Расчет термодинамических свойств плотной плазмы металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат наук Минаков, Дмитрий Вячеславович

• Минаков, Дмитрий Вячеславович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Минаков, Дмитрий Вячеславович

Содержание

Введение

Обзор литературы

1. Метод функционала плотности

2. Псевдопотенциальный подход

3. Метод квантовой молекулярной динамики

Глава 1. Расчет свойств электронной подсистемы в псевдопотенциальном подходе

1.1. Исследование границ применимости псевдопотенциалов

1.2. Электронная теплоемкость

1.3. Тепловое давление электронной подсистемы

1.4. Расчет плотности состояний электронов из многочастичного расчета

1.5. Оценка степени ионизации плазмы ударно-сжатых металлов

1.6. Выводы к первой главе

Глава 2. Расчеты теплофизических свойств в квазигармоническом приближении

2.1. Расчеты фононных свойств

2.2. Расчеты кривых плавления металлов с использованием критерия Линдемана

2.3. Влияние температуры электронной подсистемы на температуру плавления металлов

2.4. Выводы ко второй главе

Глава 3. Квантовые молекулярно-динамические расчеты ударно-

волновых экспериментов

3.1. Параметры квантового молекулярно-динамического расчета

3.2. Расчеты сплошных, пористых и повторных ударных адиабат Гюгонио

3.3. Реконструкция кривых изоэнтропического расширения

3.4. Выводы к третьей главе

Заключение

Приложение А. Давление и внутренняя энергия в алюминии, полученные из первопринципного квантового молекулярно-динамического расчета

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет термодинамических свойств плотной плазмы металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики»

Введение

Актуальность темы. Плотная плазма металлов образуется при воздействии интенсивных потоков энергии на конденсированные мишени, в частности, при высокоскоростном ударе, облучении электромагнитными импульса-

%

ми и потоками заряженных частиц, а также при пропускании мощных импульсов тока. Все эти процессы сопровождаются нагревом и сжатием вещества с последующим его расширением, что приводит к образованию неидеальной плазмы, в которой взаимодействие частиц значительно превосходит их кинетическую энергию. Часто в такой плазме электронная подсистема является вырожденной. Расчет термодинамических свойств плотной плазмы представляет собой весьма сложную задачу. Строгие теоретические методы применимы в ограниченной области фазовой диаграммы и сталкиваются со значительными трудностями при описании квантовых эффектов и связанных состояний. Химическая модель плазмы, в основе которой лежат уравнения ионизационного равновесия для молекул, атомов, ионов различной кратности и электронов, строго сформулирована лишь для идеальной плазмы. Учет эффектов неидеальности и вырождения в такой плазме осуществляется путем введения поправок, точные выражения для которых неизвестны. Более последовательны в этом отношении квантово-статистические модели, в которых приближенно решается квантовая многочастичная задача для одного атома (иона). Примерами таких подходов являются методы Томаса-Ферми и Хартри-Фока-Слэтера в сферической ячейке. Это позволяет рассчитать лишь термодинамические свойства электронов, в то время как вклад атомов и ионов приходится учитывать аддитивно. Кроме того, в этом подходе не принимаются во внимание несферичность элементарной ячейки вещества и влияние соседних частиц. Таким образом, до недавнего времени не существовало прямых методов моделирования плотной плазмы, поэтому для описания

уравнения состояния такой среды широко применяются полуэмпирические подходы, в которых, наряду с теоретическими зависимостями, присутствуют подгоночные параметры, определяемые путем сравнения с экспериментальными данными.

В настоящее время наиболее последовательными и перспективными методами расчета термодинамических свойств плотной плазмы являются метод функционала плотности и основанный на нем метод квантовой молекулярной динамики. Метод функционала плотности имеет строгое теоретическое обоснование и позволяет приближенно вычислять распределение электронной плотности и волновые функции электронов в реальной элементарной ячейке вещества, которая может содержать несколько атомов различных сортов. Метод квантовой квантовой молекулярной динамики позволяет также изучать и динамику ионной подсистемы, что дает возможность рассчитывать полное уравнение состояния кристаллов, жидкостей и плазмы. В связи с бурным развитием суперкомпьютерных технологий и численных методов в последнее десятилетие появилась возможность проводить квантовое молеку-лярно-дипамическое моделирование с числом частиц до 1000 и рассчитывать уравнение состояния плотной плазмы в условиях, труднодоступных для эксперимента. Исследование достоверности получаемых таким образом данных, а также возможность их использования в качестве замены дорогостоящим опытам составляет актуальность данной работы.

Цель диссертационной работы состоит в проведении расчетов термодинамических свойств плотной плазмы металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики для выявления пределов применимости этих методов, а также получения новых данных для калибровки полуэмпирических уравнений состояния.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи.

1. Выявлены пределы применимости псевдопотенциалов для ряда металлов по температуре и плотности.

2. Разработан и реализован метод расчета термодинамических свойств электронов в металлах.

3. Разработаны и реализованы методы моделирования ударных адиабат однократного и повторного сжатия, пористых ударных адиабат, а также изоэнтроп разгрузки для сопоставления с ударно-волновыми экспериментальными данными.

4. Изучено влияние параметров моделирования на точность расчета термодинамических свойств методом квантовой молекулярной динамики.

5. Разработан и реализован метод расчета кривых плавления металлов, в том числе при температуре электронов, значительно превышающей температуру ионов.

6. Разработан метод вычисления плотности электронных состояний в плотной плазме по результатам моделирования методом квантовой молекулярной динамики.

Научная новизна

1. В работе впервые были определены границы применимости псевдопотенциалов для ряда металлов по температуре и плотности путем проведения расчетов термодинамических свойств электронов и сопоставления с результатами более точной модели.

2. Впервые методом функционала плотности было продемонстрировано, что возбуждение внутренних электронных оболочек в металлах под действием температуры не влияет на электронное давление, но обеспечивает рост электронной теплоемкости.

3. Впервые были проведены первопринципные расчеты изоэнтроп разгрузки, пористых ударных адиабат, а также скорости звука за фронтом ударной волны в алюминии в хорошем согласии с экспериментальными данными.

4. Впервые были рассчитаны зависимости кривых плавления алюминия и меди от температуры электронов; было показано, что температура плавления кристалла немонотонно изменяется с ростом температуры электронной подсистемы.

Научная и практическая ценность

1. Определенные в работе границы применимости псевдопотснциалов по температуре и плотности могут использоваться при выборе параметров моделирования.

2. Рассчитанные термодинамические свойства электронов в металлах могут быть использованы в качестве эталона для сравнения с другими, более простыми моделями, а также для калибровки параметров вклада электронов в уравнения состояния металлов.

3. Рассчитанные термодинамические свойства плотной плазмы алюминия в широком диапазоне параметров могут быть использованы как непосредственно в табличном виде, так и для калибровки полуэмпирических уравнений состояния.

4. Разработанный метод расчета кривых плавления металлов может применяться для определения кривых плавления широкого круга веществ в широком диапазоне давлений, в том числе при температуре электронов, значительно превышающей температуру решетки.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

1. Метод оценки границ применимости псевдопотенциалов сверху по температуре и плотности.

2. Границы применимости псевдопотенциалов PAW 110 температуре и плотности для А1 и W, по плотности для Си и Аи.

3. Возбуждение электронов внутренних оболочек атома при повышении температуры оказывает значительное влияние на электронную теплоемкость, но практически не сказывается на электронном давлении.

4. Метод расчета зависимости температуры от давления на кривых плавления кристаллов на основе квазигармонического приближения с привязкой к одной экспериментальной точке.

5. Зависимость температуры плавления кристаллов А1 и Си различной начальной плотности от температуры электронов носит немонотонный характер. При температуре электронов 10 эВ и нормальной плотности температура плавления кристаллов А1 и Си повышается более, чем в 2 раза.

6. Первопринципный метод квантовой молекулярной динамики обеспечивает хорошее согласие с экспериментальными данными для различных типов ударно-волновых экспериментов для А1. Многофазное уравнение состояния А1 даёт более высокие температуры в жидкой фазе на основной ударной адиабате и изоэнтропах разгрузки по сравнению с расчетами методом квантовой молекулярной динамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XI Международном семинаре «Супервычисления и математическое моде-

лирование» (Саров, 2009), 52-й научной конференции МФТИ (2009), 7 Российском симпозиуме «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильно-перавповссных средах» (Новый Афон, 2009), XII Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2010), XXV International Conference «Equations of State for Matter» (Эльбрус, 2010), 53-й научной конференции МФТИ (2010), XIII Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2011), 54-й научной конференции МФТИ (2011), XIV Международной конференции «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2012), 55-й научной конференции МФТИ (2012), Международной конференции XV Харитоновские тематические научные чтения (Саров, 2013), Научно-координационной Сессии «Исследования неидеальной плазмы» (Москва, 2013), XXV International Conference «Equations of State for Matter» (Эльбрус, 2010), New Models and Ilydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter (Париж, Франция, 2010), XIV Liquid and Amorphous Metals Conference (Рим, Италия, 2010), XXVI International Conference on «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter» (Эльбрус, 2011), Strongly Coupled Coulomb Systems (Будапешт, Венгрия, 2011), 49th EHPRG Conference (Будапешт, Венгрия, 2011), International Conference on High Pressure Science and Technology AIRAPT-23 (Мумбаи, Индия, 2011), XXVII International Conference on «Equations of State for Matter» (Эльбрус, 2012), 2012 March Meeting of the American Physical Society (Бостон, США, 2012), 33rd International Workshop on Physics of High Energy Density in Matter (Хиршег, Австрия, 2013), XXVIII International Conference on «Interaction of Intense Enery Fluxes with Matter» (Эльбрус, 2013), Warm Dense Matter (Сан-Мало, Франция, 2013), 18th APS-SCCM and 24th AIRAPT (Сиэттл, США, 2013), 34th International Workshop on Physics of High Energy Density in Matter (Хиршег, Австрия, 2014), Международной конференции XII Забабахинские научные чтения (Снежинск, 2014 г.), 10th Seminar on New

Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter (Парду-бица, Чехия, 2014).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 28 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках трудов конференций и 22 тезиса докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автором были проведены все расчеты методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики и выполнена интерпретация полученных результатов. На основании результатов исследования автором сформулированы и обоснованы выводы и заключения, вошедшие в диссертацию.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3-х глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 127 страниц, включая 39 рисунков и 4 таблицы. Библиография включает 177 наименований.

Обзор литературы

1. Метод функционала плотности

Метод функционала плотности представляет собой точную квантовоме-ханическую теорию для системы взаимодействующих квантовых частиц во внешнем потенциале 14хЬ(г). Сам метод основан на двух строго доказанных теоремах [1]:

1. Для любой системы взаимодействующих частиц во внешнем потенциале Кж^г)) потенциал К-х^г) с точностью до произвольной постоянной определяется электронной плотностью основного состояния По(г).

2. Энергия невырожденного основного состояния системы для любого внешнего потенциала (г) является функционалом электронной плотности Е\п(т)\. Основное состояние системы является минимумом этого функционала, который достигается при плотности, соответствующей основному состоянию системы по(г).

Из первой теоремы следует, что гамильтониан системы с точностью до постоянной величины определяется электронной плотностью основного состояния По (г); отсюда следует, что определены многочастичные волновые функции для всех состояний (основного и возбужденных). Таким образом, все свойства системы полностью определены, если известна электронная плотность основного состояния по(г). Из второй теоремы следует, что при известном функционале Е[п] можно определить плотность и энергию основного состояния.

Функционал энергии в формулировке [1] можно записать следующим образом:

ЯнкН = Т[п] + Еы[п] +

d3rVexl(r)n(r) + Еп = = ^hkN +

d?rVext{r)n(r) + Еп, (1)

где Ец — энергия взаимодействия ядер. Функционал ^нкИ включает в себя кинетическую и потенциальную энергию системы взаимодействующих электронов,

FEK[n\ ^ Т[п] + Еы[п]. (2)

Минимум функционала (1) определяет основное состояние энергии системы и ее электронную плотность. Следует отметить, что (1) не несет никакой информации о возбужденных состояниях системы.

Прямая минимизация функционала jEhkM наталкивается на определенные трудности. Альтернативный способ нахождения минимума функционала Е[п] использует выражение для энергии через многочастичную волновую функцию Ф

Е = (Ф|Т|Ф) + (Ф|Ип1|Ф) +

d3rVcxt(r)n(r) + Еп.

(3)

Минимизация производится в два этапа. Сначала энергия минимизируется на классе многочастичных волновых функций, которые дают одну и ту же электронную плотность п(г):

ELL[n]= min Г(Ф|Т|Ф) + (Ф|К^|Ф>] +

Ф-ж(г) J

d3rVext(r)n(r) + Ей =

= FLL[n] +

d3rVext(r)n(r) + Ец. (4)

Здесь

FLL[n}= min № + Hnt|*>

Ф-т(г)

функционал электронной плотности, не зависящий явно от На втором этапе ищется минимум функционала Ец[п] по электронной плотности п(г):

Е = ттЕьь[п]. (6)

тг(г)

Такая двухступенчатая процедура применима также для вырожденного основного состояния, в этом случае минимум достигается на любой электронной плотности, соответствующей основному состоянию.

Теория функционала плотности допускает обобщение на случай конечных температур [2]. Функционал энергии от электронной плотности при этом заменяется на функционал большого термодинамического потенциала П от оператора плотности р\

ад = эр

(7)

Минимум этого функционала совпадает с термодинамически равновесным выражением для большого термодинамического потенциала:

^ = П[р0] = - 1п Эр (8)

где ро — оператор плотности в большом каноническом ансамбле,

-/З(Й-цМ)

р0 = ——=—(9)

Теорема Мермина [2] утверждает, что не только энергия, но также и все термодинамические функции, в частности, энтропия и теплоемкость, являются функционалами равновесной плотности.

Метод функционала плотности имеет строгое теоретическое обоснование, однако установление связи между электронной плотностью основного состояния и свойствами вещества является нетривиальной задачей. Основная проблема, которая возникает на этом пути — это отсутствие в общем

случае прямой связи между кинетической энергией и функцией электронной плотности. Для решения этой проблемы в работе [3] было высказано предположение, что основное состояние взаимодействующей системы частиц совпадает с основным состоянием эквивалентной системы невзаимодействующих частиц, а взаимодействие можно учесть посредством так называемого обменно-корреляциоиного функционала, зависящего от электронной плотности. Задача в такой формулировке может быть решена численными методами с точностью, определяемой выражением для обменно-корреляционного функционала. Этот прием оказался весьма успешным, и все существующие методы расчета на основе метода функционала плотности используют это приближение. Разработанные в настоящее время обменно-корреляционные функционалы хорошо описывают полупроводники II—V группы, простые и переходные металлы, изоляторы, например, алмаз, NaCl и молекулы с ковалентной или ионной связью. Существуют также примеры, в которых метод; функционала плотности ошибочно предсказывает металлические свойства для изоляторов. Таким образом, подход Кона-Шэма [3] является лишь первым шагом на пути построения методов расчета различных свойств многоэлектронных сильно-взаимодействующих систем.

Функционал энергии Е[п] в приближении Кона-Шэма записывается следующим образом:

Eks = Ts[n] + drVcxt(r)n(r) + £IIartree[n] + En + Exc[n], (10)

где электронная плотность определяется выражением

(П)

а

а i—1

кинетическая энергия системы невзаимодействующих частиц

а г=1

а г=1

а кулоновская энергия взаимодействия электронов

т — г"

^НаПгееИ = ^

Здесь а — суммарная проекция спина системы, № — число состояний для заданной проекции спина <т, характеризующихся волновыми функциями ф?(г) и собственными значениями энергии .

Обменно-корреляционный функционал содержит многочастичные обменные и корреляционные эффекты; помимо этого, в нем содержится часть функционала кинетической энергии. Другими словами, обменно-корреляционный функционал представляет собой разность между кинетической энергией и энергией взаимодействия электронов в реальной взаимодействующей многочастичной системе и в фиктивной системе невзаимодействующих частиц, в которой электрон-электронное взаимодействие заменено на энергию Хартри:

ЕХС[П] = (Т) - Та[п] + (ЙпО " ^НаПгееН- (14)

Уравнения для определения волновых функций (г) и собственных значений энергии можно получить из условия минимума функционала Екв^] при условии ортонормированности системы функций = [3]:

№ - <?Ж(г) = о, (15)

щ 8(г)=4у2+таг)' (16)

= К*(г) + + = 14*(г) + Т/НаНГее(г) + ^(г). (17)

Уравнения (15)—(17) называются уравнениями Кона-Шэма. Формально это система уравнений для невзаимодействующих частиц в самосогласованном потенциале ^(г). При известном точном выражении для обменно-кор-реляционного функционала Ехс[п] решение системы (15)—(17) дает точные значения энергии и электронной плотности основного состояния.

Обменно-корреляционный функционал Ехс[п] может быть с хорошей точностью аппроксимирован локальным или почти локальным функционалом плотности (ЬБА) [3]:

где ехс([п],г) — энергия на один электрон в точке г, зависящая только от плотности п(г, а) в некоторой окрестности точки г. Существуют также выражения для Ехс[п], в которых ехс зависит не только от электронной плотности п, но и от ее градиентов,

так называемое обобщенно-градиентное приближение [4, 5]. Следует отметить, что уточнение ЫЭА-приближения не всегда приводит к улучшению результатов моделирования. Кроме того, описание обменно-корреляционных эффектов с помощью обменно-корреляционных функционалов в приближении ЬБА и СвА несправедливо для систем, в которых электронная плотность п(г) не является медленно меняющейся функцией. В частности, такими системами являются электронный вигнеровский кристалл, систем с ван-дер-ваальсовским взаимодействием, поверхность вещества, граничащего с вакуумом [6]. Теоретически, однако, такие обменно-корреляционные функционалы могут быть построены.

Уравнения Кона-Шэма (15) для нахождения основного состояния системы решаются различными способами. Ниже перечислены наиболее распространенные из них.

Наиболее естественным базисом для разложения волновых функций в уравнениях Кона-Шэма является базис из плоских волн. В этом базисе хорошо описываются почти свободные электроны, кроме того, плоские волны очень удобны для расчета зонной структуры вещества. Для описания электронов внутренних оболочек используются различные псевдопотенциалы, как

Ех с [п] = (1гп{г) ехс ([п], г),

(18)

¿гп(г)ехс([п],|Уп(г)|г),

(19)

эмпирические, так и теоретические [7, 8]. Метод плоских воли в сочетании с псевдопотенциальным подходом стал одним из самых популярных методов для расчета электронной структуры, в том числе и в квантовых молекулярно-динамических расчетах [9], и будет подробно разобран в разделе 3 данного обзора.

Другой подход состоит в построении волновых функций многоэлектронной системы посредством комбинирования волновых функций отдельных атомов, так называемый метод локализованных орбиталей или сильной связи [10]. Существует множество разновидностей этого подхода, наиболее известным из которых является метод линейной комбинации атомных орбиталей. Метод сильной связи является весьма простым и быстрым методом расчета зонной структуры вещества, и на его основе построены численные подходы, для которых время моделирования зависит от числа частиц линейно. Также этот метод является основой более сложных методов, например, линейной комбинации маффин-тин орбиталей [11].

Наконец, существует подход;, объединяющий достоинства двух предыдущих. Для внутренних оболочек атома используется метод локализованных орбиталей, при этом обычно решаются сферически-симметричные уравнения Кона-Шэма, Шредингера или Дирака. Для области пространства между атомами решение находится с помощью разложения по базисным функциям (плоским волнам). Такой метод расчета чаще всего используется для так называемых полно-электронных вычислений, когда учитываются все электроны атома; с другой стороны, этот метод является наиболее трудоемким.

Расчет термодинамических функций в методе функционала плотности производится следующим образом. Наиболее просто вычисляется полная энергия системы электронов, при Т = 0 можно также вычислить давление Р = —<1Е1дУ. При ненулевой температуре в самосогласованном расчете исиоль-

зуют числа заполнения, пропорциональные функциям Ферми-Дирака:

Ь Т) = ,, 1п(пТЛЛ,ггГ (20)

1+ехр [(е-/4р, Т))/Т\

где ¡1 —химический потенциал системы, определяемый из условия электронейтральности. При известных числах заполнения можно вычислить конфигурационную энтропию [12] и свободную энергию системы и определить все необходимые термодинамические параметры.

2. Псевдопотенциальный подход

Фундаментальная идея псевдопотенциальной теории — с помощью некоторой процедуры уменьшить степень осцилляций рассчитываемых валентных волновых функций вблизи ядра, тем самым уменьшив количество плоских волн, которые потребуются для их разложения. Более того, рассчитываются электроны только верхних оболочек, так как известно, что от поведения этих электронов зависит большинство физических свойств веществ. Орбита-ли внутренних электронов считаются неизменными — поведение волновых функций этих электронов не меняется при изменении внешнего химического окружения атома. Таким образом, суть данного подхода сводится к замене сильного электрон-ионного потенциала гораздо более слабым потенциалом -исевдопотенциалом - который бы описывал все основные свойства валентных электронов, включая релятивистские эффекты. Для этого исходная система заменяется системой, состоящей из псевдовалентных электронов и псевдоионного кора. Свойства псевдоиона таковы, что его потенциал вне некоторого радиуса обрезания (кора) совпадает с потенциалом истинного иона, но внутри этой сферы он гораздо слабее [13]. Тот факт, что потенциал внутри кора ослаблен — существенен, так как именно это делает решение уравнения Шре-дингера внутри сферы кора значительно проще. В этом случае осциляции

псевдопотенциальнаа

волновая функция

полноэлектронная волновая функция

псевдопотен циал

полноэлектронный потенциал

Рис. 1. Схематичная иллюстрация полноэлектронного (сплошная линия) и псевдоэлектронного (штриховая линия) потенциалов и соответствующих им волновых функций. Радиус, на котором полноэлектронное и псевдопотенциальное приближения совпадают, отмечен как гс

волновых функций вблизи ядра уменьшаются или исчезают совсем. Ионный потенциал, валентная волновая функция и соответствующие нсевдопотенци-ал и нсевдоволновая функция изображены схематично на рис. 1.

В самом общем виде псевдопотенциал может быть представлен как

где 11т) — сферические гармоники и VI — псевдопотенциал углового момента I. Действуя на электронную волновую функцию, этот оператор раскладывает ее на сферические гармоники, каждая из которых умножается на соответствующий псевдопотенциал V/, индекс «ЛГ£» в данном случае означает «нелокальный».

(21)

1т

Большинство идей псевдопотенциального подхода пришло из метода ор-тогонализованных плоских волн (ОР\У), введенного Герингом [14, 15] в 1940 году, согласно которому базисные функции валентных состояний Хц™ УД°~ влетворяют уравнению:

Х%РШ(г) = - (22)

где

Wq> = -

druj(r)ei4'r, (23)

из которого следует, что XqPW ортогональны функциям кора Uj, локализованным около атомного ядра.

Метод ортогонализованных плоски^ волн стал основой для первых зонных расчетов веществ, отличных от sp-металлов [16]. Этот метод является предшественником современных псевдопотенциальных подходов и метода проекционных присоединенных волн (PAW).

Основные принципы, на которых базируется создание современных нсев-допотенциалов, были введены в работе [17]. Согласно предложенной схеме, внутри некоторого атомного радиуса полноэлектронные волновые функции заменяются псевдоволновыми функциями, причем должен строго выполняться ряд условий:

• валентные псевдоволновые функции, генерируемые псевдопотенциалом, не должны содержать узлов;

• полноэлектронные и псевдовалентные собственные значения должны совпадать для выбранной в качестве прототипа атомной конфигурации;

• полноэлектронные и псевдоволновые функции должны совпадать вне выбранного радиуса кора гс;

• объемные интегралы по полноэлектронной и псевдозарядовой плотности внутри кора должны быть равны (правило сохранения нормировки);

• логарифмические производные полноэлектронной и псевдоволновой функции, а также их первые производные по энергии должны совпадать вне кора.

Псевдопотенциалы, удовлетворяющие этим условиям принято называть сохраняющими нормировку (norm-conserving).

Позже было установлено, что для хорошей переносимости псевдопотенциала, т.е. свойства валентных псевдоэлектронов описывать ответ системы на изменение химического окружения, требуется, чтобы кор располагался вокруг самого дальнего максимума полноэлектронной волновой функции, потому что только в этом случае распределение заряда и моменты полноэлектронной волновой функции хорошо воспроизводятся псевдоволновой функцией [18, 19]. Поэтому для элементов с сильно локализованными орбиталями (элементы первой группы, переходные металлы и редкоземельные элементы) получающийся псевдопотенциал требует большого набора базисных плоских волн. В качестве компромиссного решения часто идут на значительное увеличение радиуса кора, но такой подход неудовлетворительно сказывается на переносимости, и для любых новых химических сред требуются дополнительные тесты для проверки надежности таких мягких псевдопотенциалов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Минаков, Дмитрий Вячеславович, 2014 год

Литература

1. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogencous electron gas // Phys. Rev. 1964. Vol. 136, no. 3B. Pp. 864-870.

2. Mermin N. D. Thermal properties of the inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. A. 1965. Vol. 137, no. 5. Pp. 1441-1443.

3. Kohn W., Sham L. J. Selfconsistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. A. 1965. Vol. 140, no. 4. Pp. 1133-1141.

4. Wang Y., Perdew J. P. Correlation hole of the spin-polarized electron gas, with exact small-wave-vector and high-density scaling // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44, no. 24. Pp. 13298 13307.

5. Perdew J. P., Che vary J. A., Vosko S. H. et al. Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. Pp. 6671 6687.

6. Kohn W. Electronic structure of matter—wave functions and density functional // Rev. Mod. Phys. 1999. Vol. 71, no. 5. Pp. 1253-1266.

7. Vanderbilt D. Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 41. Pp. 7892-7895.

8. Kresse G., Joubert D. From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method // Phys. Rev. B. 1999. Vol. 59. Pp. 1758-1775.

9. Car R., Parrinello M. Unified Approach for Molecular Dynamics and Density-Functional Theory // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, no. 22. Pp. 2471-2474.

10. Ashkroft N. W., Mermin N. D. Solid State Physics. Harcourt College Publishers, 1976.

11. Vitos L. Computational Quantum Mechanics for Materials Engineers: The EMTO Method and Applications. Engineering Materials and Processes. Springer, 2007. ISBN: 9781846289514.

12. Никифоров А. Ф., Новиков В. Г., Уваров В. Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы и методы расчета росселадновых пробегов и уравнений состояния. Москва: Физико-математическая литература, 2000.

13. Martin R. М. Electronic Structure. Basic Theory and Practical Methods. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

14. Herring C. A New Method for Calculating Wave Functions in Crystals // Phys. Rev. 1940. Vol. 57. Pp. 1169-1177.

15. Herring C., Hill A. The Theoretical Constitution of Metallic Beryllium // Phys. Rev. 1940. Vol. 58. Pp. 132-162.

16. Herman F. Theoretical Investigation of the Electronic Energy Band Structure of Solids // Rev. Mod. Phys. 1958. Vol. 30. Pp. 102-121.

17. Hamann D., Schliiter M., Chiang C. Norm-Conserving Pseudopotentials // Phys. Rev. Lett. 1979. Vol. 43. Pp. 1494-1497.

18. Troullier N., Martins J. Efficient pseudopotentials for plane-wave calculations // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 43. Pp. 1993-2006.

19. Goedecker S., Maschke K. Transferability of pseudopotentials // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. Pp. 88-93.

20. Laasonen K., Pasquarello A., Car R. et al. Car-Parrinello molecular dynamics with Vanderbilt ultrasoft pseudopotentials // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47. Pp. 10142-10153.

21. Kresse G., Hafner J. Ab initio molecular dynamics for open-shell transition metals // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. Pp. 13115-13118.

22. Kresse G., Hafner J. Norm-conserving and ultrasoft pseudopotentials for first-row and transition elements // Journal of Physics: Condensed Matter. 1994. Vol. 6, no. 40. P. 8245.

23. Kresse G., Furthmiiller J. Efficiency of ab-initio total energy calculations for metals and semiconductors using a plane-wave basis set // Computational Materials Science. 1996. Vol. 6, no. 1. Pp. 15 - 50.

24. Blochl P. E. Projector augmented-wave method // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. Pp. 17953-17979.

25. Slater J. Wave Functions in a Periodic Potential // Phys. Rev. 1937. Vol. 51. Pp. 846-851.

26. Andersen O. Linear methods in band theory // Phys. Rev. B. 1975. Vol. 12. Pp. 3060-3083.

27. Allen M. P., Tildesley D. J. Computer Simulation of Liquids. Oxford: Clarendon Press, 1987.

28. Feynman R. P. Forces in Molecules // Phys. Rev. 1939. Vol. 56, no. 4. Pp. 340 343.

29. Bendt P., Zunger A. New approach for solving the density-functional self-consistent-field problem // Phys. Rev. B. 1982. Vol. 26, no. 6. Pp. 3114-3137.

30. Payne M., Teter M., Allan D. Iterative minimization techniques for ab initio total-energy calculations: molecular dynamics and conjugate gradients // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64. Pp. 1045-1097.

31. Hernández E. R., Rodriguez-Prieto A., Bergara A., Alfe D. First-Principles Simulations of Lithium Melting: Stability of the bcc Phase Close to Melting // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 185701.

32. Pozzo M., Desjarlais M. P., Alfé D. Electrical and thermal conductivity of liquid sodium from first-principles calculations // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 054203.

33. Alfe D., Pozzo M., Desjarlais M. P. Lattice electrical resistivity of magnetic bcc iron from first-principles calculations // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. P. 024102.

34. Pozzo M., Alfé D. Melting curve of face-centered-cubic nickel from first-principles calculations // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 88. P. 024111.

35. Hoist B., Redmer R., Desjarlais M. P. Thermophysical properties of warm dense hydrogen using quantum molecular dynamics simulations // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 184201.

36. Lenosky T. J., Bickham S. R., Kress J. D., Collins L. A. Density-functional calculation of the Hugoniot of shocked liquid deuterium // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61. Pp. 1-4.

37. Desjarlais M. P. Density-functional calculations of the liquid deuterium Hugoniot, reshock, and reverberation timing // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 064204.

38. Bonev S. A., Militzer B., Galli G. Ab initio simulations of dense liquid deuterium: Comparison with gas-gun shock-wave experiments // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 014101.

39. Militzer B., Ceperley D. M., Kress J. D. et al. Calculation of a Deuterium Double Shock Hugoniot from Ab Initio Simulations // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 275502.

40. Kietzmann A., Hoist B., Redmer R. et al. Quantum Molecular Dynamics Simulations for the Nonmetal-to-Metal Transition in Fluid Helium // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 190602.

41. Knudson M. D., Desjarlais M. P., Dolan D. H. Shock-Wave Exploration of the High-Pressure Phases of Carbon // Science. 2008. Vol. 322, no. 5909. Pp. 1822-1825. http://www.sciencemag.org/content/322/5909/1822.full.pdf.

42. Sherman B. L., Wilson H. F., Weeraratne D., Militzer B. Ab initio simulations of hot dense methane during shock experiments // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 224113.

43. Knudson M. D., Desjarlais M. P. Shock Compression of Quartz to 1.6 TPa: Redefining a Pressure Standard // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. P. 225501.

44. French M., Redmer R. Estimating the quantum effects from molecular vibrations of water under high pressures and temperatures // Journal of Physics: Condensed Matter. 2009. Vol. 21, no. 37. P. 375101.

45. French M., Mattsson T. R., Nettelmann N., Redmer R. Equation of state and phase diagram of water at ultrahigh pressures as in planetary interiors // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 054107.

46. Root S., Cochrane K. R., Carpenter J. H., Mattsson T. R. Carbon dioxide shock and reshock equation of state data to 8 Mbar: Experiments and simulations // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87. P. 224102.

47. Mazevet S., Zerah G. Ab Initio simulations of the K-Edge Shift along the Aluminum Hugoniot // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 155001.

48. Wang C., Wang Z.-B., Chen Q.-F., Zhang P. Quantum molecular dynamics study of warm dense iron // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 89. P. 023101.

49. Root S., Magyar R. J., Carpenter J. H. et al. Shock Compression of a Fifth Period Element: Liquid Xenon to 840 GPa // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. P. 085501.

50. Cong W., Yun-Jun G., Qi-Feng C. et al. Equation of State for Shock Compressed Xenon in the Ionization Regime: ab Initio Study // Communications in Theoretical Physics. 2012. Vol. 58, no. 1. P. 160.

51. Mattsson T. R., Lane J. M. D., Cochrane K. R. et al. First-principles and classical molecular dynamics simulation of shocked polymers // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 054103.

52. Mattsson T. R., Desjarlais M. P. Phase Diagram and Electrical Conductivity of High Energy-Density Water from Density Functional Theory // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97, no. 1. P. 017801.

53. Renaudin P., Blancard C., Faussurier G., Noiret P. Combined Pressure and Electrical-Resistivity Measurements of Warm Dense Aluminum and Titanium Plasmas // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88, no. 21. P. 215001.

54. Renaudin P., Blancard C., Clerouin J. et al. Aluminum Equation-of-State Data in the Warm Dense Matter Regime // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91, no. 7. P. 075002.

55. Renaudin P., Recoules V., Noiret P., Clerouin J. Electronic structure and equation of state data of warm dense gold // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 5. P. 056403.

56. Raty J., Schwegler E., Bonev S. Electronic and structural transitions in dense liquid sodium // Nature. 2007. Vol. 449. P. 448.

57. Bouchet J., Bottin F., Jomard G., Zerah G. Melting curve of aluminum up to 300 GPa obtained through ab initio molecular dynamics simulations // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 094102.

58. Belonoshko A. B., Rosengren A., Burakovsky L. et al. Melting of Fe and ^eo.9375£«0.0625 at Earth's core pressures studied using ab initio molecular dynamics // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79, no. 22. P. 220102.

59. http://www.mpi.vasp.edu/.

60. http://www.abinit.edu/.

61. http://www.espresso.edu/.

62. Hafner J. Ab-initio simulations of materials using VASP: Density-functional theory and beyond // Journal of Computational Chemistry. 2008. Vol. 29, no. 13. Pp. 2044-2078.

63. http://www.physics.ucdavis.edu/.

64. Savrasov S. Y. Linear-response theory and lattice dynamics: A mufhn-tin-or-bital approach // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. Pp. 16470-16486.

65. Sin'ko G. V., Smirnov N. A. Structural transitions in indium under high pressure: Ab initio electronic structure calculations // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 134113.

66. Greeff С., Boettger J., Graf M., Johnson J. Theoretical investigation of the Cu EOS standard // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 2006. Vol. 67, no. 9-10. Pp. 2033 - 2040.

67. Kresse G., Hafner J. Ab initio molecular dynamics for liquid metals // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47. Pp. 558-561.

68. Kresse G., Hafner J. Ab initio molecular-dynamics simulation of the liquid-metal-amorphous-semiconductor transition in germanium // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49. Pp. 14251-14269.

69. Kresse G., Furthmuller J. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. Pp. 11169 11186.

70. Perdew J. P., Chevary J. A., Vosko S. H. et al. Erratum: Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. Pp. 4978-4978.

71. Perdew J. P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 3865.

72. Perdew J. P., Burke K., Ernzerhof M. Erratum: Generalized Gradient Approximation Made Simple // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 1396.

73. Monkhorst H., Pack J. Special points for Brillouin-zone integrations // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 13. Pp. 5188-5192.

74. Агранат M. В., Андреев H. E., Ашитков С. И. и др. Определение транспортных и оптических свойств неидеальной плазмы твердотельной плотности при фемтосекундном лазерном воздействии // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85, № 6. С. 328-333.

75. Veysman M. E., Agranat M. В., Andreev N. E. et al. Femtosecond optical diagnostics and hydrodynamic simulation of Ag plasma created by laser irradiation of a solid target // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2008. Vol. 41, no. 12. P. 125704.

76. Komarov P. S., Ashitkov S. I., Ovchinnikov A. V. et al. Experimental and theoretical study of Al plasma under femtosecond laser pulses //J- Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 21. P. 214057.

77. Gunnarsson O., Lundqvist В. I. Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density-functional formalism // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 13, no. 10. Pp. 4274-4298.

78. Bel'kov S. A., Derkach V. N., Garanin S. G. et al. Isentropic expansion of copper plasma in Mbar pressure range at "Luch" laser facility // Journal of Applied Physics. 2014. Vol. 115, no. 3. P. 033506.

79. Loboda P. A., Smirnov N. A., Shadrin A. A., Karlykhanov N. G. Simulation of absorption of femtosecond laser pulses in solid-density copper // High Energy Density Physics. 2011. Vol. 7, no. 4. Pp. 361-370.

80. Фортов В. E., Храпак А. Г., Якубов И. Т. Физика неидеальной плазмы. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2010.

81. Yan Z. General thermal wavelength and its applications // European Journal of Physics. 2000. Vol. 21, no. 6. P. 625.

82. Carrier P., Wentzcovitch R., Tsuchiya J. First-principles prediction of crystal structures at high temperatures using the quasiharmonic approximation // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 76. P. 064116.

83. Максимов Е. Г., Магницкая М. В., Фортов В. Е. Непростое поведение простых металлов при высоких давлениях // Успехи физических наук. 2005. Vol. 175, по. 8. Pp. 793-813.

84. Xiang S., Xi F., Bi Y. et al. Ab initio // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 81. P. 014301.

85. Togo A., Oba F., Tanaka I. First-principles calculations of the ferroelastic transition between rutile-type and CaC12-type Si02 at high pressures // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 134106.

86. http://phonopy.sourceforge.net/.

87. Hedin L. New Method for Calculating the One-Particle Green's Function with Application to the Electron-Gas Problem // Phys. Rev. 1965. Vol. 139. Pp. A796-A823.

88. Gonze X., Lee C. Dynamical matrices, Born effective charges, dielectric permittivity tensors, and interatomic force constants from density-functional perturbation theory // Phys. Rev. B. 1997. Vol. 55. Pp. 10355-10368.

89. Chaput L., Togo A., Tanaka I., Hug G. Phonon-phonon interactions in transition metals // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 094302.

90. Parlinski K., Li Z. Q., Kawazoe Y. First-Principles Determination of the Soft Mode in Cubic Zr02 // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. Pp. 4063-4066.

91. Stedman R., Nilsson G. Dispersion Relations for Phonons in Aluminum at 80 and 300K // Phys. Rev. 1966. Vol. 145. Pp. 492-500.

92. Новикова С. И. Тепловое расширение твердых тел. М.: Наука, 1974.

93. Souvatzis P., Eriksson O. Ab initio calculations of the phonon spectra and the thermal expansion coefficients of the 4d metals // Physical Review B. 2008. Vol. 77, no. 2. P. 024110.

94. Grabowski B., Hickel T., Neugebauer J. Ab initio // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 76. P. 024309.

95. Grabowski B., Ismer L., Hickel T., Neugebauer J. Ab initio // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 134106.

96. Recoules V., Clerouin J., Zerah G. et al. Effect of Intense Laser Irradiation on the Lattice Stability of Semiconductors and Metals // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. P. 055503.

97. Stishov S. M. The thermodynamics of melting of simple substances // Physic-s-Uspekhi. 1975. Vol. 18, no. 5. Pp. 625-643.

98. Stroud D., Ashcroft N. W. Theory of the Melting of Simple Metals: Application to Na // Phys. Rev. B. 1972. Vol. 5. Pp. 371-383.

99. Bratkovsky A., Vaks V., Trefilov A. Theory of melting of alkali metals // Physics Letters A. 1984. Vol. 103, no. 12. Pp. 75 - 78.

100. Lepeshkin S., Magnitskaya M., Maksimov E. Lattice dynamics and melting features of Li and Na // JETP Letters. 2009. Vol. 89, no. 11. Pp. 586-591.

101. Vocadlo L., Alfe D. Ab initio melting curve of the fee phase of aluminum // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 214105.

102. Errandonea D. The melting curve of ten metals up to 12 GPa and 1600 K // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 108, no. 3. P. 033517.

103. Boehler R., Ross M. Melting curve of aluminum in a diamond cell to 0.8 Mbar: implications for iron // Earth and Planetary Science Letters. 1997. Vol. 153, no. 3-4. Pp. 223 - 227.

104. Hanstrom A., Lazor P. High pressure melting and equation of state of aluminium // Journal of Alloys and Compounds. 2000. Vol. 305, no. 1-2. Pp. 209 - 215.

105. Shaner J. W., Brown J. M., McQueen R. G. // High Pressure in Science and Technology. North Holland, Amsterdam, 1984.

106. Vocadlo L., Alfe D., Price G. D., Gillan M. J. Ab initio melting curve of copper by the phase coexistence approach // The Journal of Chemical Physics. 2004. Vol. 120, no. 6. Pp. 2872-2878.

107. Belonoshko A. B., Ahuja R., Eriksson O., Johansson B. Quasi ab initio molecular dynamic study of Cu melting // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61. Pp. 3838-3844.

108. Errandonea D. High-pressure melting curves of the transition metals Cu, Ni, Pd, and Pt // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87. P. 054108.

109. Japel S., Schwager B., Boehler R., Ross M. Melting of Copper and Nickel at High Pressure: The Role of d Electrons // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 167801.

110. Akella J., Kennedy G. C. Melting of gold, silver, and copper—proposal for a new high-pressure calibration scale // Journal of Geophysical Research. 1971. Vol. 76, no. 20. Pp. 4969-4977.

111. Ernstorfer R., Harb M., Hebeisen C. T. et al. The Formation of Warm Dense Matter: Experimental Evidence for Electronic Bond Hardening in Gold // Science. 2009. Vol. 323, no. 5917. Pp. 1033-1037.

112. Levashov P. R., Sin'ko G. V., Smirnov N. A. et al. Pseudopotential and full-electron DFT calculations of thermodynamic properties of electrons in metals and semiempirical equations of state // Journal of Physics: Condensed Matter. 2010. Vol. 22, no. 50. P. 505501.

113. Perdew J. P., Zunger A. Self-Interaction Correction to Density-Functional Approximations for Many-Electron Systems // Phys. Rev. B. 1981. Vol. 23. P. 5048.

114. Wang Y., Chen D., Zhang X. Calculated Equation of State of Al, Cu, Ta, Mo, and W to 1000 GPa // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. Pp. 3220-3223.

115. Greene R. G., Luo H., Ruoff A. L. Al as a Simple Solid: High Pressure Study to 220 GPa (2.2 Mbar) // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. Pp. 2075 2078.

116. Akahama Y., Nishimura M., Kinoshita K. et al. Evidence of a fcc-hcp Transition in Aluminum at Multimegabar Pressure // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. P. 045505.

117. Nellis W. J., Moriarty J. A., Mitchell A. C. et al. Metals physics at ultrahigh pressure: Aluminum, copper, and lead as prototypes // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. Pp. 1414-1417.

118. McQueen R. G., Marsh S. P., Taylor J. W. et al. The equation of state of solids from shock wave studies // High Velocity Impact Phenomena / Ed. by R. Kinslow. New York: Academic Press, 1970. Pp. 293-417.

119. AFtshuler L. V., Bakanova A. A., Dudoladov I. P. et al. Shock adiabats for metals. New data, statistical analysis and general regularities //J- Appl. Mech. Techn. Phys. 1981. Vol. 22. P. 145.

120. Al'tshuler L. V., Kormer S. B., Brazhnik M. I. et al. The isentropic compressibility of aluminum, copper, lead at high pressures // Sov. Phys. JETP. 1960. Vol. 11. Pp. 766-775.

121. Mitchell A. C., Nellis W. J. Shock compression of aluminum, copper, and tantalum // Journal of Applied Physics. 1981. Vol. 52, no. 5. Pp. 3363-3374.

122. Isbell W. H., Shipman F. H., Jones A. H. Hugoniot equation of state measurements for eleven materials to five megabars // General Motors Corp., Material Science Laboratory Report MSL-68-13. 1968.

123. Glushak B., Zharkov A., Zhernokletov M. et al. Experimental investigation of the thermodynamics of dense plasmas formed from metals at high energy concentrations. // Sov. Phys. JETP. 1989. Vol. 69. Pp. 739-749.

124. Trunin R. F. Compressibility of various substances at high shock pressures. Review // Bull. Acad. Sci. USSR. 1986. Vol. 22. Pp. 103-106.

125. Kormer S. B., Funtikov A. I., Ulrin V. D., Kolesnikova A. N. Dynamic compression of porous metals and the equation of state with variable specific heat at high temperatures // Sov. Phys. JETP. 1962. Vol. 15, no. 3. Pp. 477-488.

126. Skidmore I. C., Morris E. Thermodynamics of Nuclear Materials, IAEA. IAEA, 1962.

127. Knudson M. D., Lemke R. W., Hayes D. B. et al. Near-absolute Hugoniot measurements in aluminum to 500 GPa using a magnetically accelerated

flyer plate technique // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 94, no. 7. Pp. 4420-4431.

128. Al'tshuler L. V., Kalitkin N. N., Kuz'mina L. V., Chekin B. S. Shock adiabats for ultrahigh pressures // Sov. Phys. JETP. 1977. Vol. 45, no. 1. Pp. 167-171.

129. Ragan C. E. Shock compression measurements at 1 to 7 TPa // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 25. Pp. 3360-3375.

130. Ragan C. E. Shock-wave experiments at threefold compression // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29. Pp. 1391-1402.

131. Simoncnko V. A., Voloshin N. P., Vladimirov A. S. et al. Absolute measurements of shock compressibility of aluminum at pressures P>lTPa // Sov. Phys. JETP. 1985. Vol. 61. Pp. 869-873.

132. Vladimirov A. S., Voloshin N. P., Nogin V. N. et al. Shock compressibility of aluminum at p>l Gbar // Sov. Phys. JETP Lett. 1984. Vol. 39. Pp. 85-88.

133. Khishchenko K. V. Equations of state for two alkali metals at high temperatures // Journal of Physics: Conference Series. 2008. Vol. 98, no. 3. P. 032023.

134. Trunin R. F., Podurets M. A., Simakov G. V. et al. New data, obtained under strong shock wave conditions from an underground nuclear explosion, on the compressibility of aluminum, plexiglass, and quartz // JETP. 1995. Vol. 81. Pp. 464-470.

135. Al'tshuler L. V., Chekin B. S. // Proceedings of the First All-Union Pulsed Pressures Simposium / VNIIFTRI. Vol. 1. Moscow: 1974. Pp. 5-22.

136. van Thiel M. // Compendium of shock wave data, (Livermore: Lawrence Livermore Laboratory Report UCRL-50108). 1977. Pp. 85-86.

137. Bakanova A., Dudoladov I., Sutulov Y. Shock compressibility of porous tungsten, molybdenum, copper, and aluminum in the low pressure domain // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1974. Vol. 15, no. 2. Pp. 241-245.

138. Trunin R., Simakov G., Panov N. Shock Compression of Porous Aluminum and Nickel at Megabar Pressures // High Temperature. 2001. Vol. 39, no. 3. Pp. 401-406.

139. Lomonosov I. V. Multi-phase equation of state for aluminum // Laser and Particle Beams. 2007. Vol. 25. Pp. 567-584.

140. Al'tshuler L. V., Petrunin A. P. Rentgenographic investigation of compressibility of light substances under obstacle impact of shock waves // Zh. Tekh. Fiz. 1961. Vol. 31. Pp. 717 725.

141. Podurets M. A., Simakov G. V., Trunin R. F. Stishovite transition to a denser phase // Isvestiya, Earth Physics. 1990. Vol. 26. Pp. 295-300.

142. Nellis W. J., Mitchell A. C., Young D. A. Equation-of-state measurements for aluminum, copper, and tantalum in the pressure range 80-440 GPa (0.8-4.4 Mbar) // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 93, no. 1. Pp. 304-310.

143. Zel'dovich Y. B. Derivation of equation of state from mechanical measurements // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1957. Vol. 32. P. 1577.

144. Chentsov A. V., Levashov P. R. Isentropic compression of deuterium by quantum molecular dynamics // Contrib. Plasma Phys. 2012. Vol. 52, no. 1. Pp. 33-36.

145. Becker A., Nettelmann N., Hoist B., Redmer R. Isentropic compression of hydrogen: Probing conditions deep in planetary interiors // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 88. P. 045122.

146. Zel'dovich Y. B., Raizer Y. P. Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena, Ed. by W. D. Hayes, R. F. Probstein. Dover Publications, 2002.

147. Bakanova A., Dudoladov I., Zhernokletov M. at al. Vaporization of shock-compressed metals on expansion // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1983. Vol. 24, no. 2. Pp. 204-209.

148. Zhernokletov M., Simakov G., Sutulov Y., Trunin R. Unload isentrops of aluminium, iron, molybdenum, lead and tantal (in russian). // Teplofiz. Vys. Temp. 1995. Vol. 70. Pp. 40-43.

149. Knudson M. D., Asay J. R., Deeney C. Adiabatic release measurements in aluminum from 240- to 500-GPa states on the principal Hugoniot // Journal of Applied Physics. 2005. Vol. 97, no. 7. P. 073514.

150. McQueen R. G., Fritz J. N., Morris C. E. // Shock Waves in Condensed Matter-1983 / Ed. by J. R. Asay, R. A. Graham, G. K. Straub. Amsterdam: Elsevier, 1984. Pp. 95-98.

151. Neal T. Mach waves and reflected rarefactions in aluminum // Journal of Applied Physics. 1975. Vol. 46, no. 6. Pp. 2521-2527.

152. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko K. V., Fortov V. E. Quantum molecular dynamics simulation of shock-wave experiments in aluminum // Journal of Applied Physics. 2014. Vol. 115, no. 22. P. 223512.

153. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. Shock Hugoniot and release isentropes of aluminum by first-principle calculations // Physics of Extreme States of Matter - 2011 / Ed. by Fortov V. E. et al. Chernogolovka: IPCP RAS. 2011. P. 94.

154. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. First-principle simulation of shock-wave experiments for aluminum // AIP Conference Proceedings. 2012. Vol. 1426, no. 1. Pp. 836 839.

155. Minakov D. V., Klumov B. A., Levashov P. R. Structural properties of aluminum in the vicinity of melting transition // Physics of Extreme States of Matter - 2014 / Ed. by Fortov V. E. et al. Chernogolovka: IPCP RAS. 2014. P. 5.

156. Мипаков Д. В., Левашов П. Р., Синько Г. В. et al. Расчеты термодинамических свойств металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики для уточнения полуэмгшрических уравнений состояния // Сборник тезисов 7-го Российского симпозиума «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильно-неравновесных средах», Новый Афон: 2009. 2009. Р. 28.

157. Минаков Д. В., Левашов П. Р., Хищенко К. В. Расчеты термодинамических свойств металлов методом квантовой молекулярной динамики // Труды 52-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII. Проблемы современной физики. Москва-Долгопрудный. 2009 г. 2009. Pp. 150-152.

158. Минаков Д. В., Левашов П. Р., Хищенко К. В. et al. Первоиринципные расчеты уравнений состояния металлов и сравнение с полуэмпирическими подходами // Тезисы XI Международного

семинара «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, Россия, 2009 г. 2009. Р. 81.

159. Levashov P. R., Minakov D. V., Smirnov N. A. et al. DFT and QMD simulation of liquid metals: possibilities to improve multiphase equations of state // XIV Liquid and Amorphous Metals Conference. Rome, Italy, July 11-16, 2010. 2010. P. 193.

160. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. First-principle calculations of shock Hugoniot of aluminum near melting curve // Book of Abstracts XXV International Conference on Equations of State for Matter, Elbrus, Russia, 2010. 2010. P. 31.

161. Минаков Д. В., Левашов П. Р., Хищенко К. В. Расчет ударной адиабаты и изоэнтропы разгрузки алюминия методом квантовой молекулярной динамики // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VIII. Проблемы современной физики. МФТИ: Москва-Долгопрудный, 2010 г. 2010. Р. 172.

162. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. Quantum molecular dynamics calculations of shock Hugoniot and release isentropes of aluminum // New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter, Paris, 2010. 2010. P. 167.

163. Минаков Д. В., Левашов П. Р., Хищенко К. В. Расчет ударной адиабаты и изоэнтроп разгрузки алюминия методом квантовой молекулярной динамики // XII Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Саров, 11-15 октября 2010 г. Тезисы. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2010 г. 2010. Р. 57.

164. Levashov P. R., Minakov D. V., Khishchenko К. V. First-principle calculations of equation of state for metals at high pressures and non-zero temperatures // Abstracts of the International Conference on High Pressure Science and Technology AIRAPT-23. Mumbai: Bhabha Atomic Research Centre, 2011. 2011. P. 126.

165. Levashov P. R., Minakov D. V., Khishchenko К. V. et al. Thermodynamic properties of dense metallic plasma by first-principle calculations // Strongly Coupled Coulomb Systems. Final Progamme and Book of Abstracts. Budapest, Hungary, July 24-29, 2011. 2011. P. 84.

166. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. Quantum molecular dynamics simulation of shock-wave experiments for aluminum // Final Program and Book of Abstracts. 49th EHPRG Conference, Budapest, Hungary, 2011. 2011. P. 256.

167. Minakov D. V., Levashov P. R., Khishchenko К. V. Equation of state of aluminum based on first-principle calculation // Book of Abstracts XXVI International Conference on Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter, Elbrus, Russia, 2011. 2011. P. 118.

168. Минаков Д. В., Левашов П. Р., Хищенко К. В. Квантовое молекулярно-динамическое моделирование ударно-волновых экспериментов для металлов // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических паук в современном информационном обществе. Проблемы современной физики. 10-30 ноября 2011 года. Москва-Долгопрудный-Жуковский: МФТИ, 2011 г. 2011. Р. 121.

169. Levashov P. R., Minakov D. V., Khishchenko К. V. Melting curves of metals in quasi-harmonic approximation // XXVII International Conference

on «Equations of State for Matter». March 1-6, 2012. Book of Abstracts. Moscow and Chernogolovka and Nalchik: 2012. 2012. P. 18.

170. Минаков Д. В., Левашов П. Р. Оценка среднего заряда ионов в расчетах методом квантовой молекулярной динамики // Труды 55-й научной конференции МФТИ. 19-25 ноября 2012 г. Проблемы современной физики. Москва-Долгопрудный-Жуковский: МФТИ, 2012 г. 2012. Р. 137.

171. Krasnova P. A., Minakov D. V., Povarnitsyn М. Е. et al. Melting kinetic effects in metals caused by a femtosecond laser pulse // 18th Biennal International Conference of the APS Topical Group on Shock Compression of Condensed Matter Held in Conjunction with the 24th Biennial International Conference of the International Association for the Advancement of High Pressure Science and Technology (AIRAPT). Bulletin of the American Physical Society. Seattle, Washington, 2013. Vol. 58. 2013. P. 208.

172. Krasnova P. A., Minakov D. V., Povarnitsyn M. E. et al. Melting kinetics effects in metals induced by a femtosecond laser pulse // Book of Abstracts XXVIII International Conference on Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter, Elbrus, Russia, 2013. 2013. P. 21.

173. Левашов П. P., Князев Д. В., Минаков Д. В., Хищенко К. В. Первопринцинпые расчеты термодинамических и транспортных свойств металлов и сравнение с полуэмиирическими подходами // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Международная конференция XV Харитоновские тематические научные чтения. 18-22 марта 2013 года. Сборник тезисов докладов. Саров: 2013 г. 2013. Р. 141.

174. Minakov D. V., Levashov P. R. Equation of state and stability of metal crystals at high pressure by DFT calculations // 18th Biennal International

Conference of the APS Topical Group on Shock Compression of Condensed Matter Held in Conjunction with the 24th Biennial International Conference of the International Association for the Advancement of High Pressure Science and Technology (AIRAPT). Bulletin of the American Physical Society. Seattle, Washington, 2013. Vol. 58. 2013. P. 196.

175. Minakov D. V., Levashov P. R., Klumov B. A. Investigation of melting in ab initio calculations // Book of Abstracts XXVIII International Conference on Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter, Elbrus, Russia, 2013. 2013. P. 110.

176. Minakov D. V., Levashov P. R. Estimation of average degree of ionization in dense plasma from ab-initio calculations // Book of Abstracts of International Workshop on Warm Dense Matter - 2013, Saint Malo, France. 2013. P. 90.

177. Levashov P. R., Minakov D. V., Knyazev D. V. et al. Ab initio approaches and their significance for hydrocodes // Abstracts of the 10th Seminar on New Models and Hydrocodes for Shock Wave Processes in Condensed Matter. Pardubice, Czech Republic, 2014. 2014. P. 33.