Применение линеаризованных кинетически согласованных разностных схем для моделирования задач аэроакустики на многопроцессорных вычислительных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Александров, Анатолий Витальевич

• Александров, Анатолий Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Александров, Анатолий Витальевич

Введение

Глава 1.

Линеаризованные кинетически-согласованные разностные схемы

1.1. Кинетически-согласованные разностные схемы.

1.2. Линеаризованные КСРС.

1.3. ЛКСРС на треугольных сетках.

1.4. Тестовый расчет.

Глава 2.

Численное исследование распространения акустических шумов.

2.1. Постановка задачи для 2Б каверны.

2.2. Спектральные характеристики течения на различных сетках.

2.3. Трехмерный канал.

Глава 3.

Параллельная адаптация.

3.1. Некоторые тенденции и трудности параллельного програмирования

3.2. Метод и результаты распараллеливания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение линеаризованных кинетически согласованных разностных схем для моделирования задач аэроакустики на многопроцессорных вычислительных системах»

Одной из важных проблем современной аэродинамики является адекватное математическое описание процессов распространения и генерации акустического шума в потоках газа, обтекающего летательный аппарат.

Возникающие шумы не только негативно воздействуют на саму конструкцию обтекаемого летательного аппарата, но и служат источником дискомфорта как в самом самолете, так и вблизи аэродромов. Достаточно отметить, что с 1 апреля 2002г. введен запрет на полеты в аэропорты Европы самолетов, не отвечающих стандартам Международной организации гражданской авиации (ИКАО) по экологии, одним из основных пунктов которых являются ограничения, связанные с уровнем шумно-сти. Поэтому вопросы генерации и распространения шума в потоке газа вызывают постоянный интерес специалистов авиационной и космической техники.

Кроме того, причиной такого интереса является изобилие конструктивных элементов летательных аппаратов, при обтекании которых возникают шумы.

Образование вихрей и их ускоренное движение в неоднородном поле течения, которое происходит при обтекании тел, помещенных в поток, является основной причиной аэродинамической генерации звука [9].

Наряду с этим шумы могут возникать вследствие вибрации поверхности обтекаемого тела.

С другой стороны, исследования взаимодействия акустического шума с движущимися газовыми потоками вносят вклад в изучение турбулентности и механизмов возникновения этого физического явления.

Попытки описания процессов генерации и распространения акустического шума в потоках газа предпринимаются достаточно давно. Принято считать, что первыми в данной области были работы Струхаля, выполненные в 1878 году. Он исследовал шум, генерируемый круглой проволокой, движущейся в потоке газа ("Эолова арфа"), а также Релея в 1879, исследовавшего колебания скрипичной струны также в потоке газа1.

Фактически до конца второй мировой войны в инженерных приложениях проблему зашумленности рассматривали лишь как мелкое неудобство и, хотя в это время выходили работы, посвященные генерации и распространению шума, промышленностью она практически игнорировалась.

С появлением турбореактивных двигателей, а также с возникшими несколько позже проблемами в ядерных реакторах, отношение к данной проблеме меняется.

В 1946г. выходит монография Д.И. Блохинцева "Акустика неоднородной движущейся среды", в которой, в частности, получено уравнение для описания распространения звука в произвольном неоднородном потоке.

Большое распространение получила также т.н. аналогия Лайтхилла. В 1952-54гг. выходит ряд работ Лайтхилла [1] - [4], в которых для описания генерации звука потоком предлагается неоднородное волновое уравнение: дх&хз1 . 11 где Тц — ри^у — тц (р' ~ сУ)6ц - тензор турбулентных напряжений

Лайтхилла.

Данное уравнение можно получить из уравнения неразрывности и

Исходные причины звукообразования в этих случаях не связан ы с колебаниями тел, а обусловлены явлениями вихреобразования при обтекании тел потоком. Периодический срыв вихрей порождает периодические импульсы малых сжатий и разрежений. Поэтому соответствующий звук называют вихревым. Струхаль получил выражение для частоты звуковой волны, которая совпадает с частотой срыва вихрей. уравнения сохранения импульса путем дифференцирования первого по времени, а второго по пространственным переменным, и исключая величину^.

Лайтхилл заметил, что левая часть данного уравнения описывает распространение акустических волн в неподвижной среде. Он предположил, что тензор Ту, стоящий в правой части, отвечает за генерацию шума, т.е. правая часть в неоднородном волновом уравнении интерпретируется как эквивалентное нестационарному потоку распределение акустических источников, которые излучают в идеальную среду, находящуюся в покое.

При этом полагается, что область источников (область турбулентного потока), находящихся в однородной среде, относительно мала и ограничена.

Важным моментом в теории Лайтхилла является то, что член источника рассматривается как в некотором смысле заранее известная величина. Однако, этот член зависит от пульсаций плотности и поэтому его невозможно определить до тех пор, пока уравнение не решено. Определение Ту, по существу эквивалентно решению системы нелинейных уравнений газовой динамики, которое, как известно, для большинства представляющих интерес задач невозможно получить. Поэтому обычно ограничиваются приближенным расчетом акустического поля. Вместо большой расчетной области, включающей дальнее поле, в которой соб9 ственно и нужно оценить уровень шума, при численных расчетах можно ограничиться меньшей областью. Обычно расчет проводят в области источников, а затем, для определения звука в дальнем поле, решают уравнение Лайтхилла.

Вид тензора Ту позволяет выделить три основных аэроакустических явления, которые вносят основной вклад в источниковый член, а именно: нелинейные конвективные силы, описываемые рейнольдсовым тензором напряжений рущ, вязкие силы т^ и отклонение от изоэнтропического поведения - (р1 —

Теория Лайтхилла не учитывает влияние, порожденного потоком звука, на само течение. Поле полагается заранее известным и обратное влияние звука уже учтенным.

Аналогия Лайтхилла получила широкое применение, в особенности, при расчетах шума от струй и слоев смешения.

В то же время, в случае генерации шума турбулентной струей, звуковые волны, прежде чем достигнуть наблюдателя, претерпевают сильные искажения ввиду рефракции и рассеяния звука, вызванных большими градиентами параметров основного потока. Данными эффектами можно пренебречь лишь в случае малых чисел Маха, в противном же случае волнового оператора, стоящего в правой части уравнения (1), для описания распространения звука становится недостаточно. Поэтому в работах Лилли [18] и Филлипса [19] были предложены конвективные волновые уравнения. Филлипс в 1960г. попытался учесть взаимодействие движущегося потока со звуком, генерируемым этим потоком. Он для величины а — где ро - давление в окружающей среде, получил конвективное гО волновое уравнение, которое, в пренебрежении эффектами диссипации звука вследствие вязкости, согласно [20] можно записать в следующем виде:

- ±Ь А^пр=+1

Ш2 дх,\ дх})) 'тКсрт)'

2) где + а <5 - энтропия единицы массы жидкости.

Левая часть этого уравнения, описывающая распространение звука, в отличии от уравнений Лайтхилла, учитывает эффекты взаимодействия звука с потоком.

Члены правой части Филипс интерпретировал как члены, которые

1 пя отвечают за генерацию звука потоком, - соответствует генерации шума вследствие изменения энтропии, а - вследствие изменения скорости. Если мгновенную скорость У{ представить в виде суммы средней скорости и пульсационной, то, в случае изоэнтропического потока и учитывая только члены, содержащие пульсации скорости, правая часть этого уравнения может быть записана в виде: дху дх{ дх{ дхг

Лилли предположил, что за генерацию шума отвечает лишь член, содержащий пульсацию скорости в квадрате, второй же член отвечает за сдвиговую рефракцию, и должен быть перенесен в левую часть уравнения, отвечающую за распространение звука.

Он получил конвективное волновое уравнение, которое можно записать в виде: + у Л-)((Ё- + У д (с2 д ^ | п9"' 9 (с2 9 IV

Здх^)\\д1 3дху) 3 дх^\ дх^)) дхкдх^К дхк)) дхг дх« дхк где а = £ 1п 2 , а гл 7 Ро '

ПдцЛ (д + у д\ д Пдтгк 'дхгдхЛр дхк) \дЬ 3дх*] дх{\рдхк, д д \2/1 (д д

Левая часть уравнения Лилли, учитывая взаимодействия звука и потока, более корректно, чем уравнение Лайтхилла, описывает распространение звуковых волн, однако, до сих пор нет единого мнения по поводу

2При малой величине пульсационного давленияр' можно записать а = 1п ^ = ~ ^ = а'

разделения членов, отвечающих за распространение и генерацию звука. Кроме того, оператор, отвечающий за распространение шума, не учитывает нелинейных эффектов, и, поэтому, при высокой интенсивности звука, применяться не может.

В работе [24] сравнивается интенсивность и спектральная плотность излучения шума струи, получаемые при использовании уравнения Лай-тхилла (1) в комбинации с моделью Рибнера [25] с одной стороны, и моделью Голдштейна-Хоу [26], основанной на уравнении Лилли - с другой. Показано, что модель Рибнера дает хорошее согласование с экспериментальными данными при небольших числах Маха, однако, с его ростом в направлении против потока (углы 90° — 180°) точность расчетов падает и предпочтительней становится использование модели Голдштейна-Хоу.

Дальнейшим развитием теории Лайтхилла можно считать работы Хоу [6], Повелла [7] и Доак [8].

Ими для величины В = -f i, где i - энтальпия 3, было получено неоднородное конвективное волновое уравнение: уравнение, часто называют уравнением Блохинцева-Хоу, т.к. Блохинцев впервые получил однородное волновое уравнение, описывающее распространение звука, а Хоу впервые записал уравнение Блохинцева с правой частью в виде (4). Из уравнения (4) видно, что в данной модели причиной генерации звука является завихренность поля и неоднородность

3Иногда В называют энтальпией торможения, поскольку при нулевых скоростях она совпадает с энтальпией [9].

4) где и! = V xv, а = ё + скорость основного потока. Данное а Dt энтропии.

Среди работ, касающихся генерации шума при обтекании твердой поверхности, нужно отметить работы Ффоукса-Вильямса и Хавкингса [21]. В монографии Голсдстейна [10] с символическим названием "Аэроакустика "подробно рассматривается аналогия Лайтхилла и подходы на ней основанные.

Период, когда были выполнены данные работы, иногда называют золотым веком аэроакустики [5].

Подход, основанный на акустичесокй аналогии, позволяет воспользоваться мощным аппаратом классической акустики. В частности и поэтому в настоящее время аналогия Лайтхилла продолжает оставаться одной из наиболее часто используемых моделей для описания шума в инженерных расчетах.

Необходимо отметить, что в последнее десятилетие появляются статьи, в которых критикуются подходы, предложенные Лайтхиллом и его последователями [22], [23].

С развитием вычислительной техники, наука получает новые возможности. В середине 70-х годов в отдельный раздел науки выделяется возникшая ранее на стыке вычислительной математики и теоретической аэрогидродинамики вычислительная аэрогидродинамика. Одновременно с созданием более совершенных ЭВМ были получены впечатляющие результаты в решении многих фундаментальных проблем вычислительной математики, причем ведущую роль здесь сыграли крупные научные школы под руководством О.М. Белоцерковского, A.A. Дородницина, Г.И. Марчука, A.A. Самарского, А.Н. Тихонова.

Классические подходы к математическому моделированию задач аэродинамики и аэроакустики в частности базируются на численном решении уравнений Навье-Стокса. С ростом мощности используемых ЭВМ все более популярными становятся подходы на основе полного газодинамического описания. Среди таких подходов одним из наиболее многообещающих и в то же время естественных подходов является прямое моделирование с использованием уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа (DNS - direct numerical simulations). В данном подходе ближнее акустическое поле получается путем численного решения системы уравнений Навье-Стокса. При этом, отсутствуют ограничения на турбулентные масштабы, которые пытаются разрешить. Дальнее акустическое поле может быть оценено либо с помощью акустической аналогии либо используя интеграл Кирхгоффа. Прямое моделирование таких типичных аэроакустических задач, как излучение звука струей, дает достаточно хорошие результаты [27]. Однако, существующие на сегодняшний день компьютерные мощности не позволяют выполнять точные расчеты для задач с большим числом Рейнольдса. В данном подходе, естественно, не разрешаются пульсации с характерным пространственным масштабом, меньшим шага расчетной сетки, роль которых при определенных условиях может быть весьма существенной .

Для преодоления данных трудностей был предложен LES (large eddy simulations) метод. В соответствии с ним вводится специальный фильтр для крупномасштабных вихрей, которые затем можно моделировать с помощью прямого метода. При этом шумом, генерируемым маломасштабными структурами, пренебрегается. Для их учета используются специальные "n0flceT04Hbie"(subgrid) модели. В работах [28] и [29] LES метод применяется для моделирования шума струи (в рассмотренном в работе [28] случае число Рейнольдса равнялось 65000). Так же, как и DNS, LES метод остается достаточно требовательным в смысле вычислительных мощностей.

В настоящий момент одним из наиболее часто используемых в инженерных расчетах методов является метод, основанный на осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса. Для их замыкания обычно используют одну из моделей турбулентности.

Большая группа методов основывается на декомпозиции параметров в уравнениях Навье-Стокса или Эйлера на пульсационную составляющую и усредненное поле. При этом, как правило, предполагается, что основной поток удовлетворяет осредненным по Рейнольдсу уравнениям Навье-Стокса (RANS). В работе [32] в качестве основы для численного моделирования шума струи используются нелинейные уравнения для пульсационных составляющих (NLDE - поп linear disturbance equation). NLDE система получается путем обычной декомпозиции вектора переменных в уравнениях Навье-Стокса, на основную и пульсационную составляющие, но при этом в уравнениях оставлены не только линейные члены , но и члены следующего порядка по пульсациям.

На данный момент для моделирования параметров шума сверхзвуковых потоков достаточно широко используются линеаризованные уравнения Эйлера [29].

Часто полученные после линеаризации уравнения дополняют членом, отвечающим за генерацию шумов. Как это например сделано в SNRG [31] модели, в которой для этих целей используется комбинация фурье-мод.

Таким образом, в подавляющем большинстве случаев численные алгоритмы для расчета задач аэроакустики строятся на основе моделей, отправной точкой которых являются уравнения Эйлера и Навье-Стокса. При таком построении алгоритмов в тени остается тот факт, что сами уравнения газовой динамики могут быть получены с помощью процедуры осреднения из уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения.

Связь уравнений газовой динамики с уравнением Больцмана хорошо известна. Кинетическим уравнениям посвящено огромное количество литературы [33] - [36]. Использование непосредственно уравнения Больц-мана позволяет, в частности, получить важные результаты для свойств звука в газах. Так с помощью метода Чэмпмена-Энского можно получить закон дисперсии звука в газах [61] 4.

Во второй половине 70-х появляется серия работ, в которых предлагаются алгоритмы для численного моделирования задач газовой динамики, в основе которых лежит использование кинетической модели, описывающей течение газовой среды.

По всей видимости, одной из первых работ подобного рода следует считать работу [37]. В ней из кинетических уравнений с интегралом столкновений Бхатнагара, Гросса, Крука [39], в массовых лагранжевых координатах получены разностные кинетические уравнения, эквивалентные разностной схеме для дифференциальных уравнений газовой динамики.

Примеры расчетов тестовых задач, выполненные, в частности, в работах [38] - [41], показали, что разностные схемы для нахождения газодинамических величин, построенные на основе кинетических моделей, в отдельных случаях являются вполне конкурентоспособными по сравнению с существующими методами.

В работе [38] приводятся примеры расчетов одномерных тестовых задач и показывается, что полученная на основе уравнения Больцмана разностная схема, дает результаты более точные, чем аналогичные данные, полученные на основе применения схем Лакса -Вендрофа и Маккормака.

В работе [41] рассматривается возможность расчета течений сплошной среды, описываемых уравнениями Эйлера и Навье-Стокса, путем числен

4Скорость звука растет с частотой и одновременно возникает поглощение звука. Коэффициент поглощения быстро растет с уменьшением длины волны [61]. ного решения кинетического уравнения Больцмана, с учетом асимптотического вида функции распределения, даваемого методом Чепмена-Энского в нулевом (локально-максвелловском) или первом приближении. Приводящиеся в статье примеры решения тестовых задач (задача о поршне и одномерная задача о распаде разрыва), демонстрируют хорошее по сравнению с методом Годунова, согласование с аналитическим решением. Однако, в общем, качество расчетов, с учетом вычислительных затрат, уступало существующим на начало 80-х годов традиционным методам решения задач о течении идеального газа [51].

В работах [42],[44], Б.Н. Четверушкиным и Т.Г. Елизаровой был предложен новый алгоритм решения задач газовой динамики. На основе кинетической модели были получены относительно простые уравнения типа уравнений газовой динамики, а также предложена явная разностная схема для их численного решения. В дальнейшем эти схемы, получившие название кинетически согласованных разностных схем (КСРС), удалось представить как результат разностной аппроксимации уравнения Больцмана.

Предложенный в данных работах алгоритм сразу же показал свою конкурентоспособность с традиционными подходами [51] и вызвал целый ряд дальнейших публикаций [52], [53].

В частности, в работе [52] анализируется связь между решениями, получаемыми с помощью КСРС, и решениями уравнений Навье-Стокса для течений вязкого сжимаемого газа. Для описания таких течений предложена модификация КСРС - кинетичски согласованные разностные схемы с коррекцией.

В настоящей работе для описания распространения акустических шумов впервые предлагается алгоритм, основанный на линеаризованных кинетически согласованных разностных схемах (ЛКСРС). В диссертации линеаризованные кинетически согласованные разностные схемы получены как на основе КСРС, рассматриваемых как модель для описания динамики вязкого сжимаемого газа, так и при помощи линеаризации функции распределения относительно средних значений макропараметров.

Численное исследование проблем аэроакустики представляет собой достаточно сложную задачу. В первую очередь, это обусловлено малым масштабом акустических возмущений, особенно по сравнению с крупномасштабными колебаниями газодинамических параметров течения. Этот факт налагает дополнительные ограничения на применяемые численные методы и требует использования больших вычислительных мощностей.

Поэтому вполне естественным является использование для такого рода расчетов многопроцессорных вычислительных машин.

Идея применения параллельной обработки для увеличения производительности вычислительных машин была высказана Чарльзом Бэбби-джем еще за сто лет до появления первой электронной вычислительной машины. Естественно, что уровень развития технологий середины 19-го века не позволил ему реализовать данную мысль. Однако, с появлением первых электронных компьютеров эти идеи оказались востребованными в полной мере.

Принципиально важным этапом на пути внедрения параллельности в архитектуру высокопроизводительных компьютеров стала конвейерная организация выполнения команд и введение в систему команд векторных операций, позволяющих одной командой обрабатывать целые массивы данных. Завершенное воплощение идей параллельной обработки данных в рамках однопроцессорных систем представляли собой векторно-конвейерные суперкомпьютеры (рис. 1).

Следующим большим этапом в развитии компьютерных технологий было создание многопроцессорных систем, способных объединять мощности нескольких процессоров для решения одной задачи. По началу из-за сложностей с программированием для этих систем машины данного типа не могли конкурировать с векторно-конвейерными компьютерами, которые предоставляли пользователям привычную среду программирования. Такая ситуация сохранялась вплоть до середины 80-х годов, когда появляются первые промышленные образцы мультипроцессорных систем на базе векторно-конвейерных компьютеров. Первоначально такие системы были достаточно дороги, и производились буквально поштучно. На первом этапе, в такие системы объединяли небольшое число (до 16) векторных процессоров. Объединение осуществлялось на базе общей оперативной памяти (рис. 1) 5.

Как альтернатива векторно-конвейерным системам была предложена идея строить эквивалентные по мощности многопроцессорные системы из большого числа дешевых серийно выпускаемых микропроцессоров. Однако очень скоро обнаружилось, что архитектура на базе общей памяти обладает весьма ограниченными возможностями по наращиванию числа процессоров в системе из-за резкого увеличения числа конфликтов при обращении параллельно работающих процессов к общей памяти. Отметим, что проблема синхронизации параллельно работающих процессов является достаточно сложной. Ей посвящено большое количество исследований. В частности данной проблеме уделено много внимания в достаточно старой, но не потерявшей своей актуальности книге [105], где собраны статьи таких известных авторов как Хоар 6.

5Рисунок взят из книги Яна Форестера (Ian Foster) Designing and Building Parallel Programs, by Ian Foster [89]

6Профессор Чарльз Хоар (Charles Antony Richard Hoare) родился в 1934 г. в Англии. В 1978г. с его участием в Оксфордском университете разработан язык параллельного программирования CPS. В 1980 г. Хоар получил престижную премию Алана Тьюринга за вклад в формальное определение языков программирования посредством аксиоматической семантики. Хоар известен своими

Возвращаясь к развитию архитектуры ЭВМ отметим, что для устранения проблем, связанных с вопросами синхронизации доступа к общей памяти, естественной представлялась идея снабдить каждый процессор собственной оперативной памятью, превращая компьютер в объединение независимых вычислительных узлов. Такой подход значительно увеличил степень масштабируемости многопроцессорных систем, т.е. возможность наращивания вычислительных ресурсов за счет увеличения числа процессоров в системе, однако, потребовал создания специального механизма обмена данными между вычислительными узлами. Многопроцессорные системы с такой архитектурой получили название: "Систем с массовым параллелизмом "(Massively-Parallel Processing - МРР). Системы данного типа становятся доминирующими в 90-е годы.

В таких системах на каждом вычислительном узле функционирует собственная копия операционной системы, под управлением которой выполняется независимая программа. Единственно возможным механизмом взаимодействия между ними является механизм передачи сообщений. Стремление добиться максимальной производительности заставляет разработчиков при реализации механизма передачи сообщений учитывать особенности архитектуры многопроцессорной системы. Это способствует написанию эффективных, но ориентированных на конкретный компьютер программ. Вместе с тем независимыми разработчиками программного обеспечения было предложено множество сред передачи сообщений, независимых от конкретной платформы. Таких как PVM (Parallel Virtual Machine) [90], созданной в Oak Ridge National Laboratory.

В 1994 г. был принят стандарт механизма передачи сообщений MPI (Message Passing Interface). MPI - это библиотека функций, обеспечивающая взаимодействие параллельных процессов с помощью механизма работами в области алгебры программ.

X IBM SP-2 xl

- CRAY Y-MP ---------о CRAY-l о CDC 7600 о CDC 6600 о IBM 7090 о IBM 704 о UNIVAC о ENIAC

1950

I960

1970

1980

1990

2000

Рис. 1: Пиковая производительность некоторых из наиболее быстрых (на момент создания) суперкомпьютеров 1945-1995гг. Здесь "о" означает однопроцессорную ЭВМ, "+" - параллельные векторные компьютеры с 4-16 процессорами и "х" относится к массивно-параллельным компьютерам с сотнями или даже тысячами процессоров. (Рисунок взят из книги Яна Форестера (Ian Foster) Designing and Building Parallel Programs, by Ian Foster [89]) передачи сообщений, с интерфейсом для языков С и FORTRAN. Данный стандарт готовился с 1992 по 1994 гг. группой Message Passing Interface Forum, в которую вошли представители более чем 40 организаций из Америки и Европы. Основная цель, которую ставили перед собой разработчики MPI, - это обеспечение полной независимости приложений, написанных с использованием MPI, от архитектуры многопроцессорной системы. По замыслу авторов это должно было стать мощным стимулом для разработки прикладного программного обеспечения и стандартизованных библиотек подпрограмм для многопроцессорных систем. Подтверждением того, что эта цель была достигнута, служит тот факт, что в настоящее время этот стандарт поддерживается практически всеми производителями многопроцессорных систем.

В настоящее время все большую популярность набирают кластерные системы. Данные системы можно рассматривать как логическое продолжением идей, заложенных в архитектуре МРР систем, а так же принципа полной независимости приложений, написанных с использованием MPI, от архитектуры многопроцессорной системы. Если процессорный модуль в МРР системе представляет собой законченную вычислительную систему, то следующий шаг напрашивался сам собой: почему бы в качестве таких вычислительных узлов не использовать обычные серийно выпускаемые компьютеры. Развитие коммуникационных технологий, а именно появление высокоскоростного сетевого оборудования и специального программного обеспечения такого, как MPI, реализующего механизм передачи сообщений над стандартными сетевыми протоколами, сделали кластерные технологии общедоступными. Сегодня не составляет большого труда создать небольшую кластерную систему, объединив вычислительные мощности компьютеров отдельной лаборатории или учебного класса. Привлекательной чертой кластерных технологий является то, что они позволяют для достижения необходимой производительности объединять в единые вычислительные системы компьютеры самого разного типа, начиная от персональных компьютеров и заканчивая мощными суперкомпьютерами. Кластерные системы могут быть использованы как дешевая альтернатива суперкомпьютерам.

Хотя в настоящее время это направление является даже более популярным чем создание МРР систем, тем не менее рекорды производительности достигнуты именно на МРР системах, кроме того, подавляющее число систем, входящих в 500 наиболее мощных компьютеров [91],[92], относится именно к классу МРР машин.

В настоящей работе для расчета распространения акустических шумов используется МРР система.

Применение мощной вычислительной техники позволяет выполнять расчеты на достаточно мелкой сетке, необходимой для разрешения маломасштабных акустических колебаний.

Построение параллельных алгоритмов на данном этапе является достаточно сложной задачей. Поэтому немаловажным фактором при выборе КСРС в качестве основы для построения алгоритма, описывающего распространение акустических шумов в потоке газа, является их прекрасная адаптированность к архитектуре многопроцессорных вычислительных систем.

На базе полученных в работе J1KCPC был реализован комплекс параллельных программ для расчета задач аэроакустики. Код был написан на языке С++ с использованием MPI.

С помощью данного комплекса было выполнено моделирование распространения акустических колебаний в потоке газа, обтекающего двумерную каверну и трехмерный канал.

Распространение акустических шумов в выемке (каверне), обтекаемой высокоскоростным потоком, представляет большой интерес для инженерных приложений в аэрокосмической технике. Такие элементы конструкций летательных аппаратов довольно часто встречаются на практике. Они могут образовываться приборными, бомбовыми отсеками, отсеками шасси и вооружения, полостями отключенных двигателей управления, поперечно обтекаемыми щелями между плитками теплозащитного покрытия и др.

Выемки, взаимодействующие с потоком газа, при больших числах Рей-нольдса внешнего потока могут генерировать интенсивные резонансные колебания давления. Частота, амплитуда и форма дискретных резонансных составляющих спектра пульсаций зависят от формы выемки и параметров набегающего потока.

Проведенные к настоящему времени многочисленные исследования [69] - [81], как экспериментальные и теоретические, так и численные, внесли определенный вклад в понимание особенностей возникновения и развития пульсаций течения в открытой выемке, обтекаемой сверхзвуковым потоком.

Работу [69] можно считать одной из первых, в которой сделана успешная попытка описать акустические процессы, происходящие при обтекании каверны.

В работах [70] - [73] экспериментально исследуется генерация шума при обтекании каверны сверхзвуковым потоком газа.

Среди работ численно исследующих процессы, происходящие при обтекании каверны, отметим [74]-[7б].

Одной из основных целей как физического, так и численного эксперимента в аэроакустики, является корректное предсказание спектральных характеристик шума. В данной работе для этих целей был предлагается метод "компьютерной томографии "течения, основанный на просвечивании потока стохастическим акустическим излучением от искусственно введенного источника. Метод делает возможным предсказание "критических "частот течения вокруг тел различной конфигурации. Информация о данных частотах должна учитываться при проектировании новых конструкций. Кроме того, полученные с помощью такого метода резонансные частоты могут в дальнейшем использоваться при математическом описании источников, отвечающих за генерацию шума, как это делается например в работе [88].

Целью представленной работы является построение на основе кинетического подхода численного алгоритма для расчета задач аэроакустики, а также эффективная параллельная реализация для расчетов на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью.

Цель данной работы состоит также в создании базового комплекса параллельных программ для численного исследования распространения акустического возмущения в неоднородных потоках вокруг выемок прямоугольных конфигураций и демонстрация его эффективности на примере задач о распространении возмущения в потоке газа обтекающего двумерную каверну и трехмерный канал.

Ниже излагается краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена предлагаемым в диссертации линеаризованным кинетически согласованным разностным схемам, для численного моделирования распространения акустических шумов.'

В первом параграфе первой главы рассматриваются свойства и особенности кинетически-согласованных разностных схем (КСРС).

Во втором параграфе первой главы подробно описывается вывод линеаризованных кинетически-согласованных разностных схем.

В третьем параграфе первой главы получены ЛКСРС на нерегулярных сетках.

В четвертом параграфе первой главы полученные ЛКСРС применяются для моделирования тестовой задачи о распространении акустического возмущения от точечного источника в однородном потоке.

Во второй главе объясняется сущность предлагаемого метода "про-светки". Иллюстрируется его применение на примере двумерной каверны и трехмерного канала, при этом ЛКСРС используются для моделирования распространения акустических возмущений от искусственно введенного источника в потоке сверхзвукового газа, обтекающего двумерную каверну и трехмерный канал.

В первом параграфе второй главы формулируется постановка задачи о распространении шума от искусственно введенного источника в потоке сверхзвукового газа, обтекающего двумерную каверну. Обсуждаются вопросы получения среднего поля. Формулируются граничные условия, описывается геометрия выемки и искусственный источник. На примере двумерной каверны объясняется суть предлагаемого метода численного исследования потока путем его "просветки"стохастическим излучением.

Во втором параграфе второй главы приводятся, полученные с помощью "просветки", спектральные характеристики потока для случая двумерной каверны.

Результаты, полученные на основе ЛКСРС при использовании подробных сеток, хорошо согласуются с результатами полученными на грубой сетке и позволяют, в то же время, выявить и новые особенности течения.

В третьем параграфе второй главы формулируется постановка задачи о распространении шума от искусственно введенного источника в потоке сверхзвукового газа, обтекающего трехмерный канал. Приводятся результаты применения метода "просветки"для случая канала.

Третья глава посвящена адаптации ЛКСРС для расчетов на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью.

В первом параграфе третьей главы освещаются некоторые трудности связанные, с использованием параллельных вычислительных систем. Обсуждаются особенности использовавшейся для расчетов МВС-1000.

Во втором параграфе третьей главы описывается адаптация явных однородных разностных схем для их использования на параллельной вычислительной системе.

В заключении сформулированы основные результаты данной диссертационной работы.

Основные материалы диссертации опубликованы в российских и зарубежных изданиях [82] - [87].

Основные результаты диссертации докладывались:

- на международной конференции по параллельным вычислениям в газовой динамике "Parallel CFD 97"( Манчестер, Англия, май 1997 г.);

- на международной конференции по параллельным вычислениям в газовой динамике "Parallel CFD 2000"( Трондхейм, Норвегия, май 2000 г.);

- на 13 международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях", ( Санкт-Петербург, июнь 2000 г.);

- на 2-ой международной конференции "Modern trends in Computational Physics" (Дубна, июль 2000г.); 9

- на международной конференции по параллельным вычислениям в газовой динамике "Parallel CFD 2001"(Эгмонд аан Зее, Голландия, май 2001 г.);

- на заседании кафедры математики физического факультета МГУ (апрель 2001г.)

- на научно-исследовательском семинаре Российско-Французского Центра им. A.M. Ляпунова в МГУ (октябрь 2001 г.);

- на научно-исследовательском семинаре по аэроакустике под руководством к.ф.м.н. Т.К. Козубской в Институте Математического Моделирования РАН.

Автор выражает глубокую признательность к.ф.-м.н. Т.К. Козубской, осуществлявшей научное руководство работой, также благодарит профессора, д.ф.-м.н. Б.Н. Четверушкина за советы и замечания в процессе работы над диссертацией, И.В. Абалакина за неоценимую помощь и многочисленные советы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Александров, Анатолий Витальевич

Заключение

В заключение, сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Получены линеаризованные кинетически согласованные разностные схемы. ЛКСРС используются для численного моделирования распространения возмущений в неоднородных газовых потоках.

2. Предложенный численный алгоритм на основе ЛКСРС реализован в виде комплекса параллельных программ для использования на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

3. Предложен метод численного исследования течения путем его просвет-ки акустическим излучением от искусственно введенного источника. При этом численно решается задача о распространении малых возмущений в неоднородном потоке вязкого сжимаемого газа.

4. Проведены численные расчеты задач о распространении акустического шума в сверхзвуковых потоках газа вокруг двумерной каверны и трехмерного канала на многопроцессорной вычислительной системе с распределенной памятью. Эффективность распараллеливания превышала 90%. Предсказаны спектральные характеристики соответствующих потоков. Результаты полученные на основе ЛКСРС при использовании подробных сеток хорошо согласуются с результатами полученными на грубой сетке и позволяют, в то же время, выявить и новые особенности течения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Александров, Анатолий Витальевич, 2002 год

1. M.J. Lighthill. On sound generated aerodynamically. I. Proceedings of the Royal Society of London, Series A211:564-587, 1952

2. M.J. Lighthill. On sound generated aerodynamically. II. Proceedings of the Royal Society of London, Series A222:l-32, 1954

3. M.J. Lighthill. The Fourth Annual Fairey Lecture: The propagation of sound through moving fluids. Journal of Sound and Vibration, vol 24(4), pp 471-492, 1972.

4. M.J. Lighthill. Waves in Fluids. Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

5. James Lighthill. The Final Panel Discussion. The Workshop on Computational Aeroacoustics, April 1992, ICASE and NASA Langley Research Center.

6. M.S. Howe. Contributions to the theory of aerodynamic sound with application to excess jet noise theory of the flute. Jornal of Fluid Mechanics, vol.71 part 4, pp 625-673, 1975.

7. A. Powell. Some aspects of aeroacoustics: From Rayleigh until today. Jornal of vibration and Acoustics, vol 112 pp 145-159, 1990.

8. P.E. Doak. Fluctuating total enthalpy as a generalized field. Acoust. Phys., Vol 44 pp677-685, 1995.

9. А.Г. Мунин, B.M. Кузнецов, E.A. Леонтьев. Аэродинамические источники шума. Москва "Машиностроение" 1981

10. Мэрвин Е. Голдстейн. Аэроакустика. Москва "Машиностроение" 1981.

11. В. Einfeld. On Godunov-type methods for gas dynamics, SIAM J. Numer. Anal. 25, 294-318 (1988).

12. M.J. Lilley. On the noise from jets. Noise Mechanisms, AGARD-CP-13, 1974, ppl3.1-13.2.

13. O.M. Phillips. On the generation of sound by supersonic turbulent shear layers. Jornal of fluid mechanics, 1960, vol. 9, part 1, pp. 1166-1172.

14. А.Г. Мунин, В.M. Кузнецов, Е.А. Леонтьев. Аэродинамические источники шума, стр 67,Москва "Машиностроение" 1981.

15. J.E. Ffowcs Wiliams, D.L. Hawkings. Sound generation by turbulence and surfaces in arbitrary motion Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, 1969, N 264, pp. 321-342.

16. Christopher K.W. Tam. On the Failure of the Acoustic Anology Theory to identify the Correct Noise Sources, 7th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Maastricht, Netherlands, AIAA-2001-2117

17. A.T. Fedorchenko. On some fundamenatal flaws in present aeroacoustic theory. Journal of Sound and Vibration, 2000, 232(4), 719-782.

18. M.J. Lilley. On the noise from jets. Noise Mechanisms, AGARD-CP-13, 1974, ppl3.1-13.2.

19. O.M. Phillips. On the generation of sound by supersonic turbulent shear layers. Jornal of fluid mechanics, 1960, vol. 9, part 1, pp. 1166-1172.

20. А.Г. Мунин, В.M. Кузнецов, Е.А. Леонтьев. Аэродинамические источники шума, стр 67,Москва "Машиностроение" 1981.

21. J.E. Ffowcs Wiliams, D.L. Hawkings. Sound generation by turbulence and surfaces in arbitrary motion Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, 1969, N 264, pp. 321-342.

22. Christopher K.W. Tam. On the Failure of the Acoustic Anology Theory to identify the Correct Noise Sources, 7th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Maastricht, Netherlands, AIAA-2001-2117

23. A.T. Fedorchenko. On some fundamenatal flaws in present aeroacoustic theory. Journal of Sound and Vibration, 2000, 232(4), 719-782.

24. C. Bailly, P. Lafon, S. Candel. // Subsonic and supersonic jet noise predictions from statistical source models. AIAA Journal 1997, Volume 35, N 11, pp 1688-1696.

25. H.S. Ribner. // Quadrupole Correlations Govering the Pattern of Jet Noise. Journal of fluid mechanics, 1969, vol. 38, N 1, pp. 1-24.

26. M.E. Goldstein, W.L. Howes. // New Aspects of subsonic aerodynamic noise theory. NASA TN D-7158, Feb. 1973.

27. J.B. Freund. Direct Simulations Of A Mach 1.92 Jet And Its Sound Field. AIAA/CEAS paper 96-2291 (1998).

28. C. Bogey, C. Baily and D. Juve. Computation of the sound radiated by 3-D jet using Large Eddy Simulation. 6-th AIAA/CEAS Aeroacoustic Conference 12-14 June 2000 / Lahaina, Hawaii.

29. R.R. Mankbadi, M.E. Hayder and L.A. Povinelli. // Structure of Supersonic Jet Flow and Its Radiated Sound. AIAA Journal, Vol. 32 (1994), No. 5, pp. 897-906.

30. R.R. Mankbadi, R. Hixon, S.-H. Shih and L.A. Povinelli. // Use of Linearized Euler Equations for Supersonic Jet Noise Prediction. AIAA Journal, Vol. 36 (1998), No. 2, pp. 140-147.

31. C. Bailly and D. Juve. Numerical Solution of Acoustic Propagation Problems Using linearized Euler's Equations. AIAA-98-2267

32. Philip J. Morris, Lyle N. Long, Ashok Bangalore, and Qunzhen Wang. A Parallel Three- Dimensional Computational Aeroacoustics Method Using Nonlinear Disturbance Equations. Journal of computational phisics 133,56-74(1997).

33. P. Либов. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.

34. К. Черчильяни. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.

35. К. Черчильяни. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.

36. С. Чепмен, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородныхгазов. М.: ИЛ 1960. //

37. В. В. Поткин. Кинетический анализ разностных схем для газовой динамики. Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 15, N 6, 1975, с.1492-1498.

38. Reitz R.D. One-Dimensoional compressible gas dynamics calculations using the Boltzmann equation. Journal of Computational Physics. 1981, vol 42, N1, p 108-123.

39. A. H. Коган. Динамика разреженного газа. М., "Наука", 1967.

40. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для уравнения Больцмана. ЖВМиМФ, 1980, №1, т.20, с.191-207.

41. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение уравнений Эйлера и Навье-Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения. Доклад АН СССР, 1983, т. 272, N 3, с. 555-559.

42. Волчинская М.И., Павлов A.M., Четверушкин Б.Н., Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N ИЗ, 1983.

43. Т.Г. Елизарова, А.Н. Павлов, Б.Н. Четверушкин. Применение кинетического алгоритма для расчета газодинамических течений. // Дифференциальные уравнения, 1985, т.21, N 7, стр. 1179-1185.

44. Т.Г. Елизарова, А.Н. Павлов, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетической модели для вывода уравнений, описывающих газодинамические течения. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1983, N 144, 12с.

45. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // ДАН СССР, 1984, т. 289, N1, стр. 80-83.

46. И.А. Граур, Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических алгоритмов для расчета газодинамических задач, моделирующих вязкие течения. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1985, N 85, 18с.

47. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. ЖВМ и МФ, 1985, т.25 N10, стр. 1526-1533.

48. Б.Н. Четверушкин, Н.Г. Чурбанова. Консервативные кинетические схемы для решения задач газовой динамики. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1986, N 78.

49. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. О моделировании течений вязкого теплопроводного газа на основе кинетически согласованныхразностных схем. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1987, N 120.

50. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, N 165.

51. И. В. Абалакин , Б.Н. Четверушкин. Кинетически-Согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений. Журнал вычислительной математики и математической физики, т.28, N 11, 1988, с.1695-1710.

52. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. Журнал вычислительной математики и математической физики, т.28, N И, 1988, с.1695-1710.

53. Т.Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986, с. 261-278.

54. И. В. Абалакин, A.B. Жохова Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках. Дифференциальные уравнения, 1998, т. 34, N 7, стр. 90-110.

55. И.В. Абалакин, A.B. Жохова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на нерегулярных сетках. // Математическое моделирование. 1997. Т.9. N 7. стр. 44-53.

56. И.В. Абалакин, A.B. Жохова, Б.Н. четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках. // Дифференциальные уравнения, 1998. Т.34. N7 стр. 904-910.

57. И.В. Абалакин, A.B. Жохова, В.Н. четверушкин. Кинетически-согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на на треугольных сетках. // Математическое моделирование. 1998. Т.10. N 4. стр. 51-60

58. М.В. Дворников , В.Ф Тишкин, А.Ю. Филатов. Триангуляция произвольной многосвязной области со сложной границей. М.: Препринт Института математического моделирования РАН, N7, 1995.

59. И. А. Граур, Т. Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Моделирование сложных газодинамических течений на основе кинетических алгоритмов.// Дифференциальные уравнения, т.22, N 7, 1986, с.1165-1173.

60. И.А. Граур, Л.В. Дородницын, Т. Г. Елизарова, Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные схемы газовой динамики с неполной коррекцией.

61. Препринт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша N 5, 1987.

62. В.Г. Левич, Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. Курс теоретической физики. Москва, "Наука", 1971г., т 2, стр. 693-721.

63. D.I. Pullin. Direct simulation methods for compressible gas flow. Journal of Comp. Physics, v.34, 1980, pp.231-244.

64. Б.Н. Четверушкин. Кинетически-согласованные разностные схемы в газовой динамике. Изд-во МГУ, 1999г. стр 45.

65. Ю.Л. Климонтович. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов. Теоретическая математика и физика, т.92, N 2, 1992, с.312-330.

66. Б.В. Алексеев, В.В. Полев. Расчет структуры ударной волны с помощью уравнений газовой динамики высокой точности. Механика и электродинамика, Ин-т механики МГУ, 1990, с.37-43.

67. Ю.Л. Климонтович. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.

68. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Гостехиздат, 1950, 676с.

69. Рэлей. Теория звука. ТП, М.: издательство ИЛ, 1955г.

70. J. Е. Rossiter. Wind-tunnel experiments on the flow over a reactangular cavities at subsonic and transonic speeds. Technical report 3438, Aeronautical Research Council Reports and Memoranda, October 1964.

71. Морозов М.Г. Акустическое излучение полостей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, N 2, 1960.

72. Морозов М.Г. Самовозбуждение колебаний при сверхзвуковых отрывных течениях. ИФЖ, т. 27, N 5, 1974.

73. А.Н. Антонов, А.Н. Вишняков, С.П. Шалаев. Экспериментальное исследование пульсаций давления в выемке, обтекаемой дозвуковым или сверхзвуковым потоком газа. -Журнал прикладной механики и технической физики. N2(126) с 89-98, 1981.

74. А.Н. Антонов, В.М. Купцов, В.В. Комаров. Пульсации давления при струйных и отрывных течениях. М.: Машиностроение, 1990, 271 с.

75. Т. Colonius, A. J. Basu, С. W. Rowley. Computation of sound generation and flow/acoustic instabilities in the flow past an open cavity.

76. Proceedings of FEDSM99 3rd ASME/JSME Jpoint Fluids Engeneering Conference July 18-23, 1999, San Francisco, California, USA.

77. T. Colonius, A. J. Basu, C. W. Rowley. Numerical investigation of the flow past a cavity. AIAA paper 99-1912, 5th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference 10-12 May 1999 Greater Seattle, Washington.

78. E.B. Шильников, M.A. Шумков. Трехмерный расчет обтекания каверны сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого газа. // Математическое моделирование, т.И, N 10, 1999 с 17-30.

79. C.K.W. Tam, P.J. Block. On the tones and pressure oscilation inducted by flow over reactangular cavities. Jpoint Fluid Mechanics, 89:373-399, 1978.

80. V. Sarohia. Experimental and analytical investigation of oscillations in flows over cavities. AIAA J., 15:984-911, 1977.

81. Jay C.Hardin and D.Stuart Pope. Sound generation by flow over a two-dimensional cavity, AIAA Journal, V.33, pp. 407-412, 1995.

82. Tim Kestens and Franck Nicoud. Active Controle of an Unsteady Flow over a Rectangulat Cavity. AIAA-98-2348, pp. 836-844.

83. H.H. Heller, D.B. Bliss. The physical mechanism of flow-induced pressure fluctuations in cavities and concepts for their suppression.// AIAA Paper 75-491, March 1975.

84. A.N. Antonov, A.V. Alecsandrov, Т.К. Kozubskaya. Simulation of acoustic wave propagation within unsteady viscous compressible flows on parallel distributed computer memory systems. Parallel CFD 97, Preprint, Manchester, 1997.

85. A.V. Alexandrov, B.N. Chetverushkin, and Т.К. Kozubskaya, Noise Prediction for Shear Layers, Proceedings of Parallel CFD 2001 conference, Egmond Ann Zee The Netherlands, May 21-23, 2001.

86. A.B. Александров, Т.К. Козубская, "Моделирование распространения акустического шума в сверхзвуковых потоках вязкого сжимаемого газа", Матема-тическое моделирование, 1999, том И, N 12, с.3-15.

87. Alexandrov A.V., Kozubskaia Т.К.,"Parallel Computation of White Noise Propagation Through Viscous Compressible Gas Flows", Journal of Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, (принято к печети).

88. Т.К. Kozubskaya,I.V. Abalakin and V.V. Bobkov, "A Half-Stochastic Model for Noise Simulation in Free Turbulent Flows", AIAA paper 20012258.89. http://wotug.ukc.ac.uk/parallel/books/addison-wesley/dbpp/

89. A. Geist, A. Beguelin, J. Dongarra, R. Manchek, W. Jaing, and V. Sunderam, PVM: A Users' Guide and Tutorial for Networked Parallel Computing, MIT Press, Boston, 1994.91. http://parallel.ru/computers/top500.list.html92. http://www.top500.org/

90. Дж. Ортега, Введение в параллельные и векторные методырешения линейных систем. "Мир", 1991.

91. С.Н. Болдырев. Расчет газодинамических течений с применением нерегулярных сеток на параллельных вычислительных системах. Канд. диссертация, Москва 2001.

92. A.B. Гордеев, А.Ю. Молчанов, Системное программное обеспечение. "Питер" 2001.

93. М.В. Якобовский. Распределенные системы и сети. Москва 2000.97. http://www.ssd.sscc.ru/fet/pcr.html98. http://www.parallel.ru99. http://www-unix.mcs.anl.gov/mpi/

94. Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение: Пер. с англ. // Под ред. Г. Харпа. М.: Радио и связь, 1993. - 304 с.

95. Parallel computing: paradigms к applications. / Ed. by Albert Y. Zomaya. Int. Thomson Comp. Press, 1996. - 676 p.

96. Джоунз Г. Программирование на языке Оккам: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 208 с.

97. С.Д. Бахтеяров. Язык программирования Оккам. М.: МНИИПУ, 1989. - 88 с.

98. Хор Ч.А.Р. Взаимодействующие последовательные процессы: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 256 с.

99. Дийкстра Э. Взаимодействие последовательных процессов. В кн.: Языки программирования: Пер. с англ. / Под ред. Ф. Женюи. - М.: Мир, 1972. - С.9-86.

100. Воеводин Вл.В., А.П. Капитонова. Методы описания и классификация вычислительных систем. М.: Изд-во МГУ, 1994 г. - . с.

101. Flynn M.J. Some computer organizations and their effectiveness // IEEE Trans. Comput. 1972. - C-21, No.9. - pp.948-960.

102. Т.Г. Елизарова,Б.Н Четверушкин. Применение многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач математической физики // Математическое моделирование. 1992. - Т.4, N11. - С.75-100.

103. Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. О применении принципа геометрического параллелизма для (о; — /^-итерационного алгоритма // Математическое моделирование. 1991. - Т.З, N3. - С.23-128.

104. Domain decomposition methods for partial differential equations. Proc. of the 1st Int. Symp. (Eds. R. Glowinsti et al.), SIAM, Philadelphia. -1988.