Картирование свойств геологических объектов на основе сплайн-аппроксимационного подхода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Плавник, Андрей Гарьевич

• Плавник, Андрей Гарьевич
• доктор технических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор технических наук Плавник, Андрей Гарьевич

Оглавление

Общая характеристика работы

Введение

1 Сплайн-аппроксимационная постановка решения задач геокартирования

1.1. Основные задачи современных методов геокартирования

1.1.1. Особенности геокартирования автоматизированными методами

1.1.2. Задачи моделирования

1.1.3. Вычислительная эффективность

1.2. Опыт решения задач геокартирования в сплайн-аппроксимационной постановке

1.3. Обобщение математической постановки задачи картопостроения

1.4. Особенности постановки и решения 3-мерных задач

2 Алгоритмизация геоинформационных технологий

2.1. Технология решения геологических задач как геоинформационный объект

2.2. Общие свойства и соотношения основных элементов технологии решения задач, связанных с картопостроением

2.3. Основные элементы интерфейса

2.4. Основные функции объектов программы

3 Оценка достоверности результатов картирования

3.1. Анализ ошибок аппроксимации

3.2. Оценка устойчивости решения задачи картирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода

3.2.1. Исключение точки из числа используемых при картировании

3.2.2. Влияние добавления новой точки на результаты картирования

3.2.3. Влияние основных параметров картирования на устойчивость

3.2.4. Оценка устойчивости при расположении данных в узлах равномерной сетки

3.2.5. Влияние добавления или исключения данных на изменения в произвольной точке карты

3.2.6. Оценка воздействия от изменения в нескольких точках

3.3. Влияние погрешностей в исходных данных на результаты картирования

3.3.1. Подход, основанный на анализе ковариаций в методе наименьших квадратов

3.3.2. Расчет элементов ковариационной матрицы

3.3.3. Использование частичного определения ковариационной матрицы

3.3.4. Решение задачи при использовании локальных уравнений

в обобщенной постановке

3.3.5. Примеры построения карт дисперсий, обусловленных погрешностями в исходных данных

3.4. Соотношение ковариационных показателей коэффициентов сплайна и его значений в узлах сетки

3.4.1. Коэффициенты сплайна в качестве независимых случайных переменных

3.4.2. Значения сплайна в узловых точках в качестве независимых случайных переменных

3.5. Влияние погрешностей в модельных условиях на результаты картирования

3.5.1. Зависимость дисперсии, обусловленной погрешностями в модельных условиях, от основных параметров картирования

3.5.2. Оценка погрешностей в модельных условиях и обусловленных ими дисперсий результатов картирования

4 Приближенные решения задач картопостроения

4.1. Построение композиционных карт

4.1.1. Расчет по отдельным полосам

4.1.2. Детализация карт по отдельным участкам

4.2. Моделирование поверхностей с разрывными нарушениями в сплайн-аппроксимационной постановке

4.2.1. Особенности методов учета разломных нарушений

4.2.2. Композиционное построение карт в окрестности разломов

4.3. Использование итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений

5 Реализация нестандартных задач и модельных условий

5.1. Определение и учет интегральных показателей в задачах геокартирования

5.2. Решение дифференциальных уравнений в частных производных

5.2.1. Уравнение Пуассона

5.2.2. Уравнение теплопроводности

5.2.3. Уравнение Клейна - Гордона

5.2.4. Стационарное уравнение Шредингера

5.3. Районирование многопараметрических данных в постановке задачи картопостроения

6 Примеры решения прикладных задач

6.1. Автоматизация технологии в задаче региональной оценки гидроминеральных ресурсов

6.1.1. Моделирование закономерностей изменения химического состава подземных вод

6.1.2. Выполнение структурных построений

6.1.3. Определение литологических и фильтрационно-емкостных свойств отложений

6.2. Морфоструктурный анализ кровли доюрского фундамента Ур-ненского и Усть-Тегусского месторождений

6.2.1. Проявления флюидодинамической связи юрского и палеозойского комплексов

6.2.2. Сопоставление морфоструктурных и коллекторских свойств пластов

6.3. Районирование подземных вод по химическому составу водорас-творенного комплекса

6.3.1. Методические аспекты задач типизации и районирования подземных вод Западной Сибири

6.3.2. Кластеризация гидрогеохимических данных в задачах оценки прогнозных ресурсов углеводородов нефтегазоносных комплексов Западной Сибири

6.3.3. Сопоставление результатов районирования подземных

вод различными методами

Заключение 212 Приложения

А Обзор методов картирования

А.1. Метод ближайшего соседа

А.2. Метод триангуляционной линейной интерполяции

А.З. Метод естественного соседа

А.4. Метод инверсных расстояний

А. 5. Метод радиальных базисных функций

А. 6. Метод минимума кривизны

А.7. Крайгинг

А.8. Метод искусственных нейронных сетей

В Примеры использования метода контрольных выборок

Список использованных источников

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Картирование является важнейшим инструментом изучения свойств геологических объектов. При этом значимая роль задач картопостроения определяется не только необходимостью удобного картографического представления имеющейся информации, но и осуществления анализа пространственных закономерностей изменения комплекса различных показателей, а также сопоставления модельных представлений с фактическими данными. Широкий круг геологических вопросов, в которых используется построение карт, определяет множественность и разнообразие задач, связанных с картопостроением.

Развитие технических средств измерения данных, дистанционного зондирования и телеметрии обеспечивает получение и накопление в больших объемах информации о свойствах геологических объектов, чем определяется необходимость использования автоматизированных методов обработки этих данных. В свою очередь, развитие вычислительной техники и компьютерных геоинформационных методов определяет постоянное увеличение числа содержательных геологических задач, связанных с обработкой пространственной информации, их постоянное усложнение и повышение комплексности.

К настоящему времени разработано и активно применяется на практике большое число различных программных продуктов как предназначенных только для решения задач картирования, так и специализированных программных комплексов, например, геоинформационных систем, геологического моделирования нефтегазовых месторождений, включающих в себя модули построения карт в качестве составных элементов.

Применяемые в программных средствах методы компьютерного картирования отличаются большим разнообразием, что обусловлено неоднозначностью восстановления значений параметра в пределах всей области картирования по ограниченному набору исходных данных. В этих условиях при использовании различных методов картирования существенно отличаются решения вопросов оценки точности построенных карт, анализа влияния погрешностей имеющихся данных, выбора модельных условий, отвечающих наблюдаемым значениям, и многое другое. Этим также определяется то, что в существующих и разрабатываемых программах по-разному решаются вопросы эффективности ком-плексирования возникающих математических, компьютерных и геологических проблем. Причем набор математических проблем в значительной степени ограничивает или делает более сложным реализацию решения и содержательных геологических задач.

Как показывает практика, наибольшие возможности в решении широкого круга задач геологического картирования обеспечивают методы, отличающиеся

общностью математической постановки и реализующие глубокие модельные представления о свойствах картируемых объектов.

В полной мере это относится к сплайн-аппроксимационному подходу решения задач геокартирования, развитие которого заложено в работах A.M. Волкова, А.Н.Сидорова, C.B. Торопова, В.И. Пяткова, В.М. Яковлева и других ученых. В рамках этого подхода уже к концу 70-х годов XX столетия были разработаны теоретические основы и созданы программные средства, которые позволили реализовывать модельные представления в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Этим были обусловлены простота, надежность и эффективность решена многих задач, в том числе, например, таких, как учет косвенной информации.

Актуальность дальнейшего развития теоретических вопросов, разработки и совершенствования программного обеспечения на основе использования сплайн-аппроксимационного подхода определяется необходимостью решения новых содержательных задач, связанных с картированием свойств геологических объектов, и использования в максимальной мере возможности современной компьютерной техники.

Цель исследований заключается в разработке методов и программных средств применения сплайн-аппроксимационного подхода к решению широкого круга вопросов картирования свойств геологических объектов, обеспечивающих реализацию разнообразных модельных представлений, оценку погрешностей полученных результатов и предоставляющих возможности по созданию и гибкому управлению применяемых технологий решения задач, связанных с картопостроением.

Задачи исследований

- Анализ современных задач картирования свойств геологических объектов с использованием компьютерных технологий, сравнение подходов к их решению в рамках различных методов, определение перспективных направлений развития сплайн-аппроксимационных методов в решении задач геокартирования.

- Обобщение опыта сплайн-аппроксимационной постановки и решения задач построения карт геологических параметров с целью обеспечения возможностей реализации в рамках единого программного продукта широкого спектра модельных представлений о закономерностях пространственного изменения свойств геологических объектов и их взаимосвязей.

- Разработка методов оценки достоверности выполненных построений, в том числе для участков карт, слабо охарактеризованных фактическими данными, и методов анализа приемлемости модельных условий, задаваемых для описания пространственных закономерностей изменения картируемого параметра.

- Определение основных геоинформационных элементов технологии решения комплексных геологических задач, связанных с картопостроением, разработка методов интерфейсного обеспечения их определения, создания и хранения и, на этой основе, автоматизации получения конечных результатов при изменении исходных данных, отдельных технологических составляющих или их взаимосвязей.

- Разработка программных средств, реализующих методы картирования свойств геологических объектов в рамках сплайн-аппроксимационного подхода и обеспечивающих построение и автоматизацию гибких технологий решения

комплексных геологических задач, связанных с картопостроением.

- Апробация разработанных методов и программных средств в решении практических задач картирования, анализа и моделирования свойств геологических объектов Западной Сибири.

Научная новизна

- Выполнено обобщение накопленного опыта постановки и решения вопросов картирования свойств геологических объектов на основе сплайн-аппроксимационного подхода.

- Разработаны методы алгоритмизации решения задач, связанных с картопостроением, позволяющие создавать, настраивать, протоколировать и редактировать последовательность выполняемых работ и осуществлять автоматическое перестроение необходимых объектов при изменении исходных данных или модельных представлений.

- Обоснованы методы оценки устойчивости результатов построения карт, при исключении имеющихся или добавлении новых данных, с возможностью определения этого показателя во всех точках области картирования, в том числе в зонах с низкой плотностью расположения данных.

- Разработаны методы расчета дисперсий возможных отклонений в результатах картирования, обусловленных погрешностями в исходных данных или в модельных представлениях.

- Предложены методы, обеспечивающие необходимую детальность и точность построения карт при существенной неоднородности размещения фактических данных и ограниченности ресурсов вычислительной техники. Решена задача моделирования поверхностей с разрывными нарушениями с использованием сплайнов на регулярных прямоугольных сетках, на основе их разномасштабной композиции в окрестности разломов.

- Обоснован метод, обеспечивающий высокую скорость и точность определения и учета интегральных показателей в областях, имеющих сложную геометрию границ. Разработан метод районирования геологических объектов по комплексу многопараметрических данных, который сочетает в себе элементы использования статистического аппарата главных компонент и возможность согласования с имеющейся косвенной информацией о свойствах рассматриваемых геологических объектов.

Защищаемые положения

- Обобщенная постановка метода решения задач картирования свойств геологических объектов на основе аппроксимации кубическими сплайнами, включающая введение и детализацию понятий глобальных и локальных уравнений, строгих и нестрогих связей, обеспечивает решение широкого круга задач геокартирования с возможностью многокритериальной оптимизации конечных результатов, с учетом разнородных косвенных данных, а также модельных представлений, описываемых уравнениями в частных производных второго порядка.

- Принципы алгоритмизации геоинформационных технологий, заключающиеся в формализации основных объектов - таблиц, покрытий, гридов и их иерархии, и разработке для них соответствующих методов построения и визуализации, обеспечивают возможность создания эффективных программных средств по автоматизации решения геологических задач, связанных с картопостроением.

- Разработанные методы оценки дисперсии погрешностей картирования,

обусловленных погрешностями исходных данных и используемых модельных условий, обеспечивают возможность оценки ошибок результатов построений в произвольной точке карты. Предложенный метод оценки устойчивости позволяет в произвольных точках области картирования, в том числе и на участках слабо охарактеризованных фактическими данными, оценивать соотношение ошибок аппроксимации и ошибок прогноза, как для значений картируемого параметра, так и для значений производных или более сложных конструкций, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

- Практическая реализация сплайн-аппроксимационных методов в комплексе с алгоритмизацией геоинформационных технологий к решению задач геокартирования в программном комплексе GST обеспечивает возможность решения широкого круга геологических задач, таких как выполнение структурных построений, оценка запасов месторождений нефти или гидроминеральных ресурсов подземных вод, районирование подземных вод по комплексу гидрогеохимических показателей и многие другие.

Методы исследований и фактический материал

Исследования основывались на анализе современных задач геокартирования, обусловленных активным развитием технических средств получения, хранения и обработки данных о свойствах геологических объектов, и опыта их решения с использованием компьютерных технологий. Для создания надежных и эффективных вычислительных алгоритмов реализовывались возможности глубокой аналитической проработки математических вопросов применения бикубических сплайнов в решении рассматриваемых задач. В исследованиях использовались методы численных экспериментов для оценки достоверности применения существующих и разработанных подходов к задачам картопостро-ения.

В процессе выполнения работы использовались данные, характеризующие как на региональном, так и на локальном уровне, широкий спектр свойств геологических объектов Западно-Сибирского бассейна, в частности геометрию пластов, физико-химические свойства отложений, состав насыщающих флюидов, геотемпературный режим недр. Объем обрабатываемой информации по некоторым видам данных, например, сейсмических, достигал нескольких сотен тысяч определений.

Достоверность и обоснованность применения разработанных методов для решения задач картирования свойств геологических объектов обусловлена глубокой теоретической изученностью свойств сплайн-функций и их широким практическим применением в высокотехнологичных областях промышленности - машиностроении, авиастроении, гидроэнергетике и других. Богатый опыт в решении разнообразных теоретических и прикладных задач с использованием дифференциальных уравнений в частных производных определяет прозрачность и предсказуемость их применения и в качестве модельных условий, описывающих закономерности изменения изучаемых свойств геологических объектов. О достоверности и обоснованности предложенных методов свидетельствует практика успешного решения множества прикладных задач, относящихся к различным направлениям геологических исследований.

Личный вклад. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке методов их решения, в последующей программной реализации и практическом приложении к решению геологических, преимущественно

гидрогеологических, вопросов, связанных в картопостроением.

Практическая значимость работы определяется повышением эффективности решения комплексных геологических задач, связанных с картопостроением, что обусловлено следующими особенностями используемого сплайн-аппроксимационного подхода и разработанного программного продукта GST:

- Общностью математической постановки сплайн-аппроксимационного подхода к решению задач картопостроения, что обеспечивает возможность вычислительной и интерфейсной реализации широкого спектра представлений о закономерностях изменения картируемых параметров и их связей с другими свойствами изучаемых геологических объектов.

- Возможностью конструирования, архивирования, редактирования и автоматизации технологии решения широкого круга геологических задач, связанных с картопостроением. А также применения разработанных технологий в виде «шаблонов», доступных для использования в аналогичных задачах.

- Возможностью оперативного анализа ошибок выполненных построений с учетом погрешностей исходных данных и используемых модельных условий.

- Единством методической основы решения задач построения карт, в том числе для моделирования поверхностей с дизъюнктивными нарушениями и для выполнения композиционных построений разномасштабных карт и карт, имеющих смежные области. Наличием встроенных расширенных средств для решения специализированных задач, например, подсчета запасов углеводородов в залежах.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на сибирской конференции «Методы сплайн-функций» (Новосибирск, 2001), на Всероссийской научной конференции «Геология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна» (Тюмень 2000 г.), на научно-практических конференциях «Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО» (Ханты-Мансийск, 2001, 2003 и 2007 гг.), «Нефть и газ Западной Сибири» (Тюмень, 2003 и 2004 гг.), на Международной конференции по вычислительной математике МКВМ - 2004 (Новосибирск, 2004 г.), на Международной конференции «Фундаментальные проблемы нефтегазовой гидрогеологии» (Москва, 2005 г.), на научно-практической конференции «Теория и практика геолого-экономической оценки разномасштабных нефтегазовых объектов. Актуальные проблемы подготовки и освоения углеводородной сырьевой базы» (Санкт-Петербург, 2008 г.), на XIX и XX Всероссийских совещаниях по подземным водам Сибири и Дальнего Востока (Тюмень, 2009 г., Иркутск, 2012 г.), на Всероссийской конференции «80 лет ГИГЭ ТПУ» (Томск, 2010 г.), на Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова "Методы сплайн-функций"(Новосибирск, 2011 г.), на семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2011 г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Геология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна», к 100-летию Н.К.Байбакова, (Тюмень, 2011 г.), на семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск, 2012 г.).

Реализация результатов работы. Представленные в работе алгоритмы и подходы являются составной частью программного комплекса GST, который используется во многих геологических и нефтяных организациях и компаниях Тюменской области, некоторых других регионов России и за ру-

бежом. С его помощью проведена оценка запасов Иусского, Котыльинского, Западно-Талинского, Восточно-Каменного, Южно-Хангокуртского, Сергинско-го, Западно-Яганокуртского И других месторождений нефти и газа. Выполняется построение структурных карт как региональных, так и по отдельным площадям. Комплекс активно использовался в решении задач оценки потенциальных ресурсов нефти и газа в неокомских отложениях Среднего Приобья (2004 г.), а также при оценке гидроминеральных ресурсов апт-сеноманских и неокомских отложений на территории ХМАО-Югры (2002 г.).

Разработанные методы и программные средства использовались в учебных курсах «Геологическое картирование», «Моделирование поисково-разведочного процесса» и «Подсчет запасов нефти и газа на ЭВМ» обучения студентов специальности «Геология нефти и газа» ТюмГНГУ. Программа GST успешно применяется при оценке запасов подземных вод апт-альб-сеноманского комплекса с целью использования в системе поддержания пластового давления при разработке нефтяных залежей Западной Сибири, а также для обоснования возможных объемов утилизации излишков подтоварных вод (с 2000 года и по настоящее время). Разработанные методы использовались при оценке потенциала нефтеносности восточной части ХМАО-Югры и прилегающих районов (2010 г.), в работе по оптимизации системы разработки Урненского и Усть-Тегусского месторождений (2011 г.).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Картирование свойств геологических объектов на основе сплайн-аппроксимационного подхода»

Введение

Предметом исследований в геологии являются объекты и процессы, сложность и многоаспектность которых определяет большой объем и разнообразие природы изучаемых показателей, а также методов их анализа и обобщения результатов. Важным свойством многих таких показателей является их пространственная приуроченность, что обусловливает широкое применение методов картирования практически на всех этапах геологических работ и разработки месторождений. В настоящее время для решения задач геокартирования1 активно привлекаются компьютерные технологии, развитие которых не только позволило существенно повысить оперативность и достоверность выполняемых построений, но и в значительной степени изменило постановку и решение многих геологических задач.

В силу объективных причин - ограниченности количества точек наблюдения, погрешностей в определении свойств геологических объектов, а также отсутствия надежных теоретических геологических моделей, количественно характеризующих закономерности пространственного изменения параметров изучаемых объектов, результаты картирования не являются однозначными. Одно из следствий этого - наличие множества методов, которые используются при решении задач геокартирования.

Часть методов наследует геометрические идеи, применявшиеся при ручном картировании, и основаны на триангуляции сети точек наблюдения. В большой группе методов используются достаточно простые алгебраические зависимости, в которых комплексно учитываются измеренные значения параметров и удаленность точек наблюдения. При этом в основание выбора вида конкретных зависимостей зачастую закладываются идеи о природе пространственной изменчивости изучаемого параметра. Например, в крайгинге реализуется модель, исходящая из предположения о случайном характере такой изменчивости, и используются статистические методы для анализа и обобщения данных.

Применение сплайнов в большей степени соотносится с представлением о детерминированном, закономерном изменении свойств геологических объектов в пространстве. Это определяется тем, что сплайны тесным образом связаны со свойствами и процессами, описываемыми уравнениями математической физики. В частности, наиболее активно применяемые на практике, кубические сплайны являются решением задачи по определению формы упругой пластины, закрепленной в узловых точках. В эквивалентной постановке эта задача сводится к минимизации кривизны интерполирующей функции, для которой кубиче-

1 Термин геокартирование широко используется применительно к задачам структурной геологии. Однако, как представляется, в рамках вопросов, рассматриваемых в данной работе, его использование не может вызвать разночтения.

ские сплайны обладают определенной оптимальностью по отношению к другим функциям. По-видимому, поэтому в названии некоторых методов присутствует термин «сплайн», хотя в них непосредственно не используется аппарат сплайн-функций, но реализуется идея о возможности моделирования поведения картируемого параметра на основе законов упругости или с условием минимизации кривизны.

Методы геокартирования, использующие сплайны, так же как и другие существующие и разрабатываемые методы, могут быть разделены на два класса - интерполяционные и аппроксимационные. Интерполяционные алгоритмы обеспечивают теоретически точное восстановление картируемого параметра в точках наблюдения. Аппроксимационные методы допускают наличие некоторых расхождений расчетных и экспериментальных данных.

В данной работе рассматривается аппроксимационный подход, разработка и активное использование которого для решения задач картирования свойств геологических объектов начаты с середины 1970-х годов, практически с самого начала развития этого направления использования вычислительной техники. Этому способствовало появившееся к тому времени множество исследований по теории сплайнов и их применению при решении прикладных задач. В создание и внедрение методов геокартирования на основе сплайн-аппроксимации значительный вклад внесли исследования сибирских ученых под руководством A.M. Волкова. Бурный рост геологоразведочных работ в этот период в ЗападноСибирском нефтегазоносном бассейне определил постановку множества конкретных геологических задач, обеспеченных необходимым объемом фактических данных, актуальность и практическую значимость оперативных и надежных методов их обработки.

Отличительной чертой рассматриваемого подхода является то, что практически с самого начала его развития экспериментальные данные и модельные представления о поведении картируемого параметра рассматриваются совместно как обязательные информационные составляющие для решения задач геокартирования.

В определенной степени это обусловлено необходимостью использования стабилизаторов для обеспечения существования и единственности решения в условиях недостаточной плотности данных. При этом не обязательно ограничиваться единственным вариантом, например, минимизацией кривизны.

В работах A.M. Волкова, В.И. Пяткова, А.Н. Сидорова, B.C. Торопова и других исследователей это послужило основой для обобщения о целесообразности и возможности использования различных представлений о закономерностях пространственного поведения картируемых параметров. И, что представляется особенно существенным, к такому моделированию легко привлекается аппарат уравнений математической физики, имеющих глубокую теоретическую проработку и широкое практическое использование. Такое обобщение, в частности, обеспечило реализацию простых и надежных способов учета разнообразной косвенной информации, что имеет важное практическое значение для решения задач картирования свойств геологических объектов.

Например, для описания глубин залегания геологических объектов в условиях унаследованного осадконакопления, использование показателей близости структурных форм по первым производным обеспечивает возможность учета данных по более изученным горизонтам. Использование вторых произ-

водных позволяет моделировать смещение вершин структурных поднятий от одного горизонта к другому. Активно применяется на практике совместное использование условий по первым и вторым производным, что позволяет реали-зовывать более комплексные представления о поведении структурных поверхностей.

Рассматриваемый в данной работе сплайн-аппроксимационный подход в своей постановке и методах реализации имеет общие черты со многими направлениями, развиваемыми в прикладной математике. Кроме отмеченного выше привлечения методов уравнений математической физики для описания пространственных закономерностей свойств геологических объектов достаточно отчетливо прослеживается связь с методами решения некорректных задач. Использование множества возможных условий, определяющих модельные представления о поведении картируемого параметра, во многом аналогично методам, применяемым в решении задач многокритериальной оптимизации. Квадратичная зависимость минимизируемого функционала от искомых неизвестных параметров определяет сходство с регрессионными методами. Вместе с тем, наряду с использованием в качестве возможных условий дифференциальных уравнений в частных производных это определяет схожесть с некоторыми численными методами решения таких уравнений.

Общность в постановках и методах решения различных прикладных задач определяет возможность использования наработанных теоретических результатов в рамках этих направлений и обеспечивает широкий спектр возможных приложений для сплайн-аппроксимационных методов геокартирования. С другой стороны, простые свойства полиномиальных сплайнов позволяют осуществлять детальную аналитическую проработку численных методов, что обеспечивает повышение их вычислительной эффективности и возможности глубокого анализа получаемых результатов.

Разнообразие геологических задач, связанных с картопостроением, наряду с бурным развитием и применением вычислительной техники обусловливает востребованность разработки новых и совершенствования существующих методов их решения. В этих условиях совокупность отмеченных выше факторов определяет широкие возможности и большой потенциал развития рассматриваемой в данной работе сплайн-аппроксимационной постановки и решения задач картирования свойств геологических объектов.

Автор глубоко благодарен A.M. Волкову, В.И. Пяткову, А.Н. Сидорову, A.A. Сидорову, C.B. Торопову и многим другим исследователям, чей упорный и творческий труд обеспечил развитие сплайн-аппроксимационного подхода применительно к решению задач геокартирования. Особую признательность хочется выразить А.Н. Сидорову, многолетнее сотрудничество с которым во многом определило содержание и направленность данной работы. А также A.A. Сидорову, усилиями которого в значительной степени обеспечивается развитие программного комплекса GST, реализующего возможности сплайн-аппроксимационного подхода в решении задач геокартирования.

За большое содействие на разных этапах исследований автор искренне признателен своим коллегам Н.Ю. Галкиной, М.В. Ицкович, В.Е. Лаврунову, Т.П. Митрохиной, Г.С. Панченко, В.А. Саитову и М.Е. Тепляковой. Особую признательность автор выражает Б.П. Ставицкому за многолетнее сотрудничество и помощь в постановке и решении содержательных гидрогеологических задач.

Автор искренне благодарен В.А. Волкову, М.А. Волкову, В.Н. Гончаровой, В.Ф. Гришкевичу, В.Е. Касаткину, В.Л. Мирошниченко, Г.И. Плавнику, С.А. Предеину, И.В. Сидоровой, Э.С. Торопову, Н.И. Хорошеву, М.С. Шутову и В.М. Яковлеву за продуктивное обсуждение проблемных вопросов и методов их решения.

Большое значение имели критические замечания, высказанные при обсуждении работы на разных этапах ее выполнения А.Э.Конторовичем, И.И.Нестеровым и В.И. Шпильманом. За неоценимую научную и организационную помощь автор выражает глубокую благодарность А.Р. Курчикову.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Плавник, Андрей Гарьевич

Данные выводы основаны на решении конкретных примеров и поэтому не могут претендовать на обобщающий характер. Однако при необходимости использования приближенных методов в других задачах целесообразно учитывать полученные в данной работе результаты и проводить соответствующее численное тестирование для оценки достоверности их использования.

Глава 5

Реализация нестандартных задач и модельных условий

Задачи геологического картирования не ограничиваются только интерполяцией или аппроксимацией наблюденных значений. Значительный круг проблем связан с необходимостью учета дополнительных условий, а также с выполнением анализа пространственных закономерностей в изменениях свойств геологических объектов и верификацией различных модельных представлений об этих закономерностях. Возможности по решению этих проблем зачастую являются важным критерием при выборе используемых методов компьютерного картирования.

Рассматриваемый в настоящей работе сплайн-аппроксимационный подход обладает в этом отношении рядом преимуществ. Это обусловлено общностью математической постановки, простотой создания и использования необходимых для решения геоинформационных технологий, а также тем, что в основе подход тесно связан с хорошо изученными теоретически и апробированными практически вопросами применения уравнений математической физики, методов регрессионного анализа и решения оптимизационных задач. Приведенные ниже примеры иллюстрирует некоторые возможности по реализации нестандартных задач и модельных условий.

5.1. Определение и учет интегральных показателей в задачах геокартирования

При решении многих геологических вопросов возникает необходимость выполнения оценок интегральных показателей, таких, например, как общий объем ресурсов. Эти задачи, как правило, сводятся к интегрированию соответствующих карт (например, карт удельных запасов) по контуру месторождения.

С математических позиций интегрирование функций нескольких переменных не представляет сложностей и, как правило, сводится к последовательному использованию одного из алгоритмов по каждой из переменных. В частности, в известной программе Surfer используются метод трапеций и две модификации метода Симпсона.

При всей своей простоте и математической безупречности такой подход имеет существенный недостаток - для повышения точности расчетов при его практическом использовании необходимо сгущать сетку расчетных узлов, что ведет к росту объема вычислений по степенному закону и к соответствующему увеличению времени расчетов. Существенно осложняющим обстоятельством является не тривиальность в общем случае области интегрирования, поскольку при этом необходимо многократное выполнение затратных по времени процедур определения попадания узлов в область. Даже для современных персональных компьютеров затраты времени могут быть весьма ощутимы.

Вместе с тем, в ряде случаев существует и «обратная» проблема, когда необходимо построить карту, для которой должно выполняться условие равенства интеграла по заданной области определенному значению. Решение этой задачи в значительной степени неоднозначно из-за неоднозначности самих методов построения карт и приближенности (в общем случае) численных методов интегрирования.

В данной работе описывается подход, при котором задача численного интегрирования функции двух переменных в полигональной, многосвязной области сводится к одномерной задаче контурного интегрирования. При использовании полиномиальных сплайнов для аппроксимации полей геологических параметров, например, в рамках обобщенной вариационной постановки задач геокартирования, это позволяет не только построить эффективные (точные) численные процедуры, но и на этой основе обеспечить реализацию решения сформулированной выше «обратной» задачи [111].

Рассмотрим задачу преобразования двумерного интегрирования по области в одномерное интегрирование по границе этой области. Пусть в двумерной области определена непрерывная функция С(х,у), имеющая первообразные по каждой из переменных, и задана некоторая многосвязная область В С П, границу которой обозначим символом Г. Требуется вычислить интеграл

I = J С{х,у)(1х(1у. в

Выполним следующие построения. Введем функции г* гу

Ух(х,у)= / Уу(х,у)= С(х, г})йг), (5.1.1)

JX' ^у* где (х*, у*)-произвольная точка в области Г2.

Функции ух, уу~можно рассматривать как компоненты векторных полей Ух = (ух, 0) и Уу = (0, уу) в области

Для этих полей можно вычислить потоки через границу области

Ъ = I (Ух,п)М, .Ту = I (Уу,п)с11, здесь п - единичный вектор нормали к границе Г, I- переменная интегрирования, соответствующая расстоянию между точками вдоль границы.

Согласно теореме Гаусса - Остроградского, эти интегралы будут равны

Зх = J dгv(Vx)dxdy, Jy — J dгv(Vy)dxdy в в и, учитывая (5.1.1), получим следующие равенства

Зх = J С(х, = J у)йхйу в или

J G{x,y)dxdy ^ ! (ух,п)й1 = J (Уу, п)й1. в г г

Таким образом, интегрирование функции двух переменных по многосвязной области сводится к одномерному интегрированию по контуру, если функция С(х, у) имеет первообразную хотя бы по одной из переменных.

Для удобства изложения, без потери общности, далее будем рассматривать интегрирование на основе векторного поля по одной из первообразной, например, Уу.

При численном моделировании границы, как правило, задаются последовательностью точек (узлов), соединенных прямолинейными отрезками. При этом интегрирование по контуру естественным образом раскладывается на сумму интегралов по отдельным отрезкам - ДГг: G(x,y)dxdy = ^ ! (Уу,п)<11, г=1ДГ, здесь М - количество отрезков, составляющих границу области интегрирования.

Свойство линейности участков ДГгпозволяет легко перейти от длины I как переменной интегрирования, к одной из декартовых координат:

I (Уу, n)dl = У Vynydl — У vydx, где хг и хг+1 - абсциссы крайних точек отрезка ДГг . Последнее соотношение справедливо с точностью до знака, в зависимости от выбора направления вектора нормали. После подстановки имеем:

Ж,+ 1 хг+1 У(Х)

J Ухйу = J J у)йу

7(х,у)йуах у и, соответственно, в полном выражении формула интегрирования имеет вид м х,+1 у(х)

I в{х,у)(Ьйу = / I С(х,у^х. (5.1.2) в 1=1 х, у

Здесь у(х) - зависимость между координатами участка границы АГг.

Этот же результат может быть получен более традиционным, но менее изящным в математическом отношении способом. Действительно, эти соотношения фактически являются алгебраической иллюстрацией простой геометрической идеи о том, что интеграл по некоторой области может быть определен как сумма (и/или разница) интегралов по областям более простой формы.

При использовании бикубических В-сплайнов для описания двумерных поверхностей

С{х,у)йу = ^^аг]Вг{х)В3(у) 3 существенно упрощается алгоритмизация методов численного интегрирования, по крайней мере по одной из переменных, и повышает их эффективность.

Действительно, для расчета внутреннего интеграла в правой части формулы (5.1.2) у(х) у(х)

I в(х,у)(1у = I В3(у)с1у, (5.1.3)

I 7 *

У и V может быть использована удобная реализация аналитического решения. С учетом произвольности выбора начальной точки интегрирования - у*, в качестве которой предпочтительно выбирать координату одного из узлов сплайна, задача сводится к вычислению интегралов максимум от четырех базисных функций В3(у), для которых область со значениями, отличными от нуля, лишь частично попадает в интервал интегрирования. Для остальных базисных функций значение интеграла известно заранее.

Подчеркнем простоту и точность расчетов промежуточного интеграла по у для произвольного значения второй переменной (координаты х). Это, в свою очередь, обусловливает эффективность метода Гаусса для последующего интегрирования по координате х: ь г, л, Ь — ау-^ . Л ҐЬ — а\ Ь + а ¡{х)йх = —— ™гї{Уг) + Дп, Уг = ( ) Хг +

Здесь хг - ¡-й нуль полинома Лежандра п-й степени:

Р (Х) = 1 пК ' 2пп\ ахп Весовые коэффициенты определяются соотношениями: 2 тг =

1-Х?) {Р^г)Г Оценка погрешности численного интегрирования имеет вид

1 \2п+1 / I \ 4 {Ь-а)-(пО 22п+1 (2п)

2п+1)[(2п)!]3

Поскольку для описания функций двух переменных используются бикубические сплайны, задача интегрирования которых в конечном итоге сводится к интегрированию полинома седьмой степени, то реализация метода Гаусса на основе полиномов Лежандра четвертой степени приводит к получению алгоритма расчета интегралов, дающего теоретически точный результат (с нулевым значением погрешности). Формулы для расчета в области от -1 до 1 (переход к произвольным границам интегрирования легко осуществим) в этом случае имеют вид: 3 г=0 где

15+ >/120 /15 — л/120 хо = -\ ——~-, XI =

35 V 35

15-7120 /15 + л/120

Ж2 = V 35 ! ХЗ = У 35 ' 18 - х/30 18 + \/30 18 + ч/30 18 - \/30

-' = --> П)2 = -ча = --•

36 36 36 36

Следует сделать замечание о необходимости введения поправок на интервалы интегрирования по х, чтобы обеспечить требуемую гладкость подынтегральных функций. Это условие легко выполнить заблаговременно, на основе совместного учета расположения узлов сплайна и линейных участков границы области интегрирования с целью исключения попадания координат узлов сплайна внутрь интервалов интегрирования.

Заметим также , что описанный подход может быть реализован не только для интегрирования функции £?(ж, у), но и для более общего случая определения интеграла

1 = 1 Ь у)) йхйу. в где Ь - линейный дифференциальный оператор.

В конечном итоге в соответствии с формулой (5.1.3) величина интеграла определяется линейной функцией от коэффициентов агз (определяющих конкретный вид сплайн-аппроксимации), сомножители при которых определяются только геометрией контура и расположением узлов сетки сплайна. Из этого следует, что в задаче картопостроения аппроксимационными методами (с поиском неизвестных значений коэффициентов сплайна на основе минимизации целевого функционала) решение сформулированной в начале данной работы «обратной» задачи легко реализуется стандартным добавлением в функционал одного или нескольких интегральных условий с использованием неизвестных множителей Лагранжа.

Например, если целевой функционал представлен в виде суммы квадрата невязки фактических и расчетных данных, заданных в некоторых выделенных точках области, и регуляризирующего стабилизатора, то искомая поверхность у) должна доставлять минимум функционала (3(хк,ук) - гк)2 + рФ к при условии выполнения равенств

Б(х,у)(1хйу = э = 1,., 3. или в более общем виде с использованием дифференциальных операторов

J L (S(x, у)) dxdy = I31 j = 1,.J.

Ясно, что эта задача может быть сведена к безусловной минимизации следующего функционала

Ук) - zkf + РФ + ЛЛ / 1 №> V)) dxdy ~ mm s, л

Здесь 5 - искомый сплайн, аппроксимирующий поверхность, - наблюденное значение в к-й точке, р - весовой коэффициент, Ф - стабилизирующий функционал, Х3 - множители Лагранжа, 13 - задаваемые значения интегралов искомой поверхности в области В3.

Несколько иной подход для приближения значений интегралов в задаче построения карт плотности прогнозных ресурсов [124] предложен и реализован С.В.Тороповым. Он использовал следующий целевой функционал

Ук) ~ Zkf + + Рз J S(X> y)dxdy mm. s

Bj

Отличие от предыдущей задачи заключается в том, что в [124] интегралы от искомой поверхности лишь в среднеквадратическом смысле «близки» к заданным значениям.

В вычислительном отношении подход с использованием множителей Лагранжа более эффективен (при прочих равных условиях используется существенно меньший объем оперативной памяти и расчеты выполняются быстрее). Однако постановка задачи с приближенным выполнением интегральных условий в содержательном отношении является более общей и поэтому, по-видимому, может быть более приемлемой для решения некоторых геологических задач, в частности для картирования плотности прогнозных ресурсов углеводородов - параметра по своей природе являющегося осредненным, приближенным показателем по некоторой области.

Многократные проверки на тестовых и на реальных примерах (в том числе и при выполнении работ, связанных с внедрением новой классификации запасов углеводородов для ресурсной базы ХМАО-Югры) показали их исключительно высокую вычислительную эффективность как по скорости, так и по точности расчетов.

В качестве одного из тестовых примеров рассмотрена задача интегрирования функции двух переменных х,у) = У^+у2 (5.1.4) в области, ограниченной окружностью х2 + у2 — В?.

Точное значение интеграла для этой задачи определяется формулой

Функция (5.1.4) аппроксимирована сплайном с шагом сетки 0.25 в области от —20 до 20 по каждой из координат. Радиус окружности, определяющей область интегрирования, взят равным 10. Сама окружность аппроксимирована многоугольником, состоящим из 100000 линейных отрезков. Расчетное значение интеграла при использовании представленного в данной работе метода составило 2094.392, что лишь в седьмом знаке отличается от точного значения. С учетом неизбежности погрешностей в аппроксимации полиномиальными сплайнами функции (5.1.4), приближенности в реализации геометрии окружности, а также с учетом накапливания при вычислении ошибок округления полученная точность интегрирования может быть признана очень высокой.

Для другой тестовой задачи в качестве исходных данных взяты реальные контуры водонефтяной и чисто нефтяной зон (отмеченные, соответственно, вертикальной и диагональной штриховками на рис. 5.1) одного из месторождений Западной Сибири, характеризующиеся весьма сложной формой. В качестве входных условий устанавливались значения интеграла по каждой из зон, а также нулевые значения на внешнем контуре месторождения. Являясь достаточно абстрактным, данный пример позволяет оценить работоспособность решения обратной задачи - задания нескольких интегральных условий при решении задачи картирования в весьма жестких (по геометрии контуров интегрирования) условиях.

Рис. 5.1. Результаты картирования с использованием интегральных условий

Проведено несколько вариантов расчетов, для которых сумма интегралов по контурам рассматривалась постоянной величиной, равной 100, а значение интеграла по контуру ВИЗ варьировало от 10 (1-й вариант) до 50 (5-й вариант) с шагом 10 и по контуру ЧНЗ, соответственно от 90 до 50. Коэффициенты ап-проксимационных сплайнов для искомых поверхностей определялись по сетке 328*196 узлов, что приводит к задаче решения системы линейных алгебраических уравнений с более 64000 неизвестными.

На рис. 5.1 отображены результаты расчетов, полученные при реализации первого варианта. В таблице 5.1 приведены данные по относительным погрешностям согласования интегральных условий по всем вариантам, из которых видно, что ошибки составляют тысячные доли процента. В представленных расчетах использовался стабилизатор минимума поверхности. Заметим, что при использовании стабилизатора минимума кривизны точность расчетов существенно возрастает.

Вариант Отн. погрешность (*103), %

ВНЗ ЧНЗ

1 0.09 3.87

2 0.34 2.80

3 0.42 1.41

4 0.46 0.43

5 0.49 3.02

Заключение

Развитие автоматизированных средств картирования свойств геологических объектов характеризуется относительно непродолжительной историей и неразрывно связано с динамикой роста возможностей компьютерных технологий. Основная цель геокартирования - достоверное восстановление пространственных закономерностей в изменении картируемых параметров на основе имеющейся информации о свойствах геологических объектов с переходом к использованию компьютерных технологий не изменяется. Однако существенные изменения претерпевают не только средства достижения этой цели, но и постановка и решение ключевых задач.

Первая группа задач связана с построением адекватных, соответствующих набору данных о свойствах изучаемого параметра, математических моделей.Из-за ограниченности количества точек наблюдения, а также отсутствия надежных теоретических геологических моделей, количественно характеризующих закономерности пространственного изменения параметров изучаемых объектов, результаты картирования не являются однозначными. Одно из следствий этого - наличие множества методов, которые используются при решении задач геокартирования.

Вторая группа задач связана с оценкой точности построений. Прежде всего необходима оценка точности картирования в точках наблюдения. Особый характер этого вопроса обусловлен использованием сеточной модели для представления конечного результата и неоднозначностью решения последующей задачи восстановления значений картируемого параметра в точках с исходными данными. Важным является оценка влияния неточности исходных данных на результат картирования, одно из наиболее распространенных решений которого сводится к построению карт дисперсии в предположении о случайном характере имеющихся погрешностей. Особое значение имеют вопросы оценки возможных погрешностей в используемых модельных условиях на результаты картирования, которые также могут быть описаны в виде карт дисперсий.

В задачи третьей группы входят вопросы геологического моделирования - выявление и использование закономерностей, определяющих распределение изучаемых свойств геологических объектов в пространстве. Эти вопросы отличаются многообразием возможных постановок и путями их решения, которые в значительной степени определяются математическими и вычислительными особенностями моделирования, применяемого в различных методах геокартирования.

В процессе развития сплайн-аппроксимационного подхода для картирования свойств геологических объектов наглядно прослеживаются существенные изменения самих решаемых задач и расширение представлений о проблеме восстановления геологических полей в целом. Первоначальная задача моделирования некоторой поверхности по наблюденным значениям была дополнена возможностью учета производных искомой функции в заданных точках. В последующем это направление обобщено путем введения произвольного дифференциального оператора второго порядка, действующего на искомую функцию.

Отличительной чертой рассматриваемого подхода является то, что практически с самого начала его развития экспериментальные данные и модельные представления о поведении картируемого параметра рассматриваются совместно как обязательные информационные составляющие для решения задач геокартирования. Во многом этим обусловлено разнообразие и гибкость реализации этого подхода для решения множества прикладных задач.

Накопленный опыт решения задач геокартирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода позволил провести обобщение математической постановки задачи картопостроения. Введенные в работе понятия глобальных и локальных уравнений, строгих и нестрогих связей, а также их детализация применительно к их реализации в программном комплексе GST обеспечивают возможность многокритериальной оптимизации конечных результатов, с учетом разнородных косвенных данных, а также модельных представлений, описываемых уравнениями в частных производных второго порядка.

В рамках выполненного обобщения сохранено основное свойство алгоритма сплайн-аппроксимации, определяющее его вычислительные преимущества - квадратичность результирующего функционала относительно неизвестных параметров, что легко позволяет свести задачу к решению системы алгебраических уравнений. При этом матрица системы симметрична, имеет ленточную структуру и допускает использование эффективных алгоритмов численного решения системы уравнений с большим числом неизвестных.

Практическая реализация методов картопостроения в программном комплексе GST и опыт решения практических вопросов свидетельствуют об обоснованности первого защищаемого положения диссертации о том, что обобщенная постановка, включающая введение и детализацию понятий глобальных и локальных уравнений, строгих и нестрогих связей, обеспечивает решение широкого круга задач геокартирования с возможностью многокритериальной оптимизации конечных результатов, с учетом разнородных косвенных данных, а также модельных представлений, описываемых уравнениями в частных производных второго порядка.

Одним из актуальных направлений разработки программных средств геокартирования является автоматизация технологии работ по комплексным геологическим проблемам, обеспечивающая хранение информации о методах решения задачи и используемых при этом параметрах, в объеме, достаточном для полного и однозначного восстановления исходных данных, промежуточных и конечных результатов.

Сложность решения задач автоматизации геоинформационных технологий определяется разнообразием и уникальностью изучаемых геологических объектов; различием в объеме и видах используемых методов исследования параметров, характеризующих эти объекты; накоплением со временем дополнительной информации; недостаточной изученностью взаимосвязей между отдельными параметрами; необходимостью реализации представлений специалистов-геологов (зачастую трудно формализуемых) о строении и свойствах изучаемых объектов. В полной мере эти проблемы характерны и для задач, связанных с картопостроением.

В рамках программного комплекса GST реализован один из возможных подходов к решению этой задачи, базирующийся на формализации технологических элементов, определении описывающих их параметров и методов их построения, включая возможность построения по ссылкам на множество других элементов технологической цепочки. Такая формализация позволила выделить технологию решения задачи в качестве особого составного геоинформационного объекта, структура которого может формироваться пользователем в соответствии с конкретными условиями задачи, архивироваться и храниться в базах данных, восстанавливаться и, при необходимости, модифицироваться.

Основные элементы (объекты) технологии решения задач, связанных с картопостроением, достаточно очевидны - это таблица, покрытие и грид. Простой характер имеют и основные методы их построения (например, загрузка из файла или из базы данных, расчет грида по табличным данным), редактирования и хранения.

Особенности постановки и решения геологических задач определяют специфические требования к функциональным возможностям работы с рассматриваемыми объектами. Например, для решения задачи подсчета запасов углеводородов в залежах, с помощью специализированных функций объекта-таблицы осуществляется формирование таблицы подсчетных параметров и выполнение расчетов по подсчету запасов; в рамках объекта-покрытия определяются под-счетные участки, зоны различной категорийности запасов или фазового состояния залежи.

Для обеспечения пользователей средствами компьютерного картопостро-ения на основе представленного в данной работе сплайн-аппроксимационного подхода предназначен программный объект-грид. С помощью объектов этого типа могут решаться обычные задачи геокартирования по набору фактических данных (как пликативные, так и с разломами), выполняться построение одной или нескольких "вклеек"в существующий грид, производиться расчеты для объектов большой размерности, осуществляться учет анизотропии и другое.

Основная мощность этого объекта заключается в предоставлении пользователю широких возможностей для комплексирования множества разнообразных по своей природе данных в процессе картопостроения, в том числе с использованием аппарата уравнений математической физики для определения модельного поведения картируемой поверхности. Но имеющееся многообразие в средствах решения задач картопостроения обусловливает наличие определенных проблемных моментов при создании соответствующего программного обеспечения, поскольку основная цель этих программ заключается в предоставлении средств картопостроения специалистам-геологам, для которых необязательно детальное владение математической стороной расчетных методов. Поэтому особое внимание при разработке объекта-грид уделено созданию достаточно простого интерфейса для решения специализированных задач, которые наиболее часто встречаются при построения геологических карт. Точнее - для установки параметров, использующихся при решении большого круга практических задач.

В рамках программного комплекса GST для алгоритмизации технологии процесса решения задач (в виде функционально взаимосвязанных формализованных технологических элементов) нет принципиальных ограничений на количество типов объектов. В настоящее время в программе реализован ряд вспомогательных объектов (разрез, картинка, печать и другие) для решения специфических практических задач, которые вместе с тем имеют достаточно общий характер.

Значительный круг проблем геокартирования связан с необходимостью учета множества разнообразных условий, с выполнением анализа пространственных закономерностей в изменениях свойств геологических объектов и верификацией различных модельных представлений об этих закономерностях. Рассматриваемый в работе сплайн-аппроксимационный подход и его реализация в программном комплексе GST обладают в этом отношении рядом преимуществ, обусловленных общностью математической постановки, простотой создания и использования геоинформационных технологий, необходимых для решения задач.

Принципы алгоритмизации геоинформационных технологий, заключающиеся в формализации основных объектов - таблиц, покрытий, гридов и их иерархии, и разработке для них соответствующих методов построения и визуализации, обеспечивают возможность создания эффективных программных средств по автоматизации решения геологических задач, связанных с картопо-строением. В этом состоит второе защищаемое положение работы.

Важная задача по оценке погрешностей картопостроения, так же как и сама задача геокартирования, не имеет однозначного решения. Это связано с отсутствием априорных сведений о закономерностях пространственной изменчивости свойств геологических объектов. Тем не менее, анализ погрешностей, связанных как с самими методами картирования, так и исходными данными, является полезным инструментом, предоставляющим возможности по количественному сопоставлению исходных данных, выполненных построений и используемых при картировании алгоритмов.

Самым простым для определения и последующей интерпретации является вычисление отклонения расчетных значений картируемого параметра от исходных данных. Наличие значительных погрешностей позволяет судить о недостаточной надежности выполненного моделирования (и о необходимости корректировки управляющих параметров, например, шага сетки или весовых коэффициентов) или может свидетельствовать о недостоверности определения самих исходных данных, что позволяет использовать этот показатель для их отбраковки и улучшать качество результирующей карты.

В рамках сплайн-аппроксимационной постановки решения задачи геокартирования при реализации перекрестной проверки (с последовательным исключением одной точки из числа учитываемых при построении карты) для расчета соотношения ошибки аппроксимации к ошибке прогноза (коэффициента устойчивости) может использоваться эффективный вычислительный алгоритм, не требующий многократного построения и решения СЛАУ. При этом обеспечивается возможность детального картирования поведения устойчивости в рассматриваемой области, в том числе в зонах с низкой плотностью расположения данных. При этом может рассчитываться (и картироваться) устойчивость не только непосредственно по значению картируемого параметра, но и по более сложным характеристикам, описываемых уравнениями в частных производных.

Оценка влияния возможных неточностей в исходных данных не вызывает принципиальных затруднений. Например, возможно (и реализуется в решении ряда практических задач) проведение многовариантных расчетов с генерацией случайных значений для погрешностей. Для методов картопостроения, в которых задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (в том числе и для рассматриваемого в работе сплайн-аппроксимационного подхода), легко выполняется и аналитическое описание воздействия погрешностей данных на результаты картирования. В частности, могут быть получены соотношения для матрицы ковариации коэффициентов сплайна и дисперсии величины сплайна, построена карта дисперсии и на этой основе выполнен наглядный анализ влияния погрешностей в исходных данных на достоверность результатов картирования.

Однако получение обратной матрицы в явном виде, в силу ее полноты, требует огромных вычислительных затрат и ресурсов памяти. Предложенный в работе метод частичного расчета элементов ковариационной матрицы, использующий особенности аппроксимации с применением В-сплайнов, позволяет добиться существенного сокращения вычислительных затрат. Как показала практика построения карт дисперсий, их оценка без выполнения соответствующих расчетов трудно предсказуема не только в количественном, но даже в качественном отношении вследствие множественности управляющих параметров, используемых при геокартировании, и разнонаправленности их влияния. В этих условиях представленный метод расчета дисперсии является эффективным инструментом, который может в оперативном режиме использоваться при решении практических задач геологического картирования.

Погрешность результатов картирования определяется не только неточностью в исходных данных, но и возможными отклонениями в модельных условиях, задаваемых глобальными уравнениями. Для описания возможных отклонений в глобальных уравнениях предложено использовать невязку, рассматриваемую в качестве некоторой случайной величины и представленную в виде сплайна (с независимыми случайными коэффициентами), приуроченного к той же сетке, для которой выполняется построение карты. При этом для построения карт дисперсий также возможно использовать подходы с частичным определением матрицы ковариации. Возможность реализации представленных в работе методов оценок погрешностей результатов геокартирования обусловлена эффективностью вычислительных алгоритмов аппроксимационного подхода с применением В-сплайнов, с одной стороны, и мощностью современной компьютерной техники, с другой.

Полученные результаты являются обоснованием третьего защищаемого положения диссертации о том, что разработанные методы оценки дисперсии погрешностей картирования, обусловленных погрешностями исходных данных и используемых модельных условий, обеспечивают возможность оценки ошибок результатов построений в произвольной точке карты. А также, что предложенный метод оценки устойчивости позволяет в произвольных точках области картирования, в том числе и на участках слабо охарактеризованных фактическими данными, оценивать соотношение ошибок аппроксимации и ошибок прогноза, как для значений картируемого параметра, так и для значений производных или более сложных конструкций, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Вопросы вычислительной эффективности имеют большое значение и непосредственно в задачах построения карт, в которых, как правило, требуются оперативные и зачастую многовариантные расчеты. При этом, несмотря на рост производительности компьютеров, как показывает практика, их ресурсов не хватает для решения всех имеющихся задач. В этих условиях на практике активно применяются различные приближенные подходы.

Приближенные решения результирующей системы алгебраических уравнений стандартными методами (сопряженных градиентов и скорейшего спуска), как показала практика, дают относительно быструю сходимость к значениям в точках наблюдения, но значительно хуже приближаются к точному решению в зонах, удаленных от них. Поэтому эти методы могут рассматриваться как один из способов для локального приближения на густой сетке, в то время как общие закономерности целесообразно определять на основе точного решения задачи на разукрупненной сетке.

Большее практическое применение находят методы, основанные на разделении общей области задачи картирования на несколько частных с последующим объединением результатов. Выделяются два направления - последовательный расчет по частично перекрывающимся полосам и вклейка гридов по локальным участкам в общую менее детализированную карту. Для вклеек легко реализуется сгущенная в несколько раз сетка грида с точным обеспечением гладкости результата до второй производной включительно.

Построение таких композиционных карт обеспечивает приближенное решение для двух характерных ситуаций. Первая возникает тогда, когда данные располагаются с достаточно высокой плотностью и относительно равномерно на значительных территориях. При этом количество данных и количество узлов результирующего грида может достигать нескольких сотен тысяч. Вторая характерная ситуация встречается при наличии существенной разницы в плотности распределения фактических данных, наряду с необходимостью обеспечения высокой достоверности построений. Использование вклеек эффективно и в случае появления дополнительной информации, требующей локальной модификации построенной ранее карты.

Характерной чертой задач картирования свойств геологических объектов является необходимость построений с учетом тектонических разрывов, лито-логических замещений и других форм нарушения непрерывности и гладкости восстанавливаемых поверхностей. Их учет существенно усложняет возможные подходы к постановке задач, в решении которых, как правило, используются приближенные подходы.

Представленный в работе приближенный подход с использованием композиции карт, с уплотняющимся шагом сетки в окрестности линий разломов является одним из возможных методов решения задач с разрывными нарушениями. Его преимущество в сохранении методической общности подхода и, в частности, обеспечение непрерывности производных (до второй включительно) и возможности полноценного использования аппарата локальных и глобальных уравнений для описания свойств картируемой поверхности. Вычислительная эффективность такого подхода обусловлена использованием комбинированного расчета разномасштабных гридов в приразломной зоне, с постепенным уменьшением области склейки (при уменьшении шага грида).

Приведенные примеры определения и учета интегральных показателей, приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных, а также районирования многопараметрических данных свидетельствуют о широких возможностях сплайн-аппроксимационного подхода в реализации нестандартных модельных условий и задач геокартирования.

Сведение двумерного интегрирования к одномерному и использование бикубических сплайнов обеспечивают высокую скорость и точность расчетов при решении сложных комплексных практических задач, связанных, например, с подсчетом запасов. Просто решается и "обратная"задача построения карты, для которой должно выполняться условие равенства интеграла по заданной области определенному значению. С учетом линейной зависимости величины интеграла от коэффициентов сплайна это реализуется добавлением интегральных условий в минимизируемый функционал с использованием неизвестных множителей Лагранжа.

Решение уравнений в частных производных различных типов, с постоянными и переменными коэффициентами показало, что, несмотря на приближенный характер самого подхода и "нецелевое"применение программного комплекса GST к этим задачам, результаты имеют относительно небольшие погрешности. Это позволяет активно использовать аппарат уравнений математической физики для успешного моделирования и надежного анализа свойств геологических объектов.

Метод районирования многопараметрических данных, реализованный в рамках обобщенной сплайн-аппроксимационной постановки задачи картопо-строения, сочетает в себе элементы использования статистического аппарата главных компонент и распознавания образов. Общая идея, так же как при решении задач распознавания образов, заключается в поиске в многомерном пространстве параметров гиперплоскости, которая оптимальным в определенном смысле образом разделяет имеющиеся данные на две группы. Фактически осуществляется построение "картьГудаленности многопараметрических точек от гиперплоскости, с поиском неизвестных коэффициентов гиперплоскости при условии минимизации отклонений от нее точек.

Сопоставление результатов использования этого метода районирования и методов, основанных на сочетании экспертных и кластерных подходов, полученных по данным о составе водорастворенного комплекса подземных вод неокомских отложений восточной субпровинции Западно-Сибирского нефтегазоносного бассейна и ряда прилегающих к нему районов, показало их удовлетворительную согласованность. При этом рассматриваемый метод районирования обеспечивает более высокую оперативность обработки данных за счет реализации в рамках одного программного комплекса GST и имеет ряд других преимуществ.

Высокая оперативность, наряду с простотой использования аппарата дифференциальных уравнений в частных производных проявилась и в решении другой практической задачи - анализе особенностей геометрии доюрского фундамента на Урненском и Усть-Тегусском нефтяных месторождениях в связи с оценкой влияния тектонического фактора на формирование фильтрационно-емкостных свойств коллекторов. В решении этой задачи проявились и возможности создания необходимой технологической цепочки и ее использования для автоматизации однотипных, но разномасштабных построений.

В качестве примера более комплексного (и более стандартного) использования программного комплекса GST в работе представлены результаты оценки гидроминеральных ресурсов (йодо-бромных вод) апт-сеноманских отложений Ханты-Мансийского автономного округа.

В процессе решения этой задачи выполнено построение большого числа карт, представляющих закономерности изменения гидрохимических показателей, геометрию коллекторов и их фильтрационно-емкостных свойств. Особенность этих построений заключается в итерационном характере технологии получения конечных результатов.

Небольшой объем фактических определений содержания йода в подземных водах, а также существенная неопределенность в качестве гидрохимических опробований потребовали построения карт по всему комплексу гидрохимических параметров; выявления на этой основе некачественных анализов, выделяющихся из общих пространственных закономерностей; построения промежуточных карт относительного содержания йода и брома и использования их в качестве дополнительной информации при результирующих построениях.

Определенные сложности структурных построений связаны с необходимостью согласованного описания геометрии уватской, ханты-мансийской и ви-куловской свит и соответствующих им верхней, средней и нижней подсвит по-курской свиты. Некоторая неоднозначность в выделении границ стратонов, а также субъективные факторы (опечатки в стратиграфических разбивках) определили необходимость нескольких итераций в построении структурных карт и карт общих толщин, в процессе которых ошибочные данные исправлялись или исключались. Различие в надежности выделения границ различных стратонов, особенно для средней подсвиты покурской свиты, определило необходимость учета в качестве косвенной информации данных по хорошо регионально прослеживаемым границам кузнецовской и алымской свит (и их аналогов).

Определение фильтрационно-емкостных параметров пластов (вследствие малого объема прямых определений) осуществляется в основном по результатам геофизических исследований в скважинах, а также по результатам гидродинамических опробований пластов. Сложность комплексирования результатов этих исследований заключается в различиях объектов их применения, а также в определяемых параметрах. В результате этого для картирования показателя проницаемости использовалась многоступенчатая технология построения карт отдельно по геофизическим и гидродинамическим данным; расчета температурных карт (участвующих в оценке вязкости подземных вод); определения пересчетных коэффициентов, используемых в окончательном варианте построений с учетом геофизических и гидродинамических данных.

Программный комплекс GST, базирующийся на сплайн-аппроксимационном подходе к решению задач геокартирования, обеспечил возможность конструирования (и протоколирования) технологий решения этих задач. В построении участвовало около ста разнообразных карт гидрохимических, структурных и фильтрационно-емкостных параметров.

Приведенные примеры свидетельствуют о том, что практическая реализация сплайн-аппроксимационных методов в комплексе с алгоритмизацией геоинформационных технологий к решению задач геокартирования в программном комплексе GST обеспечивает возможность решения широкого круга геологических задач, таких как выполнение структурных построений, оценка запасов месторождений нефти или гидроминеральных ресурсов подземных вод, районирование подземных вод по комплексу гидрогеохимических показателей и многие другие. В этом заключается четвертое защищаемое положение диссертации.

Представленные в работе и кратко изложенные в заключении результаты развития методов и программных средств применения сплайн-аппроксимационного подхода к картированию, моделированию и анализу свойств геологических объектов обусловлены основной целью исследований, отражают решение задач, поставленных перед исследованием и направлены на обоснование защищаемых положений. При этом, как представляется, большое разнообразие и взаимосвязанность вопросов собственно геологических, информационных и математических в развитии современных средств геокартирования определяют перспективность дальнейшего изучения и развития методов и технологий картирования свойств геологических объектов на основе сплайн-аппроксимационного подхода.

220

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Плавник, Андрей Гарьевич, 2013 год

Список использованных источников

1. Автоматизация технологии решения комплексных геологических задач, связанных с картопостроением / А.Г. Плавник, A.A. Сидоров, А.Н. Сидоров, М.С. Шутов // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. — 2009. — № 8. — С. 25-31.

2. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш.- 1972,- С. 320.

3. Аронов, В.И. Методы математической обработки данных на ЭВМ / В.И. Аронов, - М.: Недра, 1977,- С. 168.

4. Аронов, В.И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризация залежей нефти / В.И. Аронов. — М.: Недра, 1990. — С. 303.

5. Аронов, В.И. К вопросу о построении карт ошибок интерполяции / В.И. Аронов, В.И. Пороскун // Геофизика. - 2002. - № 2. - С. 39^0.

6. Атлас «Геологическое строение и нсфтегазоносность неокомского комплекса Ханты-Мансийского автономного округа - Югры» / Под ред. A.B. Шпильмана, Г.П. Мясниковой и Г.И. Плавника. — Ханты-Мансийск, 2007,- С. 191.

7. Ашкеназы, В.О. Сплайн - поверхности. Основы теории и вычислительные алгоритмы: Учебное пособие / В.О. Ашкеназы. — Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003,- С. 82.

8. Аюнов, Д.Е. Применение метода статистического моделирования (Монте-Карло) для оценки искажений геотемпературного поля поверхностным рельефом / Д.Е. Аюнов, А.Д. Дучков // Геология и геофизика. — 2008. — Т. 49, № 4,- С. 382-389. http://www.izdatgeo.ru/pdf/gig/2008-4/ 382 .pdf.

9. Барс, Е.А. Методические указания по использованию комплекса гидрогеохимических критериев миграции подземных вод. / Барс, Е.А. — М.: Мин. нефт пром-ти. ИГиРГИ АН СССР, 1987. - С. 24.

10. Березин, И.С. Методы вычислений, т.1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков, — М.: Физматгиз, 1962,— С. 464.

11. Бондаренко, С.С. Подземные промышленные воды / С.С. Бондаренко, Г.В. Куликов, - М.: Недра, 1984,- С. 358.

12. Бородкин, В.Н. Гидрохимическая характеристика клиноформ ачимовской толщи севера Западной Сибири / В.Н. Бородкин, Д.Л. Хоробрых, С.А. Любимов // Горные ведомости. — 2005. — № 8. — С. 52-56.

13. Василенко, В.А. Сплайн-интерполяция в прямоугольной области с хаотически расположенными узлами / В.А. Василенко, Е.М. Переломов // Машинная графика и ее приложение. — Новосибирск, 1973. — С. 96-102.

14. Васильев, Г. А. Требования промышленности к качеству минерального сырья. Справочник для геологов. Бром и йод. Вып. 76. / Г.А. Васильев, А.И. Дзен-Литовский. — М.: ГНТИ по геологии и охране недр, 1963.— С. 48.

15. Вертикальная и латеральная гидрохимическая зональность,типизация подземных вод Западно-Сибирского бассейна / Б.П. Ставицкий, А.Р. Курчиков, А.Э. Конторович, А.Г. Плавник // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. — 2006. — № 5/6. — С. 58-84.

16. Власова, Е.А. Приближенные методы математической физики / Е.А. Власова, B.C. Зарубин, Г.Н. Кувыркин; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищен-ко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С. 700 с.

17. Волков, A.M. Построение карты - вариационная задача / A.M. Волков // Геология и геофизика. — 1979. — № 1. — С. 60-65.

18. Волков, A.M. Решение практических задач геологии на ЭВМ / A.M. Волков - М • Недра, 1980, — С. 224.

19. Волков, A.M. Некорректные задачи, их геологическое истолкование, принятая терминология / A.M. Волков // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161, — Тюмень, 1981, — С. 5-23.

20. Волков, A.M. Обработка результатов экспериментов, заданных неравенствами / A.M. Волков // Планирование и обработка результатов геологоразведочных работ. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 171,- Тюмень, 1982,- С. 94-99.

21. Волков, A.M. Геологическое картирование нефтегазоносных территорий с помощью ЭВМ / A.M. Волков. - М.: Недра, 1988. — С. 221.

22. Волков, A.M. Геоинформатика / A.M. Волков. — Тюмень: «Вектор Бук», 2008.- С. 368.

23. Волков, A.M. Решение задач картирования в геологии с помощью сплайн-функций / A.M. Волков, В.Е. Касаткин, В.И. Пятков // Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 126.- Тюмень, 1978,- С. 31-50.

24. Волков, A.M. Моделирование на ЭВМ условий формирования песчаных разрезов / A.M. Волков, В.И. Кузнецов, В.М. Яковлев // Пути повышения эффективности геологоразведочных работ на нефть и газ в Тюменской области. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 148. - Тюмень, 1979.- С. 84-86.

25. Волков, A.M. Сплайн-аппроксимация в задачах картирования / A.M. Волков, В.И. Пятков, C.B. Торопов // В сб.: «Проблемы нефти и газа Тюмени», вып. 39. - Тюмень, 1978. - С. 74-78.

26. Волков, В.А. Достоверность структурных построений по данным сейсморазведки 2D / В.А. Волков, С.Ф. Кулагина, О.В. Киселев // Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО (седьмая научно-практическая конференция) т.2. — Ханты-Мансийск: ИздатНаукаСервис, 2004. — С. 200-207.

27. Волков, В.А. Исследование возможности совместного построения региональных структурных карт и карт средних скоростей / В.А. Волков, C.B. Торопов, Э.С. Торопов // Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО (девятая научно-практическая конференция) т. 1. — Ханты-Мансийск: ИздатНаукаСервис, 2006,— С. 162-168.

28. Геология нефти и газа Западной Сибири / А.Э. Конторович, И.И. Нестеров, Ф.К. Салманов и др. - М.: Недра, 1975. - С. 680.

29. Гидрогеология СССР т.16 / Под ред. В.А. Нуднера. — М.: Недра, 1970. — С. 368.

30. Гидрохимическая зональность юрских и меловых отложений ЗападноСибирского бассейна / Б.П. Ставицкий, А.Р. Курчиков, А.Э. Конторович, А.Г. Плавник // Геология и геофизика. - 2004. - Т. 45, № 7. - С. 826-832.

31. Гидрохимическая характеристика клиноформных нефтегазоносных резервуаров БВ4_5, БВ6_7 и БВв-э / А.Г. Плавник, Г.И. Плавник, М.В. Ицкович, Е.В. Олейник // Пути реализации нефтегазового потенциала Ханты- Мансийского автономного округа. Том 1 (десятая научно-практическая конференция). Под ред. Карасева В.И., Шпильмана A.B., Волкова В.А. — Ханты-Мансийск: 2007,- С. 205-212.

32. Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. — М.: Мир, 1999.-С. 548.

33. Де Бур, К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бур. — М.: Радио и связь, 1985,- С. 303.

34. Делоне, Б. Н. О пустоте сферы / Б. Н. Делоне // Изв. АН СССР. ОМЕН. -1934.- №4. -С. 793-800.

35. Дмитриевский, М.В. Оптимизация некоторых алгоритмов восстановления полей геологических и геофизических параметров. Дис... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / М.В. Дмитриевский,— Тюмень: Тюменский гос. ун-т, 2003,- С. 145.

36. Дубов Ю.А. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем / Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. — М.: Наука, 1986.- С. 296.

37. Дюбрул, О. Использование геостатистики для включения в геологическую модель сейсмических данных / О. Дюбрул. — EAGE, 2002. — 296 с.

38. Ершов, C.B. Компьютерное моделирование геологического строения кли-ноформного комплекса неокома северных и арктических районов Западной Сибири / C.B. Ершов, Г.Ф. Букреева, В.О. Красавчиков // Геология и геофизика. - 2009. - Т. 50, № 9. - С. 1035-1048.

39. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов,

B.JI. Мирошниченко. - М.: Наука, 1980,- С. 352.

40. Исаев, В.И. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса / В.И. Исаев, В.П. Шапеев, С.А. Еремин // Вычислительные технологии. - 2007. - Т. 12, № 3. - С. 53-70.

41. Карцев, A.A. Теоретические основы нефтегазовой гидрогеологии / A.A. Карцев, Ю.П. Гаттенберг, Л.М. Зорькин. - М.: Недра, 1992,- С. 208.

42. Касаткин, В.Е. Программа построения геологических полей для задач поиска и разведки залежей углеводородов / В.Е. Касаткин // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161. — Тюмень, 1981.-С. 79-91.

43. Касты, Дж. Методы погружения в прикладной математике / Дж. Касти, Р. Калаба. - М.: Мир, 1976. - С. 223.

44. Каталог литолого-стратиграфических разбивок разрезов поисково-разведочных скважин, т 1. Ханты-Мансийский автономный округ. / Под ред. В.Ф Гришкевича, Е.А. Теплякова. — Ханты-Мансийск, 2000. — С. 432.

45. Коллекторские и емкостные свойства глин баженовской свиты / А.Р. Кур-чиков, А.Г. Плавник, В.А. Сайтов, В.В. Хабаров /У Проблемы нефти и газа Тюмени. - 1981. — № 49. — С. 12-15.

46. Комплексы программ моделирования геологических поверхностей и подсчета запасов - GeoFluid, Medium, GST / А.H. Сидоров, А.Г. Плавник, М.С. Шутов и др. // Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО. Шестая научно-практическая конференция. Ханты-Мансийск, т. 2.-2003.-С. 257-258.

47. Конторович, А.Э. Редкие и рассеянные элементы в пластовых водах нефтеносных отложений Западно-Сибирской низменности / А.Э. Конторович // Литология и полезные ископаемые. — 1963. — № 2. — С. 282-287.

48. Конторович, А.Э. Об условиях формирования химического состава подземных вод Западно-Сибирской низменности / А.Э. Конторович, Ю.Г. Зимин // Тр. СНИИГГиМС, вып. 78. - Новосибирск, 1968. - С. 83-95.

49. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближения / Н.П. Корнейчук. — М.: Наука, 1984,- С. 352.

50. Корценштейн, В.Н. Методика гидрогеологических исследований нефтегазоносных районов / В.Н. Корценштейн,— 3-е изд.— М.: Недра, 1991.—

C. 419.

51. Красавчиков, В.О. Комплексная интерпретация слабо согласованных геолого-геофизических данных при построении региональных структурных карт (на примере осадочного чехла Западно-Сибирской плиты) / В.О. Красавчиков // Геология и геофизика. — 2002. — Т. 43, № 5. — С. 456469.

52. Крутиков, Н.М. Гидрогеология северо-западного борта ЗападноСибирского артезианского бассейна / Н.М. Кругликов. — Л.: Недра, 1964,- С. 165.

53. Кругликов, Н.М. Гидрогеология Западно-Сибирского нефтегазоносного мегабассейна и особенности формирования залежей углеводородов / Н.М. Кругликов, В.В. Нелюбин, О.Н. Яковлев, — Л.: Недра, 1985, — С. 279.

54. Курников, А.Р. Гидрогеотермические критерии нефтегазоносности / А.Р. Курчиков.- М.: Недра, 1992,- С. 231.

55. Курчиков, А.Р. Кластеризация гидрогеохимических данных в задачах оценки прогнозных ресурсов углеводородов нефтегазоносных комплексов Западной Сибири / А.Р. Курчиков, А.Г. Плавник // Геология и геофизика. — 2009.-Т. 50, № П. - С. 1218-1226.

56. Курчиков, А.Р. Геотермия нефтегазоносных областей Западной Сибири / А.Р. Курчиков, Б.П. Ставицкий, — М.: Недра, 1987, — С. 134.

57. Jleyc, В.А. Решение задач геологической компьютерной картографии на основе потенциал-полиномов / В.А. Леус // Геология и геофизика. — 1998.— Т. 39, № 10.-С. 1423-1430.

58. Леус, В.А. Интерполяционный метод учета косвенной информации при построении карт геологических поверхностей / В.А. Леус // Геология и геофизика. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 223-234.

59. Маврицкий, Б.Ф. Западно-Сибирский артезианский бассейн: Гидрогеологические условия Минусинского межгорного прогиба / Б.Ф. Маврицкий. — М., 1962.-С. 175.

60. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. — М.: Наука, 1977,- С. 456.

61. Местецкий, Л.М. Математические методы распознавания образов. Курс лекций / Л.М. Местецкий. — М.: МГУ, ВМиК, кафедра ММП, 2002. - С. 85. www.ccas.ru/frc/papers/mestetskii04course.pdf.

62. Метод определения вероятного распространения площади нефтяной залежи / A.M. Волков, В.Е. Касаткин, А.Н. Сидоров и др. // Основные направления геологоразведочных работ в Западной Сибири. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 170,-Тюмень, 1981,-С. 112-113.

63. Методика построения карты изохрон отражающего горизонта А и структурной карты поверхности доюрского основания осадочного чехла территории ХМАО / В.А. Волков, В.Н. Гончарова, А.Г. Мухер и др. // Вестник недропользователя ХМАО. — 2004. — № 14. — С. 54-61.

64. Методы изучения и оценка ресурсов глубоких подземных вод / Под ред. Вартанян Г.С. Бондаренко С.С. - М.: Недра, 1986. - С. 479.

65. Митрохин, Ю.В. Программа генерации и интерпретации языка макроопределении / Ю.В. Митрохин // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161. — Тюмень, 1981.- С. 108-112.

66. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Мих-лин. - М.: Наука, 1970. - С. 512.

67. Модель процесса извлечения нефти из глинистых битуминозных пород баженовской свиты Западной Сибири. / И.И. Нестеров, Б.П. Ставицкий, А.Р. Курчиков, А.Г. Плавник // Проблемы нефти и газа Тюмени. — 1979. — №44.-С. 15-19.

68. Назаренко, Е.В. Сплайн-аппроксимация на основе триангуляции / Е.В. Назаренко // Проблеми програмування. — 2008,— № 2-3,— С. 657-664. http://eprints.isofts.kiev.ua/438/l/231_D42-c657.pdf.

69. Неймарк, Ю.И. Метод наименьших квадратов как управляемая динамическая система / Ю.И. Неймарк, Л.Г. Теклина // Электронный научный журнал «Исследовано в России». — 2002,— С. 641-650. http://zhurnal. аре.relarn.ru/articles/2002/059.pdf.

70. Нестеров, И.И. Масштабы межпластовых перетоков нефти на скважинах месторождения Большой Салым / И.И. Нестеров, А.Г. Плавник, Б.П. Ставицкий // В сб. «Строение и нефтегазоносность баженитов Западной Сибири». - Тюмень: ЗапСибНИГНИ, 1985,- С. 164-169.

71. Нестеров, И.И. Гидрогеологические особенности нефтеносных толщ Западно-Сибирской низменности / И.И. Нестеров, H.H. Ростовцев, Б.П. Ставицкий // В сб. Геологическое строение и нефтегазоносность Западно-Сибирской низменности / Под ред. д.г.-м.н. H.H. Ростовцева. — М.: Недра, 1965,- С. 166-171.

72. Нижнесреднеюрские отложения юга Западной Сибири (геохимия, гидрогеология, нефтегазоносность) / B.C. Сурков, A.M. Казаков, В.П. Девятое и др. // Геология нефти и газа. — 1999. — № 3-4. — С. 3-11.

73. Общая корреляция разрезов скважин и ее детализация сплайн-аппроксимацией / А.П. Пермяков, С.А. Предеин, В.И. Пятков, Н.Г. Хорошев // Планирование и обработка результатов геологоразведочных работ. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 171,- Тюмень, 1982,- С. 55-59.

74. Особенности подсчета извлекаемых запасов нефти в залежах баженовского типа / И.И. Нестеров, Б.П. Ставицкий, А.Р. Курчиков и др. // «Промыслово-геофизические исследования залежей нефти баженовского типа». Тюмень, Тр.ЗапСибНИГНИ, вып. 193.- Тюмень, 1985,- С. 4-25.

75. Особенности химического состава поровых вод донных отложений различных районов озера Байкал / Т.В. Погодаева, Т.И. Земская, Л.П. Голобокова

и др. // Геология и геофизика.— 2007.— Т. 48, № 11.— С. 1144-1160. http://www.izdatgeo.ru/pdf/gig/2007-ll/1144.pdf.

76. Пакет программ решения задач геологии нефти и газа / Под ред. A.M. Волкова. — Тюмень: Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161, 1981. - С. 118.

77. Пацко, Н.Л. О численном решении эллиптических краевых задач методом конечных элементов с применением В-сплайнов / Н.Л. Пацко // Ж. вычисл. матем. иматем. физ.— 1994.-Т. 34, № 10, — С. 1412-1426.

78. Пацко, Н.Л. В-сплайны в методе конечных элементов / Н.Л. Пацко, Ю.Н. Субботин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1998. — Т. 38, № 1. — С. 15-24.

79. Плавник, А.Г. Обобщенная сплайн-аппроксимационная постановка задачи картирования свойств геологических объектов / А.Г. Плавник // Геология и геофизика.-2010.-Т. 51, № 7.- С. 1027-1037.

80. Плавник, А.Г. Оценка устойчивости решения задачи картирования в рамках сплайн-аппроксимационного подхода / А.Г. Плавник // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. — 2010,— № 9.— С. 20-27.

81. Плавник, А.Г. Результаты оценки общей пустотности пород баженовской свиты по данным ГГК / А.Г. Плавник, М.Е. Гороховцева, М.В. Мальцева // Тезисы VI годичной конференции ВМО. — Тюмень, 1987. — С. 217-218.

82. Плавник, А.Г. Методические аспекты задач типизации и районирования подземных вод Западной Сибири / А.Г. Плавник, А.Р. Курчиков, Б.П. Ста-вицкий /V Известия ВУЗов. Нефть и газ. — 2008. — № 6. — С. 4-12.

83. Плавник, А.Г. Районирование многопараметрических данных в постановке задачи картопостроения / А.Г. Плавник, А.Р. Курчиков, Б.П. Ставицкий // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. — 2009.-№ 6.- С. 18-23.

84. Плавник, А.Г. К оценке достоверности картирования свойств геологических объектов в рамках сплайн-аппроксимационного подхода / А.Г. Плавник, А.Н. Сидоров // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2012,- Т. XV, № 1 (49).- С. 66-76.

85. Плавник, А.Г. Задача построения карт с точки зрения конечных элементов / А.Г. Плавник, А.Н. Сидоров, М.С. Шутов // Вестник недропользователя. — 2003.-№ 12.-С. 71-76.

86. Плавник, А.Г. Начальное пластовое давление в коллекторе баженовской свиты Салымского месторождения / А.Г. Плавник, Б.П. Ставицкий // «Промыслово-геофизические исследования залежей нефти баженовского типа». Тр.ЗапСибНИГНИ, вып. 193. - Тюмень, 1985,- С. 122-133.

87. Планирование и обработка результатов геологоразведочных работ / Под ред. A.M. Волкова. - Тюмень: Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 171, 1982. - С. 152.

88. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 576.

89. Порошин, В.Д. Методы обработки и интерпретации гидрохимических данных при контроле разработки нефтяных месторождений. / В.Д. Порошин,

B.В. Муляк,- М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2004,- С. 220.

90. Предварительные результаты работ построения структурной карты по отражающему горизонту А (поверхность доюрского основания) / В.А. Волков, В.И. Пятков, А.Н. Сидоров и др. // Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО (Труды VI научно-практической конференции) т.1.— Ханты-Мансийск: ИздатНаукаСервис, 2001, — С. 154-161.

91. Прикладная статистика: Классификации и снижение размерности /

C.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. — М.: Финансы и статистика, 1989.— С. 607.

92. Прокопъева, Р.Г. Гидрогеохимический метод оценки нефтегазоносности и его использование в условиях Западной Сибири / Р.Г. Прокопьева,

A.В. Рыльков // Геология нефти и газ. — 1995. — № 10. — С. 35-39.

93. Пятков, В.И. Программа обработки карт (FLRES) / В.И. Пятков // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161,- Тюмень, 1981,- С. 53-71.

94. Пятков, В.И. Методы учета косвенной информации в задачах моделирования геологических поверхностей / В.И. Пятков // Проблемы нефти и газа Тюмени. - 1983. - С. 53-57.

95. Пятков, В.И. Методика построения карт эффективных мощностей /

B.И. Пятков, В.К. Рыбак, C.B. Торопов // Проблемы нефти и газа Тюмени. - 1982,- С. 61-65.

96. Пятков, В.И. Сплайн-сглаживание с учетом априорной информации /

B.И. Пятков, А.Н. Сидоров, Н.Г. Хорошев // Математические методы и ЭВМ в геологии и разработке нефтяных и газовых месторождений Западной Сибири. Межвузовский тематический сборник, вып. 50. — Тюмень, 1976.-С. 58-61.

97. Пятков, В.И. Моделирование геологических поверхностей / В.И. Пятков,

C.B. Торопов // Планирование и обработка результатов геологоразведочных работ. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 171,- Тюмень, 1982,- С. 66-73.

98. Пятков, В.И. Теоретическое исследование модели картирования геологических поверхностей / В.И. Пятков, C.B. Торопов // Планирование и обработка результатов геологоразведочных работ. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 171,-Тюмень, 1982,-С. 74-80.

99. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. - М.: Мир, 1985. - Р. 590.

100. Родионов, Д. А. Статистические решения в геологии / Д.А. Родионов. — М.: Недра, 1981,-С. 231.

101. Роженко, А.И. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации / А.И. Роженко. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2005. - С. 244.

102. Розин, A.A. Подземные воды Западно-Сибирского артезианского бассейна и их формирование / A.A. Розин. — Новосибирск: Наука, 1977. — С. 101.

103. Рудкевич, М.Я. Нефтегазоносные комплексы Западно-Сибирского бассейна / М.Я. Рудкевич, Л.С. Озеранская, Н.Ф. Чистякова. — М.: Недра, 1988. — С. 303.

104. Свидетельство о регистрации программы GST в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам № 2005612939 / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник, A.A. Сидоров и др. — 2005.

105. Семин, Л.Г. Метод коллокаций - наименьших квадратов для уравнений Стокса / Л.Г. Семин, А.Г. Слепцов, В.П. Шапеев // Вычислительные технологии.- 1996,- Т. 1, № 2,- С. 90-98.

106. Сидоров, A.A. Компьютерная модель упруго-хрупкого разрушения горных пород / A.A. Сидоров // Геология и геофизика. — Т. 41, № 12. — С. 17981803.

107. Сидоров, А.Н. Математические методы обработки и интерпретации геолого-геофизической информации на примере построения карт геологических параметров / А.Н. Сидоров // Проблемы нефти и газа Тюмени. —

Г\ гр А Л /~1 Г Л У" А

979. — Т. ча. — эу-ОЧ.

108. Сидоров, А.Н. Метод оптимального построения карт геологических параметров с точки зрения интерполирующих и сглаживающих сплайнов / А.Н. Сидоров // Проблемы нефти и газа Тюмени, вып. 42.— 1979,— №44.-С. 12-24.

109. Сидоров, А.Н. Метод оптимального построения карт геологических параметров с точки зрения интерполирующих и сглаживающих сплайнов / А.Н. Сидоров // Проблемы нефти и газа Тюмени. — 1980. — С. 76-77.

110. Сидоров, А.Н. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методами сплайн-аппроксимации / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004, 4.2 / Под ред. Г.А. Михайлова, В.П. Ильина и Ю.М. Лаевского. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 648-652.

111. Сидоров, А.Н. Определение и учет интегральных показателей в задачах геокартирования / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. — 2009.— № 5.— С. 1620.

112. Сидоров, А.Н. Геометрическое моделирование залежей нефти и газа с использованием программ ГеоФлюид и Medium / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник, М.С. Шутов // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Геология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна», часть 2. - Тюмень: 2000. - С. 82-84.

ИЗ. Сидоров, А.Н. Особенности моделирования залежей нефти и газа в программах Геофлюид и Medium / А.Н. Сидоров, А.Г. Плавник, М.С. Шутов // Тезисы докладов пятой научно-практической конференции "Пути реализации нефтегазового потенциала ХМАО",— Ханты-Мансийск: 2001.— С. 147-148.

114. Сидоров, А.Н. К вопросу оценки точности карт в изолиниях / А.Н. Сидоров, C.B. Торопов // Проблемы нефти и газа Тюмени.— 1976,— Т. 42,— С. 62-65.

115. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение / А. В. Скворцов. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002,— С. 128.

116. Смоляк, С.А. Сплайны и их применение / С.А. Смоляк // Экономика и математические методы.— 1971. — Т. 7, № 3.— С. 419^431.

117. Ставицкий, Б.П. Некоторые особенности описания стационарного состояния подземных растворов / Б.П. Ставицкий, А.Г. Плавник // Труды ЗапСиб-НИГНИ. - 1981. - № 164. - С. 3-18.

118. Ставицкий, Б.П. Определение степени равновесности системы залежь -фон / Б.П. Ставицкий, А.Г. Плавник // Труды ЗапСибНИГНИ. - 1981. - № 170.- С. 97-98.

119. Ставицкий, Б.П. Оценка физико-химического взаимодействия свободных и водорастворенных газов вблизи углеводородных скоплений / Б.П. Ставицкий, А.Г. Плавник // Молекулярная геохимия нефтегазоносных отложений Западной Сибири. - Тюмень: ЗапСибНИГНИ, 1982.- С. 97-98.

120. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. - М.: Наука, 1976,- С. 248.

121. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов,

B.Я. Арсенин,- М.: Наука, 1979.- С. 285.

122. Торгованова, В.Б. Воды и газы палеозойских и мезозойских отложений Западной Сибири / В.Б. Торгованова, Н.В. Дуброва, Н.М. Кругликов. — Л.: Гостоптехиздат, I960. — С. 460.

123. Торопов, C.B. Программа построения региональных карт в изолиниях /

C.B. Торопов // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161,- Тюмень, 1981,- С. 43-52.

124. Торопов, C.B. Картирование плотности прогнозных ресурсов углеводородов / C.B. Торопов // Вестник недропользователя. — 2002. — № 11. — С. 4549.

125. Торопов, C.B. Программа построения карт в изолиниях для локальных поднятий / C.B. Торопов, В.И. Пятков // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161.— Тюмень, 1981.— С. 2442.

126. Фомин, А.Н. Катагенез органического вещества и перспективы нефтега-зоносности юрских, триасовых и палеозойских отложений северных районов Западно-Сибирского мегабассейна / А.Н. Фомин, А.Э. Конторович, В.О. Красавчиков // Геология и геофизика. — 2001. — Т. 42, № 12. — С. 18751887.

127. Формирование модели структуры гидрохимического поля ЗападноСибирского нефтегазоносного бассейна / Б.П. Ставицкий, А.Р. Курчиков, А.Э. Конторович, А.Г. Плавник // Материалы Международной конференции «Фундаментальные проблемы нефтегазовой гидрогеологии».— М.: ГЕОС, 2005,-С. 171-176.

128. Шварцев, C.JI. Природа вертикальной гидрогеохимической зональности нефтегазоносных отложений (на примере Надым-Тазовского междуречья, Западная Сибирь) / C.JI. Шварцев, Д.А. Новиков // Геология и геофизика. — 2004,- Т. 45, № 8.- С. 1008-1020.

129. Шпильман, A.B. Клиноформные резервуары - объекты оценки потенциальных ресурсов углеводородов в нижнемеловых отложениях Среднего Прио-бья / A.B. Шпильман, Г.И. Плавник, Е.В. Олейник // Пути реализации нефтегазового потенциала Ханты-Мансийского автономного округа, том 1. — Ханты-Мансийск, 2005,- С. 190-201.

130. Яковлев, В.М. К постановке задачи картирования структурных поверхностей в связи с оценкой их точности / В.М. Яковлев // Проблемы нефти и газа Тюмени. - 1979,- С. 74-76.

131. Яковлев, В.М. Моделирование случайных реализаций и оценка коридора ошибок карты удельных запасов нефти / В.М. Яковлев // Пакет программ решения задач геологии нефти и газа. Тр. ЗапСибНИГНИ, вып. 161. — Тюмень, 1981.-С. 72-78.

132. Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun. — Dover publications, 1972.-P. 470.

133. Ahlberg, J.H. The Theory of Splines and Their Applications / Ahlberg, J.H., Nilson, E.N., Walsh, J.L. - New York: Acadevic Press, 1967. - P. 284.

134. An experimental comparison of ordinary and universal kriging and inverse distance weighting / Dale Zimmerman, Claire Pavlik, Amy Rug-gles, M.P. Armstrong // Mathematical Geology.— 1999.— Vol. 31, no. 4,— Pp. 375-390. http://www.springerlink.com/index/ R21248351526T0W8.pdf.

135. Briggs, I.C. Machine contouring using minimum curvature / I.C. Briggs // Geophysics.- 1974,- Vol. 39, no. 1.- Pp. 39-48. http: //www.fcaglp.unlp.edu.ar/referenciacion/images/ Machine_contouring_using_minimum_curvature.pdf.

136. Carlson, R.E. Radial Basis Interpolation Methods on Track Data. UCRL-JC-1074238 / R.E. Carlson, T.A. Foley. — Livermore: Lawrence Livermore National Laboratory, 1991.

137. Carlson, R.E. The parameter R2 in multiquadric interpolation / R.E. Carlson, T.A. Foley // Computers & Mathematics with Applications. — 1991.— Vol. 21, no. 9. - Pp. 29-12.

138. Comparison of Kriging and Neural Networks With Application to the Exploitation of a Slate Mine / J. M. Matias, A. Vaamonde, J. Taboada, W. Gonzâlez-Manteiga // Mathematical Geology. — 2004. — Vol. 36, no. 4. — Pp. 463-486.

139. Cressie, N. The Origins of Kriging / N. Cressie // Origins.- 1990,- Vol. 22, no. 3.-Pp. 239-252.

140. Cressie, N.A.C. Statistics for spatial data / N.A.C. Cressie. — New York: John Wiley and Sons, 1991. - Vol. 4. - P. 900.

141. de Boor, C. Bicubic spline interpolation / C. de Boor // J. Math. Phys. — 1962. — Vol. 41, no. 3.-Pp. 212-218.

142. de Boor, C. A Practical Guide to Splines / C. de Boor. — New York: SpringerVerlag New York Inc, 1978. - P. 392.

143. Deutsch, C.V. GSLIB: Geostatistical software library and user's guide /' C.V. Deutsch, A.G. Journel.— New York: Oxford University Press, 1998,— Vol. 369.-P. 338.

144. Dubrule, Olivier. Cross validation of kriging in a unique neighborhood / Olivier Dubrule // Mathematical Geology.— 1983.— Vol. 15, no. 6,— Pp. 687-699. http://www.springerlink.com/index/ uj8530j404054857.pdf.

145. Emery, X. Uncertainty modeling and spatial prediction by multi-Gaussian kriging: Accounting for an unknown mean value / X. Emery // Computers & Geo-sciences. - 2008. - Vol. 34, no. 11,- Pp. 1431-1442.

146. Evaluation of graphical and multivariate statistical methods for classification of water chemistry data / C. Giiler, G. Thyne, J. McCray, K. Turner // Hydrogeol-ogy Journal. — 2002. - Vol. 10, no. 4. - Pp. 455^174.

147. Franke, R. Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods. / R. Franke // Math. Comput.- 1982,- Vol. 38, no. 157.- Pp. 181200. http://www.ams.org/journals/mcom/1982-38-157/ S0025-5718-1982-0637296-4/S0025-5718-1982-0637296-4 . pdf.

148. Franke, R. Smooth interpolation of large sets of scattered data / R. Franke, G. Nielson // International Journal for Numerical Methods in Engineering. —

1980.- Vol. 15, no. 11.- Pp. 1691-1704. http://onlinelibrary. wiley.com/doi/10.1002/nme.1620151110/pdf.

149. Gold, Ch.M. Problems with handling spatial data - the Voronoi approach / Ch.M. Gold // CISMjournal. - 1991,- Vol. 45, no. 1,- Pp. 65-80.

150. Guibas, L. Primitives for the manipulation of general subdivisions and the computation of Voronoi / L. Guibas, J. Stolfi // ACM Transactions on Graphics (TOG). - 1985. - Vol. 4, no. 2. - Pp. 74-123.

151. Harder, R.L. Interpolation using surface splines / R.L. Harder, R.N. Desmarais // Journal of Aircraft. — 1972. - Vol. 9, no. 2. - Pp. 189-191.

152. Hengl, T. Geostatistical modeling of topography using auxiliary maps / T. Hengl, B. Bajat, D. Blagojevic // Computers & Geosciences.— 2008,— Vol. 34, no. 12,-Pp. 1886-1889.

153. Hitchon, B. Culling criteria for "standard" formation water analyses / B. Hitchon, M. Brulotte // Applied Geochemistry.— 1994,— Vol. 9, no. 6,— Pp. 637-645.

154. Integrating seismic data in reservoir modeling: the collocated cokriging alternative / W. Xu, TT Tran, RM Srivastava, AG Journel // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. - 1992.- Pp. 833-842.

155. Isaaks, E.H. An introduction to applied geostatistics / E.H. Isaaks, R.M. Srivastava. - New York: Oxford University Press, USA, 1989. - P. 561.

156. Journel, A.G. Fundamentals of geostatistics in five lessons / A.G. Journel.— Washington: Amer Geophysical Union, 1989. — Vol. 8, — P. 134.

157. Journel, A.G. Mining Geostatistics / A.G. Journel, C. Huijbregts.— London: Academic Press, 1978. - P. 600.

158. Lawson, C.L. Software for CI surface interpolation / C.L. Lawson // Mathematical software III / Ed. by J. Rice. — New York: Academic Press, 1977.— Vol. 3.-Pp. 161-194.

159. Lee, D.T. Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation / D.T. Lee, B.J. Schachter // International Journal of Computer and Information Sciences.- 1980,- Vol. 9, no. 3.- Pp. 219-242. http://www. springerlink.com/index/K77R2UU824G5343T.pdf.

160. Mardia, KV. Kriging and splines with derivative information / KV Mardia, JT Kent, CR Goodall // Biometrika. - 1996. - Vol. 2. - Pp. 207-221.

161. Matheron, G. Splines and kriging: their formal equivalence / G. Matheron // Down-to-Earth Statistics: Solutions Looking for Geological Problems. —

1981.-Vol. 8.- Pp. 77-95.

162. Moyeed, R.A. An empirical comparison of kriging methods for nonlinear spatial point prediction / R.A. Moyeed, Andreas Papritz // Mathematical Geology. — 2002,- Vol. 34, no. 4,- Pp. 365-386. http://www. springerlink. сош/index/JVJ9J5C1HLBPG6MF.pdf.

163. Powell, M.J.D. The theory of radial basis function approximation in 1990 / M.J.D. Powell // Advances in Numerical Analysis, Vol. II: Wavelets, Subdivision Algorithms and Radial Functions / Ed. by W. Light. — Oxford: University Press, 1990.-Pp. 105-210.

164. Renka, R.J. Multivariate interpolation of large sets of scattered data / RJ. Ren-ka // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). — 1988. — Vol. 14, no. 2.-Pp. 139-148.

165. Sarkozy, F. GIS functions - interpolation / F. Sarkozy // Periodica Polytechnica. Ser. Civil Engineering. - 1999. - Vol. 43, no. 1. - Pp. 63-86.

166. Sarzeaud, O. Optimal Interpolation of Gravity Maps Using a Modified Neural Network / O. Sarzeaud, M.F. LeQuentrec-Lalancette, D. Rouxel // Mathematical Geosciences. - 2009. - Vol. 41, no. 4. - Pp. 379-395.

167. Shepard, D. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data / D. Shepard // Proceedings of the 1968 23rd ACM national conference. — ACM, 1968.-Pp. 517-524.

168. Sibson, R. A vector identity for the Dirichlet tessellation / R. Sibson // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — Vol. 87. — Cambridge Univ Press, 1980.-Pp. 151-155.

169. Sibson, R. A brief description of natural neighbour interpolation / P.. Sibson // Interpreting multivariate data / Ed. by V. Barnett. — New York: John Wiley and Sons, 1981.-Vol. 21.- Pp. 21-26.

170. Smith, W.H.F. Gridding with continuous curvature splines in tension / W.H.F. Smith, P. Wessel // Geophysics. - 1990. - Vol. 55, no. 3. - Pp. 293-305.

171. Watson, Dave. Nngridr: An Implementation of Natural Neighbor Interpolation / Dave Watson. — Clarement: David Watson, 1994. — P. 170.

172. Wessel, P. Interpolation with splines in tension: A Green's function approach / P. Wessel, D. Bercovici // Mathematical geology.— 1998. — Vol. 30, no. 1,—Pp. 77-93. http://www.springerlink.com/index/ v7h858q3044 65rwh.pdf.

173. Wilkinson, J.H. A priori error analysis of algebraic processes / J.H. Wilkinson // Труды Международного конгресса математиков (Москва - 1966).— М.: Мир, 1968,- Pp. 629-640. http://www.mathunion.org/ICM/ ICM1966.l/Main/icml966.1.0629.0640.ocr.pdf.

174. Xingong, Li. Development of a neural network spatial interpolator for precipitation estimation / Li Xingong // Proceedings of the GIS/LIS'97 Annual Con-