Применение графа "термодинамическое дерево" в равновесном моделировании физико-химических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Зароднюк, Максим Сергеевич

• Зароднюк, Максим Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Зароднюк, Максим Сергеевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Модели экстремальных промежуточных состояний

1.2. Термодинамическое дерево в анализе уравнений химической кинетики

1.3. Применение методов оптимизации, теории графов и выпуклого анализа32

2. Формулировка и особенности модели экстремальных промежуточных состояний

2.1. Формулировка и классификация модели

2.2. Математические особенности МЭПС

2.3. Анализ выпуклости термодинамических функций

2.4. Учет особенностей системы ограничений

3. Построение термодинамического дерева для неидеальных физико-химических систем

3.1. Преимущества описания конденсированных веществ и идеальных растворов как отдельных компонентов

3.2. Условие нарушения строгой выпуклости термодинамической характеристической функции

3.3. Особенности МЭПС с нестрого выпуклыми термодинамическими функциями

3.4. Алгоритм построения термодинамического дерева для нестрого выпуклых функций

3.5. Многообразия равновесия стадий реакций

4. Программная реализация алгоритма построения термодинамического дерева

4.1. Вычислительная система THEODORE и язык TAL

4.2. Приложение THEODORE Tree

4.3. Тестирование программы THEODORE Tree

5. Примеры применения методов

5.1. Горение топлив

5.2. Химия нижних слоев атмосферы

5.3. Другие примеры

Заключение

Список литературы

?

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение графа "термодинамическое дерево" в равновесном моделировании физико-химических систем»

Введение

Настоящая диссертация посвящена решению проблемы построения алгоритмов для расчета частичных термодинамических равновесий в физико-химических и технических системах на основе выдвинутой А.Н. Горбанем идеи термодинамического дерева [33].

Модели областей достижимости и частичных равновесий [5, 6, 35, 4449,56-61,70,71,121,126-128,131,137] по сравнению с традиционными термодинамическими моделями конечных равновесий значительно расширяют сферу приложений классической равновесной термодинамики и увеличивают глубину и разносторонность термодинамического анализа. Они позволяют просматривать все доступное с учетом ограничений на кинетику, энерго- и массообмен множество состояний изучаемой системы и находить интересующие исследователя точки (например, соответствующие максимальной концентрации целевых продуктов химической реакции).

Достаточно детальный анализ областей достижимости и возможных эффектов на пути химических систем к конечному равновесию был выполнен в 80-х годах 20-го века А.Н. Горбанем, В.И. Быковым и Г.С. Яблонским [34]. Наиболее полно существо проблемы раскрыто в монографии А.Н. Горбаня "Обход равновесия: уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ" [33]. Ее содержание составили согласование макроскопических кинетики и термодинамики; выявление взаимосвязей между микро- и макроописаниями; термодинамический анализ уравнений релаксации химических систем к равновесию и возможностей образования в ходе этой релаксации сверхравновесных концентраций отдельных веществ; локализация стационарных состояний открытых систем. Сделаны интерпретации кинетических задач на основе функций Ляпунова, марковских процессов, топологии и теории графов. Что послужило фундаментом известному современному методу инвариантных многообразий для физической и

химической кинетик [122]. Среди работ зарубежных авторов, посвященных исследованию множеств достижимости, стоит отметить статьи [113, 117, 118, 120, 125].

Б.М. Каганович, С.П. Филиппов и Е.Г. Анциферов использовали сформулированные в [5,59,60] теоретические положения для непосредственного термодинамического анализа ряда задач в областях энергетики, химической технологии и экологии. Ими были созданы модели экстремальных промежуточных состояний (МЭПС), и вычислительные алгоритмы, позволяющие находить в области достижимости состояния с экстремальными концентрациями полезных или вредных продуктов реакций [57-60].

По характеру исследуемых объектов модели экстремальных промежуточных состояний включают два основных класса: МЭПС с переменными параметрами и МЭПС, отображающие распределение потоков на графах. В последнем классе, в свою очередь, выделяются модели цепей (гидравлических и электрических) и механизмов физико-химических процессов. По виду критериев экстремальности в классификацию также вводятся два типа моделей: с субъективными и объективными критериями. Субъективные критерии соответствуют целям проводимых исследований. Например, при анализе экологических характеристик какой-либо системы в качестве критерия её эффективности логично выбрать минимальное образование вредных веществ. Объективные критерии отображают стремление самой моделируемой системы к состоянию, зависящему от условий её взаимодействия с окружающей средой. Такие критерии (условия равновесия) уже были выбраны Гиббсом для шести классических сочетаний параметров, определяющих взаимодействие с окружением [28, 29].

Синтез двух научных направлений - термодинамического анализа

уравнений кинетики и непосредственного термодинамического анализа

областей достижимости и частичных равновесий - был в определенной мере

4

осуществлен в совместной монографии А.Н. Горбаня, Б.М. Кагановича и С.П. Филиппова "Термодинамические равновесия и экстремумы: анализ областей достижимости и частичных равновесий в физико-химических и технических системах" [35].

Почти тридцатилетний опыт развития и использования МЭПС показал их высокую практическую эффективность. Эти модели нашли успешное применение при сопоставлении конкурирующих технологий сжигания и переработки топлив и очистки дымовых газов, оценке экологических характеристик процессов горения угля в факельных и слоевых топках, анализе поведения вредных антропогенных выбросов в атмосфере [56,57,70,71, 131]. В то же время выявился ряд проблем как физико-химического описания на основе МЭПС различных типов систем, так и построения соответствующих вычислительных алгоритмов.

Одной из нерешенных вычислительных проблем было точное (без учета погрешностей расчетов) определение уровня характеристической термодинамической функции изучаемой системы, соответствующего состоянию с экстремальной концентрацией заданного набора веществ. Возникновение этой проблемы связано с тем, что ограничения, налагаемые вторым законом термодинамики на монотонность изменения термодинамических функций, задаются в МЭПС в неявном виде. Е.Г. Анциферовым данная трудность была отчасти преодолена путем применения двухэтапной схемы вычислений [5, 6]. На первом этапе он определял значение уровня минимизируемой (максимизируемой) функции, на котором располагается точка искомого экстремума концентраций. На втором этапе отыскивались координаты этой точки.

Первый этап вычислений выполнялся на основе приближенного алгоритма. Точка, соответствующая начальному составу системы, соединялась с точкой максимальной концентрации заданных веществ на многограннике материального баланса (без учета термодинамических ограничений). На

5

отрезке, соединяющем эти точки, определялось минимальное, достижимое по условиям монотонности изменения из исходного состояния, значение характеристической функции, которое и принималось равным значению искомого уровня.

Все реализующие МЭПС алгоритмы до последнего времени строились на основе двухэтапной методики Е.Г. Анциферова и в большинстве случаев, когда точность получаемых результатов оценивалась, эта методика обнаруживала удовлетворительную вычислительную эффективность. Однако расширение круга решаемых с помощью МЭПС задач и усложнение последних все настоятельнее требуют создания эталонного точного алгоритма поиска экстремального уровня характеристической термодинамической функции.

В принципе для построения такого алгоритма может быть использована развитая А.Н. Горбанем в [33] геометрическая техника преобразования балансного многогранника в одномерный континуум - граф "термодинамическое дерево". На этом дереве искомый уровень термодинамической функции определяется как точка ее минимального значения на пути от исходного состояния до вершины с максимальной по условиям материального баланса концентрацией интересующих исследователя веществ.

Однако практическая реализация идеи А.Н. Горбаня связана с преодолением ряда значительных трудностей. Прежде всего, изложенный в [33] алгоритм предполагает знание графа балансного многогранника, всех его вершин и ребер, число которых для рассматриваемых в прикладных задачах систем может быть астрономическим. Возможность решения задач таких размерностей даже на самых мощных компьютерах вызывает сомнения. Отсюда следует проблема сокращения количества элементов используемого дерева либо путем исключения из анализа ненужных ветвей, либо путем построения этого дерева не на полном многограннике, а на его отдельных гранях.

Кроме того, преобразование балансного многогранника в дерево в [33] было корректно обоснованно только для случая строго выпуклых термодинамических функций. Для сложных многокомпонентных и многофазных термодинамических систем характеристические функции строгой выпуклостью обычно не обладают. Поэтому распространение идеи дерева на такие системы требует дополнительного теоретического анализа.

Исследования теоретических вопросов, связанных с реализацией идеи дерева; разработка соответствующих вычислительных алгоритмов; использование этих алгоритмов в термодинамическом анализе, проводимом с помощью МЭПС, и оценка их практической и теоретической эффективностей и составили содержание излагаемой работы.

Актуальность проблемы определяется как теоретической и практической важностью развития моделей областей достижимости и частичных равновесий в термодинамических системах, так и плодотворностью разработки в рамках отмеченного, весьма широкого направления математического моделирования алгоритмов построения термодинамических деревьев.

Традиционные термодинамические модели конечных равновесий

применительно к задачам химических превращений и фазовых переходов

позволяли получать ответы на три основных вопроса: возможны ли в принципе

подобные реакции, какое максимальное количество компонентов может быть

получено и при каких термодинамических параметрах процесса этот максимум

достигается. На два последних вопроса ответы могли быть найдены только при

условии, что в рассматриваемой системе устанавливается состояние полного

конечного равновесия. Это условие крайне ограничивало сферу приложений

термодинамического анализа. Вне этой сферы оказались, например, такие

важные технологии переработки топлив как гидрогенизация и пиролиз угля,

синтез из смеси моноксида углерода и водорода, в которых целевые продукты

образуются в состояниях частичных равновесий. Запретной областью для

7

применения термодинамики считалась и химия атмосферы, поскольку время пребывания многих веществ в атмосфере много меньше времени, необходимого для их химических превращений.

Развитие моделей на основе МЭГ1С значительно расширяет возможности классической равновесной термодинамики как в теоретических исследованиях, так и в приложениях в энергетике, химической технологии, геологии, экологии и других областях. Доступными термодинамическому анализу становятся и отмеченные выше технологии переработки топлив, и процессы загрязнения атмосферы и биосферы в целом, и многие другие объекты.

Решение задачи построения термодинамических деревьев в рамках общей проблемы моделирования областей достижимости и частичных равновесий должно способствовать повышению точности вычислительных экспериментов, проводимых с помощью МЭПС, и ясному пониманию корректности и возможности использования результатов вычислений. Анализ реальных изучаемых систем на основе их представления в виде графов-деревьев, возможно, поможет также выявить зависимости искомых концентраций веществ от различных факторов (исходного состава реагентов, структуры балансных ограничений и др.)

Цель работы - исследовать условия однозначного преобразования балансных многогранников в графы - термодинамические деревья при моделировании физико-химических систем, определить возможности перехода от полных деревьев к частичным меньших размеров и разработать алгоритмы построения таких деревьев.

Для достижения общей цели работы были намечены следующие четыре основные задачи.

1. Проверить применимость преобразований многогранников в деревья для случаев нестрогой выпуклости и линейности характеристических термодинамических функций.

2. Исследовать влияние на сложность и размеры графов многогранников особенностей балансных ограничений: разреженности матриц коэффициентов в балансных уравнениях, избыточности отдельных веществ < относительно стехиометрических соотношений, размерности вектора исходных концентраций реагентов.

3. Обосновать допустимость перехода от полных к частичным деревьям с учетом особенностей балансных и кинетических ограничений.

4. Разработать алгоритмы построения частичных деревьев и проверить их эффективность на примерах анализа процессов горения топлив и загрязнения атмосферы.

Научная новизна. По сравнению с основополагающей работой А.Н. Горбаня идея термодинамического дерева распространена на системы с нестрого выпуклыми функциями; показана возможность использования в анализе физико-химических систем не полных, а частичных деревьев и предложены алгоритмы построения последних.

По сравнению с ранее предложенными алгоритмами термодинамических расчетов, основанными на двухэтапной методике Е.Г. Анциферова, предложена связанная с построением дерева точная схема вычислений на первом этапе.

На основе правила множителей Лагранжа получен аналитический вид термодинамических ограничений на макроскопическую кинетику, чем вносится существенный вклад в построение макрокинетических блоков МЭПС, позволяющих конкурировать применяемому равновесному моделированию с такими дисциплинами как синергетика, квазистационарное моделирование, неравновесная термодинамика [130, 132, 134, 135].

Получен аналитический вид и исследованы свойства многообразий равновесия стадий (MPC) химических реакций, формирующих один из типов кинетических ограничений.

Научное и практическое значение настоящей работы определяется, во-

первых, настолько полным развитием идеи термодинамического дерева, что ее

9

стало возможным эффективно использовать в теоретических и прикладных исследованиях, и, во-вторых, созданием математически точных эталонных алгоритмов расчетов с помощью МЭПС, которые позволяют оценивать корректность и применимость результатов термодинамического анализа различных природных и технических систем.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Обоснование возможности преобразования балансных многогранников термодинамических систем в граф-дерево при нестрогой выпуклости или линейности характеристических функций.

2. Раскрытие зависимостей между особенностями балансных ограничений в моделях областей достижимости и частичных равновесий и размерами (числами вершин и ребер) термодинамических деревьев.

3. Установление условий замены полных деревьев графов балансных многогранников частичными в термодинамическом анализе физико-химических систем.

4. Корректность построения кинетических ограничений и возможность их учета при уточнении размеров области термодинамической достижимости.

5. Алгоритмы построения частичных термодинамических деревьев и выявление их эффективности при решении энергетических и экологических задач.

6. Вычислительный инструмент THEODORE Tree, реализующий обратный алгоритм построения термодинамического дерева.

Личный вклад диссертанта. Автору принадлежат постановки и решения задач установления зависимостей размеров термодинамических деревьев от разреженности матриц коэффициентов балансных уравнений, избыточности отдельных реагентов и размерности вектора концентраций веществ в исходном состоянии. Им же поставлена и решена задача поиска расположения аргмаксимума целевой функции МЭПС в области термодинамической достижимости. Диссертантом самостоятельно обоснованы, при нестрогой

10

выпуклости характеристических функций, возможности построения термодинамических деревьев, разработаны и реализованы на языке Python алгоритмы их построения. Автор предложил два способа получения уравнений многообразий равновесия стадий реакций и оценил преимущества каждого. Вычислительный инструмент THEODORE Tree построен автором с использованием вычислительной системы THEODORE, разработанной И.А.Ширкалиным. Совместно с руководителем осуществлялись общая постановка задач диссертации и обсуждение полученных результатов.

Апробация работы. Результаты выполненных исследований докладывались на всероссийских и международных конференциях: Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); XXX, XXXI и XXXII ежегодных конференциях научной молодежи ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 2000, 2001 и 2002); Российской конференции "Дискретная оптимизация и исследование операций" (Владивосток, 2007); Всероссийской конференции, посвященной 110 летию со дня рождения чл.-корр. РАН П.Г. Стрелкова "Современные проблемы термодинамики и теплофизики", (Новосибирск, 2009); XIV и XV Байкальских международных школах-семинарах "Методы оптимизации и их приложения" (Северобайкальск, 2008 и Листвянка, 2011); IV, V, IX, X, XI, XII, XIV и XV Всероссийских семинарах "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, 2001, 2002, 2006, 2007, 2008, 2009, 2011 и 2012); XV, XVI и XVII международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2007, 2009, 2011); VII и VIII Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2008, 2010); VII Международной конференции rio Математике в Химической кинетике и Инженерных науках (Mathematics in Chemical Kinetics and Engineering - MaCKiE 2011, Хайдельберг, Германия, 2011).

Основные результаты работы на разных этапах ее выполнения обсуждались в ведущих научных организациях: Институте вычислительного

моделирования СО РАН (г. Красноярск), Московском авиационном институте

(г. Москва), Институте систем энергетики им. JI.A. Мелентьева СО РАН (г.

Иркутск), Институте математики, экономики и информатики ИГУ (г. Иркутск),

Институте динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск).

В приложении 1 приведен акт об использовании результатов работы.

Публикация результатов.

По теме диссертации опубликовано 25 работ.

1. Кучменко Е.В., Кейко A.B., Зароднюк М.С. Термодинамическое моделирование обводнения аэрозоля в атмосфере // Химия в интересах устойчивого развития. - 2002. Т. 10, №5 - С. 637-641.

2. Кучменко Е.В., Зароднюк М.С., Балышев O.A., Моложникова Е.В. Идентификация вклада теплоисточников в загрязнение снежного покрова городов // Известия РАН. Энергетика. - 2006. - №3. - С. 162-171.

3. Балышев O.A., Зароднюк М.С., Кучменко Е.В., Чипанина Е.В. Эколого-информационные технологии: оценка вклада теплоисточников в загрязнение снежного покрова промышленных зон // Инженерная экология. 2010. № 1.-С. 39-53.

4. Зароднюк М.С. Преобразование областей определения термодинамических функций Ляпунова при поиске частичных равновесий // Системные исследования в энергетике. - Вып. 30. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2000. -С. 263-270.

5. Зароднюк М.С. Анализ балансных многогранников - областей определения термодинамических функций // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, 25 - 26 декабря 2000 г. / Т. II: Математическое моделирование. - С. 69-71.

6. Зароднюк М.С. Построение алгоритмов на основе идеи термодинамического дерева // Термодинамические равновесия и экстремумы. Анализ областей достижимости и частичных равновесий в

физико-химических и технических системах / Горбань А.Н., Каганович Б.М., Филиппов С.П. - Новосибирск: Наука, 2001. - С. 222-233.

7. Зароднюк М.С. Преобразование балансных многогранников в деревья для нестрого выпуклых термодинамических функций // Системные исследования в энергетике. - Вып. 31. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -С. 215-220.

8. Зароднюк М.С. Поиск оптимальных уровней термодинамических функций на основе преобразования областей их определения в деревья // Моделирование неравновесных систем. 2001. Материалы IV Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 49-50.

9. Зароднюк М.С. Некоторые математические особенности задач построения термодинамического дерева // Системные исследования в энергетике. -Вып. 32. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2002. - С. 208-212.

10. Зароднюк М.С. Алгоритмы построения термодинамических деревьев при поиске частичных равновесий // Моделирование неравновесных систем. 2002. Материалы V Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 65-66.

11. Кучменко Е.В., Зароднюк М.С. Термодинамическое моделирование образования водных растворов на поверхности аэрозолей. - Иркутск, 2001. - 44 с. (Препр. / СО РАН ИСЭМ; № 11).

12. Зароднюк М.С., Кейко A.B. Учет стехиометрических соотношений в экстремальных термодинамических моделях // Моделирование неравновесных систем. 2006. Материалы IX Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 77.

13. Каганович Б.М., Шаманский В.А., Кейко A.B., Зароднюк М.С., Моделирование необратимых процессов в многокомпонентных и многофазных средах методами равновесной термодинамики // Материалы XV международной конференции по вычислительной механике и

современным прикладным программным системам (ВМСППС'2007), 25-31 мая 2007 г., Алушта. - М.: Вузовская книга, 2007. - С. 250-252.

14. Зароднюк М.С., Каганович Б.М., Кейко A.B. Равновесные математические модели неравновесных необратимых процессов // Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций": Материалы конференции (Владивосток, 7-14 сентября 2007). - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2007. - С. 107.

15. Зароднюк М.С., Кейко A.B. Многообразия равновесия стадий для гетерофазных процессов на термодинамическом дереве // Моделирование неравновесных систем. 2007. Материалы X Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 71.

16. Зароднюк М.С., Каганович Б.М., Кейко A.B., Шаманский В.А., Термодинамическое моделирование движения жидких и газообразных сред в энергетических установках и системах // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008), 24-31 мая 2008 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2008. - С. 198-200.

17. Зароднюк М.С., Каганович Б.М., Кейко A.B. Применение графа-дерева в термодинамических моделях с ограничениями на макроскопическую кинетику // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", 2-8 июля 2008 г., Иркутск. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. - Т. 4. - С. 28-37.

18. Зароднюк М.С. Алгоритмы нахождения экстремальных промежуточных состояний при помощи термодинамического дерева // Моделирование неравновесных систем. 2008. Материалы XI Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 96-99.

19. Каганович Б.М., Шаманский В.А., Зароднюк М.С. Использование модели экстремальных промежуточных состояний в анализе механизмов

необратимых процессов // Моделирование неравновесных систем. 2008. Материалы XI Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 107-110.

20. Каганович Б.М., Шаманский В.А., Ширкалин И.А., Зароднюк М.С. О выборе исходных экстремальных принципов при постановке задач математического программирования // Материалы XVI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. - С. 360-362.

21. Каганович Б.М., Шаманский В.А., Ширкалин И.А., Зароднюк М.С. Технология моделирования физико-химических процессов на основе положений равновесной термодинамики // Материалы XVI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. - С. 363-365.

22. Каганович Б.М., Шаманский В.А., Зароднюк М.С. О применимости принципов равновесия и экстремальности при решении физико-химических и технико-экономических задач // Моделирование неравновесных систем. 2009. Материалы XII Всероссийского семинара. Красноярск. - С. 94-97.

23. Zarodnyuk M.S., Keiko A.V., Kaganovich В.М. Elaboration of Attainability Region Boundaries in the Model of Extreme Intermediate States // Studia Informática Universalis. - 2011. - Vol. 9, N 3. - P. 161-175.

24. Каганович Б.М., Кейко А.В., Шаманский В.А., Ширкалин И.А., Зароднюк М.С. Технология термодинамического моделирования. Редукция моделей движения к моделям покоя. Новосибирск: Наука, 2010. -234 с.

25. Kaganovich В.М., Keiko А.V., Shamansky V.A., Zarodnyuk M.S. On the Interrelations Between Kinetics and Thermodynamics as the Theories of Trajectories and States // Chemical Kinetics. - Rijeka: Intech, 2012. - P. 31-60.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 139 страницах печатного текста и включает 26 рисунков, 9 таблиц и список литературы из 137 библиографических ссылок.

В первой главе представлен аналитический обзор литературы. Рассматриваемые публикации можно разделить на три группы: 1) работы, связанные с анализом областей достижимости и частичных равновесий, в которых, в свою очередь, выделяются исследования, посвященные термодинамической интерпретации уравнений кинетики, и непосредственному термодинамическому моделированию; 2) математические и физико-математические работы, относящиеся к проблеме построения дерева функции и его частного случая - термодинамического дерева; 3) составляющие математическую основу настоящей диссертации работы по выпуклому анализу, топологии и теории графов. В результате обзора выявлены как опубликованные научные положения, важные в контексте выполненного исследования, так и нерешенные проблемы, требующие дальнейшего анализа.

Вторая глава посвящена выпуклому анализу областей термодинамической достижимости, исследованию возможностей преобразования балансных многогранников в деревья и переходу от полных деревьев к частичным. При этом значительное внимание уделяется раскрытию взаимосвязей между свойствами характеристических функций, оказывающих решающее влияние на саму применимость используемой геометрической техники, и принимаемыми исходными физическими предпосылками о свойствах изучаемых конкретных систем.

В третьей главе обсуждаются особенности балансных многогранников,

их графов и соответствующих термодинамических деревьев. Детально

рассмотрено влияние на эти особенности разреженности матрицы

коэффициентов балансных уравнений, избыточности концентраций отдельных

исходных реагентов относительно стехиометрии и размерности вектора

16

количеств веществ в исходном состоянии. Здесь также приведены алгоритмы построения частичных термодинамических деревьев, даются оценки точности этих алгоритмов и их вычислительной эффективности в целом. Рассматриваются вопросы использования деревьев в общей методике поиска экстремальных частичных равновесий. Приводится вывод уравнений многообразий равновесия стадий реакций, которые формируют ограничения на макроскопическую кинетику в МЭПС. Полезность применения геометрической техники оценивается в зависимости от особенностей используемых модификаций МЭПС.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зароднюк, Максим Сергеевич, 2013 год

Список литературы

1. Александров, А. Д. Выпуклые многогранники / А.Д.Александров. - M.-JÏ. : ГИТТЛ, 1950.-429 с.

2. Александров, П.С. Проблемы Гильберта / П.С. Александров. - М. : Исфара,

2000.-239 с.

3. Алексеев, В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи / В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. -256 с.

4. Андрамонов, М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно выпуклых функций / М.Ю. Андрамонов. - Казань : Изд-во ДАС,

2001.- 198 с.

5. Анциферов, Е.Г. Поиск промежуточных термодинамических состояний физико-химических систем / Е.Г. Анциферов, Б.М. Каганович, П.Т. Семеней // Численные методы анализа и их приложения. - Иркутск : СЭИ СО АН СССР, 1987.-С. 150-170.

6. Анциферов, Е.Г. Применение методов математического программирования в анализе термодинамических систем : дисс. ... д-ра физ.-мат. наук : защищена 1991 : утв. 1991 / Е.Г. Анциферов. - Иркутск : СЭИ СО АН СССР, 1990. -188 с.

7. Арнольд, В.И. Симплектическая геометрия / В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь. -Ижевск : Удмуртский университет, 2000. - 168 с.

8. Арнольд, В.И. Избранное-60 / В.И. Арнольд. - М. : ФАЗИС, 1997. - 768 с.

9. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1989. - 472 с.

10. Арнольд, В.И. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных / В.И. Арнольд // Математическое просвещение. - 1958. - Вып. 3. - С. 41-61.

11. Арнольд, В.И. О функциях трех переменных / В.И.Арнольд // Докл. АН СССР, - 1957.-Т. 9,-№4.-С. 679-681.

12. Асанов, М.О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы / М.О. Асанов, В.А. Баранский, В.В. Расин. - Ижевск : ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 288 с.

13. Асельдеров, З.М. Представление и восстановление графов / 3.М. Асельдеров, Г.А. Донец. - Киев : Наукова думка, 1991. - 192 с.

14. Ашманов, С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. - М. : Наука, 1981.-340 с.

15.Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди. - М. : Радио и связь, 1988.- 128 с.

16. Берж, К. Теория графов и её применения / К. Берж. - М. : ИЛ, 1962. - 320 с.

17. Бишоп, Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттенден. - М. : Мир, 1967.-335 с.

18. Болибрух, A.A. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) / A.A. Болибрух. - М. : МЦНМО, 1999.-24 с.

19. Бредон, Г. Теория пучков / Г. Бредон. - М. : Наука, 1988. - 312 с.

20. Быков, В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике / В.И. Быков. - М. : КомКнига, 2006. - 328 с.

21. Быков, В.И. О выпуклости термодинамических функций для неизотермических условий / В.И. Быков, Е.М. Миркес // Журнал физической химии. - 1986. - Т. 60. - № 3. - С. 732-734.

22. Быков, В.И. Выпуклость и запас выпуклости термодинамических функций / В.И. Быков, С.Б. Цыбенова // ДАН. - 2010. - Т. 431. - № 2. - С. 207-210.

23. Васильев, О.В. Лекции по методам оптимизации / О.В. Васильев. - Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1994. - 344 с.

24. Васильев, О.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях / О.В. Васильев, A.B. Аргучинцев. - М. : Физматлит, 1999. - 208 с.

25. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. - М. : Наука, 1980. - 520 с.

26. Галеев, Э.М. Оптимизация : теория, примеры, задачи / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

27. Гиббс, Д.В. Графические методы в термодинамике жидкостей / Д.В. Гиббс // Термодинамика. Статистическая механика. - М. : Наука, 1982. - С. 9-39.

28. Гиббс, Д.В. Метод графического представления термодинамических свойств веществ при помощи поверхностей / Там же. - С. 40-60.

29. Гиббс, Д.В. О равновесии гетерогенных веществ / Там же. - С. 61-349.

30. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. - М. : Мир, 1985.-509 с.

31. Годеман, Р. Алгебраическая топология и теория пучков / Р. Годеман. - М. : Издательство иностранной литературы, 1961. - 319 с.

32. Горбань, А.Н. Метод последовательного изучения динамики сложной каталитической реакции / А.Н. Горбань, В.И. Быков, Г.С. Яблонский // Гетерогенный катализ. Тр. IV Междунар. симпоз. по гетерогенному катализу. 2-5 окт. 1979. - Варна : изд. Болгарской АН. - 1980. - Т. 2. - С. 157-162.

33. Горбань, А.Н. Обход равновесия: уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ / А.Н. Горбань. - Новосибирск : Наука, 1984. -226 с.

34. Горбань, А.Н. Очерки о химической релаксации / А.Н. Горбань, В.И. Быков, Г.С. Яблонский. - Новосибирск : Наука, 1986. - 320 с.

35. Горбань, А.Н. Термодинамические равновесия и экстремумы: Анализ областей достижимости и частичных равновесий в физико-химических и технических системах / А.Н. Горбань, Б.М. Каганович, С.П. Филиппов. -Новосибирск : Наука, 2001. - 296 с.

36. Данциг, Г. Линейное программирование и его обобщение / Г. Данциг. - М. : Прогресс, 1966. - 465 с.

37. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М. : ГИФМЛ, 1960. - 659 с.

38. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М. : Наука, 1986. - 760 с.

39. Емеличев, В.А. Многогранники, графы, оптимизация (комбинаторная теория многогранников) / В.А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. - М. : Наука, 1981.-344 с.

40. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сорванов, Р.И. Тышкевич. -М. : Наука, 1990. -384 с.

41. Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия / Н.В.Ефимов, Э.Р. Розендорн. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.

42. Жиглявский, A.A. Методы поиска глобального экстремума / A.A. Жиглявский, А.Г. Жилинскас. - М. : Наука, 1991. -248 с.

43. Жилинскас, А.Г. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности / А.Г. Жилинскас, В.Р. Шалтянис. - М. : Наука, 1989. - 128 с.

44. Зароднюк, М.С. Алгоритмы построения термодинамических деревьев при поиске частичных равновесий / М.С. Зароднюк // Моделирование неравновесных систем. Материалы V Всероссийского семинара. -Красноярск : 2002. - С. 65-66.

45. Зароднюк, М.С. Анализ балансных многогранников - областей определения термодинамических функций / М.С. Зароднюк // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, 25 - 26 декабря 2000 г. - Т. II : Математическое моделирование. - Новосибирск : ИВТ СО РАН, 2000.-С. 69-71.

46. Зароднюк, М.С. Некоторые математические особенности задач построения термодинамического дерева / М.С. Зароднюк // Системные исследования в энергетике. - Вып. 32. - Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2002. - С. 208-212.

47. Зароднюк, М.С. Поиск оптимальных уровней термодинамических функций на основе преобразования областей их определения в деревья /

131

М.С. Зароднюк // Материалы IV Всероссийского семинара «Моделирование неравновесных систем», 12-14 октября 2001 г. - Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2001.-С. 49-50.

48. Зароднюк, М.С. Преобразование балансных многогранников в деревья для нестрого выпуклых термодинамических функций / М.С. Зароднюк // Системные исследования в энергетике. - Вып. 31. - Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2001.-С. 215-220.

49. Зароднюк, М.С. Преобразование областей определения термодинамических функций Ляпунова при поиске частичных равновесий / М.С. Зароднюк // Системные исследования в энергетике. - Вып. 30. - Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2000. - С. 263-270.

50. Зельдович, Я.Б. Доказательство единственности решения уравнений закона действующих масс / Я.Б. Зельдович // Журн. физ. химии. - 1938. - Т. 11.-№ 5.-С. 685-687.

51. Зельдович, Я.Б. Кинетика химических реакций в пламенах / Я.Б. Зельдович // Теория горения и взрыва. - М. : Наука, 1981. - С. 150-184.

52. Зельдович, Я.Б. Теория горения газов / Я.Б. Зельдович. // Теория горения и взрыва.-М. : Наука, 1981.-С. 306-346.

53. Зельдович, Я.Б. Окисление азота при горении / Я.Б. Зельдович, П.Я. Садовников, Д.А. Франк-Каменецкий. - М. : Наука, 1947. - 146 с.

54. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. -М. : Наука, 1982. - 512 с.

55. Зыков, A.A. Основы теории графов / A.A. Зыков. - М. : Наука, 1987. - 384 с.

56. Каганович, Б.М. Моделирование термодинамических процессов / Б.М. Каганович, С.П. Филиппов, Е.Г. Анциферов. - Новосибирск : Наука, 1993.- 101 с.

57. Каганович, Б.М. Равновесное термодинамическое моделирование диссипативных макроскопических систем / Б.М. Каганович, A.B. Кейко,

В.А. Шаманский. - Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2007. - 76 с.

132

58. Каганович, Б.М. Технология термодинамического моделирования. Редукция моделей движения к моделям покоя / Б.М. Каганович, A.B. Кейко,

B.А. Шаманский, И.А. Ширкалин, М.С. Зароднюк. - Новосибирск : Наука, 2010.-234 с.

59. Каганович, Б.М. Эффективность энергетических технологий: термодинамика, экономика, прогнозы / Б.М. Каганович, С.П. Филиппов, Е.Г. Анциферов. - Новосибирск : Наука, 1989. - 256 с.

60. Каганович, Б.М. Равновесная термодинамика и математическое программирование / Б.М. Каганович, С.П. Филиппов. - Новосибирск : Наука, 1995.-236 с.

61. Каганович, Б.М. Термодинамическое моделирование на графах / Б.М. Каганович, С.П. Филиппов, П.П. Павлов. - Иркутск : ИСЭМ СО РАН. 1998.-30 с.

62. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М. : Наука, 1978. -512 с.

63. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. - М. : Едиториал УРСС, 2004. -400 с.

64. Колмогоров, А.Н. Избранные труды. Математика и механика / А.Н. Колмогоров. - М. : Наука, 1985. - 470 с.

65. Колмогоров, А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 114. - № 5.-С. 953-956.

66. Колмогоров, А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. - 1956. - Т. 108. - № 2. -

C. 179-182.

67. Кормен, Т.Х. Алгоритмы: построение и анализ / Т.Х. Кормен, Ч.И. Лейзерсон, Р.Л. Ривест, К. Штайн. - М. : Издательский дом "Вильяме", 2005.- 1296 с.

68. Кристофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. - М. : Мир, 1978. - 432 с.

69. Кронрод, A.C. О функциях двух переменных / A.C. Кронрод // Успехи математических наук. - 1950. - Т. 5. - Вып. 1(35). - С. 24-134.

70. Кучменко, Е.В. Термодинамическое моделирование образования водных растворов на поверхности аэрозолей / Е.В. Кучменко, М.С. Зароднюк. -Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2001. - 44 с.

71. Кучменко, Е.В. Термодинамическое моделирование обводнения аэрозоля в атмосфере / Е.В. Кучменко, A.B. Кейко, М.С. Зароднюк // Химия в интересах устойчивого развития. - 2002. - Т. 10. - № 5. - С. 637-641.

72. Лагранж, Ж.Л. Аналитическая механика, т. 1 / Ж.Л. Лагранж. - М.-Л. : ГИТТЛ, 1950.-594 с.

73. Лагранж, Ж.Л. Аналитическая механика, т. 2 / Ж.Л. Лагранж. - М.-Л. : ГИТТЛ, 1950.-440 с.

74. Ланцош, К. Вариационные принципы механики / К. Ланцош. - М. : Мир, 1965.-408 с.

75. Леонтович, М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика / М.А. Леонтович. - М. : Наука, 1983. - 416 с.

76. Липский, В. Комбинаторика для программистов / В. Липский. - М. : Мир, 1988.-213 с.

77. Ловас, Л. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии / Л. Ловас, М. Пламмер. - М. : Мир, 1998. - 653 с.

78. Лоран, П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. - М. : Мир, 1975.-496 с.

79. Лутманов, C.B. Курс лекций по методам оптимизации / C.B. Лутманов. -Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 368 с.

80. Люстерник, Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники / Л.А. Люстерник. -М. :ГИТТЛ, 1956.-212 с.

81. Магарил-Ильяев, Г.Г. Выпуклый анализ и его приложения / Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. - М. : Едиториал УРСС, 2003. - 176 с.

82. Майника, Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах / Э. Майника. - М. : Мир, 1981.-325 с.

83. Маркус, A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / A.C. Маркус. - Кишинев : Штиинца, 1986. - 260 с.

84. Миркес, Е.М. Выпуклость и запас выпуклости термодинамических функций для идеальных систем / Е.М. Миркес, В.И. Быков, А.Н. Горбань // Математические методы в химической кинетике : Сб. науч. тр. -Новосибирск : Наука, 1990. - С. 184-207.

85. Ope, О. Теория графов / О. Ope. - M. : Наука, 1980. - 336 с.

86. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. - М. : Мир, 1989. - 494 с.

87. Половинкин, Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004.-416 с.

88. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. - М. : Наука, 1983. - 384 с.

89. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный. - М. : Наука, 1980. - 320 с.

90. Ракитин, В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров / В.И. Ракитин, В.Б. Первушин. - М. : Высшая школа, 1998. - 383 с.

91. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. - М. : Мир, 1973. - 469 с.

92. Рюэль, Д. Термодинамический формализм. Математические структуры классической равновесной статистической механики / Д. Рюэль. - Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. - 288 с.

93. Салем, P.P. Физическая химия. Термодинамика / P.P. Салем. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 352 с.

94. Самарский, A.A. Введение в численные методы / A.A. Самарский. - М. : Наука, 1987.-286 с.

95. Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. - М. : Наука, 1989.-432 с.

96. Саммерфилд, М. Программирование на Python 3 / М. Саммерфилд. Подробное руководство. - СПб. : Символ-Плюс, 2009. - 608 с.

97. Свами, М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. - М. : Мир, 1984.-454 с.

98. Седжвик, Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах / Р. Седжвик. - СПб : ДиаСофтЮП, 2002. - 496 с.

99. Стинрод, Н. Топология косых произведений / Н. Стинрод. - М. : ИЛ, 1953. -275 с.

100. Стромберг, А.Г. Физическая химия: Учебник для хим. спец. вузов / А.Г. Стромберг, Д.П. Семченко. - М. : Высшая школа, 2001. - 527 с.

101. Татт, У. Теория графов / У. Татт. - М. : Мир, 1988. - 424 с.

102. Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочное издание в 4-х т. / Л.В. Гурвич, И.В. Вейц, В.А. Медведев и др. - М : Наука, 1978.-496 с.

103. Уилсон, Р. Введение в теорию графов / Р. Уилсон. - М. : Мир, 1977. - 208 с.

104. Харари, Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер. - М. : Мир, 1977. -324 с.

105. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари. - М. : Мир, 1975. - 301 с.

106. Харди, Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Дж.Е. Литльвуд, Г. Полна. - М. : Гос. изд. ин. лит., 1948. - 456 с.

107. Ширкалин, И.А. Решение задачи выпуклого программирования с большим разбросом значений переменных. / И.А. Ширкалин. - Иркутск : СЭИ СО РАН, 1997.-22с.

108. Энергетическое топливо СССР (Ископаемые угли, горючие сланцы, торф, мазут и горючий природ, газ): Справочник / B.C. Вдовченко, М.И. Мартынова, Н.В. Новицкий, Г.Д. Юшина. - М. : Энергоатомиздат, 1991.- 184 с.

109. Adamson, A.W. Physical Chemistry of Surfaces / A.W. Adamson, A.P. Gast. -N.Y. : John Wiley Sons Inc., 1997. - 784 p.

110. Antsiferov, E.G. Thermodynamic Limitations in Searching for Regions of Optimal Performance of Complex Chemical Reactions (Examplified by Conversion of Hydrocarbons) / E.G. Antsiferov, B.M. Kaganovich, G.S. Yablonskii // React. Kinet. Catal. Lett. - 1988. - Vol. 37. - N 1. - P. 5761.

111. Bondy, J.A. Graph Theory with Applications / J.A. Bondy, U.S.R. Murty. -N.Y. : Elsevier, 1982.-270 p.

112. Boyd, S. Convex Optimization / S.Boyd, L. Vandenberghe. - Cambridge : Cambridge University Press, 2004. - 716 p.

113. Coleman, B.D. Thermodynamics with Internal State Variables / B.D. Coleman, M.E. Gurtin // J. Chem. Phys. - 1967. - Vol. 47. - p. 597-613.

114. Cormen, Т.Н. Introduction to Algorithms / Т.Н. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein. - Cambridge : The MIT Press, 2009. - 1292 p.

115. Dantzig, G. A Linear Programming Approach to the Chemical Equilibrium Problem / G. Dantzig, S. Johnson, W. White // Management Science. - 1958. -Vol. 5. - N 1. - P. 38-43.

116. Diestel, R. Graph Theory / R. Diestel. - N.Y. : Springer, 2000 - 322 p.

117. Feinberg, M. Recent Results in Optimal Reactor Synthesis Region Theory / M. Feinberg. // Chem. Eng. Sei. - 1999. - Vol. 54. - N 7. - P. 2535-2544.

118. Feinberg, M. Optimal Reactor Design from a Geometric Viewpoint-1. Universal Properties of the Attainable Region / M. Feinberg, D. Hildebrant // Chem. Eng. Sei. - 1997. - Vol. 52. - N 10. - P. 1637-1665.

119. Filippov, S.P. Thermodynamic Modeling of Nitrogen Oxides Formation During Coal Combustion / S.P. Filippov, B.M. Kaganovich, P.P. Pavlov // Int. J. of Energy, Environment, Economics. - 1997. - Vol. 6. - N 1. - P. 47-66.

120. Glasser, D. The Attainable Region for Segregated, Maximum Mixing, and Other Reactor Models / D. Glasser, D. Hildebrant, S. Godorr // Ind. Eng. Res. - 1994. -Vol. 33.-N 5.-P. 1136-1144.

121. Gorban, A.N. Thermodynamic Equilibria and Extrema. Analysis of Attainability Regions and Partial Equilibria / A.N. Gorban, B.M. Kaganovich, S.P. Filippov, A.V. Keiko, V.A. Shamansky, I.A. Shirkalin. - Springer, 2006. - 282 p.

122. Gorban, A.N. Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics / A.N. Gorban, I.V. Karlin. - Berlin, Heidelberg : Springer, 2005 - 477 p.

123. Gorban, A.N. The Path to Equilibrium / A.N. Gorban, G.S. Yablonskii, V.l. Bykov // Int. Chem. Engn. - 1982. - Vol. 22. - N 2. - P. 368-375.

124. Hildebrant, D. Predicting Phase and Chemical Equilibrium Using the Convex Hull of the Gibbs Energy / D. Hildebrant, D. Glasser // Chem. Eng. J. - 1994. -Vol. 54.-N3.-P. 187-197.

125. Horn, F. Attainable Regions in Chemical Reaction Technique / F. Horn // The Third European Symposium on Chemical Reaction Engineering. - London : Pergamon Press, 1964.-P. 1-10.

126. Kaganovich, B.M. Studies of the Environmental Pollution Using Thermodynamic Models / B.M. Kaganovich, S.P. Filippov, E.G. Antsiferov // Int. J. of Energy, Environment, Economics. - 1992. - Vol. 2. - N 1. - P. 7-13.

127. Kaganovich, B.M. Equilibrium Thermodynamic Modeling of Dissipative

Macroscopic Systems / B.M. Kaganovich, A.V. Keiko, V.A. Shamansky //

138

Advances in Chemical Engineering. - Vol. 39. Thermodynamics and Kinetics Systems. - Elsevier, 2010. - P. 1-74.

128. Kaganovich, B.M. On the Interrelations Between Kinetics and Thermodynamics as the Theories of Trajectories and States / B.M. Kaganovich, A.V. Keiko, V.A. Shamansky, M.S. Zarodnyuk // Chemical Kinetics. - Rijeka: Intech, 2012. - P. 31-60.

129. Israel, R.B. Convexity in the Theory of Lattice Gases / R.B. Israel. - Princeton : Princeton University Press. - 1979. - 167 p.

130. Kekc, J.C. Rate Controlled Constrained Equilibrium / J.C. Kekc // Progress in Energy and Combustion Science. - 1990. - Vol. 16. - P. 125-154.

131. Keiko, A.V. Thermodynamic Analysis of Secondary Pollution of the Atmosphere / A.V. Keiko, S.P. Filippov, B.M. Kaganovich // Int. J. of Energy, Environment, Economics. - 1997. - Vol. 4. - N 4. - P. 247-260.

132. Oettinger, H.C. Beyond Equilibrium Thermodynamics / H.C. Oettinger. - New Jersey : John Wiley & Sons, 2005. - 635 p.

133. Qi, L. Optimization and Control with Applications / L. Qi, K. Teo, X.Yang, Eds. - N.Y. : Springer, 2005. - 561 p.

134. Shinnar, R. Thermodynamic Analysis in Chemical Process and Reactor Design / R. Shinnar // Chem. Eng. Sci. - 1988. - N 8. - P. 2303-2318.

135. Shinnar, R. Structure of Complex Catalytic Reactions: Thermodynamic Constrains in Kinetic Modeling and Catalyst Evaluation / R. Shinnar, Ch.A. Feng // Industrial and Eng. Chem. Fundamentals. - 1985. - Vol. 24. - N 2.-P. 153-170.

136. White, W.B. Chemical Equilibrium in Complex Mixtures / W.B. White, S.M. Johnson, G.B. Dantzig // J. Chem. Phys. - 1958. - N 28. - P. 751-755.

137. Zarodnyuk, M.S. Elaboration of Attainability Region Boundaries in The Model of Extreme Intermediate States / M.S. Zarodnyuk, A.V. Keiko, B.M. Kaganovich // Studia Informática Universalis. - 2011. - Vol. 9. -N 3. - P. 161-175.