Расчет показателей качества функционирования систем передачи и обработки данных с помощью обобщенного обновления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Зарядов, Иван Сергеевич

• Зарядов, Иван Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зарядов, Иван Сергеевич

Введение.

Глава 1. Аналитическая модель телекоммуникационных систем с потерей всех принятых данных.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Аналитическая модель системы с полной потерей данных. Стационарные характеристики.

1.3. Частный случай модели: система M/MR/n/r с обновлением без дообслуживания.

1.4. Частный случай модели: система M/MRR/n/r с обновлением и дообслуживанием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет показателей качества функционирования систем передачи и обработки данных с помощью обобщенного обновления»

Информационные технологии — один из основных признаков и ресурсов развития современного общества. Для развития и повсеместного внедрения сетей передачи pi обработки данных требуется создание аналитических моделей, адекватно представляющих реальные системы и учитывающих как их характерные особенности, так и возможные из-за воздействия ряда факторов (выход из строя сервера, воздействие вирусов и пр.) потери передаваемых или обрабатываемых данных.

С момента появления первых телефонных сетей возникла необходимость решения задач расчёта вероятностно-временных характеристик, среди которых основными являются стационарное распределение числа заявок в системе (для телефонных сетей важнейшей характеристикой является вероятность потери заявки), стационарные распределения времени ожидания начала обслуживания и времени пребывания заявки в системе. Эти задачи впервые поставлены известным датским учёным А.К. Эрлангом [1], который и является родоначальником теории массового обслуживания (ТМО).

Математические методы теории массового обслуживания (ТМО) позволяют создавать стохастические модели протоколов сетей передачи данных, обеспечивают возможность решения многочисленных задач по расчёту характеристик качества обслуживания (Quality of Service, QoS) и функционирования различных компонент сетей, включая оценку вероятностновременных характеристик узлов коммутации и маршрутизации, анализ производительности сетей, управления потоками данных, расчёт потерь и загрузки цифровых линий связи при передаче данных, голоса и видеоинформации.

Значительный вклад в разработку и анализ классических моделей ТМО внесли А.Я. Хинчин [2], Б.В. Гнеденко [3], A.A. Боровков [4,5], Д. Кендалл [6], Д. Литтл, Д. Кокс [7], В. Смит [7], J1. Клейнрок [8], Б.А. Севастьянов [9], Л. Такач [10], Ф. Поллачек.

Среди современных авторов по ТМО и приложениям в области телекоммуникаций можно выделить Г.П. Башарина [11-14], П.П. Бочарова [15,16], В.М. Вишневского [17], А.Н. Дудина [18-20], В.А. Наумова [21], A.B. Печинкина, К.Е. Самуйлова [22-25] и др.

Пуассоновский входящий поток заявок, в отличие от экспоненциального времени обслуживания, долгое время вполне удовлетворял исследователей. Однако, по мере развития телекоммуникационных технологий появились системы, для которых использование моделей с пуассоновским, и даже с обобщающим его марковским входящим потоком является неприемлемым (что показано в работах Ньютса (Marcel F. Newts) [26]). Это привело к изучению модели СМО G/M/n/r с рекуррентным входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием.

В моделях сетей передачи данных важную роль играют потери заявок по каким-либо внешним или внутренним причинам (поломка прибора, поступление в систему заявок особого вида — отрицательные заявки или поток катастроф, сброс заявок для оптимизации работы системы, нетерпеливость клиентов и пр.) и колебания задержки (разброс максимального и минимального времени прохождения заявки относительно среднего значения). Анализ этих параметров требует построения адекватных аналитических моделей, в частности, на основе систем массового обслуживания (СМО) с обобщённым обновлением. Так, например, задержке соответствует среднее стационарное время пребывания заявки в системе, а колебанию задержки — среднее квадратичное отклонение стационарного времени пребывания заявки в системе. С помощью обобщённого обновления, введённого и рассмотренного в диссертации, можно вычислить вероятность потери поступившего пакета, среднее число сброшенных пакетов и среднее время пребывания такого пакета в системе.

По данной проблематике написано много работ как теоретического, так и прикладного характера. Одна из таких работ [27], авторами которой являются гКжв1еу Б. и ТпраШ Б.К, посвящена разработке вероятностной модели протоколов, обеспечивающих функционирование помехоустойчивых систем. Другая — работа А.Я. Крейнина [28], рассматривала модель функционирования системы, в которую поступают потоки команд (заявок) нескольких типов (в том числе поток исполняемых команд) и в которой возможен переход от исполняемой команды к иной команде с потерей промежуточных команд. В дальнейшем [29] А. Я. Крейнин, введя понятие обновления (полного обновления), предложил обобщающую теоретическую модель для вычисления показателей функционирования систем, подверженных потере поступающих данных.

Диссертация продолжает работы Крейнина и Тошз1еу. В ней расширено понятие обновления — введено понятие обобщённого обновления, что позволяет создавать аналитические модели, применимые для следующих целей: расчёт показателей качества обслуживания протокола управления потоковой передачей (Stream Control Transmission Protocol — SCTP), a именно: общей задержки передачи сообщения, среднего числа переданных пакетов, среднего количества порций данных, входящих в пакет [30-35]; расчёт вероятности сброса поступающего пакета, числа сброшенных пакетов, распределения времени пребывания в системе сброшенного или переданного пакета при реализации механизмов активного управления очередью (Active Queue Management, AQM) — управления числом заявок в системе путём их «случайного» удаления. Удаление пакетов осуществляется в зависимости от значений ряда параметров алгоритма управления. Наиболее распространены алгоритмы типа RED (Random Early Détection), о которых на русском языке можно посмотреть в работах [36-38] (там же приведена библиография по алгоритмам семейства RED), алгоритм Drop Tail, алгоритм Blue — сброс пакетов агрегированного потока. При построении аналитической модели можно использовать частный случай обобщённого обновления; оптимизация работы как 1Р-сети [39-41], (активное управление очередями — Active Queue Management (AQM), — во избежание как перегрузок каналов передачи данных, маршрутизаторов, так и во избежание их простоя), так, к примеру, и сетей третьего поколения (3G) [42]; анализ узлов G-сетей (обобщённое обновление можно рассматривать как 1) результат поступления в систему потока триггеров (сигналов) — заявок, которые могут с некоторой вероятностью становиться отрицательными и, тем самым, привести к потери иных («нормальных») заявок [43]; 2) результат появления заявок типа «reset» [44,45], сокращающих размер накопителя в СМО); анализ компьютерных систем, подверженных воздействию вирусов, приводящих к потере данных (возможная потеря сообщений в результате обработки инфицированного [46] ); исследование систем с ненадёжными приборами (моментальное восстановление) [47-50]; исследование систем с выбиванием поступающих заявок [51] управление временем ожидания обслуживания, динамическое распределение ресурсов системы (по аналогии с [20]) обеспечение необходимого качества услуг (Quality of Service — QoS) в компьютерных сетях [52]; моделирование поведения ценных бумаг на рынке (аналогично предложенному в [29] подходу); моделирование работы call-центров (потеря ожидающих обслуживание клиентов [53]).

Как было сказано выше обобщенное обновление связано с катастрофами и отрицательными заявками, поэтому вкратце остановимся на этих понятиях.

Идея катастроф заключается в следующем — 1) либо поступающая в систему заявка убивает все иные находящиеся в системе заявки; 2) либо происходит сбой прибора, также приводящий к потере всех данных в системе. Среди работ по системам с катастрофами можно выделить работы А.Н. Дудина [18-20] или [54-59]).

Модели СМО с отрицательными заявками тесно связаны с G-сетями [17, 60-68] и являются предметом интенсивных исследований. Поступающая в систему отрицательная заявка выбивает одну (или несколько) обычных заявок. СМО с отрицательными заявками использовались для моделирования нейронных, компьютерных, телекоммуникационных и производственных сетей [62]. Отрицательную заявку, в частности, можно рассматривать либо как вирус (компьютерные сети) [46], либо как команду, удаляющая записи из базы данных.

Первая работа, в которой была исследована однолинейная СМО с неограниченным накопителем с отрицательными заявками, принадлежит Е. Геленбе с соавторами [61]. В дальнейшем системы с отрицательными заявками рассматривались в работах [69-79].

Среди недавних работ по СМО с отрицательными заявками можно упомянуть (помимо тех, что приведены выше) [46,48,53,80-86]. В работе [53] показано, что системы с отрицательными заявками и катастрофами также могут применяться и в телефонии для моделирования работы call-центров.

Отличие обобщённого обновления от отрицательных заявок и катастроф заключается в следующем: потеря заявок из накопителя происходит не в момент поступления другой заявки в систему (СМО с отрицательными заявками и (или) катастрофами), а в момент окончания обслуживания на приборе; выбивается произвольное количество заявок (в системах с отрицательными заявками выбивается, как правило, одна заявка, а в системах с катастрофами — все).

Задача диссертации — построение аналитических моделей расчёта показателей функционирования (задержка обслуживания, потеря пакетов, колебание задержки) телекоммуникационных систем с помощью СМО с обобщённым обновлением. Анализ различных вариантов дисциплин обслуживания и обобщённого обновления в построенной аналитической модели позволяет выбрать оптимальный вариант касательно задержки, т.е. вариант с наименьшим значением задержки — среднего времени пребывания в системе. Эта задача является актуальной и имеет практическую ценность. Кроме того, изучение систем с обобщённым обновлением имеет и теоретическую ценность, так как данные системы являются обобщением ряда СМО.

Кратко остановимся на содержании диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Зарядов, Иван Сергеевич

3.7. Выводы

В этой главе диссертации построена математическая модель телекоммуникационной системы с потерей данных (ПЕБ-подобные алгоритмы, к примеру) на базе многолинейной системы массового обслуживания с обобщённым обновлением, рекуррентным входящим потоком, экспоненциальным обслуживанием и накопителем бесконечной ёмкости и следующими вариантами дисциплин обслуживания и обобщённого случайного обновления: прямые порядки обобщённого обновления и обслуживания заявок, гу(в) = р^гу^егу)^ + рОоз^Оозз)^ = Рп-1 + 9Рп-1

1 — + пц — пцг(з)к{г{з))}

Пр[ 1 — ^^(¿(я))] инверсионным порядком обновления при прямом порядке обслуживания заявок, прямым и инверсионным порядком обновления при инверсионном порядке обслуживания. Данная модель может применяться и к анализу показателей функционирования протокола управления потоковой передачей данных (SCTP).

Получены математические соотношения для вычисления характеристик очереди — числа заявок в системе (по вложенной цепи Маркова и по времени) Найдены формулы, позволяющие находить вероятность того, что заявка, поступающая в систему, будет «убита» или попадёт на прибор. В явном виде получены распределения времён пребывания в накопителе «убитой», обслуженной и произвольной заявок.

Интересно отметить, что в случае прямого варианта обобщённого обновления дисциплины обслуживания FIFO время пребывания в накопителе «убитой» подчинено экспоненциальному закону, времена пребывания в накопителе обслуженной и произвольной заявок за вычетом скачка в нулевой момент времени также имеют экспоненциальное распределение. Этот факт позволяет достаточно легко находить различные характеристики, связанные с временем пребывания заявки в системе.

Также отметим следующее интересное обстоятельство. Стационарные средние времена пребывания в системе произвольной (т.е. независимо от того, обслужена ли заявка до конца или «убита») заявки для всех рассмотренных дисциплин одинаковы, что ещё раз подтверждает справедливость формулы Литтла. В то же время аналогичные характеристики для обслуженных и «убитых» заявок, вообще говоря, различны в зависимости от применяемых дисциплин.

Этот факт позволяет варьировать данные характеристики с помощью выбора одной из таких дисциплин, не изменяя при этом вероятность полного обслуживания заявки.

Заключение

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1. В первой главе построена аналитическая модель с помощью СМО с полным обновлением (с дообслуживанием и без) для телекоммуникационных систем с потерями данных (катастрофами) из-за выхода из строя прибора (с моментальным восстановлением) или из-за воздействия вирусов. Для систем с дообслуживанием и без на основе алгоритма, предложенного В.А. Наумовым для обобщённого процесса размножения и гибели (ОПРГ), сформулированы теоремы и следствия, позволяющие для многолинейных марковских СМО, описываемых однородным неприводимым марковским процессом с непрерывным временем и конечным множеством состояний получить алгоритмы нахождения стационарных вероятностей состояний.

2. Во второй главе диссертации введено понятие обобщённого обновления, позволяющее строить аналитические модели широкого класса телекоммуникационных систем. Полученные выражения можно применять, в частности, для нахождения оценки следующих показателей качества обслуживания: общей задержки передачи сообщения (среднее время пребывания в системе обслуженной заявки), среднего числа переданных пакетов (среднее число обслуженных заявок), вероятности потери принятого сообщения из-за воздействия ряда факторов. В качестве аналитической модели рассмотрена система GI/М/п/г — многолинейная система массового обслуживания с обобщённым обновлением, рекуррентным входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием. Решены следующие задачи:

Получены математические соотношения для вычисления стационарных распределений основных пользовательских характеристик рассматриваемой системы.

Рассмотрены следующие дисциплины обобщённого обновления и обслуживания: прямой порядок обобщённого обновления при прямом порядке обслуживания заявок (FIFO) — FIFO/First; инверсионный порядок обновления при прямом порядке обслуживания заявок — FIFO/Last; прямой порядок обновления при инверсионном порядке обслуживания заявок (LIFO) - LIFO/First; инверсионный порядок обновления при инверсионном порядке обслуживании заявок — LIFO/Last. Для каждого из всех вышеуказанных случаев обобщённого обновления и обслуживания, получены системы уравнений позволяющие найти в терминах ПЛС стационарные распределения времён пребывания в накопителе «убитой» и обслуженной заявок соответственно, указаны способы решения полученных систем уравнений.

3. В третьей главе продолжено построение аналитической модели расчёта и анализа различных показателей качества, особое внимание уделено задержке передачи сообщения, вероятности потери принятого сообщения. В отличии от главы 2 модель строится на базе СМО GI/M/n/r с обобщённым обновлением, но уже для случая накопителя бесконечной ёмкости (г = оо), что во-первых позволяет получить в явном виде аналитические выражения для вероятностных и временных характеристик, а во-вторых, модели с бесконечным накопителем более подходят для описания современных существующих телекоммуникационных систем. Для рассмотренной модели получены математические соотношения для вычисления стационарных распределений основных характеристик рассматриваемой системы — числа заявок в системе по вложенной цепи Маркова и по времени; найдены формулы, позволяющие находить вероятности того, что заявка, поступающая в систему, будет «убита» или попадёт на прибор; получены выражения для расчёта среднего времени пребывания в накопителе (системе) (т.е. задержки) обслуженной или сброшенной из накопителя заявок, а также дисперсии времени пребывания в накопителе (системе) — т.е. колебания задержки, для следующих дисциплин обобщённого обновления и обслуживания: FIFO/First, FIFO/Last, LIFO/First, LIFO/Last. Выбрав один из предложенных вариантов обслуживания-обновления можно уменьшить или увеличить задержку передачи данных. Для варианта FIFO/First в явном виде получены распределения времён пребывания в накопителе «убитой», обслуженной и произвольной заявок. Показано,что время пребывания в накопителе «убитой» подчинено экспоненциальному закону, времена пребывания в накопителе обслуженной и произвольной заявок за вычетом скачка в нулевой момент времени также имеют экспоненциальное распределение. Этот факт позволяет достаточно легко находить различные характеристики, связанные с временем пребывания заявки в системе. Для остальных вариантов распределения времён пребывания в накопителе «убитой», обслуженной и произвольной заявок получены в терминах преобразований Лапласа-Стилтьеса и производящих функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зарядов, Иван Сергеевич, 2010 год

1. Erlang А. К. Solution of some problemsin the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // The Post Office Electrical Engineers Journal. — 1917. Vol. 10. - Pp. 189-197.

2. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М.: Физматгиз, 1963.

3. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: ЛКИ, 2007.

4. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1972.

5. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1980.

6. Kendall D. J. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysys by the method of the embedded Markov chains // Ann. Math. Stat. 1953. - No 24. - Pp. 338-354.

7. Кокс Д., Смит В. Теория очередей. — М.: Мир, 1966.

8. Kleinrock L. Queueing systems. — Brisbane, Toronto: John Wiley & Sons, 1975.

9. Севастьянов Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее прим. — 1957. — Т. 2, № 1. — С. 106-116.

10. Takacs L. Introduction to the theory of queues. — New York: Oxford University Press, 1962.

11. Башарин Г. П., Харкевич А. Д., А. Шнепс М. Массовое обслуживание в телефонии. — М.: Наука, 1968.

12. Башарин Г. П., Бочаров П. П., Коган А. Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчёта. — М.: Наука, 1989. — 336 с.

13. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. — М.: РУДН, 2004.

14. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Яркина Н. В. Теория телетрафика мультисервисных сетей. — Москва: РУДН, 2007.

15. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. — М.: РУДН, 1995.

16. Queueing Theory / P. P. Bocharov, С. D'Apice, A. V. Pechinkin, S. Salerno. Utrecht, Boston: VSP, 2004.

17. Вишневский В. M. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. — М.: Техносфера, 2003.

18. N. D. A., Karolik А. V. BMAP/SM/l queue with Markovian input of disasters and non-instantaneous recovery // Performance Evaluation. — 2001. Vol. 45, No 1. — Pp. 19-32.

19. Дудип A. H., Ким Ч. С., Семенова О. В. Оптимальное многопороговое управление входным потоком для системы обслуживания GI/РН/1 с ВМАР-потоком отрицательных запросов // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 9. — С. 71-84.

20. Semenova О. V., Dudin A. N. M/M/N queueing system with controlled service mode and disaster // Automat. Control Comput. Sci. — 2007. — Vol. 41, No 6. Pp. 350-357.

21. Наумов В. А. Численные методы анализа марковских сетей. — М.: Изд-во УДН, 1985.

22. Самуйлов К. Е. Методы анализа и расчета сетей ОКС 7. — Москва: РУДН, 2002.

23. Башарин Г. П., Самуйлов К. Е. Современный этап в развитии теории телетрафика // Информационная математика. — 2001. — Т. 1, № 1. — С. 153-166.

24. Neuts М. F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. An algorithmic approach. — Baltimore and London: The Johns Hopkins Univ. Press, 1981.

25. Towsley D., Tripathi S. K. A single server priority queue with server failureand queue flushing // Oper. Res. Lett. 1991. - No 10. - Pp. 353-362.

26. Kreinin A. Queueing Systems with Renovation // Journal of Applied Math. Stochast. Analysis. 1997. - Vol. 10, No 4. — Pp. 431-443.

27. Kreinin A. Inhomogeneous Random Walks: Applications in Queueing and Finance // CanQueue / Fields Institute. — Toronto: 2003.

28. Coene L. RFC3257. Stream Control Transmission Protocol Applicability Statement: Techrep / Siemens. — 2002. — http://www.ietf.org/rfc/ rfc3257.txt.

29. Ong L., Yoakum J. RFC3286. An Introduction to the Stream Control Transmission Protocol (SCTP): Techrep / Ciena Corporation, and Nortel Networks. — 2002. — http://tools.ietf.org/html/rfc3286.

30. Самуйлов К. E., Першаков H. В., Чукарин А. В. Разработка модели функционирования протокола управления потоковой передачей // Вестник РУДН, Сер. «Прикладная и компьютерная математика». — 2005. Т. 4, № 1. - С. 40-47.

31. Першаков Н. В., Самуйлов К. Е. Системы M\G\l с групповым обслуживанием и их применение к анализу модели протокола управления потоковой передачей. Часть I // Вестник РУДН, Сер. «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — № 1. — С. 34-44.

32. Першаков Н. В., Самуйлов К. Е. Системы M\G\1 с групповым обслуживанием и их применение к анализу модели протокола управления потоковой передачей. Часть II // Вестник РУДН, Сер. «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — № 2. — С. 43-53.

33. Королькова А. В., Кулябов Д. С.and Черноиванов А. И. К вопросу о классификации алгоритмов RED // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика.». — 2009. — № 3. — С. 34-46.

34. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Аналитическая модель для расчёта вероятности сброса пакетов в алгоритме RED // Труды РНТОРЭС им. Попова. Серия: Научная сессия, посвящённая Дню радио. Выпуск: LXII. 2007. - С. 233-234.

35. Королькова А. В. Метод расчёта вероятности сброса паке- тов в алгоритме RED // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Математика. Информатика. Физика.». — 2007. — № 12. — С. 32-37.

36. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoid- ance // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1993. — No 1(4). Pp. 397-413.

37. Modified RED gateways under bursty traffic / G. Feng, A. K. Agar-wal, A. Jayaraman, С. K. Siew // IEEE Commun. Lett. — 2004. — Vol. 8, No 5. Pp. 323-325.

38. Ryoo I., Yang M. A State Dependent RED: An Enhanced Active Queue Man- agement Scheme for Real-Time Internet Services // IEICE Trans. Commun. 2006. - Vol. E89-B, No 2. — P. 614-617.

39. Queue management for TCP Traffic over 3G Links / M. Sagfors, R. Ludwig, M. Meyer, J. Peisa // Wireless Communications and Networking / WCNC. Vol. 3. - 2003. - Pp. 1663-1668.

40. Gelenbe E. G-Networks with triggered customer movement // Journal of Applied Probability. 1993. - Vol. 30, No 3. - P. 742-748.

41. Gelenbe E., Fourneau J. M. G-networks with resets // Performance Evaluation. 2002. - No 49. - Pp. 179-192.

42. Gelenbe E., Fourneau J. M. Flow equivalence and stochastic equivalence in G-networks // Computational Management Science. — 2004. — Vol. 1, No 2. P. 179-192.

43. Krishna Kumar В., Arivudainambi D., Krishnamoorthy A. Some results on a generalized M/G/l feedback queue with negative customers // Ann. Oper. Res. 2006. - No 143. - Pp. 277-296.

44. Зарядов И. С. Ненадёжные системы с различными вариантами обновления // Труды конференции «MMR 2009 — математические методы в теории надёжности. Теория. Методы. Приложения.» / Университет нефти и газа им. Губкина. — Москва: 2009. — С. 573-575.

45. Соколов И. А., Печинкин А. В., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики многолинейной системы массового обслуживания с ненадежными приборами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. — Т. 14, № 5. - С. 27-39.

46. Печинкин А. В., Соколов И. А., Чаплыгин В. В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем и ненадёжными приборами // Информатика и ее применения. — 2007. — Т. 1, № 1. —1. С. 27-39.

47. Псчинкин А. В., Соколов И. А., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики многолинейной системы массового обслуживания с однов-леменными отказами приборов // Информатика и ее применения. — 2007. — Т. 1, № 2. — С. 39-49.

48. Чаплыгин В. В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем, блокировкой полумарковского потока заявок и выбиванием заявок из накопителя // Информатика и ее применения. 2008. - Т. 2, № 3. - С. 34-40.

49. Gelenbe Е., Nunez A. Self-Aware Networks and Quality of Service // ICANN/ICONIP 2003 / Ed. by О. K. et al. 2003. - P. 901-908.

50. YangWoo S. Multi-server retrial queue with negative customers and disasters // Queueing Syst. — 2007. — No 55. — P. 223-237.

51. Semenova О. V. A Queueing System with Two Operation Modes and a Disaster Flow: Its Stationary State Probability Distribution // Automation and Remote Control. — 2002. — No 10. — Pp. 73-86.

52. Semenova О. V. Optimal control for a BMAP/SM/1 queue with MAP-input of disasters and two operation modes // RAIRO Oper. Res. Recherche Operationnelle. — 2004. — Vol. 38, No 2. — Pp. 153-171.

53. Transient analysis of a single server queue with catastrophes, failures and repairs / B. Krishna Kumar, A. Krishnamoorthy, S. Pavai Madheswari, S. Sadiq Basha // Queueing Systems: Theory and Applications. — 2007. — Vol. 56, No 3-4. Pp. 133-141.

54. Yechiali U. Queues with system disasters and impatient customers whensystem is down // Queueing Syst. Theory Appl. — 2007. — Vol. 56, No 34. Pp. 195-202.

55. Boxma O. J., Perry D., Stadje W. Clearing Models for M/G/l Queues // Queueing Systems. 2001. - No 38. - P. 287-306.

56. Yechiali U. Queues with system disasters and impatient customers when system is down // Queueing Systems. — 2007. — Vol. 56, No 3-4. — Pp. 195-202.

57. Gelenbe E. Random neural networks with negative and positive signals and product form solution // Neural Computation. — 1989. — Vol. 1, No 4. P. 502-510.

58. Gelenbe E., Glynn P., Sigman K. Queues with negative arrivals // Journal of Applied Probability. 1991. - Vol. 28. - Pp. 245-250.

59. Gelenbe E. G-networks: an unifying model for neural and queueing networks // Annals of Operations Research. — 1994. — Vol. 48, No 1-4. — P. 433-461.

60. Fourneau J. M., Gelenbe E., Suros R. G-networks with multiple classes of positive and negative customers // Computer Science. — 1996. — Vol. 155. P. 141-156.

61. Gelenbe E. G-Networks: Multiple Classes of Positive Customers, Signals, and Product Form Results // Performance 2002 / Ed. by M. C. Calzarossa, S. Tucci. 2002. - P. 1-16.

62. Бочаров П. П., Вишневский В. М. G-сети: развитие теории мультипликативных сетей // Автоматика и телемеханика. — 2003. № 5. -С. 46-74.

63. Gymez-Corral A., Martos M. E. Marked Markovian Arrivals in a Tandem G-Network with Blocking // Methodol. Comput. Appl. Probab. — 2009. — No 11. Pp. 621-649.

64. Jin-Ting W., Peng Z. A Single-server Discrete-time Retrial G-queue with Server Breakdowns and Repairs // Acta Mathematicae Applicatae Sinica. 2009. - Vol. 25, No 4. - P. 675-684.

65. Chakka R., Harrison P. G. A Markov modulated multi-server queue with negative customers — The MMCPP/GE/c/L G-queue // Acta Infor-matika. 2001. - Vol. 37. - Pp. 881-919.

66. Harrison P. G., Pitel E. ojourn times in single server queues with negative customers // Queueing Systems. — 2002. — No 41. — Pp. 943-963.

67. Harrison P. G., Pitel E. The M/G/l queue with negative customers // Adv. Appl. Prob. 1996. - Vol. 28. - Pp. 540-566.

68. Bayer N., Boxma O. J. Wiener-Hopf analysys of an M/G/l queue with negative customers and of related class of random walk // Queueing Systems. — 1996. No 23. - Pp. 301-316.

69. Atencia I., Aguillera G., Bocharov P. P. On the M/G/1/0 queueing system under LCFS PR discipline with repeated and negative customers with batch arrivals // Proc. Oper. Res. 42 Annual Conf. / Ed. by U. of Swamsea. Wales UK: 2000. - Pp. 30-34.

70. Atencia I., Bocharov P. P. On the M/G/1/0 queueing system under LCFS PR discipline with repeated and negative customers with batch arrivals // Proc. 3-rd Europ. Cong. Math. — Barcelona: 2000. — P. 133.

71. Retrial queueing system with several input flows and negative customersand LCFS PR discipline / I. Atencia, C. D'Apiche, R. Manzo, S. Salerno // Proc. Fourth Int. Workshop on Queueing Networks with Finite Capacity. Ilkley, U. K.: 2000. - Pp. 1-9.

72. Albores J. F., Bocharov P. P., Luybin D. Yu. Two-stage exponential queueing system with internal losses, feedback and negative arrivals // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». — 2003. — № 1. — С. 70-84.

73. Чаплыгин В. В. Система массового обслуживания G/MSP/n/r с потоком отрицательных заявок // Информационные процессы. — 2005. — Т. 5, № 1. С. 1-19.

74. Harrison P. G. The MMCPP/GE/c G-queue: sojourn time distribution // Queueing Sytems. — 2002. — Vol. 41. — Pp. 271-298.

75. Мандзо P. Однолинейная экспоненциальная система массовго обслуживания конечной ёмкости с относительным приоритетом и отрицательными заявками // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». — 2003. — № 1. — С. 100-108.

76. Чаплыгин В. В. Система массового обслуживания G/MSP/n/r с потоком отрицательных заявок // Информационные процессы. — 2005. — Т. 5, № 1. С. 1-19.

77. Анализ многолинейной марковской системы массового обслуживания с неограниченным накопителем и отрицательными заявками / П. П. Бочаров, Ч. Д'Апиче, Р. Мандзо, А. В. Печинкин // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 1. — С. 93—104.

78. Печинкин А. В. Марковская система обслуживания с конечным накопителем и отрицательными заявками, действующими на конец очереди // Информационные процессы. — 2007. — Т. 7. — С. 138—152.

79. Quan-Lin L., Yiqiang Q. Z. A MAP/G/1 Queue with Negative Customers // Queueing Systems. — 2004. — No 47. — Pp. 5-43.

80. Manzo R., Cascone N., Razumchik R. V. Exponential Queuing System with Negative Customers and Bunker for Ousted Customers // Automation and Remote Control. — 2008. — No 9. — P. 103-113.

81. Kim C., Klimenok V. I., Orlovsky D. S. Multi-Server Queueing System with a Batch Markovian Arrival Process and Negative Customers // Automation and Remote Control. — 2006. — No 12. — P. 106-122.

82. Печинкин А. В., В. Разумчикб P. Система массового обслуживания с отрицательными заяками и бункером для вытесненных заявок в дискретном времени // Автоматика и телемеханика. — 2009. — N- 12. — С. 109-120.

83. Bocharov P. P., Naoumov V. A. Matrix-geometric stationary distribution for the PH/PH/l/r queue // Electron. Informationsverarb. Kyb. — 1986. — Vol. 22, No 4. Pp. 179-186.

84. Naoumov V. A. Matrix-multiplicative approach to quasi- birth-and-death processes analysis // Proc. First Internat. Conf. on Matrix- Analytic Methods in Stochastic Models. — Detroit: 1995.

85. Naoumov V. A. Matrix-Multiplicative Approach to Quasi-Birth-and-Death Processes Analysis // Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models / Ed. by M. D. Inc. New-York: 1997. - Pp. 87-107.

86. Naoumov V. A. Modified Matrix-Geometric Solution for Finite QBD Processes // Advances in Algorithmic Methods for Stochastic Models. Proc. Third Internat. Conf. on Matrix-Analytic Methods. — Leuven, Belgium:2000. Pp. 257-265.

87. Anisimov V. V., Artalejo J. R. Exponential Analysis of Markov Multiserver Retrial Queues with Negative Arrivals // Queueing Systems. —2001. No 39. - P. 157-182.

88. Artalejo J. R., Gomez-Corrall A. Generalized birth and death processes with applications to queues with repeated attempts and negative arrivals // OR Spektrum. 1998. - No 20. - Pp. 5-14.

89. Бочаров П. П., Зарядов И. С. Стационарное распределение вероятностей в системах массового обслуживания с обновлением // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2007. — № 12. С. 15-25.

90. Зарядов И. С. Стационарные характеристики обслуживания в системе С/М/п/г с обобщённым обновлением // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2008. — № 2. — С. 3-10.

91. Зарядов И. С. Стационарные характеристики обслуживания системы й/М/п/г с некоторыми вариантами дисциплины обобщённого обновления // Информационные процессы. — 2008. — Т. 8, № 2. — С. 108— 124.

92. Зарядов И. С., Печинкин А. В. Стационарные временные характеристики системы Gl/М/п/оо с некоторыми вариантами дисциплины обобщённого обновления // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 12. С. 161-174.

93. Zaryadov I. S. Queueing Systems with General Renovation // ICUMT 2009 — International Conference on Ultra Modern Telecommunications. — St.-Petersburg: 2009. — Pp. 1-6.

94. Зарядов И. С. Система массового обслуживания Gl/М/п/оо с обобщённым обновлением // Автоматика и телемеханика. — 2010. — К2 4. — С. 130-139.

95. Korolkova А. V., Zaryadov I. S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED // ICUMT 2010 International Conference on Ultra Modern Telecommunications. — Moscow: 2010. - Pp. 1-5.

96. Наумов В. А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. — 1987. — № 1. — С. 67-73.

97. Ramaswami V. Matrix-Analytic Methods: A Tutorial Overview with Some Extensions and New Results // Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models / Ed. by M. D. Inc. New-York: 1997. - Pp. 261-296.

98. Першаков H. В. Модели и методы анализа вероятностных характеристик протокола управления потоковой передачей данных: Кандидатская диссертация / РУДН. — Москва, 2007.

99. Печинкин А. В., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM/MSP/n/r // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 9. - С. 85-100.

100. Печинкин А. В., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G/MSP/n/r // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». — 2003. — № 1. — С. 119143.

101. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G/MSP/1/r / П. П. Бочаров, Ч. Д'Апиче, А. В. Печинкин, С. Са-лерно // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 2. — С. 127-143.

102. ИЗ. Чаплыгин В. В. истема массового обслуживания G/BMSP/1/r // Информационные процессы. — 2003. — Т. 3, № 2. — С. 97-108.

103. Чаплыгин В. В. Система массового обслуживания G/BMSP/1/r Ц

104. Информационные процессы. — 2005. — Т. 3, № 2. — С. 97-108.

105. Huang Y., Tripathi S. К. Resource Allocation for Primary-Site Fault-Tolerant Systems // IEEE Transactions on Software Engineering archive. 1993. — Vol. 19, No 2. - Pp. 108-119.

106. Krishna Kumar В., Arivudainambi D., Krishnamoorthy A. Some results on a generalized M/G/l feedback queue with negative customers // Ann. Oper. Res. 2006. - No 143. - P. 277-296.

107. Jolai F., Asadzadeh S. M., Taghizadeh M. R. Performance estimation of an email contact center by a finite source discrete time Geo/Geo/1 queue with disasters // Comput. Ind. Eng. — 2008. — Vol. 55, No 3. — Pp. 543556.