Применение в математическом моделировании сплайн-функций с минимальной нормой производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ингтем, Женни Гастоновна

• Ингтем, Женни Гастоновна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ингтем, Женни Гастоновна

Введение

I Построение сплайна с минимальной производной

1.1 Построение квадратичного сплайна с минимальной нормой производной.

1.2 Построение двумерного параболического сплайна с минимальной нормой производной.

1.3 Построение кубического сплайна с минимальной производной

1.4 Применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах интерполяции.

ТТ О о и и *. п ах ^плйип ^ минимально*! кормой производной б задачах аппроксимации.

II. 1 Построение сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной.

11.2 Построение двумерной сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной.

11.3 Построение метода решения интегрального уравнения первого рода при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

III Применение сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравираз-ведки.

III. 1 Аппроксимация результатов математического моделирования в двумерном случае.

III.2 Аппроксимация результатов математического моделирования в трехмерном случае.

III.3 Использование сплайна с минимальной нормой производной в задачах аналитического продолжения гравитационного потенциала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение в математическом моделировании сплайн-функций с минимальной нормой производной»

Методы математического моделирования в настоящее время во многом определяют эффективность решения задач науки и техники. Создание суперЭВМ с большими вычислительными ресурсами позволяет решать сложные нелинейные задачи. При математическом моделировании широко используются сплайн-функции. Настоящая диссертация рассматривает следующие области применения сплайн-функций:

1. Интерполяция данных, полученных при математическом моделировании, с целью аналитического задания расчетных характеристик в зависимости от параметров задачи.

2. Аппроксимация наблюденных данных для пересчета их на заданную сетку, используемую при математическом моделировании.

3. Использование сплайн функций при решении интегральных уравнений и аналитическом продолжении потенциала.

Полученные при математическом моделировании результаты на сетке значений параметров, не предоставляют достаточно условий для построения сплайна. Необходимо дополнительно задать краевые условия, которые позволяют построить сплайн. В качестве таких краевых условий выступают условия периодичности или же дополнительно задаются значения производных, чаще всего на границе. Например, в случае квадратичного сплайна задается значение первой производной в начальной точке, а в случае кубического сплайна необходимо задать два значения производной в соседних очках или задать значения первой и второй производной в начальной точке. Можно задать производную в начальной точке, используя разностную производную по имеющимся значениям на сетке. Необходимо заметить, что сплайн функция обладает свойством появления колебаний, амплитуда которых растет по мере удаления от начальной точки. Чем с большей погрешностью задана производная в начальной точке, тем раньше возникают колебания в сплайн функции. В диссертации предлагается условие в начальной точке определять из минимума нормы производной сплайна; это позволяет точнее определить условие в начальной точке и подавить возникающие колебания. Такой сплайн позволяет аппроксимировать результаты математического моделирования на большем отрезке. В диссертации рассматривается построение квадратичных и кубических сплайнов, норма первой производной которых достигает своего минимума. Такие сплайны позволяют эффективно решать задачи аппроксимации данных математического моделирования.

При моделировании сложных систем расчеты проводятся в зависимости от параметра на сетке с крупным шагом. Полученные результаты в дальнейшем необходимо интерполировать, что обычно проводится с помощью сплайн-функций. Однако, большой шаг сетки приводит к возникновению и наращиванию ошибок. В данной работе за счет минимизации нормы производной сплайна интерполяция производится именно таким сплайном, который проходит через заданные значения и обладает минимальной нормой производной, что позволяет в определенной мере сдерживать накопление ошибок.

Во многих задачах обработки экспериментальной информации требуется проводить сглаживание результатов для дальнейшего использования их в обратных задачах. Применение сплайна с минимальной нормой производной позволяет получить необходимое гладкое решение. Обычно при восстановлении функции по заданным на некотором отрезке значениям, дополнительно задаются краевые условия, чаще всего, это значения производных (первой или второй) в начальной точке. Если производные не заданны, то необходимо использовать методы приближения высокой точности для их вычисления. В случае сплайна с минимальной нормой производной, краевые значения производной, как раз, находятся из условия минимума нормы первой производной. Нередко для хорошего сглаживания экспериментальных данных, возникает необходимость в высокой точности вычислений и в данных, измеренных с мелким шагом. Свойство минимальной нормы производной позволяет построить хороший аппроксимационный сплайн по данным, полученным приближенно, с достаточно крупным шагом измерений.

При решении обратных задач часто необходимо решать интегральные уравнения 1-ого рода, для которых можно эффективно построить математическую модель при помощи сплайна с минимальной нормой производной. Особенно, настоящая работа обращает внимание на задачу решения интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода. Эта задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач, решению которых посвящено много литературы, в частности: [6], [8], [17], [26]—[30], [34]. Наиболее успешно она решается с помощью метода регуляризации Тихонова [17], [27]—[29], который основывается на минимизации сглаживающего функционала. Метод регуляризации сводит задачу нахождения решения, устойчивого к малым колебаниям правой части, к построению минимизирующего функционала и определению параметра регуляризации при стабилизаторе. В качестве стабилизатора, зачастую, берется норма производной сплайна, приближающего решение в пространстве интегрируемых с квадратом функций.

Хотя квадратичные сплайны, вообще говоря, не являются устойчивыми по отношению к погрешности в исходных данных, минимальная норма производной ограничивает возможность сильной осцилляции сплайна. Эта особенность позволяет применять сплайн с минимальной нормой производной в задаче решения интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода. Поскольку при этом сплайн заведомо строится с минимальной нормой производной, то выдвигается гипотеза, что стабилизатор можно опустить, а для решения, полученного с помощью минимизации сглаживающего функционала, построить сплайн аппроксимацию. Таким образом, алгоритм решения данной задачи состоит из двух этапов: на первом этапе строится решение интегрального уравнения при помощи сплайна с минимальной нормой производной, а на втором этапе производится аппроксимация полученного решения интегрального уравнения для нахождения искомого решения. Применение разработанного сплайна позволяет построить достаточно простой алгоритм для решения интегральных уравнений и получить эффективное решение по небольшому количеству заданных значений в правой части. Данный подход является достаточно выгодным, особенно, когда в правой части интегрального уравнения стоят данные экспериментальных измерений.

В задачах аппроксимации часто используются сплайны, получаемые на основе метода регуляризации Тихонова [6], [8], [17], [26]. Для построения таких сплайнов, как было отмечено выше, требуется построить и минимизировать сглаживающий функционал и подобрать параметр регуляризации при стабилизаторе. Измерительный шаг в таких задачах должен быть достаточно мелким.

Предложенный в работе алгоритм решения интегрального уравнения первого рода позволяет получить довольно хорошее решение при малом количестве заданных значений правой части. Процесс поиска решения сводится к построению аппроксимационного сплайна, обладающего свойством минимальной нормы производной.

Данный алгоритм может использоваться в обратных задачах математической физики. В частности, в диссертации исследовалась задача о продолжении потенциала в сторону источников. Как известно, задача аналитического продолжения состоит в определении по гравитационному потенциалу, полученному на дневной поверхности земли, информации о размере, форме, глубине, расположении залегания его источников и т.д. В настоящей работе, с помощью разработанного алгоритма решения интегрального уравнения, была построена и исследована математическая модель задачи аналитического продолжения поля ниже поверхности земли. Также была смоделирована ситуация, когда рядом расположены два источника на разных глубинах. Полученный результат показывает эффективность данного метода.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. В первой изучается вопрос построения сплайна с минимальной нормой производной, вторая глава посвящена использованию сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации, третья глава рассматривает использование разработанного сплайна при математическом моделировании задач гравиразведки.

Первая глава: построение сплайна с минимальной производной посвящена построению сплайна с минимальной нормой производной. В первом параграфе описывается метод построения одномерного сплайна и исследуется порядок приближения такого сплайна. Во втором параграфе рассматривается двумерная задача построения сплайна с минимальной нормой производной. Третий параграф посвящен применению свойства минимальной нормы к кубическим сплайнам. В четвертом параграфе рассматривается применение сплайна при интерполяции данных.

Вторая глава: сплайн с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации. Первый параграф посвящен построению метода решения задачи аппроксимации на основе сплайна с минимальной нормой производной. Во втором параграфе рассматривается двумерный случай задачи аппроксимации. В третьем параграфе решается интегральное уравнение первого рода на основе метода регуляризации Тихонова. Метод регуляризации строится с учетом свойства минимальной нормы производной таким образом, чтобы не прибегать к стабилизатору.

Третья глава: применение сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравиразведки. В первом параграфе рассматривается аппроксимация результатов математического моделирования в двумерном случае. Здесь исследуется плоская задача определения гравитационного потенциала. Во втором параграфе рассматривается трехмерный случай аппроксимации результатов математического моделирования. Третий параграф посвящен построению математической модели задачи аналитического продолжения гравитационного потенциала при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ингтем, Женни Гастоновна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан алгоритм построения квадратичного и кубического сплайнов с минимальной нормой первой производной, что позволяет уменьшить погрешность сплайн аппроксимации результатов математического моделирования. Разработан алгоритм построения двумерного параболического сплайна, который сводится к последовательному построению одномерных сплайнов с минимальной нормой производной.

2. Показано, что применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации позволяет обходиться без стабилизатора, то есть регуляризация задачи достигается с помощью свойства самого сплайна.

3. Исследовано применение сплайна при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода и математическом моделировании задач грави-разведки. В частности, рассмотрена задача аналитического продолжения и получено хорошее решение этой задачи при помощи сплайна с минимальной производной.

Заключение

В настоящей диссертации рассмотрена задача построения сплайна, обладающего свойством минимальной нормы производной и применение такого сплайна в задачах интерполяции и аппроксимации. На основе полученного сплайна разработан новый подход к методу регуляризации для решения интегральных уравнений 1-го рода. А так же рассматривается применение данного сплайна при математическом моделировании задач гравиразведки.

Квадратичные сплайны сами по себе интересны тем, что алгоритм построения таких сплайнов является простым и экономичным в том смысле, что не требуется запоминания большого количества значений при построении. Недостаток состоит в том, что, вообще говоря, квадратичные сплайны не являются устойчивыми по отношению к погрешности в исходных данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ингтем, Женни Гастоновна, 2011 год

1. Альберг Дж. Нильсон Э. Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. Москва. Мир. 1972

2. Василенко В.А. Сплайн функции: теория алгоритмы программы, Новосибирск, Наука 1983.

3. Верлань А.Ф. Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова Думка, 1986.

4. Гласко В.Б. Мудрецова В.Н. Страхов В.Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии.//Некоторые задачи естествознания: сб. статей под ред. А.Н. Тихонова, J1.B. Гончарского. М.:Изд-во МГУ,1987.

5. Гласко В.Б. Володин Б.А. Мудрецова В.Н. Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии на основе метода регуляризации.//изв. АНСССР физика земли 1973 №2 с. 30-41.

6. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во. МГУ 1983.

7. Гребенников А.И. О выборе узлов при аппроксимации функции сплайнами.// Ж.В.М. и М.Ф. 1976 т16 М с.219-223

8. Гребенников А.И. сплайн аппроксимационный метод решения некоторых некорректных задач.//ДАНСССР 1988 Т298 №3 с.533-537.

9. Гребенников А.И. О явном методе аппроксимации функций одной и многих переменных сплайнами.//Ж.В.М. и М.Ф. 1978 т. 18 №4 с.853-859.

10. Дмитриев В.И., Ингтем Ж.Г. Использование сплайн аппроксимации при решении интегрального уравнения первого рода. //Прикладная математика и информатика //№14, (стр. 5-10). Труды факультета ВМиК МГУ, М., 2003.

11. Дмитриев В.И., Ингтем Ж.Г. двумерный сплайн с минимальной производной. //Прикладная математика и информатика //№33, (стр. 101-107). Труды факультета ВМиК МГУ, М.: МАКС Пресс 2009.

12. Завьялов Ю.С. Квасов Б.И. Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1980.

13. Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов.// Тр.МИАН 1975 Т.138 с.71-93.

14. Ингтем Ж.Г. Сплайн функция с минимальной нормой производной в задачах интерполяции и аппроксимации// Вестник Московского Университета Вычислительная математика и кибернетика №4, 2008, с. 16-27.

15. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1984.

16. Лаврентьев М.М Романов В.Г. Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука, 1980.

17. Морозов В.А. Регулярные методы.решения некорректных поставленных задач. М.: Наука 1987.

18. Самарский Л.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука 1978

19. Силаев Д.А., Якушина Г.И. Приближение S-сплайнами гладких функций. В кн.: Труды семинара имени И. Г. Петровского. Вып. 10. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.197.

20. Силаев Д.А., Амилющенко A.B., Лукьянов А.И.,Коротаев Д.О. Полулокальные сглаживающие сплайны класса С1. В кн.: Труды семинара имени И.Г.Петровского. Вып. 26, 2007, с. 347-367.

21. Силаев Д.А. Дважды непрерывно дифференцируемый полулокальный сглаживающий сплайн. Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, 2009, №5, с. 11 -19

22. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике, М.: Наука 1976.

23. Субботин Ю.Н. О кусочно-полиномиальной интерполяции.// Математические заметки. 1967 Т.1 вып.1 с.63-70. с. 1043-1058.

24. Субботин Ю.Н. Вариация на тему сплайнов.// Фундаментальная и прикладная математика. 1997 ТЗ вып.4 с. 1043-1058.

25. Субботин Ю.Н. Приближение производных интерполяционных сплайнов.// Тр. Мат. Инст-та Стеклова РАН 2003 Т.243. с.320-333.

26. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М.: Наука 1979.

27. Тихонов А.Н. Некорректно поставленные задачи и методы их решения.// Методы решения некорректных задач и их применение. Тр. всесоюзной школы молодых ученных. М.: МГУ 1974 с. 6-11.

28. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАНСССР 153 Ж 1963 с.4-9.

29. Тихонов А.Н. О некорректных поставленных задачах.// Вычислительные методы и прогр.вып.8 1967

30. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода методом регуляризации// ЖВМ и МФ 1964 Т.4 №3 с.564-571.

31. V.I.Dmitriev, J Ingtem Solving an integral equation of the first kind by spline approximation// Computational mathematics and modeling vol.15 №2 AprilJune 2004//Kluwer academic consultants bureau.

32. V.I.Dmitriev J.G.Ingtem A two-dimensional minimum-derivative spline// Computational mathematics and modeling vol.21 №2 pp 206-211// Springer 2010.

33. Holger Mettke, Eckehard Pfeifer, Edward Neuman. Quadratic spline interpolation with coinciding interpolation and spline grids. //Journal of computational and applied mathematics//, V.8, №1, 1982.

34. Morozov V.A Grebennikov A.I Methods for solution of ill-posed problem ¡algorithmic aspect. MSU, M., 2005.

35. Nürnberger Gunther Approximation by spline functions. Springer, Berlin,1989.