Процессы многочастичного рождения в квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фархтдинов Булат Ринатович

• Фархтдинов Булат Ринатович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Фархтдинов Булат Ринатович

Введение

Глава 1. Классически разрешённая область процессов многочастичного рождения

1.1. Введение к первой главе

1.2. Постановка задачи рассеяния

1.3. Алгоритм поиска границы классически разрешённой области

1.4. Классическое рассеяние: численные результаты

1.5. Выводы к первой главе

Глава 2. Численная реализация метода сингулярных решений

2.1. Введение ко второй главе

2.2. Метод сингулярных решений

2.3. Сингулярная структура седловых решений

2.4. Предел 3 ^

2.5. Численная реализация метода сингулярных решений

2.6. Численный поиск сингулярных решений

2.7. Выводы ко второй главе

Глава 3. Вероятность многочастичного рождения в скалярной

теории с потенциалом \фА

3.1. Введение к третьей главе

3.2. Сравнение при малых \п

3.3. Результаты при больших \п

3.4. Обсуждение и выводы к третьей главе

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Приложение А. Формулировка граничной задачи на пространственно-временной решётке

А.1. Действие, энергия и уравнения на решётке

А.2. Граничные условия на решётке

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Процессы многочастичного рождения в квантовой теории поля»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Квантовая теория поля является основным инструментом теоретического описания микромира. На её языке сформулирована Стандартная Модель физики элементарных частиц, которая включает все известные на данный момент типы взаимодействий, за исключением гравитационного. Несмотря на имеющиеся указания на существование физики за её пределами, Стандартная Модель успешно описывает подавляющее большинство экспериментальных данных. Этот успех в значительной степени обусловлен применимостью основного метода для вычисления амплитуд рассеяния и распада частиц в квантовой теории поля — теории возмущений. Известно, однако, что в ряде случаев этот метод оказывается неприменимым даже в режиме слабой связи. Примером такой ситуации является многочастичное рождение в скалярных теориях поля с малой константой связи, которое и является предметом изучения в настоящей диссертации.

Впервые на необходимость выхода за рамки теории возмущений для описания многочастичного рождения было указано при рассмотрении инстантонных процессов в электрослабой теории. Pix вероятности являются экспоненциально подавленными при низких энергиях. Однако, если конечное состояние содержит большое число бозонов п, подавление уменьшается [ ; ] (обзоры представлены, например, в работах [3; 4]) за счет того, что вероятности растут с увеличением п, так п!. Позже подобный факториальный рост был обнаружен для процессов рождения большого числа бозонов (многочастичное рождение) в слабо связанных скалярных теориях поля. Так, в теории скалярного поля с действием

амплитуда 1 ^ п распада виртуальной частицы в п реальных покоящихся

2

(1)

0) , (2)

частиц

Л^п = ^п, Е = пт

где с> обозначает Б-матрицу, а оператор ф рождает виртуальную частицу в начальном состоянии1, дается на древесном уровне следующим выражением [5

7]

п-1

= п! ' п — нечётные. (3)

Если амплитуда слабо зависит от импульсов вблизи порога, то вероятность (Е) рассматриваемого процесса при энергии Е можно оценить как

фее |2 ^п - —

п!

(Е) - | ДПепГ ^ - п!Хпе^ , (4)

где Уп — п-частичный фазовый объём, п! в знаменателе учитывает тождественность частиц в конечном состоянии и

Е — тп ,,

е =-^ т. (5)

п

Подобное поведение древесных амплитуд было обнаружено в широком классе бозонных теорий как на пороге [6; 8 11] так и вне его [12 14], и оно связано с факториальным ростом числа диаграмм Фейнмана, дающих вклад в амплитуду процесса при увеличении числа п бозонов в конечном состоянии [ ; ; ]. Экстраполяция факториального роста вероятности ( ) в область больших п противоречит унитарности. Основанные на ней аргументы, приведенные в работах [17—19], свидетельствуют о том, что при достаточно больших п > Л-1 вероятность гР1^п (Е) должна быть подавлена сильнее чем любая степень Л. Как следствие, древесное поведение многочастичных амплитуд и вероятностей вида (3) и (4) должно существенно меняться при учете петлевых поправок. В работах [20 23] были вычислены однопетлевые поправки к амплитудам многочастичного рождения на пороге для ряда скалярных теорий поля. В частности,

1 Процесс 1 ^ п можно связать с физически возможным, например, добавив в теорию дополнительное фермионное поле ф, взаимодействие Юкавы вида уффф и рассматривая многочастичное рождение фф ^ пф в лидирующем порядке по константе связи у.

в теории (1) одноиетлевая поправка к древесной амплитуде на пороге (3) при 1 ^ п ^ Л-1 имеет вид

д^Г = ДЙепа (вп2 + о(п)), (6)

где В — константа, определяемая формулой (ши = л/к2 + 1)

г> [ ^к 9 33/2 Г- 1 ^ л ^ "1 ^

Анализ многопетлевых поправок выявил больше интересных особенностей рассматриваемых амплитуд [ ; ]. Число диаграмм для п-частичного рождения в Ь петлях растёт как п2Ьп\ [ ; ; ; ]. В результате лидирующие (в каждом порядке по А) по п петлевые вклады в амплитуды представляют собой ряд по Ап2, причем коэффициенты этого ряда определяются однопетлевым результатом (6). Эти вклады можно пересуммировать во всех порядках теории возмущений [13], что приводит к следующему экспоненциальному виду для ам-

П.пит у^гу ]-■»[

Л1^п = ДДП (еВАп2 + ...) , (8)

где многоточием обозначены члены ряда с меньшими степенями п в каждом порядке по А, оставшиеся после частичного суммирования. Дальнейший анализ показал, что лидирующие поп поправки к древесным амплитудам многочастичного рождения по £ () вблизи порога, т.е. при £ ^ т, также экспоненциируют-ся [13]:

А^Ы, ..,Рп) = Л!- (е-^ + ...) . (9)

Эти наблюдения привели к формулировке гипотезы о том, что вероятность многочастичного рождения в режиме А ^ 0 и фиксированных значениях £ и Ап имеет экспоненциальный вид [ ]

Тх^а {Е) а еЕ(Аае)/А . (10)

Кроме того, явные вычисления, проведенные в работах [13; 24], продемонстрировали, что экспонента подавления вероятности, т.е. величина ^(Ап, е), по-видимому, обладает свойством универсальности, т.е. она не зависит от начального

состояния при условии, что последнее содержит достаточно малое число частиц щ ^ Л-1. Несмотря иа то, что перечисленные особенности амплитуд и вероятностей процессов многочастичного рождения характерны для целого ряда скалярных теорий поля, отметим, что существуют примеры их альтернативного поведения (см., например, [22; 23; 26]).

Недавно возобновившийся интерес к изучению многочастичного рассеяния стимулировал ряд связанных исследований в квантовой механике [27; 28]. В этих работах рассматривалась модель ангармонического осцилляторах(Ъ) — (0 + 1)-мерный аналог теории скалярного поля ( ). Аналогами многочастичных амплитуд в рассмотренной модели являются матричные элементы оператора координаты между вакуумом и состоянием с квазиклассически большой энергией Е вида (Е 1х11 0). Уже в работах [ ; ] было продемонстрировано, что абсолютные значения таких матричных элементов экспоненциально убывают с ростом разницы энергий этих состояний. В работах [27; 28] было показано, что ряд теории возмущений для этих матричных элементов экспоненциирует-ся, а возникающая экспонента подавления отрицательна и обладает свойством универсальности — она не зависит от I при достаточно малых I и достаточно больших Е. Приведённые квантовомеханические результаты не могут быть напрямую экстраполированы на вероятности многочастичного рождения, однако они полезны для поиска аналогий между квантовой механикой и теорией поля.

Экспоненциальная форма вероятности (10) и универсальность экспоненты подавления позволяют предположить, что многочастичное рождение может быть описано квазиклассическими методами при Л ^ 0 и фиксированных \п и £. Этот режим соответствует слабой связи и большим числам заполнения в конечном состоянии. В литературе обсуждались различные варианты применения квазиклассического подхода к изучению многочастичного рождения [31 36]. Все они в той или иной степени используют решения классических уравнений поля. Так, в одном из предложенных подходов предлагается рассмотреть вместо процессов рассеяния "мало" ^ "много" процессы "много" ^ "много" и

изучить классический аналог квантового рассеяния— рассеяние классических волновых пакетов [36]. Свободные волны в квантовой теории соответствуют когерентным состояниям с некоторыми средними значениями энергии Е и числа заполнения п, причем применимость такого соответствия оправдана прип ^ 1. Классическим аналогом процесса многочастичного рассеяния п^ ^ п/ при энергии ^ 1 служит рассеяние волновых пакетов с теми же характеристиками. С точки зрения квантовой теории соответствующее решение классического уравнения поля будет являться седловой точкой в интеграле по траекториям для вероятности квантового перехода. При этом, поскольку такой процесс классически разрешён, то ожидается, что эта вероятность не будет экспоненциально подавлена. Нахождение множества таких решений дает возможность найти классически разрешённую область процессов многочастичного рассеяния и, в частности, выяснить, находится ли в ней наиболее интересный класс процессов рассеяния, в которых начальное состояние содержит малое число частиц, таких как, например, 2 ^ п/. Подобное исследование классических аналогов квантовых процессов было проведено при изучении ряда туннельных процессов, индуцированных столкновением частиц, в частности, распада ложного вакуума [37], процессов, нарушающих барионное число в Стандартной Модели [38; 39], а также рождения пары солитон-антисолитон в (1 + 1)-мерной теории скалярного поля [40]. В ранних исследованиях классического рассеяния волновых пакетов в теории А^>4 не было найдено решений со значительным изменением числа заполнения при рассеянии [41]. Глава 1 настоящей диссертации посвящена детальному изучению классических процессов рассеяния и нахождению классически разрешенных областей многочастичного рассеяния в этой теории [42; 43].

Исследование классического рассеяния волновых пакетов может дать лишь указание на экспоненциальное подавление вероятности процессов многочастичного рождения, но оно не позволяет ничего сказать о величине их вероятности. Среди предложенных в литературе квазиклассических подходов для непосредственного вычисления вероятности многочастичного рождения наибольший ин-

терес представляет метод сингулярных решений Д.Т. Шона [35] (см. также недавний обзор [44]). Данный подход представляет собой теоретико-полевое обобщение метода Л.Д. Ландау квазиклассического вычисления матричных элементов в квантовой механике [45] в применении к многочастичному рождению. Метод сингулярных решений сводит вычисление квазиклассической экспоненты подавления Г(Хп,е)7 входящей в ( ), к нахождению определенного сингулярного комплекснозначного решения классического уравнения поля и вычислению классического действия на этом решении. Первые применения метода Л.Д. Ландау к нахождению вероятностей многочастичного рождения в скалярных [32] и калибровочных [34] теориях не были систематическими. В работе Д.Т. Шона [35] была выведена граничная задача, которой должна удовлетворять соответствующая сингулярная полевая конфигурация. При этом, снова сперва рассматривается многочастичное рождение из начального состояния с большим числом частиц. Вероятность такого процесса может быть вычислена квазиклассическими методами — путем нахождения седловой точки соответствующего функционального интеграла. После этого берется предел малого количества частиц в начальном состоянии и используется предположение об универсальности экспоненты подавления. В этом пределе седловое решение становится сингулярным. По своей идее данный метод близок к аналогичным квазиклассическим методам, применяемым к туннельным процессам, индуцированным столкновениями малого количества высокоэнергичных частиц [46 50]. Аналогом предположения об универсальности в этих примерах является гипотеза Рубакова-Шона-Тинякова о независимости туннельной экспоненты от начального состояния с маленьким числом частиц [51]. Метод сингулярных решений применим при п ^ 1 и, в частности, в интересном случае п > Л-1. С его помощью в оригинальной работе [35] были восстановлены уже известные на тот момент древесный и однопетлевой вклады в экспоненту подавления вероятности многочастичного рождения на пороге в теории с действием (1). В последующих работах [52; 53] при помощи этого метода в режиме п ^ Х-1 была

получена поправка к древесной экспоненте подавления порядка е2/ш2 вблизи порога, а также древесная экспонента при £ > т [ ; ]. Однако, несмотря на упомянутое выше активное развитие эффективных квазиклассических методов, достоверный ответ для вероятности многочастичного рождения в режиме очень большого числа частиц п ^ Л-1 так и не был получен. Основная причина состоит в сложности даже численного нахождения решений граничной задачи квазиклассического метода Д.Т. Шона, что обусловлено, в частности, их сингулярной природой. Результаты данного диссертационного исследования, представленные в главах 2 и 3, восполняют этот пробел.

Основная часть описанных выше результатов была получена в 90-х годах прошлого века. Однако, в последнее время отмечается повышенный интерес к этой теме, что связано, в том числе, с открытием скалярного бозона Хиггса [55; 56]. Вопрос об экспоненциальном подавлении вероятности процессов многочастичного рождения был вновь поставлен в контексте гипотезы о "Хиггсовском взрыве" (от англ. — Higgsplosion), предложенной в работах [44; 57; 58]. Согласно этой гипотезе вероятность множественного рождения бозонов Хиггса в столкновениях частиц высоких энергий, которые можно будет пронаблюдать на будущих коллайдерах, не является экспоненциально подавленной. В частности, для экспоненты подавления вероятности рождения п нерелятивистских бозонов Хиггса в результате столкновения глюонов было предложено следующее выражение

^шёё8Р108юп - Ап 1п — + 2Ап 1п 3-— + — + 0.854 (Ап)3/2 при п < п* . (И)

Здесь параметр т — масса хиггсовского бозона, А — константа его самодействия, а п* определяется из условия ^н^8Р108юП(Ап*) = 0. Важно отметить, что выражение (11) было получено аналитически в квазиклассическом приближении с использованием метода Д.Т. Шона [35], а также ряда дополнительных приближений, связанных с определенными предположениями о структуре сингулярных решений [44; 58]. Формально, оно может быть применимо в областях

значений конечного числа частиц п <п* ^ 3.08 Л-1 ln2(е/т\ где экспонента не положительна. При п ~ п* вероятность процесса перестаёт быть подавленной и, поскольку вероятность не может быть экспоненциально большой, естественно

п

вать и могут сделать теорию унитарной [57; 59]. Результат (11) как и гипотеза о "Хиггсовском взрыве" вызвали критику в ряде работ [59 61], как противоречащие самосогласованности квантовой теории. В частности, было указано на то, что они не согласуются с постулатом локальности в квантовой теории [60], а также вступают в противоречие с выводами, следующими из дисперсионных соотношений [17; 62; 63]. Остановимся подробнее на последнем аргументе. В пользу экспоненциального подавления многочастичных вероятностей при произвольных значениях параметров говорят следующие соображения. Добавим в теорию (1) безмассовые фермионы со взаимодействием Юкавы уффф с очень малой

ражают ампутированную функцию Грина П(^2) двух ф-операторов в терминах полного сечения аннигиляции фермионов 0"tot(E): фф ^ "что угодно" [17],

(¿У2 ПЮ'2)Ц = -¿2 / f (l - i )2 -(Е) + Od2). (12)

Интеграл в правой части сходится, потому что физическое сечение связано с вероятностью и не может быстро расти с энергией. Теперь вспомним, что стандартная теория возмущений позволяет надёжно вычислить двухточечную функцию при малых евклидовых импульсах, и все непертурбативные поправки подавлены как exp(-const/Л). Это означает, что вклады многочастичных промежуточных состояний также экспоненциально малы, а значит и сечение многочастичного рождения фф ^ п, т.к. ап < atot. Таким образом мы приходим к выводу, что F ~ Л ln ап < 0 при произвольных п ^ 1 и Е. Едва ли можно отказаться от вышеприведённого аргумента. Например, нигилистический подход [59; 64], предполагающий полный отказ от дисперсионных соотношений, не сильно помогает: теория перестает быть разумной, если суммы по промежуточ-

ыым состояниям расходятся. На текущий момент обсуждение этих вопросов ещё ведется [64], однако даже при ограниченной применимости формулы (11), она может ощутимо изменить феноменологию хиггсовского бозона, приводя к неподавленному множественному рождению этих частиц в столкновениях частиц высоких энергий и в распадах новых тяжёлых резонансов [57; 65], см. также [66]. Для разрешения данного весьма актуального вопроса требуется развитие численных методов получения сингулярных решений, возникающих в результате применения квазиклассического метода Д.Т.Шона, и получение надежных результатов для вероятности многочастичного рождения в области больших п.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью настоящей работы является изучение процессов многочастичного рождения методами классической и квантовой теории поля в приложении к теории действительного скалярного поля с потенциалом А04 и ненарушенной Ъ2 симметрией. Она разбивается на следующие три задачи.

Во-первых, необходимо определить классически разрешённую область процессов многочастичного рассеяния п^ ^ п/ при энергии Е и ^ 1. Эта задача решается при помощи исследования классического рассеяния волновых пакетов, имеющих полную энергию АЕ1 и числа заполнения Ап^ Ап/ в начальной и конечной полевой конфигурации, соответственно. Случаю многочастичного рождения соответствует предел Ап^ ^ 0. В силу того, что вероятности процессов, соответствующих классически разрешённому рассеянию, не являются экспоненциально подавленными, близость границы классически разрешённой области к малым значениям Ап^ при фиксированных АЕ и Ап/ была бы указанием на возможное отсутствие экспоненциального подавления вероятностей многочастичного рождения. И наоборот, если рассеяние "мало" ^ "много" лежит глубоко в классически запрещённой области, это будет указанием на экспоненциальное подавление вероятности.

Во-вторых, необходимо разработать численный метод на основе квазиклассического метода сингулярных решений Д.Т. Шона [35], позволяющий вычис-

лять вероятности многочастичного рождения. Необходимо убедиться, что построенная численная процедура воспроизводит известные результаты при малых значениях Хп.

В-третьих, при помощи разработанного численного метода необходимо получить вероятности многочастичного рождения в широких диапазонах параметров Хп и выяснить поведение вероятности в пределе больших Хп7 а также изучить свойства квазиклассических решений.

Научная новизна.

Все результаты, полученные в настоящей работе, являются новыми.

Проведенное численное моделирование процессов рассеяния классических волновых пакетов в теории Хф4 впервые позволило получить границы классически разрешённой области многочастичного рассеяния, а также найти классические полевые конфигурации, соответствующие максимальному изменению числа частиц. В результате данного исследования было впервые показано, что в этой теории процессы многочастичного рождения лежат глубоко в классически запрещённой области.

Впервые разработан численный алгоритм, реализующий квазиклассический метод сингулярных решений Д.Т. Шона для нахождения экспоненты подавления вероятности процессов многочастичного рождения. Разработанный численный метод позволил впервые надежно получить вероятности многочастичного рождения для ранее не изученного широкого интервала по \п > 1 и набора £ от 0.35т до 5т (т — масса скалярного бозона), в том числе были получены результаты в пределе Хп ^ Было непосредственно продемонстрировано экспоненциальное подавление вероятностей многочастичного рождения в теории Хф4 с ненарушенной Ъ2 симметрией.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты исследования классического рассеяния волновых пакетов в теории Хф4 продемонстрировали, что процессы многочастичного рождения ("мало" ^ "много") лежат глубоко в классически запрещённой области. Предложен-

пая численная процедура может быть использована для установления границы классически разрешённой области многочастичного рассеяния в других моде-

Численная реализация квазиклассического метода сингулярных решений Д.Т. Шона служит мощным инструментом для исследования многочастичных процессов. Она позволяет получать вероятности этих процессов для значений Ап > 1 недоступных аналитическому описанию. Полученные с помощью этого метода результаты продемонстрировали экспоненциальное подавление вероятности многочастичного рождения в скалярной теории А04 с ненарушенной Ъ2 симметрией. Также удалось найти поведение вероятности в пределе Ап ^ Разработанная численная реализация метода Д.Т. Шона может быть применена для изучения многочастичного рождения в других бозонных теориях и, в частности, в интересном случае теории А04 с нарушен ной Ъ2 симметрией, моделирующей самодействие поля бозона Хиггса Стандартной Модели.

Методология и методы исследования. При исследовании рассеяния классических волновых пакетов в теории с потенциалом А04 использовались стандартные численные методы решения уравнения поля: преобразование Фурье по пространственным переменным и метод Булирша-Штоера для решения оставшегося обыкновенного дифференциального уравнения по времени [67]. Численный поиск минимума начального числа частиц при фиксированном конечном осуществлялся при помощи стохастического варьирования полевой конфигурации и метода имитации отжига [67 69] для отбора нужных конфигураций после варьирования.

При разработке численной реализации квазиклассического метода сингулярных решений Д.Т. Шона использовались аналитические свойства сингулярных решений и метод Ныотона-Рафсона [67] для решения возникающей в этом методе граничной задачи на поле. Для ускорения вычислений использовались мощности видеокарт при помощи С110А [70]. Физические результаты восстанавливались взятием сингулярного предела в соответствии с тем, как это про-

исходит в методе Д.Т. Шона.

Положения, выносимые на защиту:

1. Проведено численное моделирование процессов классического рассеяния волновых пакетов в теории с потенциалом Аф4 и ненарушенной Ъ2 симметрией. Соответствующие классические решения характеризуются энергией Е, а также начальным и конечным числами частиц. Разработан алгоритм численного нахождения классически разрешённой области пространства параметров Е, щки^., найдена её граница для ряда значений начального числа частиц и изучены свойства классических решений вблизи этой границы. Численно продемонстрировано существование нетривиального минимального начального числа частиц при фиксироваиных Е и п^ причём щ ~ п/7 что указывает на экспоненциальное подавление процессов многочастичного рождения в столкновениях малого числа частиц.

2. Разработан и реализован численный алгоритм, позволяющий находить вероятности многочастичного рождения для произвольных энергии и числа частиц конечного состояния с помощью квазиклассического метода сингулярных решений Д.Т. Шона в скалярных теориях поля.

3. Вычислена экспонента подавления вероятности многочастичного рождения в теории с потенциалом Аф4 и ненарушен ной Ъ2 симметрией для числа частиц в конечном состоянии п > А-1. Показано, что процессы многочастичного рождения в этой теории остаются экспоненциально подавленными при произвольно больших п и фиксированной средней кинетической энергии на частицу. Численно получена асимптотика экспоненты подавления при \п ^ .

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов обоснована использованием стандартных численных методов и методов теории поля, а также их сравнением с уже известными резуль-

татами.

Публикации [42; 71; 72], подготовленные по результатам, полученным в настоящей диссертационном исследовании, были опубликованы в международных изданиях, где прошли процедуру рецензирования.

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных семинарах и конференциях:

1. Международная конференция-конкурс молодых физиков, ФИАН, Москва. 5 марта 2018 г.

2. Физика элементарных частиц и космология 2018, ФИАН, Москва. 9 10 апреля 2018 г.

3. 61-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, МФТИ, Долгопрудный. 19-25 ноября 2018 г.

4. 43rd IMPRS Workshop, Общество Макса Планка, Мюнхен. 20 марта 2019

i •

5. Young scientists forum of Moscow International School of Physics 2020, Вороново. 3-9 марта 2020 г.

6. 63-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Google Meet. 23-29 ноября 2020 г.

7. X Межинститутская молодежная конференция Физика элементарных частиц и космология 2021, Zoom. 20 апреля 2021 г.

8. International Conference on Quantum Field Theory, High-Energy Physics, and Cosmology, ОИЯИ, Дубна. 18-21 июля 2022 г.

Также по материалам диссертации были сделаны доклады на научных семинарах в Институте ядерных исследований РАН, Университете Южной Каролины, Московском физико-техническом институте и в Институте теоретиче-

ской и математической физики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Публикации. По итогам исследования были опубликованы следующие работы

• Demidov S. V., Farkhtdinov В. R. Numerical study of mnltiparticle scattering in Лф4 theory // JHEP. — 2018. — T. 11. — C. 068.

• Demidov S. V., Farkhtdinov B. R., Levkov D. G. Numerical study of mnltiparticle

ф4

Teor. Fiz. — 2021. — T. 114. — C. 723.

• Demidov S. V., Farkhtdinov B. R., Levkov D. G. Suppression exponent for

Л ф4

также были опубликованы труды конференций

• Demidov S. V., Farkhtdinov В. R. Constraints on mnltiparticle production in scalar field theory from classical simulations // EPJ Web Conf. / под ред. V. E. Volkova [и др.]. — 2018. — Т. 191. — С. 02021.

• Демидов С.В., Фархтдинов Б.Р. Многочастичное рождение в теории скалярного поля // Физическое образование в вузах. — 2018. — Т.24 — С.109-110.

• Фархтдинов Б.Р. Многочастичное рождение в теории скалярного поля // Проблемы современной физики-2016. Труды 59-й научной конференции МФТИ. — 2016. — С.136-138.

Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации, получены лично автором либо при его непосредственном участии.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и одного приложения. В Главе 1 описывается численное

исследование классически разрешённой области для процессов многочастичного рассеяния в теории с потенциалом А04. В Главе дается описание разработанного численного алгоритма, позволяющего вычислить вероятности многочастичного рождения с помощью квазиклассического метода сингулярных решений. В Главе 3 детально описываются результаты для экспоненты подавления вероятности многочастичного рождения в теории с потенциалом А04 и ненарушенной Z2 симметрией в широком диапазоне значений An и средней кинетической энергии полученные с помощью разработанного численного алгоритма. В частности обсуждаются пределы An ^тои £ ^то.В Приложении приведены детали численной реализации метода сингулярных решений, описанного в Главе 2. Объём текста составляет 118 страниц, включает в себя 32 рисунка. В списке литературы 77 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фархтдинов Булат Ринатович, 2023 год

- (

Е и 8.0 Е и 11.0

-

15

20

Рис. 1.2. Примеры начальных волновых пакетов ф(Ь = 0,г) решений, соответствующих верхней границе для набора энергий Е1 « 3, 4.5, 8 и 11, Параметры решётки: Мг = 400, Я = 20. Пунктирными линиями показаны границы пространственного интервала [г\, г2].

зом происходит это изменение в решении. В предыдущем разделе были введены выражения для начального и конечного чисел частиц (1.13), которые не зависят от времени, пока поле находится в линейном режиме. Однако можно расширить это определение и ввести величину, которую мы будем называть мгновенным числом частиц У(£), применяя формулы для положительных и отрицательных частотных частей для свободной теории, аналогичные (1.10) и (1.11), к полю в произвольный момент времени, и используя их в формуле, аналогичной (1.13). Полученное У(£) будет совпадать с У для начальной части решения и с Nf для конечной. Вне линейной области эта величина не может трактоваться как число частиц, однако она непрерывным образом интерполирует между двумя асимптотическими областями с учётом взаимодействия поля. На Рис. 1.4а изображено мгновенное число частиц У (£) для граничного решения, изображённого на Рис. 1.3. Сравнивая эволюцию поля с изменением мгновенного числа частиц, можно заметить, что основное изменение N(t) происходит в момент, когда жёсткая часть решения попадает в область взаимодействия. Например, отличиеТУ(^)

0

5

5

0.4 0

-0.4

^ 0.4 0

-0.4

0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 20

Г

Рис. 1.3. Эволюция поля = ТФ(^,Г)-, соответствующего решению на верхней границе

Йрх(Ё) ири Е ъ 6.1; = 400, Я = 20.

в моменты времени £ = 12.4 и 21.3 от асимптотических значений Щ и Nf соответственно не превосходит 5 • 10—4, что много меньше Nf — У ~ 0.072 . Такое поведение мгновенного числа частиц указывает на слабую зависимость экстремумов функционала Т от того, на каком отрезке [г\, г 2] задаётся начальная конфигурация, пока на нём умещается та часть решения, которая приводит к максимальному изменению числа частиц за рассеяние. Также численно было проверено, что неопределённость в изменении числа частиц, возникающая из-за различных способов сглаживания начальной конфигурации (см. (1.16)) не превосходит 10—3. По аналогии с мгновенным числом частиц У(£) можно ввести линеаризованную энергию Ецп (£), также полученную из выражений для частотных частей свободного поля и формулы (1.12). Её сравнение с дискрети-зованной точной энергией, определяемой выражением (1.9), даёт возможность количественно оценить насколько хорошо решение описывается линейным уравнением поля в момент времени Пример такого рода сравнения приведён па Рис. 1.4Ь. В этом случае полная энергия сохраняется на решении с относительной точностью 10—3 и совпадает с линеаризованной энергией в начале и в конце

рассеяния с относительной погрешностью порядка 10 4.

■ (а) Щ

0 5 10 15 20 25 30 35 40 г

6.2 . (Ь)

6.0 \| г

5.8 !ЬЧб 5.4 Е1т- Е- -

5.2

5.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 г

Рис, 1,4, Изменение во времени (а) мгновенного числа частиц (Ь) линеаризованной

(сплошная .пиния) и полной (пунктирная .пиния) энергий для решения, изображённого на Рис. 1.3.

Нетривиальное изменение числа частиц во время рассеяния приводит к перераспределению чисел заполнения между модами различных частот. На Рис. изображены дифференциальные распределения энергии по модам в импульсном пространстве для волновых пакетов, соответствующих начальным и конечным конфигурациям решений на верхней части границы классически разрешённой области, которые были представлены выше на Рис. 1.2. Эти распределения определены следующим образом:

\ |2 /Ак , для начального волнового пакета,

2 (1'23) шп \ Ьп\ / Ак , для конечного волнового пакета,

где Ак = я/Я. На графиках наблюдается ожидаемый сдвиг распределения в сторону малых волновых векторов для конечного состояния по сравнению с начальным. Как видно, этот эффект оказывается относительно малым даже для решений, для которых изменение числа частиц максимально. Кроме того, при увеличении энергии сталкивающихся волновых пакетов, начинают заполняться моды со всё большими волновыми векторами кп. При Е > 11 хвост

распределения уже достигает максимально доступных на рассматриваемой решётке значений кп. Это указывает на то, что для нахождения границы при больших энергиях уже потребуется дискретизация с меньшим шагом. С другой стороны, решения с энергией близкой к пороговой Е^ь = У состоят преимущественно из нерелятивистских мод и требуют больших значений Я как для их пространственного разрешения, так и для того, чтобы решение успело выйти на линейный режим за время эволюции. По этой причине мы не рассматривали решения с энергией Е меньше 1.5 на выбранной решётке (Уг = 400 и Я = 20).

0.4 0.2

0.4 0.2 о

0 20 40 60 20 40 60

к

Гьп

Рис. 1.5. Дифференциальные распределения энергии по волновому числу для начального (толстая .пиния) и конечного (топкая .пиния) волновых пакетов граничных решений, изображённых на Рис. 1.2.

Был проведён анализ численных неопределённостей в нахождении границы классически разрешённой области в плоскости (Е, Nf) да я У = 1 и решений на границе области. Для этого была изучена зависимость результатов от параметров решётки, то есть от пространственного обрезания Л и количества узлов решётки у. Для сравнения с представленными выше результатами, полученными при Я = 20 и У = 400, мы повторили ту же самую численную процедуру определения границы классически разрешённой области для случая с тем же

значением Я = 20 и большим значением У = 600, т.е. с меньшим шагом решётки, а также для случая большего значения Я = 30 и = 600, т.е. с тем же шагом решётки, но большим размером пространственной области. Сравнение результатов представлено на Рис. 1.6, где изображены верхние и нижние части границы, полученные для трёх рассмотренных вариантов параметров решётки. Пространственный интервал, на котором задавались начальные полевые кон-

Рис. 1.6. Классически разрешённая область в плоскости (Е1,Nf) при ^ = 1, найденная численно для трёх вариантов пространственной решётки: 1) Мг = 400, Я =20 (квадраты, толстая сплошная линия); 2) Мг = 600, Я = 20 (круги, пунктирная линия); 3) Мг = 600, Я =30 (треугольники, пунктирная линия); 4) Мг = 400, Я = 20, но начальные конфигурации граничных решений сдвинуты по времени (квадраты, топкая .пиния).

фигурации, был выбран [6.7 : 19.2] для случая Я = 20, = 600 и [8.5 : 29.8] для случая Я = 30, = 600. Было обнаружено, что полученные границы совпадают с точностью лучше 4 • 10-3 в рассмотренном интервале энергий (1.22). Отличие становится заметным для случая = 600, Я = 30 при больших энергиях Е > 11, что отражает большее влияние высокочастотных мод на решение. Примеры начальных конфигураций решений, соответствующих верхней границе и аналогичных приведённым на Рис. 1.2, полученные для решётки с = 600 и Я = 30, изображены на Рис. . При их сравнении с полевыми кон-

фигурациями, изображёнными на Рис. 1.2, видно, что различие заключается в увеличении длины мягкой осциллирующей части решения. Было обнаружено, что поведение мгновенного числа частиц для этих решений совпадает с представленным на Рис. 1.4а в пределах численной ошибки, связанной с дискретизацией уравнений и Распределения энергии по Фурье модам

для граничных решений с одинаковой энергией, полученных на различных решётках, также хорошо согласуются, как можно видеть на Рис. 1.8. Подобные проверки были проведены для всех представленных в данном исследовании областей классически разрешённых процессов рассеяния. Таким образом, полученные численные результаты демонстрируют существование классически разрешённой области конечного размера в плоскости (Е, Nf) при фиксированном значении ^ в модели ( ). Мы также предполагаем существование граничных решений в непрерывной версии модели.

Рис. 1.7. То же, что и на Рис. 1.2, но при Мг = 600, К = 30. Начальные волновые пакеты ф(Ь = 0, г) для решений на верхней границе с Nf = ]У™ах(Е) для набора энергий Е « 3, 4.5, 8 и 11. Пунктирная линия демонстрирует пространственный интервал, на котором задаётся начальный волновой пакет.

Отметим, что симметрии теории (1.1) приводят к существованию нескольких экстремумов — решений, характеризующихся одинаковым изменением чис-

0.4 0.2 0 0.4 0.2 0

Е и 3.0 Е и 4.5 К

Е и 8.0 Е и 11.0

/V

20

40

60 кг

20

40

60

Рис. 1.8. Распределение энергии по модам в импульсном пространстве для начальных конфигураций решений на верхней границе при Мг = 400, Я =20 (толстая линия) и Мг = 600, Я = 30 (тонкая линия). Соответствующие конфигурации изображены на Рис. 1.2 и Рис. 1.7.

ла частиц. Так действие (1.1) инвариантно относительно замены ф ^ —ф7 поэтому, очевидно, у каждого граничного решения есть аналог, с противоположным знаком амплитуды поля. Другой симметрией является сдвиг по времени, относительно которого инвариантны классическое уравнение движения (1.4) и (1.7). Эта симметрия явным образом нарушается после дискретизации задачи из-за выбора начальных конфигураций (1.15) и (1.17) при£ = = 0, что, в частности, подразумевает

П) = Х(Ь, Г2) = 0 . (1.24)

Форма начальных волновых пакетов (см. Рис. 1.2 и Рис. 1.7) и изменение мгновенного числа частиц при эволюции поля указывают на то, что аналог1 симметрии относительно сдвигов по времени существует и в дискретизованной теории. А именно, эта симметрия связывает два решения, чьи начальные конфигурации отличаются некоторым сдвигом по времени и при этом удовлетворяют условиям (1.24). При этом важно, чтобы жёсткая часть конфигурации начального вол-

0

0.04 0

_-0.04 сТ

0.04 0

-0.04

0 5 10 15 0 5 10 15 20

Г

Рис. 1.9. Половые конфигурации, соответствующие верхней границе классически разрешённой области, связанные друг с другом сдвигом но времени (толстая и тонкая .пинии) при Е ~ 3, 4.5, 8 и 11. Параметры пространственной решётки: Мг = 400, Я = 20. Пунктирные .пинии демонстрируют пространственный интервал, па котором задавалась начальная конфигурация.

нового пакета находилась внутри интервала [г\, г2], а значит в линейном режиме. В самом деле, при помощи того же численного алгоритма (сделав несколько запусков, начиная с разных стартовых конфигураций), было найдено несколько веток граничных решений, связанных друг с другом при помощи дискретных сдвигов по времени. При построении границ для Рис. 1.1 были выбраны решения, начальные волновые пакеты которых имели наиболее длинную мягкую осциллирующую часть, а их пики были расположены как можно дальше (для заданного Я и [г\, г2]) от точки г = 0. На Рис. толстыми линиями изображены начальные полевые конфигурации, соответствующие другой ветке решений на верхней границе при тех же значениях энергии, что и у представленных на Рис. 1.2. Часть конфигурации, содержащая пик, у этих волновых пакетов находится ближе к началу координат, по сравнению с решениями, изображёнными на Рис. 1.2. Также на Рис. 1.9 тонкими линиями изображены полевые конфигурации решений, представленных на Рис. 1.2, полученные в результате

эволюции во времени, позволившей еовмеетить жёсткие части обоих решений. Видно, что эти части решений с хорошей точностью совпадают друг с другом. Поскольку жёсткая часть волнового пакета ответственна за основное изменение числа частиц, можно ожидать, что решения, сдвинутые по времени будут давать близкие значения Nf. Это действительно так, и на Рис. изображена верхняя граница Жтах, полученная при Мг = 400 и Я = 20 для ветки решений, сдвинутых по времени. Она совпадает с верхней границей, полученной для решений с наиболее длинной мягкой осциллирующей частью с точностью лучше 2- 10-3.

Рис. 1.10. То же, что па Рис. 1.2 по дня решений па нижней части границы.

До сих пор мы описывали классические решения, соответствующие верхней части границы Nf = 7Vmax(i?). Примеры начальных конфигураций решений, относящихся к нижней части границы Nf = Nmin(E)7 изображены на Рис. для параметров решётки Nr = 600; R = 30. Как можно видеть, они имеют свойства качественно похожие на те, что были описаны ранее для начальных конфигураций решений вблизи верхней части границы. В этой связи стоит отметить, что в силу наличия симметрии относительно обращения времени, решение, относящееся к нижней границе с начальным N¡ и конечным

Nf числами частиц, связанно с решением, обращённым во времени, у которого начальное и конечное числа частиц меняются местами.

1.4.2. Случаи N = 0.1, 10 и 30.

Теперь мы перейдём к обсуждению зависимости полученных численных результатов от начального числа частиц 14«. На Рис. изображены верхняя и нижняя (Е) части границы классически разрешённой области для N = 0.1 и интервала по энергиям [1.5 А«, 15N¡1. Для построения этой области использовались значения /ТУ«, приведённые в ( ). Видно, что

Ё

Рис. 1.11. Область классически разрешённых процессов рассеяния в плоскости (Е,Nf) при iVi = 0.1, Nr = 600, R = 30.

максимальное относительное различие между начальным и конечным числами частиц |Nf — Nil/Ni в этом случае оказывается на два порядка меньше, чем для Ni = 1 при тех же значениях от ношения Е/Ni. Численно, число частиц изменяется не более чем на 0.33% в выбранном диапазоне энергий. На Рис. 1.12 изображены примеры начальных волновых пакетов и эволюция мгновенного числа частиц для процессов, соответствующих верхней и нижней части границы классически разрешённой области при энергии Е ~ 0.6. Простран-

ственный интервал [г\, г2], на котором задавалась начальная конфигурация, отмечен пунктирными линиями. Качественно свойства изображённых решений оказываются похожими на свойства граничных решений для А^ = 1. А именно, решения имеют жёсткую часть с острым пиком, который вызывает основное изменение числа частиц, оказываясь в области взаимодействия, и мягкую осциллирующую часть. Так же, как и в предыдущем случае А^ = 1, при поиске границы были обнаружены дополнительные ветки решений близких к границе, связанные между собой дискретным сдвигом по времени, (а) 4 Е1 ~ 0.6, верхняяграница

0 -4

4 Е « 0.6, нижняяграница

П

0 -4

10 20 г

30

10 20 г

(Ь)

0.101 0.1

0.099

- N(1) /--

---/

0.1

0

10

20 30

г

40

0.099 -50 0

10

20 30

г

40

30

N0) -"V |

50

Рис. 1.12. Примеры (а) начальных волновых пакетов и (Ь) изменения мгновенного числа частиц для граничных решений с ^ = 0.1 и Е « 0.6. Графики слева соответствуют решению на верхней границе классически разрешённой области, а графики справа — на нижней.

Теперь перейдём к описанию результатов для случая А^ = 10, в котором, как мы увидим, решения на границе качественно отличаются от аналогичных решений для меньших значений А^ = 0.1 и 1. На Рис. граница классически разрешённой области изображена при помощи толстой сплошной и толстой пунктирной линий для интервала энергий [1.5А^, 15 Аф Было обнаружено, что несмотря на то, что граница имеет форму похожую на те, что были получены для N = 0.1 и 1, обе её части, т.е. А"тах(Е) и А"™™^), определяются двумя ка-

0

0

чественно различными ветками классических решений. При энергиях меньше значений порядка 70, жёсткая часть граничных решений состоит из двух близких, но разнесённых в пространстве острых пиков. Пример начальной полевой

Е

Рис. 1.13. Область классически разрешённых процессов рассеяния в плоскости (Е,Nf) для = 10.0 Я = 600, К = 30, Части границы Ж™1"(Е) и составлены при помощи

классических решений с двумя пиками (сплошная линия) и тремя пиками (пунктирная линия). Точками показаны ветки решений, которые дают локальные минимумы функционала Т (или экстремумы

конфигурации ф(£ = 0, г), соответствующей решению при Е ~ 65 па нижней части границы, показан на левой части Рис. 1.14а. Изменение мгновенного числа частиц а также распределение энергии по модам для начальной и конечной полевых конфигураций также показаны на левой стороне этого рисунка. Осциллирующее поведение указывает на то, что начальный и конечный волновые пакеты представляют собой сумму двух разделённых в пространстве цугов волн, имеющих схожие гладкие Фурье-образы. В частности, расстояние

чальном распределении по энергии, связанны приблизительным соотношением дг^дк ~ для всех решений этой ветки. Например, решение с энергиейЕ ~ 65, изображённое на левых графиках Рис. имеют дг ~ 2.8 и 5к ~ 2.3. При

сравнении распределений по энергиям для волновых пакетов в начальный и конечный моменты времени обнаруживается, что присутствует небольшой перенос энергии из низкоэнергичных в высокоэнергичные моды. При энергиях 70

мум и максимум Nf даются другой веткой решений, чья начальная и конечная конфигурации содержат уже три пика. На правых частях Рис. 1.14 изображены начальные полевые конфигурации ф(£ = 0, г), изменение А"(£) во времени и распределения энергии по Фурье модам для начальной и конечной полевых конфигураций граничного решения при энергии Е ~ 80. У решений этой ветки,

70

из трёх разнесённых в пространстве цугов волн. Также как в случае меньших значений А^, мгновенное число частиц А"(£) претерпевает основные изменения в то время, когда часть решения, содержащая пики, попадает в область взаимодействия. Было обнаружено, что решения с двумя пиками при энергиях Е > 70 и решения с тремя пиками при Е < 70 соответствуют локальным минимумам Nf. Для выяснения этого обстоятельства мы использовали решение с двумя пиками, соответствующее нижней границе при Е ~ 65 как начальное приближение в методе стохастической выборки с Е* > 70. Чтобы не позволить решению с двумя пиками перепрыгнуть на ветку решений с тремя пиками, которое доставляет глобальный минимум А/, мы использовали относительно малую амплитуду а варьирования Фурье амплитуд /п начальной конфигурации. Таким образом, была получена ветвь решений с двумя пиками, изображённая тонкой сплошной линией на Рис. 1.13. Аналогично было получено продолжение ветки решений с тремя пиками в область Е < 70, которое показано на Рис. тонкой пунктирной линией. Решения для верхней границы обладают схожими свойствами. Отметим, что в рассмотренном интервале по энергии максимальное относительное изменение числа частиц достигает приблизительно 20% .

Также были обнаружены другие ветки решений, которые соответствуют локальным экстремумам А/ в выбранном интервале энергий. В линейном режи-

(а)

(Ь) 11 10

9

(с)

8.0

4.0

№

8.0

-а

4.0

0

Е « 65

0 10 20 30 0

г

10 20 30

г

т

^ 1

V

11 10

9 -

N0 1

ч

0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

г г

АЬаа

20 40

кп

60

20 40

ки

8.0

4.0

20

40

Ааал

60

0

Ю 60

кп кп

Рис. 1.14. Примеры граничных решений с ТУ^ = 10. (а) Начальный волновой пакет; (Ь) эволюция мгновенного числа частиц (с) распределение энергии по модам для начальной конфигурации; (4) то же, что и на рисунке (с), но дня конечной конфигурации. Рисунки относятся к решениям на нижней части границы при Е « 65 в левом столбце, а в правом — при Е1 « 80.

0

(а)

„ 4

О

1—I

-Г 0

_4

Е « 80 л лИ

у V 1/ х/ур

IV

10

20

30

10

20

30

(Ь)

12 11 10

9

т

А-

11 10

9

0

10

20 30

г

40

50

0

10

20 30

г

40

50

Рис, 1,15, (а) Начальные волновые пакеты и (Ь) эволюция мгновенного числа частиц для решений с ТУ^ = 10 и Е1 « 80 соответствующих локальным минимумам Nf. Левый столбец соответствует процессу с Nf > ТУ^, а правый — с Nf < ТУ^.

ме эти решения представляют из себя сумму двух или трёх цугов волн с одним пиком, которые отличаются от описанных ранее расстоянием между цугами. На Рис. 1.15 изображены два примера таких решений. Левые графики соответствуют решению такого типа с двумя пиками при Nf > N. Расстояние между цугами в начальной полевой конфигурации больше чем у соответствующего граничного решения с двумя пиками. Аналогично, правые графики соответствуют примеру решения при А/ < А^ с тремя пиками. Снова в этом решении расстояние между цугами несколько больше, чем у граничного, см. правый график на Рис. 1.14а. Эти две ветки решений изображены на Рис. 1.13 точками. Стоит отметить, что при А^ = 10 мы не обнаружили решений, дающих даже локальный экстремум функционалу А/(Е), чьи начальный или конечный волновые пакеты содержали бы только один пик. Мы пытались найти их, взяв граничные решения при А^ = 1 с одним пиком в качестве начального приближения и постепенно увеличивая N малыми шагам и до А^ = 10. Было обнаружено, что при промежуточных значениях А^, около 5-6, начальные конфигурации гра-

0

0

г

г

ыичыых решений разделяются на несколько цугов, что приводит к большему изменению |Nf — N | по сравнению с решением с одним цугом.

38 36 34 32

■¿Г 30

28 26 24 22

0 100 200 300 400

Е

Рис. 1.16. Область классически разрешённых процессов рассеяния в плоскости (Е, Nf) при N = 30, Использовались решётки с параметрами R = 30, Nr = 600 (сплошная линия) и R = 50, Nr = 1000 (пунктирная линия).

Ситуация ещё более усложняется при больших значениях Nj. На Рис. показаны численные результаты для границы классически разрешённой области при N = 30 и параметрах решётки R = 30, Nr = 600 (сплошная линия). Было обнаружено, что разница |N/ — N не превосходит 22% от начального числа частиц для рассмотренного интервала по энергии (1.22). Также мы обнаружили, что соответствующие граничные решения содержат уже 4-7 пиков в начальных и конечных волновых пакетах. Примеры начальных полевых конфигураций для граничных решений изображены на Рис. 1.17. В то же время было замечено, что с увеличением N число локальных экстремумов N/ также резко возрастает. Соответствующие решения имеют некоторое число цугов с расстоянием между ними, отличающимся от того, что имеет место в случае решения, соответствующего глобальному минимуму или максимуму N/. Это значительно усложняет задачу нахождения границы классически разрешённой

области, потому что, с одной стороны, численная процедура часто "застревает" в таких локальных минимумах, а с другой, разница значений Nf при одном и том же Е для разных ветвей граничных решений в некоторых случаях оказывается близкой к численной точности. По этой причине мы не можем так же детально классифицировать решения на границе в этом случае, как мы это проделали при меньших На Рис. сплошной линией представлены огибающие Утт(Е) и Утах (Е) классически разрешённой области при параметрах решётки Л = 30, Уг = 600. Мы провели дополнительную проверку этих результатов путём нахождения Утт(Е) и Утах(Е) для других параметров решётки: Л = 50 и Уг = 1000. Соответствующая граница изображена на Рис. при помощи пунктирной линии. Исходя из полученных численных результатов мы ожидаем, что число близко расположенных частей решений с пиками в начальных и конечных волновых пакетах на границе продолжит расти с ростом у.

(а)

0.1

О 0

-0.1

Е « 200 1\Им

Г / * ч/|Н

0

10 20 г

0.1

О 0

-0.1 -

Е « 200 д

урп

30

10 20 г

10

20 30

г

40

50

0

10

20 30

г

40

30

(Ь) 38 34

т

34 .1 1 30 .т.

30 26 №

50

Рис. 1.17. (а) Начальные волновые пакеты и (Ь) изменение мгновенного числа частиц дня граничных решений с У = 30 и Е ~ 200, Левый столбец соответствует Nf > УУ, а правый

- у < уу.

0

0

1.4.3. Анализ классически разрешённых областей

Интересно сравнить классически разрешённые области при разных фиксированных А«. Для этого удобно построить их в плоскости (Е/А«, Nf/iV^), см. Рис. 1.18а. Рассмотрим два решения, описывающих рассеяние волновых пакетов с разными наборами параметров, например А«(1), ivf.1^, Е «и A(2),Af ,Е (2). Тогда должно существовать решение, энергия и числа частиц в котором равны следующим суммам

А« = А(1) + А(2), iVf = А}1) +iAf2), iV = iV(1) + Е(2). (1.25)

Такое решение может быть построено явно путём объединения двух частных решений, достаточно далеко разнесённых в пространстве-времени. Это наблюдение, в частности, означает, что ширина классически разрешённой области, т.е. |Amax — Aj| или |Amm — Aj| при фиксированном отношении Е/А« должна расти не медленнее линейной функции при росте начального числа частиц А«. На Рис. 1.18Ь изображена зависимость величины | Amm — А«| от А« для двух значений фиксированного Е/А«. Для качественного сравнения на график добавлена линейная функция, изображённая тонкой сплошной линией. Видно, что зависимость | Amm — А«| от энергии замедляет свой рост и начинает приближаться к линейной функции при больших А«. Численные результаты показывают, что величина | Атах — А« | ведёт себя таким же образом. Это наблюдение может свидетельствовать в пользу существования некоторой предельной границы классически разрешённой области в плоскости (Е/А«, TVf/А«) при А« ^ го или же в области (Е/TVf, iVj/iVf) при TVf ^ го из-за симметрии А« ^ TVf (£ ^ —£).

1.5. Выводы к первой главе

Главным результатом первой главы являются классически разрешённые области многочастичного рассеяния (см. Рис. 1.1, 1.11, 1.13, 1.16 и Рис. 1.18а). Их форма позволяет судить об экспоненциальном подавлении вероятностей про-

Рис, 1,18, (а) Область классически разрешённых процессов рассеяния в плоскости (Е1 /Ni,Nf/iVi) для различных i^, (Ь) разница |iV™in — iVj| как функция от iy при фиксированном Е1 / Ni.

цессов с определёнными п., п/ и Ев квантовой теории. В частности, процессам многочастичного рождения на приведённых рисунках соответствуют области, которые получаются пределом N. ^ 0 при фиксироваином N/ или, если вспомнить про симметрию относительно отражения времени, Nf ^ 0 при фиксированном N.. Видно, что эти процессы находятся глубоко в классически запрещённой области. Это указывает на экспоненциальное подавление вероятностей этих процессов, которое подтверждается явным вычислением в следующих главах диссертации.

Интересным результатом является указание на существование линейной асимптотики у границы классически разрешённой области jTVj?1™ — N. | (или j^ymax — как функции от N.. Любопытно, что, как мы увидим в Главе 3, вероятность многочастичного рождения "мало" ^ п при числе частиц в конечном состоянии п ^ Л-1 также оказывается линейной функцией п.

В заключение отметим, что разработанный метод сможет быть применён к другим бозонным теориям.

Глава 2

Численная реализация метода сингулярных

решений

2.1. Введение ко второй главе

Вторая глава посвящена численной реализации квазиклассического метода сингулярных решений Д.Т. Шона [35], который позволяет вычислить вероятности многочастичного рождения, когда число частиц п в конечном состоянии велико. В настоящей работе этот метод применяется для теории действительного скалярного поля Хф4 ( ). Вычисляемой величиной в этом методе является инклюзивная вероятность многочастичного рождения, то есть вероятность перехода из состояния с малым числом частиц в любое из состояний с числом частиц п ^ 1 и энергией Е. Эта вероятность определяется следующим выражением (англ. few — мало)

Pfew^n (Е) = ^ К/; E.njS 610)|2, (2.1)

/

где О — некоторый оператор, рождающий начальное состояние, S — S-матри-ца, а суммирование производится по всем конечным состояниям с энергией Е и множественностью п ^ 1.

Квазиклассический метод сингулярных решений Д.Т. Шона [35] является обобщением метода Л.Д. Ландау квазиклассического вычисления матричных элементов в квантовой механике [73] на случай вероятностей многочастичного рождения в квантовой теории поля, см. также [32 34]. Он позволяет вычислить инклюзивную вероятность ( ) в режиме Л ^ 1, п ^ 1. Для этого вероятность (2.1) записанная в форме интеграла по траекториям вычисляется методом перевала. В главном квазиклассическом приближении ответ записыва-

ется в экспоненциальном виде

Г^п (Я) « е*Ь(Лп'е)/Л , (2.2)

где (Лп, г) — экспонента подавления вероятности, £ = Я/п — т, а несущественные для настоящего исследования предэкспоненциальные факторы опуще-

Важнейшим предположением для метода Д.Т. Шона является гипотеза об универсальности: если оператор О рождает при действии на вакуумное состояние в (2.1) квазиклассически малое число частиц ^ Л-то Я^(Лп, г) = Я(Лп, г) не зависит от вида оператора (9, т.е. фактически совпадает с экспонен-той подавления (10). Квазиклассическое вычисление экспоненты подавления сводится [35] к нахождению некоторого комплекснозначного решения класси-

Л п

интересующем нас пределе квазиклассически малого (^ Л-1) числа частиц в начальном состоянии эти решения оказываются сингулярными.

Несмотря на то, что этот подход является достаточно общим, ранее он был успешно применён только в режиме Лп ^ 1, когда квазиклассические конфигу-

решений к более простым конфигурациям с дополнительными симметриями упрощает их численный поиск [53; 54]. В этой главе будет описан разработанный алгоритм численного нахождения экспоненты подавления многочастично-

Л п

2.2. Метод сингулярных решений

В силу предположения об универсальности экспоненты подавления, оператор О удобно выбрать в виде

|—Л У ж З(ж) 9(0, ж) | ,

О = ехр <{ — л / З3ж З(ж) 9(0, ж) ^ , (2.3)

который описывает классический источник 3(ж), взаимодействующий с полем ф при £ = 0. Экспоненту подавления в формуле ( ), соответствующую такому оператору (9, будем обозначать как FJ(Хп,е). Легко проверить, что при действии на вакуум в свободной скалярной теории оператор ( ) рождает щ к 32/Х частиц. Если щ ^ 1 и п ^ 1, то начальное и конечное состояния позволяют применить квазиклассический подход для вычисления FJ. Если при этом 1 ^ Пг ^ А-1, чего можно достичь взяв достаточно малую амплитуду источника ^ то можно использовать гипотезу об универсальности экспоненты подавления, а значит

Е(Хп,е) = Нш ^(Хп, г). (2.4)

J

При этом универсальность гарантирует, что полученная в результате Р не будет зависеть от выбора конкретного профиля источника. Таким образом задача сводится к двум шагам: квазиклассическому вычислению Е/ при ненулевом источнике и затем взятию предела 3 ^ 0 ( ), результат которого даёт значение экспоненты подавления вероятности процесса многочастичного рождения.

Вычисление Е/ при ненулевом 3 сводится к нахождению решения классического уравнения поля с источником, подчиняющегося граничным условиям, связанным с фиксацией Хп и е. Вывод соответствующей граничной задачи проведён в работе [35], см. также работы [40; 46 51]. Вероятность (2.1) записывается в виде интеграла по траекториям. При этом в исходном действии теории (1) удобно сделать переопределение поля ф ^ ф/л/Х и проинтегрировать по частям кинетический член, что приводит к

£ = -У &4х (ф^ф + т2ф2 + фА/2) . (2.5)

В такой записи константа связи Л играет роль параметра квазиклассического разложения подобно постоянной Планка Н в квантовой механике, а само действие обращается в нуль на решениях уравнения поля в линейном режиме. Функциональный интеграл для вероятности (2.1) с учётом вида оператора (9 ( ) имеет седловой вид и при Л ^ 0 может быть вычислен методом

перевала, что приводит к набору уравнений на еедловую конфигурацию поля 0С}(/;, ж), которые зависят от 3, Лп и е. Поле 0С1 удовлетворяет классическому уравнению в присутствии внешнего источника З(ж)

□9с1 + т20с1 + 0З1 = ¿3(ж) ОД . (2.6)

Заметим, что уравнение (2.6) может быть получено путём экстремизации классического действия с источником

^ = £[0] + ^ З3ж 3(ж) 0(0, ж). (2.7)

Граничные условия для 0С1 определяются начальным и конечным состояниями в амплитуде вероятности (2.1), а также граничными членами, возникшими после интегрирования действия (1) по частям. Предполагая, что седловое решение линеаризуется при £ ^ ±го, т.е. асимптотически представляет собой сумму плоских волн, граничные условия удобно наложить на положительно и отрицательно частотные компоненты такого представления. Вакуумное1 начальное состояние в ( ) приводит к вакуумному граничному условию для решения 0С1 при £ ^ —го, и 0С1 в этом случае имеет только положительно частотную компоненту. Это позволяет сделать частичный поворот Вика и аналитически продолжить 0С1(£, ж) на контур в комплексном времени АОВ, изображённый на Рис. 2.1. В этом случае первое граничное условие заключается в том, что поле стремится к нулю в бесконечно удалённом прошлом вдоль оси евклидовою времени:

0С1(£, ж) ^ 0 при Ь ^ +гго. (2.8)

Модификация контура по времени и соответствующее изменение граничного условия упрощает численное решение задачи. В бесконечно удалённом будущем £ ^ +го квазиклассическое решение описывает состояние п свободных частиц. Оно представляет собой суперпозицию свободных волн:

/г/3 ^ е^^^

(2^)3/2—^ [ аке—'ШкЬ + Ъ—к] при +го , (2.9)

Оператор О входит в седловое уравнение ( ) и не проявляется в начальном условии.

1

л 1т £

А

0

В Ие £

Рис, 2,1, Контур АОВ в плоскости комплексного времени для квазиклассической граничной задачи (толстая сплошная .пиния со стрелками, иллюстрирующими направление эволюции) и сингулярности ¿*(ж), ^(ж), ¿"(ж) квазиклассических решений (тонкие линии, начинающиеся от закрашенных кругов или кругов с крестами). Изображение схематичное.

части соответственно. Второе граничное условие связывает между собойи следующим образом:

Можно показать [51], что эта связь соответствует конечному состоянию с фиксированной энергией Е и числом частиц п в ( ). Параметры Т и в в правой части уравнения — это множители Лагранжа, связанные с^п при помощи ста!Iдарт11ых выражений

Стоит отметить, что полный поворот Вика в граничной задаче сделать нельзя. В самом деле, && не равны нулю при всех к в случае ненулевых Е и п в силу уравнений (2.11). Поэтому положительно частотная часть решения (2.9) будет экспоненциально расти при £ ^ —¿то, что нарушит линеаризацию и сделает задание граничного условия на свободные волны в этой области невозможным. С другой стороны, квазиклассические уравнения могут быть самосогласованно сформулированы на контуре АОВ, с источником 3(ж)£(£), поставленным в углу контура — точке £ = 0. Последнее можно продемонстрировать явно, проинтегрировав уравнение ( ) по малой окрестности, содержащей £ = 0. В

где Шк = \!к2 + т2 и и — это отрицательная и положительная частотные

ак = е—Ьк .

(2.10)

(2.11)

этом случае оно переходит в выражения

<9^С1(+0, ж) — <^(+¿0, ж) = ¿3(ж), 0С1(+О, х) = 0С1(+гО, ж). (2.12)

Таким образом, можно найти решения уравнения (2.6) с нулевой правой частью на частях АО и ОВ контура по времени, а затем сшить их при £ = 0, используя уравнения (2.12). Уравнения (2.6)—(2.11) составляют полную граничную задачу для квазиклассических конфигураций 0С1(£, ж) и множителей Лагранжа Т, 9.

З

вычисляется следующим образом [35]

Е/ = 2ЛЕТ — Лп(9 — 2Л1т 5/ [0с] , (2.13)

где первые два слагаемых отражают вклад конечного состояния, а классическое действие ( ) вычисляется на 0С1. Отметим, что в соответствии с ( ) квазиклассические уравнения содержат Л п, и Е только в виде комбинаций Лп и ЛЕ. Поэтому квазиклассическая экспонента Е/ является функцией двух паЛ п

Также стоит отметить, что уравнение (2.13) является преобразованием Ле-жандра между 2Л1т 5/ и Е/, а множители Лагранжа Т и в удовлетворяют соотношениям [35]:

2Т = ё) , ' = — Ц (™>

Мы использовали уравнения (2.14) для проверки точности численной реализации метода, а также для уменьшения численных ошибок. Подробнее об этом будет рассказано в следующей главе.

Вторым этапом квазиклассического вычисления является взятие предела 3 ^ 0. С этим пределом связаны определённые сложности, так как квазиклассические решения в нём становятся сингулярными, что отражено в названии метода. Чтобы убедиться в сингулярности седловых решений приЗ ^ 0,

рассмотрим вычисленный на них функционал энергии

В(*) = ^ / [(З^сО2 + (ЗЛ)2 + т202 + 041/2] . (2.15)

Эта энергия сохраняется отдельно на евклидовой (АО) и минковской (ВО) частях контура по времени (Рис. ). В частности, В = 0 на части А0 и В = Е на части ОВ в силу граничных условий (2.8) и (2.11). Энергия испытывает скачок при £ = 0 из-за присутствия классического источника З. Таким образом мы получаем, что

ЛЕ = ЛВ(+0) — ЛВ(+Ю) = 2 / З(ж) [<%9с1(+0, ж) + <^(+¿0, ж)] , (2.16)

где последнее равенство получено с учётом уравнений (2.12). Теперь становится ясно, что <£0С1 должно стать сингулярным при £ = 0 в пределе З ^ 0, иначе Е

Сингулярная структура седловых решений 0С1 важна при аналитическом и

Е

поэтому остановимся на ней подробнее. Полезным источником информации об аналитических свойствах 0С1 является решение при Лп = ЛЕ = 0 и З = 0, которое может быть найдено аналитически [6; 35]. Оно является пространственно однородным:

0с1 (£, ж) = —гт\/2/ 8т(т£еге'). (2.17)

Здесь е' ^ +0 играет роль регулятора. Можно убедиться, что конфигурация (2.17) является решением уравнения поля с нулевым источником, имеет ак = 0, и удовлетворяет граничным условиям ( ), ( ) и ( ) при в = +го. Выражения (2.11) дают в этом случае нулевые квантовые числа для конечного состояния. Видно, что решение 0С1 имеет сингулярность при £ = 0, которая в данном случае является трёхмерной сингулярной гиперплоскостью в четырёхмерном пространстве-времени. Однако конфигурация (2.17) также сингулярна на последовательности точек £ = ^к е—ге'/т при целых к, которая при к > 0 расположена немного ниже действительной оси времени. В следующем разделе

мы продемонстрируем на численных данных, что, хотя при конечных Е и п пространственная однородность решений нарушается, качественная структура сингулярных седловых решений оказывается такой же. А именно, эти сингулярности формируют [ ; ] последовательность гиперповерхностейЬ = £*(ж), (ж), и т.д., которые схематически изображены на Рис. . Первая— "основная" гиперповерхность Ь*(х) проходит через точку = ж = 0 при 3 = 0 и сдвигается в полуплоскость 1т < 0 при ненулевом источнике. Это соответствует сингулярным (3 = 0) и регулярным (3 = 0) решениям на контуре АОВ. Мы изобразили "основную" сингулярность на Рис. 2.1 при помощи сплошной {3 = 0) и пунктирной (3 = 0) линий, начинающихся от кругов с крестами.

В итоге описанный квазиклассический метод сводится к решению граничной задачи (2.6)—(2.11) и вычислению экспоненты (2.13). Последним шагом является экстраполяция результатов в 3 ^ 0 в соответствии с уравнением ( ), что также было проделано численно. Стоит упомянуть, что в оригинальной статье [35] была предпринята попытка переписать граничную задачу (2.6)—(2.11) для непосредственно сингулярных решений, т.е. при 3 = 0, однако такой подход неудобен для построения численного метода и не используется в настоящей работе.

2.3. Сингулярная структура седловых решений

Знание поведения квазиклассических решений вблизи их сингулярностей £ = £*(ж) важно для аккуратной численной экстраполяции 3 ^ 0. Оно позволяет установить зависимость экспоненты ^/ ( ) при конечном, но малом источнике 3(ж), от его параметров и построить экстраполирующую функцию. В то же время, это знание оказывается полезным при анализе свойств сингулярных решений в комплексном времени и позволяет пролить свет на их свойства при аналитическом продолжении.

Рассмотрим седловое решение фс\ вблизи одной из его поверхностей сингу-

лярности ¿*(ж). Для этого введём евклидов временной интервал до сиигулярпо-

т = I [г - ¿*(ж)] , (2.18)

и заменим координаты в уравнении поля наг и ж. В результате этого преобразования уравнение (2.6) заменится на

- [1 - (дк¿*)2] д1фсХ + Ши дкдтфсХ + Ш* дтфсХ - АфС! + т2фс1 + ф\ = 0 , (2.19)

где к = 1, 2, 3 нумерует пространственные координаты , а Д — оператор Лапласа. В этом разделе мы будем игнорировать источник в правой части уравнения ( ), то есть рассматривать решение до и после точки £ = 0 на контуре АОВ (Рис. 2.1). Для поиска решения в непосредственной близости от сингулярности можно ввести формальный степенной ряд по г:

фа(т, ж) = ^ Сп(т, ж) тп , (2.20)

п=-1

где первый сингулярный член порядка г-1 мотивирован решением ( ). Далее мы продемонстрируем, что коэффициенты Сп не зависят от т или зависят от него медленно (логарифмически).

Подставляя выражение (2.20) в уравнение поля (2.19) мы получаем систему уравнений на коэффициенты СП) которую можно решить разрешая её относительно Сп порядок за порядком по г. В главном порядке мы получаем значение коэффициента С-1 = ^2 - 2(дк¿*)2• Уравнения для остальных коэффициентов Сп можно представить в общем виде

( -5? + 6т-2 ) (тпСп) = тп-2Яп . (2.21)

Здесь правые части Яп зависят от £*(ж), а также от коэффициеитов Ст с индексом т < п - 1. Они могут быть получены явно из уравнения (2.19). Ясно, что уравнение ( ) последовательно определяет Сп. В частности,

Сп =---——----, п = 0, 1, или 2 (2.22)

(п + 2)(п - 3)

2 По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

не зависят от т, а зависят только от ¿*(ж) и его производных.

Более детальное рассмотрение анзаца (2.20) обнаруживает два важных свойства. Во-первых, оператор в левой части уравнения (2.21) обращает в нуль функцию

7 С

<^с1 = —2г М®) + В (ж) г3 (2.23)

2

для произвольных ££ *(ж) и В (ж). Это определяет произвол, которым обладают решения уравнений (2.21): мы можем изменить поверхность сингулярности £* ^ ¿*(ж) + £ ¿*(ж) и добавить независящую от г функцию В (ж) к С3. Количество этих произвольных функций в точности совпадает с количеством граничных или начальных условий, необходимых для решения дифференциального

С3

г, иначе уравнение ( ) не будет удовлетворено при п = 3. В самом деле, левая часть уравнения обращается в нуль при С3 = В (ж), что находится в

противоречии с явным выражением

2

Яз(ж) = С" дк (—47С—!С2 <9^* + С—! йС — С! <9,С— 0 = 0. (2.24)

В частности, Дз(0) = 2л/2 [тД*(0)/3]2 = 0 при ж = 0 в сферически-симметрич-

п = 3

выражение

Сз( т, ж) = В (ж) — 1 Яз(ж) 1п(тт). (2.25)

Логарифмический вклад важен для установления аналитической структуры решения, так как теперь ясно, что сингулярность £ = ¿*(ж) является точкой ветвления.

Можно продемонстрировать, что при более высоких порядках п > 4 коэффициенты Сп(т, ж) включают степени 1п(тг), полученные из нелинейных членов в правых частях Дп. Это говорит о том, что £ = ¿*(ж) является существенной особенностью с разрезом. Стоит напомнить, что существование таких особенностей в общем решении является свойством неинтегрируемых моделей [74], к которым относится рассмотренная нами скалярная теория Л04.

Резюмируя, рекуррентные соотношения ( ) выражают все Сп(г, ж) в терминах двух произвольных функций: ¿*(ж) и В (ж). Это именно тот набор данных Коши, который требуется для решения уравнения поля второго порядка; следовательно, общее решение последнего действительно имеет вид (2.20) вблизи каждой особенности. Представление (2.20) с логарифмически зависимыми коэффициентами известно в литературе как логарифмический Ф ряд [ ].

2.4. Предел J — 0

Зная поведение седловых решений вблизи произвольной сингулярности, можно перейти к рассмотрению "главной" сингулярности вблизи £ = 0 и влиянию расположенного в этой точке источника на решение. Поэтому теперь мы восстанавливаем источник J(ж) в правой части уравнения поля ( ). Соответствующее этому случаю решение состоит из двух аналитических функций ф—(£, ж) и ф+(£, ж), определённых на частях АО и 0В комплексного временного контура на Рис. , соответственно. Функции ф±± сшиваются в^ = 0в соответствии с уравнениями ( ). А именно, эти функции совпадают в точке/; = 0, но их производная по времени испытывает скачок. Предполагая, что ф±± имеют сингулярности вблизи £ = ж = 0, мы можем записать их в виде ряда ( ) в окрестности этой точки. Таким образом, мы параметризуем две части решения ф±± с помощью функций £±(ж) и В±(ж). Условия сшивки приводят к следующим выражениям в главном порядке по £*:

,+ J (ж) *3<ж) В + В — ^ J /22РЛ

г*— ---^Г , В —В Щх) . (2'26)

Видно, что разница между двумя поверхностями сингулярности £± ~ параметрически подавлена и по £3(ж) и по J(ж) тогда как скачок параметра В может быть большим [35].

Теперь, зная условия (2.26), можно вывести зависимость решения от конкретного вида источника. В силу универсальности экспоненты подавления ве-

роятности ответ, получаемый в пределе 3 ^ 0, не зависит от конкретной формы источника, поэтому его выбор диктуется соображениями удобства. В нашем исследовании в качестве 3 мы выбрали источник в виде гауссового распределения

3(ж) = зо е-*/2а* (2.27)

с амплитудой ^ и шириной а. В пределе а ^ 0 функция ( ) стремится к точечному источнику к £(4)(ж), который использовался в оригинальной работе Д.Т. Шона [35]. Конечная ширина источника по пространству несколько облегчает численную реализацию метода. В качестве предела 3 ^ 0 используется предел, при котором амплитуда ^ стремится к нулю, а отношение ]0/а держится постоянным. Это соответствует пределу малого узкого источника. Получим

о

энергии (2.16). Поскольку ширина источника мала, интеграл в этом выражении насыщается в небольшой окрестности £ = ж = 0, где мы можем использовать приближение

^ ~ ~Г~ТТ\ ' и(г) = о + и,2Г2 + 0(г4), (2.28)

- ( )

при малых |£ - £*|, г и малом используя ведущий сингулярный член ф± ж л/2/т решения и игнорируя разницу между двумя поверхностями сингулярно-

^(х) ж го + 2 ж2 . (2.29)

Здесь комплексные параметры и 2 = ДЪ*(0)/6 характеризуют сдвиг и кривизну поверхности сингулярности при х = 0. Выражение ( ) принимает вид,

3(ж) З3х ^2

ХЕ ж -

л/2

(г М)1/2(* и, 2)3/2