Анализ показателей эффективности функционирования телекоммуникационных систем с вероятностным приоритетом обслуживания и пороговым управлением нагрузкой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Милованова, Татьяна Александровна

• Милованова, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Милованова, Татьяна Александровна

Введение

1. Система ВМАР/С/ 1/оо с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания

1.1. Описание системы.

1.2. Стационарное распределение очереди.

1.3. Стационарное распределение времени ожидания и пребывания заявки в системе.

2. Система ВМАР/С/1/г, г < оо, с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания

2.1. Описание системы.

2.2. Стационарное распределение очереди.

2.3. Стационарные вероятности потери и недообслуживания заявки

2.4. Стационарные распределение времени ожидания и пребывания заявки в системе.

2.5. Численный результат

3. Система М/С/1/г, г < оо, с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания и гистерезисной политикой

3.1. Описание системы.

3.2. Стационарное распределение очереди.

3.3. Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

3.4. Накопитель конечной ёмкости

3.5. Численный результат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ показателей эффективности функционирования телекоммуникационных систем с вероятностным приоритетом обслуживания и пороговым управлением нагрузкой»

Современные телекоммуникационные сети являются результатом длительного развития ряда основополагающих технологий — информационных, компьютерных, телекоммуникационных и других. Общей целью такого развития является информатизация общества, т.е. формирование единой информационной среды, охватывающей все сферы деятельности человека. Выполнение этой задачи подразумевает развитие целой индустрии по производству, хранению, передаче и обработке информации. Для развития современных систем передачи и обработки данных требуется создание адекватных аналитических моделей, учитывающих как характерные особенности систем передачи и обработки данных, так и новые механизмы обеспечения качества их функционирования.

Математические методы теории массового обслуживания (ТМО) (значительный вклад в развитие ТМО и теории телетрафика внесли и продолжают вносить А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, A.A. Боровков, Д. Кендалл, Д. Литтл, Д. Кокс, В. Смит, Л. Клейнрок, Б.А. Севастьянов, Л. Такач, Ф. Поллачек, П.П. Бочаров, Г.П. Башарин, В.М. Вишневский, А.Н. Дудин, В.А. Ивницкий, И.Н. Коваленко, В.А. Наумов, A.B. Печинкин, А.П. Пшеничников, К.Е. Самуйлов, С.Н. Степанов, И.И. Цитович и др.) позволяют создавать стохастические модели протоколов систем передачи данных, обеспечивают возможность решения задач по управлению потоками данных, расчету показателей эффективности функционирования различных компонент телекоммуникационных систем, включая оценку вероятностно-временных характеристик их узлов.

Телекоммуникационные системы третьего (3G) и четвертого (4G) поколений обеспечивают предоставление широкого класса услуг, таких как передача голосовой информации в режиме реального времени, аудио конференция, услуги мгновенных сообщений, высокоскоростного доступа в сеть Интернет и др. Для этого на каждом из уровней и участков сети (например, от базовой станции мобильного терминала и от базовой станции до контроллера радиосети) необходимы соответствующие механизмы и методы обработки и коммутации, обеспечивающие, в том числе, и качество передачи информации. Для этих целей необходимы адекватные аналитические модели, в частности, на основе систем массового обслуживания (СМО) с групповым марковским входящим потоком (ВМАР-поток) и специальными дисциплинами обслуживания. Так, например, информационные потоки в сетях доступа UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) с высокой степенью достоверности моделируются с помощью группового марковского потока. Кроме того, технология обеспечения качества соединений в сетях доступа (уровень AAL2/ATM) UMTS остается предметом дискуссий и исследований и в настоящее время, а, как давно замечено, использование в системах передачи специальных дисциплин обслуживания может значительно улучшить качество их функционирования, практически без каких либо усовершенствований. Рассмотренная в диссертации специальная дисциплина обслуживания — инверсионный порядок с вероятностным приоритетом (далее — LCFS РР) — может рассматриваться как дополнительный механизм обеспечения эффективности функционирования систем. Вследствие развития телекоммуникационых услуг, в телекоммуникационных системах и, в том числе UMTS, возникают перегрузки. Это обстоятельство требует построения и исследования адекватных механизмов управления перегрузками, в частности, гистерезисной стратегии, которая доказала свою эффективность для управления перегрузками в традиционных телекоммуникационных системах с коммутацией каналов.

По проблематике диссертационного исследования написан ряд работ как теоретического [6], [8], [16]-[19], [22]—[24], [28]—[34], так и прикладного характера [39], [47], [52], [54].

Диссертация продолжает и развивает работы в области исследования показателей эффективности функционирования телекоммуникационных систем третьего и четвертого поколений. В ней в более общих предположениях рассматривается дисциплина LCFS РР, что позволяет создавать аналитические модели, применимые для следующих целей: расчет показателей эффективности функционирования протоколов сетей доступа UMTS - общей задержки передачи и среднего числа переданных сообщений; расчет вероятности сброса поступающего сообщения, распределения времени пребывания в системе принятого сообщения при реализации на основе дисциплины LCFS РР механизма управления очередью; анализ показателей эффективности телекоммуникационных сетей с учетом особенностей поступающих пакетов, в том числе с групповым поступлением и пульсирующим трафиком [41], [45], [53], исследование системы гистерезисного управления нагрузкой в сети прокси-серверов протоколаинициализации сеансов связи [38].

Задача диссертации — разработка методов анализа эффективности телекоммуникационных систем третьего и четвертого поколений, а именно: построение аналитических моделей расчета показателей эффективности функционирования (задержка в очереди на обработку, потеря сообщений) телекоммуникационных систем с помощью СМО с групповым марковским потоком, произвольным (рекуррентным) обслуживанием, конечной и бесконечной очередью, дисциплиной обслуживания LCFS РР и гистерезис-ной политикой. Варьирование значений функций вероятностного приоритета является альтернативным (к классическому) механизмом обеспечения качества обслуживания сообщений в системе. Кроме того, учитывая текущие результаты деятельности международных стандартизирующих организаций в предметной области, можно заключить, что вопросы разработки методов и анализа качества всевозможных аспектов телекоммуникационных сетей 3G и 4G являются весьма важными. В связи с этим тематика диссертационного исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы.

1. Разработка методов анализа показателей эффективности функционирования телекоммуникационных систем 3G и 4G (задержка передачи сообщения, вариация задержки) в виде СМО с конечной и бесконечной емкостью накопителя, с групповым марковским входящим потоком, произвольным (рекуррентным) обслуживанием и дисциплиной LCFS РР (инверсионный порядок обслуживания с вероятностным приоритетом);

2. Разработка математических методов расчета показателей эффективности (например, вероятность потерь поступающих сообщений) однолинейной СМО с пуассоновским входящим потоком, рекуррентным обслуживанием, накопителем конечной емкости, дисциплиной LCFS РР и ги-стерезисной политикой:

3. Разработка численных методов расчета вероятностно-временных характеристик рассмотренных систем по полученным математическим соотношениям.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Для телекоммуникационных систем 3G модель в виде СМО

ВМАР/С/1/г, г < оо, с инверсионной дисциплиной обслуживания и вероятностным приоритетом и интегро-дифференциальные уравнения для стационарных плотностей вероятностей марковского процесса, описывающего функционирование данной системы.

2. Метод анализа и расчета вероятностно-временных характеристик СМО ВМАР/С/1/г, г < оо, — стационарные вероятности числа заявок в системе, среднее число заявок в системе, стационарные вероятности потери и недообслуживания заявки (случай г < оо), преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) времени ожидания и времени пребывания заявок в системе.

3. Для телекоммуникационных систем 40 построение и анализ модели с гистерезисной политикой в виде СМО М/С/1/г, г < оо, с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом.

4. Для СМО М/С/1/г, г < оо. с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания и гистерезисным управлением нагрузкой — интегро-дифференциальные уравнения для стационарных плотностей вероятностей того, что в системе находится п заявок, а остаточная длина заявки на приборе х, и численный анализ ее вероятностно-временных характеристик.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. По сравнению с известными результатами, в диссертации получены следующие результаты:

1. Предложен подход к построению аналитических моделей анализа эффективности функционирования телекоммуникационных систем ЗС и 4С, который заключается в комбинировании сложной дисциплины обслуживания (ЬСГБ РР), входящего ВЫ АР- потока, произвольного обслуживания и механизма управления перегрузками.

2. Рассмотрены общие варианты СМО с дисциплиной LCFS РР, в которых обслуживание рекуррентно, а входящие потоки являются обобщениями потока фазового типа и не являются рекуррентными. Ранее результаты были получены для СМО MAP/G/1/r с дисциплиной LCFS РР.

3. Для анализа показателей эффективности систем доступа UMTS впервые предложена модель с групповым марковским входящим потоком, произвольным (рекуррентным) обслуживанием и дисциплиной LCFS РР, а также получен метод нахождения ее стационарных характеристик (задержки и разброса задержки передачи, среднего числа переданных сообщений, вероятности потери).

4. Разработан метод для вычисления показателей эффективности функционирования SIP-серверов с двухнороговым гистерезисным управлением, произвольным обслуживанием и дисциплиной LCFS РР. Ранее результаты были получены для дисциплины FCFS.

Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, численные методы.

Обоснованность и достоверность результатов. Достоверность работы следует из использования строгих математических методов исследования и подтверждается вычислительным экспериментом.

Обоснованность предположений о входящем потоке следуют из различных исследований (см., например, [48], [49]. [52]), в которых подтверждается, что информационные потоки в телекоммуникационных сетях 3G с высокой степенью достоверности моделируются с помощью группового марковского потока.

Теоретическая и практическая ценность. Математические и вычислительные методы, разработанные в диссертации, могут применяться для расчета и анализа характеристик качества телекоммуникационных сетей третьего поколения, в частности при моделировании работы протоколов сети доступа UMTS, компьютерных систем, в которых входящий поток заданий не является рекуррентным, а их объем известен лишь с некоторой вероятностью. Полученные в диссертации методы и результаты могут также найти применение в дальнейшем исследовании более сложных СМО с марковским входящим потоком, рекуррентным обслуживанием и другими особенностями функционирования. Созданные на основе полученных теоретических результатов программы позволяют производить расчет качественных характеристик для таких систем при их эксплуатации и проектировании.

Исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) № 02-07-90147 «Математические методы и программное обеспечение моделирования информационных, вычислительных и телекоммуникационных систем», № 06-07-89056 «Математические модели, методы, алгоритмы и программное обеспечение, основанное на веб-технологиях, для проведения фундаментальных исследований в области анализа производительности сетевых систем», № 11-07-00112 «Информационная технология и программные средства моделирования и анализа функциональных и структурных характеристик потоков в информационных и телекоммуникационных системах с большим числом пользователей» и №12-07-00108 «Информационная технология и программные средства моделирования и анализа механизмов управления перегрузками прокси-серверов в сети связи следующего поколения (NGN)».

Реализация результатов работы. Результаты диссертации испольи зовались в научно-исследовательских работах (НИР), проводимых Институтом проблем информатики Российской академии наук:

Разработка общих базовых математических методов расчёта систем массового обслуживания, функционирующих в дискретном времени;

Исследование систем и сетей массового обслуживания специального вида и информационно-управляющих систем с новыми видами обратной связи;

Исследование систем и сетей массового обслуживания специального вида с ненадёжными приборами и отрицательными заявками.

Кроме того результаты диссертации были внедрены в учебный процесс (дисциплина "Дополнительные главы ТМО". читаемая студентам третьего курса направления "Прикладная математика и информатика" РУДН) и вошли в программу "\¥ЕВ-ориентированный программный комплекс удаленного расчета стационарных характеристик систем массового обслуживания"1.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы, докладывались на мемориальном семинаре, посвященном 60-летию со дня рождения Владимира Калашникова «Прикладные вероятностные модели и информационные процессы (Петрозаводск, 2002 год); на Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики. физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2003, 2004, 2009 годы); на Всероссийской конференции «Прикладная теория вероятностей и теоретическая информатика» (Москва, 2012 год);

1 Дата регистрации РОСПАТЕНТом 11.01.2010г. помер свидетельства о регистрации № 2010610026. на научных семинарах РУДН и Института проблем информатики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ (из них 5 - тезисы докладов на всероссийских и международных конференциях, 7 -статьи в научных журналах), список которых приводится в конце автореферата. Основные результаты представлены в работах, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК, и получены лично соискателем. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад соискателя состоит в проведении исследований и интерпретации полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на пункты, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 135 страницах, включая 6 приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Милованова, Татьяна Александровна

Заключение

В диссертационной работе решена задача разработки методов анализа эффективности телекоммуникационных систем третьего и четвертого поколений. а именно построение аналитических моделей расчета показателей эффективности функционирования (задержка в очереди на обработку, джиттер, потеря сообщений) телекоммуникационных систем с помощью СМ О с групповым марковским потоком, произвольным (рекуррентным) обслуживанием, конечной и бесконечной очередью, дисциплиной обслуживания ЬСРв РР и гистерезисной политикой Варьирование значений функций вероятностного приоритета является альтернативным (к классическому) механизмом обеспечения качества обслуживания сообщений в системе

В диссертации

1 Предложен аналитический метод нахождения показателей эффективности функционирования телекоммуникационных систем, моделируемых с помощью СМО с групповым марковским входящим потоком, произвольным (рекуррентным) обслуживанием, инверсионной дисциплиной обслуживания с вероятностным приоритетом (ЬСРБ РР).

2. Для телекоммуникационных систем ЗС и 4С на основе СМО вмар/с/1/г с инверсионной дисциплиной обслуживания и вероятностным приоритетом, накопителем конечной и бесконечной емкости, разработаны математические методы анализа и расчета вероятностно-временных характеристик: стационарных распределений числа заявок, вероятности блокировки и недообслуживания заявки, распределения времени пребывания заявки в системе.

3. Для телекоммуникационных систем, моделируемых с помощью СМО М/С/1/г с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом и гистерезисной политикой, накопителем конечной и бесконечной емкости, получены уравнения для расчета вероятностно-временных характеристик: стационарных распределений числа заявок, распределения времени пребывания заявки в системе.

4. Разработан метод расчета и проведен численный анализ стационарных характеристик рассмотренных моделей по полученным математическим соотношениям, а также метод анализа и расчета вероятностно-временных характеристик телекоммуникационных систем, моделируемых с помощью СМО мар/с/1/г и СМО М/С/1/г с накопителем конечной и бесконечной емкости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Милованова, Татьяна Александровна, 2013 год

1. Башарин Г. П., Бочаров П. П., Коган А. Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989. - 336 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Физматгиз, 1969. - 367 с.

3. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980. - 367 с.

4. Боровков A.A. Вероятносные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972. - 368 с.

5. Бочаров П.П. Анализ системы массового обслуживания MAP/G/1/r конечной емкости. // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». 1995. - № 1. - С. 52-67.

6. Бочаров П.П. Печинкип A.B. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

7. Бочаров П.П., Печинкин A.B., Д'Апиче Ч. Фонг Н.Х. Однолинейная система обслуживания конечной емкости с групповым марковским потоком и полумарковским обслуживанием // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». 2001. - 1. - С. 6479.

8. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

9. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.

10. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976. 184 с.

11. Милованова Т.А. Система BMAP/G/1/г с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом // Информационные процессы. 2007. - № 2. - С. 153-167.

12. Милованова Т.А. Стационарные характеристики, связанные с временем пребывания заявки в системе BMAP/G/1/г/LCFS РР // Информационные процессы. 2007. - № 4. - С. 411-424.

13. Милованова Т.А. Система ВМАР/G/ 1/оо с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 5. - С. 885-896.

14. Милованова Т.А., Печинкин A.B. Стационарные характеристики системы обслуживания с инверсионным порядком обслуживания, вероятностным приоритетом и гистерезисной политикой //Информатика и ее применения. 2013.

15. Нагоненко В. А. О характеристиках одной нестандартной системы массового обслуживания. I // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1981. -№ 1.- С. 187-195.

16. Нагоненко В. А. О характеристиках одной нестандартной системы массового обслуживания. II // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1981.- № 3. С. 91-99.

17. Нагоненко В.А., Печинкин А.В. О большой загрузке в системе с инверсионным обслуживанием и вероятностным приоритетом // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1982. - № 1. - С. 86-94.

18. Нагоненко В.А., Печинкин А.В. О малой загрузке в системе с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1984. - № 6.

19. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. 1987. - А1"2 1. - С. 67-73.

20. Печинкин А.В. Ветвящийся процесс, управляемый цепью Маркова. // Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». -1999. № 1. - С. 115-127.

21. Печинкин А.В. Об одной инвариантной системе массового обслуживания // Math. Operationsforsch. und Statist. Ser. Optimization. 1983.- Vol. 14. № 3. - S. 433-444.

22. Печинкин А.В. Однолинейная система обслуживания с марковским входящим потоком требований // Автоматика и телемеханика. 1996.- № 4. С. 100-110.

23. Печинкин А.В. Нестационарные характеристики системы обслуживания с дисциплиной SRPT // Вестник РУДН, сер. Прикл. матем. и информ. 1996. - № 1. - С. 77-85.

24. Печинкин A.B. Система МАР/G/ 1/оо с дисциплиной SRPT // Теория вероятностей и ее прим. 2000. - Т. 45. - Вып. 3. - С. 589-595.

25. Печинкин A.B., Свищева Т.А. Система MAP/G/1/r с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Прикладная математика и информатика. 2002. - № 1. - С. 80-89.

26. Печинкин A.B., Свищева Т.А. Система МАР/G/ 1/оо с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Прикладная математика и информатика. 2003. - № 1. - С. 109-118.

27. Печинкина O.A. Стационарное распределение очереди в системе Mk/G/1 с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1996. - № 7. - С. 105-114.

28. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с групповым поступлением и инверсионной дисциплиной // Кибернетика и системный анализ. 1995.- № 6. - С. 163-165.

29. Таташев А.Г. Одна инверсионная дисциплина обслуживания в одно-канальной системе с разнотипными заявками // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 7. - С. 177-181.

30. Таташев А. Г. Одна инверсионная дисциплина обслуживания в системе с групповым поступлением // Автоматика и вычисл. техника. -1995. № 1. - С. 53-59.

31. Таташев А.Г. Одна система массового обслуживания с инвариантной дисциплиной // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 7. - С. 92-96.

32. Таташев А.Г. Одноканальная система с инверсионной дисциплиной обслуживания и разнотипными заявками // Кибернетика и системный анализ. 2000. - № 3. - С. 170-174.

33. Фаронов В.В. Delphi 6. Учебный курс. М.: издатель Молгачева С.Е., 2001. 668 с.

34. Хипчин А.Я. Работы но математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. 236 с.

35. Яшков С. Ф. Свойства инвариантности вероятностных моделей адаптивной диспетчеризации в системах коллективного пользования // Автоматика и вычислительная техника. 1980. - № 6. - С. 56-62.

36. Pa,vel Abaev. Yuliya Gaidamaka, and Konstantin E. Samouylov Modeling of Hysteretic Signaling Load Control in Next Generation Networks // Lecture Notes in Computer Science. Germany, Heidelberg, SpringerVerlag. 2012. Vol. 7469. - P. 440-452.

37. Bocharov P.P., D'Apice C., Pechmkin A.V., Salerno S. QueueingTheory. Utrecht, Boston: VSP, 2004. 446 p.

38. Dudm A.N., Khmenok V.I. Alternative algorithm for characteristics calculation of BMAP/SM/1 system with the multi-threshold control // Queues. Flows, Systems, Networks. Minsk, BSU, 2001. V. 16. - P. 81-86.

39. Dudin A.N., Khmenok V.I. BMAP/SM/1 queue with Markov modulated retrials // TOP. 1999. - V. 7. - P. 267-278.

40. Erlang A.K. Solution of some problemsin the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // The Post Office Electrical Engineers Journal. 1917. - Vol. 10. - P. 189-197.

41. Gelenbe E., Nunez A. Self-Aware Networks and Quality of Service // O. Kaynak et al. (Eds.): ICANN/ICONIP 2003, LNCS 2714, pp. 901-908, 2003.

42. Grishechkm S.A. On a relationship between processor-sharing queues and Cramp-Modc-Jagers branching pioccsscs // Adv. Appl. Probab. 1992.- Vol. 24. P. 653-698.

43. Heffes H., Lucantoni D. A Markov Modulated Characterization of Voice and Data Traffic and Related Statistical Multiplexer Performance // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. vol. 4. - September 1989.

44. SH Kang, YE Kim, DK Sung and BD Choi An application of Markovian Arrival Process to modeling superposed ATM cell streams IEEE Trans Commun , vol 50, no 4, pp 633-642, 2002

45. A Klemm, C Lindemann amd M Lohmann Modeling IP traffic using the batch markovian arrival process Performance Evaluation, 54, pp 149-173 2003

46. Kendall D J Stochastic piocesses ocurrmg m the theory of queues and their analysys by the method of the embedded Markov chains // Ann Math Stat 1953 - № 24 - P 338-354

47. Khmenok VI The Controlled BMAP/SM/1 Retrial Queue with Markov Modulated Retrials // Proc of Internat Conference «Distributed Computer and Communication Networks Stochastic Modelling and Optimization (DCCN-2003)» Moscow - 2003 - P 81-88

48. Li X, Li S, Gorg C, Timm-Giel A Traffic Modeling and Characterization for UTRAN // WWIC 2006 LNCS 3970 2006/ pp 190-201

49. Lucantoni D The BMAP\G\1 queue A tutorral Models and techniques for Performance Evaluation of Computei and Communication Systems 1993 pp 330-358

50. Lucantoni DM Neuts MF Simpler pi oofs of some pioperties of the fundamental period of the MAP/G/1 queue // J Appl Piob 1994 -V 31 - P 235-243

51. Pechinkvn A., Svistcheva Т. Queue МАР/G/1 with Inverse Discipline and Probabilistic Priority // Информационные процессы. 2002. - № 2. - С. 243.

52. Schassberger R. The steady-state appearance of the M/G/l queue under the discipline of shortest remaining processing time // Adv. Appl. Probab. 1990. - Vol. 22. - P. 456-479.

53. Schräge L. A proof of the optimality of the shortest remaining processing time discipline // Oper. Res. 1968. - Vol. 16. - P. 687-690.

54. Schräge L., Miller L. The queue M/G/l with the shortest remaining processing time discipline // Oper. Res. 1966. - Vol. 14. - P. 670-684.

55. Takacs L. Introduction to the theory of queues. New York. Oxford University Press, 1962. 268 p.