // Труды XXVIII академических чтений по космонавтике. 2004. - Москва. - С. 94-95.

62. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Равновесия и устойчивость спутника-гиростата с вектором гиростатического момента, параллельным главной оси инерции спутника: Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2004. - №46.

63. Сарычев В.А., Мирер СЛ., Дегтярев А.А., Дуарте Е.К. Исследование положений равновесия спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов: Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2004. - №49.

64. Сарычев В.А., Мирер СЛ., Дегтярев А.А., Дуарте Е.К. Исследование положений равновесия спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов // Труды XXIX академических чтений по космонавтике. 2005. - Москва. - С. 9495.

65. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Равновесия и устойчивость спутника-гиростата с вектором гиростатического момента в главной плоскости инерции спутника: Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2005.-№106.

66. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата с одной ненулевой компонентой вектора гиростатического момента // Космические исследования. 2005. - Т. 43, №4. - С. 283294.

67. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Равновесия и устойчивость спутника, подверженного действию гравитационного и аэродинамического моментов // Труды XXX академических чтений по космонавтике. 2006. - Москва. - С. 94-95.

68. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Равновесия и устойчивость спутника с центром давления в главной плоскости инерции: Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2006. - № 1.