Программное обеспечение численного исследования автономных систем в приложениях и учебном процессе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гайнова, Ирина Алексеевна

• Гайнова, Ирина Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гайнова, Ирина Алексеевна

Введение

1 Обзор численных методов анализа автономных систем

1.1 Численное интегрирование жестких систем.

1.2 Построение диаграмм стационарных решений методом продолжения по параметру.'.

1.3 Исследование устойчивости стационарных решений

1.4 Одно- и двупараметрический анализ стационарных решений

2 Базовые алгоритмы пакета программ STEP

2.1 Алгоритм метода продолжения по параметру.

2.2 Исследование устойчивости стационарных решений по методу Годунова - Булгакова в зависимости от параметра

2.3 Численные схемы интегрирования Розенброка и Гира

2.4 Построение бифуркационных кривых «овражным методом»

3 Численное исследование математических моделей из приложений 68 3.1 Примеры модельных задач учебного курса.

3.2 Математическая модель поверхностных процессов в реакции окисления СО на иридии.

3.3 Математическая модель регуляции внутриклеточного биосинтеза холестерина.

4 Организация численного эксперимента в пакете STEP

4.1 Ввод и вывод информации.

4.2 Работа с моделью в диалоговом режиме

4.3 Раздел «Задача Коши».

4.4 Раздел «Нелинейные системы».

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Программное обеспечение численного исследования автономных систем в приложениях и учебном процессе»

Актуальность

При изучении многих прикладных задач важную роль играет вычислительный эксперимент, предоставляя возможность более глубокого понимания существа изучаемых процессов через исследование соответствующей математической модели. Кроме того, в ряде случаев моделирование процессов в лабораторных или натурных условиях сложно и дорого.

Для проведения численного исследования физического процесса необходимо:

- построить физическую модель процесса, т. е. найти закономерности, позволяющие судить о характере протекания процесса (это, например, схемы кинетических реакций, уравнения теплового баланса, равновесия, законы сохранения и т. п.);

- построить математическую модель, в нашем случае в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

- найти решения системы дифференциальных уравнений, применяя методы численного интегрирования;

- провести численное исследование поведения решений в зависимости от параметров системы;

- сопоставить полученные результаты с известными качественными представлениями о характеристиках изучаемого физического процесса.

В работе предлагается пакет программ STEP, предназначенный для численного исследования автономных систем из п уравнений общего вида: = (0.0.1) где х = (si,. ,£„) £ Rn - фазовые (динамические) переменные, р = р1,.,^"1) € Rm - скалярные параметры, от которых зависит модель, fi(x>p)i • • • > fn{x,p) ~ достаточно гладкие функции переменных и параметров.

Как отмечается, например, в [73], достаточно полное аналитическое исследование автономных систем (в том числе и бифуркационный анализ) возможно, как правило, лишь для систем специального вида. Поэтому важна роль численных методов, составляющих основу организации численного эксперимента при изучении качественных характеристик поведения решения, и разработок программного обеспечения, использующего эти методы.

Востребованность разработок программного обеспечения такого рода состоит в том, что многие математические модели из приложений формулируются в терминах автономных систем дифференциальных уравнений. Из литературы известен ряд программных комплексов типа пакета STEP, реализующих численные алгоритмы качественного анализа автономных систем. В частности, много работ было посвящено изучению бифуркаций в гидродинамике (см., например [5]). Для изучения бифуркаций в биологических системах были созданы (НИИВЦ АН СССР, Пущино) такие программные комплексы, как LINLBF [98] и более поздние его модификации, L0CBIF [99] и CONTENT [101]. Можно также назвать такие широко известные пакеты программ, как DERPAR [83] и AUTO [85]. Для интегрирования задачи Коши применяются, например, комплекс программ MADONNA, см. http://www.berkeleymadonna.com/, пакеты GEAR [82] и DIFFSUB [87].

Опыт работы с приложениями показывает, что решение конкретных задач на практике оказывается затруднительным в случае применения готовых комплексов программ, являющихся, как правило, коммерческим продуктом, закрытым для доступа к текстам программ. В этом случае применение так называемого «черного ящика» может вызвать затруднения при организации численного эксперимента. Кроме того, в рамках используемого комплекса программ может оказаться проблематичным и привлечение новых алгоритмов.

На основе вычислительных алгоритмов, разработанных в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, было создано программное обеспечение численного исследования автономных систем, включающее в себя, в частности, оригинальный вариант метода продолжения для решения систем нелинейных уравнений, зависящих от параметра, определение устойчивости стационарных решений по методу Годунова - Булгакова в зависимости от параметра, алгоритмы проведения одно- и двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Постановка задачи

Приведем несколько определений, связанных с постановкой задачи. Пусть xi = ipi(t), x2 = (p2{t), txn = (pn(t),

- какое-нибудь решение системы (0.0.1). Множество точек ip(t) = {<Pi(t), if2(t), • • • ,<Pn(t)), где t принимает все значения, при которых определено решение Х\,Х2,. ,хп, называется траекторией, соответствующей данному решению, или фазовой траекторией.

По определению, фазовый портрет системы есть совокупность всех ее траекторий x\(t).xn(t), изображенных в пространстве фазовых переменных Rn (фазовом пространстве) при фиксированных значениях параметров (см. [б], [7]). Решая задачу Коши с различных начальных данных, мы можем построить фазовый портрет системы при некоторых фиксированных параметрах модели.

При изменении какого-либо параметра системы может произойти качественное изменение - бифуркация - установившегося режима при некотором значении параметра, которое будем называть критическим. Очевидно, что фазовый портрет изучаемой системы при этом меняется. Так, в случае, когда стационарное решение теряет устойчивость при критическом значении параметра, может возникнуть замкнутая траектория (предельный цикл) - бифуркация Андронова - Хопфа или, иначе, комплексная бифуркация. Другим возможным проявлением нелинейности модели является существование критического значения параметра, при котором возникает множественность решений.

Говорят, что разбиение пространства параметров Rm на области с качественно различными типами динамического поведения определяет бифуркационную диаграмму.

Качественные, топологические перестройки фазовых портретов динамических систем уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров системы описываются теорией бифуркаций. Изложение основных методов теории бифуркаций и результатов, полученных в этой области, начиная с основополагающих работ А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и А. А. Андронова, можно найти, например, в работах [2], [3], [б], [7], [73].

При проведении численного эксперимента наибольший интерес представляет качественная картина, сохраняющаяся при изменении фазового портрета системы. Это прежде всего вопросы о характере режимов, которые устанавливаются в системе по завершении переходного процесса: число состояний равновесия, отвечающих стационарным режимам данной системы, и их устойчивость; возможность существования предельных циклов, отвечающих режимам периодических колебаний и т. п. Очевидно, что построение бифуркационной диаграммы в совокупности с соответствующими фазовыми портретами позволит ответить на вопросы о возможных в системе динамических режимах и их качественных перестройках.

Предметом диссертационной работы являются вопросы организации численного эксперимента с помощью вычислительных средств, которые позволяют проводить качественное исследование автономных систем вида (0.0.1) в зависимости от параметров и систем нелинейных уравнений, не обязательно являющихся правыми частями автономных систем. Применение пакета программ STEP при проведении численного эксперимента предоставляет следующие возможности.

• Численное интегрирование задачи Коши для автономной системы с целью выхода на стационарный режим, либо с целью получения колебательного режима. Определение периода колебаний в режиме диалога и нахождение решения задачи Коши при изменении значения параметра в процессе счета.

• Построение связных ветвей стационарных решений в зависимости от выбранного параметра модели методом продолжения по параметру, с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот.

• Численное исследование устойчивости найденных стационарных решений на основе теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

• Обнаружение на диаграмме стационарных решений точек, в которых возможна бифуркация Андронова - Хопфа.

• Проведение двупараметрического анализа стационарных решений автономной системы.

Цели и задачи работы

• Разработка пакета программ, предназначенного для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида и систем нелинейных трансцендентных уравнений.

• Применение пакета STEP в качестве математического обеспечения учебного процесса в курсе «Инженерная химия каталитических процессов».

• Организация численного эксперимента с помощью пакета программ STEP для выявления качественных свойств конкретных математических моделей из приложений.

Научная новизна

В работе представлено программное обеспечение численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, оформленное в виде пакета программ STEP. В пакете STEP использованы вычислительные алгоритмы, ориентированные на изучение систем произвольной размерности. Применение этих методов дает возможность эффективно организовать численное исследование математических моделей в зависимости от параметров. Кроме того, указанные вычислительные алгоритмы учитывают возможность проявления нелинейных эффектов, которые, как правило, присутствуют в математических моделях, описывающих «нелинейные» процессы (гистерезис, сильная параметрическая чувствительность, возникновение автоколебаний и т.д.).

Предложен и программно реализован новый алгоритм, расширяющий возможности численного построения бифуркационных кривых для автономных систем из п уравнений.

Представленный в работе пакет программ STEP применялся для решения многих прикладных задач (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]). Как показала практика, пакет легко адаптируется к моделям из различных приложений благодаря использованию в пакете алгоритмов универсального типа.

Применение пакета STEP в учебном процессе показано на примерах модельных задач вычислительного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов». Вычислительный практикум, в качестве программного обеспечения которого используется пакет STEP, разработан на кафедре катализа и адсорбции НГУ.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей поверхностные процессы, протекающие в реакции окисления СО на иридии. Полученные для этой модели результаты являются новыми.

Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию внутриклеточного биосинтеза холестерина, в зависимости от параметров модели и построена матрица параметрической чувствительности.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Библиография содержит 108 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гайнова, Ирина Алексеевна

Заключение

В работе получены следующие основные результаты.

1. На основе эффективных вычислительных алгоритмов разработано программное обеспечение для численного исследования автономных систем ОДУ общего вида, зависящих от параметров, которое оформлено в виде пакета программ STEP. Базовые алгоритмы пакета программ включают в себя:

• методы интегрирования жестких задач: многошаговый метод Гира переменного порядка точности и полунеявный метод Розенброка 2-го порядка;

• метод продолжения по параметру для построения связных ветвей стационарных решений с учетом возможного существования точек ветвления типа поворот;

• метод Годунова - Булгакова для определения устойчивости по Ляпунову стационарных решений.

2. Разработан и программно реализован новый алгоритм построения бифуркационных кривых в параметрической плоскости двух параметров.

3. Представлен вариант пакета программ STEP, написанный на языке Microsoft FORTRAN и реализованный в операционной среде DOS. Пакет предназначен для работы на IBM-совместимых компьютерах в среде MS-DOS. Пакет может также работать в среде эмуляции MS-DOS под WINDOWS 95, 98. Модель для исследования формируется в текстовом редакторе (либо с помощью конвертор-программы) и сохраняется в «банке» моделей. Вход в пакет организован таким образом, чтобы существовала дополнительная возможность вводить данные, полученные вне рамок пакета STEP. Результаты расчетов на выходе оформляются в табличном и графическом виде. Трансляция и компиляция программы расчета для каждой модели осуществляется в автоматическом режиме. Многооконный графический интерфейс пакета позволяет проводить исследование моделей в режиме диалога.

4. Проведено численное исследование математической модели реакции окисления СО на иридии. Было обнаружено, что предложенная модель [25], описывающая модификацию поверхностных центров, приводит к таким кинетическим явлениям, как гистерезис сложной формы, ме-тастабильные состояния реакции, автоколебания и медленные релаксации скорости при резком изменении внешнего параметра реакции (давления или температуры). В реальном диапазоне параметров модели были найдены области возникновения автоколебаний и построены области множественности решений.

5. Проведено численное исследование математической модели, описывающей регуляцию биосинтеза холестерина в клетке крови. Построены зависимости концентрации холестерина от параметров модели, являющихся, в биологическом смысле, константами скоростей реакций элементарных процессов, происходящих в клетке. Для указанных параметров построена матрица параметрической чувствительности.

6. Подготовлена и внедрена версия пакета STEP, которая используется в качестве программного обеспечения компьютерного практикума учебного курса «Инженерная химия каталитических процессов»на кафедре катализа и адсорбции факультета естественных наук НГУ. Пакет STEP в течение ряда лет применяется для научных исследований, о чем свидетельствует ряд публикаций (см. [9], [26], [28], [33], [50], [57] - [66], [68], [79], [88], [89], [91] - [95], [104]).

Всего список публикаций по теме диссертации включает в себя 31 работу: 8 статей, 2 препринта, учебное пособие и 20 тезисов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гайнова, Ирина Алексеевна, 2003 год

1. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. Л.: Химия, 1989.

2. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: НИЦ «Рег. и хаотич. динамика»; МЦНМО, 2002.

3. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.» Т. 5. М.: Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР, 1986.

4. Арушунян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.

5. Бабенко К.И. Об использовании ЭВМ при исследовании гидродинамической устойчивости. В сб.: Исследование гидродинамичесой устойчивости с помощью ЭВМ. - М.: ИПМ АН СССР, 1981. - С.с. 5-79.

6. Базыкин А.Д., Кузнецов Ю.А., Хибник А.И. Портреты бифуркаций. -М.: Знание, 1989.

7. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

8. Березин А.Ю., Гайнова И.А., Фадеев С.И. Пакет программ STEP. Новые возможности. Новосибирск: Тезисы Сибирской конференции «Методы сплайн-функций», посвященной памяти Ю.С.Завьялова. Изд-во Ин-та математики, 2001. - С.с. 17-18.

9. Бесков B.C., Флокк В. Моделирование каталитических процессов и реакторов. М.: Химия, 1989.

10. Боресков Г.К. Гетерогенный катализ. Новосибирск: Наука, 1986.

11. Воронин А.И., Низовский А.И., Елохин В.И. Экспериментальное обоснование механизма реакции С0+02 на иридии и его численное моделирование. Сб. трудов IV Всес. Конф. по механизму каталитических реакций, Москва, 1986. - С.с. 196-200.

12. Воронин А.И., Низовский А.И. Реакция окисления окиси углерода на иридии. Новосибирск: Механизмы адсорбции и катализа на чистых поверхностях металлов. Сб.науч.тр., 1989. - С.с. 39-61.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

14. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. О некоторых способах управления сложными системами Успехи мат. наук, Т. 17, 1(103), 1962. - С.с. 3-25.

15. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во НГУ, Т. 1, 1994.

16. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

17. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. ДАН СССР, Т.88, N 4, 1953. - С.с. 601-602.

18. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.

20. Демидов Г.В., Новиков Е.А. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Численные методы механики сплошной среды, Т. 16, N 1, 1985. - С.с. 27-42.

21. Дятлов В.Л., Коняшкин В.В., Потапов Б.С., Фадеев С.И. Пленочная электромеханика. Новосибирск: Наука, 1991.

22. Елохин В.И., Яблонский Г.С. Кинетические модели каталитических реакциий, учитывающие воздействие реакционной среды. Новосибирск: Взаимодействие катализатора и реакционной системы. Сб.науч.тр., 1988. - С.с. 86-108.

23. Елохин В.И., Воронин А.И. Моделирование реакции СО + Ог на иридии. Новосибирск: Механизмы адсорбции и катализа на чистых поверхностях металлов. Сб.науч.тр., 1989. - С.с. 62-76.

24. Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В., Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Параметры модели, численный анализ, сравнение с экспериментом. ТОХТ, 1997, Т. 31, N 5, С.с. 516 - 523.

25. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. Новосибирск, Наука, 1988.

26. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наук, думка, 1986.

27. Иоффе И.И., Письмен Л.М. Инженерная химия гетерогенного катализа. -Л.: Химия, 1972.

28. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1989.

29. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001.

30. Колчанов Н.А., Ананько Е.А., Колпаков Ф.А.,Подколодная О.А., Игнатьева Е.В., Горячковская Т.Н., Степаненко Е.Л. Генные сети. Мол. Биол. (Москва), т. 34(4), 2000. - С.с. 533-544.

31. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т.1. Минск: Высшая школа, 1972.

32. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

33. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М.: Химия, 1969.

34. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Ратушный А.В., Ананько Е.А., Игнатьева Е.В., Подколодная О.А. Обобщенный химико-кинетический подход для моделирования генных сетей. Мол. Биол. (Москва), т. 35(6), 2001. - С.с. 1072-1079.

35. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Фадеев С.И. Задачи теории функционирования генных сетей. Сиб. журн.индустриальной математики, (Новосибирск), т. 6, N 2(14), 2003. - С.с. 64-80.

36. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру./ Отв.ред. С.К.Годунов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

37. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложение. М.: Мир, 1980.

38. Математическое моделирование химических реакторов /под ред. Г.И.Марчука. Новосибирск: Наука, 1989.

39. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск, Наука, 1997.

40. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

41. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

42. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения диффе- . ренциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

43. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

44. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000.

45. Сеттерфилд Ч. Практический курс гетерогенного катализа. М.: Мир, 1984.

46. Слинько М.Г. Пленарные лекции конференций по химическим реакторам: «Химреактор-1» «Химреактор-3». - Новосибирск: 1996.

47. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./ Редакторы Дж.Холл и Дж.Уатт. М.:Мир, 1979.

48. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Ленинград: Гос.Издат., 1950.

49. Фадеев С.И. О решении систем трансцендентных уравнений с параметром методом Ньютона. Новосибирск: Изд-во Института математики СО АН СССР, Препринт ИМ СО РАН, N 72, 1984.

50. Фадеев С.И., Иванов Е.А., Гайнова И.А. Комплекс программ численного исследования стационарных режимов в реакторах полного смешения. Школа-семинар «Динамика процессов и аппаратов непрерывной технологии», г.Яремча. Реферат доклада в Хим.пром., N 5, 1991.

51. Фадеев С.И., Гайнова И.А. Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений. Новосибирск: Препринт ИМ СО РАН, N 13, 1994.

52. Фадеев С.И., Гайнова И.А. Пакет программ STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений. Вычислительные технологии (Сб. научных трудов), Новосибирск, ИВТ СО РАН, т. 4, N 10, 1995. - С.с. 275-289.

53. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю. Применение пакета STEP для численного исследования систем нелинейных уравнений и автономных систем общего вида. Новосибирск: Препринт ИМ СО РАН, N 14, 1995. - 52 с.

54. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю., Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Нестационарная модель и стационарные режимы. -ТОХТ, т.31, N 4, 1997. С.с. 440 - 446.

55. Фадеев С.И., Гайнова И.А., Березин А.Ю., Ермакова А., Пай З.П., Гудков А.В. Основы «химической» модели жидкофазной реакции Клауса. Стационарные режимы при частичной замене раствора. ТОХТ, т.31, N 6, 1997. - С.с. 634-637.

56. Фадеев С.И., Савченко В.И., Иванов Е.А., Березин А.Ю., Гайнова И.А. Исследование математических моделей каталитической реакции окисления СО на неоднородной поверхности. Новосибирск: Сплайны и