Расчет длинных, неоднородных по высоте анизотропных полос тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Симаков, Василий Анатольевич

• Симаков, Василий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Симаков, Василий Анатольевич

Введение

Краткий обзор литературы

Краткое содержание работы

1 Постановка задачи о равновесии неоднородной упругой полосы

1.1 Постановка плоской задачи для полосы.

1.2 Зависимости между интегральными характеристиками напряжений в полосе.

1.3 Условия равновесия полосы в целом.

1.4 Внутренние силовые факторы.

1.5 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешними нагрузками.

1.6 Приближенная постановка задачи о равновесии полосы.

1.7 Переход к безразмерным координатам.

2 Метод решения задачи для неоднородной анизотропной упругой полосы

2.1 Представление касательных и поперечных напряжений через продольное напряжение.

2.2 Случай свободной нижней границы и нулевых объемных сил.

2.2.1 Функция напряжений.

2.2.2 Представление функции напряжений в виде ряда по производным от продольного усилия и изгибающего момента.

2.2.3 Ряды для напряжений и деформаций.

2.2.4 Рекуррентные интегро-дифференциальные уравнения для коэффициентов и ipq.

2.2.5 Случай неоднородной по высоте полосы.

2.2.6 Перемещения в случае неоднородной по высоте полосы.

2.2.7 Преобразование формул для перемещений.

2.2.8 Преобразование перемещений точек средней линии к виду удобному для решения статически неопределимых задач.

2.3 Случай свободной верхней границы и нулевых объемных сил.

2.3.1 Функция напряжений.

2.3.2 Ряды для функции напряжений, напряжений и деформаций.

2.4 Общий случай нагружения полосы.

3 Примеры решения задач

3.1 Статически определимые задачи.

3.1.1 Продольное растяжение (сжатие) полосы.

3.1.2 Изгиб полосы моментами.

3.1.3 Изгиб консоли поперечной силой.

3.1.4 Изгиб консоли полиномиальной нагрузкой.

3.1.5 Случай равномерной нагрузки.

3.1.6 Случай линейно распределенной нагрузки.

3.2 Статически неопределимые задачи.

3.2.1 Изгиб поперечной силой продольно подпертой консоли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет длинных, неоднородных по высоте анизотропных полос»

Краткий обзор литературы

Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учета неоднородности механических свойств при расчетах на прочность.

Интерес к этой проблемме подтверждается появлением большого количества книг и статей. Было издано два весьма полных библиографических указателя [6], [11], в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г.

Особое место в теории неоднородных тел занимает механика композитов. К настоящему времени механика композитов выделилась в самостоятельное направление в МДТТ.

По механике композитов во всем мире выходит огромное количество информации. В обзоре Ю.М. Тарнопольского [50] были проанализировав ны наиболее ценные работы в этой области.

Методы решения краевых задач теории упругости неоднородного тела во многом определяются видом функций, характеризующих зависимость упругих свойств от координат. Большое количество частных задач для непрерывно неоднородных тел было рассмотрено В.А. Ломакиным [34], [39], а также Г.Б. Колчиным [35].

Обшая теория расчета упругих брусьев, составленных из материалов с различными механическими характеристиками, развивалась Н.И. Му-схелишвили [30]. Им рассмотрены задачи изгиба, растяжения и кручения неоднородных (кусочно-однородных) в сечении изотропных брусьев в плане пространственной задачи теории упругости.

Многослойная среда в условиях плоской деформации была рассмотрена И.Г. Альпериным [21] в 1939 году. Альперин рассмотрел плоскую деформацию полуплоскости, состоящей из N слоев, на границах которых отсутствует трение. Решение строится с помощью интегрального преобразования Фурье через бигармонические функции напряжений для каждого слоя. В итоге задача сводится к системе из N функциональных уравнений относительно N неизвестных функций.

В 1942 году была опубликована работа Г.С. Шапиро [22], в которой рассмотрена осесимметричная задача для многослойной плиты, а также цилиндра. В этой работе дается точное решение задачи методом интегрального преобразования Ханкеля. Конструкция такого решения получается с помощью общего представления решения осесимметричной задачи теории упругости А. Лява [20]. Если плита имеет N слоев, то задача в конечном итоге сводится к решению системы из 4N функциональных уравнений. Применяя этот метод, Г.С. Шапиро в 1944 году в работе [23] довел до числовых результатов решение задачи для одного слоя, опирающегося на абсолютно гладкое и жесткое основание при воздействии на границе слоя равномерно распределенной нагрузки по площади круга. Дальнейшее развитие этот метод получил в монографиях [5], [8].

В 1948 году была опубликована работа P.M. Раппопорт [24], в которой с помощью интегрального преобразования Ханкеля решена осесимметричная задача Буссинеска, а с помощью интегрального преобразования Фурье — плоская задача Фламана для двухслойного полупространства. Позже в ряде работ Раппопорт [26], [31], [32], [33] и Буфлера [57], [56], [58] был развит метод послойного решения осесимметричной и плоской задач теории упругости для многослойных сред. В работах Раппопорт [31], [32] этот метод был распространен на трехмерную задачу для многослойного полупространства. В методе послойного решения задача для N-слойной плиты в итоге сводится к решению системы из 2(N-1) уравнения относительно трансформант Ханкеля (Фурье) нормальных и касательных напряжений на одной из плоскостей слоя. В указанных работах P.M. Раппопорт и Буфлера решения доведены до числовых результатов лишь в отдельных частных случаях для сред из двух, трех слоев.

Оригинальная модификация метода послойного решения предложена в работе В.И. Петришина и А.К. Приварникова [4] для того случая, когда на одной поверхности многослойной плиты задана нормальная и касательная нагрузка, а на другой обращаются в нуль перемещения.

Для случая непрерывной неоднородности В.А. Ломакиным был развит метод возмущений [34], [39]. При практическом использовании метода возмущений обычно ограничиваются первым приближением. Границы применимости получаемых решений и оценка погрешностей дана в работе В.А. Ломакина и В.И. Шейнина [7].

Приближенные теории упругой многослойной среды, основой которых являются различные ограничения, накладываемые на геометрические и упругие характеристики всей среды в целом и отдельных ее слоев развивались в работах В.В. Болотина [27], [28], [29] в книге В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [13], в книге В.В. Васильева [49] и в ряде других работ. Обзор различных инженерных подходов применительно к изделиям из композитов дан в работах [50], [34], [2].

В настоящее время наиболее распространенными методами решения задач механики композитов являются два метода — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). Оба этих метода появились совсем недавно. Первым был предложен ММГП. В 1974 и 1975 годах Бахвалов Н.С. в ДАН СССР опубликовал две статьи [36] [38] по осредненным характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. Дальнейшее развитие и применение ММГП к линейным и нелинейным задачам механики деформируемого тела было дано в работах Победри Б.Е. и его учеников [47], [10], [15], [42], [48],[16], [45]. В ММГП исходная краевая задача для периодически неоднородного тела сводится к двум рекуррентным последовательностям задач. Первая последовательность, по сути дела, заключается в нахождении периодического решения уравнений неоднородной упругости в области периодичности коэффициентов упругости. Вторая последовательность состоит в решении краевых задач однородной анизотропной упругости. Входные данные в каждой из последовательностей на каком либо шаге находятся лишь после того как решены все предыдущие рекуррентные задачи. Будучи, строго говоря, асимптотическим, метод малого геометрического параметра тем не менее дает хорошее приближение к точному решению даже в том случае, когда геометрический параметр близок или равен единице [43].

В некоторых случаях ММГП позволяет получить точные решения краевых задач, справедливые при любом виде неоднородности. Последнее относится в основном к задачам для неднородных полос. При простых видах нагружения ряды по малому параметру оказываются сходящимися и их удается просуммировать. Впервые этот результат был получен В.И. Горбачевым и Б.Е. Победрей в 1979 году в работе [12], в которой методом суммирования рядов были получены новые точные решения нескольких задач о равновесии неоднородной по высоте изотропной полосы. Позже в 1993 году [52] В.И. Горбачеву удалось получить решение этих же задач для произвольно анизотропной полосы.

Другой метод решения задач механики композитов — МТГ (метод тензоров Грина) был предложен Горбачевым В.И. чуть позднее. Первая работа вышла в 1991 году [51]. В этом методе рассматривается произвольно неднородное упругое тело (в том числе и периодически неоднородное). В основе МТГ лежит возможность представления решения любой краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой же задачи для тела точно такой же формы, что и исходное, но с другими упругими характеристиками. В представлении существенную роль играет тензор Грина рассматриваемой краевой задачи для исходного тела. Это обстоятельство как раз и послужило основанием дня выбора названия метода.

К настоящему времени получено интегральное соотношение, связывающее решение любой начально-краевой задачи для произвольного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с решением точно такой же задачи для уравнения того же типа, но с постоянными коэффициентами [53], [55], [54].

Интегральное соотношение легко может быть заменено на эквивалентное представление в виде ряда. Таким образом решение краевой задачи для неоднородного упругого тела может быть представлено в виде ряда по градиентам решения такой же краевой задачи для однородного ( можно даже и изотропного ) упругого тела. Коэффициенты ряда находятся из рекуррентной последовательности краевых задач в области занятой телом с однородными граничными условиями. Отметим, что "сложность" уравнений в рекуррентной последовательности определяется видом зависимости упругих характеристик от координат, а также видом области занимаемой упругим телом.

Краткое содержание работы

В настоящей диссертационной работе для решения задач о равновесии неоднородной анизотропной полосы предложен новый метод, основанный на представлении искомого решения в виде ряда по производным от продольного усилия и изгибающего момента, действующих в каждом поперечном сечении полосы и распределенных вдоль ее средней линии.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

В первой главе дается постановка задачи о равновесии длинной упругой полосы под действием объемных и поверхностных нагрузок. Вначале дается точная постановка плоской задачи теории упругости для полосы. Рассматриваются условия, которым должны удовлетворять внешние нагрузки, чтобы полоса в целом находилась в статическом равновесии. Вводятся внутренние силовые факторы, а именно: продольная сила Т, поперечная сила Q, и изгибающий момент М, действующие в каждом поперечном сечении. Рассматриваются условия равновесия части полосы, расположенной от начала ее левого края до произвольного поперечного сечения, в котором действуют внутренние силовые факторы. Эти условия дают формулы, по которым внутренние силовые факторы выражаются через внешние нагрузки, к которым отнесены также и реакции опор. Получены дифференциальные соотношения между внутренними силовыми факторами и внешними нагрузками. Затем рассматривается приближенная постановка задачи для длинной полосы, в которой точные граничные условия на коротких сторонах заменяются на интегральные. Такая замена, в соответствии с принципом Сен-Венана, приводит к небольшим погрешностям вдали от краев полосы. В конце этой глат вы осуществляется переход к безразмерным координатам, отнесенным к высоте полосы.

Вторая глава является основной в работе. В первом разделе второй главы показано, что касательное и пеперечное напряжения в полосе могут быть выражены через продольное напряжение. Показано, что касательное и продольное напряжения удовлетворяют граничным условиям на длинных сторонах полосы, если выполнены дифференциальные соотношения между внутренними силовыми факторами.

В дальнейшем предполагается, что объемные нагрузки отсутствуют и вся задача для полосы разбивается на два отдельных случая. В первом случае верхняя длинная сторона полосы нагружена распределенными продольной и поперечной силами, а нижняя сторона предполагается свободной от нагрузок. Во втором случае все наоборот: верхняя сторона свободна от нагрузок, а на нижней длинной стороне заданы распределенные продольные и поперечные силы. В обоих этих случаях перерезывающая сила Q(x 1) является линейной комбинацией первых производных от изгибающего момента М(хi) и продольной силы Т{х\). Общий случай нагружения, в силу линейности задачи, является суперпозицией двух частных случаев.

Далее подробно анализируется первый случай нагружения полосы. Сначала материал полосы считается анизотропным и неоднородным в продольном и поперечном направлениях. Материальные функции, с помощью которых описывается неоднородность упругих свойств, являются кусочно гладкими функциями координат. В параграфе 2.2.1 вводит^ ся специальная функция напряжений, через которую выражаются все три компоненты тензора напряжений в полосе. Показано, что за счет специального выбора функции напряжений удовлетворяются не только уравнения равновесия, но и граничные условия на свободной длинной стороне полосы. Сама функция напряжений будет удовлетворять интегро-дифференциальному уравнению, которое вытекает из условия совместности деформаций.

В следующем параграфе предполагается, что продольная сила Т(хi) и изгибающий момент М(х\) являются гладкими функциями продольной координаты. Функция напряжений представляется в виде ряда по производным возрастающего порядка от Т(х{) и М(х\). Этот ряд может быть и конечной суммой, если только Т и М будут полиномами конечной степени от х\. Коэффициенты ряда считаются неизвестными и зависят от продольной и поперечной координат. На каждый коэффициент накладывается два ограничительных условия. В первом условии требуется равество нулю его среднего значения по высоте полосы. Во втором условии требуется, чтобы равнялось нулю среднее значение от произведения коэффициента на поперечную координату. При наличии этих условий напряжения будут удовлетворять всем уравнениям задачи, кроме уравнения совместности. Из уравнения совместности следует цепочка рекуррентных интегро-дифференциальных уравнений для неизвестных коэффициентов.

В параграфе 2.2.5 рассматривается неоднородная по высоте полоса, т.е. модули упругости считаются функциями поперечной координаты В этом случае неизвестные коэффициенты также будут зависеть только от поперечной координаты. Для их определения вместо интегро-дифференциальных уравнений получаем цепочку рекуррентных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения легко интегрируются в общем виде.

Параграф 2.2.6 посвящен вычислению перемещений в неоднородной по высоте полосе. Они достаточно просто находятся путем интегрирования соотношений Коши для деформаций. Как и следовало ожидать, перемещения определены с точностью до трех произвольных констант, т.е. с точностью до смещения и поворота полосы как жесткого целого. Далее формулы для перемещений подвергаются эквивалентным преобразованиям. На первом этапе преобразований, из общих формул для перемещений выделяются составляющие, связанные с перемещениями точек средней линии и с осредненными сдвиговыми и поперечными деформациями. Получившиеся при этом выражения для перемещений отличаются по виду от формул для перемещений в теории балки Рейснера на добавочные ряды по производным возрастающего порядка от Т(хi) и М(хi). Коэффициенты в этих рядах являются интегралами по поперечной координате от функций, среднее значение которых на высоте полосы равно нулю. На втором этапе преобразуются формулы для перемещений точек средней линии и формула для производной от прогиба. Преобразованные формулы удобны для решения статически неопределимых задач.

В третьем разделе рассматривается случай свободной верхней стороны полосы и нагруженной нижней стороны. Методика решения задачи в этом случае совершенно аналогична предыдущему случаю нагружения. По этой причине материал излагается весьма кратко и применительно к неоднородной по высоте полосы.

В последнем четвертом разделе второй главы выписываются формулы для общего случая нагружения полосы по верхней и нижней длинным сторонам.

Третья глава посвящена применению изложенной выше методики к решению конкретных задач для неоднородной по высоте анизотропной полосы. Рассмотренные здесь задачи большей частью носят иллюстративный характер. Глава состоит из двух разделов, в которых рассмотрены примеры решения статически определимых и статически неопределимых задач.

Вначале первого рездела рассматривается самая простая задача о продольном растяжении полосы двумя одинаковыми по величине и противоположно направленными силами, приложенными в серединах крайних сечений. Решение выписывается практически мгновенно и в нем фигурирует всего лишь одна вспомогательная функция (/?о(жг)- Вторая простейшая задача - это задача об изгибе полосы концевыми моментами. Решение этой задачи также строится с помощью только одной вспомогательной функции фо(х2). В обеих задачах отлично от нуля только продольное напряжение <тц. Решения этих двух задач известно и приводится в различных источниках, например, в книге В.А. Ломакина [39]. В диссертационной работе выписаны перемещения при растяжении и изгибе полосы. Показано, что в случае неоднородной анизотропной полосы имеется депланация поперечного сечения. Если же материал полосы изотропен и неонороден по высоте, то поперечное сечение остается плоским при растяжении и изгибе полосы.

Следующая задача, рассмотренная в третьей главе - это задача об изгибе неоднородной анизотропной консоли поперечной силой, приложенной в середине незащемленного сечения. Эта задача уже существенно сложнее двух предыдущих задач. Достаточно сказать, что Колчиным Г.Б. найдено решение задачи для частного случая изотропной консоли, у которой модуль Юнга переменный по высоте, а коэффициент Пуассона постоянен. В работе решение выписывается очень просто для самого общего случая анизотропии и зависимости упругих характеристик от поперечной координаты. Отличны от нуля две компоненты тензора напряжений - это <тц и сги. Для их записи используются только две вспомогательные функции ipofa) и фг{х2)- Вся информация об анизотропии и неоднородности материала полосы заключена именно в этих двух функциях. Здесь также выписаны перемещения точек полосы и найден прогиб нагруженного конца полосы. Показано, что в случае однородности и изотропии формула для прогиба в точности совпадает с известной в литературе формулой. Отмечено, что решение этой задачи было найдено ранее В.И. Горбачевым в 1993 году. Однако метод, с помощью которого оно было найдено существенно сложнее метода, разработанного в диссертации.

В параграфе 3.1.4. решена задача об изгибе неоднородной анизотропной консоли полиномиальной поперечной нагрузкой. Показано, что напряжения записываются в виде конечных сумм, в которых участвуют те+ 2 вспомогательные функции ф0(х2): i>\{x2), ■■■) Фп+2(^2), если нагрузка является полиномом степени п. Это решение включает в себя, как частный случай, решение задачи об изгибе полосы краевыми моментами и решение задачи об изгибе консоли поперечной силой.

Во втором разделе третьей главы рассматривается применение методики к решению статически неопределимых задач для полосы. В качестве конкретного примера решена задача об изгибе поперечной силой продольно подпертой неоднородной анизотропной консоли. Выписаны явные выражения для компонентов тензора напряжений, для компонентов тензора деформаций и для компонентов вектора перемещений. Показано, что подпор не влияет на максимальный прогиб консоли, если полоса изотропна и модуль Юнга симметричен относительно средней линии полосы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении разработан метод вычисления вспомогательных функций, необходимых при расчете неоднородной анизотропной полосы. Рассмотрены как общий случай, так и частные случаи, а именно: случай неоднородной изотропной полосы, случай однородной анизотропной полосы и случай однородной изотропной полосы. В последних двух случаях вспомогательные функции являются полиномами от поперечной координаты, причем в однородном изотропном случае полиномы никак не связаны со свойствами материала полосы.

По результатам исследования опубликовано две работы [17], [18]и одна принята к публикации [19].

Результаты работы докладывались на семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ, на Ломоносовских чтениях в 1999 и 2000 годах, на международной конференции, посвященной 90-летию А.А. Ильюшина в 2001 году.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Симаков, Василий Анатольевич, 2002 год

1. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теориии упругости и пластичности. Ассоциация строительных вузов, Москва, 1995.

2. Болотин В.В., Гольденблат И.И., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Наука, Москва, 1972.

3. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. ФИЗ-МАТГИЗ, Москва, 1959.

4. Петришин В.И., Приварников А.К. Основные граничные задачи теории упругости для многослойных оснований. Прикладная механика, 1(4):58-66, 1965.

5. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. Труды ВЦ АН СССР, Москва, 1970.

6. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы. Штиинца, Кишинев, 1972.

7. Ломакин В.А., Шейнин В.И. О применимости метода малого паг раметра для оценки напряжений в неоднородных упругих средах. МТТ, (3):33—39, 1972.

8. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи задачи теории упругости для многослойных сред. Наука, Москва, 1973.

9. Тимошенко С.П., Дж. Гудьер. Теория упругости. Наука, Москва, 1975.

10. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов. Вестник МГУ, (5):101-111,1975.

11. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за 1970-1973 г. Штиинца, Кишинев, 1977.

12. Горбачев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неоднородных полос. Известия АН СССР. МТТ, (5):111-118, 1979.

13. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. Машиностроение, Москва, 1980.

14. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осредненние процессов в переиоди-ческих средах. Наука, Москва, 1984.

15. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах. Механика композитных материалов, (2), 1984.

16. Мольков В.А., Победря Б.Е. Эффективные модули упругости однонаправленного волокнистого композита. ДАН СССР, 275(3):586-589, 1984.

17. Горбачев В.И., Симаков В.А. Задача о равновесии неоднородной полосы. Вестник МГУ, (4):66-70, 2000.

18. Горбачев В.И., Симаков В.А. Об одном подходе к решению задач для упругого неоднородного по толщине анизотропного слоя. В Сборник трудов Междунар. Конф. повящен. 90-летию А.А. Ильюшина, page 426. МГУ, Москва, 2001.

19. Горбачев В.И., Симаков В.А. Метод решения задач для неоднородной анизотропной полосы. В Сборник трудов 16-й сессии Междунар. школы по моделям механики сплошной среды. Казань, 2002.

20. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ НКТП СССР, М-Л, 1935.

21. Альперин И.Г. Задача о бесконечно длинной балке на упругой полуплоскости. Прикл. матем. и механ., 2(3):287-315, 1939.

22. Шапиро Г.С. Напряженное состояние бесконечной цилиндрической оболочки и неограниченной толстой плиты. ДАН СССР, 37(9) :299-290, 1942.

23. Шапиро Г.С. О распределении напряжений в неограниченном слое. Прикл. матем. и механ., 8(2):167—168, 1944.

24. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства. Technical Report 5, Ленинградский политехнический институт, 1948.

25. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки, Изд. 2. Гостехиздат, Москва, 1957.

26. Раппопорт P.M. К вопросу о построении решений осесимметричной и плоской задач теории упругости многослойной среды. Technical report, ВНИИГ, 1963.

27. Болотин В.В. К теории слоистых плит. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, (3), 1963.

28. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. Известия АН СССР. Механика и машиностроение, (1), 1964.

29. Болотин В.В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. В сб. Расчеты на прочность. Вып. И, pages 31-63. Машиностроение, Москва, 1965.

30. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Наука, Москва, 1966.

31. Раппопорт P.M. Равновесие упругого слоистого полупространства при действии поверхностных сил (трехмерная задача). Technical report, ВНИИГ, 1966.

32. Раппопорт P.M. К вопросу о построении решения задачи о равновесии многослойного полупространства в перемещениях. Technical report, ВНИИГ, 1966.

33. Раппопорт P.M. К вопросу о построении интерполяционных решений обобщенной плоской и осесимметричной задач теории упругости многослойной среды. ЭЦВМ в строительной технике, pages 373-382. Стройиздат, Москва, 1966.

34. Ломакин В.А. Статистические задачи механики деформируемых твердых тел. Наука, Москва, 1970.

35. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Картя молдовеняска, Кишинев, 1971.

36. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. ДАН СССР, 218(5):1040-1048, 1974.

37. Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред. Вычислительная механика деформируемого твердого тела, (2):61-76, 1991.

38. Горбачев В.И. Об одном подходе к решению задач теории упругости для длинной неоднородной по ширине анизотропной полосы. In Упругость и неупругость, pages 39-55. Изд-во МГУ, Москва, 1993.

39. Горбачев В.И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Вестник МГУ, (6):68-71, 2000.

40. Горбачев В.И. Осреднение процессов в неоднородных телах. In Сборник трудов Междунар. Конф. повящен. 90-летию А. А. Ильюшина, page 294. МГУ, Москва, 2001.

41. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности. Известия РАН. МТТ, (1), 2001.

42. Bufler N. Der spannungszustand in einem geschichteten korper bei axialsimmetrischen belastung. Ingr. Archiv, 30(6):417-430,1961.

43. Bufler N. Der spannungszustand in einem geschichteten scheibe. Z. angeew. Math, und Mech., 41(4):84-86, 1961.

44. Bufler N. Die bestimmung des spannungs und verschiebungszustandes eines geschichteten korpers mit hilfe von ubertragungsmatrizen. Ingr. Archiv, 31(4):229-240,1962.